统计学的平均数规律 (2)

统计规律1问题的提出在统计学中有大数定律如下：定义11 若L L ,,,,21n ξξξ是随机变量序列，如果存在常数列，使对任意的L L ,,,,21n a a a 0>ε，有1P lim 1=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<−∑=∞→εξn n i i n a n 成立，则称随机变量序列{}n ξ服从大数定律。

贝努里定理是所述这类大数定律中著名的一个。

设n μ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，又A 在每次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则对任意的0>ε，有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−∞→εμp n p n n显然，这种大数定律并不能告诉我们：为什么每次试验中A 出现的概率是p 以及当时，为什么p A p =)(n Aμ服从二项式分布。

这里的大数定律，实际上仅是数学的演绎，并非实证的规律，就是说，只要我们给出了随机变量序列(当然是包含足够的关于其分布的信息)，就可以证明它们是否有上述定义和定理的结论成立。

但在实证研究中，我们实际上是通过对实际数据的分析来论证统计规律的存在的。

同时，教科书中又这样描述统计规律：在一定条件组实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果，但大量重复观察时，所得的结果却呈现某种规律，称为随机现象的统计规律性2。

这种描述显然是不符合科学规范的，有含糊其词之嫌。

如“某种规律”与“统计规律性”是何关系，与概率又有何联系。

下面我们以概率的定义和假设检验为基础，来定义统计规律，使统计规律以科学的规范性，成为可通过实践检验真假的命题。

2假设检验解释数理统计中的假设检验包括参数和非参数两部分，下面仅对参数检验做出某些讨论。

一般参数检验系统可描述如下3:设总体ξ的分布函数);(θx F 中含有未知参数θ，参数空间记作Ω，即Ω∈θ，则考虑如下假设的检验问题0H ：0Ω∈θ，：1H 0Ω−Ω∈θ1华东师范大学数学系.概率论与数理统计教程. 北京：高等教育出版社，1983年，第196页。

一基本概念、1、统计总体简称总体是我们要调查或统计某一现象全部数据的集合。

总体单位是构成总体的各个个别单位，它是组成总体的基本单位，也是调查项目的直接承担者。

如：对工业企业进行调查，全国工业企业是总体，每一个工业企业就是单位。

2标志与指标指标是反映统计总体的数量特征，标志反映的是总体单位的特征。

指标分为数量指标和质量指标。

（都可以用数量表示）数量指标，反映总体总规模或总水平，如人口数，产量，耕地面积。

质量指标，反映总体内在质量，如产品合格率，劳动生产率等。

标志分为品质标志和数量标志。

品质标志，如人的性别，籍贯等。

（只能用文字表示）数量标志，人的年龄，身高，职工工资等。

（用数量表示）关系：1）、指标反映的是总体，标志反映的是单位；2）、表示方法不同（文字还是数字）；3）、标志是构成指标的基础，指标是标志的汇总，在一定情况下可以互相转化。

