高中数学第三章基本初等函数Ⅰ32对数与对数函数2同步练习新人教B版必修11026473

对数及其运算第2课时积、商、幂对数课堂导学三点剖析一、利用对数运算法那么计算问题85+lg 21; (2)log a n a +log a n a 1+log a n a1(a>0且a≠1); (3)2log 510+log 50.25;(4)2log 525+3log 264;(5)log 2(log 216).思路分析：要注意灵活运用对数运算法那么,要会正用法那么,也要会逆用法那么,更要会变形用法那么. 解：85+lg 21 =(lg12.5+lg 21)-lg 85 =lg(12.5×21)+lg 58 =lg(12.5×21×58) =lg10=1.(2)log a n a +log a n a 1+log a n a1 =n 1log a a-nlog a a n1-log a a =-n 1n n 1-=-n. (3)2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 552=2.(4)2log 525+3log 264=2log 552+3log 226=4log 55+18log 22=4+18=22.(5)log 2(log 216)=log 2(log 224)=log 24=log 222=2.温馨提示计算时要将式子中真数积、商、幂、方根运用对数运算法那么将它们化为对数和、差、积、商,然后化简求值;另一方面就是将式子中对数和、差、积、商运用对数运算法那么将它们化为真数积、商、幂、方根,然后化简求值.总之,要根据解题具体需要正用及逆用法那么,灵活地运用法那么.二、对数式条件求值问题【例2】lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45.思路分析：运用对数运算法那么变形lg 45,最后变为仅含lg2和lg3式子.解：lg 45=21lg45=21lg5×9 =21(lg5+lg9)=21lg 210+21lg32 =21(lg10-lg2)+lg3 =21(1-0.3010)+0.4771=0.8266. 温馨提示条件求值问题,关键是如何利用条件,条件直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值式子同时变形,找到共同点.三、对数运算法那么综合应用问题【例3】(1)化简27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg -+++; (2)lgx+lgy=2lg(x-2y),求证:logyx 2=4. (1)解法一:先采用“分〞方法. 原式=3lg 33lg 43lg 213lg 1093lg 543lg --++ ==511. 解法二:采用“合〞方法. 原式=2781lg )32793lg(21532152-⨯⨯⨯⨯==511. (2)证明:∵lgx+lgy=2lg(x -2y),∴lgxy=lg(x -2y)2.∴xy=(x -2y)2,即x 2-5xy+4y 2=0.∴x=4y 或x=y(舍去). ∴yx =4. ∴log 2y x =log 24=log 2(2)4=4.对数式化简两种方法.一是把真数分解质数,然后把对数分成假设干个对数代数和,最后进展化简;二是把同底对数之和合并成一个对数,对真数进展化简.这两种解题思路,便是我们解决对数式化简问题重要方法,在碰到这类问题时,要善于灵活地选用上面所讲方法. 各个击破类题演练1计算:(1); (2)21lg 493243-lg 8+lg 245. 解析：(1)= ==12lg 12lg =1. (2)21lg 493243-lg 8+lg 245 =21(5lg2-2lg7)43-×23lg2+21(2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5 =21lg2+21lg5=21(lg2+lg5) =21lg10=21. 变式提升1计算:(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2; (2)解析：(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2 =2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=3.(2)= ==21. 类题演练2lgx=m,lgy=n,求lg x -lg(10y )2值. 解析：lg x -lg(10y )2=21lgx-2lg 10y =21lgx-2(lgy-lg10)=21m-2n+2.3n =2,求log 38-log 336(用n 表示).解析：由3n =2,得n=log 32.∴log 38-log 336=log 323-log 362=3log 32-2log 36=3log 32-2log 32×3=3log 32-2(log 32+log 33)=log 32-2=n-2.类题演练3化简log 2487+log 21221-log 242. 解法一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法那么,把log 2487,log 212,log 242拆成假设干个对数代数和,然后再化简.原式=21log 2+log 2(3×22)21-log 2(7×2×3) =21log 27-21log 23-2log 22+log 23+2log 2221-log 2721-log 2221-log 23 =21-log 22=21-. 解法二:由于所给对数底数一样,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算. 原式=log 2=log 221=21-. 变式提升3证明(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=1.证明:(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5=(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2=(lg2+lg5)2=(lg10)2=1.。

