中考复习专题练习切线的判定与性质

切线的判定和性质练习一一、选择题1．如图，AB 、AC 分别与⊙O 相切于B 、C ，∠A=50°，点P 是圆上异于B ，C 的动点，则∠BPC 的度数是( )A. 65°B. 115°C. 65°和115°D. 130°和150°2．如图，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C=36°，则∠ABD 的度数是( )A. 72°B. 63°C. 54°D. 36°3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C ，又⊙O 与BC 的另一交点为D ，则线段BD 的长为( ) A. 1 B.12 C. 13 D. 144. 正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（ ） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5 5、如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ）A 、900－∠PB 、900－21∠P C 、1800－∠P D 、450－21∠P二、填空题6.如图，CB 切⊙O 于点B ，CA 交⊙O 于点D 且AB 为⊙O 的直径，点E 是错误！未找到引用源。

上异于点A 、D 的一点．若∠C =40°，则∠E 的度数为 ____ ．7.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．18∙OFEDCBA ∙POFEDB A8.如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．9．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．10.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．三、解答题11.（2013•玉林）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r．12.（2013•孝感）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD 延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=3，求⊙O的直径．13.已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．14.（2013•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．（1）若∠C=30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；（2）若BE=3，BD=1，求△DEC外接圆的直径．15. （2013•六盘水）在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的长．16.（2013•昆明）已知：如图，AC⊙O是的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．17.（2013•铁岭）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．18．（2013•南京）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC ∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．19.（2013•安顺）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=3，求AD的长．20. 如图，⊙O 的弦AD∥BC,过点D 的切线交BC 的延长线于点E ，AC∥DE 交BD 于点H ，DO 及延长线分别交AC 、BC 于点G 、F. (1) 求证：DF 垂直平分AC ； （2）求证：FC ＝CE ；（3）若弦AD ＝5㎝，AC ＝8㎝，求⊙O 的半径.21. 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC PC =，2COB PCB ∠=∠． （1）求证：PC 是O ⊙的切线；（2）求证：12BC AB =；O N B PCAM。

2022-2023人教版数学九年级上册同步练习24.2.3 切线的判定和性质一．选择题（共15小题）1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A．4B．5C．6D．72．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA=30°，则OB长为（）A．1B．2C．D．25．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．16．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD 分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP=5B．OE=OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（）A．3B．2C．5D．9．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（）时，PA与⊙O相切．A．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．3C．5D．1或511．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，∠D=110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC 相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D 是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论①l1和l2的距离为2 ②MN=③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°④当AM+BN=时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x 轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为．17．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为．18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=．19．如图所示，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动s时，直线MN 恰好与圆O相切．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．21．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（只需填序号）三．解答题（共9小题）22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．（1）求证：BC平分∠ABD．（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B （0，4），C（0，16），求该圆的直径．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．25．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．26．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．28．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF．29．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．30．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC=3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵AB=24，OB=OA=13，∴BC=12；在Rt△OCB中，∴OC==5．故选：B．2．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故选：B．3．【解答】解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°，故选：C．4．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB=90°．∵OA=1，∴OB=．故选：B．5．【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．6．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．7．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．8．【解答】解：如图所示：MK=，故选：B．9．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故选：B．10．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选：D．11．【解答】解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D=110°，∴∠B=180°﹣∠D=70°，∴∠AOC=2∠B=140°，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵的度数是70°，∴∠COD=70°，∴∠AOD=70°，∠BOC=50°，∴AD弧的长度==π，∴BC弧的长度==π，∵70π=6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．12．【解答】解：A、如图1，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确；B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴C选项错误；D、如图2，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．13．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选：C．14．【解答】解：如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH=AB=2，在Rt△MNH中，∵∠1=60°，∴MH=NH=，∴MN=2MH=，所以②正确；当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠MON=90°，所以③正确；过点O作OC⊥MN于C，如图2，=S△OAM+S△OMN+S△OBN，∵S四边形ABNM∴•1•AM+•1•BN+MN•OC=（BN+AM）•2，即（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，∵AM+BN=，MN=，∴OC=1，而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．故选：D．15．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），或P1P=8cm∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．故选：D．二．填空题（共6小题）16．【解答】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），而﹣1﹣（﹣4）=3，1﹣（﹣4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．17．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．18．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．19．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2=×1×|b|，解得：b=或b=﹣，∴直线EF的解析式为y=x+或y=x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y=x﹣2中y=0，则x=2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．20．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或1021．【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知没有给出∠B=30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正确．故答案为：①②④．三．解答题（共9小题）22．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．23．【解答】解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，∵O′D⊥BC，∴D为BC中点，∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，∵⊙O′与x轴相切，∴O′A⊥x轴，∴四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，24．【解答】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE．∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线26．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．27．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵点O为直角三角形斜边AB的中点，∴OC=OA=OB．∴点C在⊙O上，∵BD=OB，∴AB=DO，∵CD=CA，∴∠A=∠D，∴△ACB≌△DCO，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4．28．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，29．【解答】解：（1）如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．30．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM=90°，∴∠A+∠AMC=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠NPM=90°，∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，∴∠ABP=∠AMC，∵OP=OB，∴∠ABP=∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC=CN，∴∠PNM=∠NPC，∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN=90°，则∠MDC+∠NDC=90°，∵∠DCM=∠DCN=90°，∴∠MDC+∠DMC=90°，∴∠NDC=∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2=MC•NC∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC=AC•BC；即AC•BC=DC2，∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3﹣2=1，∴DC2=5，∴DC=，∵MN⊥DD'，∴D'C=DC=，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．。

切线的判定与性质、切线长定理1.如图，AB为⊙O的直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB＝12㎝，∠B＝300，则∠ECB＝，CD＝。

2.如图，CA为⊙O的切线，切点为A。

点B在⊙O上，如果∠CAB＝550，那么∠AOB等于。

3.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是⌒AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，（1）若PA=12，则△PDE的周长为____；（2）若△PDE的周长为12，则PA长为；（3）若∠P=40°，则∠DOE=____度。

(1题图) (2题图) (3题图)4.下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直与圆的半径的直线是切线；③与圆心的距离等于半径的直线是切线；④过圆直径的端点，垂直于该直径的直线的是切线。

其中正确命题有（）A．①②B．②③C．③④D．①④5.如图，AB、AC与⊙O相切与B、C，∠A＝500，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是。

6.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( )A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7.如图，⊙O分别与△ABC的边BC、CA、AB相切于D、E、F，∠A＝800，则∠EDF＝。

（5题图）（6题图）（7题图）8.点O是△ABC的内心，∠BAO＝200，∠AOC＝1300，则∠ACB＝。

9.已知：Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝4，BC＝3，则△ABC内切圆的半径为。

10. 若直角三角形斜边长为10㎝，其内切圆半径为2㎝，则它的周长为 。

11. 如图，BA 与⊙O 相切于B ，OA 与⊙O 相交于E ，若AB ＝5，EA ＝1，则⊙O 的半径为 。

12. 如图，在△ABC 中，I 是内心，∠BIC ＝1300，则∠A 的度数是 。

13. 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于点D 、E 、F ，若∠FOD ＝∠EOD ＝1350，则△ABC 是（ ） A.等腰三角形；B.等边三角形；C.直角三角形；D. 等腰直角三角形；EFDOCA B（11题图） （12题图） （13题图）14. 如果两圆的半径分别为6cm 和4cm ，圆心距为8cm ，那么这两个圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 15. 若已知Rt △ABC 中，斜边为26cm ，内切圆的半径为4cm ，那么它的两条直角边的长分别为（ ）cmA 、7、27B 、8、26C 、16、18D 、24、10416. 已知两圆的半径分别是方程0232=+-x x 的两根，圆心距为3，则两圆的位置关系是__________．17. 两圆半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，则两圆的圆心距等于（ ）cm 。

2024年中考数学切线的性质与判定专项训练1..如图在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝8，sin B＝，求⊙O的半径；（3）求证：AD2＝AB•AF．3.如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE 。

(1) 求证：DE 是⊙O 的切线。

（2）设AE=6，∠D=300，求图中阴影部分的面积。

4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，点O 在AB 上，以O 为圆心，OB 长为半径的圆过点D ，且交BC 于点E.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝6，sin ∠BAC ＝23，求BE 的长．5.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接PA 、AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D 。

（1）试判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若32 AC OC ,且OC=4，求PA 的长和tanD 的值6.如图⊙O 中，AB 为直径，OC ⊥AB，弦CD 与OB 交于点F ，过点D 、A 分别作⊙O 的切线交于点G ，并与AB 延长线交于点E ．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF ：OB=1：3，⊙O 的半径为3，求DE 的长．（3）在（2）的条件下，求AG 的长．7．如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上．（1）求证：AE=AB．（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．8.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D 使得DA=DC．线段DC、AB的延长线交于点E.（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC=2，∠CAB=30°，求阴影部分的面积（结果保留π）.9.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB(1) 求证：AT是⊙O的切线(2) 连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值10．如图，点A、B、C、D均在⊙O上，FB与⊙O相切于点B，AB与CF交于点G，OA⊥CF于点E，AC∥BF．（1）求证：FG=FB．（2）若tan∠F=，⊙O的半径为4，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC 于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=33，DF=3，求图中阴影部分的面积．12.如图，的直径，的中点，过点D作垂足为E．(1)求证：直线DE是的切线．(2)若求BC的长．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，AD平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）如果AB＝6，AE＝3，求：阴影部分面积．14．如图，在△ABC中，点O是AB边上一点，OB＝OC，∠B＝30°，过点A的⊙O切BC于点D，CO平分∠ACB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝12，求阴影部分的面积．15.如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝，BE＝2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．16．如图，AB是⊙O的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB •DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED＝．（1）求证：△DEB∽△DAE；（2）求DA，DE的长；（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．17.如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG（1）判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2＝BC•BF；（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，DG＝2.5时，求DE的长．。

