二次函数应用题(讲义与习题)含答案

(完整版)二次函数应用题(含答案)整理版题目1：某公司的销售额可以用二次函数$y=-2x^2+20x$来表示，其中$x$表示月份（从1开始），$y$表示对应月份的销售额。

求解下列问题：问题1：请计算公司第6个月的销售额。

解答：将$x=6$代入二次函数中，可得：$y=-2\times6^2+20\times6=-72+120=48$所以公司第6个月的销售额为48。

问题2：请问公司销售额最高的月份是哪个月？解答：二次函数$y=-2x^2+20x$是一个开口朝下的抛物线，最高点即为销售额最高的月份。

通过求导数，我们可以找到函数的最高点。

首先，求导得到一次函数$y'=-4x+20$，令$y'=0$，解方程可得$x=5$。

因此，公司销售额最高的月份是第5个月。

题目2：一架火箭从地面起飞后，高度$h$（以米为单位）随时间$t$（以秒为单位）变化的规律可以用二次函数$h=-5t^2+100t$表示。

求解下列问题：问题1：请问火箭多少秒后达到最大高度？解答：同样地，通过求导数，我们可以找到火箭高度的最高点。

将二次函数$h=-5t^2+100t$求导得到一次函数$h'=-10t+100$，令$h'=0$，解方程可得$t=10$。

因此，火箭在10秒后达到最大高度。

问题2：请计算火箭达到最大高度时的高度。

解答：将$t=10$代入二次函数中，可得：$h=-5\times10^2+100\times10=-500+1000=500$所以火箭达到最大高度时的高度为500米。

以上是对二次函数应用题的解答，希望能帮助到您。

学生做题前请先回答以下问题问题1：二次函数应用题的解题思路是什么？问题2：应用题结果的验证需要考虑哪些方面？问题3：题中出现哪些关键字时，考虑用函数求解？二次函数应用题（一）一、单选题(共4道，每道25分)1.有一座抛物线型拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米，建立如图所示的平面直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米．为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过( )米时，就会影响过往船只的顺利航行．A.2.76米B.6.76米C.6米D.7米答案：B解题思路：1．解题要点①理解题意，建立数学模型将题目中的数据转化为图中对应的线段长，确定关键点坐标，求出抛物线解析式．观察图形，抛物线的顶点为(0，0)，由题意，抛物线过点(10，-4)，故可求出抛物线的解析式．②明确目标及判断标准，利用二次函数图象性质求解要求影响过往船只顺利航行的水深，可先分析临界状态，分析当水面宽度为18米时的水深．由二次函数的对称性，可转化为分析当x=9时的水深．首先可得对应的y值，结合拱顶到水底的总的距离为6+4=10，可求出保证过往船只顺利航行临界水深．③回归目标，判断验证，结果总结2．解题过程设该抛物线的解析式为，由题意得，抛物线过点(10，-4)，代入解析式得，∴，∴该抛物线的解析式为．令x=9，可得y=-3.24，此时水深为6+4-3.24=6.76米，即桥下水深6.76米时正好可以保证过往船只顺利航行，所以当水深超过6.76米时就会影响过往船只的顺利航行．故选B．试题难度：三颗星知识点：二次函数的应用2.如图，隧道的截面是抛物线，可以表示为，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是( )A.不大于4mB.恰好4mC.不小于4mD.大于4m，小于8m答案：A解题思路：由题意，把代入中得：（舍去）．由于设计的是双行道，所以每条行道宽应不大于4m．故选A．试题难度：三颗星知识点：二次函数的应用3.你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图，正在甩绳的甲，乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙，丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m，2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）( )A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67m答案：B解题思路：设抛物线的解析式为，由题意，抛物线过点(-1，1)，(3，1)，(0，1.5)，代入解得，，，∴．当时，．即学生丁的身高是1.625m．故选B．试题难度：三颗星知识点：二次函数的应用4.如图，排球运动员甲站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，把球看成点，其运行路线是抛物线的一部分，点D为球运动的最高点．球网BC 离O点的水平距离为9m，以O为坐标原点建立如图所示的坐标系，乙站立地点M的坐标为(m，0)．乙原地起跳可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，则m的取值范围为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：由题意，将y=2.4代入中得：，解得，若乙因为接球高度不够而失球，则结合图象有．∵，∴．故选B．试题难度：三颗星知识点：函数类应用题。

