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第六章时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。
滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为故感应电流为一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。
设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为故介质棒内的极化强度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。
设、、，求回路中的感应电动势。
解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
故回路中的感应电动势为式中故则有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。
讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为而环形线圈的电感为L，故电压方程为当U=U0时，电流i也为直流，。
故此时导线内的切向电场为当U=U（t）时，，故即求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。
设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即故电容器两极板间的位移电流密度为则式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为可见由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程和由得据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式由于，可取，则得即得泊松方程试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。
解（1）在直角坐标中（2）在圆柱坐标中（3）在球坐标系中已知在空气中，求和。
选择题_05图示单元十七 电磁场理论 1一 选择题01. 在感应电场中电磁感应定律可写成kL d E dL dtψ⋅=-⎰ ，式中k E 为感应电场的电场强度。
此式表明: 【 】(A) 闭合曲线L 上，k E处处相等； (B) 感应电场是保守力场；(C) 感应电场的电力线不是闭合曲线；(D) 在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念02. 下列各种场中不是涡旋场为: 【 】(A) 静电场； (B) 稳恒磁场； (C) 感应电场； (D) 位移电流激发的磁场。
03. 下列各种场中的保守力场为: 【 】(A) 静电场； (B) 稳恒磁场； (C) 涡旋电场； (D) 变化磁场。
04. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确。
【 】(A) 位移电流是由变化电场产生的； (B) 位移电流是由线性变化磁场产生的； (C) 位移电流的热效应服从焦耳一楞次定律； (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理。
05. 在圆柱形空间内有一磁感强度为B的均匀磁场，如图所示。
B的大小以速率/dB dt 变化．在磁场中有,A B 两点，其间可放直导线AB 和弯曲的导线AB ，则 【 】(A) 电动势只在直线型AB 导线中产生；(B) 电动势只在弧线型AB 导线中产生； (C) 电动势在直线型AB 和弧线型AB 中都产生，且两者大小相等； (D) 直线型AB 导线中的电动势小于弧线型AB 导线中的电动势。
06. 下列哪种情况的位移电流为零？ 【 】(A) 电场不随时间而变化； (B) 电场随时间而变化； (C) 交流电路； (D) 在接通直流电路的瞬时。
二 填空题07. 反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为:填空题_09图示1) SD dS q ⋅=∑⎰ ； 2)m L dE dl dtΦ⋅=-⎰ ； 3) 0SB dS ⋅=⎰ ； 4) D L d H dl I dtΦ⋅=∑+⎰ 。
试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的。
1.16(P32)：已知)2()()(222xyz czx z z e by xy e axz x e E z y x -+-++++=，试确定常数a 、b 、c使E为无源场。
（知识点：无散场定义（散度为0的矢量场为无散场）；散度计算：zE y E x E E zy x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ 。
关键点：无源场就是无散场，这里的源指通量源。
相关拓展：无散场又称无源场，无旋场又称保守场，无旋无散场又称调和场。
）解：zxyz czx z z y by xy x axz x z E y E x E E z y x ∂-+-∂+∂+∂+∂+∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)2()()(222 cxz b az x xyxc z b xy az x +-+++=-+-++++=21222122若E 为无源场，即E无无散场：0=⋅∇E有2,1,201,02,02-=-==⇒=+=-=+c b a b a c因此在2,1,2-=-==c b a 时E为无源场。
