2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测(05) 组合与组合数公式 Word版含解析

课时跟踪检测（三)排列（习题课）一、选择题1．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种解析：选A 分类完成,甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A错误!种安排方法；甲排周二,乙、丙只能从周三至周五这3天中选2天排,有A错误!种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A错误!种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有A错误!＋A错误!＋A错误!＝20种不同的安排方法．2．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（)A．1 800 B．3 600C．4 320 D．5 040解析：选B 利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列,有A错误!种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目插入,有A2，6种排法，所以共有A错误!·A错误!＝3 600种排法．3．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（)A．324 B．328C．360 D．648解析：选B 若个位数是0，从其余9个数中取出两个数排在前两位,有A29种排法；若个位数不是0, 先从2,4,6,8中取一个放在个位，在其余8个数（不包括0)中取出1个数排在百位，再从其余8个数(包括0）中取出一个数排在十位，有4×8×8＝256种排法，所以满足条件的三位偶数的个数共有A错误!＋256＝328.4．直线Ax＋By＝0的系数A,B可以在0,1，2，3，5，7这六个数字中选取,则这些方程所表示的不同直线有（)A．30条B．23条C．22条D．14条解析：选B 当A＝B≠0时，表示同一直线x＋y＝0;当A＝0,B≠0时，表示直线y＝0；当A≠0,B＝0时,表示直线x＝0;当A≠0，B≠0，A≠B时有A错误!条直线，故共有1＋1＋1＋A错误!＝23条直线．5．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的数共有( ）A．210个B．300个C．464个D．600个解析：选B 个位数要么小于十位数，要么大于十位数，故有错误! A错误!A错误!＝300个．二、填空题6．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．解析：将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空进行排列，有A错误!＝30种情形．答案：307．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为__________．（用数字作答）解析：先在前3节课中选一节安排数学，有A1，3种安排方法；在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课,有A1，4种安排方法；其余4节课无约束条件，有A错误!种安排方法．根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A13·A错误!·A错误!＝288。

