数学高考新题型专题训练

复习数学新高考新题型专练：(8)平面解析几何1.已知曲线22:1C mx ny +=.()A.若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若0m n =>，则CC.若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D.若0m =，0n >，则C 是两条直线2.已知F 是椭圆2212516y x +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，123,,FP FP FP ，…组成公差为()0d d >的等差数列，则（）A ．该椭圆的焦距为6B ．1FP 的最小值为2C ．d 的值可以为310D ．d 的值可以为253.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，交抛物线C 的准线于D ，若2,2BD BF FA ==，则A.(3,0)F B.直线AB 的方程为3)2y x =-C.点B 到准线的距离为6D.AOB (O 为坐标原点)的面积为4.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射，12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476，公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）A.焦距长约为300公里B.长轴长约为3988公里C.两焦点坐标约为(150,0)± D.离心率约为759945.设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点过左焦点1F 且斜率为157的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ，则下列说法正确的是()A.直线l 倾斜角的余弦值为78B.若112F P F F =，则C 的离心率43e =C.若212||||PF F F =，则C 的离心率2e =D.12PF F 不可能是等边三角形6.若圆()2220x y r r +=>上恰有相异两点到直线43250x y -+=的距离等于1，则r 可以取值()A.92B.5C.112D.67.下列说法中，正确的有()A.过点(1,2)P 且在,x y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B.直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C.直线10x +=的倾斜角为60︒D.过点(5,4)并且倾斜角为90︒的直线方程为50x -=8.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，经过点F 的直线l 交C 的两条渐近线于,A B 两点，O 为坐标原点.若2,||||AF FB OA AB ==，则以下说法正确的是()A.OF 是OAB △的角平分线B.1||||2OB OA =C. D.双曲线C 9.下列结论错误的是()A.若直线12,l l 的斜率相等，则12//l lB.若直线的斜率121k k ⋅=则12l l ⊥C.若直线12,l l 的斜率都不存在，则12//l l D.若直线12,l l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行10.已知椭圆22136x y +=上有,,A B C 三点，其中9(1,2),(1,2),tan 2B C BAC --∠=，则下列说法正确的是()A.直线BC 的方程为20x y -=B.12AC k =或4C.点A 的坐标为122(,99-D.点A 到直线BC 的距离为9.答案以及解析1.答案：ACD解析：对于选项A ，0m n >>Q ，110m n∴<<，方程221mx ny +=可变形为22111x y m n+=，∴该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于选项B ，0m n =>Q ，∴方程221mx ny +=可变形为221x y n +=的圆，错误；对于选项C ，0mn <Q ，∴该方程表示双曲线，令220mx ny y +=⇒=，正确；对于选项D ，0m =Q ，0n >，∴方程221mx ny +=变形为21ny y =⇒=.综上选ACD.2.答案：ABC解析：由椭圆2212516y x +=，得5,4,3a b c ===，故A 正确；1min532FP a c =-=-=，故B 正确；设123,,,FP FP FP 组成的等差数列为{}n a ，由已知可得该数列是单调递增数列，则11max min2,||538n a FP a FP ≥=≤=+=，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310，故C 正确，D 错误.故选ABC.3.答案：BCD 解析：如图，不妨令点B 在第一象限，设点K 为准线于x 轴的交点，分别过点,A B 作抛物线2:2(0)C y px p =>的准线的垂线，垂足分别为,G E ，2BD BF =，所以点F 为BD 的中点，又1,2BE FB BE BD =∴=，所以R t EBD △中，30,22224BDE AD AG AF ∠=∴===⨯= ，6DF AD FA ∴=+=，6BF ∴=则点B 到准线的距离为6，故C 正确；6,3,3DF KF p =∴=∴= ，则3(,0)2F ，故A 错误；由30BDE ∠= ，易得60BFx ∠= ，所以直线AB 的方程为33tan 60())22y x x =⋅-=- ，故B 正确；连接1313,,6sin1202sin 602222AOB AOF OA OB S S +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= △，故D 正确，故选BCD.4.答案：AD解析：本题考查椭圆的实际应用，设该椭圆的半长轴长为a ，半焦距长为c ，依题意可得月球半径约为134761738,10017381838,40017382138,2a c a c ⨯=-=+=+=+=2183821383976,1988,2138a a c =+===1988150-=，椭圆的离心率约为150751988994c e a ===，可得结论A 、D 项正确，B 项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C 项错误.5.答案：AD解析：本题考查双曲线的离心率.设直线倾斜角为α，则tan α=所以7cos 8α=，P 在第一象限内若112F P F F =，则11222,22PF F F c PF c a===-由余弦定理得222244(22)188c c c a c +--=，整理得23e 8e 40-+=，解得e =2或23e =(舍).若212PF F F =，则21212,22PF F F c PF c a ===+，由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+，整理得23e e-40-=，解得4e 3=或e 1=-(舍).由12PF PF >，知12PF F △不可能为等边三角形.6.答案：ABC解析：圆心(0,0)到直线43250x y -+=的距离5d ==，半径为r ，若圆上恰有一个点到直线43250x y -+=的距离等于1，则4r =或6r =，故当圆()2220x y rr +=>上恰有相异两点到直线43250x y -+=的距离等于1，所以(4,6)r ∈，故选：ABC.7.答案：BD解析：对A 项，点(1,2)P 在直线2y x =上，且该直线在,x y 轴截距都为0，则A 错误；对B 项，令0,2x y ==-，则直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，则B 正确；对C项，10x +=可化为33y x =+，则该直线的斜率3tan 3k α==，则倾斜角30α=︒，则C 错误；对D 项，过点(5,4)并且倾斜角为90︒的直线上的所有点的横坐标5x =，则D 正确；故选：BD.8.答案：ABD解析：由2AF FB =，可知点,A B 的位置有两种情况：①点A 在第一象限，点B 在第四象限；②点A 在第四象限，点B 在第一象限，结合图（图略）可知A 选项正确；设2AF =，则1FB =，||||3OA AB ==，因为在AOB △中，OF 为AOB ∠的平分线，所以||||||||OB FB OA AF =，所以31||||22OB OA ==，所以B 选项正确；设π02AOF θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则1cos e θ=，由余弦定理得222||||||1cos 22||||4OA OB AB OA OB θ+-==，所以C 选项错误；因为2cos 22cos 1θθ=-，所以25cos 8θ=，即10cos 4θ=，所以1210cos 5e θ==，所以D 选项正确.故选ABD.9.答案：ABC解析：若直线12,l l 的斜率相等，则12//l l 或1l 与2l 重合，所以A 结论错误；若直线的斜率121k k ⋅=-，则12l l ⊥，所以B 结论错误；若直线12,l l 的斜率都不存在，则12//l l 或1l 与2l 重合，所以C 结论错误；D 结论正确.故选ABC.10.答案：AD解析：设直线,AB AC 的倾斜角分别为12,θθ，不妨设12θθ>，由9tan 02BAC ∠=>，知π2BAC ∠<，则数形结合易知当12BAC θθ-=∠时，才能满足题意，故()129tan 2θθ-=，即912AB AC AB AC k k k k -=+⋅，又222222462421111A A A A AB AC A A A A y y y x k k x x x x -+---⋅=⋅===--+--，所以92AB AC k k -=-，结合2AB ACk k ⋅=-，解得412AC AB k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩或124AC AB k k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，而当124AC AB k k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩时，数形结合易知12BAC θθ-≠∠，且π2BAC ∠>，故舍去.当4AC k =，12AB k =-时，由()()2411212y x y x +=+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，得122,99A ⎛⎫⎪⎝⎭，此时点A 到直线:20BC x y -=459=.由椭圆的对称性知：当12θθ<时，同理可得点A 到直线BC 的距离为459.。

