.华东理工,离散数学作业之令狐文艳创作

离散数学习题答案令狐文艳习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化∧的结果是p q（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p→（11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r∧→15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0，()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。

20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：所以公式的成真赋值有：01，10，11。

习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。

*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）()p q r ∧∨解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取范式。

第二章高中数学常用的数学思想令狐文艳四、等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。

著名的数学家，莫斯科大学教授 C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。

在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。

它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。

可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。

由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。

令狐文艳学习目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等学习重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件学习难点：微分方程的通解概念的理解学习内容：1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。

（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。

解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足x dxdy 2= （1） 同时还满足以下条件：1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。

把条件（2）代入（3）式，得1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：12+=x y （4）（2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。

根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：4.022-=dts d （5） 此外，还满足条件：0=t 时，20,0===dtds v s （6） (5)式两端积分一次得：14.0C t dtds v +-== （7） 再积分一次得2122.0C t C t s ++-=（8）其中21,C C 都是任意常数。

把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得把21,C C 的值代入（7）及（8）式得,204.0+-=t v （9）t t s 202.02+-= （10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：)(504.020s t ==。

再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。

上海市中小学数学课程标准令狐文艳（征求意见稿）一、导言（一）课程定位数学是以现实世界中的数与形为研究对象，在抽象、推理、应用的往复循环中逐步建立起来的一门科学。

随着社会的进步和数学自身的发展，特别是在与计算机的结合过程中，数学的研究领域、研究方式、应用范围等方面得到了空前的拓展。

在人类文明史上，数学具有特殊的重要地位，它是其他科学的基础，也是一切重大技术发展的基础。

在现代社会中，数学不仅对科学技术的进步仍然发挥着基础理论和基础应用的作用，而且已成为一种普遍适用的技术。

数学又是现代文化的重要组成部分，它的内容、思想、方法和语言已经广泛渗入人们的日常工作和生活中，影响着人们的思维方式和社会文化的进步。

数学是人们生活、工作和学习必需的工具，数学素养是现代公民必备的素养。

在基础教育阶段，数学是一门重要的基础课程，它对学生的整体发展、长远发展以及当前学习其他课程具有奠基意义，对培养学生的抽象能力、推理能力、创造能力以及辩证唯物主义世界观、方法论等具有独特作用。

本课程面向全体学生，着眼于促进学生全面、和谐、主动地发展，致力于使每个学生获得必需的、与个性发展相适应的数学，同时得到基本素质的培育和提高。

（二）课程理念1．正确处理基础与发展的关系数学课程应根据“以学生发展为本”的要求，正确处理基础与发展的关系。

主要强调：——不仅要关注学生掌握的数学知识和技能，为以后的学习打好基础;而且要关注数学学习对促进学生基本素质提高的作用，从而为学生走向社会和终身学习奠定基础；还要充分注意学生的个性差异，使学生的数学学习与其在个性方向上的发展相适应。

——要重视培养学生的主体意识、批判意识、综合意识和合作意识，注重让学生学习自行获取数学知识的方法，经历将实际问题进行数学抽象、建模求解和解释的过程，学会自主学习和主动参与数学实践的本领，获得终身受用的数学基础能力和创造才能。

2．充分关注数学课程中的学习过程课程是由教学内容、学生、教师、教学环境整合而成的系统，是师生共同探求新知识的过程。

下面是５０种鼓掌的方式：1、朋友，当别人身处困境时，请给他温暖的掌声；当别人表现非凡时，请给他喝彩的掌声，当自己收获成功时，请珍惜那阵阵掌声。

2、昨天已经过去，明天还未到来，我们要好好把握今天，为今天喝彩，为今天鼓掌，对吗？3、让我们用掌声来预祝明天的成功。

4、伸出你的金掌、银掌、锌掌，欢迎……登场。

5、要不要了解一下/想听吗？那就先来点掌声吧6、给这个伟大、精彩的信息掌声鼓励一下7、让我们用热烈的掌声来迎接今天下面的课程8、大胆鼓掌，我别人，也为自己；更为丰富多彩的人生和美好的生活。

9、父母把我们生下来，我们才有机会在这里相聚，为我们伟大的父母亲掌声鼓励一下。

10、把掌声送给会务组织的每一个人，感谢他们给哦我们一个这么好的学习机会11、把掌声送给前后左右的人，谢谢你们（即将）给我一个好的安静的学习环境12、在这里我们要感谢先烈，为国争光的人，有他们才有我们自豪的今天。

13、献给那些默默奉献的人，你们平凡但伟大，暗淡但灿烂。

14、我们要不要为这个理论的提出者掌声感谢一下？15、别人在娱乐，而我们在学习，为我们自己的选择掌声鼓励一下16、今天我们讲学习到很多好的方法、技巧，我自己即将有的进步掌声鼓励祝贺一下17、我可以，在座的各位你们都可以，觉得可以的给自己掌声鼓励一下。