第一章 1．2.2 第一课时 组合与组合数公式课时跟踪检测一、选择题1．下列等式不正确的是( )A ．C m n ＝n ！m ！(n －m )！ B ．C m n ＝C n －m n C ．C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1D ．C m n ＝C m ＋1n ＋1 解析：∵C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ＋1m ＋1·n ！m ！(n －m )！≠C m n ，∴D 不正确． 答案：D2．A 24－C 23＝( )A ．9B ．12C ．15D ．3解析：A 24－C 23＝4×3－3×22×1＝12－3＝9，故选A. 答案：A3．平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成平行四边形的个数为( )A ．A 2m A 2nB ．A 2mC 2n C ．A 2n C 2mD ．C 2n C 2m解析：分别从一组m 条中取两条，从另一组n 条中取两条，可组成平行四边形，即共有C 2n C 2m 个平行四边形．答案：D4．若C 3n ＋618＝C 4n －218，则n 的值为( )A ．8B ．2C ．2或8D ．18解析：由题意得3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋4n －2＝18，∴n ＝2或n ＝8.当n ＝8时，3n ＋6＝30>18，不符合组合数的定义故舍去，∴n ＝2.答案：B5．(2019·正定中学高二月考)现有男、女学生共8人，从男生中选2人、女生中选1人分别参加数学、物理、化学竞赛，共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别为( )A ．2,6B ．3,5C ．5,3D ．6,2解析：设有男生x 人，则有女生(8－x )人，则C 2x C 18－x A 33＝90，即x (x －1)(8－x )＝30＝3×2×5，所以x ＝3，即男生有3人，女生有5人．故选B.答案：B6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种解析：从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：第一类，取四个奇数，即C 45＝5种；第二类取两个奇数，两个偶数，即C 25C 24＝60种；第三类取四个偶数，即C 44＝1种，共有5＋60＋1＝66种，故选D.答案：D二、填空题7．若C n ＋1n ＋3＝C n －1n ＋1＋C n n ＋1＋C n －2n ，则n ＝________.解析：由已知，可得n ≥2，且n ∈N *，∵C n ＋1n ＋3＝C n －1n ＋1＋C n n ＋1＋C n －2n ，∴C n ＋1n ＋3＝C n n ＋2＋C n －2n ，∴C 2n ＋3＝C 2n ＋2＋C 2n ，∴C 2n ＋2＋C 1n ＋2＝C 2n ＋2＋C 2n ，∴C 1n ＋2＝C 2n ，即n ＋2＝n (n －1)2，解得n ＝－1或n ＝4，∵n ≥2，且n ∈N *，∴n ＝4.答案：48．C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝________.解析：C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 45＋C 55＋C 46＋C 47＋C 48－1＝C 56＋C 46＋C 47＋C 48－1＝C 47＋C 57＋C 48－1＝C 59－1＝125.答案：1259．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则C n n ＋2＝________.解析：由C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n 得，C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，∴n ＝14，∴C n n ＋2＝C 1416＝C 216＝16×152＝120.答案：120三、解答题10．已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求m 的值． 解：由题意可得m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！ ＝7·m ！(7－m )！10·7！，化简得m 2－23m ＋42＝0， 解得m ＝2或m ＝21(不合题意舍去)．所以m 的值为2.11．计算C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511.解：∵C 111＝C 1011，C 211＝C 911，C 311＝C 811，C 411＝C 711，C 511＝C 611，C 011＝C 1111，∴C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511＝12(C 011＋C 111＋C 211＋C 311＋…＋C 1111)－12(C 011＋C 1111) ＝12×211－12×2＝210－1＝1 023.12．计算C 3n 13＋n ＋C 3n －112＋n ＋C 3n －211＋n ＋…＋C 17－n 2n .解：由题意得⎩⎨⎧3n ≤13＋n ，17－n ≤2n ，得173≤n ≤132， 又n ∈N *，故n ＝6.∴原式＝C 1819＋C 1718＋C 1617＋…＋C 1112＝C 119＋C 118＋C 117＋…＋C 112 ＝19＋18＋17＋…＋12＝124.13．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种解析：第一类：3∶0，有2种；第二类，3∶1，有2C 13＝6种；第三类：3∶2，有2C 24＝12种，共有2＋6＋12＝20种，故选C.答案：C。

课时跟踪检测(十一)独立重复试验与二项分布一、选择题1．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为错误!，若40分为最低分数线,则该生被选中的概率是( )A．C错误!错误!4×错误!B．C错误!错误!5C．C错误!错误!4×错误!＋C错误!错误!5D．1－C3，5错误!3×错误!2解析：选C 该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形．故所求概率为P＝C45错误!4×错误!＋C错误!错误!5.2．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测:方法一，在10箱中各任意抽查一枚；方法二，在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、方法二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2，则（) A．p1＝p2 B 。

p1<p2C 。

p1>p2D．以上三种情况都有可能解析：选B 方法一:每箱选中劣币的概率为错误!,则p1＝1－C错误!×0。

010×0.9910＝1－错误!10；同理，方法二：所求事件的概率p2＝1－错误!5＝1－错误!5，∴p1〈p2。

3．在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( ）A．[0。

4，1] B．（0,0。

4］C．(0，0。

6] D．［0。

6,1)解析：选A ∵P4（1）≤P4（2)，∴C错误!·p(1－p）3≤C错误!p2（1－p)2，∴4（1－p)≤6p,∴0.4≤p≤1。

4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（)A．C错误!错误!3·错误!B．C错误!错误!2·错误!C．C错误!错误!3·错误!D．C错误!错误!3·错误!解析：选A 甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜,其概率为P＝C错误!错误!2×错误!×错误!＝C错误!错误!3×错误!.5．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率是错误!。