二次函数的应用1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（ ） A ．60m 2 B ．63m 2 C ．64m 2 D ．66m 2【答案】C ．考点：1．二次函数的应用；2．应用题；3．二次函数的最值；4．二次函数的最值．2.厂为扬州三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度(m)h 与飞行时间(s)t 的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s【答案】B ．考点：二次函数的应用． 3．如图，正三角形ABC 的边长为，在三角形中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得D 、E 、F在边CB 上，点P 、N 分别在边CA 、AB 上，设两个正方形的边长分别为m ，n ，则这两个正方形的面积和的最小值为A．B．C．3 D．【答案】D【解析】【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝60°，AB＝3＋，利用含30°的直角三角形三边的关系得BD＝DN＝m，CF＝PF＝n，则m＋m＋n＋n＝3＋，所以n＝3－m，S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－）2＋，接着确定m的取值范围，然后根据二次函数的性质求出S的最小值.【详解】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，∵△ABC为等边三角形，∴∠A ＝∠B＝60°，AB＝3＋，在Rt△ADN中，BD＝DN＝m，在Rt△BPF中，CF＝PF＝n，∵AD＋DE＋EF＋BF＝AB，∴m＋m＋n＋n＝3＋，∴m＋n＝3，∴n＝3－m，∴S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－）2＋，当点M落在AC上，则正方形PHEC的边长最小，正方形DNME的边长最大，如图，在Rt△ADN中，BD＝DN，CM＝DN，∴DN＋DN＝3＋，解得DN＝3－3，在Rt△CPF中，CF＝PF，∴（3－3）＋3－3＋EF＋PF＝3＋，解得PF＝6－9，∴6－9≤m≤3－3，∴当m＝时，S最小，S的最小值为，故答案选D.4．把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－ gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是( ) A．1.05米B．－1.05米C．0.95米D．－0.95米【答案】C【解析】【分析】把t=2.1代入h＝v0t－gt2，求出h的值，然后加2即可.【详解】把t=2.1代入h＝v0t－gt2得，h＝10×2.1－×10×2.12=-1.05（米），-1.05+2=0.95（米）.故选C.5．点为线段上的一个动点，，分别以和为一边作等边三角形，用表示这两个等边三角形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当为的三等分点时，最小B．当是的中点时，最大C．当为的三等分点时，最大D．当是的中点时，最小【答案】D【解析】【分析】根据四个选择项，可知要判断的问题是C在AB的什么位置时，S有最大或最小值．由于点C是线段AB上的一个动点，可设AC=x，然后用含x的代数式表示S，得到S与x的函数关系式，最后根据函数的性质进行判断．【详解】设AC=x，则CB=1-x，S=x2+（1-x）2，即S=x2-x+=（x-）2+，∵a=>0，∴当x=时，S最小，此时，C是AB的中点，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据题意建立二次函数的关系式，然后根据二次根式的性质进行解答是关键．6.抛物线p ：y=ax 2+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为C′，我们称以A 为顶点且过点C′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________． 【答案】223y x x =--. 【解析】试题分析：由题意可得，抛物线y ＝x 2＋2x ＋1和直线y ＝2x ＋2的交点坐标就是点A 、C′的坐标，把y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2联立组成方程组，解得方程组的解即可的得A （—1,0）、C′（1，4）.又因y=ax 2+bx+c 的顶点为C 与C′关于x 轴对称，所以C （1,-4）. y=ax 2+bx+c 的顶点为C （1, —4）且过点A （—1,0）.可设抛物线的解析式为y=a （x —1）2 —4，把点A （—1,0）代入即可求得a=1，所以y=（x —1）2 —4，即223y x x =--.考点：阅读理解题；求函数的交点坐标；求函数的解析式.学科网7. 某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x 棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系； （2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）6005y x =-；（2）果园多种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为60500个． 【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【解析】（1）平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系为：y =600﹣5x （0≤x ＜120）；（2）设果园多种x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为w ，则w =（600﹣5x ）（100+x ）=25(10)60500x --+ 则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个． 考点：二次函数的应用．8.某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m （30＜m ≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．【答案】（1）y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩；（2）30＜m ≤75．【分析】（1）根据收费标准，分0＜x ≤30，30＜x ≤m ，m ＜x ≤100分别求出y 与x 的关系即可．（2）由（1）可知当0＜x ≤30或m ＜x ＜100，函数值y 都是随着x 是增加而增加，30＜x ≤m 时，2150y x x =-+，根据二次函数的性质即可解决问题．【解析】（1）y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩．（2）由（1）可知当0＜x ≤30或m ＜x ＜100，函数值y 都是随着x 是增加而增加，当30＜x ≤m 时，22150(75)5625y x x x =-+=--+，∵a =﹣1＜0，∴x ≤75时，y 随着x 增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30＜m ≤75．考点：二次函数的应用；分段函数；最值问题；二次函数的最值9. 某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y （间）与其价格x （元）（180≤x ≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表：x （元） 180 260 280 300 y （间） 100 60 50 40（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出） 【答案】（1）11902y x =-+（180≤x ≤300）；（2）当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．