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编09一、单选题1(2024·广东梅州·二模)已知点F 为双曲线C ：x 23-y 2=1的右焦点，点N 在x 轴上(非双曲线顶点)，若对于在双曲线C 上(除顶点外)任一点P ，∠FPN 恒是锐角，则点N 的横坐标的取值范围为()A.2,143B.2,173C.3,143D.3,173【答案】C【解析】由题意可得c =a 2+b 2=2，所以F (2,0)，设N (x 0，0)，P (x ,y )，则PF =(2-x ,-y )，PN =(x 0-x ，-y )，由∠FPN 恒是锐角，得PF ⋅PN=(2-x )(x 0-x )+y 2>0，又x 23-y 2=1，∴y 2=x 23-1，∴不等式可化为：(2-x )(x 0-x )+x 23-1>0，整理得：4x 23-(x 0+2)x +(2x 0-1)>0，∴只需Δ=(x 0+2)2-163(2x 0-1)<0，解得2<x 0<143．故选：C ．2(2024·广东·二模)已知球O 与圆台O 1O 2的上、下底面和侧面均相切，且球O 与圆台O 1O 2的体积之比为12，则球O 与圆台O 1O 2的表面积之比为()A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】由题意，作出圆台的轴截面ABCD ，设圆台的上、下底面半径分别为r 1、r 2，球的半径OO 1=r ，则AE =r 1,BE =r 2，过A 作AD ⊥BC 于点H ，由AH 2+BH 2=AB 2，得2r 2+r 2-r 1 2=r 1+r 2 2，化简得r 2=r 1r 2，由球的体积公式V 球=43πr 3，圆台的体积公式V 圆台=132r ⋅πr 21+πr 22+πr 21⋅πr 22 =23πr r 21+r 22+r 1r 2 ，已知球O 与圆台O 1O 2的体积之比为12，则2r 2r 21+r 22+r 1r 2=12，化简得4r 2=r 21+r 22+r 1r 2，则4r 1r 2=r 21+r 22+r 1r 2，得3r 1r 2=r 21+r 22，又球的表面积S 球=4πr 2，圆台的表面积S 圆台=πr 1+r 2 2+r 21+r 22 ，所以S 球S 圆台=4r 22r 21+r 22+r 1r 2 =2r 2r 21+r 22+r 1r 2=2×14=12，故选：D ．3(2024·广东·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x 2+y 2=1，若等腰直角△ABC 的直角边AC 为圆O 的一条弦，且圆心O 在△ABC 外，点B 在圆O 外，则四边形OABC 的面积的最大值为()A.52+1 B.2+1C.62+1 D.3+1【答案】A【解析】如图所示，设∠OAC =∠OCA =α，则∠AOC =π-2α，故S AOC =12OA ⋅OC sin ∠AOC =12sin π-2α =12sin2α，由余弦定理得AC 2=OA 2+OC 2-2OA ⋅OC cos ∠AOC =1+1-2cos π-2α =2+2cos2α，故等腰直角三角形△ABC 的面积为12AC ⋅BC =12AC 2=1+cos2α，故四边形OABC 的面积为12sin2α+cos2α+1=52sin 2α+φ +1，其中tan φ=2，0<φ<π2，其中α∈0,π2，故2α+φ∈φ,π+φ ⊇π2,π，则当2α+φ=π2时，52sin 2α+φ +1取得最大值，最大值为52+1．故选：A4(2024·湖南益阳·模拟预测)已知f x 的定义域为0,+∞ ,f x 是f x 的导函数，且x 2f x +2xf x =ln x ，2ef e =1，则f 13,f sin 14 ,f tan 12的大小关系是()A.f 13 <f sin 14 <f tan 12 B.f sin 14 <f 13 <f tan12C.f tan 12 <f 13 <f sin 14D.f sin 14 <f tan 12 <f 13【答案】C【解析】因为x 2f (x )+2xf (x )=ln x ，即[x 2f (x )] =ln x ，构造函数g (x )=x 2f (x )，则g (x )=ln x ，f (x )=g (x )x2．将f (x )=g (x )x2代入x 2f (x )+2xf (x )=ln x ，得f (x )=x ln x -2g (x )x 3．再构造函数h (x )=x ln x -2g (x )，则h (x )=ln x +1-2g (x )=1-ln x ，易知，当x ∈(0,e )时，h (x )>0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，函数h (x )单调递减，所以h (x )max =h (e )=e -2g (e )=e -2e 2f (e )，由于2ef (e )=1，所以h (e )=0，所以h (x )≤0，所以当x ∈(0,e )时，f (x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0，函数f (x )单调递减，所以f (x )在(0,+∞)单调递减．又根据单位圆可得三角不等式sin 13<13<tan 13，又sin 14<sin 13，tan 13<tan 12，所以f tan 13<f 13 <f sin 13 ，故f tan 12 <f 13 <f sin 14 ．故选：C ．5(2024·湖南益阳·模拟预测)如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为r A ，另一种金属晶体的原子半径为r B ，则r A 和r B 的关系是()A.2r B =3r AB.2r B =6r AC.2r B =3-1 r AD.2r B =6-2 r A【答案】D【解析】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体P -ABC ，设正四面体的棱长为a a >0 ，高为h h >0 ，外接球球心为O ，D 为正三角形ABC 的中心，则必有PD ⊥平面ABC 且P ，O ，D 三点共线，在正三角形ABC 中，易求得DB =32a ×23=33a ，在△PDB 中，由PB 2=PD 2+DB 2，可得h =PD =a 2-33a 2=63a ，在△OBD 中，由OB 2=OD 2+DB 2，得R 2=(h -R )2+33a2，解得R =64a ，由题意得a =2rA64a =r A +r B，所以64×2r A =r A +r B ，所以2r B =6-2 r A ．故选：D ．6(2024·湖北武汉·模拟预测)若函数f x =3cos ωx +φ ω<0，-π2<φ<π2的最小正周期为π，在区间-π6,π6 上单调递减，且在区间0,π6上存在零点，则φ的取值范围是()A.π6,π2B.-π2,-π3C.π3,π2D.0,π3 【答案】B【解析】由函数f (x )的最小正周期为π，得2π|ω|=π，而ω<0，解得ω=-2，则f (x )=3cos (-2x +φ)=3cos (2x -φ)，由2k π≤2x -φ≤2k π+π,k ∈Z ，得2k π+φ≤2x ≤2k π+π+φ,k ∈Z ，又f (x )在-π6,π6上单调递减，因此2k π+φ≤-π3，且π3≤2k π+π+φ,k ∈Z ，解得-2π3-2k π≤φ≤-π3-2k π,k ∈Z ①，由余弦函数的零点，得2x -φ=n π+π2,n ∈Z ，即2x =n π+π2+φ,n ∈Z ，而f (x )在0,π6 上存在零点，则0<n π+π2+φ<π3,n ∈Z ，于是-n π-π2<φ<-n π-π6,n ∈Z ②，又-π2<φ<π2，联立①②解得-π2<φ≤-π3，所以φ的取值范围是-π2,-π3．故选：B7(2024·湖北武汉·模拟预测)如果a <x <b ，记x 为区间a ,b 内的所有整数．例如，如果2<x <3.5，则x =3；如果1.2<x <3.5，则x =2或3；如果2.3<x <2.7，则x 不存在．已知T =1+142+143+⋯+1481，则T =()A.36B.35C.34D.33【答案】B【解析】令函数f (x )=43x 34(x >0)，求导得f (x )=x -14=14x，则14n(n ∈N ∗)可视为函数f (x )=43x 34(x >0)在x =n 处的切线斜率，设A (n ,f (n )),B (n +1,f (n +1))，则直线AB 的斜率k AB =f (n +1)-f (n )n +1-n=f (n +1)-f (n )，由导数的几何意义有f (n +1)<k AB <f (n )，因此14n +1<43(n +1)34-n 34 <14n，而43234-134 +334-234 +434-334 +⋯+8234-8134 <141+142+143+⋯+1481=T ，即有T >438234-1 >438134-1 =43×26=34+23，又T =1+142+143+⋯+1481<1+438134-1 =35+23，因此34+23<T <35+23，所以[T ]=35．故选：B8(2024·山东·二模)已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6 对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23．故选：A9(2024·山东·二模)已知f x 为定义在R 上的奇函数，设f x 为f x 的导函数，若f x =f 2-x +4x -4，则f 2023 =()A.1B.-2023C.2D.2023【答案】C【解析】因为f x =f 2-x +4x -4，所以两边求导，得f (x )=-f (2-x )+4，即f (x )+f (2-x )=4①因为f x 为定义在R 上的奇函数，则f (-x )=-f (x )，所以两边求导，得f (x )=f (-x )，所以f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2-x )=f (x -2)，结合①式可得，f (x )+f (x -2)=4，所以f (x -2)+f (x -4)=4，两式相减得，f (x )=f (x -4)，所以f (x )是周期为4的偶函数，所以f (2023)=f (-1)=f (1)．由①式，令x =1，得f (1)=2，所以f (2023)=f (1)=2．故选：C ．10(2024·河南信阳·模拟预测)棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 为BD 1上的动点，O 为底面ABCD 的中心，则OP 的最小值为()A.33B.63C.66D.32【答案】C【解析】由题意可得OP 的最小值为点O 到线段BD 1的距离，在平面D 1DB 内过点O 作OP ⊥BD 1于点P ，由题意可得DD 1=1，DB =2，BD 1=3，DD 1⊥平面ABCD ，因为DB ⊂平面ABCD ，则DD 1⊥DB ，因为△OPB ∽△D 1DB ，故OP DD 1=OB BD 1，即OP =OB ⋅DD 1BD 1=22×13=66．故选：C ．11(2024·河南信阳·模拟预测)若直线y =ax +b 与曲线y =e x 相切，则a +b 的取值范围为()A.(-∞,e ]B.[2,e ]C.[e ,+∞)D.[2,+∞)【答案】A【解析】对于y =e x ，有y =e x ，令切点为m ,e m ，则切线方程为y =e m x -m +e m ，即y =e m x +1-m e m ，即有a +b =e m +1-m e m =2-m e m ，令f x =2-x e x ，则f x =1-x e x ，当x <1时，f x >0，当x >1时，f x <0，故f x 在-∞,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，故f x ≤f 1 =2-1 e 1=e ，又当x 趋向于正无穷大时，f x 趋向于负无穷，故f x ∈(-∞,e ]，即a +b ∈(-∞,e ]．故选：A ．12(2024·福建福州·模拟预测)函数f x =2sin ωx 3sin ωx +cos ωx (ω>0)在0,π3上单调递增，且对任意的实数a ，f x 在(a ,a +π)上不单调，则ω的取值范围为()A.1,52B.1,54C.12,52D.12,54【答案】D【解析】因为f (x )=2sin ωx (3sin ωx +cos ωx )=23sin 2ωx +2sin ωx cos ωx=sin2ωx -3cos2ωx +3=2sin 2ωx -π3 +3，又因为x ∈0,π3 ，且ω>0，则2ωx -π3∈-π3,2ωπ3-π3 ，若f (x )在0,π3上单调递增，所以2ωπ3-π3≤π2，所以0<ω≤54，因为对任意的实数a ，f (x )在(a ,a +π)上不单调，所以f (x )的周期T =2π2ω<2π，所以ω>12，所以12<ω≤54．故选：D ．13(2024·浙江嘉兴·二模)6位学生在游乐场游玩A ,B ,C 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有()A.180种B.210种C.240种D.360种【答案】C【解析】若A 有2人游玩，则有C 26C 34C 11A 22+C 24C 22A 22A 22=15×8+6 =210种；若A 有4人游玩，则有C 46A 22=15×2=30种；所以共有240种，故选：C ．14(2024·浙江嘉兴·二模)已知定义在0,+∞ 上的函数f x 满足xf x =1-x f x ，且f 1 >0，则()A.f 12<f 1 <f 2 B.f 2 <f 1 <f 12C.f 12<f 2 <f 1D.f 2 <f 12<f 1 【答案】D【解析】由xfx =1-x f x 变形得f x -xf x f x=x ，从而有f x -xf x f 2x=x f x ，x f x =x f x ，所以xf x=k ⋅e x ，因为f 1 >0，所以k =1f 1 e1>0，则f x =xk ⋅e x ，则fx =ke x -kx ⋅e x k 2e x =ke x 1-x k 2e x，故当0<x <1时，f x >0，当x >1时，f x <0，所以f x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 单调递减，所以f 12<f 1 ，f 2 <f 1 ，又f 12 -f 2 =12k e -2ke 2=e 32-42ke2，而e 3>2.73≈19.7>16，所以e 32>4，所以f 2 <f 12<f 1 ．故选：D ．15(2024·浙江宁波·二模)在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4,A 1B 1=2,AA 1=3，若球O 与上底面A 1B 1C 1D 1以及棱AB ,BC ,CD ,DA 均相切，则球O 的表面积为()A.9π B.16π C.25πD.36π【答案】C【解析】设棱台上下底面的中心为N ,M ，连接D 1B 1,DB ，则D 1B 1=22,DB =42，所以棱台的高MN =B 1B 2-MB -NB 1 2=3 2-22-2 2=1，设球半径为R ，根据正四棱台的结构特征可知：球O 与上底面A 1B 1C 1D 1相切于N ，与棱AB ,BC ,CD,DA 均相切于各边中点处，设BC 中点为E ，连接OE ,OM ,ME ，所以OE 2=OM 2+ME 2⇒R 2=R -1 2+22，解得R =52，所以球O 的表面积为4πR 2=25π，故选：C16(2024·浙江宁波·二模)已知集合P =x ,y |x 4+ax -2024=0 且xy =2024 ，若P 中的点均在直线y =2024x 的同一侧，则实数a 的取值范围为()A.-∞,-2023 ∪2023,+∞ B.2023,+∞ C.-∞,-2024 ∪2024,+∞ D.2024,+∞【答案】A【解析】依题意集合P 即为关于x 、y 的方程组x 4+ax -2024=0xy =2024 的解集，显然x ≠0，所以a =-x 3+2024xy =2024x，即y =-x 3+2024x y =2024x y =a，令f x =-x 3+2024x ，由y =2024x y =2024x，解得x =1y =1 或x =-1y =-1 ，即函数y =2024x 与y =2024x的交点坐标为1,1 和-1,-1 ，又f -x =-x 3+2024x =--x 3+2024x =-f x ，所以f x 为奇函数，因为y =-x 3与y =2024x 在0,+∞ 上单调递减，所以f x =-x 3+2024x 在0,+∞ 上单调递减，则f x =-x 3+2024x在-∞,0 上单调递减，依题意y =a 与y =-x 3+2024x 、y =2024x的交点在直线y =2024x 的同侧，只需a >f 1 或a <f -1 ，即a >2023或a <-2023，所以实数a 的取值范围为-∞,-2023 ∪2023,+∞ ．故选：A17(2024·浙江杭州·二模)在△ABC 中，已知sin A sin B =n sin C ,cos A cos B=n cos C ．若tan A +π4 =-3，则n =()A.无解B.2C.3D.4【答案】A 【解析】由tan A +π4 =1+tan A1-tan A=-3，即tan A =2，则cos A ≠0，由sin A sin B =n sin C ,cos A cos B =n cos C ，知cos C ≠0，则tan A tan B=tan C ，则tan A =tan B ⋅tan C =2，又tan A =tan π-B -C =-tan B +C =-tan B +tan C1-tan B ⋅tan C=tan B +tan C ，故tan B +tan C =2，设tan B =t ，则tan C =2-t ，有t 2-t =2，即t 2-2t +2=0，Δ=4-8=-4<0，即该方程无解，故不存在这样三角形，即n 无解．故选：A ．18(2024·浙江杭州·二模)设集合M ={-1,1}，N ={x |x >0且x ≠1}，函数f x =a x +λa -x (a >0且a ≠1)，则()A.∀λ∈M ,∃a ∈N ,f x 为增函数B.∃λ∈M ,∀a ∈N ,f x 为减函数C.∀λ∈M ,∃a ∈N ,f x 为奇函数D.∃λ∈M ,∀a ∈N ,f x 为偶函数【答案】D【解析】当λ=1时，f x =a x +a -x ，a >1时，f (x )在(-∞,0)上不是增函数，故A 不正确；当λ=-1时，f x =a x -a -x ，a >1时，f (x )在(0,+∞)上为增函数，B 不正确；当λ=1时，f x =a x +a -x ，f (-x )=a x +a -x =f (x )，f (x )为偶函数，故C 不正确；当λ=1时，f x =a x +a -x ，f (-x )=a x +a -x =f (x )，f (x )为偶函数，故D 正确；故选：D ．