有限元作业2
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弹性力学轴对称问题作业：1. 具体推导轴对称问题基本方程，几何方程，物理方程 解答：（1）推导基本方程如上图从弹性体中割取一个微小六面体P A BC ，弹性体的对称轴为z 轴时，则所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r 和z 的函数，而与θ无关(即不随θ变化)。
r σ表示径向正应力，环向正应力用θσ表示，轴向正应力用z σ来表示。
作用在水平面上沿r 方向的剪应力，则用rz τ来代表，按剪应力互等定理，有rz zr ττ=。
另外，由于对称性，θθττr r =及z θθττ=都不存在。
这样，总共只有四个应力分量，即z r ,,σσσθ，rz τ它们都只是r 和z 的函数。
内圆柱面上的正应力是r σ，外侧圆柱面上的正应力便是dr rrr ∂∂+σσ，，θσ在环向没有增量，六面体下面的正应力是z σ，则上面的正应力应该是dz zzz ∂∂+σσ，下面及上面的剪应力则分别为rz τ及zrzr dz zττ∂+∂。
此外，径向体力用R 表示，而轴向体力(z 方向的体力)用Z 代表。
若将六面体所受的各力都投影体中心的径向轴上，并取sin22d d θθ≈及cos 12d θ≈，可得到平衡方程 r 方向：r r r dr d dz d dz r σσθσθ∂⎛⎫+- ⎪∂⎝⎭2d drdz θθσ-2d drdz θθσ- zr zr zr dz d dz d dz z ττθτθ∂⎛⎫++- ⎪∂⎝⎭0Rd drdz θ+=简化后除以dz drd θ，并略去微量，得0r r zr R r z rθσσστ-∂∂+++=∂∂ 将六面体所受的各力都投影到z 轴上，则得平衡方程rz rz rz dr d dr d dr r ττθτθ∂⎛⎫+- ⎪∂⎝⎭+z zz dz d dr d dr z σσθσθ∂⎛⎫+- ⎪∂⎝⎭0Zd drdz θ+= 简化后除以dz drd θ，并略去微量，得0z rz rzZ z r rσττ∂∂+++=∂∂ 于是得到空间轴对称问题的平衡微分方程为(2)几何方程推导轴对称问题中，因径向位移所引起的应变分量是()r uu dr uu r dr rε∂+-∂∂==∂ urθε=1zr u zγ∂=∂ 而轴向位移w 引起的应变分量为z w zε∂=∂ 2zr w rγ∂=∂ 由此空间轴对称问题的几何方程00r z rz z rz u r u rw z u w z r θθεεεγγγ∂⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪+⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭即：（3物理方程推导轴对称问题的物理方程可以直接根据虎克定律得到，即()1rzr r z EEEEθθσσσεμμσμσσ=--=-+⎡⎤⎣⎦ ()1r z Eθθεσμσσ=-+⎡⎤⎣⎦ ()1z z r Eθεσμσσ=-+⎡⎤⎣⎦ rzrz Gτγ=()21rz Eμτ+=写成应力应变关系后表示成矩阵形式为：111(1)1(1)(12)11120002(1)r z zr E θσμμσμμμσμμμμτμμ⎡⎤⎢⎥⎧⎫⎢⎥⎪⎪-⎢⎥-⎪⎪=⎨⎬⎢⎥+-⎪⎪--⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭-⎢⎥-⎣⎦一、问题解答1、解：令221()()2()2dy p x q x y f x y dx ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦π则可以得到()()y q x y f x π=-，()y dy p x dx 'π=，()y d d dy p x dx dx dx '⎛⎫π= ⎪⎝⎭又有其Euler 方程公式为：0u u d dx'ππ-= 综上得到原泛函问题的Euler 方程及其边界条件为：()()(),[,](1().1.1),()a b d dy p x q x y f x x a b dx dx y a y y b y ⎧⎪⎨⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭==⎪⎩2、（1）解：引入Sobolev 空间0V H ()∞=Ω,任取V v ∈乘以方程两端积分： (((,))(,))(,)k x y u q x y u vdxdy f x y vdxdy ΩΩ-∇∙∇+=⎰⎰⎰⎰再利用格林公式得到：((,)(,))(,)(,)uk x y u v q x y uv dxdy k x y vds f x y vdxdy n ΩΓΩ∂∙∇∇+-=∂⎰⎰⎰⎰⎰ 由边界条件得到：(,)((,)(,))(,)(,)g x y k x y u v q x y uv dxdy f x y vdxdy k x y vds nΩΩΓ∂∙∇∇+=+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 令 A(,)((,)(,))(,)F()(,)(,)u v k x y u v q x y uv dxdy g x y v f x y vdxdy k x y vdsn ΩΩΓ⎧=∙∇∇+⎪⎪⎨∂⎪=+∂⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 得变分方程A(,)F(),(1.2.1)u v v v V=∈其解0u H ()∞∈Ω便为椭圆型方程第一边值问题的Galerkin 意义广义⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧rz z r γεεεθ解。
（2）证：下面用Lax-Milgram 定理证明广义解的存在唯一性。
首先，由Hilbert 空间的Schwarz 不等式得到1(,)V f v f v f v v ≤≤∀∈又有1(,)()(,)g x y f v k x y v d s n Γ∂=∂⎰有界 于是11F(v)(,)(,)f v f f v f =+≤+，即F(v)在V 上是有界的。
