学×思面授班初三数学 春季 目标班讲义 第15讲.目标班期末复习之知识点睛及模拟测试.目标班.教师版

第一讲 一次函数和反比例函数 知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。

若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。

当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。

函数(0)ky k x =≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。

当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数k y x =分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数k y x =分别在第二或第四象限内是单调递增函数。

若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。

当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。

当12k k ≠时，两直线相交。

当121k k =-时，两直线互相垂直。

求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。

例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。

解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。

设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以线段AB 为46(14),55y x x =--≤≤ 代入(1,)C c ，得4621.555c =⨯-=- 例2：求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。

一、反比例函数的概念一、 反比例函数的定义函数ky x=(k 为常数，0k ≠)叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象和性质 二、 反比例函数的图象反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．三、 反比例函数图象的性质反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大． 三、反比例函数综合应用 反比例函数与方程、不等式综合 如图双曲线与直线相交，则方程12k k x b x =+的解为交点的横坐标12x x 、；不等式12kk x b x+>的解为120x x x x ><<或．反比例函数知识点四、反比例函数实际应用把实际问题抽象成反比例函数的问题来解决．一、 反比例函数的图像和性质1、下面的函数是反比例函数的是（） A ．31y x =+ B ．22y x x =+ C ．2xy = D ．2y x=【答案】 D【解析】该题考查的是反比例函数定义． 反比例函数形如()0ky k x=≠， 本题中，A 为一次函数；B 为二次函数；C 为一次函数；D 为反比例函数，故本题选D ．2、下列四个点中，在反比例函数2y x=-上的点是（）A ．()1,1k 1x例题B ．()1,2-C ．()1,2--D ．()1,2【答案】 B 【解析】该题考查的是反比例函数的性质． 将选项中各个点坐标代入函数中， 若等式成立，则点在反比例函数上， 经验证，只有()1,2-点满足， 故该题答案为B ．3、（2014初三上期末大兴区）若反比例函数1k y x-=的图象在各自象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可能是（） A ．4- B ．5 C ．0 D ．2-【答案】 B【解析】该题考察的是反比例函数的性质． 因为反比例函数1k y x-=的图象在各自象限内，y 随x 的增大而减小， 所以10k ->，解得1k >，只有B 选项符合，故答案是B ．4、（2012初二下期末西城区北区）如图，矩形ABCD 的边分别与两坐标轴平行，对角线AC 经过坐标原点，点D 在反比例函数2510k k y x-+=（0x >）的图象上．若点B 的坐标D ．1-或6【答案】 D【解析】该题考查的是反比例函数的性质． ∵点B 的坐标为()4,4--， ∴点D 坐标为()4,4，将点D 坐标代入反比例函数中， 251016k k -+=，解得16k =，21k =-， 故该题答案为D ．5、（2010初二下期中101中学）已知()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y 是反比例函数2y x=的图象上的三点，且1230x x x <<<，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（） A ．321y y y << B ．123y y y << C ．213y y y << D ．231y y y <<【答案】 C【解析】该题考察的是反比例的单调性．∵反比例函数2y x=中，20>， ∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y 是反比例函数2y x=的图象上的三点，且120x x <<， ∴1P ，2P 在第三象限且120y y <<， 又∵30x <， ∴213y y y <<， 故答案是C ．6、（2014北京中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2．写出一个函数()0ky k x=≠，使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为________【答案】 4y x=【解析】该题考查的是反比例函数解析式求法．由题可知()22B ，∵反比例函数的图象与正方形OABC 有公共点∴将()22B ，代入ky x=，解得4k =．7、（2014中考怀柔二模）如图，四边形ABCD 为菱形，已知()0,4A ，()3,0B -． （1）求点D 的坐标；（2）求经过点C 的反比例函数表达式．【答案】（1）()1,0- (2) 15y x=【解析】该题考查的是反比例函数综合．（1）根据题意得4AO =，3BO =，90AOB ∠=︒，∴5AB =． …………………1分 ∵四边形ABCD 为菱形， ∴5AD AB ==，∴1OD AD AO =-=， ∵点D 在y 轴负半轴，∴点D 的坐标为()1,0-． ………………………………3分 （2）设反比例函数表达式为()0ky k x=≠． ∵5BC AC ==，3OB =，∴点C 的坐标为()3,5-．