【分析】（1）设一次函数表达式为y =kx +b （k ≠0），由点的坐标（180，100）、（260，60）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式；（2）设房价为x 元（180≤x ≤300）时，宾馆当日利润为w 元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出”即可得出w 关于x 的二次函数关式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【解析】（1）设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），依题意得：18010016060k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：12190kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y与x之间的函数表达式为11902y x=-+（180≤x≤300）．（2）设房价为x元（180≤x≤300）时，宾馆当日利润为w元，依题意得：w=（12-x+190）（x﹣100）﹣60×[100﹣（12-x+190）]=21210136002x x-+-=21(210)84502x--+，∴当x=210时，w取最大值，最大值为8450．答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．10.小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130 …月销量（件）200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接填写结果）（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）①（x-60）；②（-2x + 400）（2）售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元试题解析：（1）①（x-60）；②（-2x + 400）（2）依题意可得：y=（x-60）×（-2x + 400= -2x2 + 520x – 24000= -2（x-130）2 + 9800当x=130时，y有最大值9800所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元考点：二次函数的应用.11.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）设每天盈利w元，求出w关于x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到8000元？（6分）（2）若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（6分） 【答案】（1）(10)(50020)y x x =+-，不能；（2）5．试题解析：（1）设每千克涨价x 元，利润为y 元，由题意，得：215(10)(50020)20()61252y x x x =+-=--+ ∴a =﹣20＜0，∴抛物线开口向下，当x =7.5时，y 最大值=6125，∴每天盈利不能达到8000元． （2）当y =6000时，6000(10)(50020)x x =+-，解得：110x =，25x =， ∵要使顾客得到实惠，∴x =5． 答：每千克应涨价为5元． 考点：二次函数的应用．12.技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一个点）的路线是抛物线，已知起跳点A 距地面的高度为1米，弹跳的最大高度距地面4.75米，距起跳点A 的水平距离为2.5米，建立如图所示的平面直角坐标系， （1）求演员身体运行路线的抛物线的解析式？（2）已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．【答案】（1）23315y x x =-++；（2）能，理由见试题解析． 【解析】试题分析：（1）由题意可知二次函数过A （0，1），顶点（31924，），用顶点式即可求出二次函数的解析式； （2）当4x =时代入二次函数可得点B 的坐标在抛物线上．试题解析：（1）由题意可知二次函数过A （0，1），顶点（31924，），设二次函数解析式为：2519()24y a x =-+， 把A （0，1）代入得：2519144a =+，解得：35a =-，∴23519()524y x =--+，即23315y x x =-++；（2）能成功表演．理由是：当4x =时，234341 3.45y =-⨯+⨯+=．即点B （4，3.4）在抛物线23315y x x =-++上，因此，能表演成功．考点：二次函数的应用．13.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件.（1）写出月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/件）之间的函数解析式． （2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？ （4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）2105006000y x x =-++；（2）550件，8250元；（3）50元；（4）65元，12250元． 【解析】试题分析：（1）根据设每个书包涨价x 元，由这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以5x =，代入即可月销售量和销售利润； （3）令10000y =，解方程即可；（4）用配方法求出二次函数的最大值即可． 试题解析：（1）∵每个书包涨价x 元，∴2(4030)(60010)105006000y x x x x =-+-=-++， 答：y 与x 的函数关系式为：2105006000y x x =-++；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以月销量=600-10×5=550（件），销售利润=2105500560008250y =-⨯+⨯+=（元）；考点：二次函数的应用．14.为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【答案】（1）201600y x =-+；（2）售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）440． 【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．考点：二次函数的应用．15.已知某隧道截面积拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部款20米．（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，使y 轴为抛物线的对称轴，x 轴在地面上．求这条抛物线的解析式；（2）维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架AB -BC -CD （其中B 、C 两点在抛物线上，A ．D 两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？ （3）在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度AB 不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）【答案】（1）211010y x =-+；（2）够用；（3）不能．试题解析：（1）设2y ax c =+，由题意抛物线经过点（10，0），（0，10），则100010a c c +=⎧⎨=⎩，解得：11010a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 故抛物线的解析式为211010y x =-+； （2）设点C 的坐标为（m ，n ），则所需材料长度=2221112222()210210(5)251055m n m m m m m +=+⨯-+⨯=-++=--+， ∵105-<，∴当m =5时，所需材料最多，为25米，∴总长为30米的材料够用；（3）当5n =时，2110510m -+=，解得52m =， ∵5224<⨯，∴高度不超过5米的车不能并排通过隧道口． 考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的应用．学科网。