可以超过我的再鼓励一下，超过我10倍的，给自己一流榜的自信热烈掌声鼓励一下。

18、猩猩在非常愉快的情况下会像人类一样，两只爪子使劲拍，而有时许多人鼓掌时却面无表情。

19、掌声即心声，相由心生。

20、生命中不缺美，而缺赞美的掌声，对吗？21、每个人都像渴望阳光、空气、水一样渴望别人的爱，也同样渴望掌声。

讲师也不列外22、有人说：没有掌声的演出时可怕的，谁受的了那死一般的寂静；没有掌声的人生是可悲的，谁愿意在压抑种生存。

对吗？23、这段时间讲课比较多，嗓子也有点问题，不知道今天能否坚持讲完，不过据说掌声是可以产生奇迹的。

24、今天感冒了，不过据说掌声能够治疗感冒，让我讲的更好。

基本计算步骤示例一：令狐文艳(1) int num1, num2;(2) for(int i=0; i<n; i++){(3) num1 += 1;(4) for(int j=1; j<=n; j*=2){(5) num2 += num1;(6) }(7) }分析步骤Step1.分析各条语句执行时间，得到算法（实际）复杂性语句int num1, num2;的频度为1；语句i=0;的频度为1；语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；算法（实际）复杂性：T(n) = 2 + 4n + 3n*log2nstep2. 计算渐进复杂性忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数，得到f(n) = n*log2n{ 可省略：lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)= 2*(1/n)*(1/log2n) +4*(1/log2n) + 3当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0，极限等于3。

}T(n) = O(n*log2n)简化的计算步骤再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。

并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？于是，以上步骤可以简化为： 1. 找到执行次数最多的语句 2. 计算语句执行次数的数量级3. 用大O来表示结果继续以上述算法为例，进行分析：1.执行次数最多的语句为num2 += num12.T(n) = n*log2nf(n) = n*log2n3.// lim(T(n)/f(n)) = 1T(n) = O(n*log2n)--------------------------------------------------------------------------------一些补充说明最坏时间复杂度算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。

第四章不定积分令狐文艳教学目的与要求1．理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。

2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。

3．求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论它的反问题，即要求一个导函数的原函数，也就是求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数。

这是积分学的基本问题之一。

4.1 不定积分的概念与性质一原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有 或， 那末函数就称为（或）在区间上的原函数。

例如，x^2是2x 的原函数，lnx 是1/x 的原函数因，，故是的原函数。

注：1由此定义上问题是：已知f(x),如何去求原函数2．那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？若存在是否唯一定理1：若f(x)在I 上连续，则f(x)在I 上一定有原函数。

注意：并不是任意在I 上有定义的函数都有原函数，反例⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(x x x f定理2：设f(x)在区间I上有原函数，且F(x)是其中一个原函数，则1．f(x)的任意两个原函数相差一个常数2．F(x)+C也是f(x)的原函数定义2 在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作。

其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。

由此定义及前面的说明可知，如果是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即。

因而不定积分可以表示的任意一个原函数。

第一，如果有，那么，对任意常数C，显然也有，即如果是的原函数，那也是的原函数。

第二，当为任意常数时，表达式就可以表示的任意一个原函数。

也就是说，的全体原函数所组成的集合，就是函数族。

例 1 求.解由于=，所以是的一个原函数。

因此.例 2求.解 当时,由于=,所以是在内的一个原函数。

因此，在内， 当时，由于==，由上同理，在内，将结果合并起来，可写作例3、 已知()x F 是x xln 的一个原函数， 求：()x sin dF 解：x lnx(x)F /=例4、()x f 的导函数是x sin ，则()x f 的原函数21c x c x sin ++-，(1c 、2c 为任意常数)例5、在下列等式中，正确的结果是CA 、()⎰=x f (x)dx f / B、⎰=f(x)df(x)C 、⎰=f(x)(x)dx f dx dD 、⎰=f(x)(x)dx f d二基本积分表由于积分是微分的逆运算，因此可以有微分基本表导出积分表。

一、创新思维令狐文艳1、在一个专门收集世界名画的美术馆，每幅画都投了一份巨额保险。

可是美术馆新购进一副非常有名的画家的代表作，却没给这幅画投保险。

你知道这是为什么吗？解答：那是一幅壁画2、有六个小朋友要平均吃五块蛋糕，但不能切碎，而且任何一块蛋糕切成三块以上，你知道怎么分切这5块蛋糕吗？解答：先把三块蛋糕各切成平均的两半，然后分给6个小朋友。

然后把另外两块蛋糕分别切成三等份，再分给6个小朋友，这样每个人就得到了一个半块和1／3块。

二、发散思维1、尽可能想象“△”和什么东西相似或相近？解答：和“△”相似或相近的东西有：馒头、涵洞、峭石、山峰、堡垒、城门、隧道口、喷水池、橱窗、问讯窗口、尼龙秧棚、坟墓、萌芽、彩虹、乌篷船、抛物红、仙鹤戏水、镜片、电视机屏幕、枪洞、子弹头、树荫、海上日出、跳水、弯腰、插秧、拱桥、盾牌、活页木铁夹、天边浮云、英文字母“D”等等。

