2019_2020学年高中数学第1章三角函数5.2正弦函数的性质练习北师大版必修4
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5.2 正弦函数的性质
课后拔高提能练
一、选择题
1．函数y ＝1－sin x 在下列哪个区间上是减函数( )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，5π4 D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2 解析：选D 由y ＝1－sin x 的图像可知函数在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上为减函数． 2．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6≤x ≤2π3的值域是( )
A ．[－1,1]
B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
2，32 D ．⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
32，1 解析：选B ∵π6≤x ≤2π3，∴当x ＝π6时，y min ＝12，当x ＝π
2
时，y max ＝1，∴函数的值
域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1.
3．函数y ＝sin 2
x －3sin x ＋2的最小值为( ) A ．2 B ．0 C ．－14
D ．6
解析：选B 设t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]．∴y ＝t 2
－3t ＋2在[－1，1]上单调递减，最小值为12
－3×1＋2＝0.
4．设f (x )＝x ·sin x ，若x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2，且f (x 1)>f (x 2)，则下列结论中，必成立的是( )
A ．x 1>x 2
B ．x 1＋x 2>0
C ．x 1<x 2
D ．x 2
1>x 2
2
解析：选 D ∵f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x ·sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，又∵f (x 1)>f (x 2)，∴|x 1|>|x 2|，∴x 2
1>x 2
2，∴选D ．
二、填空题
5．函数f (x )＝2|sin x |的最小正周期是________． 解析：由y ＝|sin x |的图像知，最小正周期为π.
答案：π
6．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 的值为________． 答案：0
7．函数y ＝sin x 在⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤3π2，a 上是增加的，则a 的取值范围是________．
解析：由正弦函数的图像知⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，a ⊆⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3π2，5π2，
∴
3π2<a ≤5π
2
. 答案：⎝
⎛⎦
⎥⎤3π2，5π2
三、解答题
8．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.
(1)写出该函数的单调区间； (2)求该函数的对称轴及对称中心．
解：(1)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
得k π－5π12≤x ≤k π＋π
12(k ∈Z )．
由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π
2(k ∈Z )，
得k π＋π12≤x ≤k π＋7π
12
(k ∈Z )．
∴函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )，单调减
区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．
(2)由2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π
12(k ∈Z )，
∴函数f (x )的对称轴为x ＝
k π2
＋π
12
(k ∈Z )．
由2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π
6(k ∈Z )．
知函数f (x )的对称中心为⎝
⎛⎭
⎪⎫k π2－π6，1(k ∈Z )．
9．求y ＝sin2x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3的最值以及取得最值时x 的值．
解：∵－π6≤x ≤π3，∴－π3≤2x ≤2
3π.
由y ＝sin2x ＋1的图像可知， 当2x ＝－π3，即x ＝－π
6
时，
y min ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3
＋1＝1－3
2
； 当2x ＝π2，即x ＝π
4
时，y max ＝2.
综上，当x ＝－π6时，函数取得最小值1－32，当x ＝π
4时，函数取得最大值2.。
