北京市2019年度房山中学高二年级第一学期期末考试试卷

房山区2019--2020学年度第一学期期末检测试卷高二数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.椭圆1的离心率是（ ）2243x y +=C. D. 1312【答案】D 【解析】【分析】由椭圆方程可知、、 的值，由离心率求出结果．22143x y +=a b c c e a =【详解】解：由椭圆可知，，，，22143x y +=2a =b =1c =离心率，∴12c e a ==故选：．D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出、 的值是解题a c 的关键，属于基础题．2.在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ）A. 一个球 B. 一个圆C. 半圆D. 一个点【答案】B 【解析】【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案．【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．故选：．B 【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题．3.双曲线的渐近线方程为 2214y x -=()A. B. C.D.2y x=±y =12y x=±y x =【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程的渐近线方程为，求出双曲线的渐近线22221x y a b -=b y x a =±方程即可．【详解】解：因为双曲线的标准方程为，则它的渐近线方程为：．2214y x -=2y x =±故选：．A 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题．4.已知向量与向量垂直，则实数x 的值为（ ）()2,3,5a =-()4,,1b x =-A. ﹣1B. 1C. ﹣6D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值．x 【详解】解：向量，与向量垂直，则，()2,3,5a =-()4,,1b x =-0a b =由数量积的坐标公式可得：，24(3)5(1)0x ⨯+-⨯+⨯-=解得，1x =故选：．B 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题．5.已知双曲线1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.若点P 到F 1的距离为15，则点226436x y -=P 到F 2的距离是（ ）A. 31B. 1C. ﹣1D. ﹣1或31【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可．【详解】解：双曲线的焦点为，，为其上一点．2216436x y -=1F 2F P 所以，12216PF PF a -==若点到的距离为，P 1F 115PF =，21516PF ∴-=解得或（舍去），231PF =21PF =-所以点到的距离是：．P 2F 31故选：．A 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于基础题．6.已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的l ()1,2,1a =-α()2,4,2b =-l α位置关系是 ()A. B. C. D. //l αl α⊥l α⊂l α∈【答案】B 【解析】【分析】由已知可求，判断与共线，即可得解．2b a = b al a ⊥【详解】解：直线的方向向量，平面的法向量，l ()1,2,1a =-α()2,4,2b =-，∴2b a = 则与共线，可得：．∴b al a ⊥故选：．B 【点睛】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量与向量的夹角是（ ）AB11C A A. 150° B. 135°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量与向量的夹角．AB11C A 【详解】解：如图，正方体中，，，1111ABCD A B C D -11//AB A B 11//AC A C 的补角即为向量与向量 的夹角．111C A B ∴∠AB11C A 为等腰直角三角形，111C A B ∆，11145C A B ∴∠=︒量与向量的夹角为，∴AB11C A 18045135︒-︒=︒故选：．B 【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题．8.已知抛物线上的点到抛物线焦点的距离，则点到轴的距离等216y x =P 10m =P y d 于（ ）A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出的横坐标，即为到轴的P P y 距离．【详解】解：由抛物线的方程可得准线方程为：，设的横坐标为，由抛物线的4x =-P 0x 性质可得，所以，所以到轴的距离为6，0410x +=06x =P y 故选：．C 【点睛】考查抛物线的定义的理解，属于基础题．9.已知双曲线的离心率，则实数的取值范围是 2214x y k +=2e <k ()A. 或B.C.D.k 0<3k >30k -<<120k -<<83k -<<【答案】C 【解析】【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可．【详解】解：双曲线可知，并且，，双曲线的离心率为：2214x y k +=k 0<2a=c =，e =，12e << ，∴12<<解得，综上．120k -<<120k -<<故选：．C【点睛】本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于基础题．10.如果抛物线的焦点为．点为该抛物线上的动点，又点．那么24y x =F M (1,0)A -的最大值是 ||||MF MA ()A.D. 112【答案】D 【解析】【分析】由题意可得在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到A 准线的距离可得，所以的最大值时，，，三点共线，可得结||||MF MN MA AM =||||MF MA A M F 果．【详解】解：由抛物线的方程可得，焦点，准线方程为：，点在(1,0)F 1x =-(1,0)A -准线上，作准线交于，由抛物线的性质可得，所以，MN ⊥N |||MF MN =||||||||MF MN MA MA =在三角形中，，所以的最大值时，最小，AMN cos MNMAFMA =∠||||MF MA FAM ∠当，，上的共线时，最小，所以这时的最大值为1，A M F FAM ∠||||MF MA 故选：．D【点睛】考查抛物线简单几何性质，属于基础题．11.“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件是 221mx ny +=y ()A. B. C. D.0m n >>0n m >>0mn >0mn <【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，即可得到结论．【详解】解：若方程表示椭圆，则，，m 0n ≠则方程等价为，22111x y m n +=若方程表示焦点在轴上椭圆，y 则等价为，11n m >>解得：，0m n >>故选：．A 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键，属于基础题．12.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的距离相等，则动点Q 的轨迹是（ ）A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分【答案】D 【解析】【分析】由题意画出图形，证明到直线的距离为到点的距离，再由抛物线的定义得动点Q 1AB Q G 的轨迹．Q 【详解】解：如图，在正方体中，有平面，则，1111ABCD A B C D -11A D ⊥11AA B B 111A D AB ⊥又，，平面，平面，11AB A B ⊥1111A B A D A = 1A B ⊂11A BCD 11A D ⊂11A BCD 平面，1AB ∴⊥11A BCD 设，连接，则，垂直为，11A B AB G = QG 1QG AB ⊥G 而与在平面 内，且，G BC 11A BCD G BC ∉又点到直线和直线的距离相等，即点到的距离与到直线的距离相等，Q 1AB BC Q G BC 由抛物线定义可知，动点的轨迹是抛物线的一部分．Q 故选：．D 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛物线定义的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13.设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是_____.【答案】[0，].2π【解析】【分析】当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，当直线与平面垂直时，取最大值θθ，由此能求出角的取值范围．2πθ【详解】解：是直线与平面所成的角，θ当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，θ当直线与平面垂直时，取最大值，θ2π角的取值范围是．∴θ0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14.双曲线1的实轴长为_____.22169y x -=【答案】8.【解析】【分析】直接利用双曲线标准方程，求出实轴长即可．【详解】解：双曲线的实轴长为：．221169y x -=2248a =⨯=故答案为：8．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．15.抛物线的准线方程是_____，焦点坐标是_____.28x y =-【答案】 (1). y ＝2 (2). （0，﹣2）.【解析】【分析】由抛物线的方程直接可得的值及焦点所在轴，求出结果．p 【详解】解：由抛物线可得：，所以，且焦点在轴的负半轴上，28x y =-28p =4p =y 所以焦点即：，准线，0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2-22p y ==故答案分别为：；．2y =()0,2-【点睛】考查抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程，属于基础题．16.以下三个关于圆锥曲线的命题：①设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；A B k ||||PA PB k -=P ②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；22520x x -+=③双曲线与椭圆有相同的焦点．221259x y -=22135x y +=其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）.【答案】②③.【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义知①不正确，（2）解方程知两个正根，一根大于1作双曲线的离心率，一根小于1作椭圆的离心率，判定②正确；，（3）求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，判定③正确．【详解】解：①平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数的点1F 2F 12(||)k k F F <的轨迹叫做双曲线，当时是双曲线的一支，当时，表示射线，①不0||k AB <<||k AB =∴正确；②方程的两根是2和，2可作为双曲线的离心率，可作为椭圆的离心22520x x -+=1212率，②正确；③双曲线与椭圆的焦点都是，有相同的焦点，③正确；221259x y-=22135x y +=()故答案为：②③．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于基础题．17.在长方体中，，则二面角的大小为_____.1111ABCD A B C D -13AB A A ==1A BC A --【答案】45°.【解析】【分析】设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，AD a =D DA x DC y 1DD z 利用向量法能求出二面角的大小．1A BC A --【详解】解：设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空AD a =D DA x DC y 1DD z 间直角坐标系，则平面的法向量，ABC ()0,0,1m =，， ，()1,0,3A a (),3,0B a ()0,3,0C ，0，，，，，(BC a =- 0)1(0BA =3-3)设平面的法向量，1A BC (),,n x y z =则，取，得，1，，1·0·330n BC ax n BA y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩ 1y =(0n = 1)设二面角的大小为，1A BC A --θ则，||cos ||||m n m n θ==．45θ∴=︒二面角的大小为．∴1A BC A --45︒故答案为：45︒【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18.已知椭圆E ：，的右焦点为，过点F 的直线交椭圆E 于22221x y a b +=0a b >>()3,0F A 、B 两点．若AB 的中点坐标为，则E 的方程为__________.()1,1-【答案】221189x y +=【解析】【分析】设，，采用“点差法”，得，再根据直线过点，()11,A x y ()22,B x y 212212y y b x x a -=-()3,0F 和AB 的中点坐标，得，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得，()1,1-121212y y x x -=-29b =，即可得E 的方程.218a =【详解】已知，设，，则①，②，3c =()11,A x y ()22,B x y 2211221x y a b +=2222221x y a b +=已知AB 的中点坐标为，，()121,1 2x x -+=，则122y y +=-①－②得，()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=∴， ()222121222212121y y x x b b b x x a y y a a -+=-⋅=-⨯-=-+∵，∴，即，1212011312y y x x -+==--2212b a =222a b =又，22229a b c b =+=+∴，，即E 的方程为.29b =218a =221189x y +=【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.三、解答题：本大题共4小题，每题15分，共60分.19.如图，在直三棱柱中，，，，，点111ABC A B C -3AC =4BC =5AB =14AA =是的中点．D AB （1）求异面直线与所成的角；AC 1BC （2）求证：平面．1//AC 1CDB【答案】（1）（2）证明见解析2π【解析】【分析】（1）因为，，，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，3AC =4BC =5AB =ABC ∆．