《切线的性质与判定习题课》专题班级 姓名1.切线的性质：①切线和圆只有 公共点；②切线和圆心的距离等于 ；③圆的切线 过切点的半径。

2. 切线的判定定理： .3. 当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接 ，得到半径，那么切线 这条半径。

4. 证明切线的方法：①当直线与圆有明确公共点时， ，证明直线 半径；②当直线与圆有没有明确公共点时，过圆心作直线的 ，证明垂线段 半径；5. 如图1，AB 与⊙O 切于点A ，⊙O 半径为3，AB ＝4，则OB ＝______6. 如图2，已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ， ⊙O 半径为3，∠APO = 30°，那么AP = .7. 如图3，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若大圆半径为10cm ，小圆半径为6cm ，则弦AB 的长为 cm 。

8. 如图4，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 与C ，若∠A=25°，则∠D ＝ 。

9. 如图5，∠ACB=60°，半径为1cm 的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是 cm 。

10. 如图6，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ，如果⊙P 以1cm /s 的速度沿A 向B 的方向移动，则经过 秒后⊙P 与直线CD 相切。

B OA 图1O C B A 图3 BOCA图5图2 AOD B PCCB OD图411. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A=40°， 求∠C 的度数。

12. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC 边上的中点，连接PE ，求证：PE 是⊙O 的切线13.如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，（1）求证：点E 是BD 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线。

切线的判定及性质练习题1、⊙O 的半径为2cm,直线MN 上有一点P,且PO=2cm,则⊙O 与直线MN 的位置关系是_______。

2、Rt △ABC, ∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,以点C 为圆心的⊙C 与AB 所在的直线相切，则⊙C 的半径为_______。

3、设⊙O 的半径为3，点O 到直线AB 的距离为d,若直线AB 与⊙O 至少有一个公共点，则d 应满足的条件是_______。

4、如图1，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于点C,AB=3cm,PB=4cm,则BC 的长是﹍﹍。

5、如图2，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于C,若∠BCD=25°，则∠B= ﹍﹍。

6、如图1、⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为25°，切线CD 与AB 的延长线交与点D ，则∠ADC=﹍﹍。

7．如图2、点P 为⊙O 外一点，PA 且⊙O 与点A,OP 交⊙O 于点B,PA=6，BP=4，则⊙O 的半径为﹍﹍。

8、如图3、知⊙O 半径为6cm,AB 是⊙O 的直径，D 为AB 延长线上的一点，DC 切⊙O 于点C ，连接AC ，若∠CAB=30 °，则 ∠ADC=﹍﹍，BD=﹍﹍。

1、以等腰△ABC 的腰AB 为直径作⊙O 交底边BC 与点D ，DE ⊥ AC 于E ， 求证：DE 为⊙O 的切线AODCB ●●O PAB(2)●C DOAB(3)B DCA●OE●AOCBP(1)●ACB OD (2)2、如图⊙O 是Rt △ABC 外接圆，点O 在AB 上，BD ⊥AB,点B 是垂足，OD ∥AC ，连接CD 。

求证：CD 是⊙O 的切线。

3、如图1，MP 切⊙O 于点M ，直线PO 交⊙O 于A 、B ，弦AC ∥MP ， 求证： MO ∥BC3、如图:AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为点D,求证：AC 平分∠DAB .OACB DOABDC●CBOAP M(1)●4、如图2，CD 是△ABC 的边AB 上的高，以CD,为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点。

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形圆》专题切线的性质与判定的综合运用（共30题）（基础题＆提升题＆压轴题）1．（2022秋•斗门区期末）如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP＝∠OBC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若P A＝4，PC＝BC，求⊙O的半径．2．（2023•太平区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BD为直径的半圆交BC于点F，点E是边AC和半圆的公共点，且满足DE＝EF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，AB＝9，求BF的长度．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．4．（2023•东港区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB 上，且以AD为直径的⊙O经过点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）当AD＝3BD，且BE＝4时，求⊙O的半径．5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长．6．（2023•鲁山县一模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝8，BD＝4，求AE的长．7．（2022秋•嘉祥县校级期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．8．（2023•莱芜区模拟）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分线CE交以AB为直径的⊙O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，⊙O恰好过点C．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若AC=4√3，求CF的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为BĈ的中点，DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O 于点E，连接CE．（1）若CE＝BC，求证：CE是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径．11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AD交⊙O于E点，BĈ=CÊ，F为⊙O上一点，AF∥CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）AC＝5，AF＝6，求⊙O的半径．12．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．13．（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，连接CD，过D作DE∥AB交AC延长线于点E．（1）求证：DE为⊙O切线：（2）若AC＝4，CD=√2，求⊙O的半径长．14．（2023•新余一模）⊙O是△ABC的外接圆，OC∥AB，延长OC至D点．（1）如图1，若OC＝CD，且B为弧AC的中点，求证：BD是⊙O的切线；（2）如图2，若BD是⊙O的切线，且BD＝3，CD＝1，求圆的半径及弦AB的长．15．（2023•云梦县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．（1）求证：EN是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．16．（2023•榆阳区一模）如图，BP为⊙O的直径，点A为PB延长线上一点，点C是⊙O上一点，过点C 作CE⊥BO交BO于点D，交⊙O于点E，连接OE，CB，∠ACB＝∠ECB．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若AB＝3，BD＝1，求CE的长度．17．（2023•乌鲁木齐一模）如图，AB是⊙O的直径，AD和CD分别切⊙O于A、E两点，BC与⊙O有公共点B，且EC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB＝12，AD＝8，求BC的长．18．（2022秋•同心县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，以点D为圆心、AD的长为半径的⊙D与AB相切于点A，与AC相交于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求AC和AD的长．19．（2022秋•蔡甸区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为斜边BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与边AB、AC交于点E、F，过点E作EG⊥BC，垂足为G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为6，若AF＝8，求BE的长．20．（2023•鱼峰区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．21．（2023•漳平市一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．22．（2023•怀远县校级模拟）AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD；（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长．23．（2023•桑植县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：∠ACD＝∠F；（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．24．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠EDC＝∠FDC；（2）求CD的长．25．（2022秋•华容区期末）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF 的长．26．（2023•高青县二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O 于M，CD交AB于E，DB＝DE．（1）求证：DB是⊙O的切线；（2）求证：∠D＝2∠ACD；（3）若DB＝6，DC＝10，求ME的长．27．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．28．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP ＝AC，且∠B＝2∠P．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD=√3，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若点B等分半圆CD，求DE的长．29．（2023•南海区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．30．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：OF⊥CE（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。

切线的性质与判定练习题及答案1. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是A．相切 B.相离C.相离或相切D.相切或相交2．如图，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O 的半径为A．B．C．D3．如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，?2cm?为半径作⊙M，?当OM=______cm时，⊙M 与OA相切．4．如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于A．0°B．50°C．0° D.70°5．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为，直线 AB为⊙O的切线，B为切点，则B点的坐标为．A． B． C．5556.如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC=°。

7.如图，?ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC 是⊙O的切线,你所添加的条件为 .A30.8．如图，已知AD为?o的直径，B为AD延长线上一点，BC与?o 切于C点，求证：BD=CD；△AOC≌△CDB.9、如图，AB是⊙O的直径，∠B=45°，AB=AC。

求证：AC是⊙O的切线。

10.已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．求∠BAC的度数；求证：AD=CD．11.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD的过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB.求证：DC为⊙O的切线；若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长.12.如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．求证：BC平分∠PDB；若PA=6，PC=6，求BD的长．切线的性质与判定练习题1. 如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°.直线BD是否与⊙O相切？为什么？连接CD，若CD=5，求的长.2.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．求证：PA是⊙O的切线；若PD=，求⊙O的直径．3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．求证：AC与⊙O相切．若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．A4.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30,D为弧BC 的?中点.求证：AB=BC求证：四边形BOCD是菱形.. C5.如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．AC与CD相等吗？问什么？若AC=2，AO=，求OD的长度．6.如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．7.如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE 的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE 交BA的延长线于点G．求证：CG是⊙O的切线．若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．8．如图，△ABC中，?ACB?90，D是边AB上一点，且?A?2?DCB.E是BC边上的一点，以EC为直径的?O经过点D。

复习: 一.切线的判定方法有哪些?
1.定义:一条直线和圆只有一个公 共点,这条直线叫圆的切线.
2.d=r 直线和圆相切
3.经过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
二.切线的性质有哪些?
1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于圆的半径 3. 圆的切线垂直于经过切点的半径. 4.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 5.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
⑴.公共点已给定.
做法是“连结”半径,让半径“垂直”于 直⑵线.公. 共点未给定.
做法是从圆心向直线“作垂线”, 证“垂线段等于半径”.
例1:如图，AB为⊙O的直径,BC是⊙O的 切线,切点为B,OC平行于弦AD.
求证:DC是⊙O的切线
例2:在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB和CD相等,且AB与小圆相 切于点E,
求证:CD与小圆相切.
例3：如图，AB是半圆⊙O的直径， CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点， 求证：CE=CF。
练习1： 1.如图，OC平分∠AOB,D是OC上
任意一点,⊙D与OA相切于E.
求证:OB与⊙D相切.
2.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB切于点 D.
求证:AC与⊙O相切.
小结：
1.在证明中熟练应用切线的判定和性质.
2.在证明一条直线是 圆的切线时,会遇到 两种情形,要选择适当的途径.