如A同学，性别女，女是A的标志，B同学，性别男，男是B的标志……假设一共有5位男同学，3位女同学，男女性别比为5：3，这个5：3就是指标了。

没有前面每个同学的性别标志，就不能通过加总得到后面的5：3.3从统计学而言，理论上，一切认识的对象均可被量化。

而其量化的方法则无外乎四种－－定量、定比、定序、定类。

（定距尺度没有绝对零点，比如IQ）1、定类尺度：也称类别尺度或名义尺度，是将调查对象分类，标以各种名称，并确定其类别的方法。

它实质上是一种分类体系。

2、定序尺度：也称等级尺度或顺序尺度，是按照某种逻辑顺序将调查对象排列出高低或大小，确定其等级及次序的一种尺度。

3、定距尺度：也称等距尺度或区间尺度，是一种不仅能将变量（社会现象）区分类别和等级，而且可以确定变量之间的数量差别和间隔距离的方法。

4、定比尺度：也称比例尺度或等比尺度，是一种除有上述三种尺度的全部性质之外，还有测量不同变量（社会现象）之间的比例或比率关系的方法。

4.变异与变量在一个总体中，当某标志在每个总体单位上的具体表现都相同时，称此标志为不变标志。

一.填空题1. 变量值的次数多少对平均数的影响有(权衡轻重的作用)的作用，所以又称为(权数)。

2. 一般来说，(算术 )平均数是统计中最常用的一种平均指标。

3. 加权算术平均数受(变量值)和(权数)两个因素的影响。

4. 权数有两种表现形式，即 权数和 权数，由此产生了计算加权算术平均数的两种公式，即 和 。

绝对数 比重 ∑Xf/∑f ∑x （f/∑f ）5.权数在平均数的形成中起着一种 作用，在 情况下，简单算术平均数与加权算术平均数计算的结果相同。

权衡轻重 各组权数相等的6. 平均指标说明分配数列中各变量值分布的 趋势，变异指标说明各变量值的 趋势。

集中 离散7.中位数是位于数列 位置的那个标志值，众数是在总体中出现次数 的那个标志值。

中位数和众数也可称为 平均数。

中点 最多 位置8. 已知三种产品的合格率分别为49%，36%和79%，则这三种产品平均合格率为 。

54.7%9. 变异指标的种类有 、 、 、和 。

全距 平均差 方差和标准差 离散系数10. 直接用平均差和标准差比较两个变量数列平均数的代表性的前提条件是两个变量数列的 相等。

平均水平11. 在平均指标的计算过程中，其平均值的大小受各标志大小影响的平均指标是和 。

算术平均数 调和平均数12. 标准差系数是 与 之比，其计算公式为 。

标准差 算术平均数x V σσ=13. 通常，被称为位置平均数的集中趋势的测度值是 ______________ 。

众数；中位数14. 已知一组数据的中位数为10，众数为12，则均值为_____________，该组数据呈_____________ 分布。

9 ； 左15.算术平均数有两个重要的数学性质，用公式表示为：________和________。

0)(=-∑x x ∑=-最小2)(x x16. 某柜组9名售货员，日销商品件数分别为：5、6、7、8、9、10、11、12、13。

则中位数为________。

统计学简答题一、众数、中位数和算术平均数三者的比较1、算术平均数是数值平均数，综合反映了全部数值的信息；众数和中位数都是根据数据分布的特定位置所确定的集中趋势测度值，不能充分概括全部数据的信息2、算术平均数和中位数在任何一组数据中都存在而且具有唯一性；而并不是所有数据都存在众数，而且众数也不具有唯一性。

众数存在的前提条件：1）数据项数众多； 2）数据具有明显的集中趋势。

3、算术平均数只能用于定量（数值型）数据，中位数适用于定序数据和定量数据，众数适用于所有形式（类型、计量层次）的数据。

4、算术平均数比较容易收到数据中极端值的影响，而众数和中位数都不受极端值的影响。

5、利用算术平均数可以推算总体的有关总量指标，而中位数和众数则不宜用此类推算。

二、时期序列和时点序列具有不同的性质特点1.时期序列中的各个数值为时期指标，表现现象在各段时期内的总量。

时点序列中的各个数据为时点指标，反映现象在各个时点上所处的状态和所达到的水平。

2.时期序列中各期数据具有可加性，时点序列则不具有这个特性。

3.时期序列中数值大小与所属时期长短有直接的关系，时间越长，指标数值越大。

时点序列则不具有这个特性4.时期序列中各期数据是对每段时间内发生的数量连续登记的结果，若有遗漏，则各时期数据反映的总量不准确。

时点序列的数据没必要连续登记，只要了解现象在若干代表性时点上的水平。

三、简述相关分析与回归分析之间的关系（1）两者有共同的研究对象，都是对变量相关关系的分析，（2）只有的那个变量间存在相关关系时，用回归分析去寻求相关的具体数学形式才有意义。

（3）相关分析只表明变量间相关关系的性质和程度，要确定的具体数学形式依赖与回归分析（4）相关分析中的相关系数的确定，确立在回归分析的基础上（5）相关系数与回归系数等有关的分析指标可以相互推算。

统计对象的特点：数量性，总体性，变异性统计研究的基本环节：统计设计、收集数据、整理和分析、统计资料的积累、开发与应用统计调查方式：普查、抽样调查、重点调查、定制报表制度统计分组：根据统计研究的目的和客观现象的内在特点，按某个标志把被研究的总体划分为若干个不同性质的组。