因为三棱柱为直三棱柱，可得平面，建立空间直AC BC ⊥111ABC A B C -1C C ⊥ABC 角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出．【详解】解：（1）因为，，，3AC =4BC =5AB =所以，所以是直角三角形，222AC BC AB +=ABC ∆所以，所以2ACB π=AC BC⊥因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，111ABC A B C -1C C ⊥ABC 所以，1C C AC ⊥1C C BC⊥以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，C CA CB 1CC x y z 则，0，，，0，，，4，，，0，(0C 0)(3A 0)(0B 0)1(0C 4)所以直线的方向向量为，直线的方向向量为，AC (3,0,0)CA =1BC 1(0,4,4)BC =-设异面直线与所成的角为，AC 1BC θ因为，10CA BC = 所以，cos 0θ=所以异面直线与所成的角为．AC 1BC 2π（2）由（1）可知，，4，，则，3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭1(0B 4)3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1(0,4,4)CB =设平面的法向量为，则，所以1CDB (,,)n x y z = 1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令，则，，所以4x =3y =-3z =(4,3,3)n =-直线的方向向量为，1AC 1(3,0,4)AC =-因为，平面， 所以平面．10AC n =1AC ⊄1CDB 1//AC 1CDB 【点睛】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右xOy 1F 2F 2222:1(0)x y E a b a b +=>>焦点，顶点的坐标为，且，点是椭圆上一点，直线交B (0,)b 2||BF =41,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭E 2CF 椭圆于点．A （1）求椭圆的方程；E（2）求的面积．ABC ∆【答案】（1）（2）2212x y +=43【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程；C b （2）由（1）可知，求得直线的方程，代入椭圆方程，求得点坐标，求得，2CF A ||AB 即可求得的面积．ABC ∆【详解】解：（1）因为顶点的坐标为，，B (0,)b 2||BF =所以，2||BF a ===因为点在椭圆上，所以，解得，41,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭22161991a b +=21b =故所求椭圆的方程为.2212x y +=（2）因为点的坐标为，点的坐标为，C 41,33⎛⎫⎪⎝⎭2F (1,0)所以直线的斜率，所以直线的方程为，2CF 131413k ==-2CF 1y x =-由得，，所以或，221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩2340x x -=01x y =⎧⎨=-⎩4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点的坐标为，所以，A (0,1)-||2AB =所以．1442233ABC S ∆=⨯⨯=【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21.已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，F 2:2(0)C y px p =>F A B为坐标原点．O （1）当抛物线过点时，求抛物线的方程；C (1,2)M -C （2）证明：是定值．OA OB【答案】（1）y 2＝4x （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程，即可求得的值，求得抛物线方程；M p （2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理l 及向量的坐标运算，即可证明是定值．OA OB【详解】解：（1）因为抛物线过点，2:2(0)C y px p =>(1,2)M -所以，，42p =2p =所以抛物线的方程；C 24y x =（2）证明：当直线斜率存在时，，设直线的方程为，则l (,0)2p F l ()2py k x =-，2((1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩将（1）代入（2）得，，化简得，222kp kx px⎛⎫-= ⎪⎝⎭222(2)04k p kx k p p x -++=设，的坐标分别为，，则，A B ()11,x y ()22,x y 2124p x x =因为点，都在抛物线上，所以，，A B 22y px =2112y px =2222y px =所以，所以，22212122y y p x x =22412y y p =因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，A B x 120y y <212y y p =-所以，，所以，是定值．11(,)OA x y = 22(,)OB x y = 2121234OA OB x x y y p =+=-当直线无斜率时，，设，的坐标分别为，，，，则l (,0)2p F A B 1(x 1)y 2(x 2)y ，代入抛物线方程得，，，122px x ==22y px =221y p =222y p =所以，因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，22412y y p =A B x 120y y <212y y p =-所以，，所以，是定值．11(,)OA x y = 22(,)OB x y = 2121234OA OB x x y y p =+=- 综上，，是定值．234p OA OB =-【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查分类讨论思想，计算能力，属于中档题．22.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝PA ＝1，ADF是PB 中点，E 为BC 上一点.=（1）求证：AF ⊥平面PBC ；（2）当BE 为何值时，二面角C ﹣PE ﹣D 为45°.【答案】（1）证明见解析（2）BE=【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向A AD x AB y AP z 量法能证明平面．AF ⊥PBC （2）设，，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量BE a =(),1,0E a PDE PCE 法能求出当为．BE =C PED --45︒【详解】解：（1）证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间A AD x AB y AP z直角坐标系，，，是中点，1AB PA ==AD =F PB ，0，，，0，，，1，，1，，，(0A ∴0)(0P 1)(0B 0)C 0))D，，，，，(0,1,1)PB =- 1)PC =- (0F 1212，，，(0AF = 121)2，，0AF PB = 0AF PC =，，AF PB ∴⊥AF PC ⊥平面．AF ∴⊥PBC （2）设，，1，，，，BE a =(E a ∴0)(DE a =1)PD =-设平面的法向量，PDE (,,)n x y z =则，·(0·0n DE a x y n PD z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩取，得，1x =(1n =a -平面的法向量为，PCE 11(0,,22AF = 二面角为，C PED --45︒，cos ,n AF ∴<解得a =当为．∴BE =C PED --45︒【点睛】45本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为的线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．。

房山区一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题A．B． C. D3．已知a∈R，“函数y=log a x在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3x+a﹣1有零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题5．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞06．如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（）A．i≥7？B．i＞15？C．i≥15？D．i＞31？7．若实数x，y满足，则（x﹣3）2+y2的最小值是（）A．B．8 C．20 D．28．运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（）A．y=x+2 B．y=C．y=3x D．y=3x39．在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O，A，B三点能构成三角形，则（）A． B． C． D．10．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa211．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3 B．C．D．12．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=113．如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．14．若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A ．（﹣∞，）B．（﹣，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣） 15．函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）A ．（0，1）B ．（0，3）C ．（1，0）D ．（3，0）二、填空题16．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 17．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ． 18．若log 2（2m ﹣3）=0，则e lnm ﹣1= ．19．设f （x ）是（x 2+）6展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题20．已知数列{}n a 的前项和公式为2230n S n n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求n S 的最小值及对应的值.21．（本小题满分12分）1111]已知函数()()1ln 0f x a x a a x=+≠∈R ，．（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数的取值范围．22．已知f （x ）=x 3+3ax 2+3bx+c 在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行． （1）求函数的单调区间；（2）若x ∈[1，3]时，f （x ）＞1﹣4c 2恒成立，求实数c 的取值范围．23．如图，正方形ABCD 中，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E ． （Ⅰ）求证：AE=EB ；（Ⅱ）若EF •FC=，求正方形ABCD 的面积．24．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？25．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．房山区一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：由z（1+i）=2，得，∴复数z的虚部是﹣1．故选：B．考查方向本题考查复数代数形式的乘除运算.解题思路把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．易错点把﹣i作为虚部.2．【答案】B【解析】考点：正弦定理的应用.3．【答案】A【解析】解：若函数y=log a x在（0，+∞）上为减函数，则0＜a＜1，若函数y=3x+a﹣1有零点，则1﹣a＞0，解得：a＜1，故“函数y=log a x在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3x+a﹣1有零点”的充分不必要条件，故选：A．4．【答案】D【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误，C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．5．【答案】A【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，∴a＜0，且△=b2﹣4ac＜0，综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．故选A．6．【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=2，i=0不满足条件，S=5，i=1不满足条件，S=8，i=3不满足条件，S=11，i=7不满足条件，S=14，i=15由题意，此时退出循环，输出S的值即为14，结合选项可知判断框内应填的条件是：i≥15？故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7．【答案】A【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由图象得P（3，0）到平面区域的最短距离d min=，∴（x﹣3）2+y2的最小值是：．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．8．【答案】C【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序运行后输出的是实数对（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；这组数对对应的点在函数y=3x的图象上．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．9．【答案】B【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若O，A，B三点能构成三角形，则O，A，B三点不共线。

