求数列通项公式an的常用方法

求数列通项公式的常用方法种类 1、 S n f (a n )解法：利用 a nS 1 Sn 1(n 1) 与 a n S nSn 1f (a n )f (a n 1) 消去 S n (n2) 或与S n( n 2)S n f (S n S n 1 ) (n2) 消去 a n 进行求解。

例 1 已知无量数列 a n 的前 n 项和为 S n ，而且 a n S n 1(n N * ) ，求 a n 的通项公式？nQ S n 1 a n ， a n 1S n 1 S n a n a n 1 ， a n 11a n ，又 a 11， a n1 .222变式 1. 已知数列 a n 中， a 11，前 n 项和 S n 与 a n 的关系是 S nn(2n 1)a n ，求 a n3变式 2. 已知数列 { a } 的前 n 项和为 S ，且知足 2S2ann 3 (nN *) ．nnn求数列 { a n } 的通项公式变式 3. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n (n 1)b n ，此中 {b n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列 . 求数列 {a n } 的通项公式；变式 4. 数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 1 1， a n 12S n (n N * ) ．求数列 a n 的通项 a n变式 5. 已知数列 { a } 的前 n 项和为 S ，且知足 2S2an n3 (n N * ) ．nn n求数列 { a n } 的通项公式；变式 6. 已知在正整数数列 { a n } 中，前 n 项和 S n 知足 S n1 (a n2)281（1）求证： { a n } 是等差数列（ 2）若 b n 2 a n30 ，求{ b n }的前 n 项和的最小值种类 2、an 1ka nb型（此中 k 、 b 为常数， kb0 ， k1 ）解：设 a n 1m k(a nm) ∴ a n 1 ka n km mb比较系数：kmmm1b ∴k{ a nb }a 1k b∴k 1 是等比数列，公比为 k，首项为1∴ ank b1 (a 1 k b1) k n 1∴ a n(a 1b ) k n 1 bk 1k1例 1 已知数列 a n 中, a 1 1, a n 2a n 1 1(n 2) , 求 a n 的通 公式 . 【分析】 : 利用 ( a nx) 2( a n1x) , a n2a n 1 x , 求得 x 1 ,a n 1 2( a n 1 1) ,a n 1 是首 a 1 1 2,公比 2的等比数列 , 即 a n 1 2 ? 2n 1 , a n1 2n ,a n2n1式 1. 已知数 { a n } 的 推关系 a n 12a n4 ，且 a 1 1 求通 a n3型 3、an 1a nf ( n)型，（ f (n) 可求前 n 和），利用 a na 1 (a 2 a 1 ) (a na n 1) 求通 公式的方法称 累加法。

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c da 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c da c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1{-+c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c d a c c d a n n逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式.)(121a a c a a nn n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方较 比较复杂.例6已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：121(2),n n a a n -=+≥ 112(1)n n a a -∴+=+又{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列 12n n a ∴+=，即21n n a =-练习．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a 。

数列求通项公式方法大全1.等差数列求通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相同的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d。

其中，n为该数列的第n项。

2.等比数列求通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相同的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^(n-1)。

其中，n为该数列的第n项。

3.斐波那契数列求通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

设斐波那契数列的首项为a1，第二项为a2，则其通项公式为an=a1*f1+n*f2，其中，f1和f2分别为斐波那契数列的第一项和第二项。

4.调和数列求通项公式调和数列是指数列中每一项都是它前一项加上一个固定常数的倒数。

设调和数列的首项为a1，差值为d，则其通项公式为an=1/(a1+(n-1)d)。

5.等差几何数列求通项公式等差几何数列是指数列中相邻两项之间既有等差关系又有等比关系的数列。

设等差几何数列的首项为a1，公差为d，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^(n-1)+d*(q^(n-1)-1)/(q-1)。

