2018国考行测：数量关系之容斥原理

数量关系之容斥问题解题原理及⽅法 ⼀、知识点 1、集合与元素：把⼀类事物的全体放在⼀起就形成⼀个集合。

每个集合总是由⼀些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。

如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。

2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。

A∪B读作“A 并B”，⽤图表⽰为图中阴影部分表⽰集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10} 3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，⼜属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表⽰： 例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含与排除原理）： （⽤|A|表⽰集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3） 原理⼀：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进⾏： 第⼀步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的⼀切元素都“包含”进来，加在⼀起）； 第⼆步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素） 总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ 原理⼆：给定三个集合A，B，C。

要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进⾏： 第⼀步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣； 第⼆步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣； 第三步：再加上∣A∩B∩C∣。

即有以下公式： ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣ ⼆、例题分析： 例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。

2018国家公务员考试行测数量关系经典题目讲解之容斥问题在行测数量关系中有许多考点，但有些考点难度不大易于掌握，比如容斥问题、行程问题中的牛吃草模型等，中公教育专家在特为各位考生整理了容斥问题的常见题型及问法：容斥问题从本质上来说是个计数问题，既然是计数问题，那么要去所有的数只能算一次，也就是表明它的计数原则是不重不漏。

它主要有两种常见的题型，具体如下：1.考点一：二者容斥问题。

若用A、B分别表示两个集合元素个数，I表示所有的集合元素个数;那么可得公式： A+B - A ∩B=I -非A非B例题1.有40位同学比赛，答对第一题有27人，答对第二题有25人，两题都答对的有18人，两题都没答对的有多少人?A.8B.10C.6D.4【中公解析】通过题目可以知道这是个二者容斥问题，要求的是非A非B的部分，所以根据公式可知： ,所以都没答对是6人，故此题答案为C。

2.考点二：三者容斥问题。

若用A 、B、C分别表示三个集合的元素个数，I表示全部集合的元素个数，该模型的公式有两种情况：(1)I-非A非B非C=A+B+C-二者部分+A∩B∩C(2)I-非A非B非C=A+B+C-仅二者部分-2 A∩B∩C两个公式之间的差别是在于分清“二者部分”“仅二者部分”，这也是该考点的难点所在。

例题2.某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人;准备参加英语六级考试的有89人;准备参加计算机考试的有47人;三种考试都准备参加的有24人;准备选择两种考试都参加的有46人;不参加其中任何一种考试的都15人。

问接受调查的学生共有多少人?A.120B.144C.177D.192【中公解析】根据题干信息可知，这是三者容斥问题，要求的是全集I的部分。

根据题意，参加两种考试，不包含三个考试都参加的部分，所以指的是“仅二者部分”;所以根据公式(2)可得：。

故答案为A。

例题3.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

2018贵州公务员考试行测数量关系中的三者容斥容斥问题是行测数量关系题型中的高频考点，在考试中经常出现。

对于三者容斥问题，看似简单，同学们在做题时却经常犯错误，究其原因，是对于三者容斥类题型的解题方法没有深入理解，只是一味的记公式，导致遇到一些变形题时容易解错。

下面中公教育专家就考试中经常出现的三者容斥问题进行详细的讲解。

一、三者容斥问题基本公式三者容斥问题的常用公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C解决三者容斥问题，需要把握住此核心公式，但是，只是一味的记住核心公式是不够的，要应对一些变形题目，还需从解题原则入手，才能灵活掌握三者容斥问题的解题方法。

二、解题原则重复区域变一层容斥是一种计数问题，计数时要做到不重不漏，需要将图形中的重复区域变为一层。

三、例题应用【例1.】实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、球)的与否。

结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的33人，三种球都喜欢的有12人。

篮球和排球都喜欢的多少人?【答案】22人【中公解析】根据前面所述公式：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人，故喜欢篮球和排球的人有22人。