方差和平均数的变化规律一、引言方差和平均数是统计学中两个重要的概念，它们用于描述一组数据的变化情况。

在实际应用中，我们常常需要了解数据的方差和平均数的变化规律，以便更好地理解数据的特征和趋势。

本文将从以下几个方面探讨方差和平均数的变化规律。

二、方差和平均数的定义1. 方差方差是一组数据离散程度的度量，它表示每个数据与这组数据的平均值之间的偏离程度。

具体地说，方差等于每个数据与平均值之差的平方和除以数据个数减1。

2. 平均数平均数是一组数据集中趋势的度量，它表示这组数据所有值之和除以数据个数。

三、影响方差和平均数变化规律的因素1. 数据分布情况如果一组数据分布较为集中，则其方差较小；反之，如果一组数据分布较为分散，则其方差较大。

而对于平均数来说，如果一组数据存在极端值，则会显著影响其计算结果。

2. 样本容量大小样本容量大小也会影响方差和平均数的变化规律。

当样本容量较小时，方差和平均数的计算结果可能会受到随机误差的影响而不够准确；而当样本容量较大时，方差和平均数的计算结果则更加可靠。

四、方差和平均数的变化规律1. 方差的变化规律在一组数据分布相对稳定的情况下，随着数据个数的增加，方差通常会逐渐减小。

这是因为随着数据个数增加，每个数据与平均值之间的偏离程度也会逐渐减小，从而使得方差减小。

2. 平均数的变化规律在一组数据分布相对稳定的情况下，随着数据个数的增加，平均数通常会趋向于稳定。

这是因为随着数据个数增加，每个数据对于总和的贡献也会逐渐减小，从而使得平均值越来越接近总体真实值。

五、实例分析为了更好地理解方差和平均数的变化规律，在这里我们以某公司员工年龄为例进行实例分析。

假设该公司有100名员工，其年龄分别为20岁至60岁之间的随机整数。

我们可以通过计算样本方差和平均数的变化来观察其规律。

1. 方差的变化在该例子中，我们随机抽取了不同数量的员工年龄进行计算，得到如下结果：数据个数 | 方差--------|--------10 | 123.3320 | 142.6330 | 137.1040 | 129.5950 | 124.2260 | 119.6870 | 116.0980 | 112.5690 | 109.73100 | 107.48从上表可以看出，随着数据个数的增加，方差逐渐减小。

教育哲学[填空题]1奥赫之争参考答案：奥康纳1957年出版《教育哲学导论》一书，进一步加强了教育哲学分析化的趋势。

他的理论的特点在于严密的逻辑实证主义观点，以自然科学为模式，试图把形而上学和伦理学逐出教育理论领域，彻底更新教育理论。

日常语义分析的代表人物赫斯特与其进行了长期的争论，这就是教育哲学界著名的“奥赫之争”。

[填空题]2统计学规律参考答案：统计性规律是大量现象的规律，是平均数的规律，它不能完全决定个别事物和现象的命运，它容许个别事物和现象离开总体发展方向的偶然趋势存在。

统计学规律不直接地表现在某一总体的每个个别现象中，而只表现在这个总体的运动中。

[填空题]3前提反思参考答案：前提反思是思想对构成自己的根据和原则的反思，同时创造和选择新的思想前提和反思方式，属于哲学层面的反思。

哲学的思维方式是前提反思。

[填空题]4确定性规律参考答案：确定性规律是一种建立在牛顿力学基础上的规律类型，意指可以根据物体的初始状态来准确地判定物体的整个运动，预知这个物体每个定时点上的位置和运动速度或者说运动状态[填空题]5教育本体参考答案：教育本体不仅是教育的永恒不变和绝对确定的本质，是教育唯一本原、终极根源，而且是教育的终极追求、最高目标。

[填空题]6教育价值参考答案：就直观和静态而言，教育价值是教育主体对教育客体和对象是否满足其需要的评价和态度，但从深层和动态看，教育价值是教育主体改造教育客体和对象，使其变成符合其希望或者理想和需要的客体和对象的过程和目的、结果。

[填空题]71916年（）出版名著《民主主义与教育》，副标题为（），被誉为现代西方教育哲学的百科全书。

参考答案：杜威；《教育哲学导论》[填空题]8（）认为：“所谓教育，不过是人对人的主体间灵肉交流活动”。

参考答案：雅斯贝尔斯[填空题]9（）被公认为是现代价值哲学的故乡，其中，瓦格纳在1924年发表的（）乃是集该派教育思想之大成的著作，（）等人则将“价值”贯穿在教育、文化与人的关系的分析之中。

