复变函数与积分变换2版(冯复科)思维导图

2
3、x yi 与 x yi 称为共轭复数， 记为 z 和 z
4、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 可以进行 加、减、乘、除等运算
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i z1z2 x1 y1i x2 y2i
z1z2 r1ei1r2ei2 r1r2ei12
z1 z2

r1e i1 r2e i2
r1 ei12 r2
于是有：
z1z2 z1
z2
,
z1 z2

z1 z2
Arg z1z2 Arg z1 Arg z2
Arg z1 / z2 Arg z1 Arg z2
一、复数的基本概念
1、z x yi 称为复数，记为 z C 其中 i 称为虚单位满足：i2 1 实数 x 和 y 称为实部和虚部，记为 x Re z, y Im z
2、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 相等 当且仅当 x1 x2 , y1 y2
例如：
y x 的复数方程为 z t ti 1 i t y x2 的复数方程为 z t t2i t R
x2 y2 a2 a 0 的复数方程为
z acost iasint aeit t 0,2
或 z a
而圆心在 z0 x0 y0i 的圆复数方程为 z z0 a 或 z aeit z0
例如 w f z z2 x yi 2
x2 y2 2xyi
u x, y x2 y2,v x, y 2xy
w f z ez e x yi e xe yi e x cos y i sin y

由 f (z) 在 z0 连续, 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x, y) 和 v( x, y) 也在 ( x0 , y0 )处连续, 故 f (z) 在 z0 连续.
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28
x x0 y y0
根据定理可知, lim f (z) 不存在. z0
作业: P55：12：1），13：2），15
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24
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27
例4 证明: 如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续.
证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z) u( x, y) iv( x, y),
的点 w a ib.
y
A
B z1 2 3i
C
o
x
z2 1 2i
C A
v
w2 1 2i
o
u
B w1 2 3i
z1 w1, z2 w2 , ABC ABC.
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5
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
w z21
o
不存在.
证:
令 z x iy, 则 f (z) x ,
x2 y2
u( x, y) x , v( x, y) 0, x2 y2
当z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim
x0
x0
ykx
ykx
x
x2
y2
lim
x0
x x2 (kx)2
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21
lim

1. 指数函数具有周期性 ( 周期为 2πi ) 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性 sin z 1 与 cos z 1 不再成立.
28
本章内容总结
可导
复 变 函 数
25
五、反三角函数和反双曲函数
1. 反三角函数的定义
设 z cos w , 那么称 w 为 z 的反余弦函数, 记作 w Arc cos z .
e e 由 z cos w , 得 e 2iw 2ze iw 1 0, 2 iw 2 方程的根为 e z z 1, 两端取对数得
第三节 初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考
一、指数函数
1.指数函数的定义:
复变数 z 的指数函数 记为 , exp z e x (cos y i sin y) 或 e z e x (cos y i sin y )
解 (1) Arge 23i 3 2k, arg e 23i 3;
( 2) Arge 34i 4 2k, arg e 34i 4 2;
4
二、对数函数
1. 定义
满足方程 ew z ( z 0) 的函数 w f ( z ) 称为对数函数, 记为
正弦函数和余弦函数都 是以 2 为周期的.
sin( z 2) sin z , cos( z 2) cos z .
18
例6
求 cosi 和 sin(1 2i) 的值.
19
正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.
(sin z ) cos z , (cos z ) sin z .

f( z ) d z 2 π if( z ) . 反过来计算积分 0 C z z 0
推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。 5
§3.3 柯西积分公式
cos z 第 例 计算 I d z, 其中 C 为： C z 三 章 : | z 2 | 1 . (1) C :|z | 1 ; (2) C 2 1
7
§3.3 柯西积分公式 第 三 章
C P67 例3.10 部分
3 复 变 解 I | z| 2 函 数 z π 的 2πi . 2 9 z zi 积 5 分 试考虑积分路径为 | z| 4 的情况。
z ( ) 2 9 z dz . z (i)
0
2
3
i
8
§3.3 柯西积分公式
换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种
特定的积分形式表达出来。 4
§3.3 柯西积分公式 第 一、柯西积分公式 z 三 注意 柯西积分公式中的区域 D 可以 D 章 C2 P67 是多连域。比如对于二连域 D , C1 推论 z0 复 2 C C 其边界为 C 变 1 2，则 函 1 f( z ) 数 f( z ) d z 0 C 2 π i z z 0 的 积 1 f ( z ) 1 f ( z ) d z d z , ( z D ) . 分 0 C C 2 π i1 z z 2 π i 2 z z 0 0 应用
§3.3 柯西积分公式 第 例 三 章 解 复 变 函 数 的 积 分 计算 I
C
2 z1 d z, 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2 z1 2z 1 , 令 f (z) 2 , 则 f (z) z(z1 ) z z