切线的性质与判定1-3题做垂直证半径，4-15题连半径证垂直.一 、解答题1.如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．2.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．3.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．4.已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．E BE BE BE B5.已知：如图, AB 是⊙O 的直径, AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，延长CA 交⊙O 于点F ，连接DF ，DE ⊥CF 于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AB =10，4cos 5C ∠=，求EF 的长．6.如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O 的切线； （2）求sin E ∠的值．7.如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；OFEDCBA（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．8.如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．9.已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点 在⊙上，且（1）求证：是⊙的切线；（2）若点是劣弧上一点，与相交 于点，且，，求⊙的半径长.10.如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．C ABCD O BD O AE CD ⊥E DA BDE ∠AE O 301cm DBC DE ∠==，BDD O CA B O .OA AB AD ==BD OE BC AE BCF 8BE =tan BFA ∠=O CD11.已知：O 为BAC ∠平分线上一点，OD AB ⊥于D ，以O 为圆心．以OD 为半径作圆O ．求证：O ⊙与AC 相切．12.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 交⊙O 于点C ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，D CAB ∠=∠． （1）求证：AD 为⊙O 的切线； （2）若4sin 5D =，6AD =，求CE 的长．13.如图，ABC △内接于O ，AB AC =，点D 在O 上，AD AB ⊥于点A ，AD 与BC交于点E ，点F 在DA 的延长线上，AF AE =． （1）求证：BF 是O 的切线；（2）若4AD =，4cos 5ABF ∠=，求BC 的长．CDB14.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．15.已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．ODCBAEA BCDODCOABE切线的性质与判定答案解析一 、解答题1.解法一：连结OD ，过O 点作OE AC ⊥于E ．∵AB AC =，∴B C ∠=∠， ∵O 是BC 中点，∴OB OC = OD AB ⊥∵O ⊙与AB 相切于D ，∴∴BOD COE ∆∆≌， ∴OE OD =， ∵OE AC ⊥， ∴AC 与O ⊙相切．解法二：连结OD OA 、，过O 点作OE AC ⊥于E ． ∵AB AC =，O 是BC 中点， ∴AO 平分BAC ∠，∵O ⊙与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥ ∵OE AC ⊥，∴OD OE =， ∴AC 与O ⊙相切．2.（1）如图所示，过点D 作DF AC ⊥于F ．∵AB 为D ⊙的切线，AD 平分BAC ∠， ∴BD DF =∴AC 是D ⊙的切线；（2）在Rt BDE ∆和Rt DCF ∆中， ∵BD DF =，DE DC =， ∴BDE FDC ∆∆≌ ∴EB FC = 又AB AF = ∴AB EB AC +=．3.（1）如图所示，过点D 作DF AC ⊥于F ．∵AB 为D ⊙的切线，AD 平分BAC ∠， ∴BD DF =∴AC 是D ⊙的切线；（2）在Rt BDE ∆和Rt DCF ∆中， ∵BD DF =，DE DC =， ∴BDE FDC ∆∆≌ ∴EB FC = 又AB AF = ∴AB EB AC +=．4.（1）连结OC 并延长交O ⊙于E ，连结BE ．可知CE 是O ⊙的直径，∴90CBE ∠=︒，∴90E BCE ∠+∠=︒ ∵CAB E DCB CAB ∠=∠∠=∠，，∴DCB E ∠=∠， ∴90DCB BCE ∠+∠=︒∵CE 是直径，∴CD 是O ⊙的切线．． （2）∵DCB CAB D ∠=∠∠，是公共角， ∴BDC CDA ∆∆∽， ∴CD BDAD DC=，即2CD AD BD =⋅． 【点评】不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周角的关系，只连半径就不太好用了，就要变半径为直径．“弦切角”已经从初中课本中删除，作为预习课我们这里也不作介绍，如果学生水平较高，这里老师也可以稍微提一下．5.（1）连接OD ， ∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠1．∵AB=AC, ∴∠B=∠C ．∴∠1=∠C ．∴OD ∥AC ． ∵DE ⊥CF 于点E ，∴∠CED ＝90°． ∴∠ODE ＝∠CED ＝90°．∴ DE 是⊙O 的切线．(2) 连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°．∵cosC=cosB=54． ∵AB=10，∴BD=AB ·cosB=8． ∵∠F=∠B =∠C ． ∴DF=DC=8．且cosF=cosC=45．在Rt △DEF 中，EF=DF ·cosF=532． 6.（1）证明：如图，连结CD ，则90BDC ∠=︒．∴CD AB ⊥．∵ AC BC =， ∴AB BD =． ∴D 是AB 的中点． ∵O 是BC 的中点，∴DO AC ∥．∵EF AC ⊥于F ． ∴EF DO ∥．∴ EF 是O 的切线．( 2 ) 连结BG ，∵BC 是直径, ∴90BGC CFE ∠=︒=∠． ∴BG EF ∥． ∴sin FC CGE EC BC∠==． 设CG x =，则6AG x =-． 在Rt BGA △中，222BG BC CG =-． 在Rt BGC △中，222BG AB AG =-． ∴()2222686x x -=--． 解得23x =．即23CG =． 在Rt BGC △中．∴ 213sin 69CG E BC ∠===． 7.（1）证明：连接AD ，OD ．∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，即AD BC ⊥ 又∵AB AC =，∴CD BD =，∴OD AC ∥ 又∵DE AC ⊥，∴OD DE ⊥ ∴DE 是O 的切线 （2）易知10AD ==∴12DE AD = DFG COBEA8.（1）证明：连接，∵DA 平分，∴BDA EDA ∠=∠．∵OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠．∴OAD EDA ∠=∠．∴OA CE ∥．∵AE DE ⊥，∴90AED ∠=︒，90OAE DEA ∠=∠=︒ ∴AE OA ⊥． ∴AE 是O 的切线．（2）∵BD 是直径，∴90BCD BAD ∠=∠=︒． ∵30DBC ∠=︒，60BDC ∠=︒ ∴120BDE ∠=︒．∵DA 平分BDE ∠，∴60BDA EDA ∠=∠=︒∴30ABD EAD ∠=∠=︒．在Rt AED △中，90AED ∠=︒，30EAD ∠=︒，∴2AD DE =．在Rt ABD △中，90BAD ∠=︒，30ABD ∠=︒，∴24BD AD DE ==．∵DE 的长时1cm ，∴BD 的长是4cm ． 9.（1）证明：连接.∵， ∴. ∴是等边三角形. ∴.∵，∴. ∴. ∴ .又∵点在⊙上，∴是⊙的切线 . （2）解：∵是⊙的直径， ∴.在中，, ∴设则，∴ .∴. OA BDE ∠OB ,OA AB OA OB ==OA AB OB ==ABO ∆160BAO ∠=∠=︒AB AD =230D ∠=∠=︒1290∠+∠=︒DB BO ⊥B O DB O CA O 90ABC ∠=︒Rt ABF△tan 2AB BFA BF ∠==,AB =2BF x=3AF x ==23BF AF =CD∵, ∴ ∽ . ∴. ∵,∴ .∴.10.（1）证明：连接AD ，OD ．∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，即AD BC ⊥ 又∵AB AC =，∴CD BD =，∴OD AC ∥ 又∵DE AC ⊥，∴OD DE ⊥ ∴DE 是O 的切线 （2）易知10AD ==∴12DE AD = 11.如图所示，过O 作OE AC ⊥，垂足为E ．∵O 为BAC ∠平分线上一点，OD AB ⊥于D ∴OE OD =， ∴O ⊙与AC 相切．【解析】证明与切线有关的问题的辅助线一般有如下两种：①已知直线过圆上某点，那么连接该点与圆心，如第⑴题； ②如果不知直线与圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线． 12.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒． ∴90CAB B ∠+∠=︒． ∵D CAB ∠=∠，∴90D B ∠+∠=︒． ∴90DAB ∠=︒．∴AD 为⊙O 的切线．,34C E ∠=∠∠=∠BFE ∆AFC ∆23BE BF AC AF ==8BE =12AC =6AO =（2）解：∵4sin 5D =，6AD =， 在Rt ACD △中， 24sin 5AC AD D =⋅=，185CD =． 在Rt DAB △中，sin D =45AB DB =． ∴8AB =，10DB =．∵AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴CE EF =．设CE EF x ==， 则18105BE x =--， ∵90EFB DAB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BEF △∽BDA △． ∴EF BE DA BD=， 即18105610x x --=． ∴125x =． 即CE 的长为125． 13.（1）如图，连结BD ．∵AD AB ⊥，∴DB 是O ⊙的直径．∴1290D ∠+∠+∠=︒．又∵AE AF =，∴BE BF =，23∠=∠．∵AB AC =，∴23D C ∠=∠=∠=∠．∴12390∠+∠+∠=︒．F C即OB BF ⊥于B ．∴直线BF 是O ⊙的切线．（2）作AG BC ⊥于点G ．∵23D ∠=∠=∠． ∴4cos cos 35D ∠=∠=．在Rt ABD △中，90DAB ∠=︒，4AD =，4cos 5D ∠=，∴5cos AD BD D==， 223AB BD AD =-=． 在Rt ABG △中，90AGB ∠=︒，3AB =，4cos 25∠=，∴12cos 25BG AB =∠=． ∵AB AC = ，∴2425BC BG ==． 14.（1）直线BD 与O 相切．如图1，连结OD ．OA OD =，A ADO ∠=∠． 90C ∠=， 90CBD CDB ∴∠+∠=． 又CBD A ∠=∠，90ADO CDB ∴∠+∠=．90ODB ∴∠=．∴直线BD 与O 相切．（2）解法一：如图1，连结DE ．AE 是O 的直径，90ADE ∴∠=．:8:5AD AO =，4cos 5AD A AE ∴==． DCO A B E图190C ∠=，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． 2BC =， 52BD ∴=． 15.（1）连结OC 并延长交O ⊙于E ，连结BE ． 可知CE 是O ⊙的直径，∴90CBE ∠=︒，∴90E BCE ∠+∠=︒∵CAB E DCB CAB ∠=∠∠=∠，，∴DCB E ∠=∠，∴90DCB BCE ∠+∠=︒∵CE 是直径，∴CD 是O ⊙的切线．．（2）∵DCB CAB D ∠=∠∠，是公共角，∴BDC CDA ∆∆∽， ∴CD BD AD DC=，即2CD AD BD =⋅． 【点评】不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周角的关系，只连半径就不太好用了，就要变半径为直径．“弦切角”已经从初中课本中删除，作为预习课我们这里也不作介绍，如果学生水平较高，这里老师也可以稍微提一下．。