第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值． 解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x •≤34或36≤x≤39．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解：29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米 ．解：当05.3=y 时，21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x （不合题意，舍去）5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m ．解：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天 在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天 行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．解：设每件价格降价x 元，利润为y 元， 则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．解：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)9．（20XX 年青岛市）在20XX 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，• ∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式； (2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元． 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．11．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x 160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．12．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．。

函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。

需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。

2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。

（一般式化为定点式）最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。

(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。

3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。

推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x 的取值范围。

备选思路一：先将不等号看做等号，求出x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x 的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。

这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。

一、求利润的最值1. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。

当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。

宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。

根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。

设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。

(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。

(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890， 当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。

中考二次函数应用题(含答案解析)二次函数应用题1．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（10x≥的整数），每天销售利润为y（元）．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围．2．某地在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为： y81620712x x xx x x+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩（，为整数）（，为整数），每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如表：x123456789101112z191817161514131211101010(1)请你根据表格直接写出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；(2)若月利润w（万元）＝当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；(3)当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？3．某商场购进一种每件成本为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；(3)疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过30%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？（利润率=利润÷成本×100%）(4)疫情过后，有关部门规定每件商品的利润率不得超过50%，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠a 元（10≤a ≤25），捐赠后发现，该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大．请直接写出a 的取值范围．4．北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点()2,1P 称为“爱凌点”，经过点()2,1P 的函数，称为“爱凌函数”．(1)若点()34,r s r s ++是“爱凌点”，关于x 的数2y x x t =-+都是“爱凌函数”，则r =_____，s =_____，t =_____．(2)若关于x 的函数y kx b =+和my x=都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k 的值．