10标高投影
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标高投影的基本概念
平面上的坡度比例尺具有如下特性：
✓ 1. 平面上的坡度比例尺与等高线互相垂直，其水平投影也互相垂 直。
✓
✓ 2. 坡度比例尺对水平面的倾角，等于该平面对水平面的倾角。 因此， 坡度比例尺的坡度就代表该平面的坡度。
平面的标高投影
三、平面的表达法
1、一组等高线
关平距 键l=1/i
2、一条等高线+坡度线（带箭头和坡度值）
L=（27-29） ÷1/1.5=-3m
L=(27-28) ÷1/1.5=-1.5m
填、挖方的坡 边线的分界点
例3、 求路段两侧边坡与地面的交线
a
a
(a)
(b)
例4、求作场地的边坡
L÷L÷==1(1(/42/452=4-=-42444m2m) )
根据坝顶的 高程为45m 画出。
图4-23a
6m 马道宽3m
土坝示意图
【例2】如图所示，在所给的地形图上，需修建一个广场，广场的高 程为27m，填方边坡为1:2，挖方边坡为1:1.5。求作填、挖方坡面的 坡脚线、开挖线，以及各坡面之间的交线。
顺箭头方向按已知比例1： 9
200连续截取三个平距， 得三个点，
8
过这三个点作高程为10
7
的等高线的平行线，即
为所求。
1：200
【例3】如图所示，已知平面上的一条倾斜直线a3b0，以及平面的坡 度i=1:0.5，图中虚线箭头表示大致坡向。试作出平面上高程为0、1、 2的等高线。
a3
a3
b0 b0
2
0 1 23
1
0
【解】先求高程为0的等高线
A
2
B
1
四、两平面的相对位置
1、两平面平行
道路工程习题第十章 标高投影(1)
• ②以标高为4的等高线的两端分别为圆心，以L=4为半径在两侧分 别作圆弧，再过标高为1的等高线的两端分别作两个圆弧的切线， 得到两侧坡面的等高线。
• ③坡面和地面的等高线的水平距离L=平距*高差=2/3 *4= 8/3单位， 根据水平距离即可租出标高为零的等高线。
•10-3 求直线a5b4与地形面 的交点。
分析：
• ①已知干道两侧边坡的坡度为1，则平距为1个单位。依次画出 边坡等高线；
• ②道路的两条路边线即为同坡曲面的导线，求出弯道的两边缘 线的四等分点，即在导线上取整数标高点，作为锥顶的位置， 分别作正圆锥；
• ③在正圆锥所处的位置上，用半径R=l, 2l, 3l, 4l 作各个正圆锥 的等高线；
高线相交得出两平面等高线的交点。 • ⑤连接标高为61、62和63的等高线的交点，得出两平面的交线。
•10-2 求斜引道的坡面和 坡面的交线以及坡面和地 面的交线。
水平距离L= 平距*高差=2/3 *4= 8/3单位
分析：
• ①标高为0和标高为4的两条等高线之间的水平距离L等于他们的高 度差除以平面的坡度，即高度差乘以平距，即L=4*1=4。
•10-4 求平面和地形面的 交线。
26 25 23 21 19
17
分析：
• ①已知平面的坡度为1，则平距为1，依次画出平面的等高线； • ②求出①所画出等高线与地形面的等高线的交点。 • ③依次用平滑曲线-5 一倾斜弯道与干道 相连，设地面标高为零， 求坡面与地面、坡面与坡 面的交线。
分析：
•①本题是求按a5b4方向垂直平面（垂直水平面）切下去与地形面的 交线 。 •②采用辅助垂直水平面法，求出辅助面与已知平面的交线，就是系 列等高线，交点就是辅助面与已知平面交线上的点 。 •③延长a5b4并过辅助垂直水平面与等高线的作a5b4的垂线，与辅助 面上的等高线相交，形成交点。 •④ 依次平滑连接交点，则形成交线。 •⑤ 画出直线，与交线相交求出交点，k1与k2。
• ③坡面和地面的等高线的水平距离L=平距*高差=2/3 *4= 8/3单位， 根据水平距离即可租出标高为零的等高线。
•10-3 求直线a5b4与地形面 的交点。
分析：
• ①已知干道两侧边坡的坡度为1，则平距为1个单位。依次画出 边坡等高线；
• ②道路的两条路边线即为同坡曲面的导线，求出弯道的两边缘 线的四等分点，即在导线上取整数标高点，作为锥顶的位置， 分别作正圆锥；
• ③在正圆锥所处的位置上，用半径R=l, 2l, 3l, 4l 作各个正圆锥 的等高线；
高线相交得出两平面等高线的交点。 • ⑤连接标高为61、62和63的等高线的交点，得出两平面的交线。
•10-2 求斜引道的坡面和 坡面的交线以及坡面和地 面的交线。
水平距离L= 平距*高差=2/3 *4= 8/3单位
分析：
• ①标高为0和标高为4的两条等高线之间的水平距离L等于他们的高 度差除以平面的坡度，即高度差乘以平距，即L=4*1=4。
•10-4 求平面和地形面的 交线。
26 25 23 21 19
17
分析：
• ①已知平面的坡度为1，则平距为1，依次画出平面的等高线； • ②求出①所画出等高线与地形面的等高线的交点。 • ③依次用平滑曲线-5 一倾斜弯道与干道 相连，设地面标高为零， 求坡面与地面、坡面与坡 面的交线。
分析：
•①本题是求按a5b4方向垂直平面（垂直水平面）切下去与地形面的 交线 。 •②采用辅助垂直水平面法，求出辅助面与已知平面的交线，就是系 列等高线，交点就是辅助面与已知平面交线上的点 。 •③延长a5b4并过辅助垂直水平面与等高线的作a5b4的垂线，与辅助 面上的等高线相交，形成交点。 •④ 依次平滑连接交点，则形成交线。 •⑤ 画出直线，与交线相交求出交点，k1与k2。
第十三章 标高投影
例16 如图所示，在地面上修筑一道路，已知路面位置及道路的标 准断面，用断面法求开挖线及坡脚线。
8m 60 64 62 60 58
0
5
10
标准断面 8m 60
B-B
C-C
l=1/i=3
0 1 2 3 4 5
Ⅵ
Ⅴ Ⅳ α
α
α
四、平面的标高投影
1 、平面的等高线和坡度比例尺
等高线
最大坡度线
坡度比例尺
α
2、平面的常用表示法 （1）几何元素表示平面 ① 不在同一直线上的三个点； ② 一条直线和直线外一点； ③ 相交两直线； ④ 平行两直线； ⑤ 任意的平面图形。 （2）一组等高线 （3）一条等高线和平面的坡度表示平面 （4）一条非等高线和平面的坡度表示平面 （5）坡度比例尺表示平面
48
49
50 51
+54
52
53 56 58
55
54
Hale Waihona Puke 0 2 4 6 8 1057
59
例13 如图所示，在坡面上修建一斜道，斜道填方坡度为1：1.5， 挖方坡度为1：1，求开挖线及坡脚线。
八、用断面法求平面、曲面与地形面的交线
例14 已知A、B间有一管道，试用虚线和实线分别表示埋入地下和露出地面的各段管道。 52
平面的等高线(5)
0 1 2 3 4 5
4、两平面的相对位置
（1）两平面平行
（2）两平面相交
P 2 2 1 1 2 1
Q
2
1
求两平面的交线.
