2简谐运动的描述

2 簡諧運動的描述課堂合作探究問題導學一、描述簡諧運動的物理量活動與探究11．揚聲器發聲時，手摸喇叭的發音紙盆會感覺到它在振動，把音響聲音調大，發覺紙盆的振動更加劇烈，想想這是為什麼？2．“振子在一個週期內通過四個振幅的路程”是正確的結論。

但不可隨意推廣。

如振子在時間t 內通過的路程並非一定為t T×4A ，想想看，為什麼？ 3．什麼是簡諧運動的週期？各物理量的變化與週期有何聯繫？遷移與應用1彈簧振子在AB 間做簡諧運動，O 為平衡位置，AB 間距離是20 cm ，A 到B 運動時間是2 s ，如圖所示，則（ ）A ．從O →B →O 振子做了一次全振動B ．振動週期為2 s ，振幅是10 cmC ．從B 開始經過6 s ，振子通過的路程是60 cmD ．從O 開始經過3 s ，振子處在平衡位置1．正確理解全振動的概念，應注意把握全振動的五種特徵（1）振動特徵：一個完整的振動過程（2）物理量特徵：位移（x ）、加速度（a ）、速度（v ）三者第一次同時與初始狀態相同（3）時間特徵：歷時一個週期（4）路程特徵：振幅的4倍（5）相位特徵：增加2π2．振幅是標量，是指物體在振動中離開平衡位置的最大距離，它沒有負值，也沒有方向，它等於振子最大位移的大小；而最大位移是向量，是有方向的物理量。

可見振幅和最大位移是不同的物理量。

3．從簡諧運動圖像上可以讀出以下資訊：（1）振幅——最大位移的數值。

（2）振動的週期——一次週期性變化對應的時間。

（3）任一時刻位移、加速度和速度的方向。

（4）兩位置或兩時刻對應位移、加速度和速度的大小關係。

二、簡諧運動的運算式活動與探究21．簡諧運動的一般運算式為x ＝A sin （ωt ＋φ），思考能否用余弦函數表示。

2．思考相位的意義，以彈簧振子為例，用通俗易懂的語言表達你對相位的理解。

3．相位差是表示兩個同頻率的簡諧運動狀態不同步程度的物理量，談談如何求相位差，並說明你對“超前”和“落後”的理解。

简谐运动的描述一、简谐运动的概念和特征简谐运动是一种重要的周期性运动，它可以在自然界和人-made系统中观察到。

简谐运动的特征包括：1.周期性：简谐运动是一个重复的过程，物体会在规律的时间间隔内重复相同的运动。

2.能量守恒：简谐运动中物体的总能量保持不变，由动能和势能相互转化，但总能量始终保持恒定。

3.线性回复：简谐运动中，物体的回复力与它的偏离程度成正比，且方向相反，符合胡克定律。

4.最大回复力和最大速度的时刻不一致：简谐运动中，最大回复力与最大速度不会同时发生，它们的时刻相差1/4个周期。

二、简谐运动的数学描述简谐运动可以使用如下的数学描述：一维简谐运动的位移-时间关系：x=Acos(ωt+ϕ)其中， - A为振幅，表示物体偏离平衡位置的最大距离。

- ω为角频率，表示单位时间内的相位变化量。

- t为时间。

- φ为初相位，表示在t=0时刻的位相。

一维简谐运动的速度-时间关系：v=−ωAsin(ωt+ϕ)一维简谐运动的加速度-时间关系：a=−ω2Acos(ωt+ϕ)三、简谐运动的力学模型简谐运动可以通过一维弹簧振子来进行力学建模。