回答得越多，发散思维的流畅程度越高。

2、古时候，有兄弟三人。

大哥、二哥好吃懒做，三弟勤劳聪明。

三人长大后都成了家。

有一天，三兄弟在一起喝酒，大哥、二哥提议：“从现在起，我们三人说话，互相不准怀疑，否则罚米一斗。

”酒后，大哥说：“你们总说我好吃懒做，现在家里那只母鸡一报晓，我就起床了……”三弟直摇头说：“哪有母鸡报晓之理？”大哥嘿嘿一笑说：“好！你不信我的话，罚米一斗。

”二哥接下去说：“我没有大哥这么勤快，因此家里穷得老鼠撵得猫吱吱叫……”三弟又连连摇头，二哥得意地说：“你不信，也罚米一斗。

”后来……三、收敛思维1、高尔基童年在食品店干杂活，曾碰到过一位刁钻的顾客，“订九块蛋糕，但要装在四个盒子里，而且每个盒子里至少要装三块蛋糕”。

解答：高尔基的办法是：先将九个蛋糕分装在三个盒子里，每盒三块；然后再把这三个盒子一起装在一个大盒子里，用包装袋扎好。

2、你的面前摆着四种物品：一本平装书；一瓶百事可乐；一根纯金项链；一台彩色电视机。

请从上述四种物品中找出一种“与众不同”的物品；然后，再找出两两物品之间的共同之处。

高等数学公式令狐文艳导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∑∑∑∑Ω∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂dsA dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n ndiv )cos cos cos (...,0div ,div )cos cos cos ()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： 常数项级数： 级数审敛法：绝对收敛与条件收敛： 幂级数：函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数：周期为l 2的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：0二阶常系数非齐次线性微分方程。

