数学高考新题型专题训练

复习数学新高考新题型专练：(8)平面解析几何1.已知曲线22:1C mx ny +=.()A.若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若0m n =>，则CC.若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D.若0m =，0n >，则C 是两条直线2.已知F 是椭圆2212516y x +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，123,,FP FP FP ，…组成公差为()0d d >的等差数列，则（）A ．该椭圆的焦距为6B ．1FP 的最小值为2C ．d 的值可以为310D ．d 的值可以为253.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，交抛物线C 的准线于D ，若2,2BD BF FA ==，则A.(3,0)F B.直线AB 的方程为3)2y x =-C.点B 到准线的距离为6D.AOB (O 为坐标原点)的面积为4.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射，12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476，公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）A.焦距长约为300公里B.长轴长约为3988公里C.两焦点坐标约为(150,0)± D.离心率约为759945.设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点过左焦点1F 且斜率为157的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ，则下列说法正确的是()A.直线l 倾斜角的余弦值为78B.若112F P F F =，则C 的离心率43e =C.若212||||PF F F =，则C 的离心率2e =D.12PF F 不可能是等边三角形6.若圆()2220x y r r +=>上恰有相异两点到直线43250x y -+=的距离等于1，则r 可以取值()A.92B.5C.112D.67.下列说法中，正确的有()A.过点(1,2)P 且在,x y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B.直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C.直线10x +=的倾斜角为60︒D.过点(5,4)并且倾斜角为90︒的直线方程为50x -=8.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，经过点F 的直线l 交C 的两条渐近线于,A B 两点，O 为坐标原点.若2,||||AF FB OA AB ==，则以下说法正确的是()A.OF 是OAB △的角平分线B.1||||2OB OA =C. D.双曲线C 9.下列结论错误的是()A.若直线12,l l 的斜率相等，则12//l lB.若直线的斜率121k k ⋅=则12l l ⊥C.若直线12,l l 的斜率都不存在，则12//l l D.若直线12,l l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行10.已知椭圆22136x y +=上有,,A B C 三点，其中9(1,2),(1,2),tan 2B C BAC --∠=，则下列说法正确的是()A.直线BC 的方程为20x y -=B.12AC k =或4C.点A 的坐标为122(,99-D.点A 到直线BC 的距离为9.答案以及解析1.答案：ACD解析：对于选项A ，0m n >>Q ，110m n∴<<，方程221mx ny +=可变形为22111x y m n+=，∴该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于选项B ，0m n =>Q ，∴方程221mx ny +=可变形为221x y n +=的圆，错误；对于选项C ，0mn <Q ，∴该方程表示双曲线，令220mx ny y +=⇒=，正确；对于选项D ，0m =Q ，0n >，∴方程221mx ny +=变形为21ny y =⇒=.综上选ACD.2.答案：ABC解析：由椭圆2212516y x +=，得5,4,3a b c ===，故A 正确；1min532FP a c =-=-=，故B 正确；设123,,,FP FP FP 组成的等差数列为{}n a ，由已知可得该数列是单调递增数列，则11max min2,||538n a FP a FP ≥=≤=+=，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310，故C 正确，D 错误.故选ABC.3.答案：BCD 解析：如图，不妨令点B 在第一象限，设点K 为准线于x 轴的交点，分别过点,A B 作抛物线2:2(0)C y px p =>的准线的垂线，垂足分别为,G E ，2BD BF =，所以点F 为BD 的中点，又1,2BE FB BE BD =∴=，所以R t EBD △中，30,22224BDE AD AG AF ∠=∴===⨯= ，6DF AD FA ∴=+=，6BF ∴=则点B 到准线的距离为6，故C 正确；6,3,3DF KF p =∴=∴= ，则3(,0)2F ，故A 错误；由30BDE ∠= ，易得60BFx ∠= ，所以直线AB 的方程为33tan 60())22y x x =⋅-=- ，故B 正确；连接1313,,6sin1202sin 602222AOB AOF OA OB S S +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= △，故D 正确，故选BCD.4.答案：AD解析：本题考查椭圆的实际应用，设该椭圆的半长轴长为a ，半焦距长为c ，依题意可得月球半径约为134761738,10017381838,40017382138,2a c a c ⨯=-=+=+=+=2183821383976,1988,2138a a c =+===1988150-=，椭圆的离心率约为150751988994c e a ===，可得结论A 、D 项正确，B 项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C 项错误.5.答案：AD解析：本题考查双曲线的离心率.设直线倾斜角为α，则tan α=所以7cos 8α=，P 在第一象限内若112F P F F =，则11222,22PF F F c PF c a===-由余弦定理得222244(22)188c c c a c +--=，整理得23e 8e 40-+=，解得e =2或23e =(舍).若212PF F F =，则21212,22PF F F c PF c a ===+，由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+，整理得23e e-40-=，解得4e 3=或e 1=-(舍).由12PF PF >，知12PF F △不可能为等边三角形.6.答案：ABC解析：圆心(0,0)到直线43250x y -+=的距离5d ==，半径为r ，若圆上恰有一个点到直线43250x y -+=的距离等于1，则4r =或6r =，故当圆()2220x y rr +=>上恰有相异两点到直线43250x y -+=的距离等于1，所以(4,6)r ∈，故选：ABC.7.答案：BD解析：对A 项，点(1,2)P 在直线2y x =上，且该直线在,x y 轴截距都为0，则A 错误；对B 项，令0,2x y ==-，则直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，则B 正确；对C项，10x +=可化为33y x =+，则该直线的斜率3tan 3k α==，则倾斜角30α=︒，则C 错误；对D 项，过点(5,4)并且倾斜角为90︒的直线上的所有点的横坐标5x =，则D 正确；故选：BD.8.答案：ABD解析：由2AF FB =，可知点,A B 的位置有两种情况：①点A 在第一象限，点B 在第四象限；②点A 在第四象限，点B 在第一象限，结合图（图略）可知A 选项正确；设2AF =，则1FB =，||||3OA AB ==，因为在AOB △中，OF 为AOB ∠的平分线，所以||||||||OB FB OA AF =，所以31||||22OB OA ==，所以B 选项正确；设π02AOF θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则1cos e θ=，由余弦定理得222||||||1cos 22||||4OA OB AB OA OB θ+-==，所以C 选项错误；因为2cos 22cos 1θθ=-，所以25cos 8θ=，即10cos 4θ=，所以1210cos 5e θ==，所以D 选项正确.故选ABD.9.答案：ABC解析：若直线12,l l 的斜率相等，则12//l l 或1l 与2l 重合，所以A 结论错误；若直线的斜率121k k ⋅=-，则12l l ⊥，所以B 结论错误；若直线12,l l 的斜率都不存在，则12//l l 或1l 与2l 重合，所以C 结论错误；D 结论正确.故选ABC.10.答案：AD解析：设直线,AB AC 的倾斜角分别为12,θθ，不妨设12θθ>，由9tan 02BAC ∠=>，知π2BAC ∠<，则数形结合易知当12BAC θθ-=∠时，才能满足题意，故()129tan 2θθ-=，即912AB AC AB AC k k k k -=+⋅，又222222462421111A A A A AB AC A A A A y y y x k k x x x x -+---⋅=⋅===--+--，所以92AB AC k k -=-，结合2AB ACk k ⋅=-，解得412AC AB k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩或124AC AB k k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，而当124AC AB k k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩时，数形结合易知12BAC θθ-≠∠，且π2BAC ∠>，故舍去.当4AC k =，12AB k =-时，由()()2411212y x y x +=+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，得122,99A ⎛⎫⎪⎝⎭，此时点A 到直线:20BC x y -=459=.由椭圆的对称性知：当12θθ<时，同理可得点A 到直线BC 的距离为459.。

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编09一、单选题1(2024·广东梅州·二模)已知点F 为双曲线C ：x 23-y 2=1的右焦点，点N 在x 轴上(非双曲线顶点)，若对于在双曲线C 上(除顶点外)任一点P ，∠FPN 恒是锐角，则点N 的横坐标的取值范围为()A.2,143B.2,173C.3,143D.3,173【答案】C【解析】由题意可得c =a 2+b 2=2，所以F (2,0)，设N (x 0，0)，P (x ,y )，则PF =(2-x ,-y )，PN =(x 0-x ，-y )，由∠FPN 恒是锐角，得PF ⋅PN=(2-x )(x 0-x )+y 2>0，又x 23-y 2=1，∴y 2=x 23-1，∴不等式可化为：(2-x )(x 0-x )+x 23-1>0，整理得：4x 23-(x 0+2)x +(2x 0-1)>0，∴只需Δ=(x 0+2)2-163(2x 0-1)<0，解得2<x 0<143．故选：C ．2(2024·广东·二模)已知球O 与圆台O 1O 2的上、下底面和侧面均相切，且球O 与圆台O 1O 2的体积之比为12，则球O 与圆台O 1O 2的表面积之比为()A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】由题意，作出圆台的轴截面ABCD ，设圆台的上、下底面半径分别为r 1、r 2，球的半径OO 1=r ，则AE =r 1,BE =r 2，过A 作AD ⊥BC 于点H ，由AH 2+BH 2=AB 2，得2r 2+r 2-r 1 2=r 1+r 2 2，化简得r 2=r 1r 2，由球的体积公式V 球=43πr 3，圆台的体积公式V 圆台=132r ⋅πr 21+πr 22+πr 21⋅πr 22 =23πr r 21+r 22+r 1r 2 ，已知球O 与圆台O 1O 2的体积之比为12，则2r 2r 21+r 22+r 1r 2=12，化简得4r 2=r 21+r 22+r 1r 2，则4r 1r 2=r 21+r 22+r 1r 2，得3r 1r 2=r 21+r 22，又球的表面积S 球=4πr 2，圆台的表面积S 圆台=πr 1+r 2 2+r 21+r 22 ，所以S 球S 圆台=4r 22r 21+r 22+r 1r 2 =2r 2r 21+r 22+r 1r 2=2×14=12，故选：D ．3(2024·广东·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x 2+y 2=1，若等腰直角△ABC 的直角边AC 为圆O 的一条弦，且圆心O 在△ABC 外，点B 在圆O 外，则四边形OABC 的面积的最大值为()A.52+1 B.2+1C.62+1 D.3+1【答案】A【解析】如图所示，设∠OAC =∠OCA =α，则∠AOC =π-2α，故S AOC =12OA ⋅OC sin ∠AOC =12sin π-2α =12sin2α，由余弦定理得AC 2=OA 2+OC 2-2OA ⋅OC cos ∠AOC =1+1-2cos π-2α =2+2cos2α，故等腰直角三角形△ABC 的面积为12AC ⋅BC =12AC 2=1+cos2α，故四边形OABC 的面积为12sin2α+cos2α+1=52sin 2α+φ +1，其中tan φ=2，0<φ<π2，其中α∈0,π2，故2α+φ∈φ,π+φ ⊇π2,π，则当2α+φ=π2时，52sin 2α+φ +1取得最大值，最大值为52+1．故选：A4(2024·湖南益阳·模拟预测)已知f x 的定义域为0,+∞ ,f x 是f x 的导函数，且x 2f x +2xf x =ln x ，2ef e =1，则f 13,f sin 14 ,f tan 12的大小关系是()A.f 13 <f sin 14 <f tan 12 B.f sin 14 <f 13 <f tan12C.f tan 12 <f 13 <f sin 14D.f sin 14 <f tan 12 <f 13【答案】C【解析】因为x 2f (x )+2xf (x )=ln x ，即[x 2f (x )] =ln x ，构造函数g (x )=x 2f (x )，则g (x )=ln x ，f (x )=g (x )x2．将f (x )=g (x )x2代入x 2f (x )+2xf (x )=ln x ，得f (x )=x ln x -2g (x )x 3．再构造函数h (x )=x ln x -2g (x )，则h (x )=ln x +1-2g (x )=1-ln x ，易知，当x ∈(0,e )时，h (x )>0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，函数h (x )单调递减，所以h (x )max =h (e )=e -2g (e )=e -2e 2f (e )，由于2ef (e )=1，所以h (e )=0，所以h (x )≤0，所以当x ∈(0,e )时，f (x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0，函数f (x )单调递减，所以f (x )在(0,+∞)单调递减．又根据单位圆可得三角不等式sin 13<13<tan 13，又sin 14<sin 13，tan 13<tan 12，所以f tan 13<f 13 <f sin 13 ，故f tan 12 <f 13 <f sin 14 ．故选：C ．5(2024·湖南益阳·模拟预测)如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为r A ，另一种金属晶体的原子半径为r B ，则r A 和r B 的关系是()A.2r B =3r AB.2r B =6r AC.2r B =3-1 r AD.2r B =6-2 r A【答案】D【解析】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体P -ABC ，设正四面体的棱长为a a >0 ，高为h h >0 ，外接球球心为O ，D 为正三角形ABC 的中心，则必有PD ⊥平面ABC 且P ，O ，D 三点共线，在正三角形ABC 中，易求得DB =32a ×23=33a ，在△PDB 中，由PB 2=PD 2+DB 2，可得h =PD =a 2-33a 2=63a ，在△OBD 中，由OB 2=OD 2+DB 2，得R 2=(h -R )2+33a2，解得R =64a ，由题意得a =2rA64a =r A +r B，所以64×2r A =r A +r B ，所以2r B =6-2 r A ．故选：D ．6(2024·湖北武汉·模拟预测)若函数f x =3cos ωx +φ ω<0，-π2<φ<π2的最小正周期为π，在区间-π6,π6 上单调递减，且在区间0,π6上存在零点，则φ的取值范围是()A.π6,π2B.-π2,-π3C.π3,π2D.0,π3 【答案】B【解析】由函数f (x )的最小正周期为π，得2π|ω|=π，而ω<0，解得ω=-2，则f (x )=3cos (-2x +φ)=3cos (2x -φ)，由2k π≤2x -φ≤2k π+π,k ∈Z ，得2k π+φ≤2x ≤2k π+π+φ,k ∈Z ，又f (x )在-π6,π6上单调递减，因此2k π+φ≤-π3，且π3≤2k π+π+φ,k ∈Z ，解得-2π3-2k π≤φ≤-π3-2k π,k ∈Z ①，由余弦函数的零点，得2x -φ=n π+π2,n ∈Z ，即2x =n π+π2+φ,n ∈Z ，而f (x )在0,π6 上存在零点，则0<n π+π2+φ<π3,n ∈Z ，于是-n π-π2<φ<-n π-π6,n ∈Z ②，又-π2<φ<π2，联立①②解得-π2<φ≤-π3，所以φ的取值范围是-π2,-π3．故选：B7(2024·湖北武汉·模拟预测)如果a <x <b ，记x 为区间a ,b 内的所有整数．例如，如果2<x <3.5，则x =3；如果1.2<x <3.5，则x =2或3；如果2.3<x <2.7，则x 不存在．已知T =1+142+143+⋯+1481，则T =()A.36B.35C.34D.33【答案】B【解析】令函数f (x )=43x 34(x >0)，求导得f (x )=x -14=14x，则14n(n ∈N ∗)可视为函数f (x )=43x 34(x >0)在x =n 处的切线斜率，设A (n ,f (n )),B (n +1,f (n +1))，则直线AB 的斜率k AB =f (n +1)-f (n )n +1-n=f (n +1)-f (n )，由导数的几何意义有f (n +1)<k AB <f (n )，因此14n +1<43(n +1)34-n 34 <14n，而43234-134 +334-234 +434-334 +⋯+8234-8134 <141+142+143+⋯+1481=T ，即有T >438234-1 >438134-1 =43×26=34+23，又T =1+142+143+⋯+1481<1+438134-1 =35+23，因此34+23<T <35+23，所以[T ]=35．故选：B8(2024·山东·二模)已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6 对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23．故选：A9(2024·山东·二模)已知f x 为定义在R 上的奇函数，设f x 为f x 的导函数，若f x =f 2-x +4x -4，则f 2023 =()A.1B.-2023C.2D.2023【答案】C【解析】因为f x =f 2-x +4x -4，所以两边求导，得f (x )=-f (2-x )+4，即f (x )+f (2-x )=4①因为f x 为定义在R 上的奇函数，则f (-x )=-f (x )，所以两边求导，得f (x )=f (-x )，所以f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2-x )=f (x -2)，结合①式可得，f (x )+f (x -2)=4，所以f (x -2)+f (x -4)=4，两式相减得，f (x )=f (x -4)，所以f (x )是周期为4的偶函数，所以f (2023)=f (-1)=f (1)．由①式，令x =1，得f (1)=2，所以f (2023)=f (1)=2．故选：C ．10(2024·河南信阳·模拟预测)棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 为BD 1上的动点，O 为底面ABCD 的中心，则OP 的最小值为()A.33B.63C.66D.32【答案】C【解析】由题意可得OP 的最小值为点O 到线段BD 1的距离，在平面D 1DB 内过点O 作OP ⊥BD 1于点P ，由题意可得DD 1=1，DB =2，BD 1=3，DD 1⊥平面ABCD ，因为DB ⊂平面ABCD ，则DD 1⊥DB ，因为△OPB ∽△D 1DB ，故OP DD 1=OB BD 1，即OP =OB ⋅DD 1BD 1=22×13=66．故选：C ．11(2024·河南信阳·模拟预测)若直线y =ax +b 与曲线y =e x 相切，则a +b 的取值范围为()A.(-∞,e ]B.[2,e ]C.[e ,+∞)D.[2,+∞)【答案】A【解析】对于y =e x ，有y =e x ，令切点为m ,e m ，则切线方程为y =e m x -m +e m ，即y =e m x +1-m e m ，即有a +b =e m +1-m e m =2-m e m ，令f x =2-x e x ，则f x =1-x e x ，当x <1时，f x >0，当x >1时，f x <0，故f x 在-∞,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，故f x ≤f 1 =2-1 e 1=e ，又当x 趋向于正无穷大时，f x 趋向于负无穷，故f x ∈(-∞,e ]，即a +b ∈(-∞,e ]．故选：A ．12(2024·福建福州·模拟预测)函数f x =2sin ωx 3sin ωx +cos ωx (ω>0)在0,π3上单调递增，且对任意的实数a ，f x 在(a ,a +π)上不单调，则ω的取值范围为()A.1,52B.1,54C.12,52D.12,54【答案】D【解析】因为f (x )=2sin ωx (3sin ωx +cos ωx )=23sin 2ωx +2sin ωx cos ωx=sin2ωx -3cos2ωx +3=2sin 2ωx -π3 +3，又因为x ∈0,π3 ，且ω>0，则2ωx -π3∈-π3,2ωπ3-π3 ，若f (x )在0,π3上单调递增，所以2ωπ3-π3≤π2，所以0<ω≤54，因为对任意的实数a ，f (x )在(a ,a +π)上不单调，所以f (x )的周期T =2π2ω<2π，所以ω>12，所以12<ω≤54．故选：D ．13(2024·浙江嘉兴·二模)6位学生在游乐场游玩A ,B ,C 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有()A.180种B.210种C.240种D.360种【答案】C【解析】若A 有2人游玩，则有C 26C 34C 11A 22+C 24C 22A 22A 22=15×8+6 =210种；若A 有4人游玩，则有C 46A 22=15×2=30种；所以共有240种，故选：C ．14(2024·浙江嘉兴·二模)已知定义在0,+∞ 上的函数f x 满足xf x =1-x f x ，且f 1 >0，则()A.f 12<f 1 <f 2 B.f 2 <f 1 <f 12C.f 12<f 2 <f 1D.f 2 <f 12<f 1 【答案】D【解析】由xfx =1-x f x 变形得f x -xf x f x=x ，从而有f x -xf x f 2x=x f x ，x f x =x f x ，所以xf x=k ⋅e x ，因为f 1 >0，所以k =1f 1 e1>0，则f x =xk ⋅e x ，则fx =ke x -kx ⋅e x k 2e x =ke x 1-x k 2e x，故当0<x <1时，f x >0，当x >1时，f x <0，所以f x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 单调递减，所以f 12<f 1 ，f 2 <f 1 ，又f 12 -f 2 =12k e -2ke 2=e 32-42ke2，而e 3>2.73≈19.7>16，所以e 32>4，所以f 2 <f 12<f 1 ．故选：D ．15(2024·浙江宁波·二模)在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4,A 1B 1=2,AA 1=3，若球O 与上底面A 1B 1C 1D 1以及棱AB ,BC ,CD ,DA 均相切，则球O 的表面积为()A.9π B.16π C.25πD.36π【答案】C【解析】设棱台上下底面的中心为N ,M ，连接D 1B 1,DB ，则D 1B 1=22,DB =42，所以棱台的高MN =B 1B 2-MB -NB 1 2=3 2-22-2 2=1，设球半径为R ，根据正四棱台的结构特征可知：球O 与上底面A 1B 1C 1D 1相切于N ，与棱AB ,BC ,CD,DA 均相切于各边中点处，设BC 中点为E ，连接OE ,OM ,ME ，所以OE 2=OM 2+ME 2⇒R 2=R -1 2+22，解得R =52，所以球O 的表面积为4πR 2=25π，故选：C16(2024·浙江宁波·二模)已知集合P =x ,y |x 4+ax -2024=0 且xy =2024 ，若P 中的点均在直线y =2024x 的同一侧，则实数a 的取值范围为()A.-∞,-2023 ∪2023,+∞ B.2023,+∞ C.-∞,-2024 ∪2024,+∞ D.2024,+∞【答案】A【解析】依题意集合P 即为关于x 、y 的方程组x 4+ax -2024=0xy =2024 的解集，显然x ≠0，所以a =-x 3+2024xy =2024x，即y =-x 3+2024x y =2024x y =a，令f x =-x 3+2024x ，由y =2024x y =2024x，解得x =1y =1 或x =-1y =-1 ，即函数y =2024x 与y =2024x的交点坐标为1,1 和-1,-1 ，又f -x =-x 3+2024x =--x 3+2024x =-f x ，所以f x 为奇函数，因为y =-x 3与y =2024x 在0,+∞ 上单调递减，所以f x =-x 3+2024x 在0,+∞ 上单调递减，则f x =-x 3+2024x在-∞,0 上单调递减，依题意y =a 与y =-x 3+2024x 、y =2024x的交点在直线y =2024x 的同侧，只需a >f 1 或a <f -1 ，即a >2023或a <-2023，所以实数a 的取值范围为-∞,-2023 ∪2023,+∞ ．故选：A17(2024·浙江杭州·二模)在△ABC 中，已知sin A sin B =n sin C ,cos A cos B=n cos C ．若tan A +π4 =-3，则n =()A.无解B.2C.3D.4【答案】A 【解析】由tan A +π4 =1+tan A1-tan A=-3，即tan A =2，则cos A ≠0，由sin A sin B =n sin C ,cos A cos B =n cos C ，知cos C ≠0，则tan A tan B=tan C ，则tan A =tan B ⋅tan C =2，又tan A =tan π-B -C =-tan B +C =-tan B +tan C1-tan B ⋅tan C=tan B +tan C ，故tan B +tan C =2，设tan B =t ，则tan C =2-t ，有t 2-t =2，即t 2-2t +2=0，Δ=4-8=-4<0，即该方程无解，故不存在这样三角形，即n 无解．故选：A ．18(2024·浙江杭州·二模)设集合M ={-1,1}，N ={x |x >0且x ≠1}，函数f x =a x +λa -x (a >0且a ≠1)，则()A.∀λ∈M ,∃a ∈N ,f x 为增函数B.∃λ∈M ,∀a ∈N ,f x 为减函数C.∀λ∈M ,∃a ∈N ,f x 为奇函数D.∃λ∈M ,∀a ∈N ,f x 为偶函数【答案】D【解析】当λ=1时，f x =a x +a -x ，a >1时，f (x )在(-∞,0)上不是增函数，故A 不正确；当λ=-1时，f x =a x -a -x ，a >1时，f (x )在(0,+∞)上为增函数，B 不正确；当λ=1时，f x =a x +a -x ，f (-x )=a x +a -x =f (x )，f (x )为偶函数，故C 不正确；当λ=1时，f x =a x +a -x ，f (-x )=a x +a -x =f (x )，f (x )为偶函数，故D 正确；故选：D ．19(2024·浙江台州·二模)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点M ,N 分别在双曲线C 的左、右两支上，且满足∠MF 2N =π3，NF 2=2MF 1 ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.73C.3D.52【答案】B【解析】如图，设NF 1与MF 2的交点为P ，MF 1 =x ，因为NF 2 =2MF 1 ，所以NF 2 =2MF 1 =2x ，所以，由双曲线的定义可知：MF 2 =MF 1 +2a =2a +x ，NF 1 =2a +NF 2 =2x +2a ，因为NF 2 =2MF 1 ，所以NF 2⎳MF 1，所以△NF 2P ∽△F 1MP ，∠F 1MF 2=∠MF 2N =π3，所以PF 2 =23MF 2 =232a +x ，PN =23NF 1 =232a +2x ，所以，在△PNF 2中，∠PF 2N =∠MF 2N =π3，所以，由余弦定理有：cos ∠PF 2N =PF 2 2+F 2N 2-PN 22PF 2 ⋅F 2N=cos π3=12，代入PF 2 =232a +x ，PN =232a +2x ，NF 2 =2x ，整理得3x 2-10ax =0，解得x =103a ，x =0(舍)，所以，MF 1 =x =103a ，MF 2 =2a +x =163a ，F 1F 2 =2c ，所以，在△F 1MF 2中，由余弦定理有：cos ∠F 1MF 2=F 1M 2+F 2M 2-F 1F 2 22F 1M ⋅F 2M =12，代入数据整理得：7a =3c ，所以，双曲线的离心率为：e =c a =73．故选：B20(2024·江苏扬州·模拟预测)已知菱形ABCD 的边长为2,∠ABC =60°，动点P 在BC 边上(包括端点)，则AD ⋅AP的取值范围是()A.0,1 B.-1,2C.-2,2D.-1,1【答案】C【解析】如图，作Cy ⊥CB ，以C 为原点，建立平面直角坐标系，易知C (0,0)，A (1,3)，D (-1,3)，设P (x ,0)，且x ∈0,2 ，故AD =(-2,0)，AP=x -1,-3 ，故AD ⋅AP=-2(1-x )=2-2x ，而-2x ∈-4,0 ，2-2x ∈-2,2 ．故选：C21(2024·江苏扬州·模拟预测)设方程2x +x +3=0和方程log 2x +x +3=0的根分别为p ,q ，设函数f x =x +p x +q ，则()A.f 2 =f 0 <f 3B.f 0 =f 3 >f 2C.f 3 <f 2 =f 0D.f 0 <f 3 <f 2【答案】B【解析】由2x +x +3=0得2x =-x -3，由log 2x +x +3=0得log 2x =-x -3，所以令y =2x ,y =log 2x ,y =-x -3，这3个函数图象情况如下图所示：设y =2x ,y =-x -3交于点B ，y =log 2x ,y =-x -3交于点C ，由于y =2x ,y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称，而y =-x -3,y =x 的交点为A -32,-32 ，所以p +q 2=-32，注意到函数f x =x +p x +q =x 2+p +q x +pq 的对称轴为直线x =-p +q 2，即x =32，且二次函数f x 的图象是开口向上的抛物线方程，从而f 0 =f 3 >f 2 ．故选：B ．22(2024·河北邢台·一模)如图，正四棱台容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为12cm ，AB =10cm ，A 1B 1=2cm ，容器中水的高度为6cm ．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没)，水位上升了3cm ，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为()A.31πcmB.32πcm C.33πcm D.34πcm 【答案】A【解析】正四棱台容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为12cm ，AB =10cm ，A 1B 1=2cm ，正四棱台容器内水的高度为6cm ，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为122+10 =6，其体积为V 1=1362+102+62×102 ×6=392cm 3；放入铁球后，水位高为9cm ，沿A 1B 1作个纵截面，从A 1,B 1分别向底面引垂线，如图，其中EF 是底面边长10cm ，B 1H 是容器的高为12cm ，GH 是水的高为9cm ，由截面图中比例线段的性质GN HF =B 1G B 1H=14，可得GN =1，此时水面边长为4cm ，此时水的体积为V 2=1342+102+42×102 ×9=468cm 3，放入的57个球的体积为468-392=76cm 3，设小铁球的半径为r ，则57×43πr 3=76，解得r =31πcm ．故选：A 23(2024·河北邢台·一模)倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：y 2=16x 的焦点F ，且与C 相交于A ,B 两点．若θ∈π6,π4，则AF BF 的取值范围为()A.128,256 B.64,256 C.64,1963 D.1963,128 【答案】A【解析】首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，如图，对于一个抛物线y 2=2px ，倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：y 2=2px 的焦点F ，且与C 相交于A ,B 两点．作准线的垂线AA ,BB ，过F 作FM ⊥AA ，则AF =AA =MA +AM =p +AF cos θ，解得AF =p 1-cos θ，同理可得BF =p1+cos θ，如图，不妨设A 在第一象限，由焦半径公式得AF =81-cos θ，AF =81+cos θ，则AF BF =81-cos θ×81+cos θ=64sin 2θ，而θ∈π6,π4 ，可得sin 2θ∈14,12 ，故64sin 2θ∈128,256 ，故A 正确，故选：A 二、多选题24(2024·广东梅州·二模)已知数列a n 的通项公式为a n =3n ，n ∈N *，在a n 中依次选取若干项(至少3项)a k 1，a k 2，a k 3，⋅⋅⋅，a k n，⋅⋅⋅，使a k n成为一个等比数列，则下列说法正确的是()A.若取k 1=1，k 2=3，则k 3=9B.满足题意的k n 也必是一个等比数列C.在a n 的前100项中，a k n的可能项数最多是6D.如果把a n 中满足等比的项一直取下去，a k n总是无穷数列【答案】AB【解析】因为数列a n 的通项公式为a n =3n ，对于A ，取k 1=1，k 2=3，则a k 1=a 1=3，a k 2=a 3=9，由于a k n为等比数列，则a k 3=27，则有3k 3=27，即k 3=9，故A 正确；对于B ，数列{a n }的通项公式为a n =3n ，则a k n=3k n ，若a k n为等比数列，即3k 1，3k 2，3k 3，⋯，3k n ，⋯是等比数列，则k 1，k 2，k 3，⋯，k n ，⋯，是等比数列，故满足题意的{k n }也必是一个等比数列，故B 正确；对于C ，在a n 的前100项中，可以取k 1=1，k 2=2，k 3=4，k 4=8，k 5=16，k 6=32，k 7=64，可以使a k n成为一个等比数列，此时a k n为7项，故C 错误；对于D ，取k 1=4，k 2=6，则a k 1=12,a k 2=18，则a k 3=27,a k 4=812，a k 4=812不是数列a n 的项，所以把a n 中满足等比的项一直取下去，a k n不总是无穷数列，故D 错误．故选：AB ．25(2024·广东梅州·二模)如图，平面ABN ⊥α，AB =MN =2，M 为线段AB 的中点，直线MN 与平面α的所成角大小为30°，点P 为平面α内的动点，则()A.以N 为球心，半径为2的球面在平面α上的截痕长为2πB.若P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线C.若P 到直线MN 的距离为1，则∠APB 的最大值为π2D.满足∠MNP =45°的点P 的轨迹是椭圆【答案】BC【解析】对于A ，由于MN 与平面α的所成角大小为30°，所以点N 到平面α的距离d =MN sin30°=1，故半径为R =2的球面在平面α上截面圆的半径为r =R 2-d 2=3，故截痕长为2πr =23π，A 错误，对于B ，由于平面ABN ⊥α，所以以AB 为y ，在平面α内过M 作x ⊥AB ，平面ABN 内作z ⊥AB ，建立如图所示的空间直角坐标系，则M 0,0,0 ,B 0,1,0 ,A 0,-1,0 ,N 0,3,1 ，设P x ,y ,0 ，则PM =PN ⇒x 2+y 2=x 2+y -3 2+1，化简得y =23，故P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线，B 正确，MN =0,3,1 ,MP =x ,y ,0 ，所以P 到直线MN 的距离为MP 2-MP ⋅MNMN2=x 2+y 2-3y 22=1，化简可得x 2+y 24=1，所以点P 的轨迹是平面α内的椭圆x 2+y 24=1上一点，如图，当P 在短轴的端点时，此时∠APB 最大，由于BM =MP =1，故∠BPM =π4，因此∠APB =2∠BPM =π2，C 正确，对于D ，NM =0,-3,-1 ,NP =x ,y -3,-1 ，MP=x ,y ,0 ，若∠MNP =45°，则cos ∠MNP =cos NM ,NP =NM ⋅NPNM ⋅NP =-3y +42x 2+y -3 2+1=22，化简得y -2324-x 22=1且y <433，故满足∠MNP =45°的点P 的轨迹是双曲线的一部分，D 错误，故选：BC26(2024·广东·二模)设O 为坐标原点，抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为F 1，过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点，过点A ,B 分别作l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则下列说法正确的有()A.A 1F 1 ⋅B 1F 1 =FF 1 2B.A 1B 1 ≤2FF 1C.OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1D.OA +OB ≥OA 1 +OB 1【答案】ACD【解析】由已知F (1,0)，F 1(-1,0)，设过点F 的直线方程为：x =my +1，设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则A 1(-1,y 1)，B 1(-1,y 2)，由y 2=4x x =my +1，得y 2-4my -4=0，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2=4m 2+2,x 1x 2=y 1y 2216=1，A 1F 1 ⋅B 1F 1 =-y 1y 2=4,FF 1 2=22=4，所以A 1F 1 ⋅B 1F 1 =FF 1 2，故A 正确，A 1B 1 =y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=16m 2+16≥4=2FF 1 ，故B 错误，OA2⋅OB 2=x 21+y 21 x 22+y 22 =x 21x 22+x 21y 22+x 22y 21+y 21y 22=17+x 22y 21+x 21y 22=17+4x 22x 1+4x 21x 2=17+4x 1x 2x 1+x 2 =25+16m2，O 1A2⋅O 1B 2=1+y 21 1+y 22 =1+y 22+y 21+y 21y 22=17+y 21+y 22=17+y 1+y 2 2-2y 1y 2=25+16m 2，故OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1 ，C 正确，OA +OB2-OA 1 +OB 1 2=OA 2+OB 2-OA 1 2-OB 1 2+2OA ⋅OB -2OA 1 ⋅OB 1 ，由选项C 可知OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1 ，所以OA +OB 2-OA 1 +OB 1 2=OA 2+OB 2-OA 1 2-OB 1 2=x 21+y 21 +x 22+y 22 -1+y 21 -1+y 22 =x 21+x 22 -2=x 1+x 2 2-2x 1x 2-2=4m 2+2 2-4≥0，故OA +OB ≥OA 1 +OB 1 ，D 正确；故选：ACD27(2024·湖南益阳·模拟预测)如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆OP 与横杆PQ 组成，P ,Q 为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆PQ 始终保持水平．如图2所示，以点O 为原点，水平方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系．若点O 距水平地面的高度为1米，转动杆OP 的长度为1．6米，横杆PQ 的长度为2米，OP 绕点O 在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角θ∈30°,90° ()A.则点P 运动的轨迹方程为x 2+(y +1)2=6425(其中x ∈0,435,y ∈45,85)B.则点Q 运动的轨迹方程为(x -2)2+y 2=6425(其中x ∈2,10+435 ,y ∈45,85)C.若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则横杆PQ 距水平地面的高度为135米D.若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则点Q 运动轨迹的长度为135米【答案】BC【解析】对于A ：点P 的轨迹显然是以O 为原点，OP 为半径的圆，故点P 运动轨迹方程为x 2+y 2=6425(其中x ∈0,435 ,y ∈45,85)，故A 错误；对于B ：设Q x ,y ,P x 0,y 0 ，因为PQ 平行于x 轴，所以x =x 0+2y =y 0，所以x 0=x -2y 0=y ，又因为P 在加圆x 2+y 2=6425上，所以点Q 的运动轨迹是以(2,0)为圆心，1．6为半径的圆，所以点Q 的轨迹方程为x -2 2+y 2=6425(其中x ∈2,10+435 ,y ∈45,85)，故B 正确；对于C ：若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，横杆PQ 达到最高点，此时横杆PQ 距水平地面的高度为1+1.6=135，故C 正确；对于D ：因为OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，故Q 绕点2,0 转动的角度与点P 绕点0,0 转动的角度一样为90°-30°=π3，所以点Q 运动轨迹的长度即为圆(其中)的弧长，等于1.6×π3=8π15，故D 错误．故选：BC ．28(2024·湖南益阳·模拟预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，已知sin A :sin B :sin C =2:3:4，则下列结论中正确的是()A.a +b :b +c :c +a =5：6：7B.△ABC 为钝角三角形C.若a +b +c =18．则△ABC 的面积是615D.若△ABC 的外接圆半径是R ，内切圆半径为r ，则5R =16r 【答案】BD【解析】因为sin A :sin B :sin C =2:3:4，由正弦定理a sin A=b sin B =csin C =2R ，可得a :b :c =2:3:4，设a =2x x >0 ，b =3x ，c =4x ，则(a +b ):(b +c ):(c +a )=5x :7x :6x =5:7:6，故A 错误；由题意可知，C 为最大角，因为cos C =a 2+b 2-c 22ab =4x 2+9x 2-16x 212x 2=-14<0，故C 为钝角，故B 正确；若a +b +c =18，则a =4，b =6，c =8，又cos C =-14，所以sin C =1-cos 2C =154，所以△ABC 的面积S △ABC =12ab sin C =12×4×6×154=315，故C 错误；由正弦定理得，2R =c sin C =4x 154=16x 15，即R =8x15，由面积公式可得12(a +b +c )r =12ab sin C ，即12×9x ⋅r =12×2x ×3x ×154，所以r =156x ，所以R r =165，故5R =16r ，故D 正确．故选：BD ．29(2024·湖北武汉·模拟预测)已知各项都是正数的数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =a n 2+12a n，则下列结论正确的是()A.当m >n m ，n ∈N * 时，a m >a nB.S n +S n +2<2S n +1C.数列S 2n 是等差数列D.S n -1S n≥ln n 【答案】BCD【解析】对A ，由题意可知a 1=a 12+12a 1⇒a 21=1，所以a 1=1，则a 1+a 2=a 22+12a 2⇒a 22+2a 2-1=0，所以a 2=2-1<a 1，故A 错误；对C ，由S n =a n 2+12a n ⇒S n =S n -S n -12+12S n -S n -1⇒S 2n -S 2n -1=1n ≥2 ，故C 正确；对C ，所以S 2n =1+n -1 =n ⇒S n =n ，则S n +S n +2=n +n +2<2n +n +22=2S n +1，故B 正确；对D ，易知S n -1S n =n -1n，令f x =x -1x -2ln x x ≥1 ，则f x =1+1x2-2x =1x -1 2≥0，则f x 单调递增，所以f x ≥f 1 =0⇒n -1n≥ln n ，即S n -1S n ≥ln n ，故D 正确．故选：BCD 30(2024·湖北武汉·模拟预测)如图，已知椭圆x 24+y 2=1的左、右顶点分别是A 1,A 2，上顶点为B 1，点C 是椭圆上任意一异于顶点的点，连接A 1C 交直线x =2于点P ，连接A 2C 交OP 于点M (O 是坐标原点)，则下列结论正确的是()A.k A 1C ⋅k A 2C 为定值B.2k A 1C =k OPC.当四边形OA 2CB 1的面积最大时，直线OC 的斜率为1D.点M 的纵坐标没有最大值【答案】ABD【解析】依题意，A 1(-2,0),A 2(2,0)，设C (2cos θ,sin θ),0<θ<2π,θ∉π2,π,3π2，对于A ，k A 1C ⋅k A 2C =sin θ2cos θ+2⋅sin θ2cos θ-2=-14，A 正确；对于B ，直线A 1C 的方程为y =sin θ2cos θ+2(x +2)，它与直线x =2的交点P 2,2sin θcos θ+1，因此k OP =sin θcos θ+1=2k A 1C ，B 正确；对于C ，不妨令0<θ<π2，四边形OA 2CB 1的面积S =S △OA 2C +S △OB 1C=sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ≤2，当且仅当θ=π4时取等号，此时点C 2,22 ，直线OC 的斜率为12，C 错误；对于D ，当点C 无限接近点B 1时，点M 的纵坐标无限接近最大值，但取不到最大值，因此没有最大值，D 正确．故选：ABD31(2024·山东·二模)将正四棱锥P -ABCD 和正四棱锥Q -ABCD 的底面重合组成八面体Ω,AB =PA =2,QA =10，则()A.PQ ⊥平面ABCDB.PA ⎳QCC.Ω的体积为42D.二面角P -AB -Q 的余弦值为-13【答案】AC【解析】令正方形ABCD 的中心为O ，连接PO ,QO ，对于A ，由正四棱锥P -ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，同理QO ⊥平面ABCD ，则P ,O ,Q 共线，因此PQ ⊥平面ABCD ，A 正确；对于B ，连接AC ，显然O 是AC 的中点，AO =12AC =2，PO =PA 2-AO 2=2，QO =QA 2-AO 2=22，O 不是PQ 的中点，因此四边形APCQ 不是平行四边形，PA ,QC 不平行，B 错误；对于C ，Ω的体积V =V P -ABCD +V Q -ABCD =13S ABCD ⋅(PO +QO )=13×4×32=42，C 正确；对于D ，取AB 中点M ，连接PM ,QM ，则PM ⊥AB ,QM ⊥AB ，∠PMQ 是二面角P -AB -Q 的平面角，而PM =PA 2-AM 2=3,QM =QA 2-AM 2=3，则cos ∠PMQ =(3)2+32-(32)22×3×3=-33，D 错误．故选：AC32(2024·山东·二模)已知抛物线E :y 2=2px (p >0)焦点为F ，过点M 2,0 (不与点F 重合)的直线交E 于P ,Q 两点，O 为坐标原点，直线PF ,QF 分别交E 于A ,B 两点，∠POQ =90°，则()A.p =1B.直线AB 过定点14,0C.FP ⋅FQ 的最小值为254D.PA +QB 的最小值为254【答案】ACD【解析】设直线PQ :x =my +2与抛物线联立可得：y 2-2pmy -4p =0，设P y 212p ,y 1 ,Q y 222p ,y 2，则y 1y 2=-4p ，因为∠AOB =90°∠AOB =90°，所以OP ⋅OQ =y 1y 2 24p 2+y 1y 2=4-4p =0，解p =1，故A 正确；由A 可知，F 12,0 ，设直线PF :x =m 1y +12，与抛物线联立可得，y 2-2m 1y -1=0，设A x A ,y A ,B x B ,y B ，所以y A =-1y 1，同理可得y B =-1y 2，所以y A y B =1y 1y 2=-14，直线AB :2x -y A +y B y +y A y B =0，即2x -18 -y A +y B y =0，所以直线AB 过定点18,0 ，故B 错误；FP ⋅FQ =y 212+12 y 222+12=y 21y 224+y 21+y 224+14≥y 21y 22+2y 1y 2 +14=254，故C 正确；PA =y 21+1+1y 21+12,QB =y 22+1+1y 22+12，所以PA +QB =y 21+y 22+1y 21+1y 22+42=1716y 21+y 22 +42≥1716×2y 1y 2 +42=254，故D 正确．故选：ACD ．33(2024·福建福州·模拟预测)定义在R 上的函数f x 的值域为-∞,0 ，且f 2x +f x +y f x -y =0，则()A.f 0 =-1B.f 4 +f 1 2=0C.f x f -x =1D.f x +f -x ≤-2【答案】ACD【解析】令x =y =0，则有f 0 +f 0 2=0，解得f 0 =0或f 0 =-1，因为函数f x 的值域为-∞,0 ，所以f 0 =-1，A 正确；令x =1,y =0，则有f 2 +f 1 2=0，即f 2 =-f 1 2令x =2,y =0，则有f 4 +f 2 2=0，即f 4 +f 1 4=0，B 不正确；令x =0，则有f 0 +f y f -y =0，所以f y f -y =1，即f x f -x =1，C 正确；因为f x <0，所以-f x >0，-f -x >0，所以-f x +-f -x ≥2f x f -x =2，当且仅当f x =f -x 时，取到等号，所以f x +f -x ≤-2，D 正确．故选：ACD34(2024·福建福州·模拟预测)投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量X n =1,第n 次投出正面,-1,第n 次投出反面, (n =1,2,3)．记A 表示事件“X 1+X 2=0”，B 表示事件“X 2=1”，C 表示事件“X 1+X 2+X 3=-1”，则()A.B 和C 互为对立事件B.事件A 和C 不互斥C.事件A 和B 相互独立D.事件B 和C 相互独立【答案】BC【解析】根据题意，A 表示事件“X 1+X 2=0”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则P A =C 12122=12，B 表示事件“X 2=1”，即第二次抛掷中，正面向上，则P B =12，C 表示事件“X 1+X 2+X 3=-1”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，P C =C 13×12×122=38，依次分析选项：对于A ，事件B 、C 可能同时发生，则事件B 、C 不是对立事件，A 错误；对于B ，事件A 、C 可能同时发生，则事件A 和C 不互斥，B 正确；对于C ，事件AB ，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，P (AB )=12×12=14，由于P A P B =P (AB )，则事件A 和B 相互独立，C 正确；对于D ，事件BC ，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，P (BC )=12×12×12=18，P B P C ≠P (BC )，事件B 、C 不是相互独立事件，D 错误．故选：BC ．35(2024·浙江嘉兴·二模)已知角α的顶点与原点重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点A a ,b ab ≠0,a ≠b ，定义：Ti α =a +ba -b．对于函数f x =Ti x ，则()A.函数f x 的图象关于点π4,0 对称B.函数f x 在区间π4,π2上单调递增C.将函数f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到一个偶函数的图象D.方程f x =12在区间0,π 上有两个不同的实数解【答案】AB【解析】根据题意，tan x =b a ，∴f x =a +b a -b =1+ba 1-b a=1+tan x 1-tan x =tan π4+tan x 1-tan π4⋅tan x =tan x +π4 ，对于A ，由正切函数的性质得x +π4=k π2，k ∈Z ，解得x =-π4+k π2，所以函数f x 的对称中心为-π4+k π2,0，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，x ∈π4,π2 ，∴x +π4∈π2,3π4 ，由正切函数的性质可知f x 在π4,π2上单调递增，故B 正确；对于C ，将f x 的图象向左平移π4个单位可得y =tan x +π4+π4 =tan x +π2=1tan x，为奇函数，故C 错误；对于D ，∵x ∈0,π ，∴x +π4∈π4,3π4，令α=x +π4，由正切函数y =tan α的性质可知在π4,π2 上单调递增，且y ≥1，在π2,π上单调递增，且y ≤0，所以方程f x =tan x +π4 =12在区间0,π 上无实数解，故D 错误．故选：AB ．36(2024·浙江嘉兴·二模)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，已知抛物线Ω:y 2=2px (p >0)的准线为l ,O 为坐标原点，在x 轴上方有两束平行于x 轴的入射光线l 1和l 2，分别经Ω上的点A x 1,y 1 和点B x 2,y 2 反射后，再经Ω上相应的点C 和点D 反射，最后沿直线l 3和l 4射出，且l 1与l 2之间的距离等于l 3与l 4之间的距离．则下列说法中正确的是()A.若直线l 3与准线l 相交于点P ，则A ,O ,P 三点共线B.若直线l 3与准线l 相交于点P ，则PF 平分∠APCC.y 1y 2=p 2D.若直线l 1的方程为y =2p ，则cos ∠AFB =725【答案】ACD【解析】对于选项A ，因为直线AC 经过焦点，设C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，直线AC :x =ty +p 2，与抛物线y 2=2px 联立得y 2-2pty -p 2=0，∴y 1+y 3=2pt ,y 1y 3=-p 2，由题意得P -p 2,y 3 ,A y 212p ,y 1,k OP =-2y 3p ，k AO =2p y 1=2p -p 2y3=-2y 3p ，所以k OP =k AO ，即A ､O ､P 三点共线，故A 正确；对于选项B ，假设∠APF =∠CPF ，又∠CFP =∠CPF ，所以∠APF =∠CFP ，所以AP ⎳CF ，这与AP 和CF 相交于A 点矛盾，故B 错误；对于选项C ，l 1与l 2距离等于l 3与l 4距离，又结合A 选项，则y 1-y 2=y 3-y 4=-p 2y 1+p 2y 2=p 2⋅y 1-y 2y 1y 2，所以y 1y 2=p 2，故C 正确；对于选项D ，由题意可得，A 2p ,2p ,B p 8,p 2,F p 2,0 ,FA =3p 2,2p ,FB =-3p 8,p2，FA ⋅FB =3p 2⋅-3p 8 +2p ⋅p 2=7p 216，FA ⋅FB =3p 2 2+(2p )2⋅-3p 8 2+p 2 2=25p 216，∴cos ∠AFB =FA ⋅FB FA ⋅FB =725，故D 正确．故选：ACD ．37(2024·浙江宁波·二模)若平面向量a ,b ,c 满足a =1,b =1,c =3且a ⋅c =b ⋅c，则()A.a +b +c的最小值为2B.a +b +c的最大值为5C.a -b +c的最小值为2 D.a -b +c的最大值为13【答案】BD【解析】当向量a ,b 方向相同，与c 方向相反时，满足a ⋅c =b ⋅c，此时a +b +c 有最小值c -a+b =1，A 选项错误；当向量a ,b ,c 方向相同时，满足a ⋅c =b ⋅c，此时a +b +c 有最大值a +b +c=5，B 选项正确；a ⋅c =b ⋅c ，有a -b ⋅c =0，即a -b ⊥c ，则a -b +c =a -b 2+c 2，向量a ,b 方向相同时，a -b 的最小值为0，a -b +c 的最小值为3，C 选项错误；向量a ,b 方向相反时，a -b 的最大值为2，a -b +c 的最大值为13，D 选项正确．故选：BD38(2024·浙江宁波·二模)已知函数f x =sin ωx +φ (ω>0)，()A.若ω=2,φ=π2，则f x 是最小正周期为π的偶函数B.若ω=2,x 0为f x 的一个零点，则x 0+π4必为f x 的一个极大值点C.若φ=-π4,x =π2是f x 的一条对称轴，则ω的最小值为32D.若φ=-π4,f x 在0,π6上单调，则ω的最大值为92【答案】ACD【解析】若ω=2,φ=π2，则f x =sin2x+π2=cos2x，所以f x 是最小正周期为2π2=π的偶函数，A正确；若ω=2，则f x 是最小正周期为2π2=π，若x0为f x 的一个零点，则x0+π4为f x 的一个极大值点或极小值点，B错误；若φ=-π4,x=π2是f x 的一条对称轴，则fπ2=sinπ2ω-π4=±1，所以π2ω-π4=π2+kπ,k∈Z，即ω=32+2k,k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为32，C正确；若φ=-π4, 则f x =sinωx-π4(ω>0)，由正弦函数的单调性，令-π2+2kπ≤ωx-π4≤π2+2kπ，解得-π4ω+2kπω≤x≤3π4ω+2kπω，又f x 在0,π6上单调，所以当k=0时，0,π6⊆-π4ω,3π4ω，即π6≤3π4ω，解得ω≤92，则ω的最大值为92，D正确．故选：ACD．39(2024·浙江宁波·二模)指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知U为全集且元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数1S x ,1S x =1,x∈S0,x∈∁U S若A,B,C⊆U，则()注：x∈M f(x)表示M中所有元素x所对应的函数值f x 之和(其中M是f x 定义域的子集)．A.x∈A 1A(x)<x∈U 1A(x)B.1A∩B(x)≤1A(x)≤1A∪B(x)C.x∈U 1A∪B(x)=x∈U1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)D.x∈U1-1A(x)1-1B(x)1-1C(x)=x∈U 1U(x)-x∈U 1A∪B∪C(x)【答案】BCD【解析】对于A，由于A⊆U，所以x∈U 1A(x)=x∈A 1A(x)+x∈∁u A 1A(x)=x∈A 1A(x),故x∈A 1A(x)=x∈U 1A(x)，故A错误，对于B，若x∈A∩B，则1A∩B(x)=1,1A(x)=1,1A∪B(x)=1，此时满足1A∩B(x)≤1A(x)≤1A∪B(x)，若x∈A且x∉B时，1A∩B(x)=0,1A(x)=1,1A∪B(x)=1，若x∈B且x∉A时，1A∩B(x)=0,1A(x)=0,1A∪B(x)=1，若x∉A且x∉B时，1A∩B(x)=0,1A(x)=0,1A∪B(x)=0，综上可得1A ∩B (x )≤1A (x )≤1A ∪B (x )，故B 正确，对于C ，x ∈U1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x ) =x ∈A ∩∁U B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈B ∩∁U A1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈A ∩B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈∁U A ∪B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )=x ∈A ∩∁U B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈B ∩∁U A1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈A ∩B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈∁U A ∪B=x ∈A ∪B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )而x ∈U1A ∪B (x )=x ∈A ∪B1A ∪B (x )+x ∈∁U A ∪B1A ∪B(x )=x ∈A ∪B1A ∪B (x )，由于1A ∪B x =1,x ∈A ∪B0,x ∈∁U A ∪B，所以1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )=1A ∪B (x )故x ∈U1A ∪B (x )=x ∈U1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x ) ，C 正确，x ∈U1U (x )-x ∈U1A ∪B ∪C (x )=x ∈∁U A ∪B ∪C1U(x )，当x ∈A ∪B ∪C 时，此时1A (x ),1B (x ),I C (x )中至少一个为1，所以1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =0，当x ∉A ∪B ∪C 时，此时1A (x ),1B (x ),I C (x )均为0，所以1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =1，故x ∈U1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =x ∈∁U A ∪B ∪C1-1A (x )1-1B (x ) 1-1C (x ) =x ∈∁U A ∪B ∪C1U(x )，故D 正确，故选：BCD40(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x 对任意实数x 均满足2f x +f x 2-1 =1，则()A.f -x =f xB.f 2 =1C.f -1 =13 D.函数f x 在区间2,3 上不单调【答案】ACD【解析】对于A ，令x 等价于-x ，则2f -x +f x 2-1 =1，所以f -x =f x =1-f x 2-1 2，故A 正确；对于B ，令x =1，则2f 1 +f 0 =1，令x =0，则2f 0 +f 1 =1，解得：f 0 =f 1 =13，令x =2，2f 2 +f 1 =1，则f 2 =13，故B 错误；对于C ，由A 知，f -x =f x ，所以f -1 =f 1 =13，故C 正确；对于D ，令x =x 2-1，所以x 2-x -1=0，解得：x =1±52，令x =1+52，则2f 1+52+f 1+52 =1，所以f 1+52 =13，因为1+52∈2,3 ，f 1+52 =f 2 =13，所以函数f x 在区间2,3 上不单调，故D 正确．故选：ACD ．。