)1()2()2(++-++=b z a x c1.18(P32)：（1）求矢量32222224z y x e y x e x e A zy x ++=的散度；（2）求A ⋅∇对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对立方体表面的积分，验证散度定理。
（知识点：散度计算zE y E x E E zy x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ ；散度定理：V E S E SVd d ⎰⎰⋅∇=⋅;体积分和面积分。
注意：“A对立方体表面的积分”只能积分求得，不能用散度定理来求。
因为题目的要求是要验证散度定理。
）解：（1）矢量A的散度：z A y A x A A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ zz y x y y x x x ∂∂+∂∂+∂∂=32222224 22227222z y x y x x ++=（2）A⋅∇对中心在原点的一个单位立方体的积分(3) A对立方体表面的积分241d d d )7222(d )7222(d 21212121212122222222=++=++=⋅∇⎰⎰⎰⎰⎰---zy x z y x y x x V z y x y x x V A VV241d d 21d d 21d d 21d d 21d d )2124d d )2124d d d d d d d 212121212212121212212121212221212121222121212132221212121322=--+--+--=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------------z y z y z x x z x x y x y x y x y x SA S A S A S A S A S A S A S S S S S S S）（）（）（）（（（后前右左下上即有V A S A SVd d ⎰⎰⋅∇=⋅，得证散度定理。
电磁场与电磁波第二版课后练习题含答案一、选择题1. 一物体悬挂静止于匀强磁场所在平面内的位置,则这个磁场方向?A. 垂直于所在平面B. 并行于所在平面C. 倾斜于所在平面D. 无法确定答案：B2. 在运动着的带电粒子所在区域内,由于其存在着磁场,因此在该粒子所处位置引入一个另外的磁场,引入后,运动着的电荷将会加速么?A. 会加速B. 不会加速C. 无法确定答案：B3. 一台电视有线播出系统, 将信号源之中所传输的压缩图像和声音还原出来,要利用的是下列过程中哪一个?A. 光速传输B. 超声波传输C. 磁场作用D. 空气振动答案：C4. 一根充足长的长直电导体内有恒定电流I通过，则令曼培尔定律最适宜描述下列哪一项观察?A. 两个直平面电流之间的相互作用B. 当一个直平面电流遇到一个平行于它的磁场时, 会发生什么C. 当两个平行电流直线之间的相互作用D. 当电磁波穿过磁场时会发生什么答案：C5. 电磁波的一个特点是什么?A. 电磁波是一种无质量的相互作用的粒子B. 电磁波的速度跟频率成反比C. 不同波长的电磁波拥有的能量不同D. 电磁波不会穿透物质答案：C二、填空题1. 一个悬挂静止的电子放在一个以5000 G磁场中,它会受到的磁力是____________N. 假设电子的电荷是 -1.6×10^-19 C.答案：-8.0×10^-142. 在一个无磁场的区域内,放置一个全等的圆形和正方形输电线, 则这两个输电线产生的射界是_____________.答案：相同的3. 一个点电荷1.0×10^-6 C均匀带电一个闪电球,当位于该点电荷5.0 cm处时, 该牛顿计的弦向上斜,该牛顿计的尺度读数是4.0N. 该电荷所处场强的大小约为_____________弧度.答案：1.1×10^4三、简答题1. 解释什么是麦克斯韦方程式?麦克斯韦方程式是一组描述经典电磁场的4个偏微分方程式，包括关于电场的高斯定律、关于磁场的高斯定律、安培环路定理和法拉第电磁感应定律。
电磁场理论课后习题1答案电磁场理论是物理学中的重要课程，它研究了电磁场的产生、传播和相互作用。
在学习这门课程时，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将针对电磁场理论课后习题1给出详细的解答。
习题1：一个带电粒子在电磁场中运动，受到的洛伦兹力为F=q(E+v×B)，其中q是粒子的电荷量，E是电场强度，v是粒子的速度，B是磁感应强度。
请证明：洛伦兹力对粒子所做的功率为P=qv·E。
解答：根据洛伦兹力的表达式F=q(E+v×B)，我们可以将其展开为F=qE+qv×B。
其中第一项qE表示粒子在电场中受到的电力，第二项qv×B表示粒子在磁场中受到的磁力。
根据功率的定义，功率P等于力F对时间t的导数，即P=dW/dt，其中W表示对物体所做的功。
所以我们需要计算洛伦兹力对粒子所做的功。
根据力的功的定义，功W等于力F对位移的积分，即W=∫F·ds。
在这里，位移ds是粒子在运动过程中的微小位移。
将洛伦兹力F=qE+qv×B代入功的计算式中，得到W=∫(qE+qv×B)·ds。
由于电场强度E和磁感应强度B是空间中的矢量场，所以我们可以将其展开为E=E_xi+E_yj+E_zk和B=B_xi+B_yj+B_zk的形式。
对于微小位移ds，我们可以将其表示为ds=dx·i+dy·j+dz·k。
将上述表达式代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q(v_xi+v_yj+v_zk)×(B_xi+B_yj+B_zk))·(dx·i+dy·j+dz·k)。
根据矢量积的性质，可以得到v×B=(v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k。