i=1/2 l=1/i=2
0 1 2 3 4 5
例1 在高程为零的地面上挖一基坑，基坑底高程为－2m， 基坑底的大小、形状和各坡面的坡度如图所示，求开挖线和 坡面交线。
标高投影
a3 b2
0 1
1:4
a3
2
3m
例1：已知直线AB的标高投影，求该直线的坡度、平
距及线上整数高程点 。
b10.5
b10.5 g9 h10
b10.5
a4.5
0 2 4
a4.5
6m
a4.5
c5
d6
e7
f8
解：
（1）求坡度和平距 根据绘图比例尺量得A、B两点水平距离LAB 为12m，则 直线的坡度为
H AB 10.5 4.5 1 i L AB 12 2
第十章、标高投影
工程建筑物是建在地面上或地面下的，与地面产 生交线。而地形面往往是不规则的复杂曲面，很难用 正投影的方法表达清楚，标高投影则能够很好地解决 这个问题。标高投影法是在水平投影上标注高度数字 表达空间形体的图示方法，由此得到的单面正投影图 称为标高投影图。
标高投影的单位以米计， 是单面正投影，标高 是以某海平面为基准面的，为绝对标高，有些时候采 用相对标高,已选定的水平面为基准面。
（2）求开挖线。可先求开挖线上一系列点。
21 20 19 18
18.00
18 19 20 21 22
18
19
20
21 22 22
21
20
19 18
18
19
20
21 22 22
21
20
19 18
0 2 4 6 8m
0 2 4 6 8m
例2：已知地形面的标高投影，要在地面上修建一高程
21m的平台，挖方坡度为1：1.5，填方坡度为1：2，求 平台各坡面与地面的交线和坡面交线。
例1：在高程为1m的地面上修建一圆形平台，平台顶
标高投影
第十章标高投影10．1标高投影的基本知识道路、桥梁等建筑物都是修建在地面上的，总是要与地面发生联系。
因此，常常需要画出表达地面形状的图形----地形图。
而一般的地面是不规则的曲面，且水平尺寸比高度尺寸大得多，用多面正投影法或轴测投影法都表示不清楚。
为了满足生产的需要，人们创造出了与地形面相适应的表达方法，即标高投影法。
当我们用两个投影表达物体时，如果水平投影能反映出物体的特征，则正面投影只起到提供物体上各特征点、线、面的高度的作用。
若能在水平投影中标明它的特征点、线、面的高度，也可以完全确定物体的空间位置。
如上图，画出四棱台的平面图，并注上其顶面和底面的高度数值（0.00和2.00）及绘图比例，示坡线，就完全确定了四棱台的形状和大小。
这种用水平投影加注高度数值表示空间物体的方法，称为标高投影法。
10.2点和直线的标高投影一、点的标高投影：设水平面H为基准面，它的高度民主数值为零。
基准面以上为正，基准面以下为负。
A、B、C三点分别在H面上方3m，5m，下方2m，作A、B、C三点在H面上的正投影，在其投影图上字母a,b,c的右下角分别标出它们距H面的高度民主数值，得a3,b5,c-2，即为A、B、C三点的标高投影。
板书演示数值3，5和-2称为A、B、C的高程或标高，单位为米，在图中不需注明。
在实际中，选择基准时，尽量不采用负高程。
在工程图中一般采用与测量相一致的基准面，即青岛黄海平均海水面，作为我国同意的高程起算面。
二、直线的标高投影：在标高投影中，直线的位置也是由直线上的两个点或直线上一点和直线的方向确定。
因此，直线的表示法有以下两种：1、直线的水平投影和线上两点的高程。
板书图演示2、直线的方向加注坡度和线上一点的高程，如坡度1：2表示直线的方向，箭头指向下坡。
三、直线的坡度和平距：1、直线的坡度i：直线上两点的水平距离为1米时的高度差数值，即：坡度i=高度差H/水平距离L=tgα（与水平面夹角）由上式可看出，坡度是直线对水平面倾角的正切。
工程制图B ! 第十三章--标高投影
第十三章标高投影标高投影的基本概念（了解）基本几何元素的标高投影表示方法（掌握）曲面的标高投影（掌握）地形图的识别及地形断面图的绘制（掌握）线以及控制点高程数值的单面正投影。
1030204010203040等高线曲面标高投影图13-1 标高投影的基本概念在点的水平投影旁标注出该点距离水平面的高度，即为点的标高投影。
注意：在标高投影中必须注明比例或绘制出比例尺。
一、点的标高投影123ACBa 3b 0c -2a 3b 0c -2点的标高投影13-2 基本几何元素的标高投影直线的表示方法（1）用直线的水平投影及直线上两端点的标高投影表示；（2）用直线上一个端点的标高投影及直线的坡度和方向表示。
直线的标高投影123a 3b 6c 2d 2e 5二、直线的标高投影直线的坡度和平距坡度：直线上任意两点的高度差与该两点的水平距离之比，一般用i 表示。
LHi = =水平距离高度差tan α=平距：高度差H 为一个单位时的水平距离。
一般用l 表示。
l=i1坡度与平距互为倒数，坡度越大，平距越小；反之，坡度变缓，平距则会变大。
基本几何元素的标高投影——直线◆相关术语（1）平面内的等高线即平面内的水平线，其特性为：等高线是直线高度差相等，则平距相等等高线相互平行最大斜度线12340123455等高线坡度比例尺平面的等高线和坡度比例尺基本几何元素的标高投影——平面基本几何元素的标高投影——平面◆相关术语（2）平面内的坡度线即平面内对水平面的最大斜度线，其特性为：平面内的坡度线与等高线相互垂直平面内坡度线的坡度就是该平面的坡度平面内坡度线的平距就是平面内等高线的平距（3）坡度比例尺将平面内坡度线的水平投影画成一粗一细的双线并附以整数标高，即为坡度比例尺。
——平面 平面表示方法（1）几何元素表示平面：5种（2）迹线表示平面（3）坡度比例尺表示平面（4）一条等高线和平面坡度表示平面（5）一条非等高线和一条坡向线表示平面求一条非等高线和一条坡向线表示的平面的等高线基本几何元素的标高投影——平面两平面的相对位置——相交交线即是两平面上同高程等高线交点的连线。