3.2.2 对数函数5分钟训练1.函数y=2log 2-x 的定义域是( )A.(3,+∞)B.［3,+∞)C.(4,+∞)D.［4,+∞)答案：D解析：由log 2x-2≥0,得x≥4.2.函数f(x)=|log 2x|的图象是( )答案：A解析：f(x)=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x 3.设a=0.3-2,b=log 0.34,c=log 43,则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜b ＜aD.b ＜c ＜a答案：D解析：利用它们与0、1的大小关系进行比较.4.函数f （x ）=log （a-1）x 是减函数，则a 的取值范围是______________.答案：1＜a ＜2解析：由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a ＜2.10分钟训练1.函数y=lg|x|是( )A.偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增B.偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减C.奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增D.奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减 答案：B解析：画出函数y=lg|x|的草图即见答案.在画函数y=lg|x|的草图时，注意应用函数y=lg|x|是个偶函数，其图象关于y 轴对称.比如列表时，要先确定对称轴，然后在对称轴的两侧取值列表.2.函数f(x)=xln|x|的图象是( )答案：A解析：因为函数f(x)是奇函数,所以C 、D 不成立.当x ＞1时,f(x)＞0,所以B 不成立.3.设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-.2),1(log ,2,2231x x x e x 则f(f(2))的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：f ［f(2)］=f(1)=2.4.若定义在（-1，0）上的函数f （x ）=log 2a （x+1）满足f （x ）>0，则a 的取值范围是( )A.（0，21） B.（0，21］ C.（21，+∞） D.（0，+∞） 答案：A解析：当x ∈(-1，0)时，有x+1∈(0，1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可.由此解得0<a<21. 5.方程log 3x+x=3的解所在的区间为( )A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案：C解法一：在同一坐标系中作出函数y=log 3x 与y=3-x 的图象,易知x ∈(2,3).解法二:设f(x)=log 3x+x-3.因为f(2)·f(3)＜0,可知函数的零点在(2,3)之间.6.设a≠0，对于函数f （x ）=log 3（ax 2-x+a ），（1）若x∈R ，求实数a 的取值范围；（2）若f （x ）∈R ，求实数a 的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为R ，则ax 2-x+a ＞0对一切实数x 恒成立，其等价条件是 ⎩⎨⎧<-=∆>,041,02a a 解得a ＞21.(2)f(x)的值域为R ，则真数ax 2-x+a 能取遍大于0的所有实数，其等价条件是 ⎩⎨⎧≥-=∆>,041,02a a 解得0＜a≤21.30分钟训练1.（2006天津高考,文4）设P=log 23,Q=log 32,R=log 2(log 32),则( )A.R ＜Q ＜PB.P ＜R ＜QC.Q ＜R ＜PD.R ＜P ＜Q答案：A解析：∵P＞1,0＜Q ＜1,R ＜0,∴R＜Q ＜P.2.函数y=|x 21log |的定义域为［a,b ］,值域为［0,2］,则b-a 的最小值是( )A.41B.3C.43D.2答案：C解析：如图,令|x 21log |=2,得x=41或x=4.∵y∈［0,2］,∴(b -a)min =141-=43.3.下列四个函数中,图象如图所示的只能是( )A.y=x+lgxB.y=x-lgxC.y=-x+lgxD.y=-x-lgx答案：B解析：因为A 、D 是单调函数,所以它们不正确.不妨取x=10,∵C 中的y=-10+lg10=-9＜0,∴C 不正确.4.