将其代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q((v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k))·(dx·i+dy·j+dz·k)。
第9章 电稳感应和电磁场 习题及答案1. 通过某回路的磁场与线圈平面垂直指向纸面内，磁通量按以下关系变化：23(65)10t t Wb -Φ=++⨯。
求2t s =时，回路中感应电动势的大小和方向。
解：310)62(-⨯+-=Φ-=t dtd ε当s t 2=时，V 01.0-=ε由楞次定律知，感应电动势方向为逆时针方向2. 长度为l 的金属杆ab 以速率υ在导电轨道abcd 上平行移动。
已知导轨处于均匀磁场B中，B 的方向与回路的法线成60°角，如图所示，B 的大小为B =kt (k 为正常数)。
设0=t 时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向。
解：任意时刻通过通过回路面积的磁通量为202160cos t kl t Bl S d B m υυ==⋅=Φ导线回路中感应电动势为 t kl tmυε-=Φ-=d d 方向沿abcda 方向。
3. 如图所示，一边长为a ，总电阻为R 的正方形导体框固定于一空间非均匀磁场中，磁场方向垂直于纸面向外，其大小沿x 方向变化，且)1(x k B +=，0>k 。
求： （1）穿过正方形线框的磁通量；（2）当k 随时间t 按t k t k 0)(=(0k 为正值常量)变化时，线框中感生电流的大小和方向。
解：（1）通过正方形线框的磁通量为⎰⎰=⋅=Φa S Badx S d B 0 ⎰+=a dx x ak 0)1()211(2a k a +=（2）当t k k 0=时，通过正方形线框的磁通量为)211(02a t k a +=Φ 正方形线框中感应电动势的大小为dt d Φ=ε)211(02a k a += 正方形线框线框中电流大小为)211(02a R k a R I +==ε，方向：顺时针方向4.如图所示，一矩形线圈与载有电流t I I ωcos 0=长直导线共面。
设线圈的长为b ，宽为a ；0=t 时，线圈的AD 边与长直导线重合；线圈以匀速度υ垂直离开导线。
电磁场理论习题集信息科学技术学院第1章1-1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。
1-2 试证明：任意矢量E 在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即∇ ⋅ (∇ ⨯ E ) = 01-3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程t∂∂-=∇⋅ρJ1-4 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 ε1和 ε2，分界面两侧电场强度矢量E 与单位法向矢量n 21之间的夹角分别是 θ1和 θ2。
假设两种媒质分界面上的电荷面密度 ρS = 0，试证明：2121tan tan εεθθ=上式称为电场E 的折射定律。
1-5 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为 μ1和 μ2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量J S = 0，把图中的电场强度矢量E 换成磁感应强度矢量B 。
试证明：2121tan tan μμθθ=上式称为磁场B 的折射定律。
若 μ1为铁磁媒质，μ2为非铁磁媒质，即 μ1>>μ2 ，当 θ1 ≠ 90︒ 时，试问 θ2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。
1-6 已知电场强度矢量的表达式为E = i sin(ω t - β z )＋j 2cos(ω t - β z )通过微分形式的法拉第电磁感应定律t∂∂-=⨯∇BE ，求磁感应强度矢量B (不必写出与时间t 无关的积分常数)。
1-7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R ，间距为d 。
其间填充介质的介电常数 ε 。
如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I (t ) = I 0sin(ωt )。
忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D 。
1-8 在空气中，交变电场E = j A sin(ω t - β z )。
试求：电位移矢量D ，磁感应强度矢量B 和磁场强度矢量H 。
1-9 设真空中的磁感应强度为)106sin(10)(83kz t e t B y -⨯=-π试求空间位移电流密度的瞬时值。
电磁场与电磁波课后习题及答案三章习题解答三章习题解答3.1 真空中半径为a 的⼀个球⾯，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球⾚道平⾯上电通密度的通量Φ(如题3.1图所⽰)。
解由点电荷q 和q -共同产⽣的电通密度为33[]4q R R π+-+-=-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球⾚道平⾯上电通密度的通量d d zz SSS Φ====??D S D e22322232()[]2d 4()()aq a ar r r a r a ππ--=++? 22121)0.293()aqaq q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使⽤的是半径为a r 的球体原⼦模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电⼦云，在球⼼有⼀正电荷Ze （Z 是原⼦序数，e 是质⼦电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π??=-D e ，试证明之。