19(2024·浙江台州·二模)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点M ,N 分别在双曲线C 的左、右两支上，且满足∠MF 2N =π3，NF 2=2MF 1 ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.73C.3D.52【答案】B【解析】如图，设NF 1与MF 2的交点为P ，MF 1 =x ，因为NF 2 =2MF 1 ，所以NF 2 =2MF 1 =2x ，所以，由双曲线的定义可知：MF 2 =MF 1 +2a =2a +x ，NF 1 =2a +NF 2 =2x +2a ，因为NF 2 =2MF 1 ，所以NF 2⎳MF 1，所以△NF 2P ∽△F 1MP ，∠F 1MF 2=∠MF 2N =π3，所以PF 2 =23MF 2 =232a +x ，PN =23NF 1 =232a +2x ，所以，在△PNF 2中，∠PF 2N =∠MF 2N =π3，所以，由余弦定理有：cos ∠PF 2N =PF 2 2+F 2N 2-PN 22PF 2 ⋅F 2N=cos π3=12，代入PF 2 =232a +x ，PN =232a +2x ，NF 2 =2x ，整理得3x 2-10ax =0，解得x =103a ，x =0(舍)，所以，MF 1 =x =103a ，MF 2 =2a +x =163a ，F 1F 2 =2c ，所以，在△F 1MF 2中，由余弦定理有：cos ∠F 1MF 2=F 1M 2+F 2M 2-F 1F 2 22F 1M ⋅F 2M =12，代入数据整理得：7a =3c ，所以，双曲线的离心率为：e =c a =73．故选：B20(2024·江苏扬州·模拟预测)已知菱形ABCD 的边长为2,∠ABC =60°，动点P 在BC 边上(包括端点)，则AD ⋅AP的取值范围是()A.0,1 B.-1,2C.-2,2D.-1,1【答案】C【解析】如图，作Cy ⊥CB ，以C 为原点，建立平面直角坐标系，易知C (0,0)，A (1,3)，D (-1,3)，设P (x ,0)，且x ∈0,2 ，故AD =(-2,0)，AP=x -1,-3 ，故AD ⋅AP=-2(1-x )=2-2x ，而-2x ∈-4,0 ，2-2x ∈-2,2 ．故选：C21(2024·江苏扬州·模拟预测)设方程2x +x +3=0和方程log 2x +x +3=0的根分别为p ,q ，设函数f x =x +p x +q ，则()A.f 2 =f 0 <f 3B.f 0 =f 3 >f 2C.f 3 <f 2 =f 0D.f 0 <f 3 <f 2【答案】B【解析】由2x +x +3=0得2x =-x -3，由log 2x +x +3=0得log 2x =-x -3，所以令y =2x ,y =log 2x ,y =-x -3，这3个函数图象情况如下图所示：设y =2x ,y =-x -3交于点B ，y =log 2x ,y =-x -3交于点C ，由于y =2x ,y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称，而y =-x -3,y =x 的交点为A -32,-32 ，所以p +q 2=-32，注意到函数f x =x +p x +q =x 2+p +q x +pq 的对称轴为直线x =-p +q 2，即x =32，且二次函数f x 的图象是开口向上的抛物线方程，从而f 0 =f 3 >f 2 ．故选：B ．22(2024·河北邢台·一模)如图，正四棱台容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为12cm ，AB =10cm ，A 1B 1=2cm ，容器中水的高度为6cm ．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没)，水位上升了3cm ，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为()A.31πcmB.32πcm C.33πcm D.34πcm 【答案】A【解析】正四棱台容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为12cm ，AB =10cm ，A 1B 1=2cm ，正四棱台容器内水的高度为6cm ，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为122+10 =6，其体积为V 1=1362+102+62×102 ×6=392cm 3；放入铁球后，水位高为9cm ，沿A 1B 1作个纵截面，从A 1,B 1分别向底面引垂线，如图，其中EF 是底面边长10cm ，B 1H 是容器的高为12cm ，GH 是水的高为9cm ，由截面图中比例线段的性质GN HF =B 1G B 1H=14，可得GN =1，此时水面边长为4cm ，此时水的体积为V 2=1342+102+42×102 ×9=468cm 3，放入的57个球的体积为468-392=76cm 3，设小铁球的半径为r ，则57×43πr 3=76，解得r =31πcm ．故选：A 23(2024·河北邢台·一模)倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：y 2=16x 的焦点F ，且与C 相交于A ,B 两点．若θ∈π6,π4，则AF BF 的取值范围为()A.128,256 B.64,256 C.64,1963 D.1963,128 【答案】A【解析】首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，如图，对于一个抛物线y 2=2px ，倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：y 2=2px 的焦点F ，且与C 相交于A ,B 两点．作准线的垂线AA ,BB ，过F 作FM ⊥AA ，则AF =AA =MA +AM =p +AF cos θ，解得AF =p 1-cos θ，同理可得BF =p1+cos θ，如图，不妨设A 在第一象限，由焦半径公式得AF =81-cos θ，AF =81+cos θ，则AF BF =81-cos θ×81+cos θ=64sin 2θ，而θ∈π6,π4 ，可得sin 2θ∈14,12 ，故64sin 2θ∈128,256 ，故A 正确，故选：A 二、多选题24(2024·广东梅州·二模)已知数列a n 的通项公式为a n =3n ，n ∈N *，在a n 中依次选取若干项(至少3项)a k 1，a k 2，a k 3，⋅⋅⋅，a k n，⋅⋅⋅，使a k n成为一个等比数列，则下列说法正确的是()A.若取k 1=1，k 2=3，则k 3=9B.满足题意的k n 也必是一个等比数列C.在a n 的前100项中，a k n的可能项数最多是6D.如果把a n 中满足等比的项一直取下去，a k n总是无穷数列【答案】AB【解析】因为数列a n 的通项公式为a n =3n ，对于A ，取k 1=1，k 2=3，则a k 1=a 1=3，a k 2=a 3=9，由于a k n为等比数列，则a k 3=27，则有3k 3=27，即k 3=9，故A 正确；对于B ，数列{a n }的通项公式为a n =3n ，则a k n=3k n ，若a k n为等比数列，即3k 1，3k 2，3k 3，⋯，3k n ，⋯是等比数列，则k 1，k 2，k 3，⋯，k n ，⋯，是等比数列，故满足题意的{k n }也必是一个等比数列，故B 正确；对于C ，在a n 的前100项中，可以取k 1=1，k 2=2，k 3=4，k 4=8，k 5=16，k 6=32，k 7=64，可以使a k n成为一个等比数列，此时a k n为7项，故C 错误；对于D ，取k 1=4，k 2=6，则a k 1=12,a k 2=18，则a k 3=27,a k 4=812，a k 4=812不是数列a n 的项，所以把a n 中满足等比的项一直取下去，a k n不总是无穷数列，故D 错误．故选：AB ．25(2024·广东梅州·二模)如图，平面ABN ⊥α，AB =MN =2，M 为线段AB 的中点，直线MN 与平面α的所成角大小为30°，点P 为平面α内的动点，则()A.以N 为球心，半径为2的球面在平面α上的截痕长为2πB.若P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线C.若P 到直线MN 的距离为1，则∠APB 的最大值为π2D.满足∠MNP =45°的点P 的轨迹是椭圆【答案】BC【解析】对于A ，由于MN 与平面α的所成角大小为30°，所以点N 到平面α的距离d =MN sin30°=1，故半径为R =2的球面在平面α上截面圆的半径为r =R 2-d 2=3，故截痕长为2πr =23π，A 错误，对于B ，由于平面ABN ⊥α，所以以AB 为y ，在平面α内过M 作x ⊥AB ，平面ABN 内作z ⊥AB ，建立如图所示的空间直角坐标系，则M 0,0,0 ,B 0,1,0 ,A 0,-1,0 ,N 0,3,1 ，设P x ,y ,0 ，则PM =PN ⇒x 2+y 2=x 2+y -3 2+1，化简得y =23，故P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线，B 正确，MN =0,3,1 ,MP =x ,y ,0 ，所以P 到直线MN 的距离为MP 2-MP ⋅MNMN2=x 2+y 2-3y 22=1，化简可得x 2+y 24=1，所以点P 的轨迹是平面α内的椭圆x 2+y 24=1上一点，如图，当P 在短轴的端点时，此时∠APB 最大，由于BM =MP =1，故∠BPM =π4，因此∠APB =2∠BPM =π2，C 正确，对于D ，NM =0,-3,-1 ,NP =x ,y -3,-1 ，MP=x ,y ,0 ，若∠MNP =45°，则cos ∠MNP =cos NM ,NP =NM ⋅NPNM ⋅NP =-3y +42x 2+y -3 2+1=22，化简得y -2324-x 22=1且y <433，故满足∠MNP =45°的点P 的轨迹是双曲线的一部分，D 错误，故选：BC26(2024·广东·二模)设O 为坐标原点，抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为F 1，过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点，过点A ,B 分别作l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则下列说法正确的有()A.A 1F 1 ⋅B 1F 1 =FF 1 2B.A 1B 1 ≤2FF 1C.OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1D.OA +OB ≥OA 1 +OB 1【答案】ACD【解析】由已知F (1,0)，F 1(-1,0)，设过点F 的直线方程为：x =my +1，设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则A 1(-1,y 1)，B 1(-1,y 2)，由y 2=4x x =my +1，得y 2-4my -4=0，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2=4m 2+2,x 1x 2=y 1y 2216=1，A 1F 1 ⋅B 1F 1 =-y 1y 2=4,FF 1 2=22=4，所以A 1F 1 ⋅B 1F 1 =FF 1 2，故A 正确，A 1B 1 =y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=16m 2+16≥4=2FF 1 ，故B 错误，OA2⋅OB 2=x 21+y 21 x 22+y 22 =x 21x 22+x 21y 22+x 22y 21+y 21y 22=17+x 22y 21+x 21y 22=17+4x 22x 1+4x 21x 2=17+4x 1x 2x 1+x 2 =25+16m2，O 1A2⋅O 1B 2=1+y 21 1+y 22 =1+y 22+y 21+y 21y 22=17+y 21+y 22=17+y 1+y 2 2-2y 1y 2=25+16m 2，故OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1 ，C 正确，OA +OB2-OA 1 +OB 1 2=OA 2+OB 2-OA 1 2-OB 1 2+2OA ⋅OB -2OA 1 ⋅OB 1 ，由选项C 可知OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1 ，所以OA +OB 2-OA 1 +OB 1 2=OA 2+OB 2-OA 1 2-OB 1 2=x 21+y 21 +x 22+y 22 -1+y 21 -1+y 22 =x 21+x 22 -2=x 1+x 2 2-2x 1x 2-2=4m 2+2 2-4≥0，故OA +OB ≥OA 1 +OB 1 ，D 正确；故选：ACD27(2024·湖南益阳·模拟预测)如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆OP 与横杆PQ 组成，P ,Q 为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆PQ 始终保持水平．如图2所示，以点O 为原点，水平方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系．若点O 距水平地面的高度为1米，转动杆OP 的长度为1．6米，横杆PQ 的长度为2米，OP 绕点O 在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角θ∈30°,90° ()A.则点P 运动的轨迹方程为x 2+(y +1)2=6425(其中x ∈0,435,y ∈45,85)B.则点Q 运动的轨迹方程为(x -2)2+y 2=6425(其中x ∈2,10+435 ,y ∈45,85)C.若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则横杆PQ 距水平地面的高度为135米D.若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则点Q 运动轨迹的长度为135米【答案】BC【解析】对于A ：点P 的轨迹显然是以O 为原点，OP 为半径的圆，故点P 运动轨迹方程为x 2+y 2=6425(其中x ∈0,435 ,y ∈45,85)，故A 错误；对于B ：设Q x ,y ,P x 0,y 0 ，因为PQ 平行于x 轴，所以x =x 0+2y =y 0，所以x 0=x -2y 0=y ，又因为P 在加圆x 2+y 2=6425上，所以点Q 的运动轨迹是以(2,0)为圆心，1．6为半径的圆，所以点Q 的轨迹方程为x -2 2+y 2=6425(其中x ∈2,10+435 ,y ∈45,85)，故B 正确；对于C ：若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，横杆PQ 达到最高点，此时横杆PQ 距水平地面的高度为1+1.6=135，故C 正确；对于D ：因为OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，故Q 绕点2,0 转动的角度与点P 绕点0,0 转动的角度一样为90°-30°=π3，所以点Q 运动轨迹的长度即为圆(其中)的弧长，等于1.6×π3=8π15，故D 错误．故选：BC ．28(2024·湖南益阳·模拟预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，已知sin A :sin B :sin C =2:3:4，则下列结论中正确的是()A.a +b :b +c :c +a =5：6：7B.△ABC 为钝角三角形C.若a +b +c =18．则△ABC 的面积是615D.若△ABC 的外接圆半径是R ，内切圆半径为r ，则5R =16r 【答案】BD【解析】因为sin A :sin B :sin C =2:3:4，由正弦定理a sin A=b sin B =csin C =2R ，可得a :b :c =2:3:4，设a =2x x >0 ，b =3x ，c =4x ，则(a +b ):(b +c ):(c +a )=5x :7x :6x =5:7:6，故A 错误；由题意可知，C 为最大角，因为cos C =a 2+b 2-c 22ab =4x 2+9x 2-16x 212x 2=-14<0，故C 为钝角，故B 正确；若a +b +c =18，则a =4，b =6，c =8，又cos C =-14，所以sin C =1-cos 2C =154，所以△ABC 的面积S △ABC =12ab sin C =12×4×6×154=315，故C 错误；由正弦定理得，2R =c sin C =4x 154=16x 15，即R =8x15，由面积公式可得12(a +b +c )r =12ab sin C ，即12×9x ⋅r =12×2x ×3x ×154，所以r =156x ，所以R r =165，故5R =16r ，故D 正确．故选：BD ．29(2024·湖北武汉·模拟预测)已知各项都是正数的数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =a n 2+12a n，则下列结论正确的是()A.当m >n m ，n ∈N * 时，a m >a nB.S n +S n +2<2S n +1C.数列S 2n 是等差数列D.S n -1S n≥ln n 【答案】BCD【解析】对A ，由题意可知a 1=a 12+12a 1⇒a 21=1，所以a 1=1，则a 1+a 2=a 22+12a 2⇒a 22+2a 2-1=0，所以a 2=2-1<a 1，故A 错误；对C ，由S n =a n 2+12a n ⇒S n =S n -S n -12+12S n -S n -1⇒S 2n -S 2n -1=1n ≥2 ，故C 正确；对C ，所以S 2n =1+n -1 =n ⇒S n =n ，则S n +S n +2=n +n +2<2n +n +22=2S n +1，故B 正确；对D ，易知S n -1S n =n -1n，令f x =x -1x -2ln x x ≥1 ，则f x =1+1x2-2x =1x -1 2≥0，则f x 单调递增，所以f x ≥f 1 =0⇒n -1n≥ln n ，即S n -1S n ≥ln n ，故D 正确．故选：BCD 30(2024·湖北武汉·模拟预测)如图，已知椭圆x 24+y 2=1的左、右顶点分别是A 1,A 2，上顶点为B 1，点C 是椭圆上任意一异于顶点的点，连接A 1C 交直线x =2于点P ，连接A 2C 交OP 于点M (O 是坐标原点)，则下列结论正确的是()A.k A 1C ⋅k A 2C 为定值B.2k A 1C =k OPC.