【例2】某公司组织运动会，据统计，参加百米跑项目的有86人，参加跳高项目的有65人，参加拔河项目的有104人。

其中，至少参加两种项目的人数有73人，三项都参加的有32人。

则该公司参赛的运动员有( )人。

A.89B.121C.150D.185【答案】C【中公解析】设参加百米跑、跳高、拔河项目的运动员分别构成集合A、B、C，根据三集合容斥问题公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，A∩B+B∩C+A∩C=73+2×32=137，A∩B∩C=32，则A∪B∪C=86+65+104-137+32=150(人)。

2018国家公务员考试行测：重难点攻克之容斥问题详解公务员考试数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。

觉的题型有：数字推理、数学运算等。

行政职业能力测验涉及多种题目类型，试题将根据考试目的、报考群体情况，在题型、数量、难度等方面进行组合。

了解公务员成绩计算方法，可以让你做到心中有数，认真备考。

数量关系常见的题型有：数据分析、数学运算、数字推理等。

2018国家公务员考试公告预计10月份发布，笔试时间预计在11月中下旬，笔试科目为行测+申论，笔试成绩查询时间预计在2019年1月份。

更多2018国家公务员考试信息，欢迎访问国家公务员考试网容斥问题是好多公职类考试的必考考点，这类问题听起来很难，但是真正掌握起来并不难，只要掌握清楚常考的考点及其做题的方法就很容易得分，今天我给大家介绍一下这类题型的题型和对应的解题方法。

一、容斥问题容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。

在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。

二、题目特点题目中给出多个概念，概念之间存在交叉关系。

三、常考题型1、二者容斥问题公式：覆盖面积=A+B-A与B的交集例1：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?A.6B.7C.8D.9中公解析：两个概念分别的奥运会志愿者和全运会志愿者，设班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有X人，则有10+17-X+30= 50，所以X=7，即班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有7人。

2.三者容斥问题公式：覆盖面积=A+B+C-两者交-2×三者交例2：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?A、69B、65C、57D、46中公解析：三个概念分别是甲片、乙片、丙片，假设只看过其中两部电影的人数有X 人，则89+47+63-X-2×24+20=125。

一、容斥原理容斥原理关键就两个公式：1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C请看例题：【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人合格，在第二次考试中有24人合格，假设两次考试中，都没合格的有4人，那么两次考试都合格的人数是( )【解析】设A=第一次考试中合格的人数(26人),B=第二次考试中合格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，那么依照A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。

答案为A。

【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情形，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。

问两个频道都没看过的有多少人？【解析】设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，那么依照公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，因此，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。

二、作对或做错题问题【例题】某次考试由30到判定题，每作对一道题得4分，做错一题倒扣2分，小周共得96分，问他做错了多少道题？【解析】方式一假设某人在做题时前面24道题都做对了,这时他应该取得96分,后面还有6道题,假设是让这最后6道题的得分为0,即可知足题意.这6道题的得分怎么才能为0分呢?依照规那么,只要作对2道题,做错4道题即可,据此咱们可知做错的题为4道,作对的题为26道.方式二作对一道可得4分,假设是每作对反而扣2分,这一正一负差距就变成了6分.30道题全做对可得120分,而此刻只取得96分,意味着差距为24分,用24÷6=4即可取得做错的题,因此可知选择B三、植树问题核心要点提示：①总线路长②间距(棵距)长③棵数。

只要明白三个要素中的任意两个要素，就能够够够求出第三个。

行测数量关系备考：容斥问题行测数量关系备考：容斥问题容斥问题一直是行测数量关系考试当中的“常客”，而如此“文艺”的名字之下，本质研究的其实就只是集合间关系的一类问题。

那么集合间的关系都有哪些呢?一般来说，我们把容斥问题分成三大类研究，分别是二者容斥、三者容斥和容斥极值，其中以三者容斥问题最为常考，也是相对来说最难理解的一类问题。

今天就为大家解释什么是三者容斥?它又难在哪里?【例2】某研究中心就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进展市场调查，共抽取了40名消费者，发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人，喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的有几人?A.1B.3C.5D.7通过以上两道题目，我们不难发现，容斥问题本身难度并不是很大，只要找到题目中数据描绘的特点，对应正确的公式，还是很容易解决的。