………………………………4分 ∵反比例函数表达式ky x=经过点C ， ∴反比例函数表达式为15y x=．………………………..5分8、（2014初二下期末北达资源中学）已知()4,A a ()2,4B --，是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象的交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；（3）结合图象，直接写出不等式mkx b x+≥的解集．【答案】 （1）8y x=；2y x =-（2）6（3）20x -≤<或4x ≥【解析】该题考查的是一次函数与反比例函数综合． （1）将()2,4B --代入my x=中得8m = 反比例函数的解析式为8y x= 将()4,A a 代入8y x=中得2a = 一次函数y kx b =+过()2,4B --，()4,2A 得42k b -=-+，24k b =+ 得1k =，2b =-所以一次函数的解析式为2y x =-（2）直线2y x =-同x 轴的交点()2,0，y 轴的交点()0,2- 1112222226222S AOB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（3）由图象可知，mkx b x+≥的解集是20x -≤<或4x ≥9、（2013初二下期末东城区南区）下图是反比例函数1k y x =和2ky x=（12k k <）在第一象限的图象，直线AB x ∥轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若2AOB S ∆=，则21k k -的值为___________【答案】4【解析】该题考查的是反比例函数． 设A ，B 的纵坐标为y ，∴1A kx y =，2B k x y =，∴21k k AB y y=-， ∴122△AOB S AB y =⋅=， ∴21122kk y y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得214k k -=．10、（2012初三上期末门头沟）如图，已知反比例函数ky x=与一次函数2y x =-+的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是2-． （1）求出反比例函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积．【答案】（1）8y x=-（2）6【解析】该题考查的是反比例函数 （1）由题意，得，()224--+=A 点坐标()2,4-…………………………………………．．1分 42k=-，8k =-反比例函数解析式为8y x=- ………………………………．．2分（2）由题意，得B 点坐标()4,2-………………………………3分一次函数2y x =-+与x 轴的交点坐标()2,0M ，与y 轴的交点()0,2N ………4分 6AOB OMB OMN AON S S S S =++== …………………5分11、点P 在反比例函数1y x=（0x >）的图象上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点P '．则在第一象限内，经过点P '的反比例函数图象的解析式是（）A ．5(0)y x x =->B ．5(0)y x x =>C ．6(0)y x x=->D ．6(0)y x x=>【答案】 D【解析】由题意得12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，平移后得到3'4,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，设经过点P '的反比例函数的解析式为k y x =（0k >），则3462k =⨯=，所以6y x=（0x >），故答案为D 选项．12、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，(2,0)B ，o 60AOB ∠=，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为ky x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O B ''．当点O '与点A 重合时，点P 的坐标是_______．【答案】()4,0【解析】点'O 与点A 重合时，直线l 垂直平分OA ，如图，连接PA ，则PA PO =，因为()2,0B ，60AOB ︒∠=，所以2OB =，AB =设(),0P x ，则P A P O x ==，2PB x =-，在Rt P A B ∆中，由勾股定理可得()(2222x x =-+，解得4x =，所以()4,0P ．二、 反比例函数综合13、（2014中考大兴一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与直线2y x =-关于y 轴对称，直线l 与反比例函数xky =的图象的一个交点为()2,A m ． (1) 试确定反比例函数的表达式；(2) 若过点A 的直线与x 轴交于点B ，且45ABO ∠=︒，直接写出点B 的坐标．【答案】 （1）8y x=（2）()6,0或()2,0-【解析】该题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题． 由题意，直线l 与直线2y x =-关于y 轴对称，∴直线l 的解析式为2y x = …………………………………………………1分 ∵点()2,A m 在直线l 上, ∴224m =⨯=.∴点A 的坐标为()2,4………………………………………………………2分 又∵点()2,4A 在反比例函数ky x=的图象上, ∴42k =， ∴8k =∴反比例函数的解析式为8y x=……………………………………………3分 （2）∵45ABO ∠=︒∴A 的纵坐标值等于A 点、B 点横坐标差的绝对值， ∴B 点横坐标246x =+=或242x =-=- 又∵B 点在x 轴上，故B 点纵坐标为0∴B 点的坐标为()6,0或()2,0-…………………………………………5分14、（2013中考海淀一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数2y x=-的图 象与一次函数y kx k =-的图象的一个交点为()1,A n -．