※第十三章极限令狐文艳●体系总览●考点目标定位1.数学归纳法、极限要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（2）了解数列极限和函数极限的概念.（3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限.（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.●复习方略指南极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.13.1 数学归纳法●知识梳理1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当n =n 0（n 0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n =k （k ∈N *， k ≥n 0）时命题成立，再证明当n =k +1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.2.数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标. ●点击双基 1.设f （n ）=11+n +21+n +31+n +…+n21（n ∈N *），那么f（n +1）－f （n ）等于A.121+nB.221+nC.121+n +221+n D.121+n －221+n解析：f （n +1）－f （n ）=21+n +31+n +…+n 21+121+n +221+n －（11+n +21+n +…+n 21）=121+n +221+n －11+n =121+n －221+n . 答案：D2.（2004年太原模拟题）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为解析：2002=4×500+2，而a n =4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.答案：D3.凸n 边形有f （n ）条对角线，则凸n +1边形有对角线条数f （n +1）为A.f （n ）+n +1B.f （n ）+nC.f （n ）+n －1D.f （n ）+n －2解析：由n 边形到n +1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n －2个顶点连成的n －2条对角线，及原先的一条边成了对角线.答案：C4.用数学归纳法证明“（n +1）（n +2）·…·（n +n ）=2n·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为A.2k +1B.2（2k +1）C.112++k k D.132++k k解析：当n =1时，显然成立.当n =k 时，左边=（k +1）（k +2）·…·（k +k ），当n =k +1时，左边=（k +1+1）（k +1+2）·…·（k +1+k ）（k +1+k +1）=（k +2）（k +3）·…·（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1） =（k +1）（k +2）·…·（k+k ）1)22)(12(+++k k k =（k +1）（k +2）·…·（k +k ）2（2k +1）.答案：B5.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有_________个点.解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;…;依次类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边n－1个点，故第n个图形中点的个数为n（n－1）+1.答案：n2－n+1●典例剖析【例1】比较2n与n2的大小（n∈N *）.剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n=1时，21＞12，当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，猜想：当n≥5时，2n＞n2.下面用数学归纳法证明：（1）当n=5时，25＞52成立.（2）假设n=k（k∈N *，k≥5）时2k＞k2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C0k +C1k+C1 kk=k2+2k+1=（k+1） 2.∴当n=k+1时，2n＞n2.由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立.综上，得当n=1或n≥5时，2n＞n2；当n=2，4时，2n =n 2；当n =3时，2n ＜n 2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.深化拓展当n ≥5时，要证2n ＞n 2，也可直接用二项式定理证：2n=（1+1）n=C0n+C1n+C2n+…+C2-n n+C1-n n+Cn n＞1+n +2)1(-n n +2)1(-n n =1+n +n 2－n ＞n 2.【例2】 是否存在常数a 、b 、c 使等式1·（n 2－12）+2（n 2－22）+…+n （n 2－n 2）=an 4+bn 2+c 对一切正整数n 成立?证明你的结论.剖析：先取n =1，2，3探求a 、b 、c 的值，然后用数学归纳法证明对一切n ∈N *，a 、b 、c 所确定的等式都成立.解：分别用n =1，2，3代入解方程组 下面用数学归纳法证明.（1）当n =1时，由上可知等式成立; （2）假设当n =k +1时，等式成立，则当n =k +1时，左边=1·［（k +1）2－12］+2［（k +1）2－22］+…+k ［（k +1）2－k 2］+（k +1）［（k +1）2－（k +1）2］=1·（k 2－12）+2（k 2－22）+…+k （k 2－k 2）+1·（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1）=41k 4+（－41）k 2+（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1）=41（k +1）4－41（k +1）2.∴当n =k +1时，等式成立.由（1）（2）得等式对一切的n ∈N *均成立.评述：本题是探索性命题，它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力.【例3】（2003年全国）设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1（n ∈N *）.证明：n ≥1时，a n =51[3n+（－1）n －1·2n］+（－1）n ·2n·a 0.剖析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证. 证明：（1）当n =1时，51［3+2］－2a 0=1－2a 0，而a 1=3－2a 0=1－2a 0.∴当n =1时，通项公式正确.（2）假设n =k （k ∈N *）时正确，即a k =51［3k+（－1）k －1·2k ］+（－1）k ·2k·a 0，那么a k +1=3k－2a k =3k－52×3k+52（－1）k·2k+（－1）k +1·2k +1a 0=53·3k+51（－1）k·2k +1+（－1）k +1·2k +1·a 0=51［3k +1+（－1）k ·2k +1］+（－1）k +1·2k +1·a 0.∴当n =k +1时，通项公式正确.由（1）（2）可知，对n ∈N *，a n =51［3n+（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n·a 0.评述：由n =k 正确 n =k +1时也正确是证明的关键.深化拓展本题也可用构造数列的方法求a n . 解：∵a 0为常数，∴a 1=3－2a 0. 由a n =3n －1－2a n －1，得n n a 33=－1132--n n a +1， 即nna 3=－32·113--n n a +31. ∴n na 3－51=－32（113--n na －51）.∴{nn a 3－51}是公比为－32，首项为513230--a 的等比数列. ∴n na 3－51=（54－32a 0）·（－32）n －1.∴a n =（54－32a 0）·（－2）n －1×3+51×3n=51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n·a 0. 注：本题关键是转化成a n +1=ca n +d 型. ●闯关训练 夯实基础1.如果命题P （n ）对n =k 成立，则它对n =k +1也成立，现已知P （n ）对n =4不成立，则下列结论正确的是A.P （n ）对n ∈N*成立B.P （n ）对n ＞4且n ∈N*成立C.P （n ）对n ＜4且n ∈N*成立D.P （n ）对n ≤4且n ∈N*不成立解析：由题意可知，P （n ）对n =3不成立（否则n =4也成立）.同理可推得P （n ）对n =2，n =1也不成立.答案：D2.用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n ＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n =k （k ＞1）不等式成立，推证n =k +1时，左边应增加的项数是A.2k －1B.2k－1 C.2kD.2k+1解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121-n ;由n =k ，末项为121-k 到n =k +1，末项为1211-+k =kk 2121+-，∴应增加的项数为2k.