比例统一的方法如下：1.找不同比例当中都出现的不变量(某个量、总量、差量等)2.将不变量的份数统一为最小公倍数3.其他量保持比例不变同倍数变化理解完以上相关的方法，我们就详细来看题目感受一下。

【例1】A：B=2：3，B：C=2：3，C比A多10，那么A+B+C=?A.35B.36C.37D.38【解析】答案：D。

根据题干信息可知，给出了一个实际量C比A多10，那么我们就需要找到实际量10所对应的比例份数进展相关的解题，同时我们可以发现题干给出了两个比例，两个比例都出现了B这个不变量，在和A做比的时候是3份，在和C做比的时候是2份，但是B所代表的实际量是一样的，所以把B分成不同的份数每一份所代表的实际量就不一样。

那么我们将B的份数变成一样即可，所以将B统一为最小公倍数6，那么其他量保持比例不变同倍数变化。

得到A:B:C=4:6:9，可以发现C比A多了5份，这5份正是对应的10，题目求A+B+C，通过比例可以知道共有19份，所以答案为38，选D。

【例2】林先生的水果摊销售苹果、芒果、香蕉三种水果，第一天苹果、芒果、香蕉三种水果的收入之比为8:7:5，第二天的收入之比7:9:14.假设第二天苹果的销售收入减少了100元，但这三种水果的总收入不变，问第二天香蕉的收入为多少元?A.180B.200C.280D.360【解析】答案：C。

2018福建漳州公务员考试行测技巧：集合之间的游戏——容斥问题行测考试中，数量关系是必考题型，而容斥问题则是其中较为常见的一类题型，在每年的省考、国考、事业单位的考试中都频频出现，并且越来越倾向于思维性的考察，要引起大家的重视。

首先，给大家介绍一下“容斥问题”。

把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理，应用容斥原理来解题就是容斥问题。

容斥问题分2类题型：1，求定值;2，求极值。

在历年的考试中，基本上都是考察求定值的问题，而求定值又分为“二者容斥”和“三者容斥”问题，考试中也基本只考察“三者容斥”。

所以，今天就“三者容斥”求定值的方法，中公教育专家详细讲解如下：》》更多、更全行测技巧、考点大全、行测每日一练尽在漳州中公教育《《一般来说，解题方法有两种：1、公式法：题干的数据可直接代入到二者、三者容斥的求值公式中。

三者容斥求定值公式：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。

2、文氏图法：当题干所给数据不能直接代入公式时，就需要利用该方法，进行思维性的理解进而解决问题。

例1：某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。

有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人?A.1B.2C.3D.4【答案】B。

中公解析：方法一：题干的数据可直接代入三者容斥的公式中，应用公式法解题。

公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC，根据题意可得，至少选修一门课程的有40+36+30-28-26-24+20=48人，则三门均未选的有50-48=2人。

方法二：读完题干可以发现，“选修甲、乙、丙课程”在题中是并列关系，那么表示其数目的40、36、30三个数字只能用加法处理，等于106;“兼选甲、乙、丙其中两门课程”在题中是并列关系，那么表示其数目的28、26、24三个数字只能用加法处理，等于78。

国考行测三集合容斥原理
集合容斥原理是组合数学中的一种常用原理，常用于解决集合问题。

在国家公务员考试中，行测部分经常涉及与集合相关的题目，而集合容斥原理则是解决这类问题的一种有效方法。

集合容斥原理描述了多个集合之间的差集和交集的关系。

具体来说，对于给定的n个集合A1、A2、...、An，集合容斥原理
可以帮助我们计算出这些集合的并集的元素个数。

集合容斥原理的公式为：
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1
∩ A3| - ... + (-1)^n-1 |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|
其中，|A|表示集合A的元素个数。

在国考行测中，集合容斥原理常常可以用于解决关于人员分组、选修课程、考试通过等问题。

通过运用集合容斥原理，我们可以得到相应的计算式，从而求得准确的答案。

需要注意的是，在实际运用中，对于给定的具体问题，我们需要根据情况决定要包含哪些集合以及如何计算交集和差集。

并且，根据具体情况，可能需要结合其他的解题方法进行综合运用。

总的来说，集合容斥原理在国考行测中是一种非常有用的解题方法，能够帮助我们清晰地分析问题，准确地求解答案。

因此，对集合容斥原理的理解和掌握对于国考行测的备考非常重要。

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，中公教育专家研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。