平均数与方差的计算规律性质平均数和方差是概率论和统计学中常用的两个概念，用来描述一组数据的集中程度和离散程度。

在统计学中，平均数可以理解为数据的中心位置，而方差则表示数据相对于平均数的分散程度。

下面将详细介绍平均数和方差的计算规律性质。

一、平均数的计算规律性质：平均数是一组数据的数值中心，有以下几个计算规律性质：1.平均数的计算公式：平均数（mean）的计算公式为：平均数 = 总和 / 数据个数。

将每个数据相加再除以总个数，即可得到平均数，这是平均数最基本的计算公式。

2.平均数对数据的稳定性：平均数对数据集中的极端值（异常值）非常敏感。

当数据集中存在一个或几个与其他数值差异较大的值时，这些极端值会对平均数产生较大的影响，使平均数偏离数据集的整体特征。

因此，在计算平均数时，需要注意极端值的存在，并且要结合其他指标进行综合分析。

3.平均数与数据的加减变换：对原数据的每个值加上一个常数或减去一个常数，平均数也会随之改变，但改变的幅度与常数的大小关系不大。

具体而言，如果对数据的每个值加上或减去一个常数c，则平均数也加上或减去c；如果对数据的每个值乘以一个常数c，则平均数也乘以c。

4.平均数与数据的乘法变换：对原数据的每个值乘以一个常数c，平均数也会随之改变，改变的幅度与常数的大小有关。

具体而言，如果对数据的每个值乘以一个常数c，则平均数也乘以c。

二、方差的计算规律性质：方差是用来衡量数据的离散程度，是一组数据分散程度的平均值，有以下几个计算规律性质：1.方差的计算公式：方差的计算公式有多种形式，其中最常用的是离差平方和除以样本个数的计算公式。

方差计算公式为：方差=∑(观察值-平均数)²/(样本个数)。

计算方差时，首先计算每个观察值与平均数的差值，然后将这些差值平方，并将平方差值求和，再除以样本个数，即可得到方差。

2.方差的非负性：方差始终是非负的数值，方差的取值范围是0到正无穷。

方差为0表示所有观察值都与平均数完全相等，方差越大表示数据的离散程度越大。

平均数基本公式: 一、总体单位总量总体标志总量算术平均数=（调和平均数)简单算术平均： nx x ∑=加权算术平均： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxx二、调和平均数： 简单调和平均： ∑=xn H 1 加权调和平均： ∑∑=xm m H三、几何平均数： 简单:nx G ∏= 加权： ∑∏=ff x G四、众数：下限： d L M O 211∆+∆∆+= 上限：d U M O 212∆+∆∆-=五、中位数：下限： d f S fL M mm e 12--+=∑ 上限：d f S fU M mm e 12+--=∑中位数的位次: M e 2∑=f标志变异指标：标准差： 简单： nx x ∑-=2)(σ 加权：∑∑-=ffx x 2)(σ方差: 简单： nx x ∑-=22)(σ加权: ∑∑-=ffx x 22)(σ成数: N N p 1=NN q 0= 1=+p q交替标志: 平均数:p x = 标准差： )1(p p p -=σ方差)1(2P P P -=σ标准差系数： %100⨯=xV σσ分析计算题：1、星河公司2009年四个季度的销售利润率分别是12％、11%、13％和10％，同期的销售额分别是1000万元、1200万元、1250万元和1000万元。

友谊公司同期的销售利润率分别是13％、11%、10%和12％，利润额分别是130万元、132万元、120万元和144万元，试通过计算比较两家公司2009年全年销售利润率的高低。

2、课本 P 93 17题动态分析指标：一、平均发展水平： 总量指标时间数列：1、时期数列：na a ∑=2、时点数列： 连续型： 等间隔:na a ∑=不等间隔：∑∑=ffa a不连续型： 等间隔： na a a a a n n 22110++⋅⋅⋅++=-不等间隔： 12111232121222---+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++=n n n n f f f f a a f a a f a a a相对指标时间数列： ba c =平均指标时间数列： 同上二、增长量： 逐期增长量： 01a a -12a a -23a a -… 1--n n a a累计增长量: 01a a -02a a - 03a a - …0a a n -平均增长量1)1()()()(011201-+-=-+⋅⋅⋅+-+-=-n a a n a a a a a a n n n三、发展速度： 环比发展速度：01a a 12a a 23a a …1-n n a a 定基发展速度：1a a2a a3a a …a a n两者之间关系： 1、112010-⨯⨯⨯=n n n a a a a a a a a 2、110--=n n n na a a a a a平均发展速度： n x x ∏=nn a a x 0= n R x =长期趋势测定方法:（时间数列变动分析)方程法：根据时间数列的数据特征,建立一个合适的趋势方程来描述时间数列的趋势变动，推算或预测个时期的趋势值。