当四边形OA 2CB 1的面积最大时，直线OC 的斜率为1D.点M 的纵坐标没有最大值【答案】ABD【解析】依题意，A 1(-2,0),A 2(2,0)，设C (2cos θ,sin θ),0<θ<2π,θ∉π2,π,3π2，对于A ，k A 1C ⋅k A 2C =sin θ2cos θ+2⋅sin θ2cos θ-2=-14，A 正确；对于B ，直线A 1C 的方程为y =sin θ2cos θ+2(x +2)，它与直线x =2的交点P 2,2sin θcos θ+1，因此k OP =sin θcos θ+1=2k A 1C ，B 正确；对于C ，不妨令0<θ<π2，四边形OA 2CB 1的面积S =S △OA 2C +S △OB 1C=sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ≤2，当且仅当θ=π4时取等号，此时点C 2,22 ，直线OC 的斜率为12，C 错误；对于D ，当点C 无限接近点B 1时，点M 的纵坐标无限接近最大值，但取不到最大值，因此没有最大值，D 正确．故选：ABD31(2024·山东·二模)将正四棱锥P -ABCD 和正四棱锥Q -ABCD 的底面重合组成八面体Ω,AB =PA =2,QA =10，则()A.PQ ⊥平面ABCDB.PA ⎳QCC.Ω的体积为42D.二面角P -AB -Q 的余弦值为-13【答案】AC【解析】令正方形ABCD 的中心为O ，连接PO ,QO ，对于A ，由正四棱锥P -ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，同理QO ⊥平面ABCD ，则P ,O ,Q 共线，因此PQ ⊥平面ABCD ，A 正确；对于B ，连接AC ，显然O 是AC 的中点，AO =12AC =2，PO =PA 2-AO 2=2，QO =QA 2-AO 2=22，O 不是PQ 的中点，因此四边形APCQ 不是平行四边形，PA ,QC 不平行，B 错误；对于C ，Ω的体积V =V P -ABCD +V Q -ABCD =13S ABCD ⋅(PO +QO )=13×4×32=42，C 正确；对于D ，取AB 中点M ，连接PM ,QM ，则PM ⊥AB ,QM ⊥AB ，∠PMQ 是二面角P -AB -Q 的平面角，而PM =PA 2-AM 2=3,QM =QA 2-AM 2=3，则cos ∠PMQ =(3)2+32-(32)22×3×3=-33，D 错误．故选：AC32(2024·山东·二模)已知抛物线E :y 2=2px (p >0)焦点为F ，过点M 2,0 (不与点F 重合)的直线交E 于P ,Q 两点，O 为坐标原点，直线PF ,QF 分别交E 于A ,B 两点，∠POQ =90°，则()A.p =1B.直线AB 过定点14,0C.FP ⋅FQ 的最小值为254D.PA +QB 的最小值为254【答案】ACD【解析】设直线PQ :x =my +2与抛物线联立可得：y 2-2pmy -4p =0，设P y 212p ,y 1 ,Q y 222p ,y 2，则y 1y 2=-4p ，因为∠AOB =90°∠AOB =90°，所以OP ⋅OQ =y 1y 2 24p 2+y 1y 2=4-4p =0，解p =1，故A 正确；由A 可知，F 12,0 ，设直线PF :x =m 1y +12，与抛物线联立可得，y 2-2m 1y -1=0，设A x A ,y A ,B x B ,y B ，所以y A =-1y 1，同理可得y B =-1y 2，所以y A y B =1y 1y 2=-14，直线AB :2x -y A +y B y +y A y B =0，即2x -18 -y A +y B y =0，所以直线AB 过定点18,0 ，故B 错误；FP ⋅FQ =y 212+12 y 222+12=y 21y 224+y 21+y 224+14≥y 21y 22+2y 1y 2 +14=254，故C 正确；PA =y 21+1+1y 21+12,QB =y 22+1+1y 22+12，所以PA +QB =y 21+y 22+1y 21+1y 22+42=1716y 21+y 22 +42≥1716×2y 1y 2 +42=254，故D 正确．故选：ACD ．33(2024·福建福州·模拟预测)定义在R 上的函数f x 的值域为-∞,0 ，且f 2x +f x +y f x -y =0，则()A.f 0 =-1B.f 4 +f 1 2=0C.f x f -x =1D.f x +f -x ≤-2【答案】ACD【解析】令x =y =0，则有f 0 +f 0 2=0，解得f 0 =0或f 0 =-1，因为函数f x 的值域为-∞,0 ，所以f 0 =-1，A 正确；令x =1,y =0，则有f 2 +f 1 2=0，即f 2 =-f 1 2令x =2,y =0，则有f 4 +f 2 2=0，即f 4 +f 1 4=0，B 不正确；令x =0，则有f 0 +f y f -y =0，所以f y f -y =1，即f x f -x =1，C 正确；因为f x <0，所以-f x >0，-f -x >0，所以-f x +-f -x ≥2f x f -x =2，当且仅当f x =f -x 时，取到等号，所以f x +f -x ≤-2，D 正确．故选：ACD34(2024·福建福州·模拟预测)投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量X n =1,第n 次投出正面,-1,第n 次投出反面, (n =1,2,3)．记A 表示事件“X 1+X 2=0”，B 表示事件“X 2=1”，C 表示事件“X 1+X 2+X 3=-1”，则()A.B 和C 互为对立事件B.事件A 和C 不互斥C.事件A 和B 相互独立D.事件B 和C 相互独立【答案】BC【解析】根据题意，A 表示事件“X 1+X 2=0”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则P A =C 12122=12，B 表示事件“X 2=1”，即第二次抛掷中，正面向上，则P B =12，C 表示事件“X 1+X 2+X 3=-1”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，P C =C 13×12×122=38，依次分析选项：对于A ，事件B 、C 可能同时发生，则事件B 、C 不是对立事件，A 错误；对于B ，事件A 、C 可能同时发生，则事件A 和C 不互斥，B 正确；对于C ，事件AB ，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，P (AB )=12×12=14，由于P A P B =P (AB )，则事件A 和B 相互独立，C 正确；对于D ，事件BC ，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，P (BC )=12×12×12=18，P B P C ≠P (BC )，事件B 、C 不是相互独立事件，D 错误．故选：BC ．35(2024·浙江嘉兴·二模)已知角α的顶点与原点重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点A a ,b ab ≠0,a ≠b ，定义：Ti α =a +ba -b．对于函数f x =Ti x ，则()A.函数f x 的图象关于点π4,0 对称B.函数f x 在区间π4,π2上单调递增C.将函数f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到一个偶函数的图象D.方程f x =12在区间0,π 上有两个不同的实数解【答案】AB【解析】根据题意，tan x =b a ，∴f x =a +b a -b =1+ba 1-b a=1+tan x 1-tan x =tan π4+tan x 1-tan π4⋅tan x =tan x +π4 ，对于A ，由正切函数的性质得x +π4=k π2，k ∈Z ，解得x =-π4+k π2，所以函数f x 的对称中心为-π4+k π2,0，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，x ∈π4,π2 ，∴x +π4∈π2,3π4 ，由正切函数的性质可知f x 在π4,π2上单调递增，故B 正确；对于C ，将f x 的图象向左平移π4个单位可得y =tan x +π4+π4 =tan x +π2=1tan x，为奇函数，故C 错误；对于D ，∵x ∈0,π ，∴x +π4∈π4,3π4，令α=x +π4，由正切函数y =tan α的性质可知在π4,π2 上单调递增，且y ≥1，在π2,π上单调递增，且y ≤0，所以方程f x =tan x +π4 =12在区间0,π 上无实数解，故D 错误．故选：AB ．36(2024·浙江嘉兴·二模)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，已知抛物线Ω:y 2=2px (p >0)的准线为l ,O 为坐标原点，在x 轴上方有两束平行于x 轴的入射光线l 1和l 2，分别经Ω上的点A x 1,y 1 和点B x 2,y 2 反射后，再经Ω上相应的点C 和点D 反射，最后沿直线l 3和l 4射出，且l 1与l 2之间的距离等于l 3与l 4之间的距离．则下列说法中正确的是()A.若直线l 3与准线l 相交于点P ，则A ,O ,P 三点共线B.若直线l 3与准线l 相交于点P ，则PF 平分∠APCC.y 1y 2=p 2D.若直线l 1的方程为y =2p ，则cos ∠AFB =725【答案】ACD【解析】对于选项A ，因为直线AC 经过焦点，设C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，直线AC :x =ty +p 2，与抛物线y 2=2px 联立得y 2-2pty -p 2=0，∴y 1+y 3=2pt ,y 1y 3=-p 2，由题意得P -p 2,y 3 ,A y 212p ,y 1,k OP =-2y 3p ，k AO =2p y 1=2p -p 2y3=-2y 3p ，所以k OP =k AO ，即A ､O ､P 三点共线，故A 正确；对于选项B ，假设∠APF =∠CPF ，又∠CFP =∠CPF ，所以∠APF =∠CFP ，所以AP ⎳CF ，这与AP 和CF 相交于A 点矛盾，故B 错误；对于选项C ，l 1与l 2距离等于l 3与l 4距离，又结合A 选项，则y 1-y 2=y 3-y 4=-p 2y 1+p 2y 2=p 2⋅y 1-y 2y 1y 2，所以y 1y 2=p 2，故C 正确；对于选项D ，由题意可得，A 2p ,2p ,B p 8,p 2,F p 2,0 ,FA =3p 2,2p ,FB =-3p 8,p2，FA ⋅FB =3p 2⋅-3p 8 +2p ⋅p 2=7p 216，FA ⋅FB =3p 2 2+(2p )2⋅-3p 8 2+p 2 2=25p 216，∴cos ∠AFB =FA ⋅FB FA ⋅FB =725，故D 正确．故选：ACD ．37(2024·浙江宁波·二模)若平面向量a ,b ,c 满足a =1,b =1,c =3且a ⋅c =b ⋅c，则()A.a +b +c的最小值为2B.a +b +c的最大值为5C.a -b +c的最小值为2 D.a -b +c的最大值为13【答案】BD【解析】当向量a ,b 方向相同，与c 方向相反时，满足a ⋅c =b ⋅c，此时a +b +c 有最小值c -a+b =1，A 选项错误；当向量a ,b ,c 方向相同时，满足a ⋅c =b ⋅c，此时a +b +c 有最大值a +b +c=5，B 选项正确；a ⋅c =b ⋅c ，有a -b ⋅c =0，即a -b ⊥c ，则a -b +c =a -b 2+c 2，向量a ,b 方向相同时，a -b 的最小值为0，a -b +c 的最小值为3，C 选项错误；向量a ,b 方向相反时，a -b 的最大值为2，a -b +c 的最大值为13，D 选项正确．故选：BD38(2024·浙江宁波·二模)已知函数f x =sin ωx +φ (ω>0)，()A.若ω=2,φ=π2，则f x 是最小正周期为π的偶函数B.若ω=2,x 0为f x 的一个零点，则x 0+π4必为f x 的一个极大值点C.若φ=-π4,x =π2是f x 的一条对称轴，则ω的最小值为32D.若φ=-π4,f x 在0,π6上单调，则ω的最大值为92【答案】ACD【解析】若ω=2,φ=π2，则f x =sin2x+π2=cos2x，所以f x 是最小正周期为2π2=π的偶函数，A正确；若ω=2，则f x 是最小正周期为2π2=π，若x0为f x 的一个零点，则x0+π4为f x 的一个极大值点或极小值点，B错误；若φ=-π4,x=π2是f x 的一条对称轴，则fπ2=sinπ2ω-π4=±1，所以π2ω-π4=π2+kπ,k∈Z，即ω=32+2k,k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为32，C正确；若φ=-π4, 则f x =sinωx-π4(ω>0)，由正弦函数的单调性，令-π2+2kπ≤ωx-π4≤π2+2kπ，解得-π4ω+2kπω≤x≤3π4ω+2kπω，又f x 在0,π6上单调，所以当k=0时，0,π6⊆-π4ω,3π4ω，即π6≤3π4ω，解得ω≤92，则ω的最大值为92，D正确．故选：ACD．39(2024·浙江宁波·二模)指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知U为全集且元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数1S x ,1S x =1,x∈S0,x∈∁U S若A,B,C⊆U，则()注：x∈M f(x)表示M中所有元素x所对应的函数值f x 之和(其中M是f x 定义域的子集)．A.x∈A 1A(x)<x∈U 1A(x)B.1A∩B(x)≤1A(x)≤1A∪B(x)C.x∈U 1A∪B(x)=x∈U1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)D.x∈U1-1A(x)1-1B(x)1-1C(x)=x∈U 1U(x)-x∈U 1A∪B∪C(x)【答案】BCD【解析】对于A，由于A⊆U，所以x∈U 1A(x)=x∈A 1A(x)+x∈∁u A 1A(x)=x∈A 1A(x),故x∈A 1A(x)=x∈U 1A(x)，故A错误，对于B，若x∈A∩B，则1A∩B(x)=1,1A(x)=1,1A∪B(x)=1，此时满足1A∩B(x)≤1A(x)≤1A∪B(x)，若x∈A且x∉B时，1A∩B(x)=0,1A(x)=1,1A∪B(x)=1，若x∈B且x∉A时，1A∩B(x)=0,1A(x)=0,1A∪B(x)=1，若x∉A且x∉B时，1A∩B(x)=0,1A(x)=0,1A∪B(x)=0，综上可得1A ∩B (x )≤1A (x )≤1A ∪B (x )，故B 正确，对于C ，x ∈U1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x ) =x ∈A ∩∁U B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈B ∩∁U A1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈A ∩B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈∁U A ∪B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )=x ∈A ∩∁U B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈B ∩∁U A1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈A ∩B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈∁U A ∪B=x ∈A ∪B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )而x ∈U1A ∪B (x )=x ∈A ∪B1A ∪B (x )+x ∈∁U A ∪B1A ∪B(x )=x ∈A ∪B1A ∪B (x )，由于1A ∪B x =1,x ∈A ∪B0,x ∈∁U A ∪B，所以1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )=1A ∪B (x )故x ∈U1A ∪B (x )=x ∈U1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x ) ，C 正确，x ∈U1U (x )-x ∈U1A ∪B ∪C (x )=x ∈∁U A ∪B ∪C1U(x )，当x ∈A ∪B ∪C 时，此时1A (x ),1B (x ),I C (x )中至少一个为1，所以1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =0，当x ∉A ∪B ∪C 时，此时1A (x ),1B (x ),I C (x )均为0，所以1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =1，故x ∈U1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =x ∈∁U A ∪B ∪C1-1A (x )1-1B (x ) 1-1C (x ) =x ∈∁U A ∪B ∪C1U(x )，故D 正确，故选：BCD40(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x 对任意实数x 均满足2f x +f x 2-1 =1，则()A.f -x =f xB.f 2 =1C.f -1 =13 D.函数f x 在区间2,3 上不单调【答案】ACD【解析】对于A ，令x 等价于-x ，则2f -x +f x 2-1 =1，所以f -x =f x =1-f x 2-1 2，故A 正确；对于B ，令x =1，则2f 1 +f 0 =1，令x =0，则2f 0 +f 1 =1，解得：f 0 =f 1 =13，令x =2，2f 2 +f 1 =1，则f 2 =13，故B 错误；对于C ，由A 知，f -x =f x ，所以f -1 =f 1 =13，故C 正确；对于D ，令x =x 2-1，所以x 2-x -1=0，解得：x =1±52，令x =1+52，则2f 1+52+f 1+52 =1，所以f 1+52 =13，因为1+52∈2,3 ，f 1+52 =f 2 =13，所以函数f x 在区间2,3 上不单调，故D 正确．故选：ACD ．。