如下图所示。

【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。

A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。

二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。

如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。

即得到：【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。

1、某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。

其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。

问三项全部合格的食品有多少种：答：本题注意按照不合格得到三个类，进行容斥原理分析，分别设三项全部合格、仅一项不合格的产品有、种，根据题意可得：，，联立解得，，因此三项全部合格的食品有23种。

2、某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。

如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个：答：设三种上网方式都使用的客户有x人，根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程1258+1852+932-（352-x）-2x=3542，解得x=148.3、一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。

那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点：答：方法一：设去A、C景点的游客有人，根据容斥原理标准公式可得：，可得；因此恰好去了两个景点的有人（可根据尾数法选择）。

方法二：设有名游客恰好去了两个景点，根据容斥原理非标准公式可得：（可根据尾数法选择），可得人。

4、工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17人，参加钳工培训的有16人，参加铸工培训的有14人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的2/3，三项培训都参加的有2人，问总共有多少人参加了培训？答：设参加培训的总人数为n。

根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程17+16+14-（n-2）-2×2=n，解得n=27。

2018青海省考笔试备考：数量关系中的三者容斥公务员，是指在各级政府机关中，行使国家行政职权，执行国家公务的人员。

2018年青海省公务员考试已经擂起战鼓，公告已经在2018年3月30日发布，笔试在4月21日进行，各位同学都复习好了吗？中公小编为大家整理了今年青海省考行测部分的一些答题技巧和题型讲解。

容斥问题是行测数量关系题型中的高频考点，在考试中经常出现。

对于三者容斥问题，看似简单，同学们在做题时却经常犯错误，究其原因，是对于三者容斥类题型的解题方法没有深入理解，只是一味的记公式，导致遇到一些变形题时容易解错。

下面中公教育专家就考试中经常出现的三者容斥问题进行详细的讲解。

一、三者容斥问题基本公式三者容斥问题的常用公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C解决三者容斥问题，需要把握住此核心公式，但是，只是一味的记住核心公式是不够的，要应对一些变形题目，还需从解题原则入手，才能灵活掌握三者容斥问题的解题方法。

二、解题原则重复区域变一层容斥是一种计数问题，计数时要做到不重不漏，需要将图形中的重复区域变为一层。

三、例题应用【例1.】实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、球)的与否。

结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的33人，三种球都喜欢的有12人。

篮球和排球都喜欢的多少人?【答案】22人【中公解析】根据前面所述公式：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人，故喜欢篮球和排球的人有22人。

【例2】某公司组织运动会，据统计，参加百米跑项目的有86人，参加跳高项目的有65人，参加拔河项目的有104人。

其中，至少参加两种项目的人数有73人，三项都参加的有32人。

则该公司参赛的运动员有( )人。

A.89B.121C.150D.185【答案】C【中公解析】设参加百米跑、跳高、拔河项目的运动员分别构成集合A、B、C，根据三集合容斥问题公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，A∩B+B∩C+A∩C=73+2×32=137，A∩B∩C=32，则A∪B∪C=86+65+104-137+32=150(人)。

知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。

在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。

无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。

核心点拨1、题型简介容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。

掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。

2、核心知识（1）两个集合容斥关系（2）三个集合容斥关系A、标准型公式B、图示标数型（文氏图法）画图法核心步骤：1画圈图；2数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)；③做计算。

C、整体重复型A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）；W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）；x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）；y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）；z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。

3、核心知识使用详解（1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。

（2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。

（3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。

夯实基础1. 两个集合容斥关系例1：(2007年中央第50题)小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（）。

A. 3道B. 4道C. 5道D. 6道【答案】D【解析】[题钥]由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。

数量关系之三集合容斥问题在最近几年的公务员考试中，考察了相关的三集合容斥问题，对于这样的一个问题，华图教研中心提醒你，在复习三集合容斥问题时一定不能停留在表面，一定要从实质上理解它，因为现在在考察容斥问题时，考的比较细致。