房山区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2项的系数是（ ） A ．﹣13 B ．6 C ．79 D ．372． 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A ．y=x+1 B ．y=﹣x 2C ．D ．y=﹣x|x|3． 设集合,,则( )A BCD4． 满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45． 执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．2016B ．2C ．D ．﹣16． 执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．7． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞ 8． 与函数 y=x 有相同的图象的函数是（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ） A．B．C．或D．或10．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）A ．B ．C ．D ．11．函数的定义域是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（2，+∞）12．如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个二、填空题13．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．14．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 15．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n 项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是．17．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}22sincos []1x x +=的实数解为6π-；③若3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为23122n n -；④当0100x ≤≤时，函数{}22()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13xg x x x =⋅--的 零点个数为n ，则100m n +=.其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

2019北京市房山区高二（上）期末数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是（ ）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（4，0）D．（﹣4，0）2．复数的共轭复数是（ ）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i3．已知双曲线＝1的离心率为，则m＝（ ）A．4 B．2 C．D．14．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（﹣）等于（ ）A．B．C．D．5．若＝（4，2，3）是直线l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）A．垂直B．平行C．直线l在平面α内D．相交但不垂直6．“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（ ）A．平面D1A1P⊥平面A1APB．∠APD1的取值范围是（0，）C．三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值D．DC1⊥D1P8．设F是椭圆＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点P i（i＝1，2，3，…），|P1F|，|P2F|，|P3F|，…组成公差为d（d＞0）的等差数列，则d的最大值为（ ）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知a，b∈R，i是虚数单位，（a+bi）i＝2+3i，则a＝ ，b＝ ．10．在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），M（﹣1，1，2），则线段MN的长度为 ．11．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则满足条件的一个双曲线的方程为 ．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则等于 ．13．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为e，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则满足条件的一个e的值为 ．14．已知曲线W的方程为|y|+x2﹣5x＝0．①请写出曲线W的一条对称轴方程 ；②曲线W上的点的横坐标的取值范围是 ．三、解答题共6题，共80分。

2019-2020学年房山区高二上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．椭圆2243x y +=1的离心率是（）A ．32B ．22C ．13D ．122．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）A ．一个球B ．一个圆C ．半圆D ．一个点3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为()A ．2y x=±B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±4．已知向量()2,3,5a =- 与向量()4,,1b x =-垂直，则实数x 的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣6D ．65．已知双曲线226436x y -=1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.若点P 到F 1的距离为15，则点P 到F 2的距离是（）A ．31B ．1C ．﹣1D ．﹣1或316．已知直线l 的方向向量()1,2,1a =- ，平面α的法向量()2,4,2b =-，则直线l 与平面α的位置关系是()A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．l α∈7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量AB与向量11C A 的夹角是（）A ．150°B ．135°C ．45°D ．30°8．已知抛物线216y x =上的点P 到抛物线焦点的距离10m =，则点P 到y 轴的距离d 等于（）A ．12B ．9C ．6D ．39．已知双曲线2214x y k+=的离心率2e <，则实数k 的取值范围是()A ．k 0<或3k >B ．30k -<<C ．120k -<<D ．83k -<<10．如果抛物线24y x =的焦点为F ．点M 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -．那么||||MF MA 的最大值是()A ．12B ．2C ．2D ．111．“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是()A ．0m n >>B ．0n m >>C ．0mn >D ．0mn <12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的距离相等，则动点Q 的轨迹是（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分二、填空题13．设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是_____.14．双曲线22169y x -=1的实轴长为_____.15．抛物线28x y =-的准线方程是_____，焦点坐标是_____.16．以下三个关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点．其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB A A ==，则二面角1A BC A --的大小为_____.18．已知椭圆E ：22221x y a b+=，0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为__________.三、解答题19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 是AB 的中点．（1）求异面直线AC 与1BC 所成的角；（2）求证：1//AC 平面1CDB ．20．在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，且2||BF =，点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆E 上一点，直线2CF 交椭圆于点A ．（1）求椭圆E 的方程；（2）求ABC ∆的面积．21．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）当抛物线C 过点(1,2)M -时，求抛物线C 的方程；（2）证明：OA OB是定值．22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝PA ＝1，AD =F 是PB 中点，E 为BC 上一点.（1）求证：AF⊥平面PBC；（2）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°.数学试题参考答案1-10.DBABA BBCCD11-12.AD 13.[0，2π]14.815.y ＝2（0，﹣2）16.②③17.45°18.221189x y +=19.解：（1）因为3AC =，4BC =，5AB =，所以222AC BC AB +=，所以ABC ∆是直角三角形，所以2ACB π=，所以AC BC ⊥因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AC ⊥，1C C BC⊥以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0C ，0，4)所以直线AC 的方向向量为(3,0,0)CA =，直线1BC 的方向向量为1(0,4,4)BC =- ，设异面直线AC 与1BC 所成的角为θ，因为10CA BC = ，所以cos 0θ=，所以异面直线AC 与1BC 所成的角为2π．（2）由（1）可知3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(0B ，4，4)，则3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,4,4)CB = 设平面1CDB 的法向量为(,,)n x y z = ，则1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令4x =，则3y =-，3z =，所以(4,3,3)n =-直线1AC 的方向向量为1(3,0,4)AC =-，因为10AC n =，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB ．20.解：（1）因为顶点B 的坐标为(0,)b ，2||2BF =，所以222||2BF b c a =+==，因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.（2）因为点C 的坐标为41,33⎛⎫⎪⎝⎭，点2F 的坐标为(1,0)，所以直线2CF 的斜率131413k ==-，所以直线2CF 的方程为1y x =-，由221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩得，2340x x -=，所以01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点A 的坐标为(0,1)-，所以||2AB =，所以1442233ABC S ∆=⨯⨯=．21.解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)M -，所以42p =，2p =，所以抛物线C 的方程24y x =；（2）证明：当直线l 斜率存在时，(,0)2p F ，设直线l 的方程为(2py k x =-，则2((1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩，将（1）代入（2）得，222kp kx px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得222(2)04k p kx k p p x -++=，设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则2124p x x =，因为点A ，B 都在抛物线22y px =上，所以2112y px =，2222y px =，所以22212122y y p x x =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y = ，22(,)OB x y = ，所以2121234OA OB x x y y p =+=- ，是定值．当直线l 无斜率时，(,0)2pF ，设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则122px x ==，代入抛物线方程22y px =得，221y p =，222y p =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y = ，22(,)OB x y = ，所以2121234OA OB x x y y p =+=- ，是定值．综上，234p OA OB =- ，是定值．22.解：（1）证明：以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，1AB PA == ，AD =，F 是PB 中点，(0A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(0B ，1，0)，C 1，0)，)D ，(0,1,1)PB =- ，1)PC =- ，(0F ，12，12，(0AF = ，12，1)2，0AF PB = ，0AF PC =，AF PB ∴⊥，AF PC ⊥，AF ∴⊥平面PBC ．（2）设BE a =，(E a ∴，1，0)，(DE a =- ，1)PD =-，设平面PDE 的法向量(,,)n x y z =，则·(0·0n DE a x y n PD z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ ，取1x =，得(1n =a -，平面PCE 的法向量为11(0,,)22AF = ，二面角C PE D --为45︒，cos ,n AF ∴<>=，解得536a =，∴当6BE =时，二面角C PE D --为45︒．。