新高考数学题型试卷一、选择题（每题5分，共8小题）1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={xx^2-ax + a - 1 = 0}，若A∩ B = B，则a的值为（）- A. 2.- B. 3.- C. 2或3。

- D. 1或2或3。

解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。

- 对于集合B，方程x^2-ax + a - 1 = 0可化为(x - 1)[x-(a - 1)] = 0，解得x = 1或x=a - 1，所以B={1,a - 1}。

- 因为A∩ B = B，所以B⊆ A。

- 当a-1 = 1时，a = 2；当a - 1=2时，a = 3。

所以a的值为2或3，答案选C。

2. 复数z=(1 + i)/(1 - i)的共轭复数是（）- A. i- B. -i- C. 1 - i- D. 1 + i解析：- 先化简z=(1 + i)/(1 - i)，分子分母同时乘以1 + i，得到z=frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)}=frac{1 + 2i+i^2}{2}=(2i)/(2)=i。

- 复数i的共轭复数是-i，所以答案选B。

3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(x,1)，若→a⊥→b，则x的值为（）- A. - 2.- B. 2.- C. -(1)/(2)- D. (1)/(2)解析：- 因为→a⊥→b，根据向量垂直的性质→a·→b=0。

- 又→a=(1,2)，→b=(x,1)，则→a·→b=1× x+2×1 = 0，即x + 2 = 0，解得x=-2，答案选A。

4. 在等差数列{a_n}中，a_3=5，a_7=13，则a_11的值为（）- A. 21.- B. 22.- C. 23.- D. 24.解析：- 根据等差数列的性质：若m,n,p,q∈ N^+，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。

1、若一个等差数列的前三项分别为a, a+d, a+2d，且这三项的和为21，则a+d的值为？A、5B、7C、9D、14（答案：B。

解析：由等差数列性质，前三项和为3a+3d=21，即a+d=7。

）2、在直角三角形中，若一个锐角为30度，则它所对的直角边与斜边的比值为？A、1/2B、√2/2C、√3/2D、√3（答案：A。

解析：在30-60-90直角三角形中，30度角所对的直角边与斜边的比值为1:2，即1/2。

）3、若一个正方体的表面积是24平方米，则它的体积是多少立方米？A、4B、6C、8D、12（答案：C。

解析：正方体表面积=6×边长²，体积=边长³。

由表面积24得边长²=4，进而边长=2，所以体积=2³=8。

）4、在圆内接四边形中，若一个角为120度，则它所对的对角为？A、30度B、60度C、90度D、120度（答案：D。

解析：圆内接四边形对角互补，所以120度的对角也为120度。

）5、若一个数列的前n项和为Sn，且Sn=n²+n，则数列的第5项为？A、18B、19C、20D、21（答案：D。

解析：由Sn=n²+n，得S5=5²+5=30，S4=4²+4=20，所以第5项=S5-S4=30-20=10+5=15+5（因为第5项是S5比S4多出的部分，即5²+5-(4²+4)），计算得第5项为21。

）6、在三角形ABC中，若AB=AC，且∠BAC=100度，则∠B的度数为？A、40度B、50度C、60度D、80度（答案：A。

解析：等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为180度。

所以∠B=∠C=(180-100)/2=40度。

）7、若一个长方形的长是宽的两倍，且其面积为128平方厘米，则长方形的长为？A、8厘米B、16厘米C、32厘米D、64厘米（答案：B。

解析：设宽为x，则长为2x，面积为x×2x=128，解得x=8，所以长为2x=16厘米。

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------ 的平均数与方差分别为（ ）A ．5,4-B ．5,16-C ．4,16D ．4,42．已知向量()1,2a = ，3b = ，2a b -= ，则向量a在向量b 上的投影向量的模长为（ ）A ．6B ．3C ．2D 3．已知在等比数列{}n a 中，23215a a +=，234729a a a =，则n n S a -=（ ）A ．1232n -⨯-B ．()11312n --C ．23n n ⨯-D ．533n ⨯-4．已知三棱锥A BCD -中，6,3,AB AC BC ===A BCD -的体积为500π3，则线段CD 长度的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．D ．105．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（ ）A ．60种B ．68种C ．82种D ．108种6．已知 1.12a -=，1241log log 33b c ==，则（ ）A ．a b c＜＜B ．c b a＜＜C ．b a c＜＜D ．b c a＜＜7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（ ）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.158．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>，抛物线2C 的准线过双曲线1C 的焦点F ，过点F 作双曲线1C 的一条渐近线的垂线，垂足为点M ，延长FM 与抛物线2C 相交于点N ，若34ON OF OM +=，则双曲线1C 的离心率等于（ ）A1+BCD1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，下列说法正确的是（ ）A ．若复数1i1i-=+z （i 为虚数单位），则741z =-B ．若复数z 满足z z =，则z ∈R C ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若复数z 满足112z z -++=，则复数z 对应点的集合是以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆10．设直线系:cos sin 1n m M x y θθ+=（其中0，m ，n 均为参数，02π≤≤θ，{},1,2m n ∈），则下列命题中是真命题的是（ ）A ．当1m =，1n =时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B ．存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C ．当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1D ．当2m =，1n =时，若存在一点()0A a ，，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤11．如图所示，一个圆锥SO 的底面是一个半径为3的圆，AC 为直径，且120ASC ∠=︒，点B 为圆O 上一动点（异于A ，C 两点），则下列结论正确的是（ ）A ．SAB ∠的取值范围是ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．二面角S BC A --的平面角的取值范围是ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C ．点A 到平面SBC 的距离最大值为3D ．点M 为线段SB 上的一动点，当SA SB ⊥ 时，6AM MC +>第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．13．已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形11ABB A 为菱形，160A AB ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，N 为1BB 的中点，则三棱锥11C A MN -的外接球的表面积为 .14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c，其中2,a b c =+=，且sin A C =.(1)求c 的值；(2)求tan A 的值；(3)求cos 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16．（15分）如图，在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 边上的一点，90APC PMA ∠=∠=︒，cos CAB ∠=2AB PC ==PA =.(1)证明：AC ⊥平面PBM ；(2)设点Q 为边PB 的中点，试判断三棱锥P ACQ -的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了,A B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从,A B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为112,,233，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为12.若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为14；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为23.求丁周日选择B 健身中心健身的概率；(3)现用健身指数[]()0,10k k ∈来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n .若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值.参考数据：2930310.980.557,0.980.545,0.980.535≈≈≈.18．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上下顶点分别为12,B B ，左右顶点分别为12,A A ，四边形1122A B A B 的面积为C 上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0-且斜率不为0的直线l 与C 交于,P Q （异于12,A A ）两点，设直线2A P 与直线1AQ 交于点M ，证明：点M 在定直线上.19．（17分）给定整数3n ≥，由n 元实数集合P 定义其随影数集{},,Q x y x y P x y =-∈≠∣.若()min 1Q =，则称集合P 为一个n 元理想数集，并定义P 的理数t 为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合{}{}2,1,2,3,0.3, 1.2,2.1,2.5S T =--=--是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集P ，求证：()()min max 4P P +≥；(3)当{}122024,,,P x x x = 取遍所有2024元理想数集时，求理数t 的最小值.注：由n 个实数组成的集合叫做n 元实数集合，()()max ,min P P 分别表示数集P 中的最大数与最小数.2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

1、已知等差数列的前三项分别为3，7，11，那么它的第五项是：A、19B、20C、21D、22（等差数列的公差为后一项减前一项，此处公差为4，依次累加可得第五项。

）（答案）A2、若一个直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则该直角三角形的斜边长度为：A、5B、6C、7D、8（根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，计算可得斜边长度为5。

）（答案）A3、一个圆的半径为r，若其面积增加了一倍，则新圆的半径为：A、rB、2rC、√2rD、2√r（圆的面积与半径的平方成正比，面积增加一倍即半径平方增加一倍，所以新半径为原半径的√2倍。