其次，A (,)((,)(,))u v k x y u v q x y u v d x d y Ω=∙∇∇+⎰⎰中，A(,)u v 对称是显然的。
并且有：12((,)(,))(,)(,)K (,)Q (,)M ,V(),A ,k x y u v q x y uv dxdyk x y u vdxdy q x y uvdxdy u v u v uv u u v v ΩΩΩ∇∇+∇∇+≤∇∇=+≤≤∈⎰⎰⎰⎰⎰⎰说明A (,)u v 在V 上是有界的。
再证A (,)u v 正定，因为对于u V H ()∞∈=Ω， ()()()()222222222221((,)(,))(,)(,)(,)(,)(,)(,)A(,)x y x yk x y u q x y u dxdyk x y u dxdy q x y u dxdy k x y u u dxdy q x y uk x y u u q x y uu u u ΩΩΩΩ∇+=∇+=++=++≤α=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据Lax-Milgram 定理可知变分方程存在唯一解0u H ()∞∈Ω。
它是边值问题的Galerkin 广义解。
3、解：将第一边值条件齐次化，令b a u v x b ab aβ-αα-β=++--得,(,)(1.3.1)()()0d dv b a p q v x f x a b dx dx b a b a v a v b ⎧β-αα-β⎛⎫⎛⎫-+++=∈⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎨⎪==⎩取广义解空间}{120V H [,],,()()0T a b v v v L v a v b ==∈==，再进行变分求广义解。
任取V v ∈，用它乘以式（1.3.1）中第一式的两边，并在区间I=[a,b]上积分：V bb a a d du b a p q u x vdx fvdx v dx dx b a b a ⎡β-αα-β⎤⎛⎫⎛⎫-+++=∀∈ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰对左端分部积分，bb b a a a du du dv b a p v p q u x v dx fvdx dx dx dx b a b a ⎡β-αα-β⎤⎛⎫-++++= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎰⎰， 利用()()0v a v b ==，左端第一项为0，带入上式得()()()()V(1.3.2)bb a a b a pu x v x q u x x v x dx fvdx v b a b a ⎡β-αα-β⎤⎛⎫''+++=∀∈ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎰⎰如前所述，满足（3.2）式的解V u ∈称为原两点边值问题Galerkin意义的广义解。
引入空间V 上的双线性泛函A(,)()()()()(1.3.3)ba b a u v pu x v x q u x x v x dx b a b a ⎡β-αα-β⎤⎛⎫''=+++ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎰和线性泛函()()()(1.3.baF v f x v x d x=⎰于是原问题的Galerkin 广义解V u ∈可以表示为：A(,)(),V(1.3.5)u v F v v =∀∈下面用等距节点线性元推导有限元方程。
从（1.3.3）式可以得出，A(,)u v 不对称，下面采用Galerkin 法建立有限元方程。
可以知道变分方程为（1.3.5）式，求V u ∈使得（1.3.5）式成立。
下面构造V 的有限维子空间V h12V {(),(),...,()}h n span x x x =ϕϕϕ使得子空间V h 的形成按以下步骤进行：1）剖分区间I =[a ,b ] 011......i i n a x x x x x b-=<<<<<<= 由于是等距节点剖分，则有单元长度1()/i i h x x b a n -=-=-，于是()/i x a i b a n =+-，称小区间1e [,]i i i x x -=为单元。
2）线性函数的构造 取1,()0,e 1,2,...,i i i x i x x x hn--⎧∈⎪ϕ=⎨=⎪⎩其它可以得到12V {(),(),...,()}V h n span x x x =ϕϕϕ⊂。
假设在i x 处()u x 的值i u （未知），则在V h 中V u ∈的近似解为：nh i i i 1u (x)u (x)(1.3.6)==ϕ∑从而得到近似变分方程：求()V h h u x ∈使得A(,)(),V (1.3.7)h h u v F v v =∀∈将（1.3.6）带入（1.3.7）并取(x ),1,2,...,j v j n=ϕ=得到： ()()()()()()()()()()()()()n i i j j i 1i j j 11j 12j 2j j 112111222212A u ,F(),j 1,2,...,n A ,F(),j 1,2,...,nA ,A ,...A ,F(),j 1,2,...,nA ,A ,...A ,A ,A ,...A ,............A ,A ,...A ,ni i n n n n n n n n u u u u ==⎛⎫ϕϕ=ϕ= ⎪⎝⎭⇒ϕϕ=ϕ=⇒ϕϕ+ϕϕ++ϕϕ=ϕ=⎡ϕϕϕϕϕϕ⎢ϕϕϕϕϕϕ⎢⇒⎢⎢ϕϕϕϕϕϕ⎣∑∑1122F()F()......F()n n u u u ϕ⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥ϕ⎥⎢⎥⎢⎥=⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥ϕ⎣⎦⎣⎦⎦(1.3.8)Ku F⇒=要求解此方程组，首先需要计算出系数矩阵K 和常数向量F ，而根据12(),(),...,()n x x x ϕϕϕ的结构可知，()i j (),()0,x x i j ϕϕ≡≠。