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若P 是x 轴上一点，且满足45APO ∠=︒，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）1y x =-+（2）()3,0-或()1,0【解析】该题考查的是反比例函数和一次函数综合． （1）∵点()1,A n -在反比例函数2y x=-的图象上， ∴2n = ………………………1分 ∴点A 的坐标为()1,2-∵点A 在一次函数y kx k =-的图象上，∴2k k =--∴1k =-………………………2分∴一次函数的解析式为1y x =-+………………………3分 （2）点P 的坐标为()3,0-或()1,0………………………5分 （写对一个给1分）15、（2013中考海淀二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象与一次函数2y x =+的图象的一个交点为(),1A m -．（1）求反比例函数的解析式；（2）设一次函数2y x =+的图象与轴交于点B ，若P 是y 轴上一点，且满足PAB ∆ 的面积是3，直接写出点P 的坐标．【答案】 （1）3y x=（2）()0,0或()0,4【解析】该题考查的是一次函数和反比例函数的综合． （1）∵点(),1A m -在一次函数2y x =+的图象上，∴3m =- -------------------------1分 ∴A 点的坐标为()3,1-- ∵点()3,1A --在反比例函数ky x=的图象上， ∴3k =-------------------------2分 ∴反比例函数的解析式为3y x=．-------------------------3分 （2）点P 的坐标为()0,0或()0,4．-------------------------5分 （写对一个给1分）16、（2012中考东城二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与反比例函数k y x=的图像交于点()3,4A -，AC x ⊥轴于点C ． (1)求此反比例函数的解析式；(2)当直线AB 绕着点A 转动时，与x 轴的交点为(),0B a ， 并与反比例函数ky x=图象的另一支还有一个交点的情形下，求ABC ∆的面积S 与a 之间的y函数关系式，并写出自变量a 的取值范围．【答案】 （1）12y x=-（2）()263S a a =+>-【解析】该题考查的是一次函数和反比例函数的综合题． （1）∵43k=-∴12k =- ∴12y x=-……2分 （2）∵()33BC a a =--=+，4AC = ∴()1432ACB S a ∆=⨯⨯+……4分()2 6 3a a =+>-……5分17、（2012中考朝阳二模）如图，点()3,0P -是反比例函数my x=的图象上的一点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）设直线y kx =与双曲线m y x =的两个交点分别为P 和P′，当mkx x<时，直接写出x 的取值范围．【答案】（1）3y x=-（2）3x <-或03x <<该题考查的是反比例函数和一次函数的综合．（1）∵点()3,1P -在反比例函数ky x=的图象上，由13k =-得3k =-.∴反比例函数的解析式为3y x=-. …………………………………………3分（2）3x <-或03x <<. …………………………………………………………5分18、（2014中考石景山一模）如图，一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点()2,0B -，与函数()20my x x=>的图象交于点()1,A a ． （1）求k 和m 的值； （2）将函数()20my x x=>的图象沿y 轴向下平移3个单位后交x 轴于点C ．若点D 是平移后函数图象上一点，且△BCD 的面积是3，直接写出点D 的坐标．【答案】（1）3m =（2）3,25⎛⎫⎪⎝⎭或()3,2-【解析】该题考查的是一次函数与反比例函数． （1）根据题意，将点代入12y kx =+， ∴022k =-+．∴1k = ∴()1,3A 将其代入2my x=，可得3m =． （2）函数()230y x x =>的图象沿y 轴向下平移3个单位后解析式为()330y x x=->， 与交x 轴于点C ，令0y =代入上解析式中得1x =．∴C 点坐标为()1,0．∵()2,0B -，∴3BC =．∵△BCD 的面积是3，∴D 到x 轴的距离为2．当点D 在x 轴上方时，2y =，则横坐标为35x =，故坐标为3,25⎛⎫⎪⎝⎭当点D 在x 轴下方时，2y =-，则横坐标为3x =，故坐标为()3,2-19、（2014中考西城二模）经过点()1,1的直线l ：()2 0y kx k =+≠与反比例函数1G ：()10my m x=≠的图象交于点()1,A a -，(),1B b -，与y 轴交于点D ． （1）求直线l 对应的函数表达式及反比例函数G 1的表达式；（2）反比例函数G 2：()2 0ty t x=≠，①若点E 在第一象限内，且在反比例函数G 2的图象上，若EA EB =，且△AEB 的面积为8，求点E 的坐标及t 值；②反比例函数G 2的图象与直线l 有两个公共点M ，N （点M 在点N 的左侧），若DM DN +<t 的取值范围．【答案】（1）2y x =-+；3y x=-（2）()3,3E ；504t -<<或01t <<【解析】该题考查的是一次函数和反比例函数．（1）∵直线l : 2 (0)y kx k =+≠经过()1,1-，∴1k =-，∴直线l 对应的函数表达式2y x =-+． 1分 ∵直线l 与反比例函数G 1:1 (0)my m x=≠的图象交于点(1,)A a -，(),1B b -， ∴3a b ==．∴(1,3)A -，()3,1B - ∴3m =-．∴反比例函数G 1函数表达式为3y x=-． ······················································· 2分（2）∵EA EB =，(1,3)A -，()3,1B -， ∴点E 在直线y x =上．∵△AEB 的面积为8，AB =，∴EH =∴△AEB 是等腰直角三角形．∴()3,3E 5分 ②分两种情况：（ⅰ）当0t >时，则01t <<； 6分（ⅱ）当0t <时，则504t -<<．综上，当504t -<<或01t <<时，反比例函数2G 的图象与直线l 有两个公共点M ，N ，且DM DN +< 7分20、（2013初二下期末东城区南区）在直角坐标平面内，反比例函数my x=的图象经过点()1,4A 、()B a b ，过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D（1）求反比例函数的解析式；为顶点的四边形是等腰梯形，点B 的坐标是______； （3）ABD ∆的面积为4，求点B 的坐标。