人教版九年级数学上册切线的判定与性质练习题一、选择题1. 下列说法中, 正确的是( )A. 与圆有公共点的直线是圆的切线B. 经过半径外端的直线是圆的切线C. 经过切点的直线是圆的切线D. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2.如图, AB是⊙O的直径, AC切⊙O于A, BC交⊙O于点D, 若∠C＝70°, 则∠AOD的度数为.. )A. 70°B. 35°C. 20°D. 40°3．如图, 线段AB是⊙O的直径, 点C, D为⊙O上的点, 过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E, 若∠E＝50°, 则∠CDB等于( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°4．如图, 等腰直角三角形ABC中, AB＝AC＝8, O为BC的中点, 以O为圆心作半圆, 使它与AB, AC 都相切, 切点分别为D, E, 则⊙O的半径为( )A. 8B. 6C. 5D. 45．如图, CD是⊙O的直径, 弦AB⊥CD于点G, 直线EF与⊙O相切于点D, 则下列结论中不一定正确的是( )A. AG＝BGB. AB∥EFC. AD∥BCD. ∠ABC＝∠ADC二、填空题6. 如图, 在⊙O中, 弦AB＝OA, P是半径OB的延长线上一点, 且PB＝OB, 则PA与⊙O的位置关系是_________.7. 如图, △ABC的一边AB是⊙O的直径, 请你添加一个条件, 使BC是⊙O的切线, 你所添加的条件为________________.8. 如图, AB是⊙O的直径, O是圆心, BC与⊙O切于点B, CO交⊙O于点D, 且BC＝8, CD＝4, 那么⊙O 的半径是______.9.如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．10、如图, AB为⊙O的直径, 直线l与⊙O相切于点C, AD⊥l, 垂足为D, AD交⊙O于点E, 连接OC, BE.若AE＝6, OA＝5, 则线段DC的长为______.如图, 已知△ABC内接于⊙O, BC是⊙O的直径, MN与⊙O相切, 切点为A, 若∠MAB＝30°, 则∠B＝________度.三、解答题12. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ABC＝90°, ∠BAC的平分线交BC于D, 以D为圆心, DB长为半径作⊙D, 求证: AC与⊙D相切.13. 如图, AB是⊙O的直径, 点C在AB的延长线上, CD与⊙O相切于点D, CE⊥AD, 交AD的延长线于点E.求证: ∠BDC＝∠A.14. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, BD是角平分线, 点O在AB上, 以点O为圆心, OB为半径的圆经过点D, 交BC于点E.求证: AC是⊙O的切线.15. 如图, AB为⊙O的直径, PD切⊙O于点C, 交AB的延长线于点D, 且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2, 求BD的长.16、如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上.求证：PE 是⊙O 的切线．17、已知:如图,在Rt△AB C 中,∠ACB=90°,以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D,过点D 作⊙O 的切线DE 交BC 于点E.求证:BE=CE.18、已知AB 是⊙O 的直径, ⊙O 过BC 的中点D, 且DE ⊥AC.求证: DE 是⊙O 的切线.19. 如图, 已知直线PA 交⊙O 于A, B 两点, AE 是⊙O 的直径, 点C 为⊙O 上一点, 且AC 平分∠PAE, 过C 作CD ⊥PA, 垂足为D.(1)求证: CD 为⊙O 的切线；(2)若DC ＋DA ＝6, ⊙O 的直径为10, 求AB 的长．E D C O AB。