答案：C3.观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 ……设第n 行的各数之和为S n ，则∞→n lim2n S n =__________.解析：第一行1=12， 第二行2+3+4=9=33， 第三行3+4+5+6+7=25=52， 第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳：第n 项的各数之和S n =（2n －1）2，∞→n lim2n S n =∞→n lim （nn 12-）2=4.答案：44.如图，第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来（n =1，2，3，…），则第n －2个图形中共有____________个顶点.解析：观察规律：第一个图形有32+3=（1+2）2+（1+2）; 第二个图形有（2+2）2+（2+2）=42+4; 第三个图形有（3+2）2+（3+2）=52+5; …第n －2个图形有（n +2－2）2+（n +2－2）=n 2+n 个顶点. 答案：n 2+n5.已知y =f （x ）满足f （n －1）=f （n ）－lg an －1（n ≥2，n ∈N ）且f （1）=－lg a ，是否存在实数α、β使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任何n ∈N *都成立，证明你的结论.解：∵f （n ）=f （n －1）+lg a n －1，令n =2，则f （2）=f（1）+f （a ）=－lg a +lg a =0.又f （1）=－lg a ， ∴⎩⎨⎧=+=+.1420αββα∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,21βα ∴f （n ）=（21n 2－21n －1）lg a .证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时成立，即f （k ）=（21k 2－21k －1）lg a ，则n =k +1时，f （k +1）=f （k ）+lg a k=f （k ）+k lg a =（21k2－21k －1+k ）lg a =［21（k +1）2－21（k +1）－1］lg a .∴当n =k +1时，等式成立.综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=21，β=－21，使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任意n ∈N *都成立.培养能力6.已知数列｛ｂn ｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100．（1）求数列｛ｂn ｝的通项公式ｂn ； （2）设数列｛a n ｝的通项a n ＝lg （1＋nb 1），记S n 为｛a n ｝的前n 项和，试比较S n 与21lg ｂn ＋1的大小，并证明你的结论． 解：（1）容易得ｂn ＝2n －1. （2）由ｂn ＝2n －1，知S n ＝lg （1＋1）＋1g （1＋31）＋…＋lg （１＋121-n ）＝lg （１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）. 又211g b n ＋１＝1g12+n ，因此要比较S n 与211g b n ＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）与12+n 的大小.取n =1，2，3可以发现：前者大于后者，由此推测 （1+1）（1+31）·…·（１＋121-n ）＞12+n .① 下面用数学归纳法证明上面猜想：当n =1时，不等式①成立. 假设n =k 时，不等式①成立，即 （1＋1）（1＋31）·…·（１＋121-k ）＞12+k . 那么n =k +1时，（１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-k ）（１＋121+k ）＞12+k （１＋121+k ） ＝1212)1(2+++k k k .又［1212)1(2+++k k k ］2－（32+k ）2＝121+k ＞０，∴1212)1(2+++k k k ＞32+k =.1)1(2++k∴当n =k +1时①成立.综上所述，n ∈N*时①成立． 由函数单调性可判定S n ＞211g b n ＋１.7.平面内有n 条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n 条直线把平面分割成21（n 2+n +2）块.证明：（1）当n =1时，1条直线把平面分成2块，又21（12+1+2）=2，命题成立.（2）假设n =k 时，k ≥1命题成立，即k 条满足题设的直线把平面分成21（k 2+k +2）块，那么当n =k +1时，第k +1条直线被k 条直线分成k +1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k +1个平面块.所以k +1条直线把平面分成了21（k 2+k +2）+k +1=21［（k +1） 2+（k +1）+2］块，这说明当n =k +1时，命题也成立.由（1）（2）知，对一切n ∈N *，命题都成立.探究创新8.（2004年重庆，22）设数列{a n }满足a 1=2，a n +1=a n +na 1（n =1，2，…）.（1）证明a n ＞12+n 对一切正整数n 都成立；（2）令b n =na n （n =1，2，…），判定b n 与b n +1的大小，并说明理由.（1）证法一：当n =1时，a 1=2＞112+⨯，不等式成立.假设n =k 时，a k ＞12+k 成立，当n =k +1时，a k +12=a k 2+21ka +2＞2k +3+21ka ＞2（k +1）+1，∴当n =k +1时，a k +1＞1)1(2++k 成立.综上，由数学归纳法可知，a n ＞12+n 对一切正整数成立.证法二：当n =1时，a 1=2＞3=112+⨯结论成立.假设n =k 时结论成立，即a k ＞12+k ，当n =k +1时，由函数f （x ）=x +x1（x ＞1）的单调递增性和归纳假设有a k +1=a k +ka 1＞12+k +121+k =12112+++k k =1222++k k =124842+++k k k ＞12)12)(32(+++k k k =32+k .∴当n =k +1时，结论成立. 因此，a n ＞12+n 对一切正整数n 均成立.（2）解：nn b b 1+=na n a n n 11++=（1+21na ）1+n n ＜（1+121+n ）1+n n =1)12()1(2+++n n n n =12)1(2++n n n =2141)21(2+-+n n ＜1.故b n +1＜b n . ●思悟小结1．用数学归纳法证明问题应注意：（1）第一步验证n =n 0时，n 0并不一定是1．（2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k 到k +1时命题的变化．（3）由假设n =k 时命题成立，证n =k +1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标.2.归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一.●教师下载中心 教学点睛1.数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视.2.数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视.只要与自然数有关，都可考虑数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些.拓展题例【例1】是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k－1－1），由于3k－1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值为36.【例2】如下图，设P1，P2，P3，…，P n，…是曲线y=x 上的点列，Q1，Q2，Q3，…，Q n，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Q n－1Q n P n，…都是正三角形，设它们1n（n+1）.的边长为a1，a2，…，a n，…，求证：a1+a2+…+a n=3证明：（1）当n=1时，点P1是直线y=3x与曲线y=x的交点，∴可求出P 1（31，33）.∴a 1=|OP 1|=32.而31×1×2=32，命题成立.（2）假设n =k （k ∈N *）时命题成立，即a 1+a 2+…+a k =31k（k +1），则点Q k 的坐标为（31k （k +1），0），∴直线Q k P k +1的方程为y =3[x －31k （k +1）].代入y =x，解得P k +1点的坐标为)).1(33,3)1((2++k k∴a k +1=|Q k P k +1|=33（k +1）·32=32（k +1）.∴a 1+a 2+…+a k +a k +1=31k （k +1）+32（k +1）=31（k +1）（k +2）.∴当n =k +1时，命题成立.由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立.评述：本题的关键是求出P k +1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|Q k P k +1|.。