新高考数学题型试卷一、选择题（每题5分，共8小题）1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={xx^2-ax + a - 1 = 0}，若A∩ B = B，则a的值为（）- A. 2.- B. 3.- C. 2或3。

- D. 1或2或3。

解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。

- 对于集合B，方程x^2-ax + a - 1 = 0可化为(x - 1)[x-(a - 1)] = 0，解得x = 1或x=a - 1，所以B={1,a - 1}。

- 因为A∩ B = B，所以B⊆ A。

- 当a-1 = 1时，a = 2；当a - 1=2时，a = 3。

所以a的值为2或3，答案选C。

2. 复数z=(1 + i)/(1 - i)的共轭复数是（）- A. i- B. -i- C. 1 - i- D. 1 + i解析：- 先化简z=(1 + i)/(1 - i)，分子分母同时乘以1 + i，得到z=frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)}=frac{1 + 2i+i^2}{2}=(2i)/(2)=i。

- 复数i的共轭复数是-i，所以答案选B。

3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(x,1)，若→a⊥→b，则x的值为（）- A. - 2.- B. 2.- C. -(1)/(2)- D. (1)/(2)解析：- 因为→a⊥→b，根据向量垂直的性质→a·→b=0。

- 又→a=(1,2)，→b=(x,1)，则→a·→b=1× x+2×1 = 0，即x + 2 = 0，解得x=-2，答案选A。

4. 在等差数列{a_n}中，a_3=5，a_7=13，则a_11的值为（）- A. 21.- B. 22.- C. 23.- D. 24.解析：- 根据等差数列的性质：若m,n,p,q∈ N^+，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。

1、若一个等差数列的前三项分别为a, a+d, a+2d，且这三项的和为21，则a+d的值为？A、5B、7C、9D、14（答案：B。

解析：由等差数列性质，前三项和为3a+3d=21，即a+d=7。

）2、在直角三角形中，若一个锐角为30度，则它所对的直角边与斜边的比值为？A、1/2B、√2/2C、√3/2D、√3（答案：A。

解析：在30-60-90直角三角形中，30度角所对的直角边与斜边的比值为1:2，即1/2。

）3、若一个正方体的表面积是24平方米，则它的体积是多少立方米？A、4B、6C、8D、12（答案：C。

解析：正方体表面积=6×边长²，体积=边长³。

由表面积24得边长²=4，进而边长=2，所以体积=2³=8。

）4、在圆内接四边形中，若一个角为120度，则它所对的对角为？A、30度B、60度C、90度D、120度（答案：D。

解析：圆内接四边形对角互补，所以120度的对角也为120度。

）5、若一个数列的前n项和为Sn，且Sn=n²+n，则数列的第5项为？A、18B、19C、20D、21（答案：D。

解析：由Sn=n²+n，得S5=5²+5=30，S4=4²+4=20，所以第5项=S5-S4=30-20=10+5=15+5（因为第5项是S5比S4多出的部分，即5²+5-(4²+4)），计算得第5项为21。

）6、在三角形ABC中，若AB=AC，且∠BAC=100度，则∠B的度数为？A、40度B、50度C、60度D、80度（答案：A。

解析：等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为180度。

所以∠B=∠C=(180-100)/2=40度。

）7、若一个长方形的长是宽的两倍，且其面积为128平方厘米，则长方形的长为？A、8厘米B、16厘米C、32厘米D、64厘米（答案：B。

解析：设宽为x，则长为2x，面积为x×2x=128，解得x=8，所以长为2x=16厘米。

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------ 的平均数与方差分别为（ ）A ．5,4-B ．5,16-C ．4,16D ．4,42．已知向量()1,2a = ，3b = ，2a b -= ，则向量a在向量b 上的投影向量的模长为（ ）A ．6B ．3C ．2D 3．已知在等比数列{}n a 中，23215a a +=，234729a a a =，则n n S a -=（ ）A ．1232n -⨯-B ．()11312n --C ．23n n ⨯-D ．533n ⨯-4．已知三棱锥A BCD -中，6,3,AB AC BC ===A BCD -的体积为500π3，则线段CD 长度的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．D ．105．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（ ）A ．60种B ．68种C ．82种D ．108种6．已知 1.12a -=，1241log log 33b c ==，则（ ）A ．a b c＜＜B ．c b a＜＜C ．b a c＜＜D ．b c a＜＜7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（ ）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.158．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>，抛物线2C 的准线过双曲线1C 的焦点F ，过点F 作双曲线1C 的一条渐近线的垂线，垂足为点M ，延长FM 与抛物线2C 相交于点N ，若34ON OF OM +=，则双曲线1C 的离心率等于（ ）A1+BCD1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，下列说法正确的是（ ）A ．若复数1i1i-=+z （i 为虚数单位），则741z =-B ．若复数z 满足z z =，则z ∈R C ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若复数z 满足112z z -++=，则复数z 对应点的集合是以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆10．设直线系:cos sin 1n m M x y θθ+=（其中0，m ，n 均为参数，02π≤≤θ，{},1,2m n ∈），则下列命题中是真命题的是（ ）A ．当1m =，1n =时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B ．存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C ．当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1D ．当2m =，1n =时，若存在一点()0A a ，，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤11．如图所示，一个圆锥SO 的底面是一个半径为3的圆，AC 为直径，且120ASC ∠=︒，点B 为圆O 上一动点（异于A ，C 两点），则下列结论正确的是（ ）A ．SAB ∠的取值范围是ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．二面角S BC A --的平面角的取值范围是ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C ．点A 到平面SBC 的距离最大值为3D ．点M 为线段SB 上的一动点，当SA SB ⊥ 时，6AM MC +>第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．13．已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形11ABB A 为菱形，160A AB ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，N 为1BB 的中点，则三棱锥11C A MN -的外接球的表面积为 .14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c，其中2,a b c =+=，且sin A C =.(1)求c 的值；(2)求tan A 的值；(3)求cos 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16．（15分）如图，在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 边上的一点，90APC PMA ∠=∠=︒，cos CAB ∠=2AB PC ==PA =.(1)证明：AC ⊥平面PBM ；(2)设点Q 为边PB 的中点，试判断三棱锥P ACQ -的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了,A B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从,A B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为112,,233，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为12.若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为14；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为23.求丁周日选择B 健身中心健身的概率；(3)现用健身指数[]()0,10k k ∈来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n .若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值.参考数据：2930310.980.557,0.980.545,0.980.535≈≈≈.18．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上下顶点分别为12,B B ，左右顶点分别为12,A A ，四边形1122A B A B 的面积为C 上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0-且斜率不为0的直线l 与C 交于,P Q （异于12,A A ）两点，设直线2A P 与直线1AQ 交于点M ，证明：点M 在定直线上.19．（17分）给定整数3n ≥，由n 元实数集合P 定义其随影数集{},,Q x y x y P x y =-∈≠∣.若()min 1Q =，则称集合P 为一个n 元理想数集，并定义P 的理数t 为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合{}{}2,1,2,3,0.3, 1.2,2.1,2.5S T =--=--是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集P ，求证：()()min max 4P P +≥；(3)当{}122024,,,P x x x = 取遍所有2024元理想数集时，求理数t 的最小值.注：由n 个实数组成的集合叫做n 元实数集合，()()max ,min P P 分别表示数集P 中的最大数与最小数.2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

1、已知等差数列的前三项分别为3，7，11，那么它的第五项是：A、19B、20C、21D、22（等差数列的公差为后一项减前一项，此处公差为4，依次累加可得第五项。

）（答案）A2、若一个直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则该直角三角形的斜边长度为：A、5B、6C、7D、8（根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，计算可得斜边长度为5。

）（答案）A3、一个圆的半径为r，若其面积增加了一倍，则新圆的半径为：A、rB、2rC、√2rD、2√r（圆的面积与半径的平方成正比，面积增加一倍即半径平方增加一倍，所以新半径为原半径的√2倍。

）（答案）C4、已知一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，其体积为：A、30B、40C、50D、60（长方体的体积等于长乘以宽乘以高。

）（答案）D5、在1到100的整数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？A、53B、54C、55D、56（先算出1到100中3和5的倍数个数，再去除重复计算的15的倍数个数，最后用100减去这些数即可。

）（答案）D6、若一个正方体的表面积是24平方米，则它的体积是：A、4立方米B、6立方米C、8立方米D、12立方米（正方体表面积等于6倍的一个面的面积，体积等于边长的三次方，通过表面积可求出边长，再计算体积。

）（答案）C7、已知一组数据1，2，3，x，5的平均数为3，则x的值为：A、2B、3C、4D、5（平均数为所有数之和除以数的个数，通过等式可解出x。

）（答案）C8、若一个圆锥的底面半径为r，高为h，则其体积为：A、(1/3)πr2hB、(2/3)πr2hC、πr2hD、3πr2h（圆锥体积公式为底面积乘以高再乘以1/3，底面积为πr2。

）（答案）A。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列各式中，属于对数式的是（）A. 2^x = 8B. x^3 = 27C. log_2(4) = 2D. sin(x) = 12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f'(2) = 4，则a = （）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)4. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限5. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = 2^xB. y = log_2(x)C. y = x^2D. y = -x6. 已知数列{an}满足an = 2an-1 - 1（n ≥ 2），且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 27. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC = （）A. 1/2B. √3/2C. √2/2D. 18. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = x^3在R上单调递增B. 等差数列{an}的公差一定为正数C. 对数函数y = log_2(x)在定义域内单调递增D. 二项式定理中，展开式中第r+1项的系数为C(n,r)9. 若复数z = a + bi（a，b∈R），且|z| = √(a^2 + b^2) = 1，则z的共轭复数是（）A. a - biB. -a - biC. a + biD. -a + bi10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的极值点为（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = -1 或 x = 1二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$f(1) = 0$，$f(2) = 3$，$f(3) = 6$，则$a+b+c=$A. 0B. 3C. 6D. 92. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，$a_5 = 11$，则该数列的公差$d=$A. 2B. 3C. 4D. 53. 若复数$z$满足$|z - 1| = |z + 1|$，则复数$z$对应的点在A. 虚轴上B. 实轴上C. 第一象限D. 第二象限4. 下列函数中，奇函数是A. $f(x) = x^2 - 1$B. $f(x) = x^3$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = |x|$5. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A + \sin B +\sin C = 2$，则三角形ABC是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不存在6. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(1)=$A. 0B. 1C. -1D. -37. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为A. (2,3)B. (3,2)C. (3,-2)D. (-2,3)8. 若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，则该数列的公比$q=$A. 2B. 4C. 8D. 169. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 1$，$a_n = 100$，则该数列的项数n为A. 50B. 100C. 200D. 50010. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f(x)$的对称中心为A. (0,0)B. (0,1)C. (0,-1)D. 无对称中心二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。