）（答案）C4、已知一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，其体积为：A、30B、40C、50D、60（长方体的体积等于长乘以宽乘以高。

）（答案）D5、在1到100的整数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？A、53B、54C、55D、56（先算出1到100中3和5的倍数个数，再去除重复计算的15的倍数个数，最后用100减去这些数即可。

）（答案）D6、若一个正方体的表面积是24平方米，则它的体积是：A、4立方米B、6立方米C、8立方米D、12立方米（正方体表面积等于6倍的一个面的面积，体积等于边长的三次方，通过表面积可求出边长，再计算体积。

）（答案）C7、已知一组数据1，2，3，x，5的平均数为3，则x的值为：A、2B、3C、4D、5（平均数为所有数之和除以数的个数，通过等式可解出x。

）（答案）C8、若一个圆锥的底面半径为r，高为h，则其体积为：A、(1/3)πr2hB、(2/3)πr2hC、πr2hD、3πr2h（圆锥体积公式为底面积乘以高再乘以1/3，底面积为πr2。

）（答案）A。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列各式中，属于对数式的是（）A. 2^x = 8B. x^3 = 27C. log_2(4) = 2D. sin(x) = 12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f'(2) = 4，则a = （）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)4. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限5. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = 2^xB. y = log_2(x)C. y = x^2D. y = -x6. 已知数列{an}满足an = 2an-1 - 1（n ≥ 2），且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 27. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC = （）A. 1/2B. √3/2C. √2/2D. 18. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = x^3在R上单调递增B. 等差数列{an}的公差一定为正数C. 对数函数y = log_2(x)在定义域内单调递增D. 二项式定理中，展开式中第r+1项的系数为C(n,r)9. 若复数z = a + bi（a，b∈R），且|z| = √(a^2 + b^2) = 1，则z的共轭复数是（）A. a - biB. -a - biC. a + biD. -a + bi10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的极值点为（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = -1 或 x = 1二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$f(1) = 0$，$f(2) = 3$，$f(3) = 6$，则$a+b+c=$A. 0B. 3C. 6D. 92. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，$a_5 = 11$，则该数列的公差$d=$A. 2B. 3C. 4D. 53. 若复数$z$满足$|z - 1| = |z + 1|$，则复数$z$对应的点在A. 虚轴上B. 实轴上C. 第一象限D. 第二象限4. 下列函数中，奇函数是A. $f(x) = x^2 - 1$B. $f(x) = x^3$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = |x|$5. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A + \sin B +\sin C = 2$，则三角形ABC是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不存在6. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(1)=$A. 0B. 1C. -1D. -37. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为A. (2,3)B. (3,2)C. (3,-2)D. (-2,3)8. 若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，则该数列的公比$q=$A. 2B. 4C. 8D. 169. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 1$，$a_n = 100$，则该数列的项数n为A. 50B. 100C. 200D. 50010. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f(x)$的对称中心为A. (0,0)B. (0,1)C. (0,-1)D. 无对称中心二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。

2024年新高考新结构题型数学选填压轴好题汇编03一、单选题1(2024·广东·一模)已知函数h x 的定义域为R，且满足h x+1+h x-1=2,h2-x是偶函数，h2 =0，若n∈Z，则103n=-103h(n)=()A.202B.204C.206D.208【答案】C【解析】因为h x+1+h x-1=2，所以h x+2+h x =2①，即有h x+4+h x+2=2②，由①②得到h x+4=h x ，所以函数h x 的周期为4，又h2-x是偶函数，所以h2+x=h(2-x)，得到h(x)=h(4-x)=h(-x)，即函数h x 为偶函数，又由h x+2+h x =2，得到h1 +h3 =2，h2 +h4 =2，h0 +h2 =2，又h2 =0，所以h0 =2，故103n=-103h(n)=2103n=1h(n)+h(0)=2×25×4+h(0)+2(h(1)+h(2)+h(3))=206，故选：C.2(2024·高三·湖南·阶段练习)设方程2x⋅log2x=1的两根为x1，x2x1<x2，则()A.0<x1<1，x2>2B.x1>1x2C.0<x1x2<1D.x1+x2>3【答案】C【解析】由题意得，0<x1<x2，由2x⋅log2x=1得log2x-12x=0，如图画出函数y=log2x和y=12x的图象，两个函数有2个交点，令f x =log2x-12x x>0，则f1 =-12<0，f2 =1-14=34>0，f12=1-12>0，由f12⋅f1 <0，f1 ⋅f2 <0得x1∈12,1，x2∈1,2 ，故A错；由log2x2-12x2=log2x1-12x1=0，得log2x2-log2x1=12x2-12 x1，由x1∈12,1，x2∈1,2 ，得log2x2+log2x1=12 x2-12 x1<0，即log2x1x2<0，所以0<x1x2<1，故C对，B错，由x1∈12,1，x2∈1,2 ，所以x1+x2<3，D错误.故选：C3(2024·福建·二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2．若∠F 1PF 2=π3，则e 1⋅e 2的最小值是A.12B.22C.32D.32【答案】C【解析】设共同的焦点为(-c ,0)，(c ,0)，设PF 1 =s ，PF 2 =t ，运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值．设共同的焦点为(-c ,0)，(c ,0)，设PF 1 =s ，PF 2 =t ，由椭圆和双曲线的定义可得s +t =2a ，s -t =2m ，解得s =a +m ，t =a -m ，在ΔPF 1F 2中，∠F 1PF 2=π3，可得F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅cos ∠F 1PF 2，即为4c 2=(a +m )2+(a -m )2-(a +m )(a -m )=a 2+3m 2，即有a 2c 2+3m 2c 2=4，即为1e 21+3e 22=4，由1e 21+3e 22≥23e 21e 22，可得e 1⋅e 2≥32，当且仅当e 2=3e 1时，取得最小值32，故选C ．4(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)求值：2cos40°+cos80°sin80°=()A.3B.33C.-3D.-33【答案】A【解析】2cos40°+cos80°sin80°=2cos 120°-80° +cos80°sin80°=2cos120°cos80°+sin120°sin80° +cos80°sin80°=3sin80°sin80°= 3.故选：A .5(2024·陕西安康·二模)宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图(如下图)将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数f x ，若存在圆C ，使得f x 的图象能将圆C 的周长和面积同时平分，则称f x 是圆C 的太极函数．下列说法正确的是()①对于任意一个圆，其太极函数有无数个②f x =log 122x +1 +12x 是x 2+y +1 2=1的太极函数③太极函数的图象必是中心对称图形④存在一个圆C ，f x =sin x +cos x 是它的太极函数A.①④ B.③④C.①③D.②③【答案】A【解析】对于①：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确对于②：f -x =log 122-x+1 -12x =log 121+2x 2x-12x ，f x -f -x =log 122x+12x +12x+x =-x +x =0，所以f x 关于y 轴对称，不是太极函数，故②错误；对于③：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心．但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误；对于④：曲线f x =sin x +cos x =2sin x +π4存在对称中心，所以必是某圆的太极函数，故④正确．故选：A ．6已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18【答案】B【解析】不妨令0≤x <y ≤1，则f x -f y <12x -y 法一：2f x -f y =f x -f 0 +f x -f y -f y -f 1 ≤f x -f 0 +f x -f y +f y -f 1<12x -0 +12x -y +12y -1 =12x +12y -x +12y -1 =12，即得f x -f y <14，另一方面，当u ∈0,12 时，f x ={ux ,0≤x ≤12-u 1-x ,12<x ≤1，符合题意，当u →12时，f 12 -f 0 =u 2→14，故k ≤14法二：当x -y ≤12时，f x -f y <12x -y ≤14，当x -y >12时，f x -f y =f x -f 0 -f y -f 1≤f x -f 1 +f y -f 0<12x -1 +12y -0 =121-x +12y =12+12y -x <14，故k ≤14考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.7(2024·高三·浙江杭州·专题练习)已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12π B.16πC.24πD.32π【答案】B【解析】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，S 在棱EH 上面，并以A 为原点，AB ,AD ,AE 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，所以SA =16-4=23，因为SA 和BC 所成的角为π3，AD ⎳BC ，所以AE =23sin π3=3,ES =23cos π3=3，而底面三角形外接圆圆心为AC 中点O 1，设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,3,0 ,S 0,3,3 ,O 11,32,0 ,O 1,32,h ，所以OA =-1,-32,-h ,OS =-1,32,3-h ，则由OA =OS =R ⇒R 2=34+1+h 2=34+1+3-h 2，解得h =32,R 2=4，从而S =4πR 2=16π，即该三棱锥外接球的表面积是16π.故选：B .8已知等差数列a n 中，a 4+a 5=2记b n =a n +1a n -1，n ∈N *，则数列b n 的前8项和为()A.0B.4C.8D.16【答案】C【解析】由等差数列性质得a n +a 9-n =a 4+a 5b n =a n +1a n -1=a n -1+2a n -1=1+2a n -1,设c n =2a n -1，当1≤n ≤8，n ∈N *时，c n +c 9-n =2a n -1+2a 9-n -1=2⋅a n +a 9-n -2a n -1 a 9-n -1 =2⋅a 4+a 5-2a n -1 a 9-n -1=0,故b 1+b 2+b 3+⋯+b 8=1+2a 1-1+1+2a 2-1+⋯+1+2a 8-1=8+c 1+c 2+⋯+c 8=8+c 1+c 8 +c 2+c 7 +c 3+c 6 +c 4+c 5 =8故选：C9(2024·高三·浙江·阶段练习)若3sin θ+cos θ=10，则tan θ+π8 -1tan θ+π8的值为()A.-7B.-14C.17D.27【答案】B【解析】一方面由题意3sin θ+cos θ=10，且注意到sin 2θ+cos 2θ=1，联立得10sin 2θ-610sin θ+9=0，解得sin θ=31010,cos θ=1010，所以tan θ=sin θcos θ=3，另一方面不妨设x =tan π8>0，且tan π4=1=2tan π81-tan 2π8，所以有x 2+2x -1=0，解得x =-1+2或x =-1-2(舍去)，即x =tanπ8=-1+2，由两角和的正切公式有tan θ+π8 =tan θ+x1-x ⋅tan θ=3+-1+2 1-3-1+2 =2+2 ×4+32 4-32 ×4+32=-7+52 ，所以tan θ+π8 -1tan θ+π8=-7+52 +17+52 =-7+52 +7-527+52 ×7-52=-7-52+52-7=-14.故选：B .10(2024·高三·江苏镇江·开学考试)已知过坐标原点O 且异于坐标轴的直线交椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于P ,M 两点，Q 为OP 中点，过Q 作x 轴垂线，垂足为B ，直线MB 交椭圆于另一点N ，直线PM ,PN的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=-12，则椭圆离心率为()A.12B.33C.32D.63【答案】D【解析】如图所示：设P m ,n ，则M -m ,-n ,Q m 2,n 2,B m2,0 ，而k MN ⋅k PN =y N +n x N +m ⋅y N -n x N -m =y 2N -n2x 2N-m 2=b 2a 2a 2-x 2N -b 2a2a 2-m 2 x 2N -m2=-b 2a2，又因为k PM ⋅k PN =-12，所以kPM k MN=n m n m2+m =32=a 22b 2，解得b 2a 2=13，所以椭圆离心率为e =c a=1-b 2a2=63.故选：D .11(2024·高三·江苏南京·开学考试)斜率为12的直线l 经过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1，与双曲线左，右两支分别交于A ，B 两点，以双曲线右焦点F 2为圆心的圆经过A ，B ，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D.153【答案】D【解析】取AB 的中点M ，连接MF 2，由题意可知：AF 2 =BF 2 ，则MF 2⊥AB ，设AF 1 =m >0，则AF 2 -AF 1 =2a ，即BF 2 =AF 2 =m +2a ，因为BF 1 -BF 2 =2a ，则BF 1 =BF 2 +2a =m +4a ，可得AM =12AB =2a ，MF 1 =AF 2 =m +2a ，又因为直线AB 的斜率为12，即tan ∠AF 1F 2=12，且∠AF 2F 1为锐角，则sin ∠AF 1F 2cos ∠AF 1F 2=12sin 2∠AF 1F 2+cos 2∠AF 1F 2=1 ，可得sin ∠AF 1F 2=55cos ∠AF 1F 2=255 或sin ∠AF 1F 2=-55cos ∠AF 1F 2=-255 (舍去)，则MF 2 =F 1F 2 sin ∠AF 1F 2=25c 5,MF 1 =F 1F 2 cos ∠AF 1F 2=45c5，且MF 2 2+AM 2=AF 2 2，即4a 2+25c 5 2=45c 5 2，整理得c 2=53a 2，所以双曲线的离心率e =c 2a2=153.故选：D .1.焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．12(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)双曲线C :x 29-y 216=1的右支上一点P 在第一象限，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若内切圆I 的半径为1，则△PF 1F 2的面积等于()A.24 B.12 C.323D.163【答案】C【解析】由双曲线C :x 29-y 216=1的a =3，b =4，c =5，设圆与三角形三边相切于点M ,N ,Q ,则PF 1 -PF 2 =PM +MF 1 -QF 2 -PQ =MF 1 -QF 2 =NF 1 -NF 2 =2a ，又NF 1 +NF 2 =2c ，所以NF 1 =a +c =8,NF 2 =c -a =2，因此IN ⊥x 轴，因此NF 1 =a +c =8,NF 2 =c -a =2,IN =1,I (3,1)，tan ∠IF 1N =IN NF 1 =18,tan ∠IF 2N =IN NF 2 =12,所以tan12∠F 2PF 1=tan π2-∠IF 1N -∠IF 2N =sin π2-∠IF 1N -∠IF 2N cos π2-∠IF 1N -∠IF 2N=1tan ∠IF 1N +∠IF 2N =1-12×1812+18=32=IM PM PM =23,∴PF 1 =23+8=263,因此PF 2 =PF 1 -2a =83,故三角形的面积为12PF 1 +PF 2 +F 1F 2 ×1=323．故选：C13(2024·高三·江苏无锡·开学考试)已知函数f x =x -1 ,x <22x -3 2-1,x ≥2，若方程f f x =12的实根个数为()A.4B.8C.10D.12【答案】C【解析】因为f x =x -1 ,x <22x -3 2-1,x ≥2，则f 12=12，f 32 =12，f 2 =1，f 4 =1，令2x -3 2-1=12x ≥2，解得x =3-32或x =3+32，又在同一平面直角坐标系中画出y =f x 与y =12的图象，由图象观察可知y =f x 与y =12有4个交点，不妨设为x 1,x 2,x 3,x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，则0<x 1=12<1<x 2=32<2<x 3<3<x 4<4，当f f x =12时，由f x =x 1，0<x 1=12<1，则存在4个不同实根，由f x =x 2，1<x 2=32<2，则存在2个不同实根，由f x =x 3，2<x 3<3，则存在2个不同实根，由f x =x 4，3<x 4<4，则存在2个不同实根，综上f f x =12的实根个数为10．故选：C14(2024·陕西咸阳·模拟预测)已知圆C 1:x -3 2+y 2=r 2(0<r <4)与圆C 2:x +3 2+y 2=4-r 2交点的轨迹为M ，过平面内的点P 作轨迹M 的两条互相垂直的切线，则点P 的轨迹方程为()A.x 2+y 2=5B.x 2+y 2=4C.x 2+y 2=3D.x 2+y 2=52【答案】A【解析】圆C 1:x -3 2+y 2=r 2(0<r <4)圆心C 13,0 ，圆C 2:x +3 2+y 2=4-r 2圆心C 2-3,0 ，设两圆交点为N x ,y ，则由题意知NC 1 =r ，NC 2 =4-r ，所以NC 1 +NC 2 =4，又由于C 1C 2 =23，所以由椭圆定义知，交点N 是以C 13,0 、C 2-3,0 为焦点的椭圆，且c =3，a =2，则b =a 2-c 2=1，所以轨迹M 的方程为x 24+y 2=1，设点P x 0,y 0 ，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为：y -y 0=k x -x 0 ，联立y -y 0=k x -x 0x 24+y 2=1，消y 得4k 2+1 x 2+8y 0-kx 0 kx +4y 0-kx 0 2-4=0，则Δ=64y 0-kx 0 2k 2-4×4k 2+1 4y 0-kx 0 2-4 =0，即4-x 20k 2+2x 0y 0k +1-y 20=0，由于k 1k 2=-1，则由根与系数关系知1-y 204-x 2=-1，即x 20+y 20=5．当切线斜率不存在或为0时，点P 的坐标为2,1 ，-2,1 ，-2,-1 ，2,-1 ，满足方程x 20+y 20=5，故所求轨迹方程为x 2+y 2=5．故选：A ．15(2024·高三·河北保定·开学考试)已知A 是左、右焦点分别为F 1,F 2的椭圆E :x 24+y 23=1上异于左、右顶点的一点，C 是线段AF 1的中点，O 是坐标原点，过F 2作AF 1的平行线交直线CO 于B 点，则四边形AF 1BF 2的面积的最大值为()A.2B.34 C.334D.332【答案】D【解析】如图，因为C 为线段AF 1的中点，O 为F 1F 2中点，所以OC 为△AF 1F 2中位线，OC ⎳AF 2,OC =12AF 2，又因为BF 2⎳AF 1，所以四边形ACBF 2为平行四边形，OC =OB ，由几何关系易得S △BF 2O =S △BF 1O =S △CF 1O =14S △AF 1F 2，设S △BF 2O =S ，则S △AF 1F 2=4S ,S AF 1BF 2=6S ,S AF 1BF 2=32S △AF 1F 2，又S △AF 1F 2=12F 2F 1 ⋅y A ，当且仅当y A =b =3时，S △AF 1F 2max =12×2×3=3，所以S AF 1BF 2=323.故选：D 16(2024·高三·山西晋城·开学考试)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的两个焦点，P 为椭圆上一点，则PF 1 2+PF 2 2+3PF 1 PF 2 的最大值为()A.20 B.16C.64D.24【答案】A【解析】由椭圆的定义可知PF 1 +PF 2 =4，∴PF 1 2+PF 2 2=16-2PF 1 PF 2 ，∴PF 1 2+PF 2 2+3PF 1 PF 2 =16-2PF 1 PF 2 +3PF 1 PF 2=16+PF 1 PF 2 ≤16+PF 1 +PF 2 22=20，当且仅当PF 1 =PF 2 =2时等号成立，故选：A .17(2024·高三·山西晋城·开学考试)已知tan αtan α+π4=-23，则sin 2α+π4=()A.210B.7210 C.±7210D.±210【答案】A 【解析】由于tan αtan α+π4=-23，tan α=-23tan α+π4 =-23⋅tan α+tan π41-tan αtan π4=-23tan α+11-tan α，解得tan α=-13或tan α=2，sin 2α+π4 =22sin2α+cos2α =222sin αcos α+2cos 2α-1 =2sin αcos α+cos 2αsin 2α+cos 2α-22=2tan α+1tan 2α+1-22，将tan α=-13代入可得：sin 2α+π4 =210.将tan α=2代入可得：sin 2α+π4 =210.故选：A .18(2024·高三·山西·阶段练习)在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，F 是CC 1上的动点，则三棱锥A -DEF 外接球半径的最小值为()A.3B.23C.13D.15【答案】C【解析】连接AE ，取AE 的中点G ，可知G 为△ADE 的外心，过G 作平面ABCD 的垂线，可知三棱锥A -DEF 外接球的球心O 在该垂线上，设GO =n ,CF =m ∈0,4 ，以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，则D 0,0,0 ,A 4,0,0 ,E 0,2,0 ,G 2,1,0 ,O 2,1,n ,F 0,4,m ，因为OD =OF ，即4+1+n 2=4+9+m -n 2，整理得n =m 2+4m ≥2m 2⋅4m =22，当且仅当m 2=4m，即m =22时，等号成立，所以三棱锥A -DEF 外接球半径的最小值为4+1+8=13.故选：C .19(2024·高三·山西·阶段练习)已知e 是自然对数的底数，a =π2ln π,b =e 2sin 1e ,c =2ln2，则()A.a >b >cB.c >a >bC.a >c >bD.b >c >a【答案】B【解析】构建f x =x ln x ,x >e ，则f x =ln x -1ln x2>0在e ,+∞ 内恒成立，可知f x 在e ,+∞ 内单调递增，因为a =π2ln π=πlnπ,c =2ln2=4ln4，可知f 4 >f π >f e =e ，即c >a >e ；构建g x =x -sin x ,x >0，则g x =1-cos x ≥0在0,+∞ 内恒成立，可知g x 在0,+∞ 内单调递增，则g x >g 0 =0，即x >sin x ,x >0，可得1e >sin 1e ，且e >0，则e >e 2⋅sin 1e ，即e >b ；综上所述：c >a >b .故选：B .20(2024·高三·重庆·阶段练习)将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且A 盒子中只放一个小球，则不同的放法数为()A.28B.24C.18D.12【答案】C【解析】第一种情况，将五个小球按1，1，3分为三组，则安排的方法有C 13C 12A 22=12种；第二种情况，将五个小球按1，2，2分为三组，则安排的方法有C 13C 12=6种.不同的放法数为18.故选：C .二、多选题21(2024·高三·广东·阶段练习)已知O 为坐标原点，点F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，点P 4,4 ，直线l ：x =my +1交抛物线C 于A ，B 两点(不与P 点重合)，则以下说法正确的是()A.FA ≥1B.存在实数m ，使得∠AOB <π2C.若AF =2BF ，则m =±24D.若直线PA 与PB 的倾斜角互补，则m =-2【答案】CD【解析】由题意可知，抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x =-1，直线x =my +1恒过F (1,0)，如下图所示：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，作AA 1垂直于准线x =-1，垂足为A 1，根据抛物线定义可知，FA =AA 1 =x 1+1，易知x 1≥0，所以FA =x 1+1≥1，但当FA =1时，此时A 与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此FA ≠1，所以FA >1，即A 错误；联立直线x =my +1和抛物线C :y 2=4x 方程得y 2-4my -4=0；所以y 1y 2=-4，x 1x 2=y 124⋅y 224=1，此时OA ∙OB =OA OB cos ∠AOB =x 1x 2+y 1y 2=-3<0，所以cos ∠AOB <0，即∠AOB >π2，所以不存在实数m ，使得∠AOB <π2，故B 错误；若AF =2FB ，由几何关系可得y 1=-2y 2，结合y 1y 2=-4，可得y 2=2或y 2=-2，即B 12,2 或B 12,-2 ，将B 点坐标代入直线方程可得m =±24，所以C 正确；若直线PA 与PB 的倾斜角互补，则k PA +k PB =0，即y 1-4x 1-4+y 2-4x 2-4=0，整理得2my 1y 2-(4m +3)(y 1+y 2)+24=0，代入y1y 2=-4，y 1+y 2=4m 解得m =-2或m =34，当m =34时，直线过点P 4,4 ，A 与P 点重合，不符合题意，所以m =-2；即D 正确.故选：CD 22(2024·广东·一模)将圆柱O 1O 2的下底面圆O 1置于球O 的一个水平截面内，恰好使得O 1与水平截面圆的圆心重合，圆柱O 1O 2的上底面圆O 2的圆周始终与球O 的内壁相接(球心O 在圆柱O 1O 2内部)．已知球O 的半径为3，OO 1=32．若R 为上底面圆O 2的圆周上任意一点，设RO 与圆柱O 1O 2的下底面所成的角为α，圆柱O 1O 2的体积为V ，则()A.α可以取到0,π2中的任意一个值 B.V =27π2cos 2α1+2sin α C.V 的值可以是任意小的正数 D.V max =81π4【答案】BD 【解析】过R 作圆柱O 1O 2的轴截面PQRS ，过O 作MN ⊥O 1O 2交圆柱轴截面的边于M ，N ，由RO 与圆柱的下底面所成的角为α，则OM =3cos α,MR =3sin α，所以V =π⋅OM 2⋅QR =π⋅(3cos α)2OO 1+3sin α =27π2cos 2α(1+2sin α)，即V =27π2cos 2α(1+2sin α)=27π21-sin 2α ⋅(1+2sin α)，故B 正确；当点P ，Q 均在球面上时，角α取得最小值，此时OO 1=OO 2=32，所以α=π6，所以a ∈π6,π2，故A 错误；令sin a =t ∈12,1 ，所以V =27π21-t 2 (1+2t )=27π2-2t 3-t 2+2t +1 ，所以V =27π2-6t 2-2t +2 ，另-6t 2-2t +2=0，解得两根t 1=-1-132,t 2=-1+132，所以V =27π2-6t 2- 2t +2)≤27π2×-6×12 2-2×12+2 =-27π4<0，所以V =27π2-2t 3-t 2+2t +1 在t ∈12,1 时单调递减，所以V max =27π2×-2⋅12 3-12 2+2×12 +1 =81π4，故D 正确，C 错误；故选：BD ．23(2024·高三·湖南·阶段练习)已知体积为2的四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，PA =3，则下列说法正确的是()A.若PA ⊥平面ABCD ，则∠BAD 为π6B.过点P 作PO ⊥平面ABCD ，若AO ⊥BD ，则BD ⊥PCC.PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6D.若点P 仅在平面ABCD 的一侧，且AB ⊥AD ，则P 点轨迹长度为33π【答案】BCD【解析】设P 到底面的距离为h ，V P -ABCD =13S ABCD ⋅h =13AB ⋅AD sin ∠BAD ⋅h =43h sin ∠BAD =2，则当PA ⊥平面ABCD 时，h =PA =3，则sin ∠BAD =12，即∠BAD 为π6或5π6，A 错误；如图1，若PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则PO ⊥BD ，又AO ⊥BD ，PO ∩AO =O ,PO ,AO ⊂平面PAO ，则BD ⊥平面PAO ，PA ⊂平面PAO ,故BD ⊥PA ，又BD ⊥AC ，PA ∩AC =A ,PA ,AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ,BD ⊥PC ，B 正确；设PA 与底面ABCD 所成角为θ，又V P -ABCD =13S ABCD h =13S ABCD PA sin θ=2，则sin θ=2S ABCD，因为S ABCD =4sin ∠BAD ≤4，则sin θ≥12，由于θ∈0,π2，所以θ∈π6,π2 则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6，C 正确；如图2，当AB ⊥AD ，根据V P -ABCD =13S ABCD h =2，得h =32，即P 点到底面ABCD 的距离为32，过A 点作底面ABCD 的垂线为l ，过点P 作PO ⊥l 交l 于点O ，则PO =AP 2-AO 2=32-32 2=332，点P 的轨迹是以O 为圆心，332为半径的圆，轨迹长度为33π，D 正确.故选：BCD24(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)已知函数f x =x +1 e x -x -1 ，则下列说法正确的有A.f x有唯一零点B.f x 无最大值【答案】BCD【解析】对于A ，依题意，f -1 =f 0 =0，即x =-1和x =0是函数f x =x +1 e x -x -1 的零点，A 错误；对于B ，当x >0时，令u x =e x -x -1，求导得u x =e x -1>0，函数u x 在0,+∞ 上递增，当x ≥2时，u x ≥e 2-3>1，而y =x +1在0,+∞ 上递增，值域为1,+∞ ，因此当x ≥2时，f x >x +1，则f x 无最大值，B 正确；对于C ，f x =x +2 e x -2x -2，令g x =x +2 e x -2x -2，求导得g x =x +3 e x -2，当x >0时，令h x =x +3 e x -2，则h x =x +4 e x >0，即g x =h x 在0,+∞ 上递增，g x >g 0 =1>0，则f x =g x 在0,+∞ 上递增，f x >f 0 =0，因此f x 在0,+∞ 上递增，即f x 在1,+∞ 上单调递增，C 正确；对于D ，当-1<x <0时，φx =e x -2x +2x +2，求导得φ x =e x -2(x +2)2，显然函数φ x 在-1,0 上递增，而φ -1 =1e -2<0,φ 0 =12>0，则存在x 0∈-1,0 ，使得φ x 0 =0，当x ∈x 0,0 时，φx >0，函数φx 在x 0,0 上单调递增，则φx <φ0 =0，即当x ∈x 0,0 时，e x <2x +2x +2，则f x =x +2 e x -2x -2<0，又f 0 =0，因此x =0为f x 的一个极小值点，D 正确.故选：BCD25(2024·高三·山东济南·期末)已知函数f x 的定义域为R ，且f x +y =f x +f y +1，f 1 =0，则()A.f 0 =-1B.f x 有最小值C.f 2024 =2023D.f x +1是奇函数【答案】ACD【解析】对于A 中，令x =y =0，可得f 0 =-1，所以A 正确；对于B 中，令x =x 1,y =x 2-x 1，且x 1<x 2，则f x 1+x 2-x 1 =f x 1 +f x 2-x 1 +1，可得f x 2 -f x 1 =f x 2-x 1 +1，若x >0时，f x >-1时，f x 2 -f x 1 >0，此时函数f x 为单调递增函数；若x >0时，f x <-1时，f x 2 -f x 1 <0，此时函数f x 为单调递减函数，所以函数f x 不一定有最小值，所以B 错误；对于C 中，令y =1，可得f x +1 =f x +f 1 +1=f x +1，即f x +1 -f x =1，所以f 2 -f 1 =1，f 3 -f 2 =1，⋯，f 2024 -f 2023 =1，各式相加得f 2024 -f 1 =2023，所以f 2024 =f 1 +2023=2023，所以C 正确；对于D 中，令y =-x ，可得f 0 =f x +f -x +1，可得f x +1+f -x +1=0，即f -x +1=-f x +1 ，所以函数f x +1是奇函数，所以D 正确；故选：ACD .26(2024·高三·山东德州·期末)双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F ,F 分别为双曲线C :x 2-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为4【答案】ABD【解析】对于A ，由双曲线定义得AF 1 -AF 2 =2a =23，且F 1-2,0 ，则AF 2 +AB =AF 1 +AB -23≥BF 1 -23=4--22+1-23=37-23，所以AF 2 +AB 的最小值为37-2 3.故A 正确；对于B ，设直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，k ≠±33，联立方程组y -y 0=k x -x 0 x 2-3y 2=3，消去y 整理得，1-3k 2 x 2+6k 2x 0-6ky 0 x -3k 2x 20+6kx 0y 0-3y 20-3=0，∴Δ=0，化简整理得9y 20k 2-6x 0y 0k +x 20=0，解得k =x 03y 0，可得直线MN 的方程为y -y 0=x03y 0x -x 0 ，即x 0x -3y 0y =3，故B 正确；对于C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，又O 是F 1F 2中点，所以OH =12F 2E =12AE -AF 2 =12AF 1 -AF 2 =a =3，故C 错误；对于D ，由直线MN 的方程为x 0x -3y 0y =3，令x =0，得y =-1y 0，则N 0,-1y 0，S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2=12×F 1F 2 ×y 0 +1y 0≥12×4×2y 0 ⋅1y 0=4，当且仅当y 0 =1y 0，即y 0=±1时等号成立，所以四边形AF 1NF 2面积的最小值为4，故D 项正确.故选：ABD .27(2024·高三·浙江杭州·专题练习)数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立【答案】BC【解析】由题意可知a n +1-6=1a n -6 3，∴a 2-6=14a 1-6 3,a 3-6=14a 2-6 3=1414a 1-6 3 3=14×143×a 1-6 32，归纳猜想：a n -6=141+3+32+⋯+3n -2a 1-6 3n -1=141-3n -11-3a 1-6 3n -1=223n -1a 1-6 3n -1，A ：当a 1=3时，a n -6=-2×32 3n -1，则a n 为递减数列，无边界，故A 错误；B ：当a 1=5时，a n -6=-2×123n -1，则a n 为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≤6，使a n <M 恒成立，故B 正确；C ：当a 1=7时，a n -6=2×123n -1，则a n 为递减数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≥6，使a n >M 恒成立，故C 正确；D ：当a 1=9时，a n -6=2×323n -1，则a n 为递增数列，无边界，故D 错误；故选：BC .28(2024·高三·吉林·阶段练习)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵ABC -A 1B 1C 1中，P 是BB 1的中点，AA 1=AC =BC =2，若平面α过点P ，且与AC 1平行，则()A.异面直线AC 1与CP 所成角的余弦值为1010B.三棱锥C 1-ACP 的体积是该“堑堵”体积的13C.当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于332D.当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于22【答案】ABC【解析】对于A ，由题可知AC ,CB ,CC 1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则A 2,0,0 ,C10,0,2 ,C 0,0,0 ,P 0,2,1 ，所以AC 1 =-2,0,2 ,CP=0,2,1 ，所以cos AC 1 ,CP =AC 1 ⋅CPAC 1 ⋅CP=28⋅5=1010，所以异面直线AC 1与CP 所成角的余弦值为1010，故A 正确；对于B ，V C 1-ACP =V P -C 1CA =13S △C 1CA ×2=43，V ABC -A 1B 1C 1=12×2×2×2=4，所以B 正确；对于C ，如图，E ，F ，G 分别为AA 1,A 1C 1,C 1B 1的中点，则EF ⎳AC 1，FG ⎳A 1B 1,FG =12A 1B 1，A 1B 1⎳PE ,A 1B 1=PE ，EF =FG =GP =2，PE =22，所以FG ⎳PE ,FG =12PE ，P ,E ,F ,G 共面，又EF ⎳AC 1，AC 1⊄平面PEFG ，EF ⊂平面PEFG ，所以AC 1⎳平面PEFG ，则四边形PEFG 为平面α截棱柱的截面图形，所以四边形PEFG 是等腰梯形，且高为62，当E 不是AA 1中点时，PE 不平行平面A 1B 1C 1，则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，S PEFG =12×2+22 ×62=332，所以C 正确；对于D ，如图，Q ,R ,S 分别为AB ,AC ,CC 1的中点，则RS ⎳AC 1，QR ⎳BC ,QR =12BC ，BC ⎳PS ,BC =PS ，QR =1,RS =2,PS =2，所以QR ⎳PS ,QR =12PS ，同理可得四边形PQRS 为平面α截棱柱的截面图形，由题可知CB ⊥AC ,CB ⊥CC 1,AC ∩CC 1=C ,AC ⊂平面ACC 1A 1，CC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，所以PS ⊥平面ACC 1A 1，又RS ⊂平面ACC 1A 1，所以PS ⊥RS ，故四边形PQRS 是直角梯形，当S 不是CC 1中点时，PS 不平行平面ABC ，则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为S =12×1+2 ×2=322，故D 错误.故选：ABC.29(2024·高三·湖南株洲·期末)已知点A(-2,0),B(2,0),N(0,-2)动点M满足直线AM和BM的斜率之积为-12，记点M的轨迹为曲线C，过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G，则()A.曲线C的方程为：x24+y22=1 B.△PQG为直角三角形C.△PAN面积最大值为2D.△PQG面积最大值为169【答案】BD【解析】对A：设M(x,y)，则yx+2⋅yx-2=-12，化简得：x24+y22=1(x≠±2)，故A错误；对B：设P x0,y0，G x1,y1，Q-x0,-y0,E x0,0，则k PQ=y0x0=k>0，k QE=y02x0=k2，k QGk GP=y1+y0x1+x0⋅y1-y0 x1-x0=y21-y20x21-x20，∵x214+y212=1，x204+y202=1，∴k QG k GP=2-x212-2-x202x21-x20=-12=k2k GP，则k GP=-1k，则k GP⋅k PQ=-1,∠QPG=90°，故B正确；对C：与直线AN平行且与曲线C相切且切点在第一象限的切线方程为y=-22x+m m>0，联立y=-22x+mx24+y22=1得x2-2mx+m2-2=0，由Δ=2m2-4m2-2=0得m=2，∴切线为y=-22x+2，两平行直线的距离为d=22+422+22=(2+2)63，此时△PAN面积最大，最大值为12×6×(2+2)63=2+2，故C错误；对D：设直线PQ得方程为y=kx(k>0)，y=kxx 2+2y2=4，解得x0=22k2+1y0=2k2k2+1 ，则直线PG：y=-1kx-x0+y0=-1kx+k2+1kx0，联立直线PG与曲线C的方程可得2+k2x2-4x0k2+1x+2x20k2+12-4=0，则x0+x G=4x0k2+1k2+2，S△PQG=12y0 x0+x G=8k2+1kk2+22k2+1=8k+1kk+2k2k+1k=8k+1k2k+1k2+1，令t=k+1k≥2，则SΔPQG=8t2t2+1=82t+22t，∵y=2t+22t在2t∈2,+∞，即t∈22,+∞上单调递增，故y=2t+22t≥4+24=92，即SΔPQG=82t+22t≤169，当且仅当k=1时等号成立，故D正确，故选：BD30(2024·高三·江苏镇江·开学考试)正方体A1B1C1D1-ABCD的8个顶点中的4个不共面顶点可以确A.V 中元素的个数为58B.V 中每个四面体的体积值构成集合S ，则S 中的元素个数为2C.V 中每个四面体的外接球构成集合O ，则O 中只有1个元素D.V 中不存在四个表面都是直角三角形的四面体【答案】ABC【解析】正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 的8个顶点中任取4个，共有C 48=70种情况，其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，不构成四面体，所以V 中元素的个数为58，A 选项正确；四面体的体积有以下两种情况：第一种情况如下图所示，四面体的四点在相对面且异面的对角线上，如四面体D 1-B 1AC ，若正方体棱长为a ，则四面体体积为a 3-4×13×12a ⋅a ⋅a =13a 3，第二种情况如下图所示，四面体的四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，如四面体B 1-ABC ，若正方体棱长为a ，则四面体体积为13×12a ⋅a ⋅a =16a 3，所以V 中每个四面体的体积值构成集合S ，则S 中的元素个数为2，B 选项正确；每个四面体的外接球都是原正方体的外接球，O 中只有1个元素，C 选项正确；如下图，四面体B 1-ABD 的每个面都是直角三角形，D 选项错误.故选：ABC31(2024·高三·江苏镇江·开学考试)已知函数f x =sin x +cos2x ，则下列说法正确的是()A.2π是f x 的一个周期B.f x 的最小值是-2C.存在唯一实数a ∈0,2 ，使得f x +a 是偶函数D.f x 在0,π 上有3个极大值点【答案】ACD【解析】对于A ，f x +2π =sin x +2π +cos2x +2π =sin x +cos2x =f x ，所以2π是f x 的一个周期；对于B ，f x =sin x +cos2x ≥sin x ≥-1>-2，故B 错误；对于C ，若f a +x =f a -x ，则f a +π2 =f a -π2，即cos a +cos2a =-cos a +cos2a ，所以cos a =0，又a ∈0,2 ，所以a =π2，经检验符合题意，故C 正确；对于D ，设p x =sin x +cos2x ,q x =sin x -cos2x ，则p x =cos x -2sin2x ,q x =cos x +2sin2x ，令m x =p x ,n x =q x ，则m x =-sin x -4cos2x 在0,π4 ,3π4,π 上的函数值小于0，n x =-sin x +4cos2x 在π4,3π4上的函数值小于0，故所有上面的极值点都是极大值点，同时，p 0 =1>0>22-2=p π4 ,q π4 =2+22>0>-22-2=q 3π4，p 3π4 =-22+2>0>-1=p π ，所以f x 在0,π4 ,π4,3π4 ,3π4,π 上各有一个极大值点，从而有三个极大值点，故D 正确.故选：ACD .32(2024·高三·江苏南京·开学考试)如图，该几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90°得到的，已知点G 是圆弧CE的中点，点H 是圆弧DF上的动点(含端点)，则下列结论正确的是()A.不存在点H ，使得CH ⊥平面BDGB.存在点H ，使得平面AHE ⎳平面BDGC.存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角的余弦值为73D.不存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13【答案】BCD【解析】由题意，可将几何体补全为一个正方体ADMF -BCNE ，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为2，则A (0,0,0),B 0,0,2 ,C 2,0,2 ,D 2,0,0 ，G 2,2,2 ,E 0,2,2 ,F 0,2,0 ，设H 2cos α,2sin α,0 0≤α≤π2.对于A 选项，假设存在点H ，使得CH ⊥平面BDG ，因为CH =2cos α-2,2sin α,-2 ，DB =-2,0,2 ，BG =2,2,0 ，则CH ⋅DB=4-4cos α-4=0CH ⋅BG =22cos α-1 +22sin α=0，可得sin α=1cos α=0 ，因为0≤α≤π2，则α=π2，即当点H 与点F 重合时，CH ⊥平面BDG ，故A 选项错误；对于B 选项，由A 选项可知，平面BDG 的一个法向量为FC=2,-2,2 ，假设存在点H ，使得平面AHE ⎳平面BDG ，则FC ⊥AH ,FC ⊥AE ，AH =2cos α,2sin α,0 ，AE =0,2,2 ，则FC ⋅AH=4cos α-4sin α=0FC ⋅AE =-4+4=0 ，可得tan α=1，又因为0≤α≤π2，解得α=π4，即当点H 为DF 的中点时，平面AHE ⎳平面BDG ，故B 选项正确；对于C 选项，若存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 所成角的余弦值为73，则直线EH 与平面BDG 所成角的正弦值为1-73 2=23，EH=2cos α,2sin α-2,-2 ，所以cos EH ,FC =EH ⋅FCEH ⋅FC =4cos α-4sin α 23×4cos 2α+4sin α-1 2+4=cos α-sin α 33-2sin α=23，整理可得3sin2α-4sin α+3=0，因为函数f α =3sin2α-4sin α+3在α∈0,π2时的图象是连续的，且f 0 =3>0，f π2 =-4+3=-1<0，所以存在α0∈0,π2，使得f α =0，所以，存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 所成角的余弦值为73，C 选项正确；对于D 选项，设平面CEH 的法向量为n=x ,y ,z ，CE =-2,2,0 ,CH =2cos α-2,2sin α,-2 ，则n ⋅CE=-2x +2y =0n ⋅CH=2x cos α-1 +2y sin α-2z =0，取x =1，则y =1,z =sin α+cos α-1，可得n =1,1,sin α+cos α-1 ，假设存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13，则cos n ,FC =n ⋅FCn ⋅FC=2sin α+cos α-1 2+(sin α+cos α-1)2×23=13，可得sin α+cos α-1 2=1，即sin α+cos α-1=±1可得sin α+cos α=0或sin α+cos α=2，因为α∈0,π2 ，则π4≤α+π4≤3π4则22≤sin α+π4 ≤1，所以sin α+cos α=2sin α+π4 ∈1,2 ，故当α∈0,π2时，方程sin α+cos α=0和sin α+cos α=2均无解，综上所述，不存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13，故D 选项正确.故选：BCD33(2024·高三·江苏无锡·开学考试)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BC 上的动点，F 为棱B 1B 的中点，则下列选项正确的是()A.直线A 1D 1与直线EF 相交B.当E 为棱BC 上的中点时，则点E 在平面AD 1F 的射影是点FC.不存在点E ，使得直线AD 1与直线EF 所成角为30°D.三棱锥E -ADF 的体积为定值【答案】CD【解析】A ：由题意知，A 1D 1⎳B 1C 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1CB ，A 1D 1⊄平面B 1C 1CB 所以A 1D 1⎳平面B 1C 1CB ，又EF ⊂平面B 1C 1CB ，所以A 1D 1与EF 不相交，故A 错误；B ：连接AD 1、D 1F 、AF 、AE 、CB 1，如图，当点E 为BC 的中点时，EF ⎳CB 1，又AD 1⊥CB 1，所以EF ⊥AD 1，若点E 在平面AD 1F 的射影为F ，则EF ⊥平面AD 1F ，垂足为F ，所以EF ⊥AF ，设正方体的棱长为2，则AE =AF =5，EF =2，在△AEF 中，AF 2+EF 2≠AE 2，所以∠AFE ≠90°，即EF ⊥AF 不成立，故B 错误；C ：建立如图空间直角坐标系D -xyz ，连接BC 1，则AD 1⎳BC 1，所以异面直线EF 与AD 1所成角为直线EF 与BC 1所成角，设正方体的棱长为2，若存在点E (a ,2,0)(0≤a ≤2)使得EF 与BC1所成角为30°，则B (2,2,0)，F (2,2,1)，C所以EF ⋅BC 1 =2a -2，又EF ⋅BC 1 =EF BC 1 cos30°，得2a -2 =22×(2-a )2+1×32，解得a =4±3，不符合题意，故不存在点E 使得EF 与AD 1所成角为30°，故C 正确；D ：如图，由等体积法可知V E -ADF =V F -ADE ，又V F -ADE =13S △ADE ⋅BF =13×12×AD ×AB ×BF ，AD 、AB 、BF 为定值，所以V F -ADE 为定值，所以三棱锥E -ADF 的体积为定值，故D 正确.故选：CD .34(2024·全国·一模)设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则( )．A.f (a )=12B.f (x )=12成立C.f (x +y )=2f (x )f (y )D.满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .35(2024·高三·河北保定·开学考试)如图，在三棱锥P -ABC 中，∠ACD =60°,2AC =BC =PB =PC ，平面PBC ⊥平面ABC ,D 是BC 的中点，PD =43，则()A.三棱锥P -ABC 的体积为3233B.PA 与底面ABC 所成的角为π4C.PA =8D.三棱锥P -ACD 的外接球的表面积为208π3【答案】CD【解析】因为BC =PB =PC ，则三角形△PBC 为等边三角形，又D 是BC 的中点，PD =43，所以BC =PB =PC =8，所以AC =4，。