（4）外点
点z是点集E的外点
存在z的某个r邻域不含E内的点
B(z0,r) E
浙江大
（5）边界点 点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点 边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点， 又同时含有E的外点。
（6）开集 点集E中的点全是内点 （7）闭集 开集的余集
空集和整个复平面既是开集，又是闭集。 （8）连通集 E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。
f(z)是满射
f (D) G
f(z)是双射
f(z) 既是单射，又是满射。
浙江大
w f (z) : D G z x iy w u iv u(x, y) iv(x, y)
例： w z 2 x iy2
x2 y 2 2xyi
u(x, y) x2 y 2 , v(x, y) 2xy
z2
z2 z1
z1
Arg
z2
Arg
z2 z1
Arg
z1
Arg
z2 z1
Arg
z2
- Arg
z1
或者
z2 r2 ei(2 1 ) z1 r1
浙江大
例：已知正三角形的两个顶点为 z1 1, z2 2 i
求三角形的另一个顶点。
i
z3 z1 (z2 z1 )e 3
(1 i)(1 3 i) 22
z
x2 y2
u(x, y) x , v(x, y) 0 x2 y2
limu(x, y) lim
x
1
x0 ykx
x0 ykx
x2 (kx)2
1 k2
所以极限不存在。
浙江大
解法2
利用复数的三角表示式
z3 z1 t, z2 z1

傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义

k 1
z0是f ( z )的阶数不超过m级的极点
Re s[ f ( z ), z0 ] 1 m m 1 lim g z , g z ( z z0 ) f ( z ). ( m 1)! z z0
(5)
P, Q解析，Q z0 0, P z0 Q z0 0 Re s[
复变函数知识框架
一、复数及其几何意义概念 代数形式，三角式与指数式
欧拉公式：e i cos i sin .
二、复数运算 代数形式与三角形式（指数式）的六种运算法则
复数运算的几何意义 三 . 复变函数及其反函数的定义（多值）与几何意义（映射） 四、极限与连续 复极限与复连续的定义，运算法则及其与实连续的关系
C i 1 Ci
n
3. z f z
z2
z1
f z dz z2 z1 .
十一、高阶导数公式（特例：柯西积分公式）
? f
Hale Waihona Puke nn! z0 2 i
z z
C 0
f z
n 1
dz n N .

1 z n z 1; 1 z n 0
1
n
2n 1
z 2 n1;
n n 1 z C z z 1.


n 0
展开方法：直接法与利用已知展式法 注意：变量替换 .
十四、留数
1.孤立奇点 分类
z0是可去奇点 f ( z ) cn ( z z0 )n lim f ( z ) c0 ；
P ( z0 ) P( z) , z0 ] . Q( z ) Q '( z0 )

的可导性与解析性．
解由例2.1、例2.2知 在C 上可导， 在 上处处不可导，从而由导数的运
算法则知，函数f(z)=
在z≠0时不可导.当z=0时,可得
即 在z=0处可导．综上所述，函数f(z)= 仅在z=0可导，故在全平面 C上处处不解析． 由复变函数的求导法可推出解析函数的以下性质:
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复变函数与积分变换
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定理2.2f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)在某点z=x+iy可导的充分必要条件是 ①u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微； ②在点(x,y)处有
此时f(z)的导数为
称式(2.3)为柯西—黎曼（Cauch-Riemann）方程，或简称为C.-R.条件．
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下面我们列出复变函数导数的运算法则，其证明方法与微积分中方法类似. 如果函数f(z)，g(z)在区域D内可导，则在对任意z∈D有
②设函数ξ=g(z)在区域D内可导，w=f(ξ)在区域G内可导，且对于D内每一 点z，函数值ξ=g(z)均在区域G内，则对任意z∈D有
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2.1解析函数的概念 2.1.1复变函数的导数与微分 (1)复变函数的导数 把一元实变函数的导数概念形式推广到复变函数中来，就得到复变函数导数 的概念. 定义2.1设w=f(z)是定义在区域D内的复变函数，z0,z0+Δz∈D，若极限
存在，则称f(z)在点z0可导，这个极限值称为f(z)在z0的导数，记作
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第2章 解析函数
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11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25



开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.

C
y
解 (1) 曲线 C1 的方程为 z x , x : 0 1 ,
i C3 C1 1 C2
曲线 C2 的方程为 z 1 i y , y : 0 1 ,
I z dz z dz ,
C1 C2
x
x d x (1 i y ) d(1 i y )
0 0
0.
上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。
一、柯西基本定理
定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
D G
G 为 D 内的任意一条简单闭曲线，
则有
Γ f ( z ) d z 0 .
G
注 (1) 定理中的曲线 G 可以不是简单闭曲线。 (2) 定理中的条件还可以进一步减弱。 定理 设单连域 D 的边界为 C，函数 f (z) 在 D 内解析，在 D D C 上连续，
当 n 0 时, 1 2π C ( z z0 )n1 dz i 0 d 2i; 当 n 0 时,
y
z
0 z
o

r
x
C
1 i 2π n 1 dz n 0 (cos n i sin n )d 0. ( z z0 ) r
2i , 1 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
C
f (z k )zk [u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1 k 1
n
n
i [v ( k ,k )xk u( k ,k )yk ]
k 1
n
C f ( z )dz C udx vdy i
C
vdx udy .