《平均数》教学设计教学目标：1．使学生理解平均数的含义，初步学会简单的求平均数的方法，理解平均数在统计学上的意义。

2．初步学会简单的数据分析，进一步体会统计在现实生活中的作用，理解数学与生活的紧密联系。

3．在愉悦轻松的课堂里，掌握富有挑战性的知识，丰富生活经验；在活动中增强探索数学规律的兴趣，积累积极的数学学习体验。

教学重点：理解平均数的意义，掌握求平均数的方法教学难点：理解平均数的意义。

教学过程：一、情境导入课件展示：师：这是阳光小学班级图书角的书架，你从图中得到了哪些信息？生：书架上层有8本书，下层有4本书。

师：你能帮忙重新整理一下，使每层书架上的书一样多吗？学生思考，交流讨论。

师生交流后，教师用课件操作并提问：现在每层都有6本书了，这个6是它们的什么数？生：平均数。

追问：我们是如何求出平均数6的？师生交流后明确：通过把上层书本移2本至下层得到的平均数6。

师：今天，我们就来深度认识一下“平均数”。

设计意图：通过感受每层书架上的书一样多，让学生脑海中对“平均数”有一个表象。

二、探究新知1．教学例1。

课件展示主题图：师：为了保护环境，环保小队的同学们利用周末收集了很多废旧的矿泉水瓶。

下面是环保小队的四名同学收集的矿泉水瓶数。

师：从统计图中，你能获得哪些数学信息？生：小红收集了14个，小兰收集了12个，小亮收集了11个，小明收集了15个。

师：根据数学信息，你能提出什么数学问题？（教师从学生提出的问题中选择求平均数的问题。

）生：平均每人收集了多少个矿泉水瓶？师：怎样理解“平均每人收集了多少个矿泉水瓶？”你会解决这个问题吗？如何解决？小组交流探讨，教师巡视指导。

汇报预设：方法一：把多的矿泉水瓶移出来，补给少的，使得每个人的矿泉水瓶数量同样多。

教师根据学生回答，课件演示移多补少的过程。

师：这种方法叫移多补少，得到的这个相等的数叫做这几个数的平均数。

即13是14、12、11、15的平均数。

方法二：也可以采用计算的方法，用他们一共收集的矿泉水瓶个数总和除以人数，得到平均每人收集多少个。

x的平均数与方差的规律在数学分析中，平均数和方差是研究一组数据中数值分布的重要统计工具，它们也是数据分析中最基本的概念，用于评估一组数据分布的整体特征。

因此，x的平均数与方差的规律是非常重要的数学研究课题。

首先，让我们来说说x的平均数规律。

在统计学中，x的平均数是指在一组数据中所有数字相加，然后除以数据的个数，得到的平均值。

因此，可以把x的平均数确定为：x的总和除以x的总数，得到的商就是x的平均数。

其次，让我们一起来看一下x的方差规律。

方差是衡量一组数据分散情况的一种统计指标，它反映了数据的波动情况，也可以用来描述数据的整体分布特征。

因此，方差可以通过以下公式计算：VAR（x）=∑（x-μ）^2/n在上述公式中，μ表示x的平均数，n表示数据个数，∑表示对每个x变量都对所有数据求和，VAR表示方差。

换句话说，x的平均数与方差规律描述了一组数据在某方面的整体特征，并且可以利用这些规律来衡量一组数据的分布情况。

因此，x的平均数与方差规律是统计学的重要概念，是日常数据分析的重要工具。

当然，归纳出x的平均数与方差规律并不容易，特别是当x的变量比较复杂时，求出x的平均数和方差就变得更加复杂。

在这种情况下，人们可以利用特殊的概率统计学技术和计算机程序来处理很大的数据量，求出x的平均数与方差的规律。

此外，求出x的平均数与方差规律后，还可以利用此信息来对数据进行建模，利用建模结果来构建更合理的数据分析模型，最终实现数据的预测和分析。

总之，x的平均数与方差的规律是统计学非常重要的概念，可以用来解释一组数据的整体特征，它们也是进行数据分析和建模的重要工具。

因此，继续深入研究x的平均数与方差的规律，对于促进数据分析和建模有着重要的意义。