已知0＜a ＜1,log a m ＜log a n ＜0,则( )A.1＜n ＜mB.1＜m ＜nC.m ＜n ＜1D.n ＜m ＜1答案：A解析：由0＜a ＜1知函数f(x)=log a x 为减函数,由log a m ＜log a n ＜0,得m>n>1.5.已知函数y=lg(2x -b)(b 为常数),若x∈［1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则( )A.b≤1B.b ＜1C.b≥1D.b=1答案：A解析：由题意得,2x -b≥1,b≤2x -1,x ∈［1,+∞).此时(2x -1)min =1,从而b≤1.6.(创新题)设函数f(x)=log a x(a ＞0,且a≠1),若f(x 1·x 2·…·x 2 007)=8,则f(x 12)+f(x 22)+…+f(x 2 0072)的值等于( )A.4B.8C.16D.2log a 8答案：C解析：∵f(x)=log a x,f(x 1·x 2·…·x 2 007)=8,∴由函数的运算性质,得f(x 12)+f(x 22)+…+f(x 2 0072)=f(x 12·x 22·…·x 2 0072)=f［(x 1·x 2·…·x 2 007)2］=log a (x 1·x 2·…·x 2 007)2=2log a (x 1·x 2·…·x 2007)=2×8=16. 7.若f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤,1,log ,1,4181x x x x 则满足f(x)=41的x 的值为_______________. 答案：1或3 解析：当4141=x 时,x=1; 当log 81x=41时,x=41441381⨯==3. 所以x 的值为1或3.8.(探究题)对于函数f(x)定义域中任意的x 1,x 2(x 1≠x 2),有如下结论：①f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2);②f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2);③2121)()(x x x f x f --＞0; ④f(221x x +)＜21［f(x 1)+f(x 2)］.当f(x)=lgx 时,上述结论成立的是_________________.(填序号)答案：②③ 提示:根据对数的运算性质及函数的性质进行判断.9.已知集合A={x|62)21(--x x ＜1},B={x|log 4(x+a)＜1},若A∩B=∅,求实数a 的取值范围.解：由62)21(--x x ＜1,得x 2-x-6＞0,解得x ＜-2或x ＞3,即A={x|x ＜-2或x ＞3}.由log 4(x+a)＜1,得0＜x+a ＜4,解得-a ＜x ＜4-a,即B={x|-a ＜x ＜4-a}.∵A∩B=∅,∴⎩⎨⎧≤--≥-,34,2a a 解得1≤a≤2.即实数a 的取值范围是［1,2］.10.已知函数f(x)=log a 11--x mx(a ＞0,且a≠1)的图象关于原点对称.(1)求m 的值;(2)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.解：(1)根据已知条件对于定义域内的一切x 都有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0, ∴11log 11log --+--+x mxx mx a a =0. 整理得11log 222--x x m a =0, ∴11222--x x m =1,即(m 2-1)x 2=0.∴m 2-1=0.∴m=1或m=-1.若m=1,11--x mx=-1,f(x)无意义,则舍去m=1,∴m=-1.(2)设1＜x 1＜x 2,而f(x)=log a 11-+x x , ∵0)1)(1()(2111121122211>---=-+--+x x x x x x x x , ∴11112211-+>-+x x x x ＞0.当a ＞1时,11log 11log 2211-+>-+x xx x a a ,即f(x)在(1,+∞)上递减； 当0＜a ＜1时,11log 11log 2211-+>-+x x x x a a , 即f(x)在(1,+∞)上递增.。

其中成立的有 ( )
A． 3 个 B． 4 个 C．5 个 D ． 6 个
2．若 y＝log56· log67· log78· log89· log910，则有 ( ) A．y∈ (0,1) B．y∈ (1,2)
C． y∈ (2,3) D ．y＝ 1
3．已知 a、 b、 c 为非零实数，且 3a＝ 4b＝ 6c，那么…… ( )
点评： 对于对数的运算性质要熟练掌握， 并能够灵活运用，在求值过程中， 要注意公式
的正用和逆用．
7． logba 由对数换底公式，得
∴ p＝ loga(logba)．∴ ap＝ logba. 8．解：由 3x＝ 4y＝ 36，
logb (logb a) logba ＝ loga(logba)，
得 x＝ log336， y＝ log436，
＝logaN 时，必有 M ＝N>0 成立， 故②成立； 在③中， 当 logaM 2＝logaN 2 时，有 M ≠ 0，N ≠ 0，
且 M 2＝ N 2，即 |M| ＝ |N| ，但未必有 M ＝ N ，例如： M＝ 2，N ＝－ 2 时，有 logaM 2＝ logaN 2， 但 M ≠ N ，∴③不成立；在④中，若 M ＝N ＝ 0 时， logaM 2 与 logaN 2 均无意义，∴④不成立．
2 6． lg25＋ lg8＋ lg5·lg20＋ lg22＝ ________.