(3)如图，点()11,C x y 、()22,D x y 是抛物线232y x x =-+上两点，其中D 在第四象限，C 在第一象限对称轴右侧，直线AC 、AD 分别交y 轴于F 、E 两点： ①求点E ，F 的坐标；（用含1x ，2x 的代数式表示）；②若1OE OF ⋅=，试判断经过C 、D 两点的一次函数()0y kx b k =+≠是否为“爱凌函数”，并说明理由．5．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同． (1)求A ，B 两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w 万元．①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少6．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件销售价x (元)的关系数据如下： x 30 32 34 36 y40363228(1)已知y 与x 满足一次函数关系，根据上表，求出y 与x 之间的关系式（不写出自变量x 的取值范围）；(2)设该商店每天销售这种商品所获利润为w (元)，求出w 与x 之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？7．某服装厂批发应季T 恤衫，其单价y （元）与一次批发数量x （件）（x 为正整数．．．．）之间的关系满足图中折线的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若每件T 恤衫的成本价是60元，当100400x <≤时，求服装厂所获利润w （元）与x （件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？ 8．嘉琪第一期培植盆景与花卉各40盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是120元，花卉的平均每盆利润是15元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．嘉琪计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）．(1)第二期盆景的数量为_________盆，花卉的数量为_________盆； (2)用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；(3)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？9．为响应政府“节能”号召，某强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，己知这种节能灯的出厂价为每个20元．某商场试销发现，销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个． (1)求出每月销售量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w （元）与销售单价x （元）之间的函数关(3)若每月销售量不少于200个，且每个节能灯的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？10．如图，用长30米的竹篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长10米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x 米，菜园的面积为S 平方米．(1)直接写出S 与x 的函数关系式； (2)若菜园的面积为96平方米，求x 的值；(3)若在墙的对面再开一个宽为a （0＜a ＜3）米的门，且面积S 的最大值为124平方米，直接写出a 的值．【参考答案】二次函数应用题1．(1)2102801600y x x =-+- （10x ≥的整数） (2)200360y ≤≤ 【解析】 【分析】（1）销售单价为x 元/件时，每件的利润为(8)x -元，此时销量为[10010(10)]x --，由此计算每天的利润y 即可；（2）首先求出利润不超过100%时的销售单价的范围，且每天的进货总成本不超过800元，再结合（1）的解析式，利用二次函数的性质求解即可． (1)解：（1）根据题意得： (8)[10010(10)]y x x =--- 整理，得 2102801600y x x =-+-（10x ≥的整数） (2)解：∵每件小商品的利润不超过100%，∴8100%8x -⨯≤， ∴16x ≤，∵每天进货总成本不超过800元， ∴[100(10)10]8800x --⨯⨯≤， ∴10x ≥， ∴1016x ≤≤，∵2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+， 当14x =时，有360y =最大值当10x =时，有210(1014)360200y =-⨯-+=最小值，∴小商品每天销售利润y 的取值范围是：200360y ≤≤ 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，准确表示出题中的数量关系，熟练运用二次函数的性质求解是解题关键．2．(1)()()2019,101012,x x x z x x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩为整数为整数 (2)()()()221216016,4040079,102001012,x x x x w x x x x x x x ⎧-++⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩为整数为整数为整数 (3)当6x =时，w 有最大值为196． 【解析】 【分析】（1）观察表中数据可得，当19x ≤≤时，20z x =-+；当1012x ≤≤时，10z =，则z 与x 的关系式可得；（2）分三种情况：当16x 时，当79x ≤≤时，当1020x ≤≤时，分别写出w 关于x 的函数关系式并化简，则可得答案；（3）分别写出当16x 时，当78x 时，当912x 时的函数最大值，然后比较取最大值即可． (1)解：观察表中数据可得，当19x ≤≤时，20z x =-+；当1012x ≤≤时，10z =． z ∴与x 的关系式为：()()2019,101012,x x x z x x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩为整数为整数； (2)解：当16x 时，2(20)(8)12160w x x x x =-++=-++； 当79x ≤≤时，2(20)(20)40400w x x x x =-+-+=-+； 当1020x ≤≤时，10(20)10200w x x =-+=-+；w ∴与x 的关系式为：()()()221216016,4040079,102001012,x x x x w x x x x x x x ⎧-++⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩为整数为整数为整数；(3)解：当16x 时，212160w x x =-++2(6)196x =--+，6x ∴=时，w 有最大值为196；当79x ≤≤时，2240400(20)w x x x =-+=-，w 随x 增大而减小，7x ∴=时，w 有最大值为169；当1020x ≤≤时，10200w x =-+，w 随x 增大而减小，10x ∴=时，w 有最大值为100；100169196<<，6x ∴=时，w 有最大值为196．