2024新高考数学新题型试卷题目：已知函数f(x) = (1)/(3)x^3-ax^2+bx + 1，其中a,b∈ R，且曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y = - 2x+(5)/(3)。

求a，b的值；求函数f(x)在区间[ - 1,2]上的最大值和最小值。

解析：1. 首先对函数f(x)=(1)/(3)x^3-ax^2+bx + 1求导：- 根据求导公式(X^n)^′=nX^n - 1，可得f^′(x)=x^2-2ax + b。

2. 因为曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-2x+(5)/(3)，所以有：- 先求f(1)和f^′(1)：- f(1)=(1)/(3)-a + b+1=(4)/(3)-a + b。

- f^′(1)=1 - 2a + b。

- 由于切线方程y=-2x+(5)/(3)的斜率为-2，所以f^′(1)=1 - 2a + b=-2。

- 又因为点(1,f(1))在切线上，所以f(1)=(4)/(3)-a + b=-2×1+(5)/(3)=- (1)/(3)。

3. 联立方程求解：- 由-得：((4)/(3)-a + b)-(1 - 2a + b)=-(1)/(3)-(-2)。

- 展开得(4)/(3)-a + b - 1+2a - b=(5)/(3)。

- 化简得a=(4)/(3)。

- 将a = (4)/(3)代入得：1-2×(4)/(3)+b=-2。

- 即1-(8)/(3)+b=-2。

- 解得b = -(1)/(3)。

1. 由知a=(4)/(3)，b = -(1)/(3)，所以f(x)=(1)/(3)x^3-(4)/(3)x^2-(1)/(3)x + 1，f^′(x)=x^2-(8)/(3)x-(1)/(3)。

2. 令f^′(x)=0，即x^2-(8)/(3)x-(1)/(3)=0，对于一元二次方程Ax^2+Bx + C = 0（这里A = 1，B=-(8)/(3)，C = -(1)/(3)），根据求根公式x=frac{-B±√(B^2)-4AC}{2A}，可得：- x=(frac{8)/(3)±√((-frac{8){3})^2-4×1×(-(1)/(3))}}{2×1}=(frac{8)/(3)±√(frac{64){9}+(4)/(9)}}{2}=(frac{8)/(3)±√(frac{68){9}}}{2} =(frac{8)/(3)±(2√(17))/(3)}{2}=(4±√(17))/(3)。

1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x = 1处的切线斜率为多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：首先求导数f'(x) = 6x^2 - 6x + 4，代入x = 1得f'(1) = 4，即切线斜率为4。

2. 若a、b、c为等差数列，且a + b + c = 12，b = 4，则c的值为多少？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：D解析：由等差数列的性质，得2b = a + c，代入a + b + c = 12和b = 4，得a + c = 8，又因为b = 4，所以c = 8。

3. 若x^2 + 2x + 1 = 0，则x的值为多少？A. 1B. -1C. 0D. 无法确定答案：A解析：由完全平方公式，得(x + 1)^2 = 0，解得x = -1。

4. 若log2x + log4x + log8x = 3，则x的值为多少？A. 2B. 4C. 8D. 16答案：C解析：利用对数的换底公式，得log2x + log2x^(1/2) + log2x^(3/4) = 3，即log2x^((1 + 1/2 + 3/4)) = 3，解得x^((7/4)) = 2^3，即x = 8。

5. 若a、b、c、d为等比数列，且a + b + c + d = 32，a = 2，则d的值为多少？A. 8B. 16C. 32D. 64答案：D解析：由等比数列的性质，得a d = b c，代入a + b + c + d = 32和a = 2，得2 + b + c + d = 32，即b + c + d = 30，又因为a d = b c，所以2d = 30，解得d = 15。