弹簧振子由一个弹簧和一个质量块组成。

当质量块受到外力扰动后，它会围绕平衡位置做简谐振动。

1.弹簧的自由长度为L，当质量块偏离平衡位置时，弹簧受到回复力，使得质量块回到平衡位置。

2.弹簧回复力与质量块的偏离程度成正比，符合胡克定律：F=−kx其中， - F为回复力的大小。

- k为弹簧的劲度系数，描述了弹簧的刚度和回复力的大小。

- x为质量块偏离平衡位置的距离。

四、简谐运动的频率和周期简谐运动的频率和周期和与力学模型中的角频率相关。

频率：简谐运动的频率表示单位时间内完成一个完整周期的次数，用hertz（Hz）作为单位，频率等于角频率除以2π。

周期：简谐运动的周期表示完成一个完整周期所需要的时间，用秒（s）作为单位，周期等于角频率的倒数。

五、简谐运动的实际应用简谐运动是自然界和人-made系统中普遍存在的一种运动形式，其应用十分广泛。

《简谐运动的描述》教学设计方案（第一课时）一、教学目标本课时的教学目标是让学生掌握简谐运动的基本概念、特性及其描述方法。

具体包括：1. 理解简谐运动的定义及其在实际生活中的应用。

2. 熟悉简谐运动的基本特性，如振幅、周期和频率等。

3. 学会用数学语言描述简谐运动，包括位移-时间图像的绘制与解析。

4. 培养学生的观察能力、分析能力和物理实验操作能力。

二、教学重难点本课时的重点与难点如下：重点：掌握简谐运动的基本概念及其描述方法，尤其是位移-时间图像的理解和应用。

难点：理解简谐运动周期性和频率的概念，并能将理论运用于实际物理问题中进行分析和解决。

三、教学准备为确保本课时的教学顺利进行，需做好以下准备：1. 教材与教具：准备高中物理教材及相关教具，如振动演示器、图表等。

2. 课件与视频：制作包含简谐运动概念、特性和描述方法的多媒体课件，准备相关实验操作视频。

3. 实验器材：准备用于学生实验操作的简单振动系统器材，如弹簧振子等。

4. 教学环境：布置适合开展实验教学的学习环境，确保学生有足够的空间进行实验操作。

四、教学过程：（一）导入新课1. 引入话题教师首先可以通过展示一些日常生活中常见的简谐运动实例，如钟摆的摆动、弹簧振子的振动等，来引起学生的兴趣。

引导学生思考这些运动的共同特点，从而引出简谐运动的概念。

2. 创设情境教师可以利用多媒体教学资源，播放一段简谐运动的视频或动画，让学生直观感受简谐运动的特点和规律。

同时，可以提出问题，引导学生思考简谐运动的基本性质和描述方法。

（二）新课讲解1. 简述简谐运动详细解释简谐运动的定义、特点及其实例。

通过图示和讲解，使学生明确简谐运动是一种周期性往复运动，其位移随时间按正弦或余弦函数规律变化。

2. 引入简谐运动的数学描述介绍简谐运动的数学模型——简谐运动方程。

通过具体实例，如弹簧振子的运动方程，让学生理解位移、时间、周期等物理量在简谐运动中的意义和作用。

3. 讲解简谐运动的物理量详细讲解简谐运动中的关键物理量，如振幅、周期、相位等。

2．简谐运动的描述学习目标：1.[物理观念]理解振幅、周期和频率，了解相位． 2.[科学思维]能用简谐运动的表达式描述简谐运动．☆阅读本节教材，回答第35页“问题”并梳理必要的知识点．教材第35页问题提示：根据简谐运动的周期性、振动快慢的特点，物理学引入了振幅、周期和频率描绘简谐运动．一、描述简谐运动的物理量1．振幅(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m)．(2)物理含义：振幅是描述振动范围的物理量；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小．2．周期(T)和频率(f)内容周期频率定义做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间物体完成全振动的次数与所用时间之比单位秒(s)赫兹(Hz)物理含义都是表示振动快慢的物理量联系f＝1T注意：不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的．3．相位：在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的相位来描述． 二、简谐运动的表达式 1．表达式：简谐运动的表达式可以写成 x ＝A sin ()ωt ＋φ或x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT t ＋φ 2．表达式中各量的意义(1)“A ”表示简谐运动的“振幅”．(2)ω是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率．(3)“T ”表示简谐运动的周期，“f ”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T ＝1f .(4)“2πT t ＋φ”或“2πft ＋φ”表示简谐运动的相位．(5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相．说明：1．相位ωt ＋φ是随时间变化的一个变量．2．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)振幅就是振子的最大位移． (×)(2)从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期．(×)(3)振动物体的周期越大，表示振动得越快． (×)(4)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关．(×) 2．(多选)如图所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 间振动，则( )A ．从B →O →C →O →B 为一次全振动B ．从O →B →O →C →B 为一次全振动C ．从C →O →B →O →C 为一次全振动D ．B 、C 两点关于O 点对称ACD [O 点为平衡位置，B 、C 为两侧最远点，则从B 起经O 、C 、O 、B 的路程为振幅的4倍，即A 正确；若从O 起经B 、O 、C 、B 的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B 错误；若从C 起经O 、B 、O 、C 的路程为振幅的4倍，即C 正确；因弹簧振子的系统摩擦不考虑，所以它的振幅一定，故B 、C 两点关于O 点对称，D 正确．]3．