中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练（附带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________⊥于点D，E是AC上一点，以BE为直径的O交1．如图，在ABC中，AB=AC，AD BC∠=︒．BC于点F，连接DE，DO，且90DOB(1)求证：AC是O的切线；(2)若1DF=，DC=3，求BE的长．、2．如图，在O中，BC为非直径弦，点D是BC的中点，CD是ABC的角平分线．∠=∠；(1)求证：ACD ABC(2)求证：AC是O的切线；(3)若1BD=，3BC=时，求弦BD与BD围城的弓形面积．是O的切线；=，且AC BD已知等腰ABC，AB=AC为直径作O交BC于点延长线于点F．是O的切线；CD=2，求O的半径．与O相离，，交O于点A是O上一点，连于点C，且PB(1)求证：PB是O的切线；(2)若25AC=，OP=5，求O的半径．6．如图，点O是ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作O，与BC相切于点E，连接OB，OE，O交OB于点D，连接AD并延长交CB的延长线于点F，且AOD EOD．∠=∠(1)求证：AB是O的切线；BC=，AC=8，求O的半径．(2)若107．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦．(1)尺规作图：过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点D （保留作图痕迹，不写作法）；(2)若2BD OB ==，求AC 的长．8．如图，ABCD 的顶点,,A B C 在O 上，AC 为对角线，DC 的延长线交O 于点E ，连接,,OC OE AE ．(1)求证：AE BC =；(2)若AD 是O 的切线6,40OC D =∠=︒，求CE 的长．9．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点E 为AB 上一点，以AE 为直径的O 上一点D 在BC 上，且AD 平分BAC ∠．(1)证明：BC 是O 的切线；(2)若42BD BE ==，，求AB 的长．10．如图，已知O 的弦AB 等于半径，连接OA 、OB ，并延长OB 到点C ，使得BC OB =，连接AC ，过点A 作AE OB ⊥于点E ，延长AE 交O 于点D ．(1)求证：AC 是O 的切线；(2)若6BC =，求AD 的长．11．如图，线段AB 经过O 的圆心.O 交O 于A ，C 两点，AD 为O 的弦，连接BD ，30A ABD ∠=∠=︒连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点F ．(1)求证：BD 是O 的切线；(2)若1BC =，求BF 的长．12．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点,CD BD ABC CBD ⊥∠=∠．(1)求证：CD 为O 的切线．(2)当1,4BD AB ==时，求CD 的长．13．如图 已知AB 是O 的直径 BC AB ⊥于B E 是OA 上的一点ED BC ∥交O 于D OC AD ∥ 连接AC 交ED 于F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若8AB = 1AE = 求ED EF 的长．14．如图 AB 是O 的直径 AC BC ，是弦 点D 在AB 的延长线上 且DCB DAC ∠=∠ O 的切线AE 与DC 的延长线交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若O 的半径为2 30D ∠=︒ 求AE 的长．15．如图 已知AB 是O 的直径 点P 在BA 的延长线上 弦BC 平分PBD ∠且BD PD ⊥于点D ．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若8cm 6cm AB BD ， 求弧AC 的长．为O的直径在O上连接的延长线交于E．是O的切线；∠tan BDF为O的直径的平分线交O于点E BC的延长线于点(1)求证：DE 为O 切线；(2)若10AB = 6BC = 求DE 的长．18．如图 O 是ABC 的外接圆 点D 在BC 延长线上 且满足CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若AC 是BAD ∠的平分线 3sin 5B =4BC = 求O 的半径．参考答案：1．【分析】此题重点考查圆周角定理 切线的判定定理 勾股定理 三角形的中位线定理 等腰三角形的“三线合一” 线段的垂直平分线的性质等知识 正确地作出辅助线是解题的关键．是O的切线；+=314是O的直径90︒则22BE=+4(22)⊥AD BC是O的半径是O的切线．）连接EFDC=DF33+=+BD DF∠OE DOBDE=．3是O的直径90︒．中EF=中BE=(3)23312π- 【分析】此题考查了解直角三角形 切线的判定以及扇形的面积．注意掌握辅助线的作法 ．（1）点D 是BC 的中点 可以得到BD CD = 即可得到DBC DCB ∠∠= 再根据角平分线的定义得到ACD BCD ∠∠= 进而得到结论；（2）连接OC OD OB 则可得到OD BC ⊥ 然后根据等边对等角可以得到90OCD ACD ∠∠+=︒ 即可得到结论（3）先求出60ODB ∠=︒ 继而利用OBD OBD S S S=-阴影部分扇形求得答案．【详解】（1）解：如图 ∵点D 是BC 的中点∵BD CD =∵DBC DCB ∠∠=又∵CD 是ABC 的角平分线∵ACD BCD ∠∠=∵ACD ABC ∠∠=；（2）证明：如图 连接OC OD OB∵点D 是BC 的中点∵OD BC ⊥∵90ODC BCD ∠∠+=︒∵OD OC =∵ODC OCD ∠∠=又∵ACD BCD ∠∠=∵90OCD ACD ∠∠+=︒即OC AC ⊥∵OC 是O 的半径∵AC 是O 的切线；Rt BDE 中 ODB ∠=60ODB =︒OB OD =∵OBD 是等边三角形BOD ∠=OBD S S==阴影部分．(1)见解析(2)23进而得出BFG 是等边三角形 是O 的切线；）解：如图所示∵OD AC ⊥∵AD CD =∵BD AC =∵BD AC =∵AD BC =∵AD CD BC ==；∵AB 为半圆O 的直径∵90CAB CBA ∠+∠=︒∵30DAC CAB ABD ∠=∠=∠=︒∵60GBF G ∠=∠=︒ 12GB AG =∵BFG 是等边三角形 223AB AG BG BG =-=∵3233BF BG AB ===． 【点睛】本题考查了切线的判定 弧与弦的关系 直径所对的圆周角是直角 勾股定理 等边三角形的性质与判定 垂径定理 熟练掌握以上知识是解题的关键．4．(1)证明(2)233【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用 掌握切线问题中的辅助线的作法是解题的关键．（1）连接OD 证明ODB C ∠=∠ 推出AC OD ∥ 即可证明结论成立；（2）连接AD 在Rt CED 中 求得利用三角形函数的定义求得30C ∠=︒ 60AOD ∠=︒ 在Rt ADB 中 利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可．【详解】（1）证明：连接OD又OB OD=B ODB∴∠=∠ODB∴∠=∠AC OD∥DF AC⊥OD DF∴⊥DF∴是O的切线；（2）连接AD设O半径为Rt CED中3,CE CD=22ED CD∴=-又cosCE CCD ∠=30C∴∠=︒30B∴∠=︒60AOD=∠AB是O的直径．90ADB∴∠=︒12AD AB r ∴== ∵AB AC =∵2CD BD ==又222AD BD AB +=2222(2)r r ∴+=233r ∴=(负值已舍)． 5．(1)证明见解析(2)3【分析】本题考查的是勾股定理的应用 等腰三角形的性质 切线的判定 熟练的证明圆的切线是解本题的关键；（1）连接OB 证明PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠ 再证明90PBC OBA ∠+∠=︒即可；（2）设O 的半径为r 表示()()22222255PC AC AP r =-=-- 222225PB OP OB r =-=- 再利用PB PC =建立方程求解即可．【详解】（1）解：连接OB∵PB PC = OA OB =∵PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠∵OP l ⊥ OAB PAC ∠=∠∵90BCP CAP BCP OAB ∠+∠=︒=∠+∠∵90PBC OBA ∠+∠=︒∵90OBP ∠=︒∵OB PB ⊥是O 的切线；）设O 的半径为l 2AC =2AC AP =-PB BP 2OP OB =-∵O 的半径为【点睛】．(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查切线的判定和性质证AOB EOB ≌ 得出的半径为r 则OE OA =根据AOB EOB ≌得求得4CE = 在Rt OCE 中运用勾股定理列式求出r 的值即可． ）证明：在AOB 和EOB 中∵()SAS AOB EOB ≌OAF OEF ∠=∠BC 与O 相切OE BC ⊥90OAB OEB ∠=∠=︒AF是O 的半径是O 的切线；（2）解：在Rt CAB △中 90108CAB BC AC ∠=︒==，，∵22221086AB BC AC =-=-=设圆O 的半径为r 则,OE OA r ==∵8OC r =-∵,AOB EOB ≌∵6BE AB ==∵10,BC =∵1064,CE BC BE =-=-=在Rt OCE 中 222OE CE OC +=∵()22248r r +=-解得3r =．∵O 的半径为3．7．(1)作图见解析(2)4π3【分析】本题考查了作图 复杂作图 切线的性质 等边三角形的判定与性质 弧长的计算 熟练掌握切线的性质 弧长公式是解答本题的关键．（1）根据题意 连接OC 作OC CD ⊥ 交AB 的延长线于点D 由此得到答案． （2）根据题意 得到OBC △是等边三角形 求出120AOC ∠=︒ 再利用弧长公式 得到答案．【详解】（1）解：如图所示 CD 即为所求．（2）如图所示 连接BCBD）证明：在ABCD中AE AD ∴=∵AE BC =．（2）解：连接OA 过点O 作OF CE ⊥于点F 如图所示：AD 是O 的切线OA AD ∴⊥OA BC ∴⊥AB AC ∴=40AEC B D ︒∠=∠=∠=40ACB B ∴∠=∠=︒在ABCD 中 AD BC ∥40DAC ACB ∴∠=∠=︒又180100DAE D AEC ∠=︒-∠-∠=︒60CAE DAE CAD ∴∠=∠-∠=︒2120COE CAE ∴∠=∠=︒OC OE =30OCE ∴∠=︒OF CE ⊥22cos3063CE CF OC ∴==⋅︒=．【点睛】本题主要考查了切线的性质 解直角三角形 圆周角定理 平行四边形的性质垂径定理 等腰三角形的判定 解题的关键是作出辅助线 熟练掌握相关的判定和性质．9．(1)证明详见解析；(2)8．【分析】本题考查了切线的判定 勾股定理等知识 熟练掌握切线的判定定理 勾股定理是解题的关键．（1）连接OD 根据平行线判定推出OD AC ∥ 推出OD BC ⊥ 根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出3OD OA OE === 再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：连接OD∵OA OD =∵OAD ODA ∠=∠∵AD 平分BAC ∠∵BAD CAD ∠=∠∵ODA CAD ∠=∠∵OD AC ∥∵180C ODC ∠+∠=︒∵90C ∠=︒∵90ODC ∠=︒∵OD BC ⊥∵OD 为半径∵BC 是O 的切线；（2）解：设OD OE r ==在Rt ODB △中 42BD BE ==，∵2OB r =+由勾股定理 得：()22242r r +=+ 解得：3r =∵3OD OA OE ===∵628AB =+=．10．(1)证明见解析；(2)63．【分析】（1）先证明OAB 是等边三角形 再由性质得出60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒ 再由BC AB =和角度和差即可求解；（2）先根据等边三角形性质求出132OE OA == 再根据勾股定理求得33AE = 最后由垂径定理即可求解；此题考查了等边三角形的判定与性质 勾股定理和垂径定理 解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．【详解】（1）证明：∵AB OA OB ==∵OAB 是等边三角形∵60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒∵BC OB =∵BC AB =∵1302BAC BCA OBA ∠=∠=∠=︒ ∵90OAC OAB BAC ∠=∠+∠=︒又∵OA 为O 的半径∵AC 是O 的切线；（2）解：∵6BC =∵6AB OA OB ===∵AD OB ⊥于点E∵30OAE ∠=︒∵132OE OA == ∵2233AE OA OE =-=∵AE OB ⊥∵263AD AE ==．11．(1)见解析∠=）证明：BAD60︒6090︒-︒=OD是O的半径∴直线BD是O的切线；==（2）解：设OD OC△中sin30在Rt BDO解得：1r==+OB OCDE是O的直径∴∠=︒DFE90∠=∠即DFB BDE∠=∠DBF DBE∴△∵BDEBFD△BF BD∴=BD BE337BF ∴= 解得：377BF =． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质 相似三角形的性质和判定 圆周角定理 勾股定理等知识点 作出辅助线构造出相似三角形是解题关键．12．(1)见详解(2)3【分析】（1）连接OC 由∠=∠OCB ABC ABC CBD ∠=∠ 得OCB CBD ∠=∠ 则OC BD ∥ 所以18090OCD D ∠=︒-∠=︒ 即可证明CD 为O 的切线；（2）由AB 为的直径 得90ACB ∠=︒ 则ACB D ∠=∠ 而ABC CBD ∠=∠ 所以C ABC BD ∽△△ 则AB CB CB BD = 可求得CB BD AB =⋅ 由勾股定理得22CD CB BD =-．【详解】（1）证明：连接OC 则OC OB =OCB ABC ∴∠=∠ABC CBD ∠=∠OCB CBD ∴∠=∠OC BD ∴∥CD BD ⊥90D ∴∠=︒18090OCD D ∴∠=︒-∠=︒OC 是O 的半径 且CD OC ⊥CD ∴为O 的切线．（2）解：AB 为的直径ABC∠=ABC CBD ∴∽∴AB CBCB BD=1,4BD AB==1 CB BD AB∴=⋅=22CD CB BD∴=-=CD∴的长是【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质AD OC∥ADO∴∠OA OD=ADO DAO ∴∠=∠DOC BOC ∴∠=∠OD OB OC OC ==，ODC OBC ∴≌△△∴OBC ODC ∠=∠BC AB ⊥∴90OBC ODC ∠=∠=︒OD 为经过圆心的半径∴CD 是O 的切线；（2）如图所示：作DM BC ⊥交BC 于点M8AB = 1AE =1432OA OB OD AB OE OA AE ∴=====-=， 227DE BM OD OE ==-=令=7CM x CB CD x ==+， 7BE DM ==∴在222Rt DMC CM DM CD +=△，222(7)7x x ∴+=+解得：37x =47BC ∴=DE BC ∥ADE ABC ∴△△∽是O的切线．2）在Rt△是O的切线得出Rt EAD中【详解】（1）证明：连接．是O的直径+∠OCA OCBDCB OCB+∠OCD=︒．90是半径经过O的半径外端∵CD 是O 的切线．（2）解：在Rt OCD △中∵90OCD ∠=︒ 30D ∠=︒ 2OC =∵4OD =．∵6AD AO OD =+=．∵AE 是O 的切线 切点为A∵OA AE ⊥．在Rt EAD 中∵90EAD ∠=︒ 30D ∠=︒ 6AD =∵3tan 306233AE AD =⋅︒=⨯=． 15．(1)见解析(2)4π3【分析】本题考查圆与三角形的综合问题 掌握与圆有关的性质 正确作出辅助线是关键．（1）连接OC 根据条件证明OC BD ∥ 即可证明；（2）根据PCO PDB ∽可得PA 利用余弦值可求出COP ∠ 通过弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：连接OC 如图∵OC OB =∵OCB OBC ∠=∠∵弦BC 平分PBD ∠∵DBC OBC ∠=∠∵OCB DBC ∠=∠．∵OC BD ∥∵BD PD ⊥∵OC PD ⊥．为O 的半径是O 的切线；）解：连接OC∵PCO PDB ∽OC PO BD PB= 8cm AB = BD =14cm 2OC AB ==4468PA PA +=+ Rt OCP 中cos COP ∠=60COP =︒AC 的长=(1)证明见解析； 是O 的切线；证明FBD FDA ∽ 得到1tan tan 4BD A BDF AD ∠=∠== 进而得到164DF = 即可求解； 本题考查了切线的判定 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 余角性质 根据题意 正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：连结OD∵CO AB ⊥∵90E C ∠+∠=︒∵FE FD = OD OC =∵E FDE ∠=∠ ∠=∠C ODC∵90FDE ODC ∠+∠=︒∵90ODF ∠=︒∵OD DF ⊥∵FD 是O 的切线；（2）解：连结AD ,OD BD 如图∵AB 为O 的直径∵90ADB ∠=︒∵90∠+∠=︒A ABD∵OB OD =∵OBD ODB ∠=∠∵90A ODB ∠+∠=︒∵FBD FDA ∽DF BD AF AD= 在Rt △ABD 中 tan ∠164DF = 3DF =的平分线交O 于点E∵ED OE ⊥∵DE 为O 切线．（2）过点O 作OM BC ⊥于点M 10AB = 6BC =则132MC MB BC ===,152OB OE AB === 四边形OEDM 时矩形∵DE OM =根据勾股定理 得224DE OM OB BM ==-=．18．(1)见解析(2)103【分析】（1）连接OA OC 与AB 相交于点E 如图 由OA OC = 可得OAC OCA ∠=∠ 根据圆周角定理可得12B AOC ∠=∠ 由已知CAD B ∠=∠ 可得2AOC CAD ∠=∠ 根据三角形内角和定理可得180OCA CAO AOC ∠+∠+∠=︒ 等量代换可得90CAO CAD ∠+∠=︒ 即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得BAC DAC ∠=∠ 由已知可得BAC B =∠∠ 根据垂径定理可得 OC AB ⊥ BE AE = 在Rt BEC △中 根据正弦定理可得3sin 45CE CE B BC === 即可算出CE 的长度 根据勾股定理可算出22BE BC CE =-的长度 设O 的半径为r 则125OE OC CE r =-=- 在Rt AOE △中 222OA OE AE =+ 代入计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OA OC 与AB 相交于点E 如图OA OC =OAC ∴∠AC AC =∴12B ∠=CAD ∠=AOC ∴∠=OCA ∠+2CAO ∴∠+CAO ∴∠+OAD ∴∠OA 是O 的半径AD ∴是O 的切线；（2）解：AC 是∠BAC DAC ∴∠=∠CAD B ∠=∠BAC B ∴∠=∠OC AB ∴⊥ BE =在Rt BEC △中4BC =sin CE B BC ∴=125CE ∴=BE BC ∴=设O 的半径为r ，则125OE OC CE r =-=-在Rt AOE △中222OA OE AE =+ 222121655r r ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：103r =． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，勾股定理及解直角三角形， 熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．。