判断题令狐文艳一、判断题，正确的在题后括号内划“√”，错误的划“×”。

(本大题共5小题，每小题2分，共10分)第一章命题逻辑1．陈述句“x+y>4”是个命题。

( )（）2．命题“如果1+2=3，那么雪是黑的”是真命题。

( )（）3．（P∨（Q∧R））是一个合式命题公式，其中P、Q、R是命题变元。

( )（）4．（P（Q∧R Q）是一个合式命题公式，其中P、Q、R 是命题变元。

( )（）5．若A：张明和李红都是三好学生，则A：张明和李红都不是三好学生 ( )（）6．若A：张明和李红都是三好学生，则A：张明和李红不都是三好学生 ( )（）7．五个基本联结词的运算顺序是：，，，，( )（）8．基本联结词“，，，”是可交换的 ( )（）9．p∧┐(q→p)是永假式（）10．命题公式“（P∧（P Q））Q”是重言式。

( )（）11．已知命题公式A中含3个命题变项p，q，r，并知道它的成真赋值分别为001，010，111，则A的主析取范式为m1m2m7 ( )（）12．设P1，P2，…，P n是不同的命题变元，关于P1，P2，…，P n 的极大项是简单析取式，但简单析取式不一定是极大项。

( )（）13．在命题逻辑中，任何命题公式的主合取范式都是存在的，并且是唯一的。

( ) （）第二章谓词逻辑14．说所有人都爱吃面包是不对的。

可符号化为：┐x(F(x)→G(x)) 其中，F(x)：x是人，G(x):x爱吃面包。

（）（）15．命题公式┐P∨(Q→R)的成假赋值是110。

( )（）16．一阶逻辑公式x (F(x) G(x,y))是闭式。

( )（）17．()()(()()()()()()∀∀→⇔∃→∀( )（）x y P x Q y x P x y Q y18．()(())()()∀→⇔∀→( )（）x A x B X A x B19．x (F(y) →G(x)) F(y) →xG(x)。

( )（）20．公式()(,))∀∀→( )x y P x Q x y∀→∃的前束范式是(()(,))xP x yQ x y（）第三章集合的基本概念和运算21．φ∈φ且φ∈{φ}( )（）22．φφ且φ{φ}( )（）23．φφ且φ∈{φ}( )（）24．A，B是集合，A⊕B=φ，当且仅当A=B。

特征方程法求解递推关系中的数列通项令狐文艳当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们 在竞赛中解决递推式的基本方法。

典型例子：1n n n aa ba ca d++=+ 令 ax bx cx d+=+，即2()0cx d a x b +--= ， 令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有11111n n p a x a x +=+--（其中2cp a d=+）(2)若12x x ≠,则有111122n n n n a x a xq a x a x ++--=--（其中12a cx q a cx -=-）例题1：设23()27x f x x -+=-，(1)求函数()y f x =的不动点；(2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <， 求使()()f x a x akf x b x b--=--恒成立的常数k 的值； (3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a，求其通项公式n a 。

23()27x f x x -+=-解析：(1)设函数()f x 的不动点为0x ，则0002327x x x -+=-解得012x =-或03x =(2)由231111()1272222238248(3)83327x x x x x x x x x x -++---++-===⋅-++----- 可知使()()f x a x akf x b x b--=--恒成立的常数18k =。

(3)由(2)可知1111122383n n n n a a a a --++=⋅--，所以数列 123n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以34-为首项，18为公比的等比数列。

则11312()348n n n a a -+=-⋅-，则11911()482311()48n nn a ---=+例2．已知数列}{n a 满足性质：对于14N,,23n n n a n a a ++∈=+且,31=a 求}{n a 的通项公式. 解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，则有 即11111252n n n n a a a a ++--=-++ 又1113122325a a --==++ ∴数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以25为首项，15-为公比的等比数列1141()1(5)455,N.212(5)1()55n n n n n a n ---+--==∈+---例3．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,61=a 求;n a 解：作特征方程.32513+-=x x x变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根 5.x =（1）∵115,.a a x =∴=∴对于,N ∈n 都有5;n a x == （2）∴543,N.7n n a n n +=∈+ 例题4：（限时训练）10.设,a b 是常数，且0ab ≠，函数()xf x ax b=+满 足(2)1f =，且只有一个x 值使()f x x =成立。

数形结合思想在中学数学解题中应用令狐文艳摘要：数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。

数形结合思想在数学中得到了充分的重视。

本文就数形结合思想在数学问题解析中的应用加以整理、总结，并给出部分例题，以便得到更好的推广。

关键词：数形结合代数问题几何问题相互转化For combining the application in mathematics（YANG zhongxiang）Abstract :Several combining in mathematics teaching is widely used in combination, a new mathematical thought to write with. Several combining ideas in mathematics got full attention. Based on several combining analytical mathematical thoughts in the application are summarized, and gives some examples, in order to get better.Keywords：Combining the numberAlgebra problemGeometry problemsMutualtransformation前言数形结合思想在实际的应用中显得十分重要和广泛，数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何，可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在。