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式并分段计算是解题的关键．3．(1)180(100180)y x x =-+<≤ (2)228018000(100180)W x x x =-+-<≤(3)将售价定为130元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1500元 (4)2025a ≤≤ 【解析】 【分析】（1）设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠，利用待定系数法可求出其解析式，再求出x 的取值范围即可；（2）根据利润=（售价-单价）×销售量，即可得出答案；（3）根据题意可求出x 的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案；（4）根据题意可求出x 的取值范围和W 与x 、a 的关系式，再将其配方，根据该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增，即可得出关于a 的不等式，解出a 的解集即可得出答案． (1)解：设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠， 根据图象可知点(130，50)和点(150，30)在y kx b =+的图象上，∴5013030150k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：1180k b =-⎧⎨=⎩．∴180y x =-+． 令0y =，则1800x -+=， 解得：180x =，∴y 与x 之间的函数关系式为180(100180)y x x =-+<≤； (2)根据题意可得2(100)(100)(180)28018000W x y x x x x =-=--+=-+-，即每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式为228018000(100180)W x x x =-+-<≤； (3)根据题意可得：10030%100x -≤， 解得：130x ≤． ∴100130x <≤．∵2228018000(140)1600W x x x =-+-=--+， ∴当130x =时，W 有最大值，且2max (130140)16001500W =--+=（元）．故将售价定为130元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1500元； (4)根据题意可知10050%100x -≤ 解得：150x ≤．22228018000(180)(140)40160024a a W x x a x x a ⎡⎤=-+---+=--++-+⎢⎥⎣⎦．∵该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大， ∴1401502a+≥， 解得：20a ≥． ∵1025a ≤≤， ∴2025a ≤≤． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用．根据题意找到等量关系，列出等式是解题关键．4．(1)2；-1；-1；(2)12k =-；(3)①()20,2E x -+；()10,2F x -+；②经过C 、D 两点的一次函数y =kx +b (k ≠0)是“爱凌函数”；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，代入求解即可；（2）首先用待定系数法求出反比例函数解析式，然后应用一元二次方程根的判别式求出k 的值；（3）首先根据前提条件推出x 1与x 2的关系，然后利用C ，D 坐标用x 1和x 2表示出直线斜率kCD ，进一步代入点C 或者点D 的坐标，表示出截距b ，然后将坐标（2，1）代入一次函数，和前面的结论比较是否符合条件． (1)解：∵（3r ＋4s ，r ＋s ）为“爱凌点”，∴3421r s r s ⎧⎨⎩＋＝＋＝， 解得：21r s ⎧⎨-⎩＝＝，将（2，1）代入y ＝x 2−x ＋t 得：2122t =-+，解得t ＝−1． 故答案为：2；-1；-1． (2)将（2，1）分别代入y ＝kx ＋b 与y ＝mx中， 得1212k bm =+⎧⎪⎨=⎪⎩，即122b k m =-⎧⎨=⎩，∵两个函数图象有且只有一个交点，∴kx ＋1−2k ＝2x只有一个根，即：kx 2＋（1−2k ）x −2＝0， Δ＝（1−2k ）2＋8k ＝0， ∴k ＝−12． (3)①令x 2−3x ＋2＝0，得：11x =，x 2=2， ∴A （1，0），B （2，0）， ∵C 、D 两点在抛物线上，∴C （x 1，x 12−3x 1＋2），D （x 2，22232x x -+），设AD 的函数关系式为：11AD y k x b =+，则11212122032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩， 解得：121222k x b x =-⎧⎨=-+⎩，∴()()2222AD y x x x =-+-+， 令x ＝0，则22y x =-+，∴()202E x -+，， 设AC 的函数关系式为：22AC y k x b =+，则22221211032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩， 解得：212122k x b x =-⎧⎨=-+⎩，∴()()1122AC y x x x =-+-+， 令x ＝0，则12y x =-+，∴()102F x -+，； ②y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”，理由如下： ∵若OE •OF ＝1，∴21221x x -+-+=， ∴（2−x 2）（x 1−2）−1＝0， ∴2x 1−x 1x 2＋2x 2−5＝0，∵一次函数y =kx +b 经过C 、D 两点，∴211122223232kx b x x kx b x x ⎧+=-+⎨+=-+⎩， 解得：121232k x x b x x =+-⎧⎨=-⎩，∴CD 的关系式为：y ＝（x 1＋x 2−3）x ＋2−x 1x 2， 将（2，1）代入得： 2（x 1＋x 2−3）＋2−x 1x 2=1，即2x 1−x 1x 2＋2x 2−5＝0，与前提条件OE•OF ＝1所得出的结论一致， ∴经过C ，D 的一次函数y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数相关知识点，将结论与前提条件进行比较，整个题目涉及的未知数比较多，计算过程中需要仔细．5．(1)A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元 (2)①B 型汽车的最低售价为414万元/台，②A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元 【解析】 【分析】（1）设未知数，用未知数分别表示A 型汽车、B 型汽车的进价，然后根据花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同列分式方程求解即可．