绝密★启用前北京市房山区2019-2020学年高二上学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．椭圆2243x y +=1的离心率是（ ）A B C ．13D ．122．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） A ．一个球B ．一个圆C ．半圆D ．一个点3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±4．已知向量()2,3,5a =-与向量()4,,1b x =-垂直，则实数x 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣6D ．65．已知双曲线226436x y -=1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.若点P 到F 1的距离为15，则点P 到F 2的距离是（ ） A ．31B ．1C ．﹣1D ．﹣1或316．已知直线l 的方向向量()1,2,1a =-，平面α的法向量()2,4,2b =-，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．l α∈7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量AB 与向量11C A 的夹角是（ ） A ．150°B ．135°C ．45°D ．30°8．已知抛物线216y x =上的点P 到抛物线焦点的距离10m =，则点P 到y 轴的距离d 等于（ ） A ．12B ．9C ．6D ．39．已知双曲线2214x y k+=的离心率2e <，则实数k 的取值范围是( )A ．k 0<或3k >B ．30k -<<C ．120k -<<D ．83k -<<10．如果抛物线24y x =的焦点为F ．点M 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -．那么||||MF MA 的最大值是( ) A ．12B ．2C ．2D ．111．“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( ) A ．0m n >>B ．0n m >>C ．0mn >D ．0mn <12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的距离相等，则动点Q 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是_____.14．双曲线22169y x -=1的实轴长为_____.15．抛物线28x y 的准线方程是_____，焦点坐标是_____.…………○…………装学校:___________姓…………○…………装①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点．其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB A A ==，则二面角1A BC A --的大小为_____.18．已知椭圆E ：22221x y a b+=，0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为__________. 三、解答题19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 是AB 的中点．（1）求异面直线AC 与1BC 所成的角； （2）求证：1//AC 平面1CDB ．20．在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，且2||BF =，点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆E 上一点，直线2CF………订…………○※线※※内※※答※※题※※………订…………○（1）求椭圆E 的方程； （2）求ABC ∆的面积．21．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）当抛物线C 过点(1,2)M -时，求抛物线C 的方程； （2）证明：OA OB 是定值．22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝P A ＝1，AD =F 是PB 中点，E 为BC 上一点.（1）求证：AF ⊥平面PBC ；（2）当BE 为何值时，二面角C ﹣PE ﹣D 为45°.参考答案1．D 【解析】 【分析】由椭圆22143x y +=方程可知a 、b 、c 的值，由离心率c e a =求出结果．【详解】解：由椭圆22143x y +=可知，2a =，b =1c =，∴离心率12c e a ==， 故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a 、c 的值是解题的关键，属于基础题． 2．B 【解析】 【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案． 【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆． 故选：B ． 【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的标准方程22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，求出双曲线的渐近线方程即可． 【详解】解：因为双曲线的标准方程为2214y x -=，则它的渐近线方程为：2y x =±．故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得x 的值． 【详解】解：向量()2,3,5a =-，与向量()4,,1b x =-垂直，则0a b =， 由数量积的坐标公式可得：24(3)5(1)0x ⨯+-⨯+⨯-=， 解得1x =， 故选：B ． 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题． 5．A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可． 【详解】解：双曲线2216436x y -=的焦点为1F ，2F ，P 为其上一点．所以12216PF PF a -==， 若点P 到1F 的距离为115PF =，2解得231PF =或21PF =-（舍去）， 所以点P 到2F 的距离是：31． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于基础题． 6．B 【解析】 【分析】由已知可求2b a =，判断b 与a 共线，即可得解l a ⊥． 【详解】 解：直线l 的方向向量()1,2,1a =-，平面α的法向量()2,4,2b =-，∴2b a =，∴则b 与a 共线，可得：l a ⊥．故选：B ． 【点睛】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7．B 【解析】 【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量AB 与向量11C A 的夹角． 【详解】解：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，11//AC A C ，111C A B ∴∠的补角即为向量AB 与向量11C A 的夹角．111C A B ∆为等腰直角三角形，111∴量AB 与向量11C A 的夹角为18045135︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题． 8．C 【解析】 【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出P 的横坐标，即为P 到y 轴的距离． 【详解】解：由抛物线的方程可得准线方程为：4x =-，设P 的横坐标为0x ，由抛物线的性质可得0410x +=，所以06x =，所以P 到y 轴的距离为6，故选：C ． 【点睛】考查抛物线的定义的理解，属于基础题． 9．C 【解析】 【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可． 【详解】解：双曲线2214x y k+=可知k 0<，并且2a =，c 双曲线的离心率为：e =，12e <<，∴12<，解得120k -<<，综上120k -<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于基础题． 10．D 【解析】 【分析】由题意可得A 在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得||||MF MNMA AM=，所以||||MF MA 的最大值时，A ，M ，F 三点共线，可得结果．【详解】解：由抛物线的方程可得，焦点(1,0)F ，准线方程为：1x =-，(1,0)A -点在准线上， 作MN ⊥准线交于N ，由抛物线的性质可得|||MF MN =，所以||||||||MF MN MA MA =， 在三角形AMN 中，cos MNMAF MA=∠，所以||||MF MA 的最大值时，FAM ∠最小，当A ，M ，F 上的共线时，FAM ∠最小，所以这时||||MF MA 的最大值为1，故选：D ．【点睛】考查抛物线简单几何性质，属于基础题． 11．A【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，即可得到结论． 【详解】解：若方程表示椭圆，则m ，0n ≠，则方程等价为22111x y m n+=， 若方程表示焦点在y 轴上椭圆， 则等价为110n m>>， 解得：0m n >>， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键，属于基础题． 12．D 【解析】 【分析】由题意画出图形，证明Q 到直线1AB 的距离为Q 到G 点的距离，再由抛物线的定义得动点Q 的轨迹．【详解】 解：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，有11A D ⊥平面11AA B B ，则111A D AB ⊥， 又11AB A B ⊥，1111A BA D A =，1AB ⊂平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ，1AB ∴⊥平面11A BCD ，设11A BAB G =，连接QG ，则1QG AB ⊥，垂直为G ，而G 与BC 在平面11A BCD 内，且G BC ∉，又点Q 到直线1AB 和直线BC 的距离相等，即点Q 到G 的距离与到直线BC 的距离相等， 由抛物线定义可知，动点Q 的轨迹是抛物线的一部分． 故选：D ． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛物线定义的应用，属于中档题． 13．[0，2π]. 【解析】 【分析】当直线在平面内或直线平行于平面时，θ取最小值0，当直线与平面垂直时，θ取最大值2π，由此能求出角θ的取值范围． 【详解】解：θ是直线与平面所成的角，当直线在平面内或直线平行于平面时，θ取最小值0，当直线与平面垂直时，θ取最大值2π， ∴角θ的取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 14．8. 【解析】 【分析】直接利用双曲线标准方程，求出实轴长即可． 【详解】解：双曲线221169y x -=的实轴长为：2248a =⨯=．故答案为：8． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 15．y ＝2 （0，﹣2）. 【解析】 【分析】由抛物线的方程直接可得p 的值及焦点所在轴，求出结果． 【详解】 解：由抛物线28xy 可得：28p =，所以4p =，且焦点在y 轴的负半轴上，所以焦点0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭即：()0,2-，准线22p y ==， 故答案分别为：2y =；()0,2-． 【点睛】考查抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程，属于基础题．16．②③. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义知①不正确，（2）解方程知两个正根，一根大于1作双曲线的离心率，一根小于1作椭圆的离心率，判定②正确；，（3）求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，判定③正确． 【详解】解：①平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数12(||)k k F F <的点的轨迹叫做双曲线，当0||k AB <<时是双曲线的一支，当||k AB =时，表示射线，∴①不正确； ②方程22520x x -+=的两根是2和12，2可作为双曲线的离心率，12可作为椭圆的离心率，②正确；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=的焦点都是()，有相同的焦点，③正确；故答案为：②③． 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于基础题． 17．45°. 【解析】 【分析】设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1A BC A --的大小． 【详解】解：设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则平面ABC 的法向量()0,0,1m =，()1,0,3A a ， (),3,0B a ， ()0,3,0C，(BC a =-，0，0)，1(0BA =，3-，3)，设平面1A BC 的法向量(),,n x y z =， 则1·0·330n BC ax n BA y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1y =，得(0n =，1，1)，设二面角1A BC A --的大小为θ， 则||2cos 2||||m n m n θ==， 45θ∴=︒．∴二面角1A BC A --的大小为45︒．故答案为：45︒【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18．221189x y +=【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，采用“点差法”，得212212y y b x x a-=-，再根据直线过点()3,0F ，和AB 的中点坐标()1,1-，得121212y y x x -=-，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得29b =，218a =，即可得E 的方程. 【详解】已知3c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，已知AB 的中点坐标为()121,1?2x x -+=，则，122y y +=-， ①－②得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()222121222212121y y x x b b b x x a y y a a-+=-⋅=-⨯-=-+， ∵1212011312y y x x -+==--，∴2212b a =，即222a b =， 又22229a bc b =+=+，∴29b =，218a =，即E 的方程为221189x y +=.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解. 19．（1）2π（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）因为3AC =，4BC =，5AB =，利用勾股定理的逆定理可得ABC ∆是直角三角形，AC BC ⊥．