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。

”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

习题1.11、令狐文艳2、用列举法给出下列集合：a)小于5的非负整数的集合；b)10到20之间的素数的集合；c)不超过65的12之正整数倍数的集合。

3、用命题法给出下列集合：a)不超过100的自然数的集合；b)E v和O d；c)10的整倍数的集合。

4、用归纳定义法给出下列集合：a)允许有前0的十进制无符号整数的集合；b)不允许有前0的十进制无符号整数的集合；c)允许有前0和后0的有有限小数部分的十进制无符号实数的集合；d)不允许有前0的十进制无符号偶数的集合；e)E v和O d；f)集合{0，1，4，9，16，25，…}。

5、确定下列集合中哪些是相等的：A={x|x为偶数且x2为奇数}B={x|有y∈I使x=2y}C={1，2，3}D={0，2，-2，5，-3，4，-4}E={2x|x∈I}F={3，3，2，1，2}G={x|有x∈I且x3-6x2-7x-6=0}6、确定下列关系中哪些是正确的，并简单说明理由。

a)b)c)Í{}d)Î{Æ}e){a,b}Í{a,b,c,{a,b,c}}f){a,b}Î{a,b,c,{a,b,c}}g){a,b}Í{a,b,{a,b}}h){a,b}Î{a,b,{a,b}}7、设A、B和C为集合。

证明或用反例推翻以下的各个命题：a)若A B且B C，则AÏC。

b)若A B且BÏC，则AÏC。

c)若A B且BÏC，则AÏC。

d)若A B且B C，则AÎC。

8、若A、B为集合，则AÍB与A B能同时成立吗？请证明你的结论。

9、列举出下列集合中每个集合的所有子集：a){1，2，3}b){1，{2，3}}c){{1，{2，3}}}d){}e){, {}}f){{1，2}，{2，1，1}，{2，1，1，2}}g){ {，2}，{2}}10、给出下列集合的幂集：a){a，{b}}b){1，}c){x, y, z}d){，a,{a}}e)({})10、设 (A)=Ã (B)。

逻辑思维令狐文艳逻辑思维的重要性人类的活动离不开思维，思维能力的发展程度是整个智力发展的缩影和标志。

由于数学自身的特点，数学教育承载着“发展儿童的思维”的重任，现代教育观点认为，数学教学就是指数学思维活动的教学，数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。

逻辑思维对学习的影响《小学数学教学大纲》中明确规定，要“使学生具有初步的逻辑思维能力。

”这一条规定是很正确的。

下面试从两方面进行一些分析。

首先从数学的特点看。

数学本身是由许多判断组成的确定的体系，这些判断是用数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的数学语句来表达的。