课时跟踪检测(五）组合与组合数公式层级一学业水平达标1．C错误!＋C错误!的值为( )A．36 B．84C．88 D．504解析：选A C错误!＋C错误!＝C错误!＝C错误!＝错误!＝84．2．以下四个命题,属于组合问题的是（）A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析:选C 选项A是排列问题,因为2个小球有顺序；选项B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D是排列问题,因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C．3．方程C错误!＝C错误!的解集为（）A．4 B．14C．4或6 D．14或2解析:选C 由题意知错误!或错误!解得x＝4或6．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上,也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( ）A．220个B．210个C．200个D．1 320个解析：选A C错误!＝220,故选A．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动,每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（）A．60种B．48种C．30种D．10种解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C错误!种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C错误!种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C 错误!·C错误!＝30种．故选C．6．C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!的值等于________．解析：原式＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝C1，5＋C错误!＋…＋C错误!＝C错误!＋C错误!＝C错误!＝C错误!＝7 315．答案：7 3157．若已知集合P＝{1,2，3,4，5,6｝，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为________．解析:由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题，共有C错误!＝20种．答案:208．不等式C错误!－n<5的解集为________．解析：由C错误!－n<5,得错误!－n<5，∴n2－3n－10〈0．解得－2<n<5．由题设条件知n≥2,且n∈N＊，∴n＝2，3，4．故原不等式的解集为{2,3，4}．答案:｛2,3,4}9．（1)解方程：A3，m＝6C4m；（2）解不等式：C错误!>3C错误!．解：（1)原方程等价于m(m－1)(m－2)＝6×错误!,∴4＝m－3，m＝7．（2)由已知得：错误!∴x≤8，且x∈N＊，∵C x－1，8>3C错误!，∴错误!>错误!．即错误!〉错误!，∴x〉3（9－x），解得x〉错误!，∴x＝7，8．∴原不等式的解集为{7，8｝．10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图）（1)图中有多少个矩形？（2)从A点走向B点最短的走法有多少种?解:(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C27·C错误!＝210(个)．（2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走,一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有C错误!＝C错误!＝210(种)走法．层级二应试能力达标1．若C4，n>C错误!，则n的集合是( )A．｛6，7,8,9} B．｛0，1，2，3｝C．｛n｜n≥6｝D．｛7,8，9｝解析：选A ∵C错误!〉C错误!，∴错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!∵n∈N*，∴n＝6，7,8,9．∴n的集合为｛6，7,8,9}．2．将标号为1，2，3,4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种解析：选B 由题意，不同的放法共有C1，3C错误!＝3×错误!＝18种．3．若从1，2,3，…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数,则不同的取法共有( ）A．60种B．63种C．65种D．66种解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C错误!＝1种，取2奇数2偶数的取法有C错误!·C错误!＝60种，取4个数均为奇数的取法有C4，5＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( )A．18对B．24对C．30对D．36对解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．5．方程C x，17－C错误!＝C错误!的解集是________．解析：因为C错误!＝C错误!＋C错误!,所以C错误!＝C错误!，由组合数公式的性质，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16,得x1＝－3（舍去），x2＝5．答案：{5｝6．某书店有11种杂志，2元1本的有8种，1元1本的有3种．小张买杂志用去10元钱，则不同买法的种数为________(用数字作答)．解析:由已知分两类情况:(1)买5本2元的买法种数为C5，8．（2）买4本2元的、2本1元的买法种数为C错误!·C错误!．故不同买法种数为C错误!＋C错误!·C错误!＝266．答案：2667．已知C错误!，C错误!,C错误!成等差数列，求C错误!的值．解：由已知得2C错误!＝C错误!＋C错误!，所以2·n！5！n－5！＝错误!＋错误!，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求C12n的值，故n≥12，所以n＝14，于是C错误!＝C错误!＝错误!＝91．8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝｛0，1,2,3｝，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，则不同的映射f有多少个?(2)若B中的元素0无原象，则不同的映射f有多少个？(3)若f满足f(a1）＋f（a2）＋f（a3)＋f(a4)＝4，则不同的映射f 又有多少个？解:(1）显然映射f是一一对应的，故不同的映射f共有A错误!＝24个．(2）∵0无原象，而1,2,3是否有原象,不受限制，故A中每一个元素的象都有3种可能，只有把A中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f有34＝81个．(3)∵1＋1＋1＋1＝4，0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4,0＋0＋2＋2＝4,∴不同的映射有：1＋C错误!A错误!＋C错误!A错误!＋C错误!＝31个．。

