三类边界条件可以统一地写成
- 格式:pdf
- 大小:287.22 KB
- 文档页数:29
定解问题问题的分类
数学物理方程(泛定方程)加上相应的定解条件一起构成了定解问题。根据定解条件的不同,又可以把定解问题分为三类:
初值问题:定解条件仅有初值条件;
边值问题:定解条件仅有边值条件;
混合问题:定界条件有初值条件也有边值条件。
3
5
分离变量理论
(,)(,)(,)(,)(,)0xx yy x y a x y u b x y u c x y u d x y u e x y u ++++=考察如下两变量的二阶线性齐次偏微分方程:试确定方程如下形式的解:
()()
u X x Y y =将该解代入方程可得:
aX Y bXY cX Y dXY eXY ′′′′′′++++=
8
有界弦的自由振动问题
(齐次方程的混合问题)
研究两端固定的均匀弦的自由振动,即定解问题:()()()()()()()()()2
0, 0,0,0, ,
00;,0, ,0, 0.tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩
在求解常微分方程时,通常的做法是先求出方程的通解,然后利用给定条件确定通解中的积分常数。对于如上定解问题,这中做法一般情况下是行不通的。原因在于通常很难求出偏微分方程的通解。解决这一问题的办法是直接求满足定解条件的特解。
10相应地,边界条件变为:
()()()()()()()()0000,00,0u t X T t u l t X l l t X X T ==⎫⎪⇒⎬===⎧=⎪⎭⎪⎨⎪⎩
这样就得到如下常微分方程:
()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩
该常微分方程的解依λ的取值不同而不同,需要讨论。
15
本征值问题
在求解方程过程中,我们遇到如下问题:
()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩
通过讨论我们知道,仅当λ>0,且为某些特定值时该方程有非平庸解。这些值称为方程在相应边界条件下的本征值;方程相应于不同λ值的非零解称为本征函函数。求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。
量子力学中的本征值问题
经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个Hermitian operator。任意一个Hermitian operator的本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。而其他任意Hermitian operator的本征函数都可以用这个完备基展开,而且展开式是唯一的。每个Hermitian operator的本征值对应于该物理量可能的观测值;每次测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值,这个概率由测量时体系的波函数决定。
16
分离变量法处理问题的程序
1、对方程和边界条件分离变量,如果边界条件
是非齐次的,还要对边界条件进行处理。
2、求解常微分方程的本征值问题
3、构造变量分离形式的特解
4、叠加特解,利用初始条件确定叠加系数
19
分离变量法可以推广应用到各种定解问题,但它的应用也有一定的限制:
1、常系数偏微分方程总能进行变量分离,
而变系数偏微分方程则不一定。
2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量
分离的解。
20
分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的某一种完备基函数,然后将问题的解用该完备基展开,再利用定解条件确定展开系数,从而确定问题的解。这一做法在量子力学中被广泛使用,尤其是在利用数值方法求解薛定谔方程的时候。
21
22
The End
28
第七章作业
P163:4,9,11,15,16
29