因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，可得1C C ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出． 【详解】解：（1）因为3AC =，4BC =，5AB =， 所以222AC BC AB +=，所以ABC ∆是直角三角形， 所以2ACB π=，所以AC BC ⊥因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AC ⊥，1C C BC ⊥以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0C ，0，0)，(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0C ，0，4)所以直线AC 的方向向量为(3,0,0)CA =，直线1BC 的方向向量为1(0,4,4)BC =-， 设异面直线AC 与1BC 所成的角为θ， 因为10CA BC =， 所以cos 0θ=，所以异面直线AC 与1BC 所成的角为2π． （2）由（1）可知3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(0B ，4，4)，则3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,4,4)CB =设平面1CDB 的法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令4x =，则3y =-，3z =，所以(4,3,3)n =- 直线1AC 的方向向量为1(3,0,4)AC =-，因为10AC n =，1AC ⊄平面1CDB ， 所以1//AC 平面1CDB ．【点睛】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（1）2212x y +=（2）43【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，将C 代入椭圆方程，即可求得b 的值，求得椭圆方程；（2）由（1）可知，求得直线2CF 的方程，代入椭圆方程，求得A 点坐标，求得||AB ，即可求得ABC ∆的面积． 【详解】解：（1）因为顶点B 的坐标为(0,)b，2||BF =所以2||BF a ===因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.（2）因为点C 的坐标为41,33⎛⎫⎪⎝⎭，点2F 的坐标为(1,0)， 所以直线2CF 的斜率131413k ==-，所以直线2CF 的方程为1y x =-，由221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩得，2340x x -=，所以01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点A 的坐标为(0,1)-，所以||2AB =， 所以1442233ABC S ∆=⨯⨯=．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（1）y 2＝4x （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将M 点代入抛物线方程，即可求得p 的值，求得抛物线方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，即可证明OA OB 是定值． 【详解】解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)M -， 所以42p =，2p =， 所以抛物线C 的方程24y x =； （2）证明：当直线l 斜率存在时，(,0)2p F ，设直线l 的方程为()2py k x =-，则2()(1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩， 将（1）代入（2）得，222kp kx px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得222(2)04k p kx k p p x -++=， 设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则2124p x x =，因为点A ，B 都在抛物线22y px =上，所以2112y px =，2222y px =，所以22212122y y p x x =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，所以2121234OA OB x x y y p =+=-，是定值．当直线l 无斜率时，(,0)2p F ，设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则122p x x ==，代入抛物线方程22y px =得，221y p =，222y p =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，所以2121234OA OB x x y y p =+=-，是定值．综上，234p OA OB =-，是定值．【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查分类讨论思想，计算能力，属于中档题． 22．（1）证明见解析（2）BE = 【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF ⊥平面PBC ．（2）设BE a =，(),1,0E a ，求出平面PDE 的法向量和平面PCE 的法向量，利用向量法能求出当BE =C PE D --为45︒． 【详解】解：（1）证明：以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，1AB PA ==，AD =，F 是PB 中点，(0A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(0B ，1，0)，C 1，0)，)D ，(0,1,1)PB =-，(3,1,1)PC =-，(0F ，12，1)2， (0AF =，12，1)2， 0AF PB =，0AF PC =，AF PB ∴⊥，AF PC ⊥， AF ∴⊥平面PBC ．（2）设BE a =，(E a ∴，1，0)，(DE a =，(3,0,1)PD =-， 设平面PDE 的法向量(,,)n x y z =，则·(0·30n DE a x y n PD x z ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，得(1n =a ， 平面PCE 的法向量为11(0,,)22AF =，二面角C PE D --为45︒，2cos ,223n AF a ∴<>==-， 解得a =∴当BE 时，二面角C PE D --为45︒．【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为45︒的线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．。

北京市房山区19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.椭圆x225+y216=1的离心率为()A. 35B. 45C. 34D. 16252.到点(−1,0)的距离与到直线x=3的距离相等的点的轨迹方程为()A. x2=−4y+4B. x2=−8y+8C. y2=−4x+4D. y2=−8x+83.双曲线x2−y24=1的渐近线方程为()A. y=12x B. y=±2x C. y=2x D. y=−2x4.已知向量a⃗=(1,1，3)，b⃗ =(−1,1，2)，则a⃗⋅b⃗ 的值是()A. 5B. 6C. 7D. 85.双曲线x216−y29=1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是172，则P到F2的距离是()A. 332B. 12C. 12或332D. 12或3726.设a⃗=(3,−2,−1)是直线l的方向向量，n⃗=(−1,−2,1)是平面α的法向量，则直线l与平面α()A. 垂直B. 平行或在平面α内C. 平行D. 在平面α内7.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(6,3)，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8.设抛物线y2=4x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为()A. 3B. 4C. 5D. 69.方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A. −3<m<2B. −1<m<3C. −3<m<4D. −3<m<010.已知点A(3,4)，F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，则|MA|+|MF|的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 611.“”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件12.正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为平面BB1C1C内一动点，且P到BC的距离与P到C1D1的距离之比为2，则点P的轨迹为()A. 圆B. 双曲线C. 抛物线D. 椭圆二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.直线PQ与平面a所成的角为θ，则θ的取值范围为______ ．14.双曲线x22−y22=1的实轴长为______ ．15.已知抛物线x2=8y的准线方程为______；焦点坐标为______．16.设点A，B的坐标分别为(−a,0)，(a,0).直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积为k.则下列说法正确的是______(1)当k=b2a2时，点M的轨迹是双曲线．(其中a，b∈R+)(2)当k=−b2a2时，点M的轨迹是部分椭圆．(其中a，b∈R+)(3)在(1)条件下，点p(x0,y0)(x0<0)是曲线上的点F1(−√a2+b2,0)，F2(√a2+b2,0)，且|PF1|=1 4|PF2|，则(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围(1,53](4)在(2)的条件下，过点F1(−√a2−b2,0)，F2(√a2−b2,0).满足MF1⋅MF2=0的点M总在曲线的内部，则(2)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是(√22,1)．17.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角A−A1B−D的余弦值为________．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0)，且点(−3,3√22)在椭圆C上，则椭圆C的标准方程为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=2，∠ACB=90∘，M是A1B1的中点．(1)求证C1M⊥平面ABB1A1；(2)求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．20.如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A(−2,0)，且点(−1,32)在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k>0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；(3)若F1C⊥AB，求k的值．21.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，交y轴于点C，O为坐标原点．当∠OFA=120°时，|AF|=4．(1)求抛物线E的方程；(2)若|AC|=4|BC|，求直线l的方程．22.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．(1)求证：SC⊥平面AMN；(2)求二面角D−AC−M的余弦值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由椭圆x225+y216=1的方程可知，a=5，b=4，c=3，∴离心率e=ca=35，故选：A．由椭圆x225+y216=1的方程可知，a，b，c的值，由离心率e=ca求出结果．本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a、c的值是解题的关键．2.答案：D解析：解：由题意设动点P(x,y)，因为动点到定点点(−1,0)的距离与到直线x=3的距离相等，所以√(x+1)2+y2=|3−x|⇒两边平方化简为：y2=−8x+8故选D由题意动点到定点点(−1,0)的距离与到直线x=3的距离相等，利用直接法，设出动点为P的坐标(x,y)，利用条件建立方程并化简即可．此题重点考查了利用直接法求动点的轨迹方程，还考查了根式的化简方法，及学生对于轨迹方程的定义的准确理解和计算能力．3.答案：B解析：解：因为双曲线x2−y24=1，所以双曲线x2−y24=1的渐近线方程为x2−y24=0，即y=±2x．故选B．直接利用双曲线的渐近线方程的求法，求出双曲线的渐近线方程即可．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力．4.答案：B解析：解：∵a⃗=(1,1，3)，b⃗ =(−1,1，2)，∴a⃗⋅b⃗ =1×(−1)+1×1+3×2=6．故选B．利用向量的坐标表示出两个向量的数量积．本题考查了空间向量的数量积的坐标表示，属于基础题．5.答案：A解析：解：双曲线x216−y29=1的a=4，b=3，c=√16+9=5，设|PF1|=m，|PF2|=n，若P为左支上一点，即有|PF1|≥c−a，即m≥1，若P为右支上一点，即有|PF1|≥c+a，即m≥9，双曲线上一点P到F1的距离是172，可得P为左支上一点，由双曲线的定义可得n−m=2a=8，则n=8+m=332，故选：A．求得双曲线的a，b，c，设|PF1|=m，|PF2|=n，讨论可得P在双曲线的左支上，再由双曲线的定义，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查分类讨论思想方法，以及定义法的运用、运算能力，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查了空间向量在立体几何中的应用．属于基础题．根据a⃗·n⃗=0可知a⃗⊥n⃗，从而得出结论．解：∵a⃗·n⃗=3×(−1)+(−2)×(−2)+(−1)×1=0．∴a⃗⊥n⃗．∴l//α或l⊂α．故选B．7.答案：D解析：本题主要考查了向量的夹角，考查学生的计算能力，属于基础题．利用夹角公式直接求解．解：∵向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(6,3)，，∴﹤a⃗,b⃗ ﹥=90∘，故选D．8.答案：C解析：解：由于抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是4，故点P的横坐标为4．再由抛物线y2=4x的准线为x=−1，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是4−(−1)=5，故选：C．