（2）①用利润公式：利润=（售价-进价）×数量，分别表示出A 、B 型汽车利润，然后列不等式求解即可；②B 型号的汽车售价为t 万元/台，然后将两车的总利润相加得出一个二次函数，求二次函数的最值即可． (1)解：设B 型汽车的进货单价为x 万元，根据题意，得： 502x +＝40x， 解得x ＝8，经检验x ＝8是原分式方程的根， 8+2＝10（万元），答：A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元； (2)设B 型号的汽车售价为t 万元/台，则A 型汽车的售价为（t +1）万元/台， ①根据题意，得：（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]≥（t ﹣8）（﹣t +14）， 解得：t ≥414，∴t 的最小值为414，即B 型汽车的最低售价为414万元/台， 答：B 型汽车的最低售价为414万元/台； ②根据题意，得：w ＝（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]+（t ﹣8）（﹣t +14） ＝﹣2t 2+48t ﹣265 ＝﹣2（t ﹣12）2+23，∵﹣2＜0，当t ＝12时，w 有最大值为23．答：A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，二次函数的应用，理清数量关系，明确等量关系是解题关键． 6．(1)2100y x =-+(2)221603000w x x =-+-，当销售单价为40元时获得利润最大 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解一次函数解析式即可；（2）根据题意得210()(3)00w x x +--=，计算求出满足要求的解即可． (1)解：设该函数的表达式为y kx b =+，根据题意，得30403236k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2100k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的关系式为2100y x =-+． (2)解：根据题意，得210()(3)00w x x +--= 221603000x x =-+-224020(0)x =--+∵20a =-<∴当40x =时，w 的值最大∴当销售单价为40元时，获得利润最大． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握一次函数与二次函数的知识． 7．(1)100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩(2)一次批发250件时，获得的最大利润为6250元【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合图象求出解析式；（2）根据件数乘以单件的利润列得函数关系式，根据二次根式的性质解答．(1)解：当0≤x ≤100时，y =100；当100<x ≤400时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，则10010040070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得110110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴111010y x =-+； 当x >400时，y =70； 综上，100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)11106010w x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=215010x x -+ =()21250625010x --+ 当x =250时，w 有最大值，即一次批发250件时，最大利润为6250元．【点睛】此题考查了求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解函数图象求出函数解析式是解题的关键．8．(1)40x +，60x -(2)212404800W x x =-++，215900W x =-+(3)6x =时，W 最大，最大利润为5778元【解析】【分析】（1）根据第二期培植盆景与花卉共100盆，培植的盆景比第一期增加x 盆列式即可； （2）根据利润＝平均利润×销售数量列式计算即可；（3）表示出总利润W ，根据二次函数的性质求出最大值即可．(1)解：由题意得：第二期盆景的数量为()40x +盆，则花卉的数量为()()1004060x x -+=-盆，故答案为：40x +，60x -；(2)解：由题意得：21(40)(1202)2404800W x x x x =+-=-++，()2156015900W x x =-=-+；(3)解：由题意得：22122404800159002255700W W W x x x x x -++--+=++=+=， ∵对称轴为254x =，而x 为正整数， ∴当6x =时，5778W =，当7x =时，5777W =，∵57785777>，∴6x =时，W 最大，最大利润为5778元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，找到合适的数量关系列出算式是解题的关键． 9．(1)10500y x =-+(2)21070010000w x x =-+-(3)销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．【解析】【分析】（1）根据“销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个”可得函数解析式；（2）由（1）及题意可进行求解；（3）由题意可得10500200207x x -+≥⎧⎨-≥⎩，然后根据（2）及二次函数的性质可进行求解． (1)解：由题意得：()250102510500y x x =--=-+；(2)解：由（1）及题意得：()()220105001070010000w x x x x =--+=-+-；(3)解：由题意可得10500200207x x -+≥⎧⎨-≥⎩， 解得：2730x ≤≤，由（2）可知21070010000w x x =-+-，∵100-<，即开口向下，对称轴为直线352b x a=-=， ∴当2730x ≤≤时，w 随x 的增大而增大，∴当x =30时，所获利润最大，最大利润为1090070030100002000w =-⨯+⨯-=；答：销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数中的销售问题是解题的关键．10．(1)S＝﹣2x2+32x(2)12(3)2.8【解析】【分析】（1）根据矩形面积公式即可写出函数关系式；（2）根据（1）所得关系式，将S=96代入即可求解；（3）再开一个宽为a的门，即矩形的另一边长为（32-2x+a）m，根据矩形的面积公式即可求解．(1)根据题意得，S＝（30﹣2x+2）x＝﹣2x2+32x；(2)当S＝96时，即96＝﹣2x2+32x，解得：x1＝12，x2＝4，∵墙长10米，∴30﹣8+2＝25＞10，∴x的值为12；(3)∵S＝（30﹣2x+a+2）x＝﹣2x2+（32+a）x，∵32﹣2x+a≤10，则x≥12a+11，∵面积取得最大值为S＝124，∴﹣2x2+（32+a）x＝124，把x＝12a+11代入，得﹣2（12a+11）2+（32+a）（12a+11）＝124，解得a＝2.8．答：a的值为2.8．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据矩形面积公式得出函数解析式是根本，根据养鸡场的长不超过墙长取舍是关键．。