`【例1】 ⑴已知抛物线过()10A -，和()30B ，点，与y 轴交于点C ，且32BC =，则这条抛物线的解析式为_________________________________．⑵如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒， 6AD AB ==，14BC =，点M 是线段BC 上一定点，且 8MC =．动点P 从C 点出发沿C D A B →→→的路线运动，运动到点B 停止．在点P 的运动过程中，使PMC △为等腰三角形的点P 有______个．⑶已知四边形ABCD 中，23AB BC ==，60ABC ∠=︒，90BAD ∠=︒，且ACD △是一个直角三角形，那么AD 的长等于__________________．⑷当k 为何值时，方程230x kx +-=和方程230x x k +-=有公共根？并求出公共根． 【解析】 ⑴223y x x =--或223y x x =-++⑵4⑶3或4⑷令两方程的公共根是m ，则223030m km m m k ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相减得()()131k m k -=--， ①若10k -=，即1k =，两个方程都是230x x +-=，则公共根是113x -±=； 典题精练10第二轮复习之一模考前知识梳理与易错赏析题型一：分类讨论精选题MDCA②若10k -≠，即1k ≠，则3m =-，此时2k =． 综上所述，1k =时，公共根是1132-±；2k =时，公共根是3-．一、 旋转精选题【例2】 ⑴（2012四川绵阳）如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，已知∠AP ′B =135°，P′A ：P ′C =1：3，则P ′A ：PB =（ ）P 'PCBAA ．1：2B ．1：2C ．3：2D ．1：3【答案】B.【解析】 如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′， ∴BP=BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90° 又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′在△ABP 和△CBP ′中，∵ BP=BP ′，∠ABP=∠CBP ′，AB=BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ） ∴AP =P ′C∵P ′A ：P ′C =1：3，∴P ′C=AP =3P ′A连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形.∴∠BP ′P =45°，PP 2PB ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°-45°=90°，∴△APP ′是直角三角形. 设P ′A =x ，则AP =3x ，在Rt △APP ′中，2222''(3)22PP AP P A x x x =--=题型二：几何小题精选在Rt △APP ′中，'2PP PB = ∴222PB x =，解得PB =2x ∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2⑵(2012广西)如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG 的顶点F 的坐标为(4，2)，将矩 形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴上，得到矩形OMNP ，OM 与GF 相交于点A ．若经过点A 的反比例函数(0)ky x x =>的图象交EF 于点B ，则点B 的坐标为 .OEF NMG Py xBA【答案】（4，12） 【解析】 ∵矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴的点N 处，得到矩形OMNP ，∴∠P =∠POM =∠OGF =90°,∵PNO NOM ∠=∠ ∴△OGA ∽△NPO∵E 点坐标为（4，0），G 点坐标为（0，2），∴OE =4，OG =2 ∴OP=OG=2，PN=GF=OE =4∵△OGA ∽△NPO ，∴OG ：NP =GA ：OP ，即2：4=GA ：2 ∴GA=1 ∴A 点坐标为（1，2） 把A （1，2）代入ky x=得k =1×2=2 ∴过点A 的反比例函数解析式为2y x= 把x =4代入2y x =得12y =1 2）∴B点坐标为（4，D30°A 1B 1CBA ⑶（2012广东佛山）如图，把一个斜边长为2且含有30°的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是 （ ）30°A 1B 1CB AA 3 C ．334π D ．11312π 【答案】D【解析】 因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD计算即可：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC =30°，AB =2， ∴BC =12AB =1，∠B =90°－∠BAC =60°。