解位于球⼼的正电荷Ze 球体内产⽣的电通量密度为 124rZer π=D e 原⼦内电⼦云的电荷体密度为 333434a a Ze Zer r ρππ=-=- 电⼦云在原⼦内产⽣的电通量密度则为 32234344r ra r Ze rr r ρπππ==-D e e题3.1 图题3. 3图()a故原⼦内总的电通量密度为 122314ra Ze r r r π??=+=-D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱⾯间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱⾯半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所⽰。
求空间各部分的电场。
解由于两圆柱⾯间的电荷不是轴对称分布，不能直接⽤⾼斯定律求解。
但可把半径为a 的⼩圆柱⾯内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，⽽在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所⽰。
习题课1 场论&静电场1、真空中静电场的高斯定理的一种证明方法定理内容：在真空电场中，穿出任意闭合面E 的通量恒等于闭合面内电荷的代数和除以真空的介电常数0ε，即d sq ε⋅=⎰E S 证明：设电场E 由点电荷q 产生，即 204πRqεR =E e ，则E 的闭合面通量 20d d 4πR s s qεR⋅=⋅⎰⎰e E S S又d cos d R θ⋅=e s s ，则上式被积函数为:22d cos d R SR Rθ⋅=e S 以q 所在的r '点为圆心，R 为半径作一球面S '，S S '=d d cos θ是d S 在球面S '上的投影，如图所示。
S 'd 对点电荷q 所在的r '点形成一个空间锥，称这个空间锥为立体角，用Ωd 表示。
从图中可以看出，d S 和S 'd 对r '点所张的立体角是相等的。
整个球面对r '点所张的立体角为4π，而Ωd 与整个球面的立体角之比应等于面元S 'd 与整个球面面积之比，即2π4d 4d ΩR S '=π因此立体角:222d d cos d d RR S R S R Se ⋅=='=Ωθ上式为空间任意面元矢量对空间任一点所张的立体角Ωd 。
将它代入积分式得⎰⎰Ω=⋅ss εqd π4d 0S E 分析任意形状的闭合面S 对r '点所张的立体角：En er '① 当r '点位于S 内时，曲面S 与球面S '对r '点所张的立体角相等，为4π。
② 当r '点在闭合面外。
S 的一部分1S 对r '点所张的立体角为正，而另一部分2S 对r '点所张的立体角为负，两部分的立体角等值异号互相抵消，于是曲面S 对r '点所张的立体角为零。
由此可以更清楚的认识到：真空中电场强度E 的闭合面通量只与闭面内的电荷和0有关，而与闭面外的电荷无关。
结论可以推广到体电荷、面电荷、线电荷以及点电荷系产生的电场。
证毕。
2、证明狄拉克函数的一个重要等式()214,,r r'R r r'r r'r r'R πδ∇=--=-=-- 证明：先证积分形式20,14,r r'r r'r r'vdV π≠⎧∇=⎨-=-⎩⎰当r r'≠时233110R R R R R R ⎛⎫∇=∇⋅∇=∇⋅-=-∇⋅= ⎪⎝⎭当 r r'=，2331114s r r'r r'r r'r r'R ss R r r'vv sss sdV dV d d d d π∇=∇⋅∇=∇⋅----⋅=-⋅=-=-Ω-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰与狄拉克函数的积分形式比较即可得证。
3、证明电位函数是泊松方程的解推导静电场的泊松方程并证明1()d ()4πr r r -r V V ερϕ'''='⎰是其解。
解：（1）对于各向同性线性介质区域，将ϕ=-∇E 和ε=D E 代入ρ∇⋅=D 中，可得()εϕρ∇⋅-∇=2εϕεϕρ∇⋅∇+∇=-再考虑均匀介质条件，ε为常数，有Sr '2ρϕε∇=-（2）证明1()d ()4πr r r -r V V ερϕ'''='⎰是其解。
()()()2221()d ()1d 4π4π()()4πd d 4π()r r r -r r -r r r r -r r -r r V V V V V V εεV V εεερρϕρρδδρ''''⎛⎫''''∇=∇=∇ ⎪ ⎪''⎝⎭''''''=-=-=-⎰⎰⎰⎰4、几个矢量计算（1）设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点r ’到场点r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。
证明：（a ）R R R R =∇'-=∇，（b ） 311R R R R -=∇'-=∇，（c ）03=⨯∇RR ，（d ）033=⋅∇'-=⋅∇R R R R )0(≠R （最后一式在0=R 点不成立）。