由题意可得点P的横坐标为4，由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x=−1的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．9.答案：A解析：解：方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线，可得(m−2)(m+3)<0，解得m∈(−3,2)．故选：A．直接利用双曲线的简单性质，考查不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.答案：C解析：本题考查抛物线的定义和性质的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答的关键利用是抛物线定义，属于简单题．求出焦点坐标和准线方程，设点P是点M在准线上的投影，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，则当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．解：由题意得抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程为x=−2，设点M到准线的距离为d=|PM|，其中点P是点M在准线上的投影，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值，最小值为|AP|=3−(−2)=5．故选C．11.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及椭圆的方程，属于中档题．利用充分条件和必要条件的定义和椭圆方程判断即可．解：若方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆，则{5−m>0 m+3>05−m≠m+3，所以{m<5m>−3m≠1,即−3<m<5且m≠1，所以“−3<m<5”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．12.答案：D解析：解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离的2倍，即离心率为12，所以点P的轨迹是椭圆．故选：D．由直线C1D1垂直平面BB1C1C，分析出|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，则动点P满足抛物线定义，问题解决．本题考查椭圆定义及线面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.答案：[0,π2]解析：解：直线PQ与平面a所成的角为θ，当直线PQ⊥平面α时，θ取最大值π2，当直线PQ⊂平面α或直线PQ//平面α时，θ取最小值0．∴θ的取值范围为[0,π2].故答案为：[0,π2].当直线PQ⊥平面α时，θ取最大值π2，当直线PQ⊂平面α或直线PQ//平面α时，θ取最小值0．本题考查直线与平面所成角的大小的取值范围的求法，解题时要认真审题，是基础题．14.答案：2√2解析：解：双曲线x22−y22=1，所以a=√2，双曲线x22−y22=1的实轴长为：2√2．故答案为：2√2．直接利用双曲线的性质即可．本题考查双曲线的简单性质，双曲线的标准方程的求法，考查计算能力．15.答案：y=−2；(0,2)解析：解：抛物线x2=8y中p=4，则抛物线的准线方程为y=−2，焦点坐标为(0,2)，故答案为：y=−2，(0,2)根据抛物线的简单性质即可求出．本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题16.答案：(2)(3)解析：解：设M(x,y)，由A，B的坐标分别为(−a,0)，(a,0)，则k AM=yx+a (x≠−a)，k BM=yx−a(x≠a)，由k AM⋅k BM=k，得：yx+a ⋅yx−a=k，即kx2−y2=ka2①.(1)若k=b2a2(a,b∈R+)，则方程①化为x2a2−y2b2=1，点M的轨迹是双曲线除去两个顶点，∴命题(1)不正确；(2)若k=−b2a2(a,b∈R+)，则方程①化为x2a2+y2b2=1，点M的轨迹是椭圆除去长轴上两个顶点，∴命题(2)正确；(3)在(1)条件下，点p(x0,y0)(x0<0)是曲线上的点，说明点P在双曲线x2a2−y2b2=1的左支上，F1，F2是双曲线的左右焦点，则由|PF1|=14|PF2|及|PF2|−|PF1|=2a求得|PF1|=23a,|PF2|=83a，又|PF1|+|PF2|=23a+83a≥2c，∴ca≤53，又e>1，∴(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围(1,53].∴命题(3)正确；(4)在(2)的条件下，由满足MF1⋅MF2=0的点M总在曲线的内部，说明满足MF1⊥MF2的点M在曲线内部，若点M在曲线上，则|MF1|2+|MF2|2>4c2，取M为椭圆短轴的一个端点，则|MF1|=|MF2|= a，∴2a2>4c2，则ca <√22.∴命题(4)错误．∴正确的命题是(2)(3)．故答案为：(2)(3)．设出动点M的坐标，写出直线AM，BM的斜率，由斜率之积等于k求出轨迹方程，若k=b2a2时，得到M的轨迹是除去两个顶点的双曲线；若k=−b2a2时，得到M的轨迹是椭圆除去长轴上两个顶点；是双曲线时，由题目给出的|PF1|=14|PF2|，集合双曲线定义求出|PF1|和|PF2|的长度，由两边之和大于第三边列式求离心率范围；是椭圆时，根据与两焦点连线互相垂直的点总在椭圆内部，取椭圆短轴上的一个端点，由该点到两个焦点距离的平方和大于焦距的平方求得椭圆的离心率小于√22，按以上分析可以判断出正确命题的个数．本题考查了命题的真假判断及简单应用，考查了椭圆和双曲线的简单几何性质，涉及求圆锥曲线的离心率范围问题，关键是根据题目给出的条件得到关于a 和c 的不等式，此题是中档题．17.答案：√33解析：此题考查利用空间向量求二面角的余弦值，关键是求出两平面的法向量所成角的余弦． 解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以A 1为原点，以A 1B 1、A 1D 1、A 1A 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则平面ABA 1的法向量为A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面A 1BD 的法向量为n⃗ =(x,y,z )， 又A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 所以{n ⃗ ⋅A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则{x +z =0y +z =0，令z =−1， 所以n⃗ =(1,1,−1)，则，由图可知二面角A−A1B−D的夹角为锐角，所以二面角A−A1B−D的余弦值为√33．18.答案：x218+y29=1解析：解：根据椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，∵椭圆的右焦点坐标为(3,0)，∴椭圆的两个焦点坐标分别为(−3,0)，(3,0)，并且经过点点(−3,3√22)，∴2a=(3√22(3√22=6√2∴a=3√2∵椭圆两个焦点的坐标分别是(−3,0)，(3,0)，∴c2=9，∴b2=a2−c2=9，∴椭圆的方程为x218+y29=1．故答案为：x218+y29=1．设出椭圆方程，利用椭圆的定义，求出a的值；根据椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆方程即可．求圆锥曲线的方程的问题，一般利用待定系数法；注意椭圆中三个参数的关系为b2=a2−c2 19.答案：解：(1)∵直三棱柱ABC−A1B1C1，∴AA1⊥面A1B1C1，C1M⊂面A1B1C1，∴C1M⊥AA1，∵AC=BC=1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，又AA1∩A1B1=A1，AA1,A1B1⊂平面ABB1A1,∴ C 1M ⊥平面ABB 1A 1；(2)设BC 、BB 1的中点分别为R 、N ， 连接MN ，∴MN//A 1B ， 连接RN ，∴RN//B 1C ，∴∠MNR 是异面直线A 1B 与B 1C 所成角或其补角； 设点P 是AB 的中点，连接MP 、MR ，PR ，在Rt △MPR 中，MR =√22+(12)2=√172，在△MNR 中，MN =12A 1B =√62，RN =12B 1C =√52，∴cos∠MNR =MN 2+RN 2−MR 22·MN ·RN=(√62)2+(√52)2−(√172)22×√62×√52=−√3010， ∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为√3010.解析：本题主要考查线面垂直、异面直线所成角的知识，属于中档题．(1)直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，AA 1⊥面A 1B 1C 1，C 1M ⊂面A 1B 1C 1，C 1M ⊥AA 1，又M 是A 1B 1的中点，故C 1M ⊥A 1B 1 ，即可求证C 1M ⊥平面ABB 1A 1；(2)设BC 、BB 1的中点分别为R 、N ，连接MN ，MN//A 1B ，连接RN ，RN//B 1C ，∠MNR 是异面直线A 1B 与B 1C 所成角或其补角，利用余弦定理即可求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．20.答案：解：(1)由题意得a =2，将(−1,32)代入椭圆方程14+94b 2=1，解得：b =√3，∴椭圆E 的标准方程：x 24+y 23=1；(2)由△CF 1F 2为等腰三角形，且k >0，则点C 在x 轴下方， 若丨F 1C 丨=丨F 2C 丨，则C(0,−√3)；若丨F 1F 2丨=丨CF 2丨，则丨CF 2丨=2，C(0,−√3)；若丨F 1C 丨=丨F 1F 2丨，则丨CF 1丨=2，C(0,−√3)； ∴C(0,−√3)；∴直线BC 的方程y =√3(x −1)，由{y =√3(x −1)x 24+y 23=1，得{x =0y =−√3或{x =85y =3√35， ∴B(85,3√35)； (3)设直线AB 的方程l AB ：y =k(x +2)，由{y =k(x +2)x 24+y 23=1，整理得：(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0，∴x A ⋅x B =−2x B =16k 2−123+4k 2，x B =−8k 2+63+4k 2，y B =k(x B +2)=12k3+4k ，B(−8k 2+63+4k 2,12k 3+4k 2)若k =12，则B(1,32)，C(1,−32)，由F 1(−1,0)，则k CF 1=−34，F 1C 与AB 不垂直； ∴k ≠12，由F 2(1,0)，k BF 1=4k1−4k 2，k CF 1=−1k ，∴直线BF 2的方程l BF 2：y =4k1−4k (x −1)，直线CF 1的方程：l CF 1：y =−1k (x +1) 由{y =4k1−4k 2(x −1)y =−1k (x +1)，解得{x =8k 2−1y =−8k ， ∴C(8k 2−1,−8k)又点C 在椭圆上得(8k 2−1)24+(−8k)23=1，即(24k 2−1)(8k 2+9)=0，即k 2=124，∵k >0，∴k =√612．解析：(1)将点代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程； (2)分类讨论，求得C 点坐标，设直线BC 的方程，即可求得点B 的坐标；(3)设直线AB 的方程，代入椭圆方程，即可求得B 点坐标，分别求得BF 2及CF 1方程，联立，求得C 点坐标，代入椭圆方程，即可求得k 的值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查分类讨论，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)由已知可得F(p2,0)，因为∠OFA=120°，所以x A=p2+|AF|cos60°=p2+2，又由抛物线定义可知，|AF|=x A+p2=p+2=4，解得：p=2，所以抛物线E的方程为y2=4x．(2)由(1)可知，F(1,0)，由题意可知，直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由{y2=4xy=k(x−1),整理得k2x2−(2k2+4)x+k2=0，(k∈R且k≠0)，可知：Δ=(2k2+4)2−4k4=16k2+16>0，x1+x2=2k2+4k2，①x1x2=1，②由|AC|=4|BC|得，x1=4x2③由①②③联立解得，k=±2√2，满足Δ>0，所以直线l的方程为2√2x+y−2√2=0或2√2x−y−2√2=0．解析：本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)根据题意，可得|AF|=x A+p2=p+2=4，求得p的值，即可求得抛物线E的方程；(2)设出直线l的方程，将直线l与抛物线E联立，求得k的值，即可求得直线l的方程．22.答案：证明：(1)∵在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD∴以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，由SA =AB ，设AB =AD =AS =1，则A(0,0，0)，B(0,1，0)，C(1,1，0)，D(1,0，0)，S(0,0，1)，M(12,0，12)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)，CS ⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ =−12+12=0，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CS ⃗⃗⃗⃗ ，∴SC ⊥⊥AM ，又SC ⊥AN ，且AN ∩AM =A ， ∴SC ⊥平面AMN ．解：(2)∵SA ⊥底面ABCD ，∴AS ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量，且AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面ACM 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)， 则{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +y =0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =12x +12z =0，取x =−1，得n ⃗ =(−1,1，1)， cos <AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AS ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3=√33， 由图形知二面角D −AC −M 为锐二面角， ∴二面角D −AC −M 的余弦值为√33．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．(1)以A 为坐标原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥平面AMN．(2)求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D−AC−M的余弦值．。