在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，会涉及到四大数学思想：转化（化归）思想、分类讨论思想、方程（函数）思想、数形结合思想．也会考查代数式的恒等变形，比如代入法、待定系数法、降次法、配方法等．【例1】 ⑴ 已知：24510x x +-=，则代数式()()()()221122x x x x x +--++- ．⑵ 已知223n m =-和223m n =-，且m n ≠，则代数式33222m mn n -+的 值 ．⑶ 已知1mn =-，23320m m ++=，则22332015n n ++= ． ⑷ 已知4a b +=，226210a b b +-+=，则ab = ．【例2】 抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ．⑴ 求这条抛物线的解析式；⑵ 若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n .① 求2124263x x n n -++的值；② 将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个 新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围 是 .（2013海淀期末）典题精练3第二轮复习之 代数综合【例3】 已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=（m 为实数）. ⑴ 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； ⑵ 求证：抛物线()()2121y m x m x =-+--总过轴上的一个定点；⑶ 若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整 数根时，把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解 析式．(2013东城二模)【例4】 已知点A （a ，）、B （2a ，y ）、C （3a ，y ）都在抛物线21122y x x =-上.⑴ 求抛物线与x 轴的交点坐标； ⑵ 当a =1时，求△ABC 的面积；⑶ 是否存在含有、y 、y ，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以 证明；如果不存在，请说明理由.（2013昌平二模）x 1y 231y 23【例5】 二次函数，其顶点坐标为M (1，4-)．⑴ 求二次函数的解析式；⑵ 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到 一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线与这个新图象有两个公共点时，求的取值范围．(2013丰台一模)【例6】 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0. ⑴ 判定方程根的情况；⑵ 设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时， 求m 的值．(2013平谷一模)2y x bx c =++x x y x n =+n【例7】 已知二次函数在和时的函数值相等。