3
logb (logba) 7． a>1 ，b>1 ， p＝ logba ，则
ap＝________.
21 8．设 3x ＝ 4y＝ 36，求 ＋ 的值．
xy
lgx＋lgy lgx＋ lgy [lg(x－ y)]2 9．如果 lgx ＋ lgy ＋ lgx· lgy ＝0，求 x ，y 及 log2(xy)的值．

3.2.2 对数函数课堂导学三点剖析一、对数函数定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域与值域.(1)y=log 2(x 2-4x-5);(2)y=log 3(9-x 2); (3)y=32x log ; (4)y=)34(log 5.0-x .思路分析：(1)(2)题,用y=log a x 的定义域来求它们的定义域,即相当于利用y=log a x 中的x 的代数式大于0即可求得;(3)(4)题,对数要有意义并且根式也要有意义,结合对数函数的图象求定义域比较直观、好理解.解：(1)∵x 2-4x-5>0,∴x<-1或x>5.∴y=log 2(x 2-4x-5)的定义域是{x|x<-1或x>5}.又令g(x)=(x-2)2-9,∵g(x)在定义域内恒有g(x)>0,∴函数值域为R .(2)由9-x 2>0,得-3<x<3,∴y=log 3(9-x 2)的定义域为{x|-3<x<3}.又知0<9-x 2≤9且y=log 3x 是增函数,∴y=log 3(9-x 2)≤log 39=2.∴y=log 3(9-x 2)的值域为(-∞,2］.(3)∵该函数有奇次根式,要使函数有意义,只需对数的真数是正数,∴所求定义域是{x|x>0},值域为R .(4)要使函数y=)34(log 5.0-x 有意义,必须log 0.5(4x-3)≥0=log 0.51.∴0<4x -3≤1.∴43<x≤1. ∴所求定义域是{x|43<x≤1},值域为［0,+∞). 二、比较大小问题【例2】比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 310.3,log 20.8;(2)log a 5.1,log a 5.9;(3)log 67,log 76.思路分析：对于底数相同的两个对数值比较大小,可由对数函数的单调性确定.对于底数不同的两个对数值比较大小,要换底或在两个对数值之间搭一个“桥梁”,如“0”和“1”,间接地比较大小.解：(1)由对数的性质,知 log 310.3>0,log 20.8<0,∴log 310.3>log 20.8.(2)对数函数的增减性取决于对数的底数是大于1还是在0与1之间,而已知条件中并未明确指出底数a 与1哪个大,因此需要对底数a 进行讨论.当a>1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数,5.1<5.9,∴log a 5.1<log a 5.9;当0<a<1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数,5.1<5.9,∴log a 5.1>log a 5.9.(3)∵log 67>1,log 76<log 77=1,∴log 67>log 76.三、函数单调性的判定与单调区间的求法【例3】(1)求证:函数f(x)=-log 51x 在(0,+∞)上是增函数;(2)求函数f(x)=log 2(x 2-1)的单调区间.(1)证明:在(0,+∞)上任取x 1、x 2,且0<x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=(-log 51x 1)-(-log 51x 2)=log 51x 2-log 51x 1.又y=log 51x 在(0,+∞)上是减函数,有log 51x 2<log 51x 1, ∴log 51x 2-log 51x 1<0,即f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).∴f(x)=-log 51x 在(0,+∞)上是增函数.(2)解析：由x 2-1>0得x>1或x<-1,∴f(x)定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1).令g(x)=x 2-1,知g(x)在(1,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减且f(x)=log 2x 为增函数.