二、填空题6. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的对称轴方程为x = ________。

答案：2解析：对称轴方程为x = -b/2a，代入a = 1，b = -4，得x = 2。

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编08一、单选题1(2024·广东湛江·二模)已知函数f x =2x -1 -a ，g x =x 2-4x +2-a ，则()A.当g x 有2个零点时，f x 只有1个零点B.当g x 有3个零点时，f x 有2个零点C.当f x 有2个零点时，g x 有2个零点D.当f x 有2个零点时，g x 有4个零点【答案】D【解析】两个函数的零点个数转化为图象与y =a 的图象的公共点的个数，作出y =2x -1 ，y =x 2-4x +2的大致图象，如图所示.由图可知，当g x 有2个零点时，f x 无零点或只有1个零点；当g x 有3个零点时，f x 只有1个零点；当f x 有2个零点时，g x 有4个零点.故选：D2(2024·甘肃定西·一模)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ,∠ABD =60°,PB ,PC 与底面ABCD 所成的角分别为α,β，且α+β=45°，则PAAB =()A.17-22B.15-32C.15-22D.17-32【答案】D【解析】如图，设AB =a ,PA =b ，因为在矩形ABCD 中，∠ABD =60°，所以AC =BD =2a ，因为PA ⊥底面ABCD ，所以∠PBA ,∠PCA 分别是PB ,PC 与底面ABCD 所成的角，即α=∠PBA ,β=∠PCA ，所以tan α=tan ∠PBA =b a ,tan β=tan ∠PCA =b2a.因为α+β=45°，所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=ba+b2a 1-b a ⋅b 2a =1，解得b a =17-32(负根舍去)，所以PAAB =17-32.故选：D .3(2024·高三·江西·开学考试)如图，已知圆O 的半径为2，弦长AB =2，C 为圆O 上一动点，则AC ⋅BC的取值范围为()A.0,4B.5-43,5+43C.6-43,6+43D.7-43,7+43【答案】C【解析】取AB 的中点D ，连接CD 、OD ，则AC ⋅BC =AD +DC ⋅BD +DC =AD ⋅BD +AD +BD ⋅DC +DC 2=DC 2-1，又OD =22-12=3，所以CD min =2-3，CD max =2+3，即2-3≤CD ≤2+3，所以AC ⋅BC min =6-43，AC ⋅BC max =6+43．故AC ⋅BC的取值范围为6-43,6+43 ．故选：C4(2024·高三·江苏·期末)已知直线l 与椭圆x 29+y 23=1在第二象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点(M ,N 在椭圆外)，若AM =BN ，则l 的倾斜角是()A.π6B.π3C.π4D.5π12【答案】A【解析】设l ：y =kx +b (k >0，b >0)，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +bx 29+y 23=1，得3k 2+1 x 2+6kbx +3b 2-9=0，由题意知Δ=36k 2b 2-43k 2+1 3b 2-9 =129k 2+3-b 2 >0，所以x 1+x 2=-6kb 3k 2+1，x 1x 2=3b 2-93k 2+1，设AB 的中点为E ，连接OE ，因为AM =BN ，所以AM +AE =BE +BN ，得EM =EN ，又因为N -bk,0 ，M 0,b ，所以E 也是MN 的中点，所以E 的横坐标为x E =x 1+x 22=-b k 2，从而得-6kb 3k 2+1=-b k ，因为A ,B 交在第二象限k >0，解得k =33，设直线l 倾斜角为θ，得tan θ=33，得θ=π6，故A 正确.故选：A .5(2024·湖南娄底·一模)已知圆内接四边形ABCD 中，AD =2,∠ADB =π4,BD 是圆的直径，AC ⋅BD=2，则∠ADC =()A.5π12B.π2C.7π12D.2π3【答案】C【解析】因为AC ⋅BD =2，所以AD +DC ⋅BD =2，易知BD =4，结合图形，AD ·BD =2×4×22=4，∠BCD =90°，则4-DC 2=2，故DC = 2.又BD 是圆的直径，AD =2,∠ADB =π4，所以BD =22，所以在直角三角形BCD 中可得∠BDC =π3，故∠ADC =7π12.故选：C .6(2024·湖南娄底·一模)若直线ex -4y +e ln4=0是指数函数y =a x (a >0且a ≠1)图象的一条切线，则底数a =()A.2或12B.eC.eD.e 或e【答案】D【解析】设切点坐标为x 0,f x 0 ，对函数y =a x ，求导得y =a x ln a ，切线方程ex -4y +e ln4=0化成斜截式为y =e 4x +e ln44，由题设知e4=a x 0ln a >0a x 0=ex 0+e ln44，显然ln a >0，即a >1，由a x 0=e 4ln a ，得e 4ln a =ex 0+e ln44，即1ln a=x 0+ln4，即1=x 0⋅ln a +ln a ln4=ln a x 0+ln4ln a =ln a x⋅4ln a ，即e =a x 0⋅4ln a =e4ln a ⋅4ln a ，化简得4ln a =4ln a ，令ln a =t >0，即4t =4t ，利用指数函数与一次函数的性质，可知t =1或12，即ln a =1或12，解得a =e 或 e.故选：D .7(2024·河北沧州·一模)过点P 1,2 作圆O :x 2+y 2=10相互垂直的两条弦AB 与CD ，则四边形ACBD 的面积的最大值为()A.66B.215C.96D.15【答案】D【解析】如图所示：OP =5,记OM =m ,ON =n ,则m 2+n 2=5，AC =210-m 2,BD =210-n 2，S ACBD =12AC ⋅BD =210-m 2⋅10-n 2≤2×10-m 2+10-n 22=15，当且仅当10-m 2=10-n 2，即m =n =102时，取等号.所以四边形ACBD 的面积的最大值为15.故选：D8(2024·湖南·一模)若不等式e x -1-mx -2n -3≥0对∀x ∈R 恒成立，其中m ≠0，则nm的取值范围为()A.-∞,-ln3e 2B.ln3e 2,+∞ C.-e ,-ln3e 2D.ln3e 2,e 【答案】A【解析】令e x -1-mx -2n -3=0，即e x -1=mx +2n +3，当m <0时，由函数y =e x -1与y =mx +2n +3的图象可知，两函数图象有一个交点，记为x 0,y 0 ，则当x <x 0时，e x -1<mx +2n +3，即e x -1-mx -2n -3<0，不满足题意；当m >0时，令f x =e x -1-mx -2n -3，则f x =e x -1-m ，令f x =0，则x =ln m +1，因为f x =e x -1-m 单调递增，所以当x <ln m +1时，f x <0，f x 单调递减，当x >ln m +1时，f x >0，f x 单调递增，所以x =ln m +1时，f x 有最小值f ln m +1 =-m ln m -2n -3，又e x -1-mx -2n -3≥0对∀x ∈R 恒成立，所以-m ln m -2n -3≥0，即2n ≤-m ln m -3，所以2n m ≤-ln m -3m，当且仅当2n =-m ln m -3时等号成立.令g m =-ln m -3m ，则g m =-1m +3m 2=3-mm 2，当0<m <3时，g m >0，g m 单调递增，当m >3时，g m <0，g m 单调递减，所以当m =3时，g max m =-ln3-1=-ln3e ，所以2n m ≤-ln3e ，即n m ≤-ln3e 2，当且仅当m =3，n ≤-3ln3e 2时等号成立，所以n m 的取值范围为-∞,-ln3e 2 .故选：A9(2024·湖南·模拟预测)如图所示，面积为π的扇形OMN 中，M ,N 分别在x ,y 轴上，点P 在弧MN 上(点P 与点M ,N 不重合)，分别在点P ,N 作扇形OMN 所在圆的切线l 1,l 2，且l 1与l 2交于点Q ，其中l 1与x 轴交于点R ，则NQ +QR 的最小值为()A.4B.23C.6D.2【答案】B【解析】解析：因为扇形OMN 的面积为π，即14πOP 2=π，所以OP =2，设∠POM =θ，则在Rt △OPR 中，PR =2tan θ，连接OQ ，根据切线的性质知QN =QP ,∠NOQ =12∠NOP =π4-θ2，则在Rt △NOQ 中，NQ =2tan π4-θ2，所以NQ +QR =PR +2NQ =2tan θ+4tan π4-θ2 ,θ∈0,π2，令α=π4-θ2，则θ=π2-2α，且α∈0,π4，所以原式=2tan π2-2α +4tan α=2tan2α+4tan α=1-tan 2αtan α+4tan α=3tan α+1tan α≥21tan α⋅3tan α=23，当且仅当3tan α=1tan α，即tan α=33时，等号成立，又α∈0,π4 ，所以α=π6=θ=∠POM 时，NQ +QR 取得最小值，为23，故选：B10(2024·陕西商洛·模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】设f x =sin x -x -x 2 ,x ∈0,0.2 ,f x =cos x -1+2x ，设g x =f x ,g x =-sin x +2>0，所以g x ≥g 0 =0，所以函数f x 在0,0.2 上单调递增，所以f 0.2 =sin0.2-0.2-0.22 =sin0.2-0.16>f 0 =0，即a >b .根据已知得c =12ln 32=12ln 1.20.8=12ln 1+0.21-0.2，可设h x =12ln 1+x -ln 1-x -sin x ,x ∈ 0,0.2 ，则h x =1211+x +11-x -cos x =11-x 2-cos x >0，所以函数h x 在0,0.2 上单调递增，所以h 0.2 >h 0 =0，即c >a .综上，c >a >b .故选：D .11(2024·河南信阳·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和为S n ，S 1=1，S 2=3，且32a n +1是2a n ，a n +2的等差中项，则使得ni =1i a i>509128成立的最小的n 的值为()A.8B.9C.10D.11【答案】D 【解析】∵32a n +1是2a n ，a n +2的等差中项，∴a n +2=3a n +1-2a n ，故a n +2-a n +1=2a n +1-a n ，而a 2-a 1=S 2-2S 1=1≠0，∴a n +2-an +1a n +1-a n=2，故数列a n +1-a n 是首项为1，公比为2的等比数列，则a n +1-a n =2n -1，∴a n =a n -a n -1 +a n -1-a n -2 +⋯+a 2-a 1 +a 1=2n -2+2n -1+⋯+20+1=1-2n -11-2+1=2n -1，记T n =ni =1i a i，则T n =120+221+⋯+n2n -1，2T n =12-1+220+⋯+n2n -2，两式相减可得，T n =12-1+120+121+⋯+12n -2-n 2n -1=21-12 n1-12-n 2n -1=4-2+n 2n -1，即ni =1i a i=4-2+n 2n -1，令4-2+n 2n -1>509128，即2+n 2n -1<3128，设f x =2+x 2x -1x >0 ，则fx =2x -1-2+x ⋅2x -1⋅ln22x -1 2=1-2+x ⋅ln22x -1，∵x >0，∴f x <0，∴f x 在0,+∞ 单调递减，∴2+n 2n -1 是递减数列，∵当n =10时，2+n 2n -1=2+10210-1=3128，∴当n >10时，ni =1i a i >509128，∴使得ni =1i a i>509128成立的最小的n 的值为11.故选：D .12(2024·全国·模拟预测)若关于x 的不等式a (ln x +ln a )≤2e 2x 在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为()A.(0,e ]B.0,e 2C.(0,e ]D.(0,2e ]【答案】D【解析】依题意得，ax ln ax ≤2xe 2x ，故eln axln ax ≤2xe 2x ，令f x =xe x ,x ∈R ，则f x =x +1 e x ，令f x =0可得x =-1，所以x ∈-∞,-1 时，f x <0，则f x 在-∞,-1 上单调递减，x ∈-1,+∞ 时，f x >0，则f x 在-1,+∞ 上单调递增；且当x <0时，f x <0，当x >0时，f x >0；则由f ln ax ≤f 2x x >0 ，得ln ax ≤2x ，则a ≤e 2xx 令g x =e 2xx ,x ∈0,+∞ ，则g x =2x -1 e 2xx2，故当x ∈0,12 时，g x <0，g x 单调递减，当x ∈12,+∞ 时，g x >0,g x 单调递增，故g x min =g 12=2e ，则a ≤2e ，则实数a 的取值范围为a ∈0,2e .故选：D ．13(2024·湖南岳阳·二模)设a =log 23，b =log 35，c =log 58，则()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >a >b【答案】A【解析】因为32>23，所以log 232>log 223，即2log 23>3，所以log 23>32，即a >32；因为52<33，所以log 352<log 333，即2log 35<3，所以log 35<32，即b <32；因为82<53，所以log 582<log 553，即2log 58<3，所以log 58<32，即c <32；又因为b -c =log 35-log 58=1log 53-log 58=1-log 53⋅log 58log 53，且2log 53⋅log 58<log 53+log 58=log 524<log 525=2，所以log 53⋅log 58<1，所以b -c >0，所以b >c ；综上所述，a >b >c .故选：A .14(2024·湖南岳阳·二模)已知点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆x 2+y 2=16上的两点，若∠AOB =π2，则x 1+y 1-2 +x 2+y 2-2 的最大值为()A.16B.12C.8D.4【答案】B【解析】因为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)在圆x 2+y 2=16上，∠AOB =π2，因为|OA |=|OB |=4，则△AOB 是等腰直角三角形，|x 1+y 1-2|+|x 2+y 2-2|表示A 、B 到直线x +y -2=0的距离之和的2倍，原点O 到直线x +y -2=0的距离为d =22=2，如图所示：AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，E 是AB 的中点，作EF ⊥CD 于F ，且OE ⊥AB ，|AC |+|BD |=2|EF |，OE =12AB =22，EF ≤OE +d =32，当且仅当O ,E ,F 三点共线，且E ,F 在O 的两侧时等号成立，又EF =12BD +AC ，故BD +AC 的最大值为62|x 1+y 1-2|+|x 2+y 2-2|的最大值为22×32=12．故选：B ．15(2024·湖南·二模)2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有()A.792种 B.1440种 C.1728种 D.1800种【答案】B【解析】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有C 12C 14种排法，再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有C 26C 24C 22种排法，所以一共有C 12C 14C 26C 24C 22=720种排法；当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有A 24种排法，不考虑甲两天不能连排的情况，有C 26C 24C 22种排法，其中甲两天连排的排法有5C 24C 22种，故初三到初八的值班安排有C 26C 24C 22-5C 24C 22种排法，所以一共有A 24C 26C 24C 22-5C 24C 22 =720种排法；综上可知共有720+720=1440种不同排法.故选：B .16(2024·湖南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,O 为坐标原点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 交于点P ，且OP 在OF 1 上的投影向量为35OF 1，则双曲线C 的离心率为()A.2 B.3C.4D.5【答案】D【解析】不妨设点P 在第二象限，如图，因为OP 在OF 1 上的投影向量为35OF 1 ，则P -35c ,y 0 ，又PO 2=r 2=c 2，所以y 20=c 2--35c 2=1625c 2，又P 在双曲线上，∴9c 225a 2-16c 225b2=1，则25a 2b 2+16a 2c 2-9b 2c 2=0，即25a 2c 2-a 2 +16a 2c 2-9c 2-a 2 c 2=0，整理得9c 2-5a 2 c 2-5a 2 =0，所以9e 2-5 e 2-5 =0，解得e 2=5或e 2=59(舍去)，∴e = 5.故选：D .17(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2+c 2+2ac =0，若cos A -C =7210，α∈π4,π2 ,cos α+A cos α+C cos 2α=25，则tan α的值为()A.1 B.2C.4D.2或4【答案】C【解析】由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =-22⇒B =3π4,A +C =π4，即cos A -C =7210cos A +C =22⇒cos A cos C =325sin A sin C =210，cos α+A cos α+C cos 2α=cos 2αcos A cos C +sin 2αsin A sin Ccos 2α--sin αcos αsin A cos C +sin C cos A cos 2α=325cos 2α+210sin 2α-22sin αcos αcos 2α=325+210tan 2α-22tan α=25，所以tan 2α-5tan α+4=0⇒tan α=1或tan α=4，又α∈π4,π2，所以tan α=4.故选：C18(2024·湖南常德·三模)设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为()A.56B.67C.78D.1720【答案】A【解析】设事件B 1表示任选一件产品，来自于甲箱，事件B 2表示任选一件产品，来自于乙箱，事件A 从两箱产品中任取一件，恰好不合格，P A =P A |B 1 P B 1 +P A |B 2 P B 2 =0.1×0.5+0.2×0.5=0.15又P B 1|A =P AB 1 P A =P A |B 1 P B 1 P A=0.1×0.50.15=13P B 2|A =P AB 2 P A =P A |B 2 P B 2 P A=0.2×0.50.15=23，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为13×910+23×810=56.故选：A .19(2024·湖南·模拟预测)有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X 为得到最大点数与最小点数之差，则X 的数学期望E X =()A.2116B.32C.74D.158【答案】D【解析】X 的所有可能取值为0,1,2,3，记三次得到的数组成数组a ,b ,c ，满足X =0的数组有：1,1,1 ,2,2,2 ,3,3,3 ,4,4,4 ，共4个，所以P X =0 =443=116，满足X =1的数组有：1,1,2 ,1,2,1 ,2,1,1 ,2,2,3 ,2,3,2 ,3,2,2 ,3,3,4 ,3,4,3 ,4,3,3 ，2,2,1 ,2,1,2 ,1,2,2 ,3,3,2 ,3,2,3 ,2,3,3 ,4,4,3 ,4,3,4 ,3,4,4 ，共18个，所以P X =1 =1843=932，满足X =2的数组有：1,1,3 ,1,3,1 ,3,1,1 ,2,2,4 ,2,4,2 ,4,2,2 ，3,3,1 ,3,1,3 ,1,3,3 ,4,4,2 ,4,2,4 ,2,4,4 ，1,2,3 ,1,3,2 ,2,1,3 ,2,3,1 ,3,1,2 ,3,2,1 ，4,2,3 ,4,3,2 ,2,4,3 ,2,3,4 ,3,4,2 ,3,2,4 ，共24个，所以P X =2 =2443=38，满足X =3的数组有：1,2,4 ,1,3,4 ,1,4,4 ，1,4,1 ,1,4,2 ,1,4,3 ，1,1,4 ,2,1,4 ,3,1,4 ，4,1,1 ,4,2,1 ,4,3,1 ，4,1,2 ,4,1,3 ,4,1,4 ，2,4,1 ,3,4,1 ,4,4,1 ，共18个，所以P X =3 =1843=932，所以X 的数学期望E X =0×116+1×932+2×38+3×932=158.故选：D .20(2024·湖南·模拟预测)已知函数f x 满足f x +8 =f x ，f x +f 8-x =0，当x ∈0,4 时，f x =ln 1+sin π4x ，则函数F x =f 3x -f x 在0,8 内的零点个数为()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】根据题意，函数f x 的周期为8，图象关于点4,0 对称，又f 38-x +f 3x =f 8-3x +f 3x =-f 3x +f 3x =0，所以函数y =f 3x 的图象也关于点4,0 对称，由x ∈0,4 ，f x =ln 1+sin π4x ，∴fx =π4cos π4x 1+sin π4x ，∵0≤π4x <π，sin π4x ≥0，令f x >0，解得0≤x <2，令f x <0，解得2<x <4，所以函数f x 在0,2 上单调递增，在2,4 上单调递减，f 2 =ln2，f 0 =f 4 =0，在同一个坐标系中，作出函数y =f 3x 与y =f x 的图象，如图，由图可得，函数y =f 3x 与y =f x 在0,4 上有两个交点，因为函数y =f 3x 与y =f x 图象均关于点4,0 对称，所以函数y =f 3x 与y =f x 在4,8 上有两个交点，又f 12 =f 4 =0，所以函数F x =f 3x -f x 在0,8 内的零点个数为5.故选：C .21(2024·高三·江苏镇江·开学考试)某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为p 1，p 2，且满足p 1+p 2=43，每局之间相互独立.记甲、乙在n 轮训练中训练过关的轮数为X ，若E X =16，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为()A.27 B.24 C.32 D.28【答案】A【解析】设每一轮训练过关的概率为p ，则p =p 21p 22+p 21×C 12×p 2×1-p 2 +p 22×C 12×p 1×1-p 1=-3p 21p 22+2p 1p 2p 1+p 2 =-3p 21p 22+2p 1p 2×43=-3p 21p 22+83p 1p 2，0<p 1p 2≤p 1+p 22 2=49，当且仅当p 1=p 2=23时等号成立.函数y =-3x 2+83x 的开口向上，对称轴为x =49，所以0<-3p 21p 22+83p 1p 2≤-3⋅49 2+83⋅49=1627，依题意，X ∼B n ,p ，则E X =n -3p 21p 22+83p 1p 2=16，n =16-3p 21p 22+83p 1p 2≥161627=27，所以至少需要27轮.故选：A22(2024·河南·模拟预测)已知圆O 为△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，BC =23，则OB ⋅OC=()A.2B.-2C.4D.-4【答案】B【解析】如图，圆O 的直径为2R =BC sin ∠BAC=2332=4，故OB =OC =R =2，∠BOC =2∠BAC =120°，故OB ⋅OC =OB OC cos120°=2×2×-12=-2.故选：B .二、多选题23(2024·广东湛江·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x 不恒为零，且f x +y +f x -y =2f x f y ，则()A.f 0 =1B.f x 为偶函数C.f x 在x =0处取得极小值D.若f a =0，则f (x )=f (x +4a )【答案】ABD【解析】对于选项A ，令x =y =0，得2f 0 =2f 0 2，解得f 0 =0或f 0 =1，当f 0 =0时，令y =0，则2f x =2f x f 0 ，则f x =0，这与f x 不恒为零矛盾，所以f 0 =1，故选项A 正确，对于选项B ，令x =0，则f 0+y +f 0-y =2f y f 0 ，即f y =f -y ，即f x 为偶函数，所以选项B 正确，对于选项C ，取f x =cos x ，满足题意，此时x =0不是f x 的极小值点，所以选项C 错误，对于选项D ，令y =a ，得f x +a +f x -a =2f x f a ，若f a =0，则f x +a =-f x -a ，则f x =-f x +2a ，则f x +4a =-f x +2a =f x ，所以选项D 正确，故选：ABD .24(2024·甘肃定西·一模)下列命题为真命题的是()A.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是2B.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是5C.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是2D.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是3【答案】BC【解析】设A (0,2),B (-1,1),F (-1,0),P (x ,-4x )，易知点P 的轨迹是抛物线y 2=-4x 的上半部分，抛物线y 2=-4x 的准线为直线x =1,P 到准线的距离d =|x -1|，F 为抛物线y 2=-4x 的焦点，对于AB ，x 2-4x -8-x +4+|x -1|=x 2+(-4x -2)2+d =|PA |+d =|PA |+|PF |≥|AF |=5，所以x 2-4x -8-x +4+|x -1|的最小值为5，故A 错误，B 正确；对于CD ，x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2=x 2+(-4x -2)2+(x +1)2+(-4x -1)2=|PA |+|PB |≥|AB |=2，所以x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是2，故C 正确，D 错误.故选：BC .25(2024·高二·福建福州·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．比如取正整数m =8，根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1．猜想的递推关系如下：已知数列a n 满足a 1=5，a n +1=a n2,a n 为偶数3a n+1,a n为奇数 ，设数列a n的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是()A.a3=8B.a 5=2C.S 10=49D.S 300=722【答案】ABD【解析】因为数列a n 满足a 1=5，a n +1=a n2,a n 为偶数3a n+1,a n为奇数 ，所以a 2=3×5+1=16,a 3=162=8,a 4=82=4,a 5=42=2,a 6=22=1,a 7=3×1+1=4,a 8=42=2,a 9=22=1,a 10=3×1+1=4，所以S 10=5+16+8+4+2+1+4+2+1+4=47，所以AB 正确，C 错误，因为数列a n 中从第4项起以4，2，1循环，而(300-3)÷3=99，所以S 300=(5+16+8)+99×(4+2+1)=722，所以D 正确，故选：ABD26(2024·高三·江西·期末)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P 分别是线段C 1D 1，线段C 1C ，线段A 1B 上的动点，且MC 1=NC 1≠0.则下列说法正确的有()A.MN ⊥ABB.直线MN 与AP 所成的最大角为90°C.三棱锥M -DPC 的体积为定值D.当四棱锥P -D 1DBB 1体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为12π【答案】BCD【解析】对于A ，由MC 1=NC 1≠0，可得D 1C ⎳MN ，因为AB ⎳D 1C 1，所以MN 与AB 不垂直，因此A 不正确；对于B ，因为D 1C ⎳A 1B ，所以MN ⎳A 1B ，因此直线MN 与AP 所成的角就是直线A 1B 与AP 所成的角，当P 为A 1B 中点时，此时AP ⊥A 1B ,直线A 1B 与AP 所成的角最大为90°，因此B 正确：对于C ，由于平面ABB 1A 1⎳平面DCC 1D 1,AP ⊂平面ABB 1A 1,所以V M -DPC =V P -DMC =V P -D 1DC =V A -D 1DC =13×12×2×2×2=43为定值，C 正确：对于D ，VP -BDD 1B 1=2V P -BDD 1=2V D 1-PBD ,由于P 为A 1B 上的点，故D 1到平面A 1BD 的距离为定值，所以D 1到平面PBD 的距离为定值，要使V D 1-PBD 最大，只需要S △PBD 最大，故当P 为A 1点时，四棱锥P -D 1DBB 1体积最大，该四棱锥的外接球即正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球，直径为BD 1=23，所以r =3，故其表面积为12π，因此D 正确．故选：BCD ．27(2024·湖南娄底·一模)对于事件A 与事件B ，若A ∪B 发生的概率是0.72，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的2倍，下列说法正确的是()A.若事件A 与事件B 互斥，则事件A 发生的概率为0.36B.P B ∣A =2P A ∣BC.事件A 发生的概率的范围为0.24,0.36D.若事件A 发生的概率是0.3，则事件A 与事件B 相互独立【答案】BCD【解析】对于A ，若事件A 与事件B 互斥，则P A ∪B =P A +P B =3P A =0.72，所以P A =0.24,A ，故A 错误；对于B ，P B |A =P AB P A ,P A |B =P AB P B =P AB 2P A=12P B |A ，故B 正确；对于C ，P A ∪B =P A +P B -P AB =3P A -P AB =0.72,P A =0.24+P AB3，若事件A 与事件B 互斥，则P AB =0，此时P A 取到最小值为0.24，若P A ⊆P B ，此时P AB =P A ,P A 取到最大值为0.36，故C 正确；对于D ，P A =0.3，则P B =0.6，由P A ∪B =P A +P B -P AB ，得P AB =0.3+0.6-0.72=0.18=P A ⋅P B ，则事件A 与事件B 相互独立，故D 正确.故选：BCD .28(2024·湖南娄底·一模)已知函数f x 的定义域和值域均为x ∣x ≠0,x ∈R ，对于任意非零实数x ,y ,x +y ≠0，函数f x 满足：f x +y f x +f y =f x f y ，且f x 在-∞,0 上单调递减，f 1 =1，则下列结论错误的是()A.f 12=2B.2023i =1f12i=22023-2C.f x 在定义域内单调递减 D.f x 为奇函数【答案】BC【解析】对于A ，令x =y =12，则2f 1 f 12=f 12 2，因f 12≠0，故得f 12=2f (1)=2，故A 正确；对于B ,由f x +y f x +f y =f x f y ，令y =x ，则f (2x )=[f (x )]22f (x )=12f (x )，则f12i =f 2×12i +1 =12f 12i +1 ，即f 12i +1 =2f 12i，故f 12i是以f 12 =2为首项，2为公比的等比数列，于是2023i =1f 12i=21-22023 1-2=22024-2，故B 错误；对于D ，由题意，函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，关于原点对称，令y =-2x ，则f -x =f x f -2xf x +f -2x①，把x ,y 都取成-x ，可得f -2x =f -x f -x 2f -x =f -x2②，将②式代入①式，可得f -x =f xf -x2f x +f -x2，化简可得f -x =-f x ,即f x 为奇函数，故D 正确；对于C ，∵f x 在-∞,0 上单调递减，函数为奇函数，可得f x 在0,+∞ 上单调递减，但是不能判断f x 在定义域上的单调性，例如f x =1x，故C 错误.故选：BC .29(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)设a ,b 为两个正数，定义a ,b 的算术平均数为A a ,b =a +b2，几何平均数为G a ,b =ab ，则有：G a ,b ≤A a ,b ，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D .H .Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即L p a ,b =a p +bp a p -1+bp -1，其中p 为有理数.下列关系正确的是()A.L 0.5a ,b ≤A a ,b B.L 0a ,b ≥G a ,b C.L 2a ,b ≥L 1a ,b D.L n +1a ,b ≤L n a ,b【答案】AC【解析】对于A 选项，L 0.5a ,b =a +b 1a+1b=ab ≤a +b2=A a ,b ，当且仅当a =b 时，等号成立，故A 正确；对于B 选项，L 0a ,b =21a +1b =2ab a +b ≤2ab2ab =ab =G a ,b ，当且仅当a =b 时，等号成立，故B 错误；对于C 选项，L 2a ,b =a 2+b 2a +b =a 2+b 2+a 2+b 22a +b ≥a 2+b 2+2ab 2a +b =(a +b )22a +b =a +b 2=L 1a ,b ，当且仅当a =b 时，等号成立，故C 正确；对于D 选项，当n =1时，由C 可知，L 2a ,b ≥a +b2=L 1a ,b ，故D 错误.故选：AC .30(2024·广东广州·模拟预测)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N ，P 分别是棱C 1D 1，AA 1，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线QB 1与直线DB 1的夹角为30°，则()A.DB 1⊥平面PMNB.平面PMN 截正方体所得的截面面积为33C.点Q 的轨迹长度为πD.能放入由平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部(厚度忽略不计)的球的半径的最大值为3-32【答案】ABD【解析】A 选项，以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，P 1,2,0 ,M 0,1,2 ,N 2,0,1 ,D 0,0,0 ,B 12,2,2 ，故DB 1 =2,2,2 ,PM =-1,-1,2 ,PN=1,-2,1 .设平面PMN 的法向量为m=x ,y ,z ，则m ⋅PM=x ,y ,z ⋅-1,-1,2 =-x -y +2z =0m ⋅PN=x ,y ,z ⋅1,-2,1 =x -2y +z =0，令z =1得，x =y =1，故m=1,1,1 ，因为DB 1 =2m ，故DB 1⊥平面PMN ，A 正确；B 选项，取A 1D 1,AB ,CC 1的中点E ,F ,Q ，连接MQ ,ME ,EN ,NF ,FP ,PQ ,EP ,A 1B ,CD 1，因为M ，N ，P 分别是棱C 1D 1，AA 1，BC 的中点，所以NF ⎳A 1B ,MQ ⎳CD 1，又CD 1⎳EP ⎳A 1B ，所以NF ⎳MQ ⎳EP ，所以平面PMN 截正方体所得的截面为正六边形FPQMEN ，其中边长为2，故面积为6×34×2 2=33，B 正确；C 选项，Q 为平面PMN 上的动点，直线QB 1与直线DB 1的夹角为30°，又DB 1⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S 为圆心，r =33B 1S 为半径作圆，即为点Q 的轨迹，其中B 1D =B 1D =4+4+4=23，由对称性可知，B 1S =12B 1D =3，故半径r =33×3=1，故点Q 的轨迹长度为2π，C 错误；D 选项，因为M ，N ，P 分别是棱C 1D 1，AA 1，BC 的中点，所以平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，不妨求能放入含有顶点D 的空间几何体的球的半径最大值，该球与平面PMN 切与点S ，与平面ADD 1A 1，平面ADCB ，平面DCC 1D 1相切，由对称性可知，球心在B 1D 上，设球心为R t ,t ,t ，则半径为t ，S 1,1,1 ，故RS =t ，即31-t =t ，解得t =3-32，故球的半径的最大值为3-32，D 正确.故选：ABD31(2024·湖南·模拟预测)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别为BC ,CC 1的中点，则下列结论正确的是()A.直线A1B与EF所成的角的大小为60°B.直线AD1⎳平面DEFC.平面DEF⊥平面BCC1B1D.四面体D-EFC外接球的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为6π8【答案】ABD【解析】解析：对于A：连接BC1,C1A1，如图，由正方体的结构特征知，BC1=A1C1，=A1B即△A1BC1为正三角形．又因为E,F分别为BC,CC1的中点，则EF∥BC1，因此直线A1B与EF所成的角即为直线A1B与BC1所成的角，即∠A1BC1或其补角，又∠A1BC1=60°，所以直线A1B与EF所成的角的大小为60°，A正确；对于B：因为EF∥BC1，所以AD1∥EF,AD1⊄平面DEF,EF⊂平面DEF，故直线AD1⎳平面DEF，B正确；对于C：取EF的中点为M，连接DM，显然DE=DF,EF的中点为M，则DM⊥EF，假设平面DEF⊥平面BCC1B1，而平面DEF∩平面BCC1B1=EF，于是DM⊥平面BCC1B1，又DC⊥平面BCC1B1，则DM∥DC，与DM∩DC=D矛盾，C错误；对于D：不妨设正方体的棱长为2a，则正方体的体积为V1=8a3，又因为四面体C-DEF的三条侧棱CE,CF,CD两两垂直，则它的外接球即为以CE,CF,CD为棱的长方体的外接球，于是球的直径2R=a2+a2+(2a)2=6a，体积为V 2=43πR 3=43π×62a 3=6πa 3，于是V 2:V 1=6π8，D 正确，故选：ABD ．32(2024·湖南·模拟预测)玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为A 1，“第一次取得白球”为A 2，“第二次取得黑球”为B 1，“第二次取得白球”为B 2，则()A.P A 1B 1 =P A 2B 2B.P A 1B 2 =P A 2B 1C.P B 1 A 1 +P B 2 A 1 =1D.P B 2 A 1 +P B 1 A 2 >1【答案】BCD【解析】对A ，由题意，第一次取得黑球的概率P A 1 =C 12C 16=13，第一次取得白球的概率P A 2 =C 14C 16=23，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率P A 1B 1 =C 12C 11C 16C 15=115，第一次取得白球、第二次取得白球的概率P A 2B 2 =C 14C 13C 16C 15=25，则P A 1B 1 ≠P A 2B 2 ，所以A 错误；对B ，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率P A 1B 2 =C 12C 14C 16C 15=415，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率P A 2B 1 =C 14C 12C 16C 15=415，则P A 1B 2 =P A 2B 1 ，所以B 正确；对C ，由P B 1 A 1 =P A 1B 1 P A 1 =11513=15,P B 2 A 1 =P A 1B 2 P A 1=41513=45，得P B 1 A 1 +P B 2 A 1 =1，所以C 正确；对D ，由P B 1 A 2 =P A 2B 1 P A 2=41523=25，得P B 2 A 1 +P B 1 A 2 =65>1，所以D 正确．故选：BCD ．33(2024·河南信阳·模拟预测)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0 ，则()A.若ω=3，φ=π3，则将函数f x 的图象向右平移5π18个单位后关于y 轴对称B.若φ=π3，函数f x 在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5C.若直线x =π4为函数f x 图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f x 图象的一个对称中心，且f x 在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817D.若f x =12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163 【答案】ACD【解析】对于A ：若ω=3，φ=π3，则f x =sin 3x +π3 ，将函数f x 的图象向右平移5π18个单位后得g x=sin3x-5π6+π3=sin 3x-π2=-cos3x，其图象关于y轴对称，故A正确；对于B：依题意，当x=π6+π32=π4时，f x 有最小值，所以sinωπ4+π3=-1，所以ωπ4+π3=2kπ+3π2k∈Z，所以ω=8k+143k∈Z，因为f x 在区间π6,π3上有最小值，无最大值，所以π3-π4≤πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143，故B错误；对于C：依题意有ωπ4+φ=2k1π+π2k1∈Z5ωπ3+φ=k2πk2∈ZT2=πω≥5π6-π4=7π12，则ω=617或1817，故C正确；对于D：因为f x =12，则ωx+φ=2kπ+π6k∈Z或ωx+φ=2kπ+5π6k∈Z，则x=-φ+2kπω+π6ωk∈Z或x=-φ+2kπω+5π6ωk∈Z，则需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过π2，即2πω≤π28π3ω>π2，解得ω∈4,163，故D正确；故选：ACD．34(2024·河南信阳·模拟预测)已知抛物线C：y2=2px p>0的焦点为F，点M,N在抛物线C上，则()A.若M,N,F三点共线，且MFNF=34，则直线MN的倾斜角的余弦值为±37B.若M,N,F三点共线，且直线MN的倾斜角为45°，则△OMN的面积为22p2C.若点A4,4在抛物线C上，且M,N异于点A，AM⊥AN，则点M,N到直线y=-4的距离之积为定值D.若点A2,2在抛物线C上，且M,N异于点A，k AM+k AN=0，其中k AM>1，则sin∠FMN-sin∠FNM≤255【答案】BCD【解析】对A，设抛物线C：y2=2px，设直线MN：x=ty+p2t≠0，设M x1,y1，N x2,y2，联立y2=2pxx=ty+p2 ，则y2-2pty-p2=0，y1+y2=2pt,y1y2=-p2，由于MFNF=34，可得y1y2=-34，代入上式得：14y2=2pt,-34y22=-p2，解得：t2=148，且直线MN的斜率为1t，设直线MN的倾斜角为α，则tan2α=48，且sin2α+cos2α=1,tanα=sinαcosα，则cos 2α=149，解得cos α=±17，故A 错误；对B ，设抛物线C ：y 2=2px ，且直线MN 的倾斜角为45°，设直线MN ：x =y +p2，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立y 2=2pxx =y +p 2，则y 2-2py -p 2=0，y 1+y 2=2p ,y 1y 2=-p 2，S △OMN =12×p 2×|y 2-y 1|=p 4×(2p )2-4(-p 2)=22p 2，故B 正确；对C ，由于点A 4,4 在抛物线C 上，此时抛物线C ：y 2=4x ，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线AM ：x -4=t y -4 t ≠0 ，联立y 2=4x x -4=t y -4则y 2-4ty +16t -1 =0，解得y 1=4(舍去，此时M ,A 重合)或y 1=4t -4，则点M 到直线y =-4的距离为y 1+4 =4t ，同理可得，因为AM ⊥AN ，则N 到直线y =-4的距离为4⋅1-t =4t，故所求距离之积为4t ⋅4t=16，故C 正确；对D ，由于点A 2,2 在抛物线C 上，此时抛物线C ：y 2=2x ，设直线AM ：y -2=k x -2 ，与抛物线方程联立可得ky 2-2y +4-4k =0，则y M ⋅2=4-4k k ，则y M =2-2k k ，用-k 替换可得y N =-2+2kk ，则k MN =y M -y N x M -x N =y M -y N y 2M 2-y 2N 2=2y M +y N =-12，则M 21-k 2k 2,2-2k k ，N 21+k 2k2,-2+2kk，故直线MN ：y -2-2k k =-12x -21-k 2k 2 ，即y =-12x +1k 2-1，则点F 到直线MN 的距离d =12-2-2k 2k25=5k 2-425k 2k >1 ，而sin ∠FMN -sin ∠FNM =d 1FM -1FN即sin ∠FMN -sin ∠FNM =d1x M +12-1x N +12=d x M -x N x M x N +12x M +x N +14，sin ∠FMN -sin ∠FNM =5k 2-425k 2⋅32k 325k 4-24k 2+16，得sin ∠FMN -sin ∠FNM =165⋅5k -4k 25k 2-24+16k 2=165⋅5k -4k5k -4k 2+16，令t =5k -4k>1，故sin ∠FMN -sin ∠FNM =165⋅t t 2+16=165⋅1t +16t，sin ∠FMN -sin ∠FNM ≤165⋅12t ⋅16t=165⋅18=255，当且仅当t =4时等号成立，故D 正确；故选：BCD ．35(2024·湖南岳阳·二模)已知函数f x 的定义域为R ，对任意x ,y ∈R 都有2f x +y 2 fx -y2=f x +f y ，且f 1 =-1，则下列说法正确的是()A.f -1 =1B.f x +12为奇函数C.f x -f 2-x =0 D.f 1 +f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2025 =-1【答案】BCD【解析】令x =y =1，则2f 1 f 0 =f 1 +f 1 =2f 1 ，所以f 0 =1，令x =-1,y =1，则2f 0 f -1 =f -1 +f 1 =2f -1 ，∴f -1 =f 1 =-1，故A 错误；要证f x +12 为奇函数，只需证f x +12 +f 12-x =0，即f x +f 1-x =0，令x =1,y =0，则2f 12 f 12 =f 1 +f 0 =0，∴f 12 =0，令y =1-x ，则2f 12 f 2x -12=f x +f 1-x =0，所以成立，故B 正确；令y =-x ，则2f 0 f x =f x +f -x =2f x ，∴f x =f -x ，所以f x 为偶函数，由B 可知，f 1-x =-f x ，所以f 1-x =-f x =-f -x ，则有f 2-x =-f 1-x =f x ，故C 正确；由C 可知f 2-x =f x ，又f x 为偶函数，所以f 2-x =f -x ，则f x 周期为2，f 1 =-1，f 2 =f 0 =1，所以f 1 +f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2025 =1012×0-1=-1，故D 正确.故选：BCD36(2024·高三·山东菏泽·阶段练习)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为BC 的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1内(包含边界)的动点，则()A.满足MP ⎳平面A 1BD 的点P 的轨迹为线段B.若MP =22，则动点P 的轨迹长度为π3C.直线AB 与直线MP 所成角的范围为π6,π2D.满足MP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为52【答案】AD【解析】对于A ，如图所示，取棱BB 1,A 1B 1,A 1D 1,D 1D ,DC 的中点分别为E ,F ,G ,H ,I ，连接EF 、FG 、GH 、HI 、IM 、ME ，根据正方体的特征易知EM ⎳A 1D ⎳GH ,EF ⎳A 1B ⎳HI ,GF ⎳BD ⎳MI ，则E ,F ,G ,H ,I ,M 共面，且BD ⎳平面EFGHIM ，BA 1⎳平面EFGHIM ，又BD ,BA 1⊂平面BDA 1且相交于B ，故平面BDA 1⎳平面EFGHIM ，所以满足MP ⎳平面A 1BD 的点P 的轨迹为线段FG ，故A 正确；对于B ，设M 到上底面的投影为N ，易知MN =2，而MP =22，所以NP =2，即P 在以N 为圆心，半径为2的圆上，且P 在正方形A 1B 1C 1D 1内，如图所示，即JK上，易知∠JNK =π3，所以JK 的长度为2π3，故B 错误；对于C ，如图所示建立空间直角坐标系，取AD 的中点Q ，连接MQ ，作PL ⊥MQ ，设P x ,y ,2 x ,y ∈0,2 ，则L 1,y ,0 ，M 1,2,0 ，易知直线AB 与直线MP 所成角为∠PMQ ，显然当P 为B 1C 1的中点时，此时∠PMQ =π2,y =2，当y ≠2时，tan ∠PMQ =PL LM=x -1 2+42-y ，易知x -12+4≥2,2-y ∈0,2 ，若∠PMQ 最小，则需x =1,y =0，此时∠PMQ =π4，故C 错误；对于D ，取CS =14DC ,RC 1=14D 1C 1，可知RN ⎳SM ,RN =SM ，即R 、N 、M 、S 共面，在底面正方形中易知CS CM =12=BMAB,∠ABM =∠SCM ，则△SCM ∼△MBA ⇒∠AMS =90°，结合正方体的性质可知MN ⊥底面ABCD ，AM ⊆底面ABCD ，所以AM ⊥MN ，而MN ∩SM =M ,MN 、SM ⊆平面RNMS ，所以AM ⊥平面RNMS ，故P 在线段RN 上运动，易知RN =12+122=52，故D 正确.故选：AD37(2024·湖南·二模)已知f x =3sin ωx 2cos ωx 2+cos 2ωx 2-12,ω>0，下列结论正确的是()A.若f x 的最小正周期为π，则ω=2B.若f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，则ωmin =1C.若f x 在0,2π 上恰有4个极值点，则ω的取值范围为53,136D.存在ω，使得f x 在-π6,π4上单调递减【答案】ABC【解析】由f x =3sinωx 2cos ωx 2+cos 2ωx 2-12=32sin ωx +12cos ωx =sin ωx +π6，对于A ，若f x 的最小正周期为π，则T =2πω⇒ω=2，故A 正确；对于B ，若f x 的图象向左平移π3个单位长度后得y =sin ωx +π3 +π6 =sin ωx +π3ω+π6 ，其图象关于纵轴对称，则有π3ω+π6=π2+k πk ∈Z ⇒ω=1+3k ，显然ωmin =1，故B 正确；对于C ，x ∈0,2π ⇒ωx +π6∈π6,2ωπ+π6，根据题意有7π2<2ωπ+π6≤9π2⇒ω∈53,136 ，故C 正确；对于D ，x ∈-π6,π4 ⇒ωx +π6∈-ωπ6+π6,ωπ4+π6，显然ωπ4+π6>π6，-ωπ6+π6<π6，即该区间为包含π6的连续区间，根据正弦函数的单调性可知：该区间不可能单调递减，故D 错误.故选：ABC38(2024·湖南·二模)已知函数f x ,g x 的定义域均为R ,g x +1 +f 1-x =1，f x +1 -g x +2 =1，且y =f x 的图像关于直线x =1对称，则以下说法正确的是()A.f x 和g x 均为奇函数B.∀x ∈R ,f x =f x +4C.∀x ∈R ,g x =g x +2D.g -32=0【答案】BCD【解析】对于B ，由f (x +1)-g (x +2)=1，得f (x )-g (x +1)=1，又g (x +1)+f (1-x )=1，∴f (x )+f (1-x )=2，∵y =f (x )的图象关于直线x =1对称，∴f (1-x )=f (1+x )，∴f (x )+f (1+x )=2,∴f (x +2)+f (1+x )=2，∴f (x )=f (x +2)，则f x 是周期函数，且周期为T =2，所以f (x )=f (x +4)，故B 正确；对于A ，∵y =f (x )的图象关于直线x =1对称，∴f (-x )=f (2+x ),∴f (x )=f (-x ),∴f (x )是偶函数，若f (x )为奇函数，则f (x )=0恒成立，不满足f (x )+f (1+x )=2，故A 错误；对于C ，由f (x +1)-g (x +2)=1，得g (x )+f (2-x )=1，∴g (x )+f (x )=1,∴g (2+x )+f (2+x )=1，因为f (x )=f (x +2)，则g (x +2)=g (x )，所以g (x )是周期函数，且周期为T =2，则g x =g x +2 ，故C 正确；对于D ，由f (x )+f (1-x )=2，得f 12=1，又f (x )=f (x +2),∴f -32 =1，由g (x )+f (x )=1，得g -32 +f -32 =1,∴g -32=0，故D 正确.故选：BCD .39(2024·湖南常德·三模)若函数f (x )=2x sin x -10<x <π2的零点为x 1，函数g (x )=2xcos x -10<x <π2 的零点为x 2，则()A.x 1x 2>π2 B.x 1+x 2<3π4C.cos (x 1+x 2)<0D.cos x 1-sin x 2<0【答案】BCD【解析】令f x =0得sin x =12x，令g x =0得cos x =12x，在同一直角坐标系中作出y =sin x ，x ∈0,π2 ，y =cos x ，x ∈0,π2 ，y =12x，x ∈0,π2的函数图象，。