但是题目难度并不是很大，只要能够掌握它的实质，熟练运用我们的解题方法，那么这种问题肯定能够轻松应对。

一浅识三集合容斥问题对于三集合容斥问题，一定要弄清楚它题目的关键词语及问法。

A+B+C-AB-AC-BC-ABC=总数-三个条件都不满足的情形A+B+C-满足两个条件-2满足三个条件=总数-三个条件都不满足的情形二真题回放1.某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人【华图解析】根据题意，“按规定每人至多可投考两个职位”则表明这次招聘中不存在有人报考三个职位的情形，共有42人报名，也表明不存在一个人是三个职位都不报考的情形。

故可以直接代入三集合的标准形公式即可。

22+16+25-8-6-x=42 x=7，故选择A选项。

2.某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。

如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?( )A. 148B. 248C. 350D. 500【华图解析】设三种上网方式都使用的客户有x个，则使用两种上网方式的就有352-x,根据三集合容斥问题的公式，可以得到1258+1852+932-(352-x)—2x=3542 解得x=148 故答案选择A3. 某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。

2018年国考行测指导：二者容斥问题解题技巧公务员考试频道为您整理《2018年国考行测指导：二者容斥问题解题技巧》，希望广大考生们都能及时报考2018年国家公务员考试，并好好复习，通过考试!2018年国考行测指导：二者容斥问题解题技巧在我们公务员考试的过程中，容斥问题是行测数量关系中比较常考的一道题。

这类题型总是令很多考生头疼不已，因为容斥问题看起来复杂多变，让考生一时找不到头绪。

但是这类题还是有着非常明显的内在规律，只要大家能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解。

对于二者容斥问题一般可以用文氏图或者直接用公式来解决，下面总结一下二者容斥的公式。

容斥问题是一种计数类问题，在计数的过程中重点是每个部分只能计一次，不能重复，如下图I表示全集也就是总数，A、B表示两个集合，A、B重叠的部分我们叫做集合的交集，用A∩B表示，Y表示在整体中但不在A、B里面的部分，那么全集I就可以表示成A+B-A∩B+Y，这就是二者容斥的简单公式。

【例1】公司某个部门有80%的员工有硕士以上学历，有50%的员工有销售经验，该部门既有硕士以上学历，又有销售经验的员工至少占员工的( )?A 20%B 30%C 40%D 50%【答案】选B【解析】此题考查的是二者容斥极值问题，求两个集合交集的最小值，用两个集合相加减去全集，所求=80%+50%-100%=30%。

【例2】现有50名学生都做物力、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A 27人B 25人C 19人D 10人【答案】选B【解析】根据二者容斥的公式直接带入数值，两种实验都做对的=(40+31+4)-50=25。

【例3】体育课上老师要求全班50名同学按顺序报数，报4的倍数的同学向后转，报6的倍数的同学再向后转，那么现在面向老师的有几人( )A 26人B 30人C 34人D 38人【答案】选D【解析】在报数之后面向老师的学生分为两类，一类是报的数字既不是4也不是6的倍数，一类是报的数字既是4也是6的倍数的同学。

国家公务员考试行测答题技巧：数学运算之容斥原理和抽屉原理精讲行测答题技巧：容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。

中公教育专家在此进行详细解读。

一、容斥原理在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

1.容斥原理1——两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。

如图所示：公式：A∪B=A+B-A∩B总数=两个圆内的-重合部分的【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。

A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。

2.容斥原理2——三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。

如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。

即得到：公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的【例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人?参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。

行测技巧：容斥原理公式及运用在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，中公教育专家研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。

如下图所示。

【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。

A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。

二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。

如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。

即得到：【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。

数量关系常用公式一、五大方法1.代入法：代入法时行测第一大法，优先考虑。

2.赋值法：对于有些问题，若能根据其具体情况，合理巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值，往往能使问题获得简捷有效的解决。