大学画法几何10标高投影
地形图
3、直线上的整数标高点
9
B
8
Ⅷ
7
Ⅶ
6
Ⅵ
5
Ⅴ
4
Ⅳ A
(V)
3
(H)
a b 3.3 4 5 6 7 8
8.6
0 1 2 3 4 5m
同时反映AB实长与倾角！ 如A、B的标高均为整数呢？
§10-3 平面的标高投影
一、 平面的坡度和平距
1. 平面的等高线和最大坡 度线
(1)平面内的水平线距H面的 高度为一定值，称为等高 线。且同一平面内的等高 线互相平行。
山脊
山谷
10 5
基本地形的等高线特征图
鞍地
山峰
30 25 20
15
10 5
§10-5 标高投影的应用举例
例：已知直管线两端点A和B的标高分别为21.4和23.5， 求管线AB与地面的交点。
25
A K1
K3 K2
K4
B 24
23
22
21
20
1
a 21.4 K1
K2
23 22 21
K3
24 K4
23
4.5
作业
作业
• 10-6、7、8
§10-4 曲面和地面的表示法
一、曲面的表示法(一系列等高线)
s'
5 4 3 2 1 0
s 543210
二、地面的表示法(一系列等高线)
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
A-A
A
A
B
8
6 4
2
0
B-B
86
4
2
0
3、直线上的整数标高点
9
B
8
Ⅷ
7
Ⅶ
6
Ⅵ
5
Ⅴ
4
Ⅳ A
(V)
3
(H)
a b 3.3 4 5 6 7 8
8.6
0 1 2 3 4 5m
同时反映AB实长与倾角！ 如A、B的标高均为整数呢？
§10-3 平面的标高投影
一、 平面的坡度和平距
1. 平面的等高线和最大坡 度线
(1)平面内的水平线距H面的 高度为一定值，称为等高 线。且同一平面内的等高 线互相平行。
山脊
山谷
10 5
基本地形的等高线特征图
鞍地
山峰
30 25 20
15
10 5
§10-5 标高投影的应用举例
例：已知直管线两端点A和B的标高分别为21.4和23.5， 求管线AB与地面的交点。
25
A K1
K3 K2
K4
B 24
23
22
21
20
1
a 21.4 K1
K2
23 22 21
K3
24 K4
23
4.5
作业
作业
• 10-6、7、8
§10-4 曲面和地面的表示法
一、曲面的表示法(一系列等高线)
s'
5 4 3 2 1 0
s 543210
二、地面的表示法(一系列等高线)
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
A-A
A
A
B
8
6 4
2
0
B-B
86
4
2
0
土木工程制图与识图-第10章 标高投影-2
8 7 6
1 1 l 2m i 1/ 2
以点d5、c6、b7、a8为圆心， 分别以l、2l、3l、4l为半径作 同心圆，即为各圆锥面的等 高线。
5
（b）作图
图2 求同坡曲面上等高线
本章总结
概述
等高线；标高投影
点、直线的标高投影
直线的坡度和平距；直线的标高投影表示法；直线的实长、倾角和刻度。
2 曲面立体
曲面立体的标高投影由其表面（曲面）的等高线表示。这组等高线，相当于一组 水平面与曲面的交线。
（1）圆锥面
（a）正圆锥
（b）斜圆锥
图1 圆锥的标高投影
立体的标高投影
2 曲面立体
（2）地形线
对于形状不规则的曲面，如山地表面，以一系列整数标高 的水平面与其相截，把所得的等高截交线投射到水平投影面 上，得一系列不规则形状的等高线，注上相应的标高值，得 到一个上方是一个山地的标高投影图，称为地形图。上方是 断面图，可以明显的表示断面处地面的起伏形状。
图2 同一组高等 线表示平面
图3 坡度比例线
图4 坡度线
平面的标高投影
2 平面的标高投影表示法
10
3
（a）
（b）
（c）
图5 用倾斜线 和坡度表示
图6 水平面标 高的标注形式
平面的标高投影
2 平面的标高投影表示法
【例1】 如图7所示，已知平面上A、B、C三点的标高投影a0、b4、c1.5，求该平面 的等高线、坡度比例尺、平距l倾角α。 解： A （1）作等高线： 先任作两点连线如AB B （a0b4）和BC(b4c1.5)，并 求出它们的刻度2、3等。 然后把刻度相同的点相连， 可得等高线2、3等；再由 a0b4上刻度a0、1等点作它 们的平行线，又得等高线 图7 水平面的高等线、坡度比例尺及倾角 0、1等。
第10章标高投影
r =(HB-HA)×l=3.5 m
点击1次
17
§10.2 平面及平面立体的标高投影
以b10为圆心，以3.5m 为半径画圆，过a3 作该圆的切线，共
有两条，取其中符合箭头所指方向的一条，此即为平面上高程为
3m 的等高线。过a3b10上具有整数高程的点作此线的平行线，可 得相应高程的等高线。过b10 作等高线的垂线，并加上箭头，此
38
39
10.3 曲面、曲面立体及地形面的标高投影
地形断面图：用一
铅垂面剖切地形面， 画出剖切平面与地形 面的交线及材料图例， 称地形断面图。
§11-4 地形面的标高投影
例 已知地形图和铅垂剖切面A-A的位置，试作A-A 断面图。
41
§11-4 地形面的标高投影
解：A-A 剖切面与地面的交线为一不规则曲线，用坐标定点的方法 求出这条曲线：将AA直线与等高线的交点a、b、c 等按位置截量在水
边坡部分： 求挖方坡边线（开挖线） 将坡面等高线与地形面等高线高程相等 的点依次连成曲线，可得挖方坡面与地 形面的交线，即挖方部分的开挖线。
求填方坡边线（坡脚线） 将坡面等高线与地形面等高线高程相等 的点依次连成曲线，可得填方坡面与地 形面的交线，即填方部分的坡脚线。
10.4 标高投影的应用举例
例10.9 如图所示，在山坡上修一个水平场地，场地高程为 40m，其中填方边坡坡度为2:3，挖方边坡坡度为1:1，试完 成该场地的标高投影图。
10.4 标高投影的应用举例