房山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知是虚数单位，若复数22aiZ i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ） A ．-2 B ．1 C ．2 D ．32． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 3． 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ， （3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）A ．（1）与（2）B ．（1）与（3）C ．（2）与（4）D ．（3）与（4）4． 函数f （x ）=lnx ﹣+1的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） A ． B ． C ．D ．6． 如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±3xC ．y=±xD ．y=±x7． 函数y=e cosx （﹣π≤x ≤π）的大致图象为（ ）A． B． C． D．8． 已知函数，，若，则（ ）A1 B2 C3 D-19． 已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动 时，的取值范围是（ ）A ． ()0,1 B．⎝ C．()1,3⎫⎪⎪⎝⎭D ．(10．空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ）A ．（4，1，1）B ．（﹣1，0，5）C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）11．下列说法中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．两条直线确定一个平面C ．两两相交的三条直线一定在同一平面内D ．过同一点的三条直线不一定在同一平面内12．487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3的系数为（ ）A ．4320B ．﹣4320C ．20D ．﹣20二、填空题13．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．14．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．15．若复数34sin (cos )i 55z αα=-+-是纯虚数，则tan α的值为 . 【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力． 16．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .17．已知i 是虚数单位，复数的模为 ．18．已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为，，．若2224S a b c +=+， 则sin cos()4C B π-+取最大值时C = ．三、解答题19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=2，AB=BC ，且AB ⊥BC ，O 为AC 中点．（Ⅰ）证明：A 1O ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置．20．已知函数f （x ）=xlnx+ax （a ∈R ）． （Ⅰ）若a=﹣2，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x ∈（1，+∞），f （x ）＞k （x ﹣1）+ax ﹣x 恒成立，求正整数k 的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）21．（本小题满分12分）已知圆M 与圆N ：222)35()35(r y x =++-关于直线x y =对称，且点)35,31(-D 在圆M 上.（1）判断圆M 与圆N 的位置关系；（2）设P 为圆M 上任意一点，)35,1(-A ，)35,1(B ，B A P 、、三点不共线，PG 为APB ∠的平分线，且交AB 于G . 求证：PBG ∆与APG ∆的面积之比为定值.22．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A 万元，则超出部分按log 5（2A+1）进行奖励．记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）．（1）写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？23．如图，在四棱锥中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为的中点，为的中点，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角．若存在，求出的长,若不存在，请说明理由．24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=，c=．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为，求角C．房山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】试题分析：()()()()2224(22)2225ai iai a a ii i i+-+++-==++-，对应点在第四象限，故40220aa+>⎧⎨-<⎩，A选项正确.考点：复数运算．2．【答案】C【解析】考点：等差数列的通项公式．3．【答案】B【解析】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故（1）正确；∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误；故选B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．4．【答案】A【解析】解：∵f（x）=lnx﹣+1，∴f′（x）=﹣=，∴f（x）在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减；且f（4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0；故选A．【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用．5．【答案】B【解析】【知识点】函数的奇偶性【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。

北京市房山区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知抛物线的方程为y 2=2x ，则其焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k ），若α∥β，则k=﹙）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2﹣4y+3=0的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切4．如图，在四面体ABCD 中，设G 是CD 的中点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．“直线α与平面M 没有公共点”是“直线α与平面M 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．（1，+∞）7．设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β8．棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．D ．29．设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的点．若PF 1⊥F 1F 2，∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是．12．已知向量，，则= ．13．已知（5，0）是双曲线=1（b＞0）的一个焦点，则b= ，该双曲线的渐近线方程为．14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为．15．已知点A（﹣1，3），F是抛物线x2=4y的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为；点M到直线x﹣y﹣2=0的距离的最小值为．16．在平面直角坐标系中，动点P到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点P的轨迹为曲线C，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C的轨迹是抛物线．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知直线l过点A（1，﹣3），且与直线2x﹣y+4=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m与直线l垂直，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．18．已知圆C的圆心为点C（﹣2，1），且经过点A（0，2）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且，求k的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD，过AB的平面分别交棱PC，PD于点E，F．（Ⅰ）求证：EF∥AB；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC．20．已知抛物线C：y2=8x，过点（0，﹣2）且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求实数k的取值范围；（Ⅲ）若线段AB中点的横坐标为2，求AB的长度．21．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=PD=1．（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角M﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）E为线段PC上一点，若直线DE与直线PM所成的角为60°，求PE的长．22．椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．北京市房山区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知抛物线的方程为y2=2x，则其焦点坐标为（）A．B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程求得p，则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线方程y2=2x中p=1，焦点在x轴上，∴抛物线焦点坐标为（，0）．故选：B．2．已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k），若α∥β，则k=﹙）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】平面的法向量．【分析】设平面α的法向量为，平面β的法向量为．由于α∥β，可得∥，因此∃实数λ使得=λ．再利用向量共线定理的坐标运算即可得出．【解答】解：设平面α的法向量=（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量=（﹣1，2，k）．∵α∥β，∴∥，∴∃实数λ使得=λ．∴，得k=1．故选：C．3．圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣4y+3=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2﹣4y+3=0化为标准方程得：x2+（y﹣2）2=1，圆心坐标为（0，2），半径为R=1，圆x2+y2=4，圆心坐标为（0，0），半径为r=2∵圆心之间的距离d=2，R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：B．4．如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则等于（）A．B．C．D．【考点】空间向量的加减法．【分析】先求出则（+）=，根据向量的加法运算法则计算即可．【解答】解：∵G是CD的中点，∴=+=，故选：D．5．“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定．【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项．【解答】解：根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行所以“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的充要条件故选C6．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆方程化为标准方程，由题意可得0＜4m＜4，解不等式可得所求范围．【解答】解：方程即为+=1，由题意可得4＞4m＞0，解得0＜m＜1，故选：A．7．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若l ∥α，l ∥β，则α与β相交或平行，故A 错误；若α⊥β，l ∥α，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故B 错误；若α⊥β，l ∥α，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故C 错误；若l ⊥α，l ⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D 正确．故选：D ．8．棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．D ．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，并连接DC 1，DB ，从而得到△C 1BD 为等边三角形，从而可得出向量与的夹角为60°，并且可求得，这样即可根据向量数量积的计算公式求出的值． 【解答】解：如图，连接DC 1，DB ，则△C 1BD 为等边三角形，且AB 1∥DC 1；∴与的夹角为60°，且；∴=．故选：B ．9．设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的点．若PF 1⊥F 1F 2，∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），由题意可得x P =﹣c ，代入椭圆方程求得P 的坐标，再由解直角三角形的知识，结合离心率公式，解方程可得所求值．【解答】解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），由题意可得x P =﹣c ，代入椭圆方程，解得y P =±b=±， 在直角三角形F 1PF 2中，tan60°==，即有b 2=2ac ，即为a 2﹣2ac ﹣c 2=0，由e=，可得e 2+2e ﹣=0， 解得e=（负的舍去）．