切线的性质与判定一选择题：1.如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A的度数为（）A.40°B.35°C.30°D.25°2.如图,△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A.2.3B.2.4C.2.5D.2.63.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E 等于（）A.40°B.50°C.60°D.70°4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB 的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.相切或相交5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A，B是切点,点C是劣弧AB上的一个点,若∠P=40°,则∠ACB度数是( )A．80° B．110° C．120° D．140°6.已知如图, AB 是半圆 O 的直径,弦. AD 、 BC 相交于点 P ,那么等于∠ BPD 的（）A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对7.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE度数是（）A．55° B．60° C．65° D．70°8.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（）A． B． C．3 D．29.如图，△ABC中AB=AC=5，BC=6，点P在边AB上，以P为圆心的⊙P分别与边AC、BC相切于点E、F，则⊙P 的半径PE的长为( )A． B．2 C． D．10.已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC 于点D，若∠CPD=20°，则∠CAP等于（）A.30°B.20°C.45°D.25°11.把一张圆形纸片和一张含45°角的扇形纸片如图所示的方式分别剪得一个正方形，如果所剪得的两个正方形A.4：5B.2：5C.：2D.：12.如图，点A、B分别在x轴、y轴上（）,以AB为直径的圆经过原点O,C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①; ②若4,OB =2，则△ABC的面积等于5; ③若,则点C的坐标是（2，），其中正确的结论有（）A.3个B.2个C.1个D.0个13.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．1814.如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）A. B. C. D.15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的内心,以O为圆心,r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是（）A．r≥1 B．1≤r≤C．1≤r≤D．1≤r≤416.如下图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA.下面四A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④17.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A.4B.C.D.18.如图,在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长最小值为( )A. B.3 C. D.19.如图,在△ABC中,AB=10,AC =8,BC=6,经过点C且与边相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ 长度的最小值是（）A. B. C. D．20.如图,在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG=CH；②GH=；③直线GH的函数关系式；④梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二填空题:21.如图,点D为AC上一点,点O为AB上一点.AD=DO,以O为圆心,OD长为半径作圆，交AC于另一点E,交AB于点F，G，连接EF，若∠BAC=220，则∠EFG的大小为 (度)22.如图，⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为3的圆，与坐标轴的正半轴分别交于A、C两点，OB平分∠AOC，点P在数轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，则线段OP的取值范围是．23.一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为cm．24.如图，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M、N两点，现有半径为1的动圆圆心位于原点处，并以每秒1个单位的速度向右作平移运动．已知动圆在移动过程中与直线MN有公共点产生，当第一次出现公共点到最后一次出现公共点，这样一次过程中该动圆一共移动秒．25.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F,连接EF,则线段EF长度的最小值是 .26.如图，点P在双曲线y=（x＞0）上，⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF-OE=8，则k的值是．27.如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：①DQ与半圆O相切；②；③∠ADQ=2∠CBP；④cos∠CDQ=．其中正确的是（请将正确结论的序号填在横线上）．28.如图，扇形OAB的半径为4，∠AOB=90°，P是半径OB上一动点，Q是弧AB上的一动点．（1）当P是OB中点，且PQ∥OA时（如图1），弧AQ的长为；（2）将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点（如图2）．若OP=3，则O到折痕PQ 的距离为．29.如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于．30.如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A 出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿图中所示方向按B→C→D→A →B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过路线围成的图形面积为．三简答题:31.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以O为圆心,OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．32.如图，已知AB是⊙的直径，AC是弦，点P是BA延长线上一点，连接PC，BC．∠PCA=∠B （1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PC=6，PA=4，求直径AB的长．33.如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长34.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于E点，D为BC的中点．求证：DE与⊙O相切．35.如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E为的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G．（1）求证：AB=AG；（2）若DG=DE，求证：GB2=GC•GA；（3）在（2）的条件下，若tanD=，EG=，求⊙O的半径．36.如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝ED.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求的值．37.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．38.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r 的取值范围为．39.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．40.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC 于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC．参考答案1.B2.B3.B4.B5.B6.B7.C．8.B．9.A【解答】解：连结CP，作AH⊥BC于H，如图，设⊙P的半径为r，∵AB=AC=5，∴BH=CH=BC=3，∴AH==4，∵以P为圆心的⊙P分别与边AC、BC相切于点E、F，∴PE⊥BC，PF⊥AC，∵S△ABC=S△PAC+S△PBC，∴BC×AH=BC×PE+AC×PF，即6×4=6r+5r，∴r=．故选A．10.D 11.C 12.A 13.C 14.D 15.C 16.C17.B解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．18.C 19.B20.D．试题分析：①∵四边形OABC是矩形，∴OE=BE，BC∥OA，OA=BC，∴∠HBE=∠GOE，∵在△BHE和△OGE中，∠HBE=∠GOE，OE=BE，∠HEB=∠GEO，∴△BHE≌△OGE（ASA），∴BH=OG，∴AG=CH．④如图2，连接BG，∵在△OCH和△BAG中，CH=AG，∠HCO=∠GAB，OC=AB，∴△OCH≌△BAG（SAS），∴∠CHO=∠AGB．∵∠HCO=90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，∴∠CHO=∠FHO=∠BGA．∵△CHE≌△AGE，∴HE=GE．∵在△HOE和△GBE中，HE=GE，∠HEO=∠GEB，OE=BE，∴△HOE≌△GBE（SAS），∴∠OHE=∠BGE．∵∠CHO=∠FHO=∠BGA，∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA．∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上．过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA，∴，设半径为r，则，解得r=．故选D．21.330 22.0＜OP≤3 23. 3 cm． 24.2 25.26.1627. ①③【解答】解：①如图1连接DO，OQ，在正方形ABCD中，AB∥CD，AB═CD，∵P是CD中点，O是AB中点，∴DP∥OB，DP═OB，∴四边形OBDP是平行四边形，∴OD∥BP，∴∠1=∠OBQ，∠2=∠3，又∵OQ=OB，∴∠3=∠OBQ，∴∠1=∠2，在△AOD和△QOD中，，∴△AOD≌△QOD，∴∠OQD=∠A=90°，∴DQ与半圆O相切，①正确；②如图2连接AQ，可得：∠AQB=90°，在正方形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABQ=∠BPC，设正方形边长为x，则CP=x，由勾股定理可求：BP=，∴cos∠BPC=，cos∠ABQ=，∴=，又AB=x，可求，BQ=x，PQ=x，∴=，②不对；③如图3连接AQ，OQ，由①知，∠OQD=90°，又∠OAD=90°，可求∠ADQ+∠AOQ=180°，∵∠3+∠AOQ=180°，∴∠3=∠ADQ，由②知，∠1+∠4=90°，又∠4+∠CBP=90°，∴∠CBP=∠1，∵OA=OQ，∴∠1=∠2，又∵∠3=∠1+∠2，∴∠3=2∠CBP，∴∠ADQ=2∠CBP，故③正确；④如图4，过点Q作QH⊥CD，易证QH∥BC，设正方形边长为x，由②知：PQ=x，cos∠BPC=，可求：PH=x，HQ=x，∴DH=DP+PH=x，由勾股定理可求：DQ=x，∴cos∠CDQ==，故④不正确．综上所述：正确的有①③．28.（1）π；（2）．【解答】解：（1）如图1，连接OQ，∵扇形OAB的半径为4且P是OB中点，∴OP=2，OQ=4，∵PQ∥OA，∴∠BPQ=∠AOB=90°，∴∠1=30°，∴∠2=∠1=30°，由弧AQ的长==π，故答案为：π；（2）如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，则OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点O′是所在圆的圆心，∴O′C=OB=4，∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，∴O′C⊥AO，∴O′C∥OB，∴四边形OCO′B是矩形，在Rt△O′BP中，O′B==2，在Rt△OBO′K，OO′==2，∴OM=OO′=×2=，即O到折痕PQ的距离为，故答案为：．29.﹣330.4－π31.（1）证明：连接OD；∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠3．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．∴OD∥AC．∴∠ODB=∠ACB=90°．∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切线．（2）解：过点D作DE⊥AB，∵AD是∠BAC的平分线，∴CD=DE=3．在Rt△BDE中，∠BED=90°，由勾股定理得：，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED ≌ Rt△ACD∴AC=AE，设AC=x，则AE=x，AB=x+4，在Rt△ABC中，即，解得x=6，∴AC=6．32.1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°，∵OB=OC，∴∠2=∠B，又∵∠PCA=∠B，∴∠PCA=∠2，∴∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵PC是⊙O的切线，∴PC2=PA•PB，∴62=4×PB，解得：PB=9，∴AB=PB﹣PA=9﹣4=5．33.1）证明略（3分）（2）BC=234【解答】解：连接OD，OE，∵O，D分别是AB，BC中点，∴OD∥AC，∴∠2=∠A，∠3=∠1，∵OA=OE，∴∠A=∠3，∴∠1=∠2，在△OED和△OBD中，，∴△OED≌△OBD，∴∠OED=∠ABC=90°，∴DE⊥OE，∵点D在⊙O上，∴DE与⊙O相切．35.（1）证明：如图，连接OB．∵AB为⊙O切线，∴OB⊥AB，∴∠ABG+∠OBG=90°，∵点E为的中点，∴OE⊥CD，∴∠OEG+∠FGE=90°，又∵OB=OE，∴∠OBG=∠OEG，∴∠ABG=∠FGE，∵∠BGA=∠FGE，∴∠ABG=∠BGA，∴AB=AG；（2）证明：连接BC，∵DG=DE，∴∠DGE=∠DEG，由（1）得∠ABG=∠BGA，又∵∠BGA=∠DGE，∴∠A=∠D，∵∠GBC=∠D，∴∠GBC=∠A，∵∠BGC=∠AGB，∴△GBC∽△GAB，∴，∴GB2=GC•GA；（3）连接OD，在Rt△DEF中，tanD=，∴设EF=3x，则DF=4x，由勾股定理得DE=5x，∵DG=DE，∴DG=5x，∴GF=DG﹣DF=x．在Rt△EFG中，由勾股定理得GF2+EF2=EG2，即（3x）2+x2=（）2，解得x=1，设⊙O半径为r，在Rt△ODF中，OD=r，OF=r﹣3x=r﹣3，DF=4x=4，由勾股定理得：OF2+FD2=OD2，即（r﹣3）2+（4）2=r2，解得r=，∴⊙O的半径为．36.解：(1)连接OD，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，∵∠EFD＝∠CFO，∴∠CFO＝∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF＋∠CFO＝90°，而OC＝OD，∴∠OCF＝∠ODF，∴∠ODC＋∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线(2)∵OF∶OB＝1∶3，∴OF＝1，BF＝2，设BE＝x，则DE＝EF＝x＋2，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＝∠BDE，而∠ADO＝∠A，∴∠BDE＝∠A，又∠BED＝∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴＝＝，即＝＝，∴x＝2，∴＝＝37.（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）有（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB=，在Rt△POD中，cos∠POD=，∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴,∴OA=3，∴⊙O半径为3．38.（1）证明见解析；（2），；（3）＜r＜．（1）∵∠CBF=∠CFB，∴CB=CF，又∵AC=CF，∴CB=AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABF=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）连接DO，EO，∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴∠AOD=60°，又∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD=60°，又∵∠ABF=90°，AD=5，∴AB=10，∴BF=；扇形DOE的面积==；（3）连接OC，则圆心距OC=，由题意得，＜r＜，故答案为：＜r＜．39.（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．（2）∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4（同角的余角相等），又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；（3）设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，∴OF=2x﹣5，在RT△OEF中，，即，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴，即，∴PF=，∴PD=PF﹣DF==．40.（1）证明见试题解析；（2）．试题解析：（1）连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，∴BE==AE，在RT△BEC中，tanC==．。