6.垂直数列求通项公式垂直数列是指数列中每一项之间的垂直差别相等，且相邻两项之间的垂直和恒定的数列。

设垂直数列的首项为a1，公差为d，垂直和为S，则其通项公式为an=(2a1+(n-1)d)*S/(2+S(n-1))。

7.几何平均数列求通项公式几何平均数列是指数列中每一项为前一项与下一项的几何平均数的数列。

设几何平均数列的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^((n-1)/2)。

8.调和平均数列求通项公式调和平均数列是指数列中每一项为前一项与下一项的调和平均数的数列。

设调和平均数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=2/(1/a1+(n-1)d)。

9.阿贝尔数列求通项公式阿贝尔数列是指数列中，对于任意正整数k，从第k项开始，其连续k项的和为常数的数列。

怎样由递推关系式求通项公式一、基本型：（1）a n =pa n-1+q （其中pq ≠0 ，p ≠1，p 、q 为常数）型:——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x ⇒a 1+n + x = p(a n +p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p(a n + x )，从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解． 例1. 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.-1练1．已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n ∈ N +，求通项a n ．a n = 2 －2n-1 ，n ∈N + 练2.已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.21nn a ∴=- 二、可化为基本型的数列通项求法： （一）指数型：a n=ca n-1+f(n)型 1、a 1=2,a n =4a n-1+2n (n ≥2),求a n .2、a 1=-1,a n =2a n-1+4〃3n-1(n ≥2),求a n .3、已知数列{}n a 中，1a =92，113232+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .∴ n a =13)21(2+--n n（二）指数（倒数）型 1、a 1=1,2a n -3a n-1=(n ≥2),求a n .2、a 1=,a n+1=a n +()n+1,求a n . （三）可取倒数型：将递推数列1nn n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； 332nn n a ∴=+2、已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.∴121n a n =-. 3、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． a n =4、 若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a . 131-=n n S ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 三、叠加法：a n=a n-1+f(n)型：1.已知数列{a n }中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥。

求数列an通项公式方法求数列an通项公式引言•数列是数学中重要的概念之一，通过研究数列的性质和规律，可以解决许多实际问题。

•求数列an的通项公式是指通过已知的数列项，找到一个能够计算出数列任意项的公式。

方法一：观察法•通过观察数列的前几项，尝试寻找相应的规律。

•对于等差数列和等比数列，常见的规律往往可以明显地被观察到。

方法二：递推法•数列的通项可能与前一项或前几项之间存在某种关系。

•通过递推关系式，可以将数列的第n项表示为前一项或前几项的函数。

方法三：代数法•针对某些特定的数列，可以利用代数运算的方法求解通项公式。

•例如，斐波那契数列可以通过构建其特征方程来求解。

方法四：生成函数法•生成函数是一种将数列转化为多项式的方法。

•通过对数列的生成函数进行运算和展开，可以得到数列的通项公式。

方法五：数学归纳法•对于一些具有特定递推关系的数列，数学归纳法可以帮助我们证明并求解其通项公式。

•数学归纳法的关键在于证明递推关系正确性的基础段和归纳步骤。

方法六：利用求和公式•对于一些可以通过求和的方式来表示的数列，可以通过求和公式得到其通项公式。

•例如，等差数列可以通过求和公式求解。

方法七：离散数学方法•对于一些特定的数列，可以借助离散数学中的组合数学、图论等知识方法来求解其通项公式。

•这种方法通常需要一定的离散数学知识储备。

结论•求解数列an通项公式有多种方法可供选择，具体方法取决于数列的性质和规律。

•在实际问题中，我们可以根据数列的已知项尝试使用不同的方法来求解其通项公式，以便更好地解决问题。

数列解题方法总结一、 求通项a n 的常用方法：㈠叠乘法（前项与后项之比等于含n 的式子，型如)(1n f a a n n =+） 例1、 ㈠数列{a n }中，a 1=2，a n+1=nn 1+a n ，求{a n }的通项公式。

㈡数列{a n }中，a 1=3，a n+1=3n a n ，求{a n }的通项公式。

㈡叠加法（前项与后项之差等于含n 的式子，型如)(1n f a a n n =-+）例2、 ㈠数列{a n }中，a 1=2，a n+1-a n =3n ，求{a n }的通项公式。