课时跟踪检测（五） 组合与组合数公式1.[多选]下列问题是组合问题的是( )A.10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次？B.平面上有2 020个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段？C.集合{a 1,a 2,a 3,…,a n }的含有四个元素的子集有多少个？D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法？解析：选ABC 组合问题与次序无关,排列问题与次序有关,D 项中,选出的2名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法,因此不是组合问题,A 、B 、C 均是组合问题. 2.若C 2n ＝28,则n ＝( ) A.9 B ．8 C.7D ．6解析：选B 由C 2n ＝n ×n －12＝28,解得n ＝8.3.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有( ) A.A 310种 B ．C 310种 C.C 310A 310种D ．30种解析：选B 三张票没区别,从10人中选3人即可,即C 310,故选B. 4.下列计算结果为21的是( ) A.A 24＋C 26 B ．C 37 C.A 27D ．C 27解析：选D C 27＝7×62×1＝21.5.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有( ) A.36种 B ．48种 C.96种D ．192种解析：选C 甲选修2门有C 24＝6种选法,乙、丙各有C 34＝4种选法．由分步乘法计数原理可知,共有6×4×4＝96种选法.6.6个朋友聚会,每两人握手1次,一共握手________次．解析：每两人握手1次,无顺序之分,是组合问题,故一共握手C 26＝15次．答案：157.若C 4n >C 6n ,则n 的集合是________．解析：∵C 4n >C 6n ,∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！n －4！>n ！6！n －6！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *,∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．答案：{6,7,8,9}8.按ABO 血型系统学说,每个人的血型为A 、B 、O 、AB 四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时,子女一定不是O 型,若某人的血型为O 型,则父母血型的所有可能情况有________种．解析：父母应为A 或B 或O,共有C 13·C 13＝9种情况． 答案：99.(1)解不等式：2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1； (2)计算C 3n13＋n ＋C 3n －112＋n ＋C 3n －211＋n ＋…＋C 17－n 2n ； (3)求证：C m n ＝nn －mC mn －1.解：(1)∵2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1, ∴2C 3x ＋1<3C 2x ＋1, ∴2×x ＋1x x －13×2×1<3×x ＋1x2×1.∴x －13<32,∴x <112,∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x ＋1≥2，∴x ≥2,∴2≤x <112,又x ∈N *,∴x ＝2,3,4,5.∴不等式的解集为{2,3,4,5}．(2)由题意,⎩⎪⎨⎪⎧3n ≤13＋n ，17－n ≤2n ，得173≤n ≤132, 又n ∈N *,故n ＝6.∴原式＝C 1819＋C 1718＋C 1617＋…＋C 1112 ＝C 119＋C 118＋C 117＋…＋C 112 ＝19＋18＋17＋…＋12＝124. (3)证明：∵nn －mC mn －1＝nn －m ·n －1！m ！n －1－m ！＝n ！m ！n －m ！＝C mn ,∴原式成立.10.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生,又有外科医生．解：(1)先选内科医生有C 36种选法,再选外科医生有C 24种选法,故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑,则有C 510－C 56＝246种选派方法.1.从6名男生和3名女生中选出4名代表,其中必须有女生,则不同的选法种数为( ) A.168 B ．45 C.60D ．111解析：选D 选出的代表中女生有1,2,3名时,男生相应有3,2,1名,则不同的选法种数为C 13C 36＋C 23C 26＋C 33C 16＝111.2.若A3m＝6C4m,则m的值为( )A.6 B．7 C.8 D．9解析：选B 由A3m＝6C4m得m！m－3！＝6·m！4！m－4！,即1m－3＝14,解得m＝7.3.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．解析：要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走．因此,从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有C49C55＝126种走法,故从A地到B地的最短路线共有126条．答案：1264.从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数,则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？解：从6个不同数字中任选3个组成最小三位数,相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合,故所有不同的数的个数为C36＝6×5×43×2×1＝20.5.某市工商局对35种商品进行抽样检查,鉴定结果有15种假货,现从35种商品中选取3种．(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？解：(1)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件,有C120C215＝2 100(种),所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．(2)选取2件假货有C120C215种,选取3件假货有C315种,共有选取方法C120C215＋C315＝2 555(种)．(3)选取3件的种数有C335,因此有选取方法C335－C315＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.。