解： ① 地面高于40m的部分需 挖方，低于40m的部分需 填方。高程为40m的等高 线是填、挖方分界线。
平面，辅助平面与两个相交平面的截交线是两条高程相同的等高 线，这两条等高线的交点就是两平面的共有点。
点击1次
17
§10.2 平面及平面立体的标高投影
以b10为圆心，以3.5m 为半径画圆，过a3 作该圆的切线，共
有两条，取其中符合箭头所指方向的一条，此即为平面上高程为
3m 的等高线。过a3b10上具有整数高程的点作此线的平行线，可 得相应高程的等高线。过b10 作等高线的垂线，并加上箭头，此
38
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10.3 曲面、曲面立体及地形面的标高投影
地形断面图：用一
铅垂面剖切地形面， 画出剖切平面与地形 面的交线及材料图例， 称地形断面图。
§11-4 地形面的标高投影
例 已知地形图和铅垂剖切面A-A的位置，试作A-A 断面图。
41
§11-4 地形面的标高投影
解：A-A 剖切面与地面的交线为一不规则曲线，用坐标定点的方法 求出这条曲线：将AA直线与等高线的交点a、b、c 等按位置截量在水
边坡部分： 求挖方坡边线（开挖线） 将坡面等高线与地形面等高线高程相等 的点依次连成曲线，可得挖方坡面与地 形面的交线，即挖方部分的开挖线。
求填方坡边线（坡脚线） 将坡面等高线与地形面等高线高程相等 的点依次连成曲线，可得填方坡面与地 形面的交线，即填方部分的坡脚线。
10.4 标高投影的应用举例
例10.9 如图所示，在山坡上修一个水平场地，场地高程为 40m，其中填方边坡坡度为2:3，挖方边坡坡度为1:1，试完 成该场地的标高投影图。
10.4 标高投影的应用举例
解： ① 地面高于40m的部分需 挖方，低于40m的部分需 填方。高程为40m的等高 线是填、挖方分界线。
平面，辅助平面与两个相交平面的截交线是两条高程相同的等高 线，这两条等高线的交点就是两平面的共有点。
标高投影
标高投影的基准面为零水平面（大地水准面）。 高度数值称为高程（标高），单位为米（M） 标高投影图中必须绘出绘图比例尺或注明绘图 比例。 标高投影应包括 水平投影、高程数值、绘图比例 三要素
点、直线、平面的标高投影
点的标高投影
直线的标高投影 平面的标高投影
一、点的标高投影
5秒后自动演播
6
0
1
A
平距=1/坡度
h
aa 4
2 3 4m
直线的坡度与平距之间的关系
直线的坡度与平距互为倒数， 即： 坡度愈大，平距愈小； 坡度愈小，平距愈大。
章目录
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3、直线的标高内插
在某一倾斜直线的标高投影图上，求出高程为整数的点的 投影位置，成为标高内插。
在绘制、应用矿图时，经常进行标高内插。
标高内插常用的方法有： 解析法、 剖面法、平行线法。
（5）作辅助V投影（求倾斜线及倾角）
15秒后自动演播
23
例：已知A、B 、C三点的标高投影，求平面ABC的平 距和倾角。
平行于a1b6， 如何确 标高为1的 5 定间距？ 基线。 4
3 2 1 2 3
分
6
析
6 5 4
目的1
目的2
相邻等高线之间 的距离为平距，最大坡 度线的倾角为平面倾角。
b6
5 4 3
20
平面中的基本元素
平面的等高线为:一组 相互平行的水平线，其 标高投影仍相互平行。 平面的最大坡度线与等 高线相互垂直，其标高 投影亦相互垂直。
平面的最大坡度线
A
1
2
3
E
B
1
2
等高线 标 高 投 影 3
平面的坡度与平距 ＝平面内最大坡度 线的坡度与平距
点、直线、平面的标高投影
点的标高投影
直线的标高投影 平面的标高投影
一、点的标高投影
5秒后自动演播
6
0
1
A
平距=1/坡度
h
aa 4
2 3 4m
直线的坡度与平距之间的关系
直线的坡度与平距互为倒数， 即： 坡度愈大，平距愈小； 坡度愈小，平距愈大。
章目录
返 回
3、直线的标高内插
在某一倾斜直线的标高投影图上，求出高程为整数的点的 投影位置，成为标高内插。
在绘制、应用矿图时，经常进行标高内插。
标高内插常用的方法有： 解析法、 剖面法、平行线法。
（5）作辅助V投影（求倾斜线及倾角）
15秒后自动演播
23
例：已知A、B 、C三点的标高投影，求平面ABC的平 距和倾角。
平行于a1b6， 如何确 标高为1的 5 定间距？ 基线。 4
3 2 1 2 3
分
6
析
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目的1
目的2
相邻等高线之间 的距离为平距，最大坡 度线的倾角为平面倾角。
b6
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平面中的基本元素
平面的等高线为:一组 相互平行的水平线，其 标高投影仍相互平行。 平面的最大坡度线与等 高线相互垂直，其标高 投影亦相互垂直。
平面的最大坡度线
A
1
2
3
E
B
1
2
等高线 标 高 投 影 3
平面的坡度与平距 ＝平面内最大坡度 线的坡度与平距
《工程制图与识图》第十一章 标高投影
锥顶的位置。 (2) 根据i=1:1 算出平距单位。 (3) 以锥顶为圆心,用半径R=l、2、3、4作
各个正圆锥的等高线。 (4) 作出各正圆锥上同高程的等高线的曲切
线 (包络线)，即是同坡曲面上的等高线。
§11.3 曲面的标高投影
11.3.3 地形面
地形面上的等高线有下列特性： 1.等高线一般是封闭的曲线。
11.1.2 直线的标高投影 11.1.2.2 直线的实长及直线的整数高程点
（2）在直线标高投影上标定整数高程点。
A
α
B
a 8.8
b 5.3
图11-5 直线上的标高整数点
11.1.2 直线的标高投影 11.1.2.3 直线的的坡度和平距