㈡数列{a n }中，a 1=1，a 2=4，a n+2=2a n+1-a n +2，求{a n }的通项公式。

㈢利用S n 与a n 的关系（注意讨论n=1和n ≥2两种情况）例3、 ㈠S n =3n -2，求{a n }的通项公式。

㈡S n =1+n n ，求{a n }的通项公式。

㈣在一个关系式中同时纯在S n 与a n例4、 ㈠a 1=2，S n =n 2a n ，求{a n }的通项公式。

㈡数列{a n }中 各项均为整数，S 1＞1，且6S n =（a n +1）（a n +2），求{a n }的通项公式。

㈤a n+1=qa n +p ，a n+1=qa n +pb k 型（待定系数法）例5、 ㈠数列{a n }中，a 1=1，a n+1=21a n +1，求{a n }的通项公式。

㈡数列{a n }中，a 1=67，6a n+1=3a n +2，求{a n }的通项公式。

㈢数列{a n }中，a 1=3，a n+1=2a n +3n ，求{a n }的通项公式。

㈥取对数（型如a n+1=pa n k ）例6、数列{a n }中，a 1=3，a n+1=3a n 2，求{a n }的通项公式。

㈦取倒数化简（a n+1=qpa ma n n +型） 例7、㈠数列{a n }中，a 1=1， a n+1=3+n n a a ，求{a n }的通项公式。

求数列通项公式的方法总结：1)观察法。

例如1、3、5、7、9……2)公式法。

对于等差数列：a n=a1+(n-1)d;对于等比数列：a n=a1·q n-1。

3)形如a n+1=pa n+q,变形为（a n+1+k）=p(a n+k),其中k=q／(p-1)构造数列｛a n+k｝是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。

4)形如a n+2=pa n+1+qa n,,变形为a n+2+ma n+1=n(a n+1+ma n),自行解出m和n构造数列｛a n+1+ma n｝是以a2+ma1为首项，n为公比的等比试列。

5)形如a n+1=pa n+q n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+1,再利用3）的步骤即可求出通项公式。

6)形如a n+1=pa n+q n+t n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+（t/q）n+1,则先忽略（t/q）n这一项,利用3）的方法配出3）的形式，然后再同时除以（t/q）n，再利用3）的步骤即可求出通项公式。

7)a n+1=ta n/(p+qa n)变形为1/a n+1=p/t·1/a n+q/t, 再利用3）的步骤即可求出通项公式。

8)利用s n-s n-1=a n的关系求出通项公式。

利用以上方法求通项公式时，要用到数列求和的方法，下面予以归纳：1)公式法。

对于等差数列s n=na1+n·(n-1)d或s n=n(a1+a n)/2,对于等比数列s n=a1·q n-I。

2)常用的几个基本求和公式a)1+2+3+……+n=n·(n+1)/2b)12+22+32+……+n2=n·(n+1)·(2n+1)/6c)13+23+33+……+n3=n2·(n+1)2/4d)1+3+5+……+（2n-1）=n23)倒序相加法。

主要用于等差数列或组合数列。

求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：数列符合等差、等比数列定义例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.变式训练1 ：已知数列{}n a ，若n n n a a a a ，求，1121-==三、n s 与n a 的关系式法：形如()n f a S n n += 应用{1,2,11=≥--n S n S S n n 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a .变式训练2：已知数列{n a }满足n n a n n S ，求12++=例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=+，其中11=a ，求n a .变式训练3：已知数列{n a }满足n n n a a S ，求-=1四、累加法：形如)(1n f a a n n +=+ 例4：()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a变式训练4：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a .五、累乘法：形如)(1n f a a n n ⋅=+ 例5：111,1n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a变式训练5：已知数列{n a }满足1a =1，n n n a a 21=+，求n a六、构造法：1、构造等比数列：形如q pa a n n +=+1例6：已知111,21n n a a a -==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a变式训练6：已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .2、构造等差数列：形如n n n q pa a +=+1 例7：在数列{}n a 中， 12a =，()11222n n n a a n +-=+≥，求{}n a 通项公式变式训练7：数列{n a }满足1n a += 12(2)n n a +-+- ， 12a =-，求n a 的通项公式七、取倒数法：：)()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ 例8：已知11122,2n n n a a a a --==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a变式训练8：已知数列{n a }，1a = 1-，11n n n a a a +=- n N *∈，求n a。

