计算方法第一章_绪论好用2013秋改上课用

21
第一章 误差基本理论
本章重点：误差的基本概念； 分析误差的原则。 本章难点：相对误差；有效数字。
第一节 误差的来源与误差分析的重要性 一、误差来源： 误差在现实生活中广泛存在！小学时用刻度尺度 量；计算 “神十” 运行的轨道；计算机中存储的数是 有限位的，等等…… 按照误差的来源可分为以下四类： （1）模型误差 将实际问题转化为数学问题是通常 只是简化的、近似的。 实际问题
求解20阶线性方程组，用克莱姆法则要用 9.7 1020 次乘法运算,用每秒1亿次的计算机计算,大约需算30多 万年;采用本门课程介绍的计算方法，却只要几秒钟。
3. 计算机实现问题
探讨3：在计算机上根据数学公式编程是否 就能得到正确结果?
研究例子:求解线性方程组
1 1 11 x x x 1 2 3 2 3 6 1 1 13 1 x3 x1 x 2 3 4 12 2 1 x1 1 x 2 1 x 3 47 4 5 60 3
复杂性，并通过编写程序进行计算试验来验证算 法的有效性。 与纯数学的理论方法不同，数值计算方法求 出的一般是近似解，而不是精确解。
计算方法所研究的算法具有严格的理论依据， 所求出的近似解是满足误差要求的 “近似”。
3.本课程的学习目标：
掌握常用的数值方法的基本原理 掌握常用的科学与工程计算的基本方法 会套用计算公式求解简单的数学问题 会上机编写常用数值方法的计算程序
忽略次要因素，关注主要因素
数学问题
（2）观测误差 实际观测中由于受到设备、自然条 件等因素的影响，所得的数据存在的误差。
（3）截断误差 用数值方法求出的近似解与精确解 之间的误差称为截断误差。例如，由泰勒公式：
1 1 1 e 11 ...... ...... 2! 3! n!
计 算 方 法
主讲：李福利
哈尔滨工业大学数学系计算数学教研室 电子邮箱：63864215@
教材：计算方法 张池平 主编 科学出版社 参考书：计算方法学习指导 陈艳梅 主编 科学出版社
考核方式及课程要求
• • • • • 上机+平时作业 ：20% 期末考试：闭卷 80% 本课程为限修课，选课同学务必在网上选课 课程小论文+10% （选）：word2003发至电子邮箱 上机要求：Matlab语言 5人一组， word2003 编辑完成上机报告，发到老师邮箱。 • 作业要求：统一格式，中间抽查。 如想得到尽快批改，可用 word2003编辑好作业，发至 63864215@
* 为近似值 x 的相对误差。
x
x
实际计算中的准确值是不知道的，通常用
x
* r
x
x*
x x* x*
作为 x 的相对误差。 * x x 同样，若 r ， 则称 为近似值 的相对误差限。
*
于是，测量10m 和16m 旗杆的相对误差分别为：
0.1m 0.01 10m
4. 本课程的学习方法：
1). 理解建立算法的理论依据和过程，适应本课 程 “公式多” 的特点。 2). 注意每章开头问题的引入，搞清楚问题的来源 提法，逐步深入。 3). 理解每个算法建立的数学原理和基本线索，对 最基本的算法要非常熟悉！ 4). 认真进行上机实践，编写和调试算法程序，加 深对算法的理解。
其准确解为x1=x2=x3=1
4.不同的计算方法效果不一样
计算实例
2 1 x 2 1
可用四种算式算出：
x(
3
2 1) 6 2
x 99 70 x
1 ( 2 1) 6 1 x 99 70 2
18
如果分别用近似值 和
2 17 12 1.4166
* 3
*
它们的误差都不超过末位数字的半个单位。
一般地，有如下定义：
文字定义：若近似值 x* 的误差限是它某一位的半个单位， 就说近似数x* 准确到该位； 且从这一位直到左边第一位非零数字一共有 n 位，则 * 称近似值 x 有 n 位有效数字。
n位 * x
左边第一个非零数字
误差不超过该位的半个单位
* 因此，当取 x3 3.14 作 的近似时，有 3 个有效数字。
* 3.1416 作 的近似时，有 5 个有效数字。 当取 x3
注：经过四舍五入得到的数字都是有效数字。
数学定义 若近似数x* 可写成
1 x* 10m 1 2 101 3 102 n 10 n1 , 1 0, i 0,1, 2,...,9
差的绝对值不超过某个正数 称正数 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 例如，用最小刻度为厘米的刻度尺测得某物体的长度 为5 m，其误差不超过 0.01 米，即误差限为 0.01 米。 该物体的准确长度可记为：s (5 0.01)m 。
x x x*
注意：绝对误差限是有量纲的！！
在一台计算机中用 3.14159 代替 所产生的误差。 模型误差 观测误差
截断误差 在设计算法时进行误差分析，控制截断误差 舍入误差
注意编写程序的技巧，减小舍入误差的影响
二、绝对误差与绝对误差限
x x x*为近似值 x * 的绝对误差，简称误差，若误
定义： 设 x 为准确值，x *为 x 的一个近似值，则称
如把方程组的系数舍入 成两位有效数字
x1 0.50x 2 0.33x 3 1.8 0.50x1 0.33x 2 0.25x 3 1.1 0.33x 0.25x 0.20x 0.78 1 2 3
它的解为x1 =-6.222... x2=38.25… x =-33.65...
一. 什么是计算方法
• 其次，计算方法是一门有自身特点的数学
用计算机求解数学问题的数值方法及 1. 研究对象： 其理论，是程序设计和对数值结果进 行分析的依据。
实际问题 建立数学模型 构造数值算法
代数方程、微分方程等等
用计算机求出近似结果
计算方法的地盘
2.课程特点：
计算方法主要讨论如何构造求数学模型的近 似解的算法。研究算法的理论依据，精度和计算
第零章 绪论
一. 什么是计算方法
• 首先，计算方法是数学
英国著名哲学家培根说： “数学是打开科学大门的钥匙”。
第一个诺贝尔物 理奖得主伦琴在回
答“科学家需要什
么样的修养”这一 问题时，说：“第 一是数学，第二是 数学，第三还是数
学。”
被誉为“计
算机之父”的
冯· 诺伊曼认为 “数学处于人类 智慧的中心领域”