高度为1单位
高度为1单位
的平距l
坡度i =tanα=H/L
图11-6 直线的坡度和平距
平面上的水平线称为平面上的等高线。 平面上的等高线的特性:
(1) 等高线是直线； (2) 等高线互相平行； (3) 等高线的高差相等时，其水平间距 也相等。
11.2.1.2 坡度比例尺 • 把平面上最大坡度线的投影标注以整数高程，并
画成一粗一细的双线称为平面的坡度比例尺。
最大坡度线 等高线
坡度比例尺
（标高2和6的总平距）
图11-9 一条非等高线和平面坡度表示平面 a）已知条件； b）等高线作法； c）立体图
§11.2 平面的标高投影
11.2.3 两平面相对位置
11.2.3.1.两平面平行 若两平面平行，则它们的坡度比例尺平行，平距相等，
而且标高数字的增减方向一致。
图11-10 两平面平行
11.2.3 两平面相对位置
(2)用标注方向和坡度的直线及线上一点的标高投影来表示。
各个正圆锥的等高线。 (4) 作出各正圆锥上同高程的等高线的曲切
线 (包络线)，即是同坡曲面上的等高线。
§11.3 曲面的标高投影
11.3.3 地形面
地形面上的等高线有下列特性： 1.等高线一般是封闭的曲线。
11.1.2 直线的标高投影 11.1.2.2 直线的实长及直线的整数高程点
（2）在直线标高投影上标定整数高程点。
A
α
B
a 8.8
b 5.3
图11-5 直线上的标高整数点
11.1.2 直线的标高投影 11.1.2.3 直线的的坡度和平距
高度为1单位
高度为1单位
的平距l
坡度i =tanα=H/L
图11-6 直线的坡度和平距
平面上的水平线称为平面上的等高线。 平面上的等高线的特性:
(1) 等高线是直线； (2) 等高线互相平行； (3) 等高线的高差相等时，其水平间距 也相等。
11.2.1.2 坡度比例尺 • 把平面上最大坡度线的投影标注以整数高程，并
画成一粗一细的双线称为平面的坡度比例尺。
最大坡度线 等高线
坡度比例尺
（标高2和6的总平距）
图11-9 一条非等高线和平面坡度表示平面 a）已知条件； b）等高线作法； c）立体图
§11.2 平面的标高投影
11.2.3 两平面相对位置
11.2.3.1.两平面平行 若两平面平行，则它们的坡度比例尺平行，平距相等，
而且标高数字的增减方向一致。
图11-10 两平面平行
11.2.3 两平面相对位置
(2)用标注方向和坡度的直线及线上一点的标高投影来表示。
第10章 标高投影
第十章 标高投影
1:1.5
1
1:1.5
30 1:1.5
3
2 a
第十章 标高投影
例 在下图所示的地面上修建一条直坡道，已知路 面及路面上等高线的位置，填、挖方边坡均取为1：2， 求各坡面与地面的交线。(1:200)
第十章 标高投影
i=1：2
第四节 地形剖面图
第四节 地形剖面图
一 定义
用一铅垂面剖切地形面，单独画出剖切平面与 地形表面交线的实形图，称为地形剖面图。
图中为一高差5米等高距地形图的形成过程及山 丘和洼地的地形图。
第十章 标高投影
第三节 土石方工程的交线
第三节 土石方工程的交线
一 概念和方法 1.术语
坡面交线：相邻两坡面的交线。 坡脚线：填方工程中各坡面和地面的交线。 开挖线 ：挖方工程中各坡面和地面的交线。
2.理论依据与方法 方法都是三面共点原理，用水平面作辅助面，
度线和平面上的水平线垂直。最大斜度线对投影面的 倾角也是平面的对H面的倾角，因此坡度线代表了该 平面的坡度。
第十章 标高投影
３.标高投影平面的表示法 ① 一条等高线和一条坡度线表示。 ② 一组等高线表示（两条或多条）。 ③ 平面内的任意一条直线和坡度线表示。
b7
第十章 标高投影
４.作平面上的等高线 例 求作图示平面上高程为0m的等高线。
图中 i ＝tanα= H/L=3/6=1/2 坡度为1:2
第十章 标高投影
直线上两点的高差位为1时的水平距离数 值，称为直线的平距，记作l。
平距： l＝1/tanα= L（水平距离） / H（高差）
图中直线AB的坡度为1:2，平距为2，即当 直线AB上两点的高差为1m时，其水平距离位 2m。
土木工程制图与识图标高投影
标高投影
把这些等高线的水平投影标上高度的数字，能够表示出地 面的起伏变化。这种用水平投影与高度数字结合起来表达空 间形体的方法称为标高投影法，所得的单面正投影图称为标 高投影。
概述
标高投影是正投影，所以具有正投影的性质。
（a）立体图
（b）标高投影图1 标高来自影标高的单位是“m”。标高投影中还应画出绘图比例尺或 给出绘图比例。
5
3 52
2
3
5 3
52
2
3
（a）立体图
（b）标高投影
图5 标高投影
直线的标高投影
2）当直线为水平线时，其上各点标高相等，也可由其水平投影加注一个标 高来表示，如图6所示。因而水平线本身及其标高投影，均称为等高线。
图6 等高线
直线的标高投影
3）一般位置直线也可由其水平投影加注直线上一点的标高投影以 及直线的下降方向和坡度i来表示。
5
图7 直线标高投影的表示
直线的标高投影
3 直线的实长、倾角和刻度
（1）直线的实长与倾角
图8（a）中， 已知a5b2，作A0a5⊥a5b2， 取A0a5=5-2=3m， 则A0b2=AB，∠a5b2A0=∠α。
0
3m
5
2
(a) 图8 直线标高投影的表示
直线的标高投影
3 直线的实长、倾角和刻度
（2）刻度
0
5
2
图8（b）
直线的标高投影
【例1】如图8（b）所示，已知直线AB的标高投影a5b2和直线上一点C的水平投影c， 求C点的标高。
解：方法1：
在求刻度的图中，由c作a5b2的垂线， 与A0b2交于C0点，就可以由长度cC0定 出C点的标高为3.5m。
0
把这些等高线的水平投影标上高度的数字，能够表示出地 面的起伏变化。这种用水平投影与高度数字结合起来表达空 间形体的方法称为标高投影法，所得的单面正投影图称为标 高投影。