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编05一、单选题1.(2024·江苏盐城·模拟预测)《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马P -ABCD ，PA ⊥面ABCD ，PA =AB =AD =2，M 为底面ABCD 及其内部的一个动点且满足PM =5，则PM ⋅BM的取值范围是()A.[1-22,1+22]B.[-1,2]C.[1-2,-1]D.-1,12.(2024·江苏盐城·模拟预测)在△ABC 中，已知tan A +tan B +tan A tan B =1，则cos2C +sin C 的值为()A.22B.-22C.2D.-23.(2024·江苏·一模)在棱长为2a a >0 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ,N 分别为棱AB ，D 1C 1的中点．已知动点P 在该正方体的表面上，且PM ⋅PN=0，则点P 的轨迹长度为()A.12aB.12πaC.24aD.24πa4.(2024·江苏·一模)用min x ,y 表示x ，y 中的最小数．已知函数f x =xe x，则min f x ,f x +ln2 的最大值为()A.2e 2B.1eC.ln22D.ln25.(2024·江苏·一模)莱莫恩Lemoine 定理指出：过△ABC 的三个顶点A ,B ,C 作它的外接圆的切线，分别和BC ,CA ,AB 所在直线交于点P ,Q ,R ，则P ,Q ,R 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine 线.在平面直角坐标系xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为A 0,1 ,B 2,0 ,C 0,-4 ，则该三角形的Lemoine 线的方程为()A.2x -3y -2=0B.2x +3y -8=0C.3x +2y -22=0D.2x -3y -32=06.(2024·江苏·一模)已知正项数列a n 满足1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n +1=n 2n +1n ∈N *，若a 5-2a 6=7，则a 1=()A.13B.1C.32D.27.(2024·江苏南通·二模)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，C 的准线与x 轴交于点A ，过A 的直线与C 在第一象限的交点为M ，N ，且|FM |=3|FN |，则直线MN 的斜率为()A.32B.12C.33D.238.(2024·江苏南通·二模)若cos α，cos α-π6 ，cos α+π3成等比数列，则sin2α=()A.34B.-36C.13D.-149.(2024·河北·模拟预测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =3,b =2,∠BAC 的平分线AD的长为465，则BC 边上的高线AH 的长等于()A.43B.423C.2D.43310.(2024·河北·模拟预测)已知M 是圆O :x 2+y 2=a 2(a >0)上的动点，点N 满足MN=(a ,λa )(λ>0)，记点N 的轨迹为C ，若圆O 与轨迹C 的公共弦方程为2x +y -5=0，则()A.a =4,λ=1B.a =2,λ=1C.a =4,λ=12D.a =2,λ=1211.(2024·高三·河南·阶段练习)如图，已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，左、右顶点分别为A ,B ，过原点的直线与椭圆E 交于M ,N 两点，椭圆上异于M ,N 的点P 满足PM ⋅PN=0，PM +PN =F 1F 2 =2c ，NM ⋅AB=2ac ，则椭圆E 的离心率为()A.3-1B.4-23C.22D.3312.(2024·高三·河南·阶段练习)甲、乙等6人去A ,B ,C 三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为()A.342B.390C.402D.46213.(2024·河北沧州·模拟预测)已知抛物线T :y 2=2px p >0 的焦点为F ，直线l 交抛物线T 于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，过点M 作抛物线T 的准线的垂线，垂足为N ，若MF =AM ，则MNAB的最大值为()A.1B.22C.12D.1314.(2024·河北沧州·模拟预测)某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒(盒子厚度忽略不计)，已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱长的最小值为()A.2+26B.2+46C..4+26D.4+4615.(2024·河北沧州·一模)设a ,b 为非负整数，m 为正整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b mod m ．若p 为质数，n 为不能被p 整除的正整数，则n p -1≡1mod p ，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：①230+1≡65mod7 ；②对于任意正整数x ,x 13-x ≡0mod13 ；③对于任意正整数x ,x 13-x ≡0mod7 ；④对于任意正整数x ,x 12-1≡1mod5 ．则所有的真命题为()A.①④B.②C.①②③D.①②④16.(2024·河北沧州·一模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ,a 1>1,S 3=e S 4，则数列a n 的公比q 满足()A.0<q ≤1B.-1<q <0C.q >1D.q ≤-117.(2024·新疆·二模)斐波那契数列又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇的契合，小到地球上的动植物，如向日葵､松果､海螺的成长过程，大到海浪､飓风､宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列a n 一般以递推的方式被定义：a 1=a 2=1,a n +2=a n +a n +1，则下列说法正确的是()A.记S n 为数列a n 的前n 项和，则S 7=31B.在斐波那契数列中，从不大于34的项中任取一个数，恰好取到偶数的概率为13C.a 1+a 3+a 5+⋯+a 2023=a 2025D.a 21+a 23+a 25+⋯+a 22023=a 2024a 202518.(2024·山西·一模)已知函数f x 是定义在x ∣x ≠0 上不恒为零的函数，若f xy =f x y 2+f yx2，则()A.f 1 =1B.f -1 =1C.f x 为偶函数D.f x 为奇函数19.(2024·山西·一模)如图，在体积为1的三棱锥A -BCD 的侧棱AB ,AC ,AD 上分别取点E ,F ,G ，使AE :EB =AF :FC =1:1,AG :GD =2:1，记O 为平面BCG ､平面CDE ､平面DBF 的交点，则三棱锥O -BCD 的体积等于()A.14B.15C.16D.17二、多选题20.(2024·高三·河北·期末)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，且f x -1 -f 1-x =2x -2，f x 的图象关于点1,0 对称，则()A.f 0 =1B.y =f x -x 为偶函数C.f x 的图象关于点1,0 对称D.f 2024 =-202321.(2024·高三·河北·期末)球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设O a 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆O b ，O c 的劣弧AC ，AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC (阴影部分)叫做曲面三角形，若a =b =c ，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面△ABC 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O -ABC .设∠BOC =α，∠AOC =β，∠AOB =γ，则下列结论正确的是()A.若平面△ABC 是面积为34R 2的等边三角形，则a =b =c =R B.若a 2+b 2=c 2，则α2+β2=γ2C.若a =b =c =π3R ，则球面O -ABC 的体积V >212R3D.若平面△ABC 为直角三角形，且∠ACB =π2，则a 2+b 2>c 222.(2024·江苏·一模)有n (n ∈N ∗，n ≥10)个编号分别为1，2，3，⋯，n 的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；⋯；以此类推，记“从i 号盒子取出的球是白球”为事件A i (i =1，2，3，⋯，n )，则()A.P A 1A 2 =13B.P A 1|A 2 =45C.P A 1+A 2 =79D.P A 10 =1223.(2024·江苏·一模)已知抛物线E ：x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 1交E 于点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，E 在B 处的切线为l 2，过A 作与l 2平行的直线l 3，交E 于另一点C x 3,y 3 ，记l 3与y 轴的交点为D ，则()A.y 1y 2=1B.x 1+x 3=3x 2C.AF =DFD.△ABC 面积的最小值为1624.(2024·江苏·一模)已知函数f x =sin x2-cos2x，则()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的图象关于点π,0 对称C.不等式f x >x 无解D.f x 的最大值为2425.(2024·江苏·一模)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点F 满足A 1F=λA 1B 10≤λ≤1 ，则()A.当λ=0时，AC 1⊥平面BDFB.任意λ∈0,1 ，三棱锥F -BDE 的体积是定值C.存在λ∈0,1 ，使得AC 与平面BDF 所成的角为π3D.当λ=23时，平面BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为5619π26.(2024·江苏南通·二模)已知函数f x ，g x 的定义域均为R ，f x 的图象关于点(2，0)对称，g (0)=g (2)=1，g (x +y )+g (x -y )=g (x )f (y )，则()A.f x 为偶函数B.g x 为偶函数C.g (-1-x )=-g (-1+x )D.g (1-x )=g (1+x )27.(2024·江苏南通·二模)已知P (A )=15，P (B |A )=14.若随机事件A ，B 相互独立，则()A.P (B )=13B.P (AB )=120C.P (A |B )=45D.P (A +B )=4528.(2024·河北·模拟预测)已知直线a ,b 和平面α,β,α与β所成锐二面角为θ.则下列结论正确的是()A.若a ⊥α,b ⊥β，则a 与b 所成角为θB.若a ⎳α,b ⎳β，则a 与b 所成角为θC.若a ⊂α，则a 与β所成角最大值为θD.若b ⊥β，则b 与α所成角为π2-θ29.(2024·河北·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 且倾斜角为π6的直线l 顺次交两条渐近线和C 的右支于M 、N 、B ，且AM =MN ，则下列结论正确的是()A.离心率为3B.AB ⊥OMC.S △OAM =S △OBND.S △ABF =3a 230.(2024·高三·河南·阶段练习)在△ABC 中，B =π2,AB =2,BC =3,E 为AC 的中点，点F 在线段BC 上，且CF =2BF ，将△ABC 以直线BC 为轴顺时针转一周围成一个圆锥，D 为底面圆上一点，满足AD=π，则()A.BA ⊥BDB.FE 在AB 上的投影向量是12BAC.直线EF 与直线CD 所成角的余弦值为66565D.直线EF 与平面ACD 所成角的正弦值为41105531.(2024·高三·河南·阶段练习)已知非常数函数f x 的定义域为R ，且f x f y =f xy +xy x +y ，则()A.f 0 =0B.f 1 =-2或f 1 =1C.f x x是x x ∈R 且x ≠0 上的增函数D.f x 是R 上的增函数32.(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f (x )=ax 2e x -2ln x -x -a ，则()A.当a =1时，f x 有极小值B.当a =1时，f x 有极大值C.若f x ≥0，则a =1D.函数f x 的零点最多有1个33.(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx +π5(ω>0)在0,2π 上有且仅有5个零点，则()A.ω的取值范围是65,2310B.f x 的图象在0,2π 上有且仅有3个最高点C.f x 的图象在0,2π 上最多有3个最低点D.f x 在0,π6上单调递增34.(2024·河北沧州·一模)已知函数f x =sin 2x +φ φ ≤π2 ，且f x =f 2π3-x ，若函数f x 向右平移a (a >0)个单位长度后为偶函数，则()A.φ=-π6B.函数f x 在区间2π3,π上单调递增C.a 的最小值为π6D.a 的最小值为5π1235.(2024·河北沧州·一模)已知函数f x =e x 与函数g x =1+2x -1的图象相交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点，且x 1<x 2，则()A.y 1y 2=1B.y x 21=1eC.y 2-y 1x 2-x 1>1 D.x 2y 2=136.(2024·新疆·二模)如图，在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若sin A =sin B ，且3a cos B +b cos A =2c sin C ,D 是△ABC 外一点，DC =2,DA =6，则下列说法正确的是()A.△ABC 是等边三角形B.若AC =213，则A ,B ,C ,D 四点共圆C.四边形ABCD 面积的最小值为103-12D.四边形ABCD 面积的最大值为103+1237.(2024·新疆·二模)已知f x 是定义域为R 的函数，满足f x +1 =f x -3 ,f 1+x =f 3-x ，当0≤x ≤2时，f x =x 2-x ，则下列说法正确的是()A.f x 的最小正周期为4B.f x 的图象只关于直线x =2对称C.当0≤x ≤6时，函数f x 有5个零点D.当6≤x ≤8时，函数f x 的最小值为-1238.(2024·山西·一模)已知函数f x =sin ωx -π3(ω>0)，则()A.当ω=12时，函数f x 的周期为4πB.函数f x 图象的对称轴是x =π6ω+k πω,k ∈ZC.当ω=12时，x =5π3是函数f x 的一个最大值点D.函数f x 在区间0,1 内不单调，则ω>5π639.(2024·山西·一模)群的概念由法国天才数学家伽罗瓦(1811-1832)在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G 是一个非空集合，“∘”是一个适用于G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G 对“∘”构成一个群：(1)封闭性，即若a ,b ∈G ，则存在唯一确定的c ∈G ，使得c =a ∘b ；(2)结合律成立，即对G 中任意元素a ,b ,c 都有a ∘b ∘c =a ∘b ∘c ；(3)单位元存在，即存在e ∈G ，对任意a ∈G ，满足a ∘e =e ∘a =a ，则e 称为单位元；(4)逆元存在，即任意a ∈G ，存在b ∈G ，使得a ∘b =b ∘a =e ，则称a 与b 互为逆元，b 记作a -1.一般地，a ∘b 可简记作ab ,a ∘a 可简记作a 2,a 2∘a 可简记作a 3，以此类推.正八边形ABCDEFGH 的中心为O .以e 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以r 表示以点O 为中心，将正八边形逆时针旋转π4的旋转变换；以m 表示以OA 所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“∘”表示复合变换，即f ∘g 表示将正八边形先进行g 变换再进行f 变换的变换.以形如r pm qp ,q ∈N ，并规定r 0=m 0=e 的变换为元素，可组成集合G ，则G 对运算“∘”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作D 8.则以下关于D 8及其元素的说法中，正确的有()A.mr 2∈D 8，且mr 2=r 2mB.r 3m 与r 5m 互为逆元C.D 8中有无穷多个元素D.D 8中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身三、填空题40.(2024·高三·河北·期末)将1，2，3，⋯，9这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数)，记第1行中最大的数为a ，第2行中最大的数为b ，第3行中最大的数为c ，则a <b <c 的填法共有种.41.(2024·江苏·一模)已知α,β∈0,π2 ，且sin α-sin β=-12，cos α-cos β=12，则tan α+tan β=．42.(2024·江苏·一模)设双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为E ．若线段EF 的中点在C 上，则C 的离心率为．43.(2024·江苏·一模)已知a ,b ∈0,1 ∪1,+∞ ，4log a b +log b a =4，则2b +ln ab的最小值为.44.(2024·江苏·一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P -1,1 和抛物线C :y 2=4x ，过C 的焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 交于A ,B 两点.记线段AB 的中点为M ，若线段MP 的中点在C 上，则k 的值为；AF ⋅BF 的值为.45.(2024·江苏南通·二模)若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为，该十面体的外接球的表面积为.46.(2024·江苏南通·二模)在△ABC 中，AB =7，AC =1，M 为BC 的中点，∠MAC =60°，则AM =.47.(2024·河北·模拟预测)已知四面体ABCD 中，AB =CD ,BC =AD ,AC =BD ，过A 点的其外接球直径AH与AB 、AC 夹角正弦值分别为23、33，则AH 与AD 夹角正弦值为.48.(2024·河北·模拟预测)已知x 表示不超过x 的最大整数，x =x -x ，设n ∈N *，且n 3 +n 4+n 6 =1，则n 的最小值为；当1≤n ≤2024时，满足条件的所有n 值的和S =.49.(2024·高三·河南·阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1作一条渐近线的垂线交双曲线C 的左支于点P ，已知PF 1 PF 2 =25，则双曲线C 的渐近线方程为．50.(2024·高三·河南·阶段练习)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a ,b ,c 成等比数列，且b =a cos C +3c sin A ，则A =，b sin Bc =．51.(2024·河北沧州·模拟预测)自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的基因型为Aa ，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为aa 的子代因无法适应自然环境而被自然界淘汰．例如当亲代只有Aa 的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示：雌雄12A 12a 12A 14AA 14Aa 12a 14Aa ×由上表可知，子一代中AA :Aa =1:2，子一代产生的配子中A 占23，a 占13，以此类推，子七代中Aa 的个体所占的比例为．52.(2024·河北沧州·模拟预测)已知椭圆T :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆T 上一点，且∠F 1PF 2=60°，若△PF 1F 2的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆T 的离心率e =．53.(2024·河北沧州·一模)如图，已知点A 是圆台O 1O 的上底面圆O 1上的动点，B ,C 在下底面圆O 上，AO 1=1,OO 1=2,BO =3,BC =25，则直线AO 与平面O 1BC 所成角的余弦值的最小值为．54.(2024·高二·贵州遵义·期中)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2正三角形，E ,F 分别是PA ,AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为．55.(2024·山西·一模)已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 为抛物线y 2=8x 上两个不同的动点，且满足y 1y 2=-16，则x 1+y 1+2 +x 2+y 2+2 的最小值为.。