求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=例1例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +===，，， n a例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。

三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

求数列通项的方法总结求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，分享了求数列通项的方法，一起来看看吧！一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f （n）可求前n项和）.例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。

解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1=2+（n-1）+1=（n-1）（n+1）+1=n2所以数列an的通项公式为an=n2。

例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.备注：取倒数之后变成逐差法。

解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.例3.已知数列{an}中a1=，an=an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。

解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。

注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。

求数列an通项公式方法(一)求数列an通项公式的方法引言在数学中，我们经常会遇到需要求解数列的通项公式的问题。

求解数列的通项公式可以帮助我们找到数列中任意一项的值，加深我们对数列规律的理解。

以下是几种常见的方法用来求解数列an的通项公式。

方法一：递推法1.递推法是最常见的一种方法，通常适用于具有明显的规律或者特殊的关系的数列。

2.首先，我们通过观察数列的前几项来寻找规律和关系。

3.然后，我们根据这些规律和关系构建递推关系式，即找到数列中当前项与前一项之间的关系。

4.最后，我们解递推关系式，得到数列的通项公式。

方法二：等差数列与等比数列的通项公式1.对于等差数列，其通项公式可以通过数列的首项和公差来表示，即an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2.对于等比数列，其通项公式可以通过数列的首项和公比来表示，即an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

方法三：数学归纳法1.数学归纳法在求解数列通项公式中也是常用的方法之一。

2.首先，我们需要利用数学归纳法证明数列的通项公式对于某个特定的数成立。

3.然后，我们将数列的前几项带入这个公式，通过归纳法的假设证明公式成立。

4.最后，我们可以得出结论，数列的通项公式通过数学归纳法得证。

方法四：利用生成函数1.生成函数是求解数列通项公式的高级方法之一。

2.首先，我们将数列具体化成一个多项式并用一个变量替代其中的项。

3.然后，我们构建生成函数，将数列的每一项与该变量的对应幂次相乘并相加。

4.最后，通过对生成函数进行求导、求和或者其他操作得出数列的通项公式。

方法五：特殊数列的通项公式1.对于一些特殊的数列，也存在特殊的求解方法。

2.例如斐波那契数列、等差数列的和数列等，都有其独特的求解方法。

3.对于这些特殊数列，我们需要了解其规律和性质，并采取相应的方法来求解通项公式。

总结求解数列通项公式是数学中的一个重要问题，通过递推法、等差数列与等比数列的通项公式、数学归纳法、生成函数和特殊数列的通项公式等多种方法，我们可以有效地解决这个问题。

如：通项公式为an1 2an 3n 3可化为an 1 m 3n1 +s 2(an m 3n s ) 解得 m=-1,s 3 即化为an1 3n1 3 2(an 3n 3)
（其中，k, b, c, m, s为常数）
(4)通项公式为an1 kan ban1可化为an1 san t (an san1 ) （其中，k, b, s, t为常数）
(2)通项公式为an1 kan c bn可化为an1 mbn1 k (an mbn ) （其中，k, b, c, m为常数）
(3)通项公式为an1 kan c bn +t可化为an1 mbn1 s k (an mbn s ) （其中，k, b, c, m, s为常数）
如：通项公式为an1 2an 3n 可化为an1 m 3n1 2(an m 3n ) 解得 m 1 即化为an1 3n1 2(an 3n )
(3)通项公式为an1 kan c bn +t可化为an1 mbn1 s k (an mbn s )
(4)通项公式为an1 kan ban1可化为an1 san t (an san1 ) （其中，k, b, s, t为常数）
八、倒数法>>
适用于an1 k1an 的形式，(其中，k1 ,k 2 ,b1 ,b2为常数). k2an b2
本节作业
1、数列{an }中, a1 2, an1 an 2n , 求{an }的通项公式.
an 2 n 3 an 3 n 1
.........................
n1 n 2 n 3 3 2 1 1 ... n1 n n1 5 4 3 2 1 n( n 1)