概述
标高投影是正投影，所以具有正投影的性质。
（a）立体图
（b）标高投影图1 标高来自影标高的单位是“m”。标高投影中还应画出绘图比例尺或 给出绘图比例。
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（a）立体图
（b）标高投影
图5 标高投影
直线的标高投影
2）当直线为水平线时，其上各点标高相等，也可由其水平投影加注一个标 高来表示，如图6所示。因而水平线本身及其标高投影，均称为等高线。
图6 等高线
直线的标高投影
3）一般位置直线也可由其水平投影加注直线上一点的标高投影以 及直线的下降方向和坡度i来表示。
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图7 直线标高投影的表示
直线的标高投影
3 直线的实长、倾角和刻度
（1）直线的实长与倾角
图8（a）中， 已知a5b2，作A0a5⊥a5b2， 取A0a5=5-2=3m， 则A0b2=AB，∠a5b2A0=∠α。
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(a) 图8 直线标高投影的表示
直线的标高投影
3 直线的实长、倾角和刻度
（2）刻度
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图8（b）
直线的标高投影
【例1】如图8（b）所示，已知直线AB的标高投影a5b2和直线上一点C的水平投影c， 求C点的标高。
解：方法1：
在求刻度的图中，由c作a5b2的垂线， 与A0b2交于C0点，就可以由长度cC0定 出C点的标高为3.5m。
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10.标高投影
坡度1/2， 平距为2。
坡度3/2， 平距为2/3。
正 圆 锥 面 的 标 高 投 影
倒 圆 锥 面 的标 高 投 影
由上可知，正圆锥面上的等高线都是同 心圆，高差相等时，其水平距离也相等。 不论正立或倒立，圆锥面上素线的坡度， 即为圆锥的坡度。
【例10-3】在高程为4米的地面上，修筑一高程 为8m的平台，台顶形状及边坡的坡度如图，求 其坡脚线和坡面交线，并画出示坡线。 坡度1∶1坡 面的平距为 1米 坡度1∶0.8 圆锥面的平 距为0.8米
地形面的标高投影 标高投影的应用举例
一、平面的表示法
二、两平面相交
一、平面立体的表示法 二、曲面立体的表示法
一、地形面的表示法 二、平面与地形面相交
在标高投影中，常用平面上的最大坡 度线来表示平面。 坡度线与基准 面的夹角即为 平面与基准面 的夹角。
水 平 迹 线
平面上对H 面的最大坡 度线，即为 平面的坡度。 α
２、直线的坡度和平距
（2）平距——当直线上两点的高度差为一 个单位长度时的水平距离，用l 表示。 平距和坡度互为倒数，坡度越大，平距越小。
1单位
l i
H
l=
L H
1 H i= = L l
i=1:l =1:n 坡度=1:平距
§10-1 §10-2
平面的标高投影 立体的标高投影
§10-3 §10-4
平面上的 等高线
坡度比 例尺
坡度线 的投影
平面的表示法
1、用平面上的一组等高线表示 2、用平面上的一条等高线和一条坡度线表示 3、用平面的坡度比例尺表示
【例10-1】已知平面上一条高程为10的等高 线和平面的坡度i =1:2，求作平面上高程为9、 8、7的等高线。
10标高投影差图
=15
直 线 的 实 长 及 整 数 标 高 点
在标高投影中求直线的实长，仍然采用正投 影中的直角三角形法。以直线的标高投影为一条 直角边，另一条直角边为直线两端点的高差，则 斜边为实长，高差所对内角为直线对基准面的倾 角。 在实际工作中，有时遇到直线两端点的标高 并非整数，需要在直线的投影上标出各整数标高 点的位置。解决这类问题，可利用定比分割原理 作图。
平
面
的
表
示
方
法
平面有几何元素法、最大坡度线法和迹线 法等表示方法，这些方法在标高投影中仍然适 用，只是转换为用标高投影来表达。如由三点 表示的平面，在标高投影中则为由三点的标高 投影来表示。在标高投影中，平面常用如下方 法表示。 等高线表示法 坡度比例尺表示法 平面上的一条等高线和平面的坡度表示 平面上的一条非等高线和坡度与倾向表示
例题2 已知直线CD的标高投影c1.3d4.8，求CD上的整数标高点。
步骤：
1.平行于c1.3d4.8做五条等距 （间距为1m）的平行线 2.由点c1.3d4.8作直线垂直于cd 3.在其垂线上分别按其标高 数字1.3和4.8定出C、D两点， 连线CD即为实长。 4.CD与各平行线的交点即为 直线CD的整数标高点，由这 些点做cd的垂线就可在cd上 定出整数标高点的投影2.3.4 5. 延长DC线与dc延长线的夹 角，就是直线CD对H面的倾角。
平面上的一条非等高线和坡度与倾向表示
知道平面过一条直线可以作无数个平面， 但如果平面的坡度给定后，又指出了平面向某 一侧倾斜，并要包含直线，则此平面的位置就 虚线只表明该平面向直线 可以确定。 的某一侧倾斜，井不代表平面
基准面 标高
第十章 标高投影
同坡（同斜）曲面
例：在高程为0m的地面上修建一段弯道，路面自0m逐渐上升 到3m，两侧坡面及端面坡度均为1:0.5，求坡脚线及坡面交线。 解： 1）求坡脚线。 2）求坡面线。 3）画出各坡面 上的示坡线。
标高投影的应用
在实际应用中常利用标高投影求解土石方工程的坡面交线和坡脚线（开挖 线），或对挖（填）土方量的计算。 例：在河道上筑一土坝，坝顶的位置、高程及上、下游坡面的坡度如图所 示，求坝顶、上下游坡面不地面的交线。
解：