题干中有分数，比例，或者倍数关系时一般采用赋值法简化计算，赋值法经常应用在如工程问题，行程问题，费用问题等题目中。

3.倍数比例法：若a : b=m : n（m、n互质），则说明: a占m份，是m的倍数；b占n份，是n的倍数；a+b占m+n份，是m+n的倍数；a-b占m-n份，是m-n的倍数。

4.奇偶特性法：两个奇数之和/差为偶数，两个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同；两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数5.方程法：很多数学运算题目都可以采用列方程进行求解。

方程法注意事项：未知数要便于列方程；未知数可以用字母表示，也可以用“份数”，还可以用汉字进行替代。

二、六大题型1.工程问题：工作量=工作效率×工作时间工程问题一般采用赋值法解题。

赋值法有2种应用情况，第一种是题干中已知每个人完成工作的时间，这时我们假设工作量为工作时间的最小公倍数，进而得到每个人的工作效率，从而快速求解；第二种是题干中已知的是每个人工作效率的等量关系，这时我们通过直接赋效率为具体值进行快速求解。

2.行程问题：路程=速度×时间行程问题一般要通过数形结合进行快速求解，常见的解法包括列方程，比例法等。

常考的题型包括相遇问题和追及问题。

相遇问题：路程和=速度和×时间追及问题：路程差=速度差×时间3.溶液问题：浓度=溶质÷溶液溶液问题常见的有两种，一种是溶液的混合，这种问题用公式解决；另外一种是单一溶液的蒸发或稀释，这种题目一般用比例法解决，即利用溶质不变进行求解。

4.容斥原理：两集合型的容斥原理题目，关键是分清题目中的条件I和条件II，然后直接套用公式：满足条件I的个数＋满足条件II的个数－两者都满足的个数=总个数－两者都不满足的个数三集合公式型题目，需要大家记住公式核心公式：A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC=总个数－三者都不满足的个数三集合图示型题目，当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。

2018国家公务员考试行测数量关系中容斥问题必知公式公务员行测考试中的数量关系有一类题型，它的存在给15道题目带来了一股清风，它便是容斥问题。

搞定容斥问题，不得不提到其中常用到的公式，快速解决容斥问题势在必得。

下面过几道典型真题明了公式的来源以及感受公式之奥妙。

一、两集合问题【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。

同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人?( )A. 28人B. 26人C. 24人D. 22人解说：一读题，似曾相识，原来类似中学时代的集合问题。

我们画个图试试。

明显，框的面积=圆的面积+圆外框里的面积，即60=30+32-x+20，根据尾数，选D。

这就是两集合公式的来源：，这是圆的面积。

而如果题目中出现圆外的元素(即都不满足圆，用圆外框里部分表示)，则：总的面积(框的面积)=A∪B+都不满足的部分二、三集合问题与两集合公式的来源及应用相比换汤不换药，核心都是总面积=圆+圆外，其中三集合需要正确处理重复部分。

【例2】某专业有学生50人，现开设有A、B、C，三门选修课。

有40人选修A课程，36人选修B课程，30人选修C课程，兼选A、B两门课程的有28人，兼选A、C两门课程的有26人，兼选B、C两门课程的有24人，A、B、C三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人?( )A.1人B.2人C.3人D.4人可见，圆的面积：总面积=圆的面积+圆外框里面积将数据代入公式，得到：50=40+36+30-28-26-24+20+x，其中x是所求中均未选的人数。

根据尾数，选B。

容斥问题中的公式一般运用到标准题型中比较快，即题中没有出现限制性字眼“只”、“仅”等，希望考生们能够真正学以致用!教师资格证笔试六大题型答题技巧想要在教师资格证笔试中得高分，不仅要掌握扎实的基本功，还要学会答题技巧，这会让你在真正的考试中受益匪浅：单项选择题从内容上看，选择题涉及的多是重要知识点或疑难问题；在命题方式上也有规律可循，首先是表明因果关系的问题判断，回答“是什么”；其次，关于对一些所谓“基本问题”、“核心问题”或“根本问题”进行判别，是选择题在命题方式上又一显著特点。