(多选)物体A 做简谐运动的振动位移x A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100t ＋π2 m ，物体B 做简谐运动的振动位移x B ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100t ＋π6 m ．比较A 、B 的运动( ) A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 mB ．周期是标量，A 、B 周期相等，为100 sC ．A 振动的圆频率ωA 等于B 振动的圆频率ωBD ．A 的相位始终超前B 的相位π3CD [振幅是标量，A 、B 的振幅分别是3 m 、5 m ，A 错；A 、B 的圆频率ω＝100 rad/s ，周期T ＝2πω＝2π100s ＝6.28×10－2 s ，B 错，C 对；Δφ＝φAO －φBO ＝π3为定值，D 对．]描述简谐运动的物理量提示：(1)振子的振幅在数值上与振子的最大位移相等．(2)10 cm.1．振幅与位移、路程、周期的关系(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅．(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．2．对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动．(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征．①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．②时间特征：历时一个周期．③路程特征：振幅的4倍．④相位特征：增加2π.【例1】一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为() A．4 cm10 cm B．4 cm100 cmC．024 cm D．0100 cm思路点拨：根据质点在一个周期内通过路程为4A，求路程．B[质点的振动周期T＝1f＝0.4 s，故时间t＝2.50.4T＝614T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×614cm＝100 cm，选项B正确．]振幅与路程的关系振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅．(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，14周期内的路程等于振幅．(2)若从一般位置开始计时，14周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．[跟进训练]1．弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点间做简谐运动，BC 相距20 cm ，某时刻振子处于B 点，经过0.5 s ，振子首次到达C 点．求：(1)振子的振幅；(2)振子的周期和频率；(3)振子在5 s 内通过的路程大小．[解析] (1)设振幅为A ，则有2A ＝BC ＝20 cm ，所以A ＝10 cm.(2)从B 点首次到C 点的时间为周期的一半，因此T ＝2t ＝1 s ；再根据周期和频率的关系可得f ＝1T ＝1 Hz.(3)振子一个周期通过的路程为4A ＝40 cm ，则5 s 内通过的路程为s ＝t T ·4A＝5×40 cm ＝200 cm.[答案] (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm简谐运动的表达式式中x 表示振动质点相对于平衡位置的位移；t 表示振动的时间；A 表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．2．各量的物理含义(1)圆频率：表示简谐运动物体振动的快慢，与周期T 及频率f 的关系：ω＝2πT ＝2πf .(2)φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．ωt＋φ表示做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以表示简谐运动的相位．3．做简谐运动的物体运动过程中的对称性(1)瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称．以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等．(2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如t B C ＝t C B；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如t B C＝t B′C′，如图所示．4．做简谐运动的物体运动过程中的周期性简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做如下判断：(1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同．(2)若t2－t1＝nT＋12T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反．(3)若t2－t1＝nT＋14T或t2－t1＝nT＋34T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定．【例2】一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像．思路点拨：简谐运动振动方程的一般表达式x＝A sin(ωt＋φ)，读出振幅A，由ω＝2πf求出ω，将在t＝0时，位移是4 cm代入即可求解振动方程，便能画出振动图像．[解析]简谐运动的表达式为x＝A sin(ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，所以x＝8sin(πt＋φ) cm，将t＝0，x0＝4 cm代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝π6或φ＝56π，因为t ＝0时，速度方向沿x 轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝56π，所求的振动方程为x ＝8sin(πt ＋56π) cm ，画对应的振动图像如图所示．