1）求坡脚线：平面坡面L=l H=1 （6-2）=4m，曲平面坡面R=r+L=r+ l H=r+0.6（6-2）= r+2.4m。 2）求坡面交线：相邻面上相同高程等高线的交点就是所求交线上的点。
用光滑曲线分别连接各点，即为所求的坡面交线。 3）画出各坡面的示坡线。
地形图
以一系列整数高程的水平面与山地相截，将所得的截交线投影到水平面上， 即得一系列不规则形状的地形等高线，注上相应的高程，就是山地标高投影 图。地形图中逢0、5的地形等高线用粗实线画出，称为计曲线。等高线上的 高程数字的字头按规定指向上坡方向，相邻等高线之间的高差称为等高距。
L1=l×5 =1/i×5 =1/(1/5) ×5 +5 =5×5=25 L2=1/(2/3) ×5 0 i=2/3
=3/2×5=7. 5 L3 =1×5=5
i=1/5 i=1 i=1 i=2/3 0
0
立体的标高投影
一、曲面体 在标高投影中，通常画出立体表面（平面或曲面）的等高线，以 及相邻表面的交线和与地面的交线的方法表示该立体。
点不直线的标高投影
例题 求AB直线的坡度和平距，并求C点的标高。 a20 c c 15
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2.10 标高投影2.10.1 点和直线2.10.2 平面2.10.3 曲线、曲面和地面2.10.4 应用示例《技术制图投影法》GB/T 14692—1993规定：标高投影中应标注比例和高程。
比例可采用比例尺(附有其长度单位)的形式，如图2.225中所示；也可采用标注比例的形式(如1∶1000等)。
应设置某一水平面作为基准面。
高程则是如图2.225中所示的用数字表示的等高线和广场及其通道与水平基准面之间的距离110、115、120、125、127等。
常用的高程单位为米。
水平基准面的高程为零，基准面以上的高程为正，基准面以下的高程为负。
图2.225 广场及其水平通道的标高投影2.10.1 点和直线如图2.226a 所示，设空间有三个点A 、B 、C ，作出它们在高程为零的水平基准面H 上的正投影a 、b 、c ，并在它们的投影符号字母的右下角加注各点距离水平基准面H 的高程数字4、0、-2，这些标注的高程数字称为点A 、B 、C 的标高，于是就得到了这三个点的标高投影。
这三个点的标高投影，也称为它们的标高投影图，如图2.226b 所示。
1.点的标高投影图2.226点的标高投影(a)立体图(b)标高投影2.直线的标高投影的一般表示法直线的标高投影一般由它的水平投影并加注两个端点的标高投影来表示。
如图2.227a所示，空间有三条直线：一般位置直线AB、铅垂线CD、水平线EF，作出它们在水平基准面H上的正投影ab、cd、ef，并分别加注两个端点的标高，就得到它们的标高投影a6b3、c7d2、e5f5。
(a)立体图(b)标高投影图2.227 直线的标高投影的一般表示法3.直线的刻度、坡度和平距(1)在实际工作中，直线两端点的标高常常不是整数，如有需要，可以在直线的标高投影上定出各整数标高点，不必注出各整数标高点的投影符号字母，只要标注它们的整数标高，这就是直线的标高投影的刻度。
图2.228 直线的坡度与平距(a)立体图(b)标高投影(2)直线上任意两点的高差H 和它们的水平距离(这两点间的直线的水平投影的长度)L 之比，称为直线的坡度i 。
直线上任意两点的高差为一个单位时的水平距离，称为该直线的平距l 。
［例题2.69］如图2.229a 所示，求作直线AB 的真长、对水平面的倾角，以及AB 上的点C 的高程。
图2.229 作AB 的真长，对水平面的倾角，及点C 的高程［解］(a)已知条件(b)图解法一（c ）图解法二完成作图(1)用数解法求解用比例尺量得AB 的水平距离L =6.3m ，而高差H =5-1.5=3.5m ，从而就可计算出AB 的真长为: 。
同时也可计算出AB 与水平面的倾角a =arctanH/L=arctan3.5/6.5=arctan0.556≈29°。
用量得AC 的水平距离为4m ，则点C 的高程是1.5+3.5×4/6.3=1.5+2.2=3.7m 。
(2)图解法一:用直角三角形法图解,如图b 所示。
5-1.5(3)图解法二:用换面法求解，如图c 所示。
［例题2.70］如图2.230a 所示，求作直线AB 的刻度、坡度和平距。
图2.230 作直线AB ［解］(a)已知条件(b)用数解法解题(1)用数解法解题用比例尺量得AB 的水平距离L =8.2m ，从而就可计算出直线AB 的坡度i =H/L =(7.8-2.3)/8.2≈0.67；而直线AB 的平距l =1/i=1/0.67≈1.5m 。
由此还可计算出a 2.3至b 7.8上高程为3的刻度点之间的水平距离是1.5×( 3-2.3)/1≈1m 。
于是用比例尺在图b 中的a 2.3b 7.8上，从a 2.3量取1m ，得刻度点3；继续向b 7.8的方向按比例尺连续量取1.5m ，就可得刻度点4、5、6、7，留下的一段从刻度点7至b 7.8的水平距离，根据计算应是1.5×(7.8-7)/1=1.2m ，今在图中用比例尺量出也是1.2m 。
作出的刻度如图b 所示。
［解］(2)用图解法解题:如图2.230c所示。
完成作图(a)已知条件（c）图解法图2.230 作直线AB的刻度、坡度和平距2.10.2 平面1.平面上的等高线、坡度线和坡度比例尺图2.233 平面上的等高线、坡度线和坡度比例尺（1）平面上的等高线:平面上的水平线（2）平面上的坡度线:平面上对水平基准面H 的最大倾斜线（3）平面的坡度比例尺:(d)比例尺(a)立体图(b)等高线(c)坡度线2.平面的标高投影表示法(1)用确定平面的几何元素表示①不在同一直线上的三点。
②直线及线外一点。
③相交两直线。
④平行两直线。