2024年新高考新结构题型数学选填压轴好题汇编03一、单选题1(2024·广东·一模)已知函数h x 的定义域为R，且满足h x+1+h x-1=2,h2-x是偶函数，h2 =0，若n∈Z，则103n=-103h(n)=()A.202B.204C.206D.208【答案】C【解析】因为h x+1+h x-1=2，所以h x+2+h x =2①，即有h x+4+h x+2=2②，由①②得到h x+4=h x ，所以函数h x 的周期为4，又h2-x是偶函数，所以h2+x=h(2-x)，得到h(x)=h(4-x)=h(-x)，即函数h x 为偶函数，又由h x+2+h x =2，得到h1 +h3 =2，h2 +h4 =2，h0 +h2 =2，又h2 =0，所以h0 =2，故103n=-103h(n)=2103n=1h(n)+h(0)=2×25×4+h(0)+2(h(1)+h(2)+h(3))=206，故选：C.2(2024·高三·湖南·阶段练习)设方程2x⋅log2x=1的两根为x1，x2x1<x2，则()A.0<x1<1，x2>2B.x1>1x2C.0<x1x2<1D.x1+x2>3【答案】C【解析】由题意得，0<x1<x2，由2x⋅log2x=1得log2x-12x=0，如图画出函数y=log2x和y=12x的图象，两个函数有2个交点，令f x =log2x-12x x>0，则f1 =-12<0，f2 =1-14=34>0，f12=1-12>0，由f12⋅f1 <0，f1 ⋅f2 <0得x1∈12,1，x2∈1,2 ，故A错；由log2x2-12x2=log2x1-12x1=0，得log2x2-log2x1=12x2-12 x1，由x1∈12,1，x2∈1,2 ，得log2x2+log2x1=12 x2-12 x1<0，即log2x1x2<0，所以0<x1x2<1，故C对，B错，由x1∈12,1，x2∈1,2 ，所以x1+x2<3，D错误.故选：C3(2024·福建·二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2．若∠F 1PF 2=π3，则e 1⋅e 2的最小值是A.12B.22C.32D.32【答案】C【解析】设共同的焦点为(-c ,0)，(c ,0)，设PF 1 =s ，PF 2 =t ，运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值．设共同的焦点为(-c ,0)，(c ,0)，设PF 1 =s ，PF 2 =t ，由椭圆和双曲线的定义可得s +t =2a ，s -t =2m ，解得s =a +m ，t =a -m ，在ΔPF 1F 2中，∠F 1PF 2=π3，可得F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅cos ∠F 1PF 2，即为4c 2=(a +m )2+(a -m )2-(a +m )(a -m )=a 2+3m 2，即有a 2c 2+3m 2c 2=4，即为1e 21+3e 22=4，由1e 21+3e 22≥23e 21e 22，可得e 1⋅e 2≥32，当且仅当e 2=3e 1时，取得最小值32，故选C ．4(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)求值：2cos40°+cos80°sin80°=()A.3B.33C.-3D.-33【答案】A【解析】2cos40°+cos80°sin80°=2cos 120°-80° +cos80°sin80°=2cos120°cos80°+sin120°sin80° +cos80°sin80°=3sin80°sin80°= 3.故选：A .5(2024·陕西安康·二模)宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图(如下图)将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数f x ，若存在圆C ，使得f x 的图象能将圆C 的周长和面积同时平分，则称f x 是圆C 的太极函数．下列说法正确的是()①对于任意一个圆，其太极函数有无数个②f x =log 122x +1 +12x 是x 2+y +1 2=1的太极函数③太极函数的图象必是中心对称图形④存在一个圆C ，f x =sin x +cos x 是它的太极函数A.①④ B.③④C.①③D.②③【答案】A【解析】对于①：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确对于②：f -x =log 122-x+1 -12x =log 121+2x 2x-12x ，f x -f -x =log 122x+12x +12x+x =-x +x =0，所以f x 关于y 轴对称，不是太极函数，故②错误；对于③：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心．但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误；对于④：曲线f x =sin x +cos x =2sin x +π4存在对称中心，所以必是某圆的太极函数，故④正确．故选：A ．6已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18【答案】B【解析】不妨令0≤x <y ≤1，则f x -f y <12x -y 法一：2f x -f y =f x -f 0 +f x -f y -f y -f 1 ≤f x -f 0 +f x -f y +f y -f 1<12x -0 +12x -y +12y -1 =12x +12y -x +12y -1 =12，即得f x -f y <14，另一方面，当u ∈0,12 时，f x ={ux ,0≤x ≤12-u 1-x ,12<x ≤1，符合题意，当u →12时，f 12 -f 0 =u 2→14，故k ≤14法二：当x -y ≤12时，f x -f y <12x -y ≤14，当x -y >12时，f x -f y =f x -f 0 -f y -f 1≤f x -f 1 +f y -f 0<12x -1 +12y -0 =121-x +12y =12+12y -x <14，故k ≤14考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.7(2024·高三·浙江杭州·专题练习)已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12π B.16πC.24πD.32π【答案】B【解析】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，S 在棱EH 上面，并以A 为原点，AB ,AD ,AE 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，所以SA =16-4=23，因为SA 和BC 所成的角为π3，AD ⎳BC ，所以AE =23sin π3=3,ES =23cos π3=3，而底面三角形外接圆圆心为AC 中点O 1，设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,3,0 ,S 0,3,3 ,O 11,32,0 ,O 1,32,h ，所以OA =-1,-32,-h ,OS =-1,32,3-h ，则由OA =OS =R ⇒R 2=34+1+h 2=34+1+3-h 2，解得h =32,R 2=4，从而S =4πR 2=16π，即该三棱锥外接球的表面积是16π.故选：B .8已知等差数列a n 中，a 4+a 5=2记b n =a n +1a n -1，n ∈N *，则数列b n 的前8项和为()A.0B.4C.8D.16【答案】C【解析】由等差数列性质得a n +a 9-n =a 4+a 5b n =a n +1a n -1=a n -1+2a n -1=1+2a n -1,设c n =2a n -1，当1≤n ≤8，n ∈N *时，c n +c 9-n =2a n -1+2a 9-n -1=2⋅a n +a 9-n -2a n -1 a 9-n -1 =2⋅a 4+a 5-2a n -1 a 9-n -1=0,故b 1+b 2+b 3+⋯+b 8=1+2a 1-1+1+2a 2-1+⋯+1+2a 8-1=8+c 1+c 2+⋯+c 8=8+c 1+c 8 +c 2+c 7 +c 3+c 6 +c 4+c 5 =8故选：C9(2024·高三·浙江·阶段练习)若3sin θ+cos θ=10，则tan θ+π8 -1tan θ+π8的值为()A.-7B.-14C.17D.27【答案】B【解析】一方面由题意3sin θ+cos θ=10，且注意到sin 2θ+cos 2θ=1，联立得10sin 2θ-610sin θ+9=0，解得sin θ=31010,cos θ=1010，所以tan θ=sin θcos θ=3，另一方面不妨设x =tan π8>0，且tan π4=1=2tan π81-tan 2π8，所以有x 2+2x -1=0，解得x =-1+2或x =-1-2(舍去)，即x =tanπ8=-1+2，由两角和的正切公式有tan θ+π8 =tan θ+x1-x ⋅tan θ=3+-1+2 1-3-1+2 =2+2 ×4+32 4-32 ×4+32=-7+52 ，所以tan θ+π8 -1tan θ+π8=-7+52 +17+52 =-7+52 +7-527+52 ×7-52=-7-52+52-7=-14.故选：B .10(2024·高三·江苏镇江·开学考试)已知过坐标原点O 且异于坐标轴的直线交椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于P ,M 两点，Q 为OP 中点，过Q 作x 轴垂线，垂足为B ，直线MB 交椭圆于另一点N ，直线PM ,PN的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=-12，则椭圆离心率为()A.12B.33C.32D.63【答案】D【解析】如图所示：设P m ,n ，则M -m ,-n ,Q m 2,n 2,B m2,0 ，而k MN ⋅k PN =y N +n x N +m ⋅y N -n x N -m =y 2N -n2x 2N-m 2=b 2a 2a 2-x 2N -b 2a2a 2-m 2 x 2N -m2=-b 2a2，又因为k PM ⋅k PN =-12，所以kPM k MN=n m n m2+m =32=a 22b 2，解得b 2a 2=13，所以椭圆离心率为e =c a=1-b 2a2=63.故选：D .11(2024·高三·江苏南京·开学考试)斜率为12的直线l 经过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1，与双曲线左，右两支分别交于A ，B 两点，以双曲线右焦点F 2为圆心的圆经过A ，B ，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D.153【答案】D【解析】取AB 的中点M ，连接MF 2，由题意可知：AF 2 =BF 2 ，则MF 2⊥AB ，设AF 1 =m >0，则AF 2 -AF 1 =2a ，即BF 2 =AF 2 =m +2a ，因为BF 1 -BF 2 =2a ，则BF 1 =BF 2 +2a =m +4a ，可得AM =12AB =2a ，MF 1 =AF 2 =m +2a ，又因为直线AB 的斜率为12，即tan ∠AF 1F 2=12，且∠AF 2F 1为锐角，则sin ∠AF 1F 2cos ∠AF 1F 2=12sin 2∠AF 1F 2+cos 2∠AF 1F 2=1 ，可得sin ∠AF 1F 2=55cos ∠AF 1F 2=255 或sin ∠AF 1F 2=-55cos ∠AF 1F 2=-255 (舍去)，则MF 2 =F 1F 2 sin ∠AF 1F 2=25c 5,MF 1 =F 1F 2 cos ∠AF 1F 2=45c5，且MF 2 2+AM 2=AF 2 2，即4a 2+25c 5 2=45c 5 2，整理得c 2=53a 2，所以双曲线的离心率e =c 2a2=153.故选：D .1.焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．12(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)双曲线C :x 29-y 216=1的右支上一点P 在第一象限，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若内切圆I 的半径为1，则△PF 1F 2的面积等于()A.24 B.12 C.323D.163【答案】C【解析】由双曲线C :x 29-y 216=1的a =3，b =4，c =5，设圆与三角形三边相切于点M ,N ,Q ,则PF 1 -PF 2 =PM +MF 1 -QF 2 -PQ =MF 1 -QF 2 =NF 1 -NF 2 =2a ，又NF 1 +NF 2 =2c ，所以NF 1 =a +c =8,NF 2 =c -a =2，因此IN ⊥x 轴，因此NF 1 =a +c =8,NF 2 =c -a =2,IN =1,I (3,1)，tan ∠IF 1N =IN NF 1 =18,tan ∠IF 2N =IN NF 2 =12,所以tan12∠F 2PF 1=tan π2-∠IF 1N -∠IF 2N =sin π2-∠IF 1N -∠IF 2N cos π2-∠IF 1N -∠IF 2N=1tan ∠IF 1N +∠IF 2N =1-12×1812+18=32=IM PM PM =23,∴PF 1 =23+8=263,因此PF 2 =PF 1 -2a =83,故三角形的面积为12PF 1 +PF 2 +F 1F 2 ×1=323．故选：C13(2024·高三·江苏无锡·开学考试)已知函数f x =x -1 ,x <22x -3 2-1,x ≥2，若方程f f x =12的实根个数为()A.4B.8C.10D.12【答案】C【解析】因为f x =x -1 ,x <22x -3 2-1,x ≥2，则f 12=12，f 32 =12，f 2 =1，f 4 =1，令2x -3 2-1=12x ≥2，解得x =3-32或x =3+32，又在同一平面直角坐标系中画出y =f x 与y =12的图象，由图象观察可知y =f x 与y =12有4个交点，不妨设为x 1,x 2,x 3,x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，则0<x 1=12<1<x 2=32<2<x 3<3<x 4<4，当f f x =12时，由f x =x 1，0<x 1=12<1，则存在4个不同实根，由f x =x 2，1<x 2=32<2，则存在2个不同实根，由f x =x 3，2<x 3<3，则存在2个不同实根，由f x =x 4，3<x 4<4，则存在2个不同实根，综上f f x =12的实根个数为10．故选：C14(2024·陕西咸阳·模拟预测)已知圆C 1:x -3 2+y 2=r 2(0<r <4)与圆C 2:x +3 2+y 2=4-r 2交点的轨迹为M ，过平面内的点P 作轨迹M 的两条互相垂直的切线，则点P 的轨迹方程为()A.x 2+y 2=5B.x 2+y 2=4C.x 2+y 2=3D.x 2+y 2=52【答案】A【解析】圆C 1:x -3 2+y 2=r 2(0<r <4)圆心C 13,0 ，圆C 2:x +3 2+y 2=4-r 2圆心C 2-3,0 ，设两圆交点为N x ,y ，则由题意知NC 1 =r ，NC 2 =4-r ，所以NC 1 +NC 2 =4，又由于C 1C 2 =23，所以由椭圆定义知，交点N 是以C 13,0 、C 2-3,0 为焦点的椭圆，且c =3，a =2，则b =a 2-c 2=1，所以轨迹M 的方程为x 24+y 2=1，设点P x 0,y 0 ，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为：y -y 0=k x -x 0 ，联立y -y 0=k x -x 0x 24+y 2=1，消y 得4k 2+1 x 2+8y 0-kx 0 kx +4y 0-kx 0 2-4=0，则Δ=64y 0-kx 0 2k 2-4×4k 2+1 4y 0-kx 0 2-4 =0，即4-x 20k 2+2x 0y 0k +1-y 20=0，由于k 1k 2=-1，则由根与系数关系知1-y 204-x 2=-1，即x 20+y 20=5．当切线斜率不存在或为0时，点P 的坐标为2,1 ，-2,1 ，-2,-1 ，2,-1 ，满足方程x 20+y 20=5，故所求轨迹方程为x 2+y 2=5．故选：A ．