叠
２ ／ ， Ｐ ３。 、了 ／Ａ Ｏ＝ ０ ，则 （ Ｏ 的 半 径 长 为 Ｂ ３ 如 图 ，已知 直线 Ａ ． Ｂ是 ＱＯ 的切线 ， 为 切 Ａ 点 ， Ｏ Ａ＝ ２ ， ＺＡＯ ＝ Ｂ ５ 。则 ． Ｂ
ｃ， 是 ｏＤ 上 一 点 ， 且 ／ ＤＣ＝ ０ 弦 Ｄ ＿Ｅ ３ 。，
一
， ４
（ １题 ） 第
（ ２题 ） 第
４ 如 图 ， 半径 分 别为 ５ａ 和 ３ｃ 的两 个 同 ． 在 ｍ ｍ
２如图， ．
是 ｏ 的 切 线 ， 点 为 Ａ， Ａ＝ ０ 切 Ｐ
心 圆 中 ．大 圆 的弦 ＡＢ与小 圆相 切 于点 Ｃ，
则 弦 的长 为 Ｃ ｍ ５ 如图， 线 Ａ ． 直 Ｂ与 半径 为 ２的 ＱＯ相 切 于点
Ｅ 。 ｊ 臻
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一一一源自一一一一
一
一
一
一
，
，
６ ３
美 好 的 生 活是 一 种 由爱 所 激励 、 由知 识 所 指 导 的 生 活 。— — 伯 特 兰 ・ 素 罗

❖ 跟踪习题
（2）、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切
线，若AB=4，AC=3，BC与若AC ⊙O交于点
16
M，则BM的长为______．
5
4
5
3
❖ 复习回顾
450 450
5 4
3
（1）根据切线的性质 , 遇到切点 , 连接半径 , 这 是在圆中添加辅助线的常用方法之一
（2）构造直角三角形，结合勾股定理；或利用 相似三角形等进行有关的计算。
F
√
？
此题关键证DF为⊙O的的半径
❖中考链接
1、（2014年黑龙江哈尔滨）如图，AB是⊙O的直径， AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，
连接BD，∠C＝400，
则∠BDO的度数是 250 。
250
250
500 400
❖中考链接
2、如图，已知PA、PB分别
是⊙O的两条切线，M为圆上
B
的一点， （1）若∠P为400，
∴
BE OD
CB CD
即
BE 8 34
解得：BE＝6
4.（2014甘肃省天水市）如右图，点D为⊙O上一点，点C在直 径BA的延长线上，且∠1=∠2. (2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2， ⊙O的半径是3，求BE的长.
解：设BE的长为x
∵AC=2,OA=OD=OB=3
E
∴OC=2+3=5
CD 52 32 4
BC=2+3+3=8
x
D
xx
4
3
∵BE、DE分别是⊙O的切线 ∴∠CBE＝900 ED=EB＝ x
C 2A 3 O 3
B
∴ CE=CD+DE=4+x