(a)用确定平面的几何元素表示图2.234 平面的标高投影表示法图2.234 平面的标高投影表示法(b)用平面上的一组等高线表示(2)用平面上的一组等高线表示(3)用平面上的一条等高线和一条坡度线表示(c)用一条等高线和一条坡度线表示图2.234 平面的标高投影表示法(d)用平面的坡度比例尺表示(4)用平面的坡度比例尺表示(5)用平面上的一条与水平面倾斜的直线、平面的坡度和在直线一侧的大致下降方向表示(e)用一条与水平面倾斜的直线、平面的坡度和下降方向表示［例题2.72］如图2.235a所示，求作三角形ABC平面上的高程为8、9、10、11m的等高线，该平面的坡度比例尺(设三角形ABC平面为P)，以及该平面对水平面的倾角。
［解］(a)已知条件(b)作图过程和作图结果图2.235 作三角形上高程为8、9、10、11m的等高线、坡度比例尺和倾角(b)作图原理［例题2.73］如图2.236a 所示，求作通过直线a 8b 2、坡度为1∶0.5，在a 8b 2一侧的坡度线的大致下降方向为图中带箭头的虚线的平面，并作出这个平面上的坡度线的准确的下降方向，以及平面上的高程为3m 至7m 的诸等高线。
图2.236 作通过a8b2、坡度为1∶0.5和已知大致下降方向的平面，准确的下降方向，以及平面上的高程为3m 至7m 的等高线［解］(a)已知条件（c ）作图过程和作图结果L=0.5x 6=3m3.两平面互相平行图2.237 两平面互相平行示例只要在一平面上的两相交直线，分别平行于另一平面上的两相交直线，则两平面互相平行。
在标高投影中，常见的显示两平面平行的投影特性如图所示。
(a)用平面上的一条等高线和一条坡度线表示的两平面(b)用坡度比例尺表示的两平面4.两平面相交两平面相交，常常需要求作它们的交线，因为两平面的交线是两平面的共有线，而一条直线可由直线上的两个点确定。
图2.238 两平面的交线［例题2.74］如图2.239a所示，求作由高程为6m的等高线、平面的坡度为1∶1.5及其下降方向所确定的平面和以坡度比例尺Pi表示的平面P的交线。
［解］(a)已知条件(b)作图过程和作图结果图2.239 作两平面的交线［例题2.75］如图2.240a 所示，设地面是标高为零的水平基准面，在地面上挖一基坑，基坑底面是一个水平的梯形，标高为-3，各边坡的坡度如图所示，求作坡面与地面、坡面与坡面的交线。
图2.240 作基坑坡面与地面、坡面与坡面的交线［解］(a)已知条件(b)作图过程和作图结果L 1=1x 3=3; L 2=0.5x 3=1.5;L 3=1.5x 3=4.5［例题2.76］如图2.241a 所示，已知一段斜路堤的倾斜顶面ABCD ，设地面是标高为零的水平基准面，两侧和尽端坡面的坡度如图所示，求作路堤坡面与地面的交线以及坡面与坡面的交线。
图2.241 作斜路堤坡面与地面、坡面与坡面的交线［解］(a)已知条件(b)作图过程L=2/3x 3=2; R=1x 3=3(c)作图结果［例题2.77］如图2.242a所示，设地面是标高为零的水平面；有一条顶面标高为4的大堤；大堤的左侧有一条上大堤堤顶的斜引道，斜引道顶面的坡度为1∶4，斜引道顶面的水平投影未画完整；大堤的右侧有一条小堤，小堤顶面的标高为3，小堤顶面的水平投影未画完整；大堤、小堤、斜引道各坡面的坡度见图中所示。
求作大堤、小堤、斜引道的诸坡面与地面的交线，坡面与坡面的交线，斜引道顶面与地面的交线，以及小堤顶面与大堤右坡面的交线，补全斜引道和小堤顶面的水平投影，完L5= 1.5x3= 4.5;成这个工程建筑物的标高投影图。
［解］L1=1x4=4; L3= 1x3= 3; L4= 1.5x3= 4.5L2= l= 1; L5= 4x4= 16［例题2.77］图2.242 ［解］(a)已知条件(b)作图过程L 1=1x 4=4; L 3= 1x 3= 3; L 4= 1.5x 3= 4.5L 2= l= 1; L 5= 4x 4= 16(c)作图结果2.10.3 曲线、曲面和地面1.曲线的标高投影左边的曲线是一条不规则的标高为4m的等高线；而中间的曲线是一个标高为6的水平圆周，是高程为6m的等高线。
右边的曲线是一条直径为8m、导程为16m的圆柱螺旋线在四分之一导程范围内的一段。
图2.243 曲线的标高投影示例2.曲面的标高投影(1)圆锥面和斜圆锥面图2.244 圆锥面和斜圆锥面的标高投影(2)同坡曲面(a)已知条件(b)作图原理和作图方法（c）作图过程（d）作图结果图2.245[例题2.78］如图2.246a 所示，设地面是标高为16的水平面，有一条弯曲的斜引道与顶面标高为20的平台相连，所有填筑坡面的坡度都是1∶1，求作坡面与地面以及坡面与坡面的交线。
［解］图2.246 作平台、坡面与地面以及坡面与坡面的交线(a)已知条件(b)作图过程（c ）作图结果完成作图3.地面的标高投影(a)山丘(b)盆地图2.247 地形图和地形断面图如图2.248a所示，山峰是山丘的最高部分；在相连的两山峰之间的低洼处，地面呈马鞍形，称为鞍地。
如图2.248b所示，高于两侧并连续延伸的高地，称为山脊，通过山脊上各个最高点的线称为分水线或山脊线；山谷是低于两侧并连续延伸的谷地，通过山谷中各最低点的连线，称为山谷线、集水线或河床。
(a)山峰与鞍地(b)山脊与山谷图2.248 基本地形的等高线特征[例题2.79］如图2.249a所示，已知以管道中心线a50b10表示的一条管道穿过一个小山峰，求作管道穿过山峰的两个贯穿点。
(图中在未确定贯穿点之前的管道的标高投影，暂用双点画线表示，在贯穿点确定后，要求改成中虚线和粗实线。
)［解］(a)已知条件(b)作图过程和作图结果图2.249 作管道穿过山峰的两个贯穿点［例题2.80］如图2.250a 所示，求作以标高为32的等高线、坡度1∶3和下降方向的坡度线表示的劈坡平面与地面的交线。
［解］图2.250 作劈坡平面与地面的交线(a)已知条件(b)作图过程（c ）作图结果将地面劈掉一部分所形成的与地面的交线，在土方工程中称为劈坡平面。