15(2024·高三·河北保定·开学考试)已知A 是左、右焦点分别为F 1,F 2的椭圆E :x 24+y 23=1上异于左、右顶点的一点，C 是线段AF 1的中点，O 是坐标原点，过F 2作AF 1的平行线交直线CO 于B 点，则四边形AF 1BF 2的面积的最大值为()A.2B.34 C.334D.332【答案】D【解析】如图，因为C 为线段AF 1的中点，O 为F 1F 2中点，所以OC 为△AF 1F 2中位线，OC ⎳AF 2,OC =12AF 2，又因为BF 2⎳AF 1，所以四边形ACBF 2为平行四边形，OC =OB ，由几何关系易得S △BF 2O =S △BF 1O =S △CF 1O =14S △AF 1F 2，设S △BF 2O =S ，则S △AF 1F 2=4S ,S AF 1BF 2=6S ,S AF 1BF 2=32S △AF 1F 2，又S △AF 1F 2=12F 2F 1 ⋅y A ，当且仅当y A =b =3时，S △AF 1F 2max =12×2×3=3，所以S AF 1BF 2=323.故选：D 16(2024·高三·山西晋城·开学考试)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的两个焦点，P 为椭圆上一点，则PF 1 2+PF 2 2+3PF 1 PF 2 的最大值为()A.20 B.16C.64D.24【答案】A【解析】由椭圆的定义可知PF 1 +PF 2 =4，∴PF 1 2+PF 2 2=16-2PF 1 PF 2 ，∴PF 1 2+PF 2 2+3PF 1 PF 2 =16-2PF 1 PF 2 +3PF 1 PF 2=16+PF 1 PF 2 ≤16+PF 1 +PF 2 22=20，当且仅当PF 1 =PF 2 =2时等号成立，故选：A .17(2024·高三·山西晋城·开学考试)已知tan αtan α+π4=-23，则sin 2α+π4=()A.210B.7210 C.±7210D.±210【答案】A 【解析】由于tan αtan α+π4=-23，tan α=-23tan α+π4 =-23⋅tan α+tan π41-tan αtan π4=-23tan α+11-tan α，解得tan α=-13或tan α=2，sin 2α+π4 =22sin2α+cos2α =222sin αcos α+2cos 2α-1 =2sin αcos α+cos 2αsin 2α+cos 2α-22=2tan α+1tan 2α+1-22，将tan α=-13代入可得：sin 2α+π4 =210.将tan α=2代入可得：sin 2α+π4 =210.故选：A .18(2024·高三·山西·阶段练习)在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，F 是CC 1上的动点，则三棱锥A -DEF 外接球半径的最小值为()A.3B.23C.13D.15【答案】C【解析】连接AE ，取AE 的中点G ，可知G 为△ADE 的外心，过G 作平面ABCD 的垂线，可知三棱锥A -DEF 外接球的球心O 在该垂线上，设GO =n ,CF =m ∈0,4 ，以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，则D 0,0,0 ,A 4,0,0 ,E 0,2,0 ,G 2,1,0 ,O 2,1,n ,F 0,4,m ，因为OD =OF ，即4+1+n 2=4+9+m -n 2，整理得n =m 2+4m ≥2m 2⋅4m =22，当且仅当m 2=4m，即m =22时，等号成立，所以三棱锥A -DEF 外接球半径的最小值为4+1+8=13.故选：C .19(2024·高三·山西·阶段练习)已知e 是自然对数的底数，a =π2ln π,b =e 2sin 1e ,c =2ln2，则()A.a >b >cB.c >a >bC.a >c >bD.b >c >a【答案】B【解析】构建f x =x ln x ,x >e ，则f x =ln x -1ln x2>0在e ,+∞ 内恒成立，可知f x 在e ,+∞ 内单调递增，因为a =π2ln π=πlnπ,c =2ln2=4ln4，可知f 4 >f π >f e =e ，即c >a >e ；构建g x =x -sin x ,x >0，则g x =1-cos x ≥0在0,+∞ 内恒成立，可知g x 在0,+∞ 内单调递增，则g x >g 0 =0，即x >sin x ,x >0，可得1e >sin 1e ，且e >0，则e >e 2⋅sin 1e ，即e >b ；综上所述：c >a >b .故选：B .20(2024·高三·重庆·阶段练习)将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且A 盒子中只放一个小球，则不同的放法数为()A.28B.24C.18D.12【答案】C【解析】第一种情况，将五个小球按1，1，3分为三组，则安排的方法有C 13C 12A 22=12种；第二种情况，将五个小球按1，2，2分为三组，则安排的方法有C 13C 12=6种.不同的放法数为18.故选：C .二、多选题21(2024·高三·广东·阶段练习)已知O 为坐标原点，点F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，点P 4,4 ，直线l ：x =my +1交抛物线C 于A ，B 两点(不与P 点重合)，则以下说法正确的是()A.FA ≥1B.存在实数m ，使得∠AOB <π2C.若AF =2BF ，则m =±24D.若直线PA 与PB 的倾斜角互补，则m =-2【答案】CD【解析】由题意可知，抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x =-1，直线x =my +1恒过F (1,0)，如下图所示：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，作AA 1垂直于准线x =-1，垂足为A 1，根据抛物线定义可知，FA =AA 1 =x 1+1，易知x 1≥0，所以FA =x 1+1≥1，但当FA =1时，此时A 与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此FA ≠1，所以FA >1，即A 错误；联立直线x =my +1和抛物线C :y 2=4x 方程得y 2-4my -4=0；所以y 1y 2=-4，x 1x 2=y 124⋅y 224=1，此时OA ∙OB =OA OB cos ∠AOB =x 1x 2+y 1y 2=-3<0，所以cos ∠AOB <0，即∠AOB >π2，所以不存在实数m ，使得∠AOB <π2，故B 错误；若AF =2FB ，由几何关系可得y 1=-2y 2，结合y 1y 2=-4，可得y 2=2或y 2=-2，即B 12,2 或B 12,-2 ，将B 点坐标代入直线方程可得m =±24，所以C 正确；若直线PA 与PB 的倾斜角互补，则k PA +k PB =0，即y 1-4x 1-4+y 2-4x 2-4=0，整理得2my 1y 2-(4m +3)(y 1+y 2)+24=0，代入y1y 2=-4，y 1+y 2=4m 解得m =-2或m =34，当m =34时，直线过点P 4,4 ，A 与P 点重合，不符合题意，所以m =-2；即D 正确.故选：CD 22(2024·广东·一模)将圆柱O 1O 2的下底面圆O 1置于球O 的一个水平截面内，恰好使得O 1与水平截面圆的圆心重合，圆柱O 1O 2的上底面圆O 2的圆周始终与球O 的内壁相接(球心O 在圆柱O 1O 2内部)．已知球O 的半径为3，OO 1=32．若R 为上底面圆O 2的圆周上任意一点，设RO 与圆柱O 1O 2的下底面所成的角为α，圆柱O 1O 2的体积为V ，则()A.α可以取到0,π2中的任意一个值 B.V =27π2cos 2α1+2sin α C.V 的值可以是任意小的正数 D.V max =81π4【答案】BD 【解析】过R 作圆柱O 1O 2的轴截面PQRS ，过O 作MN ⊥O 1O 2交圆柱轴截面的边于M ，N ，由RO 与圆柱的下底面所成的角为α，则OM =3cos α,MR =3sin α，所以V =π⋅OM 2⋅QR =π⋅(3cos α)2OO 1+3sin α =27π2cos 2α(1+2sin α)，即V =27π2cos 2α(1+2sin α)=27π21-sin 2α ⋅(1+2sin α)，故B 正确；当点P ，Q 均在球面上时，角α取得最小值，此时OO 1=OO 2=32，所以α=π6，所以a ∈π6,π2，故A 错误；令sin a =t ∈12,1 ，所以V =27π21-t 2 (1+2t )=27π2-2t 3-t 2+2t +1 ，所以V =27π2-6t 2-2t +2 ，另-6t 2-2t +2=0，解得两根t 1=-1-132,t 2=-1+132，所以V =27π2-6t 2- 2t +2)≤27π2×-6×12 2-2×12+2 =-27π4<0，所以V =27π2-2t 3-t 2+2t +1 在t ∈12,1 时单调递减，所以V max =27π2×-2⋅12 3-12 2+2×12 +1 =81π4，故D 正确，C 错误；故选：BD ．23(2024·高三·湖南·阶段练习)已知体积为2的四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，PA =3，则下列说法正确的是()A.若PA ⊥平面ABCD ，则∠BAD 为π6B.过点P 作PO ⊥平面ABCD ，若AO ⊥BD ，则BD ⊥PCC.PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6D.若点P 仅在平面ABCD 的一侧，且AB ⊥AD ，则P 点轨迹长度为33π【答案】BCD【解析】设P 到底面的距离为h ，V P -ABCD =13S ABCD ⋅h =13AB ⋅AD sin ∠BAD ⋅h =43h sin ∠BAD =2，则当PA ⊥平面ABCD 时，h =PA =3，则sin ∠BAD =12，即∠BAD 为π6或5π6，A 错误；如图1，若PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则PO ⊥BD ，又AO ⊥BD ，PO ∩AO =O ,PO ,AO ⊂平面PAO ，则BD ⊥平面PAO ，PA ⊂平面PAO ,故BD ⊥PA ，又BD ⊥AC ，PA ∩AC =A ,PA ,AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ,BD ⊥PC ，B 正确；设PA 与底面ABCD 所成角为θ，又V P -ABCD =13S ABCD h =13S ABCD PA sin θ=2，则sin θ=2S ABCD，因为S ABCD =4sin ∠BAD ≤4，则sin θ≥12，由于θ∈0,π2，所以θ∈π6,π2 则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6，C 正确；如图2，当AB ⊥AD ，根据V P -ABCD =13S ABCD h =2，得h =32，即P 点到底面ABCD 的距离为32，过A 点作底面ABCD 的垂线为l ，过点P 作PO ⊥l 交l 于点O ，则PO =AP 2-AO 2=32-32 2=332，点P 的轨迹是以O 为圆心，332为半径的圆，轨迹长度为33π，D 正确.故选：BCD24(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)已知函数f x =x +1 e x -x -1 ，则下列说法正确的有A.f x有唯一零点B.f x 无最大值【答案】BCD【解析】对于A ，依题意，f -1 =f 0 =0，即x =-1和x =0是函数f x =x +1 e x -x -1 的零点，A 错误；对于B ，当x >0时，令u x =e x -x -1，求导得u x =e x -1>0，函数u x 在0,+∞ 上递增，当x ≥2时，u x ≥e 2-3>1，而y =x +1在0,+∞ 上递增，值域为1,+∞ ，因此当x ≥2时，f x >x +1，则f x 无最大值，B 正确；对于C ，f x =x +2 e x -2x -2，令g x =x +2 e x -2x -2，求导得g x =x +3 e x -2，当x >0时，令h x =x +3 e x -2，则h x =x +4 e x >0，即g x =h x 在0,+∞ 上递增，g x >g 0 =1>0，则f x =g x 在0,+∞ 上递增，f x >f 0 =0，因此f x 在0,+∞ 上递增，即f x 在1,+∞ 上单调递增，C 正确；对于D ，当-1<x <0时，φx =e x -2x +2x +2，求导得φ x =e x -2(x +2)2，显然函数φ x 在-1,0 上递增，而φ -1 =1e -2<0,φ 0 =12>0，则存在x 0∈-1,0 ，使得φ x 0 =0，当x ∈x 0,0 时，φx >0，函数φx 在x 0,0 上单调递增，则φx <φ0 =0，即当x ∈x 0,0 时，e x <2x +2x +2，则f x =x +2 e x -2x -2<0，又f 0 =0，因此x =0为f x 的一个极小值点，D 正确.故选：BCD25(2024·高三·山东济南·期末)已知函数f x 的定义域为R ，且f x +y =f x +f y +1，f 1 =0，则()A.f 0 =-1B.f x 有最小值C.f 2024 =2023D.f x +1是奇函数【答案】ACD【解析】对于A 中，令x =y =0，可得f 0 =-1，所以A 正确；对于B 中，令x =x 1,y =x 2-x 1，且x 1<x 2，则f x 1+x 2-x 1 =f x 1 +f x 2-x 1 +1，可得f x 2 -f x 1 =f x 2-x 1 +1，若x >0时，f x >-1时，f x 2 -f x 1 >0，此时函数f x 为单调递增函数；若x >0时，f x <-1时，f x 2 -f x 1 <0，此时函数f x 为单调递减函数，所以函数f x 不一定有最小值，所以B 错误；对于C 中，令y =1，可得f x +1 =f x +f 1 +1=f x +1，即f x +1 -f x =1，所以f 2 -f 1 =1，f 3 -f 2 =1，⋯，f 2024 -f 2023 =1，各式相加得f 2024 -f 1 =2023，所以f 2024 =f 1 +2023=2023，所以C 正确；对于D 中，令y =-x ，可得f 0 =f x +f -x +1，可得f x +1+f -x +1=0，即f -x +1=-f x +1 ，所以函数f x +1是奇函数，所以D 正确；故选：ACD .26(2024·高三·山东德州·期末)双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F ,F 分别为双曲线C :x 2-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为4【答案】ABD【解析】对于A ，由双曲线定义得AF 1 -AF 2 =2a =23，且F 1-2,0 ，则AF 2 +AB =AF 1 +AB -23≥BF 1 -23=4--22+1-23=37-23，所以AF 2 +AB 的最小值为37-2 3.故A 正确；对于B ，设直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，k ≠±33，联立方程组y -y 0=k x -x 0 x 2-3y 2=3，消去y 整理得，1-3k 2 x 2+6k 2x 0-6ky 0 x -3k 2x 20+6kx 0y 0-3y 20-3=0，∴Δ=0，化简整理得9y 20k 2-6x 0y 0k +x 20=0，解得k =x 03y 0，可得直线MN 的方程为y -y 0=x03y 0x -x 0 ，即x 0x -3y 0y =3，故B 正确；对于C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，又O 是F 1F 2中点，所以OH =12F 2E =12AE -AF 2 =12AF 1 -AF 2 =a =3，故C 错误；对于D ，由直线MN 的方程为x 0x -3y 0y =3，令x =0，得y =-1y 0，则N 0,-1y 0，S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2=12×F 1F 2 ×y 0 +1y 0≥12×4×2y 0 ⋅1y 0=4，当且仅当y 0 =1y 0，即y 0=±1时等号成立，所以四边形AF 1NF 2面积的最小值为4，故D 项正确.