故选：B ．10．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=1，AD=3，CD=2．若点E 是线段AD 上的动点，则满足∠SEC=90°的点E 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】如图所示，连接BE ，由于SB ⊥底面ABCD ，∠SEC=90°，可得：CE ⊥BE ．设E （0，t ）（0≤t ≤3），由=0，解出即可判断出结论．【解答】解：如图所示，连接BE ，∵SB ⊥底面ABCD ，∠SEC=90°，∴CE ⊥BE ．设E （0，t ）（0≤t ≤3），B （﹣1，3），C （﹣2，0），则=（2，t ）•（1，t ﹣3）=2+t （t ﹣3）=0， 解得t=1或2．∴E （0，1），或（0，2）．∴满足∠SEC=90°的点E 的个数是2．故选：C ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是∃x∈R，e x≤0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是：∃x∈R，e x≤0．故答案为：∃x∈R，e x≤0．12．已知向量，，则= ．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】根据空间向量线性运算与数量积运算，求出模长即可．【解答】解：∵向量，，∴+=（﹣1，3，0）；∴==．故答案为：．13．已知（5，0）是双曲线=1（b＞0）的一个焦点，则b= 3 ，该双曲线的渐近线方程为y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=5，即16+b2=25，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．【解答】解：由题意可得c=5，即16+b2=25，解得b=3，即有双曲线的方程为﹣=1，可得渐近线方程为y=±x．故答案为：3，y=±x．14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】四棱锥的底面为正方形，一条侧棱与底面垂直，求出四条侧棱的长比较大小即可．【解答】解：由三视图可知三棱锥的底面ABCD是正方形，对角线AC=2，侧棱PA⊥平面ABCD，PA=1，∴四棱锥的底面边长AB=，PB=PD==，PC==．∴三棱锥最长棱为．故答案为：．15．已知点A（﹣1，3），F是抛物线x2=4y的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为 4 ；点M到直线x﹣y﹣2=0的距离的最小值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MA|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，答案可得，利用点到直线的距离公式，结合配方法求出点M到直线x﹣y﹣2=0的距离的最小值【解答】解：设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|，∴要求|MA|+|MF|取得最小值，即求|MA|+|MD|取得最小，当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，为3﹣（﹣1）=4．点M到直线x﹣y﹣2=0的距离为=，∴x=2时，取得最小值．故答案为：4；16．在平面直角坐标系中，动点P到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点P的轨迹为曲线C，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C的轨迹是抛物线．其中，所有正确结论的序号是①②．【考点】曲线与方程．【分析】设动点M的坐标为（x，y），根据动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，建立方程，化简可得点M的轨迹C的方程，即可判断结论．【解答】解：设动点M的坐标为（x，y），由题意，∵动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，∴=|x|+1；化简得y2=4x（x≥0）或y=0（x≤0），∴①曲线C过坐标原点，正确；②曲线C关于x轴对称，正确；③曲线C的轨迹是抛物线，不正确．故答案为：①②．三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知直线l过点A（1，﹣3），且与直线2x﹣y+4=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m与直线l垂直，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．【考点】待定系数法求直线方程；直线的截距式方程．【分析】（I）利用相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出；（II）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直线l与直线2x﹣y+4=0平行可知l的斜率为2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直线l过点A（1，﹣3），则直线l的方程为y+3=2（x﹣1），即2x﹣y﹣5=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由直线m与直线l垂直可知m的斜率为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直线m在y轴上的截距为3，则直线m的方程为即x+2y﹣6=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知圆C的圆心为点C（﹣2，1），且经过点A（0，2）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且，求k的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且，可得圆心C到直线y=kx+1的距离为，利用点到直线的距离公式求k的值．【解答】解：（Ⅰ）圆C的半径﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由圆心为点C（﹣2，1），所以圆C的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）圆心为点C（﹣2，1），半径为，，所以圆心C到直线y=kx+1的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得k2=1，k=±1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD，过AB的平面分别交棱PC，PD于点E，F．（Ⅰ）求证：EF∥AB；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC．【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AB∥CD，结合AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，AB∥平面PCD，又由AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，即可证明EF∥AB．（Ⅱ）易证BD⊥AC，设AC交BD于点O，连接PO，由等腰三角形的性质可得PO⊥BD，从而可得BD⊥平面PAC．【解答】（本小题12分）解：（Ⅰ）∵底面ABCD为菱形，∴AB∥CD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴AB∥平面PCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴EF∥AB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设AC交BD于点O，连接PO，∵PB=PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵AC∩PO=O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴BD⊥平面PAC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知抛物线C：y2=8x，过点（0，﹣2）且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求实数k的取值范围；（Ⅲ）若线段AB中点的横坐标为2，求AB的长度．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线C的方程y2=8x，得p=4，即可求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）直线l方程与抛物线C的方程联立，分类讨论求实数k的取值范围；（Ⅲ）若线段AB中点的横坐标为2，求出k，利用弦长公式求AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线C的方程y2=8x，得p=4，所以抛物线C的准线方程为x=﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）直线l方程与抛物线C的方程联立，得方程组﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣消y，整理得k2x2﹣（4k+8）x+4=0，①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，则有△=（4k+8）2﹣16k2＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得k＞﹣1当k=0时，直线l与抛物线C只有一个交点，所以k的取值范围是k＞﹣1且k≠0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）若线段AB中点的横坐标为2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅱ）中的①式得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得k=2或k=﹣1（舍）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=PD=1．（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角M﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）E为线段PC上一点，若直线DE与直线PM所成的角为60°，求PE的长．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）由AB∥CD，AM∥PD可知平面MAB∥平面PDC，故而MB∥平面PDC；（2）以D为坐标原点建立空间坐标系，出平面PCD和平面PCM的法向量，则法向量的夹角即为二面角的大小；（3）设，求出的坐标，代入夹角公式解出λ，从而得出PE的长．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，又∵MA∥PD，AB∩MA=A，CD∩PD=DAB⊂平面ABM，MA⊂平面ABMCD⊂平面PDC，PD⊂平面PDC，∴平面ABM∥平面PDC，∵MB⊂平面ABM，∴MB∥平面PDC，（Ⅱ）∵正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，平面ABCD∩平面AMPD=AD，在正方形ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面AMPD，∴CD⊥PD，又AD⊥PD，AD⊥DC，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，则M（1，0，1），P（0，0，2），C（0，1，0），是平面PCD的一个法向量．设平面MPC的法向量为，则，即．令z=1，得，则=．设二面角M﹣PC﹣D为θ，由图可知θ为锐角，所以二面角M﹣PC﹣D的余弦值为．（Ⅲ）设（λ∈[0，1]），，又，，解得或λ=2（舍），∴PE=．22．椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c，再由a=2c，及a，b，c的关系，可得a，b的值，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）设点A（x0，y）（x＞0，y＞0），则y=kx，代入椭圆方程求得A的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由右焦点为，得，由点F到短轴的一个端点的距离等于焦距，得a=2c，即则b2=a2﹣c2=9所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设点A（x0，y）（x＞0，y＞0），则y=kx，设AB交x轴于点D，由对称性知：，由得得，所以，当且仅当，时取等号，所以△OAB面积的最大值．。

北京房山区房山第五中学2019年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】直线的倾斜角．【分析】x﹣y+1=0变为：y=x+1，求出它的斜率，进而求出倾斜角．【解答】解：将x﹣y+1=0变为：y=x+1，则直线的斜率k=1，由tan=1得，所求的倾斜角是，故选A．【点评】由直线方程求直线的斜率或倾斜角，需要转化为斜截式求出斜率，再由公式对应的倾斜角．2. 设为定义在上的奇函数，当时，，则（）A． B． C．1D．3参考答案：A3. 用反证法证明“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设正确的是（）A.有两个数是正数B.这三个数都是负数C.至少有两个数是负数D.至少有两个数是正数参考答案：D4. 函数f(x)=1+log2x与g(x)=在同一直角坐标系下的图象大致是（）参考答案：C5. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前n项和为,则的值为（）A． B． C． D．参考答案：C6. 已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（）A．B．C．D．1参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：由f（x）=ln（ax﹣1）可得，由f'（2）=2，可得，解之得．故选：B．【点评】本题考查了导数的运算法则、函数求值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 已知函数，若正实数a，b满，则的最小值是（）A. 1B.C. 9D. 18参考答案：A【分析】先由函数的解析式确定其为奇函数，再由得到与的关系式，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以函数为奇函数，又若正实数满，所以，所以，当且仅当，即时，取等号.故选A【点睛】本题主要考查基本不等式，先由函数奇偶性求出变量间的关系，再由基本不等式求解即可，属于常考题型.8. 我们规定：若一系列函数解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”。