故f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(-∞,-1).温馨提示(1)要熟练地应用增、减函数的定义,以及对数函数y=log a x 的单调性来证明复合函数单调性.(2)G(x)=f ［g(x)］,若g(x)与f(x)同增(或同减),则G(x)为增;若g(x)与f(x)一增一减,则G(x)为减,可据此来求单调区间.各个击破类题演练1已知函数y=log a (a-a x )(其中a>1),求它的定义域和值域.解析：根据题意a-a x >0,∴a x <a.又∵a>1,y=a x 是增函数,∴x<1.∵a x <a,且a x >0,0<a-a x <a,∴log a (a-a x )<1.∴函数y=log a (a-a x )的定义域和值域分别是{x|x<1}和{y|y<1}.变式提升1求下列函数的定义域:(1)y=log 7x311 ;(2)y=)32lg(422-+-x x x ; (3)y=log (x+1)(16-4x). 解析：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-,031,0311x x 得x<31, ∴所求函数的定义域为{x|x<31}. (2)由⎪⎩⎪⎨⎧≠-+>-+≥-.0)32lg(,032,04222x x x x x 即⎩⎨⎧±-≠-<≥⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-+>-<-≤≥.51,63213213222x x x x x x x x x 或或或∴函数y=)32lg(422-+-x x x 的定义域为{x|x≥2或x<-3且x≠-15-}. (3)由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-.0,1,2,0,1,44110104162x x x x x x x x x 得∴y=log (x+1)(16-4x)的定义域为{x|-1<x<2且x≠0}.类题演练2比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 213,log 513;(2)log 3π,log 20.8.解析：(1)∵在x∈(1,+∞)上,y=log 51x 的图象在y=log 21x 图象的上方, ∴log 513>log 213.(2)∵log 3π>log 31=0,log 20.8<log 21=0,∴log 3π>log 20.8.变式提升比较(lgm)1.9与(lgm)2.1(m>1)的大小.解析：把lgm 看作指数函数的底数,本题转化为比较一个指数函数的两个函数值的大小,于是应对底数lgm 进行讨论:当1>lgm>0,即1<m<10时,y=(lgm)x 在R 上是减函数,1.9<2.1,∴(lgm)1.9>(lgm)2.1;当lgm=1,即m=10时,(lgm)1.9=(lgm)2.1=1;当lgm>1,即m>10时,y=(lgm)x 在R 上是增函数,1.9<2.1,∴(lgm )1.9<(lgm)2.1.类题演练3求函数f(x)=log 0.5(x 2-2x-3)的单调区间.解析：由x 2-2x-3>0得x>3或x<-1,令g(x)=(x-1)2-4,知g(x)在(3,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减.又f(x)=log0.5x是减函数,故f(x)的增区间为(-∞,-1),减区间为(3,+∞).变式提升3判断f(x)=log a(x2-2x-3)在(3,+∞)上的单调性.解析：令g(x)=x2-2x-3,当x∈(3,+∞)时,有g(x)>0. 设x1、x2∈(3,+∞)且x1>x2,则g(x1)=x12-2x1-3,g(x2)=x22-2x2-3.∴g(x1)-g(x2)=(x12-x22)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2). ∵x1>x2>3,∴x1-x2>0,x1+x2-2>0.∴g(x1)>g(x2).又当a>1时,f(x)=log a x是增函数,∴f(x1)=log a g(x1)>log a g(x2)=f(x2).∴当a>1时,f(x)在(3,+∞)上是增函数.同理可证,当0<a<1时,f(x)在(3,+∞)上是减函数.。