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编04一、单选题1(2024·广东·一模)已知集合A=-12,-13,12,13,2,3，若a,b,c∈A且互不相等，则使得指数函数y =a x，对数函数y=log b x，幂函数y=x c中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)的个数是()A.16B.24C.32D.48【答案】B【解析】若y=a x和y=log b x在(0,+∞)上单调递增，y=x c在(0,+∞)上单调递减，则有A22⋅C12=4个；若y=a x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，y=log b x在(0,+∞)上单调递减，则有C12⋅C12⋅C12=8个；若y=log b x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，y=a x在(0,+∞)上单调递减，则有C12⋅C12⋅C12=8个；若y=a x、y=log b x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，则有A22⋅C12=4个；综上所述：共有4+8+8+4=24个.故选：B.2(2024·广东江门·一模)物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为P b n =log b n+1n.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若80n=kP10(n)=log4811+log25k∈N*，则k的值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】80n=k P10(n)=P10(k)+P10(k+1)+⋯+P10(80)=lg k+1k +lg k+2k+1+⋯+lg8180=lg81k，而log4811+log25=lg81lg41+lg5lg2=4lg32lg21+lg5lg2=2lg3=lg9，故k=9．故选：C．3(2024·广东·模拟预测)在正三棱锥A-BCD中，△BCD的边长为6，侧棱长为8，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.33468B.3434C.21717D.1734【答案】A【解析】依题意，记BC的中点为F，连接DF，记正△BCD的中心为O，连接AO，因为在正三棱锥A-BCD中，AO⊥底面BCD，在正△BCD中，DF⊥BC，在平面BCD中过F点作z轴⊥底面BCD，则AO⎳z轴，以F点为原点，建立空间直角坐标系，如图，因为在正三棱锥A-BCD中，△BCD的边长为6，侧棱长为8，所以DF=32CD=32×6=33，2DF=23，AO=AD2-OD2=64-12=213，故B -3,0,0 ,C 3,0,0 ,D 0,33,0 ,O 0,3,0 ,A 0,3,213 ，则E -32,32,13 ，CE =-92,32,13 ，BD =3,33,0 ，所以cos CE ,BD =CE ⋅BDCE BD =-92×3+32×33-92 2+32 2+13×9+27=-33468，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为33468.故选：A .4(2024·天津滨海新·一模)已知抛物线C 1:y 2=2px p >0 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ，线段EF 被双曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)顶点三等分，且两曲线C 1，C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ，则双曲线C 2的离心率为()A.2B.322C.113D.222【答案】D【解析】求得抛物线的焦点和准线，可得EF 的长度，由题意可得p =6a ，求出两曲线交点坐标，代入双曲线方程可得a ,b 的关系，利用离心率公式可求得结果.抛物线y 2=2px 的焦点为F p 2,0 ，准线方程为x =-p2，E -p2,0 ，|EF |=p ，因为线段EF 被双曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)顶点三等分，所以2a =p 3，即p =6a ，因为两曲线C 1，C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ，所以两个交点为p 2,p 、p2,-p ，将p 2,p 代入双曲线x 2a 2-y 2b 2=1得p 24a 2-p 2b2=1，所以36a 24a 2-36a 2b 2=1，所以9-36a 2b 2=1，所以b 2a2=92，所以双曲线C 2的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=1+92=222.故选：D5(2024·湖南·二模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx ，若沿x 轴方向平移f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线y =1在区间0,π 上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为()A.2,83B.2,103C.103,4 D.2,4【答案】A【解析】由f x =sin ωx +3cos ωx 可得：f x =2sin ωx +π3，若沿x 轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数g x =2sin ωx +φ .令g x =1，即sin ωx +φ =12，x ∈[0,π]，取z =ωx +φ，则z ∈[φ,ωπ+φ].依题意知，sin z =12在φ,ωπ+φ 上至少有2解，至多有3解，则须使区间[φ,ωπ+φ]的长度在2π到8π3之间，即2π≤ωπ<8π3，解得2≤ω<83.6(2024·湖南·二模)过点P -1,0 的动直线与圆C :(x -a )2+(y -2)2=4(a >0)交于A ,B 两点，在线段AB 上取一点Q ，使得1PA +1PB =2PQ ，已知线段PQ 的最小值为2，则a 的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】圆心C a ,2 ，半径为2，则圆C 与x 轴相切，设切点为M a ,0 ，则PM =a +1，则|PM |2=PA PB =(a +1)2，设AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，令圆心C 到直线AB 的距离为d ，则0≤d <2,|PA |+|PB |=|PD |-|AD |+|PD |+|AD |=2|PD |，由1PA +1PB =2PQ ，得PQ =2PA PB PA +PB =(a +1)2|PC |2-d 2=(a +1)2(a +1)2+4-d 2，因此(a +1)2(a +1)2+4-0≤PQ <(a +1)2(a +1)2+4-4，而PQ 的最小值为2，所以a +12a +1 2+4=2，则a =1.故选：A7(2024·高三·浙江宁波·阶段练习)如图1，水平放置的直三棱柱容器ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥AB ，AB =AC =2，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB 固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形A 1B 1C ，如图2，则容器的高h 为()A.3B.4C.42D.6【答案】A【解析】在图1中水的体积V =12×2×2×2=4，在图2中水的体积V =VABC -A 1B 1C 1-V C -A 1B 1C 1=12×2×2×h -13×12×2×2×h =43h ，4h =4⇒h =3．8(2024·江西·高考真题)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1 ⋅MF 2=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A.(0,1) B.0,12C.0,22D.22,1 【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ,b ,c ．因为MF 1 ·MF 2=0所以点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．与因为点M 在椭圆的内部，所以c <a ,c <b ，所以c 2<b 2=a 2-c 2，所以2c 2<a 2∴e 2=c 2a2<12，所以e ∈0,22，故选C ．9(2024·高二·湖北鄂州·阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的焦距为2c ，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1-d 2 ≤c ，则双曲线的离心率的取值范围为()A.1,233B.233,+∞ C.1,2D.2,+∞【答案】C【解析】由题意可知，直线AB 经过双曲线的右焦点，且垂直于x 轴，不妨设A c ,y 0 ，代入椭圆方程c 2a 2-y 02b2=1，又c 2=a 2+b 2，所以y 0=b 2a ，所以A c ,b 2a ，B c ,-b 2a，任取双曲线的一条渐近线为直线bx +ay =0，由点到直线的距离公式可得点A 到渐近线的距离d 1=bc +b 2a 2+b2=bc +b 2c ，点B 到渐近线的距离d 2=bc -b 2a 2+b 2=bc -b 2c ，所以d 1-d 2 =bc +b 2c -bc -b 2c =2b 2c=2b 2c，因为d 1-d 2 ≤c ，所以2b 2c≤c ，因c >0，所以2b 2≤c 2，即2c 2-a 2 ≤c 2，所以c 2≤2a 2，所以c 2a 2≤2，因为双曲线离心率c a >1，所以1<ca≤2，所以双曲线的离心率的取值范围为1,2 .故选：C .10(2024·高二·广东深圳·期末)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 经过点F ，并且与抛物线C 交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，与抛物线的准线交于点N ，若AF =2MN，则k =()A.3B.2C.±2D.±3【答案】D【解析】当A 在第一象限时，设准线与x 轴的交点为P ，过A 作准线的垂线，垂足为A ，因为OM ∥PN ，且O 为PF 的中点，所以OM 为三角形PFN 的中位线，即FM =MN ，所以AF =2MN =FN ，又根据抛物线的定义AF =AA ，所以AN =2AF =2AA ，所以在直角三角形AA N 中，∠A AN =60°，所以∠AFx =60°，此时k =3，根据对称性，当A 在第四象限时，k =-3，故选：D .11(2024·湖北·一模)设直线l ：x +y -1=0，一束光线从原点O 出发沿射线y =kx x ≥0 向直线l 射出，经l 反射后与x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与y 轴交于点N ．若MN =136，则k 的值为()A.32B.23C.12D.2【答案】B【解析】如图，设点O 关于直线l 的对称点为A x 1,y 1 ，则x 12+y12-1=0y 1x 1×-1 =-1得x 1=1y 1=1 ，即A 1,1 ，由题意知y =kx x ≥0 与直线l 不平行，故k ≠-1，由y =kx x +y -1=0 ，得x =1k +1y =k k +1，即P 1k +1,k k +1 ，故直线AP 的斜率为k AP =kk +1-11k +1-1=1k ，直线AP 的直线方程为：y -1=1kx -1 ，令y =0得x =1-k ，故M 1-k ,0 ，令x =0得y =1-1k ，故由对称性可得N 0，1k-1 ，由MN =136得(1-k )2+1k -1 2=1336，即k +1k 2-2k +1k =1336，解得k +1k=136，得k =23或k =32，若k =32，则第二次反射后光线不会与y 轴相交，故不符合条件．故k =23，故选：B 12(2024·湖北·二模)能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是()A.263B.62C.233D.33+12【答案】C【解析】要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为O 1,O 2,O 3，设被覆盖的圆的圆心为O ，如图，设OO 1=OO 2=OO 3=x ，则O 1H =3x 2,OH =x 2，OA =OH +HA =x 2+1-32x 2=12(x +4-3x 2)，又OC =OO 3+O 3C =x +1>OA ，因此圆O 的最大半径为OA ，令f (x )=12(x +4-3x 2)，求导得f(x )=4-3x 2-3x 24-3x 2，由f (x )=0，得x =33，当0<x <33时，f (x )>0，当33<x <233时，f (x )<0，因此f (x )在0,33上单调递增，在33,233 上单调递减，f (x )max =f 33 =233，所以被完全覆盖的最大的圆的半径为233，此时O 1O 2=O 2O 3=O 3O 1=1，即圆O 1､圆O 2､圆O 3中的任一圆均经过另外两圆的圆心．故选：C13(2024·高三·浙江嘉兴·期末)已知正实数a ,b ,c 满足a 2-b =2ln ab>0，7b -2b =a +4 c ，则()A.0<c <b <1<aB.0<b <c <1<aC.0<c <b <a <1D.0<b <c <a <1【答案】A【解析】因a >0,b >0，由ln a b >0可得：ab >1，则a >b ．由a 2-b =2lnab 化简得：a 2-2ln a =b -2ln b ，分别设函数f x =x 2-2ln x ，g x =x -2ln x ．由f(x )=2x 2-1 x，(x >0)，则当0<x <1时，f (x )<0，当x >1时，f (x )>0，则f x 在0,1 上递减,在1,+∞ 上递增，故f x min =f 1 =1.又g x =x -2x,(x >0)，则当0<x <2时，g (x )<0，当x >2时，g (x )>0，则g x 在0,2 上递减；在2,+∞ 上递增，故g x min =g 2 =2-2ln2．由f x -g x =x 2-x =x x -1 ，则0<x <1时，f x <g x ；x =1时，f x =g x ；x >1时，f x >g x ．函数f x 与g x 的图象如图．令f a =f b =k ．由于a >b ，则0<b <1，1<a ，排除C ，D ；由于a >1，7b-2b=a +4c>5c，则7b -2b >5c -b ．令h x =75 x -25x，其在R 上单调递增．由于0<b <1，则0=h (0)<h b <h (1)=1，则有5c -b <1，即c -b <0得c <b ．综上，0<c <b <1<a .故选：A ．14(2024·高二·北京西城·期末)在直角坐标系xOy 内，圆C :(x -2)2+(y -2)2=1，若直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是()A.-2,2B.-4-2,-4+2C.-2-2,-2+2D.-2+2,2+2【答案】A【解析】连接OP ，设∠POx =θ(即以x 轴正方向为始边，OP 为终边的角)，由题意对于直线l :x +y +m =0上任意一点P x ,y ，存在a =x 2+y 2,θ∈R ，使得P a cos θ,a sin θ ，则直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后，点P a cos θ,a sin θ 对应点为P 1a cos θ-π2 ,a sin θ-π2 ，即P 1a sin θ,-a cos θ ，因为P a cos θ,a sin θ 在直线l :x +y +m =0上，所以满足a cos θ+a sin θ+m =0设x 1=a sin θ,y 1=-a cos θ，所以-y 1+x 1+m =0，即P 1a sin θ,-a cos θ 所在直线方程为l 1:x -y +m =0，而圆C :(x -2)2+(y -2)2=1的圆心，半径分别为2,2 ,r =1，若直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，所以圆心C 2,2 到直线l 1:x -y +m =0的距离d =m2≤r =1，解得-2≤m ≤ 2.故选：A .15(2024·山东青岛·一模)已知A (-2,0)，B (2,0)，设点P 是圆x 2+y 2=1上的点，若动点Q 满足：QP⋅PB =0，QP =λQA |QA |+QB|QB |，则Q 的轨迹方程为()A.x 2-y 23=1B.x 23-y 2=1C.x 25+y 2=1D.x 26+y 22=1【答案】A【解析】由QP ⋅PB=0，可得QP ⊥PB ，而QP =λQA QA +QBQB，可知点P 在∠BQA 的平分线上.圆x 2+y 2=1，圆心为原点O ，半径r =1，连接AQ ，延长BP 交AQ 于点C ，连接OP ，因为∠PQB =∠PQC 且PQ ⊥BC ，所以QB =QC ，且P 为BC 中点，OP ∥AC ，OP =1AC因此，QA -QB =QA -QC =AC =2OP =2，点Q 在以A 、B 为焦点的双曲线上，设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，可知c =2,a 2+b 2=c 2=4，由2a =QA -QB =2，得a =1，故b 2=3，双曲线方程为x 2-y 23=1.故选：A .16(2024·山东青岛·一模)∀x ∈R ，f (x )+f (x +3)=1-f (x )f (x +3)，f (-1)=0，则f (2024)的值为()A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】由题意知∀x ∈R ，f (x )+f (x +3)=1-f (x )f (x +3)，f (-1)=0，令x =-1，则f (-1)+f (2)=1-f (-1)f (2),∴f (2)=1显然f (x )=-1时，-1+f (x +3)=1+f (x +3)不成立，故f (x )≠-1，故f (x +3)=1-f (x )1+f (x )，则f (x +6)=1-1-f (x )1+f (x )1+1-f (x )1+f (x )=f (x )，即6为函数f (x )的周期，则f (2024)=f (337×6+2)=f (2)=1，故选：B17(2024·山东聊城·一模)已知P 是圆C :x 2+y 2=1外的动点，过点P 作圆C 的两条切线，设两切点分别为A ，B ，当PA ⋅PB的值最小时，点P 到圆心C 的距离为()A.42 B.32 C.2 D.2【答案】A【解析】设P x ,y ，则OP =x 2+y 2，则PA ⋅PB =PO +OA PO +OB =PO 2+PO ⋅OA +OB +OA ⋅OB ，OA ⋅OB =OA ⋅OBcos ∠AOB =cos ∠AOB =cos2∠POA =2cos 2∠POA -1=2×OA2OP2-1=2x 2+y 2-1，PO ⋅OA =PO ⋅OB =PO ⋅OA cos 180°-∠POA =-PO ⋅OAcos ∠POA=-PO ⋅OA ⋅OA OP=-1，故PA ⋅PB =x 2+y 2-2+2x 2+y2-1≥2x 2+y 2 ⋅2x 2+y 2-3=22-3，当且仅当x 2+y 2=2x 2+y2，即x 2+y 2=2时，等号成立，故当PA ⋅PB的值最小时，点P 到圆心C 的距离为42.故选：A .18(2024·山东聊城·一模)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 在棱BB 1上，且△ADC 1所在的平面将三棱柱ABC -A 1B 1C 1分割成体积相等的两部分，点M 在棱A 1C 1上，且A 1M =2MC 1，点N 在直线BB 1上，若MN ⎳平面ADC 1，则BB 1NB 1=()【答案】D【解析】如图，连接AB 1，则V A -A 1B 1C 1=13V ABC -A 1B 1C1，又△ADC 1所在的平面将三棱柱ABC -A 1B 1C 1分割成体积相等的两部分，所以V A -DB 1C 1=12V ABC -A 1B 1C 1-13V ABC -A 1B 1C 1=16V ABC -A 1B 1C1，即VA -DB 1C 1=12V A -A 1B 1C1，即V C 1-ADB 1=12V C 1-AA 1B1，设C 1到平面ABB 1A 1的距离为d ，则V C 1-ADB 1=13S △ADB 1⋅d ，V C 1-AA 1B 1=13S △AA 1B1⋅d ，所以S △ADB 1=12S △AA 1B 1=12S △ABB 1，所以D 为BB 1的中点，在AA 1上取点E ，使得A 1E =2AE ，连接EN 、EM ，因为A 1M =2MC 1，所以EM ⎳AC 1，又EM ⊄平面ADC 1，AC 1⊂平面ADC 1，所以EM ⎳平面ADC 1，又MN ⎳平面ADC 1，EM ∩MN =M ，EM ,MN ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⎳平面ADC 1，又平面EMN ∩平面ABB 1A 1=EN ，平面ADC 1∩平面ABB 1A 1=AD ，所以AD ⎳EN ，又AE ⎳ND ，所以四边形ADNE 为平行四边形，所以ND =AE =13AA 1=13BB 1，所以B 1N =B 1D -ND =12BB 1-13BB 1=16BB 1，所以BB 1NB 1=6.故选：D19(2024·山东烟台·一模)在平面直角坐标系xOy 中，点A -1,0 ,B 2,3 ，向量OC =mOA +nOB，且m -n -4=0.若P 为椭圆x 2+y 27=1上一点，则PC 的最小值为()A.4510B.10C.8510D.210【答案】A 【解析】设点C (x ,y )，由A -1,0 ,B 2,3 及OC =mOA +nOB ，得(x ,y )=(-m +2n ,3n )，即x =-m +2ny =3n，而m -n -4=0，消去m ,n 得：3x -y +12=0，设椭圆x 2+y 27=1上的点P (cos θ,7sin θ),θ∈R ，则点P 到直线3x -y +12=0的距离d =|3cos θ-7sin θ+12|32+(-1)2=12-4sin (θ+φ)10，其中锐角φ由tan φ=37确定，当sin (θ+φ)=1时，d min =4510，而PC ≥d ，所以PC 的最小值为4510.故选：A 20(2024·山东济宁·一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与y 轴相交于M 点，与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若F 1M =2MP ，F 1P ⋅F 2P=0，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.332D.3+1【答案】D【解析】设∠PF 1F 2=θ，θ为锐角，因为F 1M =2MP ，F 1P ⋅F 2P =0，所以PF 1⊥PF 2，PF 1 =32MF 1 ，∴MF 1 =c cos θ，∴|PF 1|=32|MF 1|=3c2cos θ，又|PF 2|=2c sin θ，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，∴9c 24cos 2θ+4c 2sin 2θ=4c 2，∴9+16sin 2θcos 2θ=16cos 2θ，∴9+16(1-cos 2θ)cos 2θ=16cos 2θ，∴9-16cos 4θ=0，∴cos 2θ=34，∴cos θ=32(负值舍去)，∴θ=30°，∴|PF 1|=32|MF 1|=3c2cos θ=3c ，|PF 2|=2c sin θ=c ，∴双曲线C 的离心率e =2c 2a =|F 1F 2||PF 1|-|PF 2|=2c3c -c=3+1．故选：D ．21(2024·山东济宁·一模)设函数f (x )定义域为R ，f (2x -1)为奇函数，f (x -2)为偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2-1，则f (2023)-f (2024)=()A.-1 B.0C.1D.2【答案】C【解析】因为函数f (x )定义域为R ，f (2x -1)为奇函数，所以f (2x -1)=-f (-2x -1)，所以函数f (x )关于点-1,0 中心对称，且f -1 =0，因为f (x -2)为偶函数，所以f (x -2)=f (-x -2)，所以函数f (x )关于直线x =-2轴对称，又因为f x =-f -2-x =-f -2+x =--f -4+x ，所以函数f (x )的周期为4，因为当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2-1，所以f (2023)=f 4×506-1 =f -1 =0，f (2024)=f 4×506 =f 0 =-1，所以f (2023)-f (2024)=1.故选：C .22(2024·山东淄博·一模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P ，Q 是它们的两个公共点，且P ，Q 关于原点对称，∠PF 2Q =2π3，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则e 21e 21+1+3e 22e 22+3的最小值是()A.2+33B.1+33C.233D.433【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得：PF 1 +PF 2 =2a 1,PF 1 -PF 2 =2a 2，∴PF 1 =a 1+a 2,PF 2 =a 1-a 2，设F 1F 2 =2c ,∠PF 2Q =2π3，根据椭圆与双曲线的对称性知四边形PF 1QF 2为平行四边形，则∠F 1PF 2=π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2=a 1+a 2 2+a 1-a 2 2-2a 1+a 2 a 1-a 2 cosπ3，化简得a 21+3a 22=4c 2，即1e 21+3e 22=4，则e 21e 21+1+3e 22e 22+3=11e 21+1+33e 22+1=11e 21+1+33e 22+1 1e 21+1+3e 22+1×16=16×4+3e 22+11e 21+1+31e 21+1 3e 22+1≥16×4+23e 22+11e 21+1×31e 21+1 3e 22+1=16×4+23 =2+33，当且仅当3e 22+1 2=31e 21+121e 21+3e 22=4，即e 21=33+411<1e 22=38-33=24+9337>1时等号成立，故选：A .23(2024·广东茂名·一模)若α∈π4,3π4 ，6tan π4+α +4cos π4-α =5cos2α，则sin2α=()A.2425B.1225C.725D.15【答案】C 【解析】令t =π4+α，t ∈π2,π ，得α=t -π4，则6tan t +4cos π2-t =5cos 2t -π2，即6tan t +4sin t =5sin2t =10sin t cos t ，整理得5cos t +3 cos t -1 =0，且cos t <0，那么cos t =-35，则sin2α=sin 2t -π2 =-cos2t =1-2cos 2t =725.故选：C .二、多选题24(2024·广东江门·一模)已知曲线E :x x 4+y y8=1，则下列结论正确的是()A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为-2,2C.曲线E 与直线y =-1.4x 相交，且交点在第二象限D.M x 0,y 0 是曲线E 上任意一点，则2x 0+y 0 的取值范围为0,4 【答案】AD【解析】因为曲线E :x x 4+y y8=1，当x ≥0，y ≥0时x 24+y 28=1，则曲线E 为椭圆x 24+y 28=1的一部分；当x >0，y <0时x 24-y 28=1，则曲线E 为双曲线x 24-y 28=1的一部分，且双曲线的渐近线为y =±2x ；当x <0，y >0时y 28-x 24=1，则曲线E 为双曲线y 28-x 24=1的一部分，且双曲线的渐近线为y =±2x ；可得曲线的图形如下所示：由图可知y 随着x 增大而减小，故A 正确；曲线E 的横坐标取值范围为R ，故B 错误；因为-1.4>-2，所以曲线E 与直线y =-1.4x 相交，且交点在第四象限，故C 错误；因为2x 0+y 0 =3×2x 0+y 022+12，即点M x 0,y 0 到直线2x +y =0的距离的3倍，当直线2x +y +c =0与曲线x 24+y 28=1x ≥0,y ≥0 相切时，由x 24+y 28=12x +y +c =0，消去y 整理得4x 2+22cx +c 2-8=0，则Δ=22c 2-16c 2-8 =0，解得c =4(舍去)或c =-4，又2x +y =0与2x +y -4=0的距离d =4 2 2+12=43，所以2x 0+y 0 max =3d =4，所以2x 0+y 0 的取值范围为0,4 ，故D 正确；故选：AD25(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【解析】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD26(2024·广东·一模)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在表面积为3π的球面上，点P 为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是()A.有无数个点P ，使得AP ⎳平面BDC 1B.有无数个点P ，使得AP ⊥平面BDC 1C.若点P ∈平面BCC 1B 1，则四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为2+16D.若点P ∈平面BCC 1B 1，则AP +PC 1的最大值为6【答案】ACD【解析】令正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球半径为r ，4πr 2=3π，r =32，则BD 1=3,AB =1，连接AB 1,AD 1,B 1D 1，由四边形ABC 1D 1是该正方体的对角面，得四边形ABC 1D 1是矩形，即有AD 1⎳BC 1，而BC 1⊂平面BDC 1，AD 1⊄平面BDC 1，则AD 1⎳平面BDC 1，同理AB 1⎳平面BDC 1，又AB 1∩AD 1=A ,AB 1,AD 1⊂平面AB 1D 1，因此平面AB 1D 1⎳平面BDC 1，令平面ABD 1截球面所得截面小圆为圆M ，对圆M 上任意一点(除点A 外)均有AP ⎳平面BDC 1，A 正确；对于B ，过A 与平面BDC 1垂直的直线AP 仅有一条，这样的P 点至多一个，B 错误；对于C ，平面BCC 1B 1截球面为圆R ，圆R 的半径为22，则圆R 上的点到底面ABCD 的距离的最大值为2+12，因此四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为13×1×2+12=2+16，C 正确；对于D ，显然AB ⊥平面BCC 1B 1，在平面BCC 1B 1内建立平面直角坐标系，如图，令点P 22cos θ,22sin θ，而B -12,-12 ,C 112,12，因此AP =1+22cos θ+122+22sin θ+122=2+22(sin θ+cos θ)，PC 1=22cos θ-122+22sin θ-122=1-22(sin θ+cos θ)，令22(sin θ+cos θ)=x ，AP +PC 1=2+x +1-x =2+x +1-x 2≤22+x 2+1-x 2 =6，当且仅当x =-12取等号，此时22(sin θ+cos θ)=-12，即sin θ+π4 =-12，因此AP +PC 1的最大值为6，D 正确.故选：ACD27(2024·广东·一模)已知偶函数f (x )的定义域为R ，f 12x +1 为奇函数，且f (x )在0,1 上单调递增，则下列结论正确的是()A.f -32<0 B.f 43>0 C.f (3)<0D.f 20243>0【答案】BD【解析】因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ；因为f 12x +1 是R 上的奇函数，所以f 1 =0，且f x +22 的图象是由f x 2 的图象向左平移2个单位得到的，所以f x 2 的图象关于2,0 点对称，进一步得f x 的图象关于点1,0 中心对称，即f 1+x =-f 1-x .所以f x +2 =f 1+1+x =-f 1-1+x =-f -x =-f x ，所以f x +4 =-f x +2 =f x .所以函数f x 是周期函数，且周期为4；又f x 在0,1 上单调递增，所以在0,1 上，有f x <0.所以函数的草图如下：由图可知：f -32 >0，故A 错；f 43>0，故B 对；f 3 =0，故C 错；f 20243=f 674+23 =f 4×168+2+23 =f 2+23>0，故D 对.故选：BD 28(2024·广东·模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f x -1 是奇函数，f x +1 为偶函数，当-1≤x ≤1时，f x =2x +1-13x +1，则()A.f x 的图象关于直线x =1对称B.f x 的图象关于点-1,0 对称C.f x +6 =f xD.f 2021 =-34【答案】ABD【解析】设g x =f x -1 ，因为g x 是奇函数，所以g -x =f -x -1 =-g x =-f x -1 ，即f -1+x +f -1-x =0，即f x 关于-1,0 对称，B 正确；设h x =f x +1 ，因为h x 为偶函数，所以h -x =h x ，即f -x +1 =f x +1 ，f 1+x =f 1-x ，所以f x 的关于直线x =1对称，A 正确；由f x 关于-1,0 对称可得f x +f -2-x =0，由f x 的关于直线x =1对称，可得f x =f 2-x ，两式联立得f 2-x +f -2-x =0，令x =x +2得：f -x +f -4-x =0，即f x +f x -4 =0，令x =x -4，得f x -4 +f x -8 =0，即f x =f x -8 ，故f x 的周期为8，故f x +8 =f x ，C 错误；因为T =8，所以f 2021 =f 252×8+5 =f 5 =f -3 ，又f -1+x +f -1-x =0，令x =-2得f -3 +f 1 =0，f 1 =22-131+1=34，所以f 2021 =f -3 =-f 1 =-34，故D 正确.故选：ABD29(2024·高二·福建三明·期中)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =12，则下列结论中正确的是()A.异面直线AE ､BF 所成角为定值B.AC ⊥BFC.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D.三棱锥A -BEF 的体积为定值【答案】BD【解析】则A 1,0,0 ，B 1,1,0 ，设E a ,a ,1 ，则F a +24,a +24,1，其中0≤a ≤1-24，AE =(a -1,a ,1)，BF =a +24-1,a +24-1,1 ，cos <AE ,BF >=AE ∙BF|AE |∙|BF |=(2a -1)a +24-1 +1(a -1)2+a 2+1∙2a +24-1 2+1．取a =12时，cos <AE ,BF >=442-122，取a =1-24时，cos <AE ,BF >=29-22，∵442-122≠29-22，∴异面直线AE 、BF 所成角不是定值，故A 错误；由正方体的结构特征可知，DD 1⊥AC ，BD ⊥AC ，又BD ∩DD 1=D ，BD ,DD 1⊂平面BDD 1B 1∴AC ⊥平面BDD 1B 1，又BF ⊂平面BDD 1B 1，则AC ⊥BF ，故B 正确；B 到B 1D 1的距离为BB 1=1，A 到B 1D 1的距离大于上下底面中心的连线，则A 到B 1D 1的距离大于1，∴△AEF 的面积大于△BEF 的面积，故C 错误；∵AC ⊥平面BDD 1B 1，∴A 到平面BDD 1B 1的距离为22，△BEF 的面积为定值，∴三棱锥A -BEF 的体积为定值，故D 正确．故选：BD ．30(2024·湖南·二模)如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，F 是线段A 1B 1的中点，则()A.若点P 满足AP ⊥B 1C ，则动点P 的轨迹长度为42B.三棱锥A -PB 1D 1体积的最大值为163C.当直线AP 与AB 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为π+42D.当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ⎳平面B 1CD 1时，线段PF 长度最大值为22【答案】CD【解析】对于A ，易知B 1C ⊥平面ABC 1D 1,A ∈平面ABC 1D 1，故动点P 的轨迹为矩形ABC 1D 1，动点P 的轨迹长度为矩形ABC 1D 1的周长，即为42+4，所以A 错误；对于B ，因为V A -PD 1D 1=V P -AB 1D 1，而等边△AB 1D 1的面积为定值23，要使三棱锥P -AB 1D 1的体积最大，当且仅当点P 到平面AB 1D 1的距离最大，易知点C 是正方体到平面AB 1D 1距离最大的点，所以V A -PB 1D 1max =V C -AB 1D 1，此时三棱锥C -AB 1D 1即为棱长是22的正四面体，其高为h =22 2-262=43，所以V =1×1×22×22×3×43=8，B 错误；对于C ：连接AC ，AB 1，以B 为圆心，BB 1为半径画弧B 1C，如图1所示，当点P 在线段AC ,AB 1和弧B 1C上时，直线AP 与AB 所成的角为45°，又AC =AB 2+BC 2=4+4=22,AB 1=AB 2+BB 21=4+4=22，弧B 1C 长度14×π×22=π，故点P 的轨迹长度为π+42，故C 正确；对于D ，取A 1D 1,D 1D ,DC ,CB ,BB 1,AB 的中点分别为Q ,R ,N ,M ,T ,H ，连接QR ,QF ,FT ,TM ,MN ,NR ,FH ,HN ,HM ，如图2所示，因为FT ∥D 1C ,FT ⊄平面D 1B 1C ,D 1C ⊂平面D 1B 1C ，故FT ∥平面D 1B 1C ，TM ∥B 1C ，TM ⊄平面D 1B 1C ,B 1C ⊂平面D 1B 1C ，故TM ∥平面D 1B 1C ；又FT ∩TM =T ,FT ,TM ⊂平面FTM ，故平面FTM ∥平面D 1B 1C ；又QF ∥NM ,QR ∥TM ,RN ∥FT ，故平面FTMNRQ 与平面FTM 是同一个平面.则点P 的轨迹为线段MN ：在三角形FNM 中，FN =FH 2+HN 2=4+4=22;FM =FH 2+HM 2=4+2=6;NM =2;则FM 2+MN 2=8=FN 2，故三角形FNM 是以∠FMN 为直角的直角三角形；故FP max =FN =22，故FP 长度的最大值为22，故D 正确.故选：CD .31(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c =b 2cos A +1 ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.若a =3b ，则△ABC 为直角三角形C.若△ABC 为锐角三角形，1tan B -1tan A 的最小值为1D.若△ABC 为锐角三角形，则c a 的取值范围为22,233【答案】ABD【解析】对于A ,△ABC 中，由正弦定理得sin C =2sin B cos A +sin B ，由sin C =sin A +B ，得sin A cos B -cos A sin B =sin B ，即sin A -B =sin B ，由0<A ,B <π，则sin B >0，故0<A -B <π，所以A -B =B 或A -B +B =π，即A =2B 或A =π(舍去)，即A =2B ，A 正确；对于B ，若a =3b ，结合A =2B 和正弦定理知a sin A=3b sin2B =b sin B ,cos B =32，又0<A ,B <π，所以可得A =2B =π3,C =π2，B 正确；πππππ3<1.故1tan B -1tan A=1tan B -1-tan 2B 2tan B =1+tan 2B 2tan B >1，C 错误；对于D ，在锐角△ABC 中，由π6<B <π4,22<cos B <32，c a =sin C sin A=sin3B sin2B =sin2B cos B +cos2B sin B sin2B =2cos B -12cos B ，令cos B =t ∈22,32 ，则c a =f t=2t -12t，易知函数f t =2t -12t 单调递增，所以可得c a ∈22,233，D 正确；故选：ABD .32(2024·高二·广东江门·期末)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，直线l :x =-1，过F 的直线交抛物线C 于A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 两点，交直线l 于点M ，MA =λ1AF ，MB =λ2BF，则()A.△ABO 的面积的最大值为2 B.y 1y 2=-4C.x 1x 2=1 D.λ1+λ2=0【答案】BCD【解析】设直线AB :x =my +1，由x =my +1y 2=4x得：y 2-4my -4=0.选项A ：S △ABO =12OF ·y 1-y 2 =12y 21+y 22 -4y 1y 2=1216m 2+16≥12×4=2，应是最小值为2，故A 错误；选项B ：y 1y 2=-4，故B 正确；选项C ：x 1=y 214，x 2=y 224,则x 1x 2=(y 1y 2)216=1，故C 正确；选项D ：由MA =λ1AF ，MB =λ2BF ，M -1,-2m，得：y 1+2m =-λ1y 1，y 2+2m=-λ2y 2，∴λ1+λ2=-2-2m 1y 1+1y 2=-2-2m ⋅y 1+y 2y 1y 2=-2-2m ⋅4m-4=0，故D 正确.故选：BCD33(2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知函数f x =sin ωx +π4ω>0 在区间0,π 上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是()A.f x 在区间0,π 上有且仅有3个不同的零点B.f x 的最小正周期可能是2π3C.ω的取值范围是94,134D.f x 在区间0,π15 上单调递增【答案】BD【解析】由函数f x =sin ωx +π4ω>0 ，令ωx +π4=π2+k π,k ∈Z ，则x =(1+4k )π4ω,k ∈Z ，函数f (x )在区间0,π 上有且仅有3条对称轴，即0≤(1+4k )π4ω≤π有3个整数k 符合，由0≤(1+4k)π4ω≤π，得0≤1+4k4ω≤1⇒0≤1+4k≤4ω，则k=0，1，2，即1+4×2≤4ω<1+4×3，∴9 4≤ω<134，故C错误；对于A，∵x∈(0,π)，∴ωx+π4∈π4,ωπ+π4，∴ωπ+π4∈5π2,7π2 ，当ωx+π4∈5π2,3π时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有2个不同的零点；当ωx+π4∈3π,7π2时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点，故A错误；对于B，周期T=2πω，由94≤ω<134，则413<1ω≤49，∴8π13<T≤8π9，又2π3∈8π13,8π9，所以f(x)的最小正周期可能是2π3，故B正确；对于D，∵x∈0,π15，∴ωx+π4∈π4,ωπ15+π4，又94≤ω<134，∴ωπ15+π4∈2π5,7π15，又7π15<π2，所以f(x)在区间0,π15上一定单调递增，故D正确．故选：BD．34(2024·高一·辽宁丹东·期中)已知f x 是定义在R上的连续函数，且满足f x+y=f x +f y -2xy，当x>0时，f x >0，设g x =f x +x2()A.若f1 ⋅f-1=-3，则f1 =1 B.g x 是偶函数C.g x 在R上是增函数D.x-1g x >0的解集是-∞,0∪1,+∞【答案】ACD【解析】对选项A：取x=y=0得到f0 =f0 +f0 ，即f0 =0，取x=1，y=-1得到f0 =f1 +f-1+2=0，又f1 ⋅f-1=-3，f1 >0，解得f1 =1，正确；对选项B：取y=-x得到f0 =f x +f-x+2x2，即f x +f-x=-2x2，g x +g-x=f x +x2+f-x+x2=0，函数定义域为R，函数为奇函数，错误；对选项C：设x1<x2，则g x2-g x1=f x2+x22-f x1-x21=f x2-x1+x1+x22-f x1-x21=f x2-x1-2x2-x1x1+x22-x21=f x2-x1-2x2x1+x21+x22=f x2-x1+x1-x22，x>0时，f x >0，故f x2-x1>0，x1-x22>0，故g x2-g x1>0，即g x2>g x1，函数单调递增，正确；对选项D：g0 =f0 +0=0，x-1g x >0，当x>1时，g x >0，则x>0，故x>1；当x=1时，不成立；当x<1时，g x <0，则x<0，故x<0；综上所述：x∈-∞,0∪1,+∞，正确；35(2024·湖北·一模)某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y =1x的图象是双曲线，设其焦点为M ,N ，若P 为其图象上任意一点，则()A.y =-x 是它的一条对称轴B.它的离心率为2C.点2,2 是它的一个焦点D.PM -PN =22【答案】ABD【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为2，容易知道y =x 是实轴，y =-x 是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程y =x 与反比例函数表达式y =1x得实轴顶点1,1 ,-1,-1 ，所以a =2,c =2，其中一个焦点坐标应为2,2 而不是2,2 ，由双曲线定义可知PM -PN =2a =22．故选：ABD .36(2024·湖北·一模)已知函数f x =ax 3+bx 2+cx +d 存在两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 ，且f x 1 =-x 1，f x 2 =x 2．设f x 的零点个数为m ，方程3a f x 2+2bf x +c =0的实根个数为n ，则()A.当a >0时，n =3B.当a <0时，m +2=nC.mn 一定能被3整除D.m +n 的取值集合为4,5,6,7【答案】AB【解析】由题意可知f x =3ax 2+2bx +c 为二次函数，且x 1,x 2x 1<x 2 为f x 的零点，由f f x =3a f x 2+2bf x +c =0得f x =x 1或f x =x 2，当a >0时，令f x >0，解得x <x 1或x >x 2；令f x <0，解得x 1<x <x 2；可知：f x 在-∞,x 1 ,x 2,+∞ 内单调递增，在x 1,x 2 内单调递减，则x 1为极大值点，x 2为极小值点，若x 1≥0，则-x 1≤0<x 2，因为f x 1 >f x 2 ，即-x 1>x 2，两者相矛盾，故x 1<0，则f x =x 2有2个根，f x =x 1有1个根，可知n =3，若f x 2 =x 2>0，可知m =1，mn =3,m +n =4；若f x 2 =x 2=0，可知m =2，mn =6,m +n =5；若f x 2 =x 2<0，可知m =3，mn =9,m +n =6；故A 正确；当a <0时，令f x >0，解得x 1<x <x 2；令f x <0，解得x <x 1或x >x 2；可知：f x 在x 1,x 2 内单调递增，在内-∞,x 1 ,x 2,+∞ 单调递减，则x 2为极大值点，x 1为极小值点，若x 2≤0，则-x 1>0≥x 2，因为f x 1 <f x 2 ，即-x 1<x 2，两者相矛盾，故x 2>0，若f x =-x >0，即x <0，可知m =1，n =3，mn =3,m +n =4；若f x 1 =-x 1=0，即x 1=0，可知m =2，n =4，mn =8,m +n =6；若f x 1 =-x 1<0，即x 1>0，可知m =3，n =5，mn =15,m +n =8；此时m +2=n ，故B 正确；综上所述：mn 的取值集合为3,6,8,9,15 ，m +n 的取值集合为4,5,6,8 ，故CD 错误；故选：AB .37(2024·湖北·二模)如图，棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，F 为正方形C 1CDD 1内一个动点(包括边界)，且B 1F ⎳平面A 1BE ，则下列说法正确的有()A.动点F 轨迹的长度为2B.三棱锥B 1-D 1EF 体积的最小值为13C.B 1F 与A 1B 不可能垂直D.当三棱锥B 1-D 1DF 的体积最大时，其外接球的表面积为252π【答案】ABD【解析】对A ，如图，令CC 1中点为M ,CD 1中点为N ,连接MN ，又正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，可得B 1M ⎳A 1E ,MN ⎳CD 1⎳BA 1，∴B 1M ⎳平面BA 1E ,MN ⎳平面BA 1E ,又B 1M ∩MN =M ，且B 1M ,MN ⊂平面B 1MN ，∴平面B 1MN ⎳平面BA 1E ,又B 1F ⎳平面A 1BE ，且B 1∈平面B 1MN ，∴B 1F ⊂平面B 1MN ，又F 为正方形C 1CDD 1内一个动点(包括边界)，∴F ∈平面B 1MN ∩平面C 1CDD 1，而MN =平面B 1MN ∩平面C 1CDD 1，∴F ∈MN ，即F 的轨迹为线段MN .由棱长为2的正方体得线段MN 的长度为2，故选项A 正确；对B ，由正方体侧棱B 1C 1⊥底面C 1CDD 1，所以三棱锥B 1-D 1EF 体积为V =13B 1C 1⋅S △D 1FE =23S △D 1FE ，所以△D 1FE 面积S △D 1FE 最小时，体积最小，如图，∵F ∈MN ，易得F 在N 处时S △D 1FE 最小，此时S △D 1FE =12ND 1⋅D 1E =12,所以体积最小值为13，故选项B 正确；对C ，当F 为线段MN 中点时，由B 1M =B 1N 可得B 1F ⊥MN ,又CC 1中点为M ,CD 1中点为N ,∴MN ⎳D 1C ，而A 1B ⎳D 1C ，∴B 1F ⊥A 1B ,故选项C 不正确；对D ，如图，当F 在M 处时，三棱锥B 1-D 1DF 的体积最大时，由已知得此时FD =FD 1=FB 1=5,所以F 在底面B 1DD 1的射影为底面外心，DD 1=2,B 1D 1=22,DB 1=23,所以底面B 1DD 1为直角三角形，所以F 在底面B 1DD 1的射影为B 1D 中点，设为O 1，如图，设外接球半径为R ,由R 2=OO 12+O 1B 12=OO 12+3,R +OO 1=FO 1=2,可得外接球半径R =524，外接球的表面积为4πR 2=252π，故选项D 正确.故选：ABD .38(2024·湖北·二模)我们知道，函数y =f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x )为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y =f (x )的图象关于点P (a ,b )成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x +a )-b 为奇函数．已知函数f (x )=42x +2，则下列结论正确的有()A.函数f (x )的值域为(0,2]B.函数f (x )的图象关于点(1,1)成中心对称图形C.函数f (x )的导函数f (x )的图象关于直线x =1对称D.若函数g (x )满足y =g (x +1)-1为奇函数，且其图象与函数f (x )的图象有2024个交点，记为A i (x i ,y i )(i =1,2,⋯,2024)，则2024i =1(x i +y i ) =4048【答案】BCD【解析】对于A ，显然f (x )的定义域为R ，2x >0，则0<42x +2<2，即函数f (x )的值域为(0,2)，A 错误；对于B ，令h (x )=f (x +1)-1=42x +1+2-1=22x +1-1=1-2x 1+2x ，h (-x )=1-2-x 1+2-x =2x -12x+1=-h (x )，即函数y =f (x +1)-1是奇函数，因此函数f (x )的图象关于点(1,1)成中心对称图形，B 正确；对于C ，由选项B 知，f (-x +1)-1=-[f (x +1)-1]，即f (1-x )+f (1+x )=2，两边求导得-f (1-x )+f (1+x )=0，即f (1-x )=f (1+x )，因此函数f (x )的导函数f (x )的图象关于直线x =1对称，C 正确；对于D ，由函数g (x )满足y =g (x +1)-1为奇函数，得函数g (x )的图象关于点(1,1)成中心对称，由选项B 知，函数g (x )的图象与函数f (x )的图象有2024个交点关于点(1,1)对称，因此2024i =1(x i +y i ) =2024i =1x i +2024i =1y i =1012×2+1012×2=4048，D 正确.故选：BCD。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(2)的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 42. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 105°C. 135°D. 150°3. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知复数z=3+4i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 115. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的切线斜率为2，则f'(1)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知等比数列{bn}的公比为q，且b1=2，b3=8，则q的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则sinA:sinB:sinC的值为（）A. 3:4:5B. 4:5:3C. 5:3:4D. 3:5:48. 已知函数f(x) = |x| + 1，则f(x)在x<0时的导数f'(x)为（）A. -1B. 0C. 1D. 不存在9. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=5，a5=25，则a3的值为（）A. 10B. 15C. 20D. 2510. 已知复数z=2-3i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 11二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处的导数为2，则a+b+c=（）12. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则sinA:sinB:sinC=（）13. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d=（）14. 复数z=3+4i的共轭复数为（）15. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的切线方程为（）16. 在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则cosA:cosB:cosC=（）17. 已知函数f(x) = |x| + 1，则f(x)在x>0时的导数f'(x)为（）18. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=5，a5=25，则a3=（）19. 复数z=2-3i的模长为（）20. 函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=2处的切线斜率为（）三、解答题（每题20分，共60分）21. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)及f'(1)的值。