并且借助逻辑推理由一些判断形成一些新的判断。

而这些判断的总和就组成了数学这门科学。

小学数学虽然内容简单，没有严格的推理论证，但却离不开判断推理，这就为培养学生的逻辑思维能力提供了十分有利的条件。

再从小学生的思维特点来看。

他们正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。

这里所说的抽象逻辑思维，主要是指形式逻辑思维。

因此可以说，在小学特别是中、高年级，正是发展学生抽象逻辑思维的有利时期。

由此可以看出，《小学数学教学大纲》中把培养初步的逻辑思维能力作为一项数学教学目的，既符合数学的学科特点，又符合小学生的思维特点。

值得注意的是，《大纲》中的规定还没有得到应有的和足够的重视。

一个时期内，大家谈创造思维很多，而谈逻辑思维很少。

殊不知在一定意义上说，逻辑思维是创造思维的基础，创造思维往往是逻辑思维的简缩。

就多数学生说，如果没有良好的逻辑思维训练，很难发展创造思维。

因此如何贯彻《小学数学教学大纲》的目的要求，在教学中有计划有步骤地培养学生逻辑思维能力，还是值得重视和认真研究的问题。

《大纲》中强调培养初步的逻辑思维能力，只是表明以它为主，并不意味着排斥其他思维能力的发展。

例如，学生虽然在小学阶段正在向抽象逻辑思维过渡，但是形象思维并不因此而消失。

一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件。

已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？令狐文艳分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 （x-40）问题2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为 （x-60） 问题3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为 -60202x ⨯ （件） 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯=30010(60)x --=10900x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩自变量x 的取值范围是 60x ≥问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W（元），那么W 与x 的函数关系式为=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦=210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元二、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 （x-40）问题2：售价为x 元，售价降了多少元？可表示为 （60-x ） 问题3：售价为x 元，销售数量会增加，增加的件数为60402x -⨯ （件） 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为60300402x y -=+⨯=30020(60)x +-=201500x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩所以，自变量x 的取值范围是 060x ≤≤问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为=(40)x -（201500x -+）=220230060000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅=(40)x -（201500x -+）=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：（1）涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加（2）降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量根据题目内容，完成下列各题：1、涨价时（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯=30010(60)x --=10900x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩自变量x 的取值范围是 60x ≥（2）售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-（3）售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？1W =(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦=210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元2、降价时：（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为60300402x y -=+⨯=30020(60)x +-=201500x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩所以，自变量x 的取值范围是 060x ≤≤（2）售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为2W =(40)x -y=(40)x -（201500x -+）=220230060000x x -+-（3）售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为2W =(40)x -（60300402x -+⨯） =(40)x -（201500x -+）=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元本题解题过程如下：解：设售价为x 元，利润为W（1）涨价时，1W =(40)x -（300 --60202x ⨯） =(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦=210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元（2）降价时，2W =(40)x -（300+60402x -⨯） =(40)x -（201500x -+）=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元综上所述，售价为65元或售价为57.5元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250元或6125元。

离散数学习题答案令狐文艳习题一1、利用逻辑联结词把下列命题翻译成符号逻辑形式（1）他既是本片的编剧，又是导演--- P∧ Q（2）银行利率一降低，股价随之上扬--- P→ Q（3）尽管银行利率降低，股价却没有上扬--- P∧ Q（4）占据空间的、有质量而且不断变化的对象称为物质--- M (S∧P∧T)（5）他今天不是乘火车去北京，就是随旅行团去了九寨沟--- P▽ Q（6）小张身体单薄，但是极少生病，并且头脑好使--- P∧ Q ∧ R（7）不识庐山真面目，只缘身在此山中--- P→ Q（解释：因为身在此山中，所以不识庐山真面目）（8）两个三角形相似，当且仅当他们的对应角相等或者对应边成比例--- S (E∨T)（9）如果一个整数能被6整除，那么它就能被2和3整除。

如果一个整数能被3整除，那么它的各位数字之和也能被3整除解：设 P –一个整数能被6整除Q –一个整数能被2整除 R –一个整数能被3整除S –一个整数各位数字之和能被3整除翻译为：（P→（Q ∧ R））∧（R→ S）2、判别下面各语句是否命题，如果是命题，说出它的真值（1）BASIC语言是最完美的程序设计语言--- Y，T/F（2）这件事大概是小王干的--- N（3）x2 = 64--- N（4）可导的实函数都是连续函数--- Y，T/F（5）我们要发扬连续作战的作风，再接再厉，争取更大的胜利--- N（6）客观规律是不以人们意志为转移的--- Y，T（7）到2020年，中国的国民生产总值将赶上和超过美国--- Y，N/A（8）凡事都有例外--- Y，F3、构造下列公式的真值表，并由此判别哪些公式是永真式、矛盾式或可满足式（1）（P∨（～P∧ Q））→ Q解：P Q ～P∧ Q P∨（～P∧ Q）（P∨（～P∧ Q））→可满足式Q0 0 0 0 10 1 1 1 11 0 0 1 01 1 0 1 1（2）~（4）表略：（2）可满足式、（3）永真式、（4）可满足式4、利用真值表方法验证下列各式为永真式（1）~（8）略5、证明下列各等价式（3）P→（Q∨ R）（P→ Q）∨（P→ R）证明：左式～P∨Q∨ R⇔～P∨Q∨～P∨ R⇔（～P∨Q）∨（～P∨ R）⇔（P→ Q）∨（P→ R）右式（4）（P∧ Q）∨（R∧ Q）∨（R∧ P）（P∨ Q）∧（R ∨ Q）∧（R∨ P）证明：左式(（P∨R）∧ Q）∨（R∧ P）(（P∨R）∨R))∧(（P∨R）∨P))∧（Q∨R）∧（Q∨P）（P∨ Q）∧（R∨ Q）∧（R∨ P）右式6、如果P∨ Q Q∨R,能否断定 P R ？如果P∧ QQ∧R，能否断定 P R？如果～P ～R，能否断定 P R？解：（1）如果P∨ Q Q∨R，不能判断P R，因为如果Q = P∨ R, 那么P∨ Q P∨P∨ R Q∨R，但P可以不等价于R.（2）如果P∧ Q Q∧R，不能判断P R，因为如果 Q = P∧ R, 那么P∧ Q P∧P∧ R Q∧R，但P可以不等价于R.（3）如果～P ～R，那么有P R，因为～P ～R，则～P <-> ～R为永真式，及有P <-> R为永真式，所以P R.8、把下列各式用↑等价表示出来（1）(P∧Q)∨～P解：原式 ((P↑Q)↑(P↑Q))∨(P↑P)(((P↑Q)↑(P↑Q))↑((P↑Q)↑(P↑Q)))↑((P↑P)↑(P↑P))9、证明：{ ～→}是最小功能完备集合证明: 因为{～,∨}是最小功能完备集合,所以,如果{ ～→}能表示出∨,则其是功能完备集合。