圆切线的判定与性质综合(3大类题型)重难点题型归纳【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】【题型2证圆的切线-没有公共点：作垂直，证半径】【题型3圆切线的判定与性质综合】满分必练【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】1(2023春•保德县校级期中)如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．【答案】见解答．【解答】证明：连接OD，∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，∴∠BAC=∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODE=∠AED=90°，∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．2(2022秋•大连期末)如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．求证：CD是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】解：连OD，如图，∵∠ADE=60°，∠C=30°，∴∠A=∠ADE-∠C=60°-30°=30°，又∵OD=OA，∴∠ODA=∠A=30°，∴∠EDO=90°，所以CD是⊙O的切线．3(2022秋•龙川县校级期末)如图，OA是⊙O的半径，∠B=20°，∠AOB=70°．求证：AB是⊙O的切线．【答案】见解答．【解答】证明：∵∠AOB=70°，∠B=20°，∴∠OAB=180°-∠B-∠AOB=90°，∴OA⊥AB，∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．4(2022秋•利通区期末)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E，求证：AC是⊙D的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，在⊙D中，AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-60°-30°=90°，∴AD⊥AC，又∵DA是半径，∴AC是⊙D的切线．5(2022秋•天河区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．求证：DE是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：连接OD，∵AO=OB，D为AC的中点，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．6(2022秋•阿瓦提县校级期末)已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB= AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．7(2022•昭平县一模)如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC=2，∠ABC=30°．(1)求AB的长；(2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】(1)解：连接OA、OB，如图，∵∠ABC=30°，OP⊥AB，∴∠AOC =60°，∴∠OAD =30°，∴OD =12OA =12×2=1，∴AD =3OD =3，又∵OP ⊥AB ，∴AD =BD ，∴AB =23；(2)证明：由(1)∠BOC =60°，而OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∴BC =OB =OC ，∠OBC =∠OCB =60°，∴C 是OP 的中点，∴CP =CO =CB ，∴∠CBP =∠P ，而∠OCB =∠CBP +∠P ，∴∠CBP =30°∴∠OBP =∠OBC +∠CBP =90°，∴OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线．8(2022•漳州模拟)已知：△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．求证：DE 是⊙O 的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：连接OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又AB =AC ，∴BD =DC ，∵BO =OA ，∴OD ∥AC ，∴∠ODE =180°-∠AED =90°，∴DE 是⊙O 的切线．9(2022秋•芜湖期末)如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，AC =CD =DB，DE ⊥AC ．求证：DE 是⊙O 的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接OD ，∵AC =CD =DB，∴∠BOD =13×180o =60o ，∵CD =DB ，∴∠EAD =∠DAB =12∠BOD =30°，∵OA =OD ，∴∠ADO =∠DAB =30°，∵DE ⊥AC ，∴∠E =90°，∴∠EAD +∠EDA =90°，∴∠EDA =60°，∴∠EDO =∠EDA +∠ADO =90°，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．【题型2证圆的切线-没有公共点：作垂直，证半径】10(2022秋•长乐区期中)如图，在△OAB 中，OA =OB =5，AB =8，⊙O 的半径为3．求证：AB 是⊙O 的切线．【答案】证明见解析．【解答】证明：如图，过O 作OC ⊥AB 于C ，∵OA =OB ，AB =8，∴AC =12AB =4，在Rt △OAC 中，OC =OA 2-AC 2=52-42=3，∵⊙O 的半径为3，∴OC 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．11(2022•八步区一模)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，E 为AB 上一点，DE =DC ，以D 为圆心，DB 的长为半径作⊙D ，AB =5，BE =3．(1)求证：AC 是⊙D 的切线；(2)求线段AC 的长．【解答】(1)证明：过点D 作DF ⊥AC 于F ；∵AB 为⊙D 的切线，∴∠B =90°，∴AB ⊥BC ，∵AD 平分∠BAC ，DF ⊥AC ，∴BD =DF ，∴AC 与⊙D 相切；(2)解：在△BDE 和△DCF 中；BD =DF DE =DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △DCF (HL )，∴EB =FC ．∵AB =AF ，∴AB +EB =AF +FC ，即AB +EB =AC ，∴AC =5+3=8．12(秋•莆田期末)如图，半圆O 的直径是AB ，AD 、BC 是两条切线，切点分别为A 、B ，CO 平分∠BCD ．(1)求证：CD 是半圆O 的切线．(2)若AD =20，CD =50，求BC 和AB 的长．【解答】(1)证明：过点O 作OE ⊥CD ，垂足为点E ，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE=OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；(2)解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB=90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO=90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD=BF=20，DF=AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE=AD=20，EC=BC，∵CD=50，∴EC=CD-DE=50-20=30，∴BC=30，∴CF=BC-BF=10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF=DC2-CF2=502-102=206，∴AB=DF=206，∴BC的长为30，AB的长为206．【题型3　圆切线的判定与形式综合】13(2023•银川校级四模)如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．(1)求证：⊙D与AC相切；(2)若AC=5，BC=3，试求AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：过D 作DF ⊥AC 于F ，∵∠B =90°，∴AB ⊥BC ，∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴BD =DF ，∴⊙D 与AC 相切；(2)解：设圆的半径为x ，∵∠B =90°，BC =3，AC =5，∴AB =AC 2-BC 2=4，∵AC ，BC ，是圆的切线，∴BC =CF =3，∴AF =AB -CF =2，∵AB =4，∴AD =AB -BD =4-x ，在Rt △AFD 中，(4-x )2=x 2+22，解得：x =32，∴AE =4-3=1．14(2022秋•五莲县期中)如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点E ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若正方形ABCD 的边长为10，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：连接OE ，并过点O 作OF ⊥CD ．∵BC 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥BC ，OE =OA ，又∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB =∠ACD ，∴OF =OE =OA ，即：CD 是⊙O 的切线．(2)解：∵正方形ABCD 的边长为10，∴AB =BC =10，∠B =90°，∠ACB =45°，∴AC =AB 2+BC 2=102，∵OE ⊥BC ，∴OE =EC ，设OA=r，则OE=EC=r，∴OC=OE2+EC2=2r，∵OA+OC=AC，∴r+2r=102，解得：r=20-102．∴⊙O的半径为：20-102．15(2023•甘南县一模)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若AB=4，∠DAB=60°，求AD的长．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：连接OC，如图1所示：∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；(2)解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°，AB=2，AC=3BC=23，∴BC=12∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，AC=3，AD=3CD=3．∴CD=1216(2023•夹江县模拟)如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，D是⊙O上异于A、B的一个动点，连接AD，过O作OC∥AD交BC于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若EA=1，ED=3，求⊙O的半径．【答案】(1)见解答；(2)4．【解答】解：(1)如图，连接OD，由OD=OA得：∠OAD=∠ODA，∵OC∥AD，∴∠DOC=∠ODA，∠BOC=∠OAD，∴∠DOC=∠BOC，又∵OD=OB，OC=OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC=∠OBC，∵BC⊥AB，∴∠ODC=∠OBC=90°，又∵D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为x，则：OD=x，OA=x+1，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，在Rt△ODE中，由勾股定理得：ED2+OD2=OE2，∴32+x2=(x+1)2，解得：x=4，∴⊙O的半径为4．17(2022秋•盘山县期末)如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线与AB的延长线相交于点P，且AC=PC，∠P=30°．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AB=6，求PC的长．【答案】(1)证明见解析；(2)33．【解答】(1)证明：如图所示，连接OC，∵AC=PC，∠P=30°，∴∠A=∠P=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠PCO=180°-∠P-∠POC=90°，即OC⊥PC，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；(2)解：∵AB=6且AB是⊙O的直径，∴OC=1OA=3，2在Rt△POC中，∠PCO=90°，∠P=30°，∴OP=2OC=6，∴PC=PO2-OC2=33．18(2023春•东营期末)如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．(1)求证：HB是⊙O的切线；(2)若HB=4，BC=2，求⊙O的直径．【答案】见试题解答内容【解答】证明：(1)如图，连接OH，∵PH平分∠APB，∴∠HPA=∠HPB，∵OP=OH，∴∠OHP=∠HPA，∴∠HPB=∠OHP，∴OH∥BP，∵BP⊥BH，∴OH⊥BH，∴HB 是⊙O 的切线；(2)如图，过点O 作OE ⊥PC ，垂足为E ，∵OE ⊥PC ，OH ⊥BH ，BP ⊥BH ，∴四边形EOHB 是矩形，∴OE =BH =4，OH =BE ，∴CE =OH -2，∵OE ⊥PC∴PE =EC =OH -2=OP -2，在Rt △POE 中，OP 2=PE 2+OE 2，∴OP 2=(OP -2)2+16∴OP =5，∴AP =2OP =10，∴⊙O 的直径是10．19(2023•汉川市模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，直线BF 与AD 延长线交于点F ，且∠AFB =∠ABC ．(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线；(2)若CD =12，BE =3，求⊙O 的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)152．【解答】(1)证明：∵AC =AC ，∴∠ABC =∠ADC ，∵∠AFB =∠ABC ，∴∠ADC =∠AFB ，∴CD ∥BF ，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∵OB 为⊙O 的半径．∴直线BF 是⊙O 的切线；(2)解：设⊙O 的半径为R ，连接OD ，如图，∵AB ⊥CD ，CD =12，∴CE =DE =12CD =6，∵BE =3，∴OE =R -3，在Rt △OED 中，∵OE2+DE2=OD2，∴R2=(R-3)2+62，解得：R=15 2．即⊙O的半径为15 2．20(2022秋•斗门区期末)如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP=∠OBC．(1)求证：PC与⊙O相切；(2)若PA=4，PC=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；(2)4．【解答】(1)证明：连接OC，则OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACP=∠OBC，∴∠ACP=∠OCB，∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=∠OCA+∠OCB=∠ACB=90°，∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，∴PC与⊙O相切．(2)解：∵PC=BC，∴∠P=∠B，∵∠ACP=∠B，∴∠ACP=∠P，∴CA=PA=4，∵∠OCP=90°，∴∠ACO+∠ACP=90°，∠AOC+∠P=90°，∴∠ACO=∠AOC，∴CA=OA=OC=4．21(2023•黑龙江模拟)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB=10，BD=3，求AE的长．【答案】(1)见解析；(2)658．【解答】(1)证明：(1)连接OC ；∵AE ⊥CD ，CF ⊥AB ，又CE =CF ，∴∠1=∠2．∵OA =OC ，∴∠2=∠3，∠1=∠3．∴OC ∥AE ．∴OC ⊥CD ．∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：∵OC ⊥ED ，AB =10，BD =3，∴OB =OC =5．CD =OD 2-OC 2=39，∵S △OCD =12OC ⋅CD =12OD ⋅CF ，即12×5×39=125+3 ⋅CF ，∴CF =5398，∴OF =OC 2-FC 2=658，∴AF =OA +OF =5+258=658，在Rt △AEC 和Rt △AFC 中，CE =CF ，AC =AC ，∴Rt △AEC ≌Rt △AFC (HL )，∴AE =AF =658．22(2023•宿豫区三模)如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AC 边上，以AD 为直径作⊙O 交BD 的延长线于点E ，CE =BC ．(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若CD =2，BD =2，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)如图，连接OE，∵∠ACB=90°，∴∠1+∠5=90°．∵CE=BC，∴∠1=∠2．∵OE=OD，∴∠3=∠4．又∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴∠2+∠3=90°，即∠OEC=90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．(2)在Rt△BCD中，∠DCB=90°，CD=2，BD=25，BC=CE=4．设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，OC=r+2，在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∴OE2+CE2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，解得r=3，∴⊙O的半径为3．23(2023•东港区校级三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB上，且以AD为直径的⊙O经过点E．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)当AD=3BD，且BE=4时，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)3．【解答】(1)证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∵∠C=90°，∴∠OEC =90°，∴OE ⊥BC ，∵OE 为半径，∴BC 是⊙O 切线；(2)解：∵AD =3BD ，设BD =2x ，则AD =6x ，∴AO =OD =OE =3x ，∴OB =5x ，在Rt △OBE 中，根据勾股定理得：OE 2+BE 2=OB 2，∴(3x )2+42=(5x )2，∴x =1，∴OE =3x =3，∴⊙O 半径为3．24(2023•泗县校级模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AB 为直径作⊙O ，在⊙O 上取一点D ，使CD =BC，过点C 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线；(2)若AB =10，AD =6，求AC 的长．【答案】(1)见详解；(2)45．【解答】(1)证明：连接OC ，如图，∵CD =CB，∴∠EAC =∠CAB ，∵EF ⊥AD ，∴∠EAC +∠ACE =90°，∵OC =OA ，∴∠CAB =∠OCA ，∴∠EAC =∠OCA ，∴∠ACO +∠ACE =90°，即半径OC ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：连接BD ，交OC 于点G ，如图，∵AE ⊥EF ，OC ⊥EF ，∴AE ∥OC ，∵O 为AB 为中点，∴OG 为△ABD 中位线，∴OG=1AD=3，DG=BG，2∴DG=BG=CE，DB⊥OC，GC=OC-OG=2，∵AB=10，∴OB=5，∴BG=OB2-OG2，∴DG=BG=4，∵AE⊥EF，OC⊥EF，DB⊥OC，∴四边形DECG是矩形，∴DE=CG=2，EC=DG=4，∴AE=8，∴在△AEC中，AC=AE2+EC2=45．25(2023•荔湾区校级一模)如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若△ABC的边长为2，求EF的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)12．【解答】(1)证明：如图所示，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如图所示，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴DC=12BC=1，FC=12AC=1．∵∠EDC=30°，∴EC=12DC=12．∴EF=FC-EC=12．。