三、相对误差与相对误差限 只用绝对误差不能真正刻画近似值的优劣，例如， 分别测量10 m 和16 m 的两根旗杆，产生的误差均 为0.1m，显然，测量16m 的旗杆时更准确些。 如何刻画这一点呢？ 我们引入相对误差的概念。
* x x x 定义： 称绝对误差 与准确值的比值， * x x x r* x
有效数字与相对误差的关系
定理
若近似值 x* 具有(A)式的形式，且具有 n 位有效数字，则其相对误差限为：
1 x 10 n 1. 21
* r
(B)
该定理表明，有效数字越多，相对误差限越小， 注1： 精度越高。 注2： 在实际计算中，为使近似值具有 n 位有效数字，
要求所取近似值的相对误差限满足(B)式。
2 7 5 1 .4
按上列四种算法计算，其结果如下 表1-1所示。
19
表1-1
序 号 计 算 式 算 结 果
2 7/5
2 17 / 12
5 0.005233 12
6
1
2
3 4
1 0.166667 1 6 6 6 12 0.005020 5 0.005233 12 29
二. 为什么要学习计算方法：
1. 大量的数学问题不能精确求解
探讨1：积分
设

2
1
sin x dx 如何求解 ? x
高等数学求解积分的牛顿——莱布尼兹公式：
F ( x) 是 f ( x ) 在[a,b]上 f ( x ) C[a, b] ，
的一个原函数，则有
f ( x)dx F (b) F (a)
11 若用有限项 e
1 1 ...... (n 1)! (n 2)!
精确值
1 1 1 ...... 近似计算 e ，则截去的 2! 3! n!
就是截断误差。
（4）舍入误差 受计算机位数限制，需要对参数，中 间结果和最终结果做舍入处理，用有限字长的数值代替 精确数，由此而产生的误差为舍入误差。例如：
5.本课程要解决的问题：
1)方程求根 求方程 f ( x) 0 的近似解的问题。 2)插值 已知函数 f ( x) 在几个点 x1 , x2 ,......, xn 处的值， 求此函数的近似。 3) 数值积分 求定积分

b
a
f ( x)dx 的值。
4)常微分方程的数值解法 已知 y f ( x, y)，求函数 y。 5) 线性方程组的数值解法 求线性方程组 Ax b 的解， A 是 n 阶矩阵。
,
1
0, i 0,1, 2,...,9
2. 定理：若近似数x具有n位有效数字，则 1 x) 10 ( n 1) 2a1
* r (
1 反之，若 x ) 10 ( n 1) 2( a1 1)
* r(
则x至少有n位有效数字。
• 证：
因a1 10m x* (1 1) 10m，故当x* 有n位有效数字时，
r* x