故选：ABD .27(2024·高三·浙江杭州·专题练习)数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立【答案】BC【解析】由题意可知a n +1-6=1a n -6 3，∴a 2-6=14a 1-6 3,a 3-6=14a 2-6 3=1414a 1-6 3 3=14×143×a 1-6 32，归纳猜想：a n -6=141+3+32+⋯+3n -2a 1-6 3n -1=141-3n -11-3a 1-6 3n -1=223n -1a 1-6 3n -1，A ：当a 1=3时，a n -6=-2×32 3n -1，则a n 为递减数列，无边界，故A 错误；B ：当a 1=5时，a n -6=-2×123n -1，则a n 为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≤6，使a n <M 恒成立，故B 正确；C ：当a 1=7时，a n -6=2×123n -1，则a n 为递减数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≥6，使a n >M 恒成立，故C 正确；D ：当a 1=9时，a n -6=2×323n -1，则a n 为递增数列，无边界，故D 错误；故选：BC .28(2024·高三·吉林·阶段练习)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵ABC -A 1B 1C 1中，P 是BB 1的中点，AA 1=AC =BC =2，若平面α过点P ，且与AC 1平行，则()A.异面直线AC 1与CP 所成角的余弦值为1010B.三棱锥C 1-ACP 的体积是该“堑堵”体积的13C.当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于332D.当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于22【答案】ABC【解析】对于A ，由题可知AC ,CB ,CC 1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则A 2,0,0 ,C10,0,2 ,C 0,0,0 ,P 0,2,1 ，所以AC 1 =-2,0,2 ,CP=0,2,1 ，所以cos AC 1 ,CP =AC 1 ⋅CPAC 1 ⋅CP=28⋅5=1010，所以异面直线AC 1与CP 所成角的余弦值为1010，故A 正确；对于B ，V C 1-ACP =V P -C 1CA =13S △C 1CA ×2=43，V ABC -A 1B 1C 1=12×2×2×2=4，所以B 正确；对于C ，如图，E ，F ，G 分别为AA 1,A 1C 1,C 1B 1的中点，则EF ⎳AC 1，FG ⎳A 1B 1,FG =12A 1B 1，A 1B 1⎳PE ,A 1B 1=PE ，EF =FG =GP =2，PE =22，所以FG ⎳PE ,FG =12PE ，P ,E ,F ,G 共面，又EF ⎳AC 1，AC 1⊄平面PEFG ，EF ⊂平面PEFG ，所以AC 1⎳平面PEFG ，则四边形PEFG 为平面α截棱柱的截面图形，所以四边形PEFG 是等腰梯形，且高为62，当E 不是AA 1中点时，PE 不平行平面A 1B 1C 1，则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，S PEFG =12×2+22 ×62=332，所以C 正确；对于D ，如图，Q ,R ,S 分别为AB ,AC ,CC 1的中点，则RS ⎳AC 1，QR ⎳BC ,QR =12BC ，BC ⎳PS ,BC =PS ，QR =1,RS =2,PS =2，所以QR ⎳PS ,QR =12PS ，同理可得四边形PQRS 为平面α截棱柱的截面图形，由题可知CB ⊥AC ,CB ⊥CC 1,AC ∩CC 1=C ,AC ⊂平面ACC 1A 1，CC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，所以PS ⊥平面ACC 1A 1，又RS ⊂平面ACC 1A 1，所以PS ⊥RS ，故四边形PQRS 是直角梯形，当S 不是CC 1中点时，PS 不平行平面ABC ，则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为S =12×1+2 ×2=322，故D 错误.故选：ABC.29(2024·高三·湖南株洲·期末)已知点A(-2,0),B(2,0),N(0,-2)动点M满足直线AM和BM的斜率之积为-12，记点M的轨迹为曲线C，过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G，则()A.曲线C的方程为：x24+y22=1 B.△PQG为直角三角形C.△PAN面积最大值为2D.△PQG面积最大值为169【答案】BD【解析】对A：设M(x,y)，则yx+2⋅yx-2=-12，化简得：x24+y22=1(x≠±2)，故A错误；对B：设P x0,y0，G x1,y1，Q-x0,-y0,E x0,0，则k PQ=y0x0=k>0，k QE=y02x0=k2，k QGk GP=y1+y0x1+x0⋅y1-y0 x1-x0=y21-y20x21-x20，∵x214+y212=1，x204+y202=1，∴k QG k GP=2-x212-2-x202x21-x20=-12=k2k GP，则k GP=-1k，则k GP⋅k PQ=-1,∠QPG=90°，故B正确；对C：与直线AN平行且与曲线C相切且切点在第一象限的切线方程为y=-22x+m m>0，联立y=-22x+mx24+y22=1得x2-2mx+m2-2=0，由Δ=2m2-4m2-2=0得m=2，∴切线为y=-22x+2，两平行直线的距离为d=22+422+22=(2+2)63，此时△PAN面积最大，最大值为12×6×(2+2)63=2+2，故C错误；对D：设直线PQ得方程为y=kx(k>0)，y=kxx 2+2y2=4，解得x0=22k2+1y0=2k2k2+1 ，则直线PG：y=-1kx-x0+y0=-1kx+k2+1kx0，联立直线PG与曲线C的方程可得2+k2x2-4x0k2+1x+2x20k2+12-4=0，则x0+x G=4x0k2+1k2+2，S△PQG=12y0 x0+x G=8k2+1kk2+22k2+1=8k+1kk+2k2k+1k=8k+1k2k+1k2+1，令t=k+1k≥2，则SΔPQG=8t2t2+1=82t+22t，∵y=2t+22t在2t∈2,+∞，即t∈22,+∞上单调递增，故y=2t+22t≥4+24=92，即SΔPQG=82t+22t≤169，当且仅当k=1时等号成立，故D正确，故选：BD30(2024·高三·江苏镇江·开学考试)正方体A1B1C1D1-ABCD的8个顶点中的4个不共面顶点可以确A.V 中元素的个数为58B.V 中每个四面体的体积值构成集合S ，则S 中的元素个数为2C.V 中每个四面体的外接球构成集合O ，则O 中只有1个元素D.V 中不存在四个表面都是直角三角形的四面体【答案】ABC【解析】正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 的8个顶点中任取4个，共有C 48=70种情况，其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，不构成四面体，所以V 中元素的个数为58，A 选项正确；四面体的体积有以下两种情况：第一种情况如下图所示，四面体的四点在相对面且异面的对角线上，如四面体D 1-B 1AC ，若正方体棱长为a ，则四面体体积为a 3-4×13×12a ⋅a ⋅a =13a 3，第二种情况如下图所示，四面体的四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，如四面体B 1-ABC ，若正方体棱长为a ，则四面体体积为13×12a ⋅a ⋅a =16a 3，所以V 中每个四面体的体积值构成集合S ，则S 中的元素个数为2，B 选项正确；每个四面体的外接球都是原正方体的外接球，O 中只有1个元素，C 选项正确；如下图，四面体B 1-ABD 的每个面都是直角三角形，D 选项错误.故选：ABC31(2024·高三·江苏镇江·开学考试)已知函数f x =sin x +cos2x ，则下列说法正确的是()A.2π是f x 的一个周期B.f x 的最小值是-2C.存在唯一实数a ∈0,2 ，使得f x +a 是偶函数D.f x 在0,π 上有3个极大值点【答案】ACD【解析】对于A ，f x +2π =sin x +2π +cos2x +2π =sin x +cos2x =f x ，所以2π是f x 的一个周期；对于B ，f x =sin x +cos2x ≥sin x ≥-1>-2，故B 错误；对于C ，若f a +x =f a -x ，则f a +π2 =f a -π2，即cos a +cos2a =-cos a +cos2a ，所以cos a =0，又a ∈0,2 ，所以a =π2，经检验符合题意，故C 正确；对于D ，设p x =sin x +cos2x ,q x =sin x -cos2x ，则p x =cos x -2sin2x ,q x =cos x +2sin2x ，令m x =p x ,n x =q x ，则m x =-sin x -4cos2x 在0,π4 ,3π4,π 上的函数值小于0，n x =-sin x +4cos2x 在π4,3π4上的函数值小于0，故所有上面的极值点都是极大值点，同时，p 0 =1>0>22-2=p π4 ,q π4 =2+22>0>-22-2=q 3π4，p 3π4 =-22+2>0>-1=p π ，所以f x 在0,π4 ,π4,3π4 ,3π4,π 上各有一个极大值点，从而有三个极大值点，故D 正确.故选：ACD .32(2024·高三·江苏南京·开学考试)如图，该几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90°得到的，已知点G 是圆弧CE的中点，点H 是圆弧DF上的动点(含端点)，则下列结论正确的是()A.不存在点H ，使得CH ⊥平面BDGB.存在点H ，使得平面AHE ⎳平面BDGC.存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角的余弦值为73D.不存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13【答案】BCD【解析】由题意，可将几何体补全为一个正方体ADMF -BCNE ，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为2，则A (0,0,0),B 0,0,2 ,C 2,0,2 ,D 2,0,0 ，G 2,2,2 ,E 0,2,2 ,F 0,2,0 ，设H 2cos α,2sin α,0 0≤α≤π2.对于A 选项，假设存在点H ，使得CH ⊥平面BDG ，因为CH =2cos α-2,2sin α,-2 ，DB =-2,0,2 ，BG =2,2,0 ，则CH ⋅DB=4-4cos α-4=0CH ⋅BG =22cos α-1 +22sin α=0，可得sin α=1cos α=0 ，因为0≤α≤π2，则α=π2，即当点H 与点F 重合时，CH ⊥平面BDG ，故A 选项错误；对于B 选项，由A 选项可知，平面BDG 的一个法向量为FC=2,-2,2 ，假设存在点H ，使得平面AHE ⎳平面BDG ，则FC ⊥AH ,FC ⊥AE ，AH =2cos α,2sin α,0 ，AE =0,2,2 ，则FC ⋅AH=4cos α-4sin α=0FC ⋅AE =-4+4=0 ，可得tan α=1，又因为0≤α≤π2，解得α=π4，即当点H 为DF 的中点时，平面AHE ⎳平面BDG ，故B 选项正确；对于C 选项，若存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 所成角的余弦值为73，则直线EH 与平面BDG 所成角的正弦值为1-73 2=23，EH=2cos α,2sin α-2,-2 ，所以cos EH ,FC =EH ⋅FCEH ⋅FC =4cos α-4sin α 23×4cos 2α+4sin α-1 2+4=cos α-sin α 33-2sin α=23，整理可得3sin2α-4sin α+3=0，因为函数f α =3sin2α-4sin α+3在α∈0,π2时的图象是连续的，且f 0 =3>0，f π2 =-4+3=-1<0，所以存在α0∈0,π2，使得f α =0，所以，存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 所成角的余弦值为73，C 选项正确；对于D 选项，设平面CEH 的法向量为n=x ,y ,z ，CE =-2,2,0 ,CH =2cos α-2,2sin α,-2 ，则n ⋅CE=-2x +2y =0n ⋅CH=2x cos α-1 +2y sin α-2z =0，取x =1，则y =1,z =sin α+cos α-1，可得n =1,1,sin α+cos α-1 ，假设存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13，则cos n ,FC =n ⋅FCn ⋅FC=2sin α+cos α-1 2+(sin α+cos α-1)2×23=13，可得sin α+cos α-1 2=1，即sin α+cos α-1=±1可得sin α+cos α=0或sin α+cos α=2，因为α∈0,π2 ，则π4≤α+π4≤3π4则22≤sin α+π4 ≤1，所以sin α+cos α=2sin α+π4 ∈1,2 ，故当α∈0,π2时，方程sin α+cos α=0和sin α+cos α=2均无解，综上所述，不存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13，故D 选项正确.故选：BCD33(2024·高三·江苏无锡·开学考试)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BC 上的动点，F 为棱B 1B 的中点，则下列选项正确的是()A.直线A 1D 1与直线EF 相交B.当E 为棱BC 上的中点时，则点E 在平面AD 1F 的射影是点FC.不存在点E ，使得直线AD 1与直线EF 所成角为30°D.三棱锥E -ADF 的体积为定值【答案】CD【解析】A ：由题意知，A 1D 1⎳B 1C 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1CB ，A 1D 1⊄平面B 1C 1CB 所以A 1D 1⎳平面B 1C 1CB ，又EF ⊂平面B 1C 1CB ，所以A 1D 1与EF 不相交，故A 错误；B ：连接AD 1、D 1F 、AF 、AE 、CB 1，如图，当点E 为BC 的中点时，EF ⎳CB 1，又AD 1⊥CB 1，所以EF ⊥AD 1，若点E 在平面AD 1F 的射影为F ，则EF ⊥平面AD 1F ，垂足为F ，所以EF ⊥AF ，设正方体的棱长为2，则AE =AF =5，EF =2，在△AEF 中，AF 2+EF 2≠AE 2，所以∠AFE ≠90°，即EF ⊥AF 不成立，故B 错误；C ：建立如图空间直角坐标系D -xyz ，连接BC 1，则AD 1⎳BC 1，所以异面直线EF 与AD 1所成角为直线EF 与BC 1所成角，设正方体的棱长为2，若存在点E (a ,2,0)(0≤a ≤2)使得EF 与BC1所成角为30°，则B (2,2,0)，F (2,2,1)，C所以EF ⋅BC 1 =2a -2，又EF ⋅BC 1 =EF BC 1 cos30°，得2a -2 =22×(2-a )2+1×32，解得a =4±3，不符合题意，故不存在点E 使得EF 与AD 1所成角为30°，故C 正确；D ：如图，由等体积法可知V E -ADF =V F -ADE ，又V F -ADE =13S △ADE ⋅BF =13×12×AD ×AB ×BF ，AD 、AB 、BF 为定值，所以V F -ADE 为定值，所以三棱锥E -ADF 的体积为定值，故D 正确.故选：CD .34(2024·全国·一模)设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则( )．A.f (a )=12B.f (x )=12成立C.f (x +y )=2f (x )f (y )D.满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .35(2024·高三·河北保定·开学考试)如图，在三棱锥P -ABC 中，∠ACD =60°,2AC =BC =PB =PC ，平面PBC ⊥平面ABC ,D 是BC 的中点，PD =43，则()A.三棱锥P -ABC 的体积为3233B.PA 与底面ABC 所成的角为π4C.PA =8D.三棱锥P -ACD 的外接球的表面积为208π3【答案】CD【解析】因为BC =PB =PC ，则三角形△PBC 为等边三角形，又D 是BC 的中点，PD =43，所以BC =PB =PC =8，所以AC =4，。