二次函数详解(附习题、答案)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

:2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

】3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：?三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ~⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.【六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）..注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b 】在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．<ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：@根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；~()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．/5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.，② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.`⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：，十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：…已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。

需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。

2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。

（一般式化为定点式）最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。

(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。

3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。

推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x 的取值范围。

备选思路一：先将不等号看做等号，求出x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x 的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。

这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。

一、求利润的最值1. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。

当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。

宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。

根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。

设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。

(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。

(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890， 当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。

二次函数应用题1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，41-y A x B 两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.C B C A 03（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线B AB DC 相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；BD l C （3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到P A C P 什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.PAC ∆P PAC ∆3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙x(第13题)另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．（参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时，244ac b y a-=最大(小)值)4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其502600y x =-+中两个月的销售情况如下表：月份1月5月销售量 3.9万台 4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下%m 乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）．m ）5.831 5.9166.083 6.1645、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数y x ，且时，；时，．y kx b =+65x =55y =75x =45y =（1）求一次函数的表达式；y kx b =+（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定W W x 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．x 6、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

二次函数的应用题(含答案)1．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）求△ABD的面积；（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．3．如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B ，且S △OAB =8，求点B 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB ′A ′B 的两条性质．7．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出） （1）公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金为 _________ 元（用含x 的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？8．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？9．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？答案得×，解得±；x得，﹣，﹣+解得，y=﹣时，×+1=，故，5．（2012•黑龙江）解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得b=2，c=0，所以解析式为y=﹣x2+2x；（2）∵a=﹣1，b=2，c=0，∴﹣=﹣=1，==1，∴顶点为（1，1），对称轴为直线x=1；（3）设点B的坐标为（a，b），则×2|b|=8，∴b=8或b=﹣8，∵顶点纵坐标为1，8＞1（或﹣x2+2x=8中，x无解），∴b=﹣8，∴﹣x2+2x=﹣8，解得x解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．由表格中的数据，得，解得﹣＜==35解：（1）画图如图：由图可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，∴，解得：，∴函数关系式是y=﹣10x+700．（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：W=（x﹣10）（﹣10x+700），=﹣10x2+800x﹣7000，=﹣10（（x﹣40）2+9000，∴当x=40时，W有最大值9000．（3）对于函数W=﹣10（（x﹣40）2+9000，当x≤35时，W的值随着x值的增大而增大，故销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．。