2024年高考数学19题新模式新结构新题型1(2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A m =a 1,1a 1,2⋯a 1,m a 2,1a 2,2⋯a 2,m ⋮⋮⋱⋮a m ,1a m ,2⋯a m ,m(m ≥2)是m 2个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i <s ≤m ,1≤j <t ≤m 时，记d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ．设n ∈N *，若A m 满足如下两个性质：①a i ,j ∈1,2,3;⋯,n (i =1,2,⋯,m ;j =1,2,⋯,m )；②对任意k ∈1,2,3,⋯,n ，存在i ∈1,2,⋯,m ,j ∈1,2,⋯,m ，使得a i ,j =k ，则称A m 为Γn 数表．(1)判断A 3=123231312是否为Γ3数表，并求d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 的值；(2)若Γ2数表A 4满足d a i ,j ,a i +1,j +1 =1(i =1,2,3;j =1,2,3)，求A 4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A 10，存在1≤i <s ≤10,1≤j <t ≤10，使得d a i ,j ,a s ,t =0．2(镇海高三期末)19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y 1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．3(合肥一中期末)19．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m>1．若m a-b则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)(“|”为整除符号)．(1)解同余方程x2-x≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n，其中a1<a2<a3<⋯<a n．①若b n=a n+1-a n(n∈N*)，数列b n的前n项和为S n，求S2024；②若c n=tan a2n+1⋅tan a2n-1(n∈N*)，求数列c n的前n项和T n．4(北京西城)给定正整数N≥3，已知项数为m且无重复项的数对序列A：x1,y1,⋅⋅⋅,x m,y m,x2,y2满足如下三个性质：①x i,y i∈1,2,⋅⋅⋅,N，且x i≠y i i=1,2,⋅⋅⋅,m；③p,q与；②x i+1=y i i=1,2,⋅⋅⋅,m-1q,p不同时在数对序列A中.(1)当N=3，m=3时，写出所有满足x1=1的数对序列A；(2)当N=6时，证明：m≤13；(3)当N为奇数时，记m的最大值为T N ，求T N .5(如皋市)对于给定的正整数n ，记集合R n ={α |α =(x 1,x 2,x 3,⋅⋅⋅,x n ),x j ∈R ,j =1,2,3,⋅⋅⋅,n }，其中元素α 称为一个n 维向量.特别地，0 =(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.设k ∈R ，α =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )∈R n ，β =(b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n )∈R n ，定义加法和数乘：kα =(ka 1,ka 2,⋅⋅⋅,ka n )，α +β =(a 1+b 1,a 2+b 2,⋅⋅⋅,a n +b n ).对一组向量α1 ，α2 ，⋯，αs (s ∈N +,s ≥2)，若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，⋯，k s ，使得k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k s αs =0 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n =3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α =(1,1,1)，β =(2,2,2)；②α =(1,1,1)，β =(2,2,2)，γ =(5,1,4)；③α =(1,1,0)，β =(1,0,1)，γ =(0,1,1)，δ =(1,1,1).(2)已知α ，β ，γ 线性无关，判断α +β ，β +γ ，α +γ 是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知m (m ≥2)个向量α1 ，α2 ，⋯，αm 线性相关，但其中任意m -1个都线性无关，证明：①如果存在等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 (k i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )，则这些系数k 1，k 2，⋯，k m 或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 (k i ∈R ,l i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )同时成立，其中l 1≠0，则k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=k m l m.6(江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A,B;C,D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)= (A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔE F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与ΔE F G 对应边的交点在一条直线上．7(高考仿真)已知无穷数列a n满足a n=max a n+1,a n+2-min a n+1,a n+2(n=1,2,3,⋯)，其中max {x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.(1)当a1=1，a2=2时，写出a4的所有可能值；(2)若数列a n中的项存在最大值，证明：0为数列a n中的项；(3)若a n>0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.8(高考仿真)若项数为k(k∈N*，k≥3)的有穷数列{a n}满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列{a n}中的项，则称数列{a n}具有性质P．(1)判断数列0,1,2是否具有性质P，并说明理由；(2)设数列{a n}具有性质P，a i(i=1，2，⋯，k)是{a n}中的任意一项，证明：a k-a i一定是{a n}中的项；(3)若数列{a n}具有性质P，证明：当k≥5时，数列{a n}是等差数列．9(安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ,P 的距离之比MQ MP=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方)，点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点，SF 平分∠BSD ,TF 平分∠BTD .①求BS DS的取值范围；②将点S ､F ､T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.10(郑州外国语)记U ={1,2,⋯,100}．对数列a n n ∈N * 和U 的子集T ，若T =∅，定义S T =0；若T =t 1,t 2,⋯,t k ，定义S T =a t 1+a t 2+⋯+a tk ．例如：T =1,3,66 时，S T =a 1+a 3+a 66．现设a n n ∈N * 是公比为3的等比数列，且当T =2,4 时，S T =30．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意正整数k 1≤k ≤100 ，若T 1,2,⋯,k ，求证：S T <a k +1；(3)设C ⊆U ,D ⊆U ,SC ≥SD ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．11(福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；(Ⅱ)现将椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B (如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比．12用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'x 是f x 的导函数，f''x 是f'x 的导函数，则曲线y=f x 在点x,f x处的曲率K=|f (x)|1+[f (x)]232．(1)若曲线f x =ln x+x与g x =x在1,1处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2的大小；(2)求正弦曲线h x =sin x(x∈R)曲率的平方K2的最大值．13设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q k-1PQ k+∠Q k PQ1)，其中Q i(i=1，2，⋯，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q ​1PQ ​2，平面Q ​2PQ 3，⋯，平面Q k -1PQ k和平面Q k PQ ​1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．(1)任取正四面体的一个顶点，求该点处的离散曲率；(2)如图1，已知长方体A ​1B ​1C ​1D ​1-ABCD，AB=BC=1，AA1=22，点P为底面A ​1B ​1C ​1D ​1内的一个动点，则求四棱锥P-ABCD在点P处的离散曲率的最小值；(3)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域?(只需确定“区域α”还是“区域β”)14近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于2π与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示)，多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是π2，所以正方体在各顶点的曲率为2π-3×π2=π2，故其总曲率为4π．(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：D-L+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数．2024年高考数学19题新模式新结构新题型1(2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A m =a 1,1a 1,2⋯a 1,m a 2,1a 2,2⋯a 2,m ⋮⋮⋱⋮a m ,1a m ,2⋯a m ,m(m ≥2)是m 2个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i <s ≤m ,1≤j <t ≤m 时，记d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ．设n ∈N *，若A m 满足如下两个性质：①a i ,j ∈1,2,3;⋯,n (i =1,2,⋯,m ;j =1,2,⋯,m )；②对任意k ∈1,2,3,⋯,n ，存在i ∈1,2,⋯,m ,j ∈1,2,⋯,m ，使得a i ,j =k ，则称A m 为Γn 数表．(1)判断A 3=123231312是否为Γ3数表，并求d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 的值；(2)若Γ2数表A 4满足d a i ,j ,a i +1,j +1 =1(i =1,2,3;j =1,2,3)，求A 4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A 10，存在1≤i <s ≤10,1≤j <t ≤10，使得d a i ,j ,a s ,t =0．【答案】(1)是；5(2)22(3)证明见详解【分析】(1)根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；(2)根据条件讨论a i +1,j 的值，根据d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ，得到相关的值，进行最小值求和即可；(3)当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.【详解】(1)A 3=123231312是Γ3数表，d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 =2+3=5.(2)由题可知d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t =1(i =1,2,3;j =1,2,3).当a i +1,j =1时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(a i ,j -1)(a i +1,j +1-1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.当a i +1,j =2时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(2-a i ,j )(2-a i +1,j +1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.所以a i ,j +a i +1,j +1=3(i =1,2,3;j =1,2,3).所以a 1,1+a 2,2+a 3,3+a 4,4=3+3=6,a 1,3+a 2,4=3,a 3,1+a 4,2=3.a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+1=4或者a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+2=5，a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+1=4或者a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+2=5，a 1,4=1或a 1,4=2，a 4,1=1或a 4,1=2，故各数之和≥6+3+3+4+4+1+1=22，当A 4=1111122212111212时，各数之和取得最小值22.(3)由于Γ4数表A 10中共100个数字，必然存在k ∈1,2,3,4 ，使得数表中k 的个数满足T ≥25.设第i 行中k 的个数为r i (i =1,2,⋅⋅⋅,10).当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，所以横向有向线段的起点总数R =∑r i ≥2(r i -1)≥∑i =110(r i -1)=T -10.设第j 列中k 的个数为c j (j =1,2,⋅⋅⋅,10).当c j ≥2时，将纵向相邻两个k 用从上到下的有向线段连接，则该列有c j -1条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数C =∑c j ≥2(c j -1)≥∑j =110(c j -1)=T -10.所以R +C ≥2T -20,因为T ≥25,所以R +C -T ≥2T -20-T =T -20>0.所以必存在某个k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在1<u <v ≤10，1<p <q ≤10,使得a u ,p =a v ,p =a v ,q =k ，所以d a u ,p ,a v ,q =a u ,p -a v ,p +a v ,p -a v ,q =0，则命题得证.2(镇海高三期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 2 32(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．【答案】(1)1(2)16749(3)2e ,1 【解析】【分析】(1)依据所给定义求解即可.(2)直接利用定义求解即可.(3)合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.【小问1详解】K =ΔθΔs=π3π3=1．【小问2详解】y =1-x 24，y=-x 41-x 24 -12，y =-141-x 24 -12-x 2161-x 24-32，故y x =3=-32，y x =3=-2，故K =21+3432=16749．【小问3详解】fx =ln x -1，fx =1x ，故φy =22y 1+y3=22x ln x 3=2233s ln s 3，其中s =3x ，令t 1=3x 1，t 2=3x 2，则t 1ln t 1=t 2ln t 2，则ln t 1=-t ln tt -1，其中t =t 2t 1>1(不妨t 2>t 1)令p x =x ln x ，p x =1+ln x ⇒p x 在0,1e 递减，在1e ,+∞ 递增，故1>t 2>1e>t 1>0；令h t =ln t 1+t 2 =ln t +1 -t ln tt -1，h 't =1t -1 2ln t -2t -1 t +1 ，令m (t )=ln t -2t -1 t +1(t >1)，则m(t )=t -1 2t (t +1)，当t >1时，m (t )>0恒成立，故m (t )在(1,+∞)上单调递增，可得m (t )>m (1)=0，即ln t -2t -1t +1>0，故有h t =1t -1 2ln t -2t -1 t +1>0，则h t 在1,+∞ 递增，又lim t →1h t =ln2-1，lim t →+∞h t =0，故ln t 1+t 2 ∈ln2-1,0 ，故3x 1+3x 2=t 1+t 2∈2e ,1．【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解．3(合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a ，b ∈Z ，m ∈N *且m >1．若m a -b 则称a 与b 关于模m 同余，记作a ≡b (mod m )(“|”为整除符号)．(1)解同余方程x 2-x ≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n ，其中a 1<a 2<a 3<⋯<a n ．①若b n =a n +1-a n (n ∈N *)，数列b n 的前n 项和为S n ，求S 2024；②若c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1(n ∈N *)，求数列c n 的前n 项和T n ．解：(1)由题意x x -1 ≡0(mod3)，所以x =3k 或x -1=3k (k ∈Z )，即x =3k 或x =3k +1(k ∈Z )．(2)由(1)可得a n 为3,4,6,7,9,10,⋯ ，所以a n =3×n +12n 为奇数3×n 2+1n 为偶数．①因为b n =a n +1-a n (n ∈N *)，所以b n =1n 为奇数2n 为偶数．S 2024=b 1+b 2+b 3+⋯+b 2024=3×1012=3036．②c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1=tan3n ⋅tan3n +1 (n ∈N *)．因为tan3n ⋅tan3n +1 =tan3n +1 -tan3ntan3-1，所以T n =c 1+c 2+⋯c n =tan6-tan3tan3-1 +tan9-tan6tan3-1 +⋯+tan3n +1 -tan3n tan3-1=tan3n +1 -tan3tan3-n =tan3n +1 tan3-n -1．4(北京西城)给定正整数N ≥3，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：x 1,y 1 ,x 2,y 2 ,⋅⋅⋅,x m ,y m 满足如下三个性质：①x i ,y i ∈1,2,⋅⋅⋅,N ，且x i ≠y i i =1,2,⋅⋅⋅,m ；②x i +1=y i i =1,2,⋅⋅⋅,m -1 ；③p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中.(1)当N =3，m =3时，写出所有满足x 1=1的数对序列A ；(2)当N =6时，证明：m ≤13；(3)当N 为奇数时，记m 的最大值为T N ，求T N .【答案】(1)A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1(2)证明详见解析(3)T N =12N N -1【解析】【分析】(1)利用列举法求得正确答案.(2)利用组合数公式求得m 的一个大致范围，然后根据序列A 满足的性质证得m ≤13.(3)先证明T N +2 =T N +2N +1，然后利用累加法求得T N .【小问1详解】依题意，当N =3，m =3时有：A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1 .【小问2详解】当N =6时，因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以m ≤C 26=15，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次，又因为x i +1=y i i =1,2,⋯,m -1 ，所以只有x 1,y m 对应的数可以出现5次，所以m ≤12×4×4+2×5 =13.【小问3详解】当N 为奇数时，先证明T N +2 =T N +2N +1.因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以T N ≤C 2N =12N N -1 ，当N =3时，构造A :1,2 ,2,3 ,3,1 恰有C 23项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果和可以构造一个恰有C 2N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么多奇数N +2而言，可按如下方式构造满足条件的序列A ：首先，对于如下2N +1个数对集合：1,N +1 ,N +1,1 ,1,N +2 ,N +2,1 ，2,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,2 ，⋯⋯N ,N +1 ,N +1,N ,N ,N +2 ,N +2,N ，N +1,N +2 ,N +2,N +1 ，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A 中，所以T N +2 ≤T N +2N +1，其次，对每个不大于N 的偶数i ∈2,4,6,⋯,N -1 ，将如下4个数对并为一组：N +1,i ,i ,N +2 ,N +2,i +1 ,i +1,N +1 ，共得到N -12组，将这N -12组对数以及1,N +1 ,N +1,N +2 ,N +2,1 ，按如下方式补充到A 的后面，即A ,1,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,3 ,3,n +1 ,⋯,(N +1,N -1),(N -1,N +2),(N +2,N ),(N ,N +1),(N +1,N +2),(N +2,1).此时恰有T N +2N +1项，所以T N +2 =T N +2N +1.综上，当N 为奇数时，T N =T N -T N -2 +T N -2 -T N -4 +⋯+T 5 -T 3 +T 3 =2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +3=2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +2×1+1 =2N -3 +2N -7 +⋯+7+3=2N -3+32×N -2+12=12N N -1 .【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”--明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.5(如皋市)对于给定的正整数n ，记集合R n ={α |α=(x 1,x 2,x 3,⋅⋅⋅,x n ),x j ∈R ,j =1,2,3,⋅⋅⋅,n }，其中元素α称为一个n 维向量.特别地，0 =(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.设k ∈R ，α =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )∈R n ，β =(b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n )∈R n ，定义加法和数乘：kα =(ka 1,ka 2,⋅⋅⋅,ka n )，α +β=(a 1+b 1,a 2+b 2,⋅⋅⋅,a n +b n ).对一组向量α1 ，α2 ，⋯，αs (s ∈N +,s ≥2)，若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，⋯，k s ，使得k 1α1 +k 2α2+⋅⋅⋅+k s αs =0 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n =3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α=(1,1,1)，β =(2,2,2)；②α =(1,1,1)，β =(2,2,2)，γ=(5,1,4)；③α =(1,1,0)，β =(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ =(1,1,1).(2)已知α ，β ，γ 线性无关，判断α +β ，β +γ ，α +γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知m (m ≥2)个向量α1 ，α2 ，⋯，αm线性相关，但其中任意m -1个都线性无关，证明：①如果存在等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0(k i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )，则这些系数k 1，k 2，⋯，k m 或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 (k i ∈R ,l i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )同时成立，其中l 1≠0，则k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.(1)解：对于①，设k 1α +k 2β =0 ，则可得k 1+2k 2=0，所以α ,β线性相关；对于②，设k 1α +k 2β +k 3γ =0，则可得k 1+2k 2+5k 3=0k 1+2k 2+k 3=0k 1+2k 2+4k 3=0 ，所以k 1+2k 2=0，k 3=0，所以α ,β ,γ线性相关；对于③，设k 1α +k 2β +k 3γ+k 4δ =0 ，则可得k 1+k 2+k 4=0k 1+k 3+k 4=0k 2+k 3+k 4=0 ，解得k 1=k 2=k 3=-12k 4，所以α ,β ,γ ,δ 线性相关；(2)解：设k 1(α +β )+k 2(β +γ )+k 3(α +γ)=0 ，则(k 1+k 3)α +(k 1+k 2)β +(k 2+k 3)γ =0，因为向量α ，β ，γ线性无关，所以k 1+k 3=0k 1+k 2=0k 2+k 3=0 ，解得k 1=k 2=k 3=0，所以向量α +β ，β +γ ，α +γ线性无关，(3)①k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0，如果某个k i =0，i =1，2，⋯，m ，则k 1α1 +k 2α2 +⋯+k i -1αi -1 +k i +1αi +1 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，因为任意m -1个都线性无关，所以k 1，k 2，⋯k i -1，k i +1，⋅⋅⋅，k m 都等于0，所以这些系数k 1，k 2，⋅⋅⋅，k m 或者全为零，或者全不为零，②因为l 1≠0，所以l 1，l 2，⋅⋅⋅，l m 全不为零，所以由l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 可得α1 =-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm，代入k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 可得k 1-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm+k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2 α2 +⋅⋅⋅+-lm l 1k 1+k mαm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2=0，⋯，-lm l 1k 1+k m =0，所以k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.6(江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A ，B ，C ，D 是直线l 上互异且非无穷远的四点，则称AC BC ⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB =-BA )为A ，B ，C ，D四点的交比，记为(A ,B ;C ,D )．(1)证明：1-(D ,B ;C ,A )=1(B ,A ;C ,D )；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)= (A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔE F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与ΔE F G 对应边的交点在一条直线上．解：(1)1-(D,B;C,A)=1-DC⋅BABC⋅DA=BC⋅AD+DC⋅BABC⋅AD=BC⋅(AC+CD)+CD⋅ABBC⋅AD=BC⋅AC+BC⋅CD+CD⋅ABBC⋅AD =BC⋅AC+AC⋅CDBC⋅AD=AC⋅BDBC⋅AD=1(B,A;C,D)；(2)(A1,B1;C1,D1)=A1C1⋅B1D1B1C1⋅A1D1=SΔPA1C1⋅SΔPB1D1SΔPB1C1⋅SΔPA1D1=12⋅PA1⋅PC1⋅sin∠A1PC1⋅12⋅PB1⋅PD1⋅sin∠B1PD112⋅PB1⋅PC1⋅sin∠B1PC1⋅12⋅PA1⋅PD1⋅sin∠A1PD1=sin∠A1PC1⋅sin∠B1PD1sin∠B1PC1⋅sin∠A1PD1=sin∠A2PC2⋅sin∠B2PD2sin∠B2PC2⋅sin∠A2PD2=SΔPA2C2⋅SΔPB2D2SΔPB2C2⋅SΔPA2D2==A2C2⋅B2D2B2C2⋅A2D2=(A2,B2;C2,D2)；第(2)问图第(3)问图（3）设EF与E F 交于X，FG与F G 交于Y，EG与E G 交于Z，连接XY，FF 与XY交于L，EE 与XY交于M，GG 与XY交于N，欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线XY上．考虑线束XP，XE，XM，XE ，由第(2)问知(P,F;L,F )=(P,E;M,E )，再考虑线束YP，YF，YL，YF ，由第(2)问知(P,F;L, F )=(P,G;N,G )，从而得到(P,E;M,E )=(P,G;N,G )，于是由第(2)问的逆命题知，EG，MN，E G 交于一点，即为点Z，从而MN过点Z，故Z在直线XY上，X，Y，Z三点共线．7(高考仿真)已知无穷数列a n满足a n=max a n+1,a n+2-min a n+1,a n+2(n=1,2,3,⋯)，其中max {x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.(1)当a1=1，a2=2时，写出a4的所有可能值；(2)若数列a n中的项存在最大值，证明：0为数列a n中的项；(3)若a n>0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.【答案】(1){1,3,5}(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据定义知a n≥0，讨论a3>2、a3<2及a3,a4大小求所有a4可能值；(2)由a n≥0，假设存在n0∈N*使a n≤a n0，进而有a n≤max{a n+1,a n+2}≤a n，可得min{a n+1,a n+2}=0，即可证结论；(3)由题设a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，令S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅求证a n >M 即可判断存在性.【小问1详解】由a n =max a n +1,a n +2 -min a n +1,a n +2 ≥0，a 1=max {2,a 3}-min {2,a 3}=1，若a 3>2，则a 3-2=1，即a 3=3，此时a 2=max {3,a 4}-min {3,a 4}=2，当a 4>3，则a 4-3=2，即a 4=5；当a 4<3，则3-a 4=2，即a 4=1；若a 3<2，则2-a 3=1，即a 3=1，此时a 2=max {1,a 4}-min {1,a 4}=2，当a 4>1，则a 4-1=2，即a 4=3；当a 4<1，则1-a 4=2，即a 4=-1(舍)；综上，a 4的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由(1)知：a n ≥0，则min a n +1,a n +2 ≥0，数列a n 中的项存在最大值，故存在n 0∈N *使a n ≤a n 0，(n =1,2,3,⋯)，由a n 0=max {a n 0+1,a n 0+2}-min {a n 0+1,a n 0+2}≤max {a n 0+1,a n 0+2}≤a n 0，所以min {a n 0+1,a n 0+2}=0，故存在k ∈{n 0+1,n 0+2}使a k =0，所以0为数列a n 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由a n >0(n =1,2,3,⋯)，则a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，设S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，若S =∅，则a 1≤a 2，a i <a i +1(i =2,3,⋯)，对任意M >0，取n 1=Ma 1+2([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 1时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a 3-a 2)+a 2=a n -2+a n -3+...+a 1+a 2≥(n -1)a 1>M ；若S ≠∅，则S 为有限集，设m =max {n |a n >a n +1,n ≥1}，a m +i <a m +i +1(i =1,2,3,⋯)，对任意M >0，取n 2=M a m +1+m +1([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 2时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a m +2-a m +1)+a m +1=a n -2+a n -3+...+a m +a m +1≥(n -m )a m +1>M ；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M .【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，并构造集合S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.8(高考仿真)若项数为k (k ∈N *，k ≥3)的有穷数列{a n }满足：0≤a 1<a 2<a 3<⋅⋅⋅<a k ，且对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤k )，a j +a i 或a j -a i 是数列{a n }中的项，则称数列{a n }具有性质P ．(1)判断数列0,1,2是否具有性质P ，并说明理由；(2)设数列{a n }具有性质P ，a i (i =1，2，⋯，k )是{a n }中的任意一项，证明：a k -a i 一定是{a n }中的项；(3)若数列{a n }具有性质P ，证明：当k ≥5时，数列{a n }是等差数列．解析：(1)数列0,1,2具有性质P .理由：根据有穷数列a n满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，则称数列a n具有性质P，对于数列0,1,2中，若对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，可得a j-a i=0或1或2，可得a j-a i一定是数列a n中的项，所以数列0,1,2具有性质P.⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)证明：由a i(i=1,2,⋯,k)是数列a n中的任意一项，因为数列{a n}具有性质P，即a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，令j=k，可得a k+a i或a k-a i是数列a n中的项，又因为0≤a1<a2<⋯<a k，可得a k+a i一定不是数列a n中的项，所以a k-a i一定是数列a n中的项. ⋯⋯⋯⋯⋯8分(3)由数列{a n}具有性质P，可得a k+a k∉a n，所以a k-a k∈a n，则0∈a n，且a1=0，又由a k+a i∉a n，所以a k-a i∈a n，又由0=a k-a k<a k-a k-1<a k-a k-2<⋯<a k-a2<a k-a1，①设2≤i≤k，因为0≤a1<a2<⋯<a k可得a k-a k=0,a k-a k-1=a2,a k-a k-2=a3,⋯,a k-a2=a k-1,a k-a1=a k，当k≥5时，可得a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1， (∗)②设3≤i≤k-2，则a k-1+a i>a k-1+a2=a k，所以a k-1+a i∉a n，由0=a k-1-a k-1<a k-1-a k-2<⋯<a k-1-a3<a k-a3=a k-2，又由0≤a1<a2<⋯<a k-3<a k-2，可得a k-1-a k-1=a1,a k-1-a k-2=a2⋯<a k-1-a k-3=a3,a k-1-a3=a k-3，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-3)，因为k≥5，由以上可知：a k-1-a k-1=a1且a k-1-a k-2=a2，所以a k-1-a1=a k-1且a k-1-a2=a k-2，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-1)，(∗∗)由(∗)知，a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1两式相减，可得a k-a k-1=a i+1-a i1≤i≤k-1，所以当k≥5时，数列a n为等差数列. ⋯⋯⋯⋯⋯17分.9(安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=4，定点分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=1 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方)，点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点，SF 平分∠BSD ,TF 平分∠BTD .①求BSDS的取值范围；②将点S ､F ､T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.【答案】(1)x 28+y 26=1(2)①13,1 ②y =52x -102【解析】(1)方法①特殊值法，令M ±2,0 ,c -2 a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2.∴a 2=8,b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1，方法②设M x ,y ，由题意MFMA =(x -c )2+y 2(x -a )2+y 2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2c -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22,c = 2.∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1.(2)①由S △SBF S △SDF =12SB⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)，令BF DF=λ，则BF =λFD，设D x 0,y 0 ，则有3x 20+4y 20=24，又直线l 的斜率k >0，则x 0∈-22,2 ,x B =2λ+1 -λx 0y B =-λy 0代入3x 2+4y 2-24=0得：321+λ -λx 0 2+4λ2y 20-24=0，即λ+1 5λ-3-2λx 0 =0，∵λ>0,∴λ=35-2x 0∈13,1 .②由(1)知，SB SD=TB TD=BF DF，由阿波罗尼斯圆定义知，S ,T ,F 在以B ,D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C 1，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF DF =NB ND ，即BF DF =2r -BF 2r +DF ，解得：r =11BF-1DF.又S 圆C 1=πr 2=818π，故r =922,∴1BF -1DF=229又DF =x 0-2 2+y 20=x 0-2 2+6-34x 20=22-12x 0，∴1BF -1DF =1λDF -1DF =5-2x 0322-12x 0 -122-12x 0=2-2x 0322-12x 0=229.解得：x 0=-22,y 0=-6-34x 20=-3104,∴k =-y 02-x 0=52,∴直线l 的方程为y =52x -102.10(郑州外国语)记U ={1,2,⋯,100}．对数列a n n ∈N * 和U 的子集T ，若T =∅，定义S T =0；若T =t 1,t 2,⋯,t k ，定义S T =a t 1+a t 2+⋯+a tk ．例如：T =1,3,66 时，S T =a 1+a 3+a 66．现设a n n ∈N * 是公比为3的等比数列，且当T =2,4 时，S T =30．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意正整数k 1≤k ≤100 ，若T 1,2,⋯,k ，求证：S T <a k +1；(3)设C ⊆U ,D ⊆U ,SC ≥SD ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．解：(1)当T =2,4 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30，因此a 2=3，从而a 1=a 23=1,a n =3n -1；(2)S T ≤a 1+a 2+⋯a k =1+3+32+⋯+3k -1=3k -12<3k =a k +1；(3)设A =∁C C ∩D ,B =∁D C ∩D ，则A ∩B =∅,S C =S A +S C ∩D ，S D =S B +S C ∩D ，S C +S C ∩D -2S D =S A -2S B ，因此原题就等价于证明S A ≥2S B ．由条件S C ≥S D 可知S A ≥S B ．①若B =∅，则S B =0，所以S A ≥2S B ．②若B ≠∅，由S A ≥S B 可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ,B 中最大元素为m ，若m ≥l +1，则由第(2)小题，S A <a l +1≤a m ≤S B ，矛盾．因为A ∩B =∅，所以l ≠m ，所以l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m =1+3+32+⋯+3m -1=3m -12<a m +12≤a l 2≤S A 2，即S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此S C +S C ∩D ≥2S D ．11(福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；(Ⅱ)现将椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B (如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比．【答案】解： (Ⅰ)由图可知，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分)证明如下：在图①中，设截面圆的圆心为O 1，易得截面圆O 1的面积为πR 2-d 2 ，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以，圆环的面积为πR 2-d 2 ，所以，截得的截面的面积相等(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上(如图)，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ；在半椭球截面圆的面积πb 2a2a 2-d 2，在圆柱内圆环的面积为πb 2-πb 2a 2d 2=πb 2a2a 2-d 2∴距离平面α为d 的平面截取两个几何体的平面面积相等，根据祖暅原理得出椭球A 的体积为：V A =2V 圆柱-V 圆锥 =2π⋅b 2⋅a -13π⋅b 2⋅a =4π3ab 2，同理：椭球B 的体积为V B =4π3a 2b 所以，两个椭球A ，B 的体积之比为ba．【解析】本题考查新定义问题，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意，直接画出阴影即可，然后分别求出图①中圆的面积及图②中圆环的面积即可证明；(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ，证明截面面积相等，由祖暅原理求出出椭球A 的体积，同理求出椭球B 的体积，作比得出答案．12用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f 'x 是f x 的导函数，f ''x 是f 'x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =|f (x )|1+[f (x )]232．。