求数列通项公式的方法数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样；有了解析式便可研究函数性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项，前n 项和以及数列的性质等。

因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口，关键点.一、观察法即归纳推理，一般用于解决选择、填空题。

过程：观察→概括、推广→猜出一般性结论.例1、数列{}n a 的前四项为：11、102、1003、10004、……，则n a = .二、公式法命题点1、等差数列的判定例2、（1）已知数列{}n a 满足*11262,(2,),4,8n n n a a a n n N a a +-+=≥∈==，求n a .（2）已知数列{}n a 满足*11111,2()n na n N a a +==+∈，求n a .命题点2、等比数列的判定例3、已知数列{}n a 满足2*1123,(2,),4,8n n n a a a n n N a a +-⋅=≥∈==，求n a .三、利用n a 的前n 项和n S 求n a命题点1、已知n S 求n a1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，即已知数列的前n 项和，便可求通项. 例4、（1）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：*2log (1)1()n S n n N +=+∈，求数列{}n a 的通项公式.（2）正项数列 * + 的前 项和 满足： ( ) ( ) ．求数列 * + 的通项公式；命题点2、由n S 与n a 的关系求n a例5、（1）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*131()22n n S a n n n N +=--+∈，令n n b a n =+，证明{}n b 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（3）已知数列中，*1123111,23()2n n n a a a a na a n N ++=++++=∈，求数列{}n a 的通项公式；}{n a（4）数列*+满足，．Ⅰ求的值；Ⅱ求数列*+的前项和；例6、已知数列{}n a满足2121,21nnnSa aS==-*(2,)n n N≥∈，求na.求形如1()n n a a f n +=+（()f n 为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令2,3,n n =得到1n -个式子累加求得通项. 例7、(1)设数列{}n a 满足21*112,32()n n n a a a n N -+=-=⋅∈，求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 中，11a =，111(1)()2n n n n a a n N n *++=++∈，求数列{}n a 的通项公式．对形如1()n na f n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令2,3,n n =得到1n -个式子累乘求得通项. 例8、(1)在数列{}n a 中, *112(1)()2n n n a a n N a n ++=∈=，，求数列{}n a 的通项公式.(2)已知数列{}n a 中，113a =，前n 项和n S 与n a 的关系是*(21)()n n S n n a n N =-∈，求{}n a 的通项公式．六、构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+命题点1、递推关系式为1n n a pa q +=+(,p q 为常数) 思路：递推式可化为1(),n n a x p a x ++=+得1(1),n n a pa p x +=+-解得1q x p =-；构造出{}n a x +为等比数列，首项为1a x +，公比为.p 例9、(1已知数列{}n a 满足*111,21(),n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式；命题点2、递推式为1n n n a pa q +=+ (,p q 为常数)思路：在1nn n a pa q +=+两边同时除以1n q +得111n n n n a a p q q q q ++=⋅+ 构造数列{}n b ,n n na b q =可得11n n p b b q q +=⋅+. 故可利用上类型的解法得到()n b f n =再将代入上式即可得n a .例10、(1)已知数列{}n a 满足*111,22(),n n n a a a n N +==+∈求n a .(2)已知数列{}n a 满足*111,32(),n n n a a a n N +==+∈求n a .七、特殊技巧命题点1、取倒数法例12、已知数列{}n a 满足11a =，*111(),n n n n a a n N a a ++⋅=-∈-求数列{}n a 的通项公式.命题点2、开方法例13、已知数列{}n a满足*11(),n n a a n N +=++∈11a =，求数列{}n a 的通项公式.命题点3、取对数法例14、已知数列{}n a 满足2*13(),n n a a n N +=∈13a =，求数列{}n a 的通项公式.八、分别求奇数项和偶数项的通项公式 例15、（1）已知数列{}n a 满足2()*n n a qa q q n N +=≠∈为实数，且1，，121,2a a ==且233445,,a a a a a a 成等差数列，求q 的值和{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 满足23n n a a +-=，*n N ∀∈，121,2a a ==，求数列{}n a 的通项公式.。