课时跟踪检测(六) 二项式定理一、选择题1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2(n ＋1)解析：选B 根据二项式定理可知，展开式共有2n ＋1项．2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5解析：选D 原式＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5.3．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项 解析：选C T k ＋1＝C k 24·x 24－k 2·x －k 3＝C k 24·x 12－56k ，则k ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数．4．在⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3B ．5C ．8D ．10 解析：选B T k ＋1＝C k n (2x 3)n －k ⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝2n －k ·C k n x3n －5k .令3n －5k ＝0，∵0≤k ≤n ， ∴n 的最小值为5.5．对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断： ①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是( )A ．①与③B ．②与③C ．②与④D ．①与④解析：选D 二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n ，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．二、填空题6．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________． 解析：由{ T 2>T 1，T 2>T 3，得{ C 162x >1，162x >C 26(2x )2.解得112<x <15. 答案：⎝⎛⎭⎫112，157．(1＋x ＋x 2)(1－x )10的展开式中含x 4的项的系数为________．解析：因为(1＋x ＋x 2)(1－x )10＝(1＋x ＋x 2)(1－x )·(1－x )9＝(1－x 3)(1－x )9，所以展开式中含x 4的项的系数为1×C 49(－1)4＋(－1)×C 19(－1)＝135.答案：1358．230＋3除以7的余数是________．解析：230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C 010·710＋C 110·79＋…＋C 910·7＋C 1010＋3＝7×(C 010·79＋C 110·78＋…＋C 910)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.答案：4三、解答题9．已知在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n x n －202， T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102. 由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10. T k ＋1＝C k 10(x )10－k 2k x －2k ＝2k C k 10x 10－5k 2， 令5－5k 2＝0，解得k ＝2. ∴展开式中的常数项为C 21022＝180.10．在⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x 2的项．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎫－1x 2＝24·C 26x ， 所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝ (－1)k 26－k C k 6x3－k . 令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.11．已知在⎝⎛⎭⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项．求： (1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x 的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n ⎝⎛⎭⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ⎝⎛⎭⎫12n －k C k n x 522n k －. (1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10. (2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6， 所以x 5的系数为(－1)6⎝⎛⎭⎫124C 610＝1058.(3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．。