[答案] 见解析用简谐运动表达式解答振动问题的方法(1)明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相．(2)ω＝2πT ＝2πf 是解题时常涉及到的表达式．(3)解题时画出其振动图像，会使解答过程简捷、明了．[跟进训练]2．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm ，周期为3.0 s ．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm 时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是________．[解析] 由于振幅A 为20 cm ，振动方程为y ＝A sin ωt (平衡位置计时，ω＝2πT )，由于高度差不超过10 cm ，游客能舒服地登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t 1＝T 12，t 2＝5T 12，所以在一个周期内舒服登船的时间为Δt ＝t 2－t 1＝T 3＝1.0 s. [答案] 1.0 s1．物理观念：描述简谐运动的物理量：振幅、周期和初相位．2．科学思维：简谐运动的表达式．3．科学探究：探究弹簧振子运动的特点．1．下列说法正确的是()A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅B．物体在14个周期内，通过的路程是1个振幅C．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅D．物体在34个周期内，通过的路程是3个振幅C[在一次全振动中，物体回到了原来的位置，故通过的位移一定为零，A错误；物体在14个周期内，通过的路程不一定是1个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在14个周期内，通过的路程才等于1个振幅，B错误；根据对称性可知，物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅，C正确；物体在34个周期内，通过的路程不一定是3个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在34个周期内，通过的路程才是3个振幅，D错误．]2．如图所示，m为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子m向右拉动5 cm 后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是()A．该弹簧振子的振动频率为1 HzB．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为0C．若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 sD．若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置B[将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置经历T4，所以T＝4×0.5 s＝2 s，振动的频率f＝1T＝12Hz，A错误；振动的周期与振幅的大小无关，在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过14T＝0.5 s到达最大位移处，速度降为0，B正确；振动的周期与振幅的大小无关，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是半个周期，即1 s，C错误；振动的周期与振幅的大小无关，所以若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过0.5 s振子m第一次回到P位置，D错误．] 3．一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝5sin 5πt(cm)，则下列判断正确的是()A．该简谐运动的周期是0.2 sB．前1 s内质点运动的路程是100 cmC．0.4 s到0.5 s内质点的速度在逐渐减小D．t＝0.6 s时质点的动能为0C[由简谐运动的位移随时间变化的关系式x＝5sin 5πt(cm)，可知圆频率ω＝5π，则周期T＝2πω＝2π5πs＝0.4 s，A错误；1个周期内运动的路程为4A＝20 cm，所以前1 s内质点运动的路程是s＝tT·4A＝2.5×20 cm＝50 cm，B错误；0.4 s到0.5 s质点由平衡位置向最大位移处运动，速度减小，C正确；t＝0.6 s时，质点经过平衡位置，动能最大，D错误．]4．(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是()A．质点的振动频率为4 HzB．在0～10 s内质点经过的路程是20 cmC．在第5 s末，质点速度为零，加速度最大D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等BCD[由题图读出周期为T＝4 s，则频率为f＝1T＝0.25 Hz，A错误；质点在一个周期内通过的路程是4个振幅，则在0～10 s内质点经过的路程是s＝20 cm，B正确；在第5 s末，质点位于最大位移处，速度为零，加速度最大，C正确；由题图可以看出，在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等，D正确．] 5．[思维拓展]情景：在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示．问题：(1)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，则由图中数据算出振子的振动周期为多少？(2)试着作出P的振动图像．(3)若拉动纸带做匀加速直线运动，且振子振动周期与原来相同．由图丙中数据求纸带的加速度．提示：(1)由图乙可知，当纸带匀速前进20 cm时，弹簧振子恰好完成一次全振动，由v＝xt，可得t＝xv＝0.21s＝0.2 s，所以周期T＝0.2 s.(2)由图乙可以看出P的振幅为2 cm，振动图像如图所示．(3)当纸带做匀加速直线运动时，振子振动周期仍为0.2 s，由丙图可知，两个相邻0.2 s时间内，纸带运动的距离分别为0.21 m、0.25 m，由Δx＝aT2，得加速度a＝0.25－0.210.22m/s2＝1.0 m/s2.[答案](1)0.2 s(2)见解析图(3)1.0 m/s21/10。