证：（a ）z y x e z Re y R e x R R ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇RR e R z z e R y y e R x x z y x=--+-=+ˆ)'(ˆ)'(ˆ)'( z y x ez Re y R e x R R ˆ'ˆ'ˆ''∂∂+∂∂+∂∂=∇RRe R z z e R y y e R x x z y x-=----+--=+ˆ)'(ˆ)'(ˆ)'( 所以 R RR R =-∇=∇'（b ）据公式u dudfu f ∇=∇)(3211R R R R R -=∇-=∇ 32'11'RRR R R=∇-=∇所以 31'1R RR R-=-∇=∇（c ）013=∇⨯-∇=⨯∇R RR （梯度的旋度等于零）（d ）33311R R R R R R ∇⋅+⋅∇=⋅∇R RR R ∇-⋅+=431)3(303353=-⋅+=R R R R )0(≠R 同理3331''1'R R R R R R ∇⋅+⋅∇=⋅∇R RR R '1)3(343∇-⋅+-=033353=⋅-∇=⋅+-=RRR R R R)0(≠R（2）221ln ln r r r r r ∇=∇⋅∇=∇⋅∇=∇⋅r22232221232311r r r r r r r r =-=⋅∇-+=⋅∇+⋅∇=r r r （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-⋅∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇∇43222222211r r r r r r r r 444544411342r r 2r 3422r r r r r rr r -⎡⎤⎡⎤=-∇⋅+∇⋅=-+∇⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦5、证明恒等式()0u ∇⨯∇=和0A ∇⋅∇⨯=在普遍意义下成立。
证：（1）()s l scu d u d ∇⨯∇⋅=∇⋅⎰⎰2112()0l =s l sccu u uu d dx dy dz du x y zu d u d du du du ∂∂∂∇⋅++=∂∂∂∴∇⨯∇⋅=∇⋅==+=⎰⎰⎰⎰⎰（2）12A s A s A s vss s dV d d d ∇⋅=∇⨯⋅=∇⨯⋅+∇⨯⋅⎰⎰⎰⎰120A l A l c c d d =⋅+⋅=⎰⎰闭合曲线C1和C2是方向相反的同一条闭合曲线。
6、定理法求解电场强度电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题图()a 所示，求空间电场分布。
解：由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定理求解。
但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题图b 所示。
空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
E S =/0sd q ε⋅⎰可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为2200120022r b b r r πρρπεε==r E e 2200120022r a a r r πρρπεε'-''==-''r E e点P 处总的电场为22011220()2b a r r ρε''=+=-'r r E E E（2）在b r <且a r >'区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为20020022r r r πρρπεε==r E e 2200220022r a a r r πρρπεε'-''==-''r E e点P 处总的电场为202220()2a r ρε''=+=-'r E E E r（3）在a r <'的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为20030022r r r πρρπεε==r E e 20030022r r r πρρπεε''-''==-'r E e 点P 处总的电场为003300()22ρρεε''=+=-=E E E r r c7、证明均匀介质内极化电荷密度p ρ等于自由电荷密度f ρ的⎪⎭⎫ ⎝⎛εε01－－倍。
证明：f p D D p ρεεεεεερ)1()1(])1[(000--=⋅∇--=-⋅-∇=⋅-∇=习题课2恒定电场、恒定磁场以及静态场边值问题1、求同轴线内外导体之间的漏电流密度问题同轴线内、外半径分别为a 和b ，内外导体之间介质的介电常数为ε ，电导率为 σ。
若在同轴线内外导体上施加电压U ab ，求内外导体之间的漏电流密度J 。
解：方法一：为了分析问题方便，本题采用圆柱形坐标系。
先用直接法来求内外导体之间的电流密度矢量J 。
设同轴线的长度为L 。
如果内外导体之间的总电流为I ，则任何给定半径 ρ 的同轴圆柱面S 上，由对称性可知，电流密度矢量、电场强度矢量与电流的关系为22I IJ E L L ρρρρρρσρσρσ===⇒===ππJ J e e E E e e在同轴线任意横截面上，沿 ρ 方向对电场强度矢量E 进行积分，可求得内外导体之间的电压ln 22b b ab L a a I d I bU d E d L L a ρρρρρσρσ=⋅=⋅==ππ⎰⎰⎰E l e e 由上式可求得同轴线内外导体之间的漏电流为2ln(/)abLU I b a σπ=于是可求得同轴线内外导体之间的漏电流密度矢量为2ln(/)ab U IJ L b a ρρρρσρρ===πJ e e e方法二：本题也可以通过拉普拉斯方程来求解。
在圆柱形坐标系中，电位函数的拉普拉斯方程为222222110z ψψψψρρρρρϕ⎛⎫∂∂∂∂∇=++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭注意上式中的 ρ 是圆柱形坐标系的坐标变量，而不是电荷密度。