课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数层级一 学业水平达标1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B B 中，y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况．2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，13C.⎣⎡⎭⎫13，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13. 3．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( )A ．(－∞，－1)和(0,1)B ．[－1,0]和[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)解析：选A y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.4．函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．在⎝⎛⎭⎫0， 1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ， 5上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0， 1e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1e ， 5上单调递减 解析：选C 由已知得函数的定义域为(0，＋∞)．∵y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e. 令y ′＜0，得x ＜1e. ∴函数 y ＝x ln x 在⎝⎛⎭⎫0， 1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ， 5上单调递增． 5．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1) 解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33＜0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝⎛⎭⎫－33， 33上单调递减， 只需y ′＜0，即a ＞0. 6．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________． 解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数． 答案：(－∞，＋∞)7．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________. 解析：y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0，∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0，∴a <0.答案：(－∞，0)8．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 . 解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.答案：(0，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0. (1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ， ∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0. 解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x . f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )>0得x >1或x <－3；由f ′(x )<0得－3<x <1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2，令f ′(x )＞0，得x ＞x 2或x ＜x 1，令f ′(x )＜0，得x 1＜x ＜x 2.∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0.由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34. 故所求a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.层级二 应试能力达标1.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )解析：选C 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C.3．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.4．设函数F (x )＝f (x )e x是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)解析：选C ∵函数F (x )＝f (x )e x 的导数F ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x <0， ∴函数F (x )＝f (x )e x是定义在R 上的减函数， ∴F (2)<F (0)，即f (2)e 2<f (0)e 0，故有f (2)<e 2f (0)． 同理可得f (2 016)<e 2 016f (0)．故选C.5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.∵对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，∴g ′(x )＞0. ∴g (x )在R 上为增函数．又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，∴x ＞－1时，g (x )＞0.∴由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1.答案：(－1，＋∞)6．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．解析：∵f (x )在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋b x ＋2≤0， ∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，∴g(x)min＝－1，∴b≤－1. 答案：(－∞，－1]7．已知x＞0，证明不等式ln(1＋x)＞x－12x2成立．证明：设f(x)＝ln(1＋x)－x＋12x 2，其定义域为(－1，＋∞)，则f′(x)＝11＋x－1＋x＝x21＋x.当x＞－1时，f′(x)＞0，则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0.∴当x＞0时，不等式ln(1＋x)＞x－12x2成立．8．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．解：(1)已知函数f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．但当x∈(－1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．。

课时跟踪检测（五） 组合与组合数公式层级一 学业水平达标1．C 58＋C 68的值为( )A ．36B ．84C ．88D ．504 解析：选A C 58＋C 68＝C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84.2．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C 选项A 是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C 是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D 是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C ．3．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．4B ．14C ．4或6D ．14或2解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6.4．某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是( )A ．6B ．12C ．24D ．36解析：选B 甲部门分一名电脑编程人员有C 13C 12C 33种分配方案，甲部门分两名电脑编程人员有C 23C 12C 22种分配方案．∴由分类加法计数原理得，共有C 13C 12C 33＋C 23C 12C 22＝12(种)不同的分配方案．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C 25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C 23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C 25·C 23＝30种．故选C ．6．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________． 解析：原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821 ＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315.答案：7 3157．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________． 解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．答案：208．不等式C 2n －n <5的解集为________． 解析：由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，∴n 2－3n －10<0.解得－2<n <5. 由题设条件知n ≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18>3C x 8.解：(1)原方程等价于m (m －1)(m －2)＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，∴4＝m －3，m ＝7.(2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x ≤8，∴x ≤8，且x ∈N *，∵C x －18>3C x8，∴8！(x －1)！(9－x )！>3×8！x ！(8－x )！.即19－x >3x， ∴x >3(9－x )，解得x >274，∴x ＝7,8.∴原不等式的解集为{7,8}．10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．层级二 应试能力达标1．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是( )A ．{6,7,8,9}B ．{0,1,2,3}C ．{n |n ≥6}D ．{7,8,9}解析：选A ∵C 4n >C 6n，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B 由题意，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18种． 3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C 24·C 25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C 45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( ) A ．18对 B ．24对 C ．30对D ．36对解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．5．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.答案：{5}6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种(用数字作答)．解析：两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 14＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)． 答案：107．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.8．已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{0,1,2,3}，f 是从A 到B 的映射． (1)若B 中每一元素都有原象，则不同的映射f 有多少个？ (2)若B 中的元素0无原象，则不同的映射f 有多少个？(3)若f 满足f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＝4，则不同的映射f 又有多少个？解：(1)显然映射f是一一对应的，故不同的映射f共有A44＝24个．(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A中每一个元素的象都有3种可能，只有把A中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f有34＝81个．(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，∴不同的映射有：1＋C24A22＋C24A22＋C24＝31个．。