求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

例12、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +=== ，，， 两边分别相乘得，1111()n n k a a f k a +==⋅∏ 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式6、解得数列{}n a 的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

史上最全的数列通项公式的求法15种一、等差数列（Arithmetic sequence）1.基本公式：一个等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，d代表数列的公差。

2.另一种形式：等差数列的通项公式还可以表示为：an = a + (n-1) * (a2-a1)/2其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，a1代表数列的第二项，a2代表数列的前两项。

二、等比数列（Geometric sequence）1.基本公式：一个等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，r代表数列的公比。

2.另一种形式：等比数列的通项公式也可以表示为：an = a * q^n其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，q代表数列的公比。

三、斐波那契数列（Fibonacci sequence）1.基本公式：一个斐波那契数列的通项公式为：Fn=(φ^n-(1-φ)^n)/√5其中Fn代表数列的第n项，φ代表黄金分割比（约1.618）。

2.矩阵法：斐波那契数列的通项公式还可以通过矩阵的形式表示：Fn=(A^n*F0)，其中An是一个特定的矩阵，F0是初始向量。

四、调和数列（Harmonic sequence）1.基本公式：一个调和数列的通项公式为：an = 1/n其中an代表数列的第n项。

五、多项式数列（Polynomial sequence）一个多项式数列的通项公式为：an = an-1 + an-2 + ... + an-m其中an代表数列的第n项，an-1为前一项，an-2为前两项，an-m为前m项。

六、余弦数列（Cosine sequence）1.基本公式：一个余弦数列的通项公式为：an = a + b * cos(cn)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，c为常数。

2.幂函数法：余弦数列的通项公式还可以表示为：an = a + b * cos(nθ)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，θ为角度。

[解] = +1
∴{ }为等差数列.
=
∴ =n·
5． =p ＋q 型（p、q为常数）
特征根法：
（1） 时， = · + ·
（2） 时， =（ + ·n）·
例5.数列{ }中， =2， =3，且2 = + （n∈N+，n≥2），求 .
[解] =2 －
∴ ∴
∴ =（ + ·n）· = + ·n
∴ ∴
∴
7．“已知 ，求 ”型
[解] 依题意，得 － +2 · =0
∴ － =2
∴ =２+2（n－１）=2n
∴ = ， =
∴ = -
=－2× ×
ห้องสมุดไป่ตู้= （ ）
∴ =
累乘法： = · … ·
例2.已知数列{ }满足 （n∈N+）， =1，求 .
[解] = · … ·
=（n－1）·（n－2）…1·1=（n－1）！
∴ =（n－1）！ （n∈N+）
4． =p + 型（p为常数）
方法：变形得 = + ，
则{ }可用累加法求出，由此求 .
例4.已知{ }满足 =2， =2 + .求 .
1． = + 型
累加法：
=（ － ）+（ － ）+…+（ － ）+
= + +…+ +
例1.已知数列{ }满足 =1， = + （n∈N+），求 .
[解] = － + － +…+ － +
= + +…+ +1

例14
已知 满足+2 = 3+1 − 2 ，2 = 2, 1 = 1，求 的通项公式
九、奇偶分项求通项公式
核心思想：
n为奇数时，设n=2k-1
n为偶数时，设n=2k
例15 数列 满足 = ቊ
2，为奇数时
，求 的通项公式。

2 ，为偶数时
变式训练15
n2

a n ，求 {an } 的通项公式.
n
变式训练 6 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2n an ，求 {an } 的通项公式.
变式训练 7 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an n(an1 an ) ，求 {an } 的通项公式.
四、加法构造
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d
an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·
qn－1
am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
S1，
n＝1，
an＝
Sn－Sn－1， n≥2.
例1
n＋3.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋
17
3
变式训练 10 已知数列 {an } 满足 a1
， an an1 5( n 2) ，求 {an } 的通项公式.
2
2
五、倒数构造
型如 an1
m an

(m pq 0) 的数列直接取倒数
pan q

例 8 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1