初中数学九年级上册讲义第15讲-反比例函数与反比例函数图像（提高）-学案学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题第15讲---反比例函数与反比例函数图像授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是反比例函数关系；能根据已知条件确定反比例函数的表达式及作出函数图像；掌握函数图像的性质与系数k的几何意义。

授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一.知识框架二.知识概念（一）反比例与反比例函数1.反比例如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个非零常数，那么这两个变量成反比例，用数学符号语言记为xyk，或k0）。

成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

2.反比例函数（1）定义一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。

还可以写成。

也可以写成xyk,它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.（2）反比例函数解析式的特征等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.比例系数自变量的取值为一切非零实数。

函数的取值是一切非零实数。

（3）待定系数法反比例函数解析式的确定利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）。

（二）反比例函数的图像与性质1.图像的画法描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）2.图像特征（1）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

（2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对称图形。

（3）系数的几何意义过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

第15课时反比例函数一、中考知识点:1.反比例函数意义;2.反比例函数反比例函数图象;3.反比例函数性质;4.待定系数法确定函数解析式.三、中考知识梳理1.反比例函数的概念反比例函数y=kx中的kx是一个分式,自变量x≠0,函数与x轴、y轴无交点,y=kx也可写成y=kx-1(k≠0),注意自变量x的指数为-1, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件.2.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=kx的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点.3.反比例函数y=kx中k的意义注意:反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│.4.反比例函数经常与一次函数、二次函数等知识相联系.四、中考题型例析1．反比例函数的图象例1 (2003·三明)函数y=1x(x>0)的图象大致是( )y y y y解析:函数y=kx的图象是双曲线,当k<0时双曲线两分支分别在第二、四象限内, 而已知中(x>0)表明横坐标为正,故双曲线位于第四象限.答案:D.点评:本题主要考查反比例函数的图象.但需注意的是y=1x- 中的限制条件(x>0), 即双曲线的横坐标为正.例2 (2003·宜昌)函数y=kx+1与函数y=kx在同一坐标系中的大致图象是( )分析:明确一次函数y=kx+1中的k 的含义与函数y=kx中k 的含义是解题的关键. 解:可用排除法,假设y=kx中k>0,双曲线过第一、三象限,则直线y=kx+1 也应过第一、第三象限且与y 轴交于正半轴,故排除B 、D.同理可排除C,故答案为A.点评:解决同一坐标系中两种函数共存问题,首先明确同一字母系数在不同函数解析式中的含义,切勿出现“张冠李戴”的错误.2.待定系数法确定函数解析式 例3 (2003·南充)已知y 与x 2成反比例,并且当x=-1时,y=2,那么当x=4时,y 等于( )A.-2B.2C.12D.-4 分析:已知y 与x 2成反比例,∴y=2k x (k ≠0).将x=-2,y=2代入y=2kx可求得k,从而确定双曲线解析式.解:∵y 与x 2成反比例,∴y=2kx (k ≠0). 当x=-2时,y=2,∴2=2(2)k-,k=8 y O xAy OxBy O xCy O xD∴y=28x ,把x=4代入y=28x 得y=12. 故答案为C.点评:此题主要考查反比例函数概念及待定系数法确定函数解析式. 3.反比例函数的应用例 4 (2003·天津)如图所示,已知一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,且与反比例函数y=mx(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点, CD 垂直于x 轴,垂足为D.若OA=OB=OD=1,(1)求点A 、B 、D 的坐标; (2)求一次函数和反比例函数的解析式. 分析:(1)由OA=OB=OD=1可确定A 、B 、D 三点坐标. (2)将A 、B 两点坐标分别代入y=kx+b,可用待定系数法确定一次函数的解析式, 由C 点在一次函数的图象上可确定C 点坐标,将C 点坐标代入y=kx可确定反比例函数的解析式. 解:(1)∵OA=OB=OD=1,∴点A 、B 、D 的坐标分别为A(-1,0),B(0,1),C(1,0). (2)∵点A 、B 在一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象上, ∴01k b b -+=⎧⎨=⎩,解得11k b =⎧⎨=⎩,∴一次函数的解析式为y=x+1.∵点C 在一次函数y=x+1的图象上,且CD ⊥x 轴, ∴点C 的坐标为(1,2) .又∵点C 在反比例函数y=mx (m ≠0)的图象上,m=2. ∴反比例函数的解析式为y=2x.基础达标验收卷一、选择题:(第5题为多项选择题)1.(2004·沈阳)经过点(2,-3)的双曲线是( ) A.y=-6x B.6xC.y=32xD.-32xyO x DCB A2.(2003·江西)反比例函数y=-1x的图象大致是( )3.(2003·广东)如图,某个反比例函数的图象经过点P,则它的解析式为( )A.y=1x (x>0); B.y=-1x (x>0)C.y=1x (x<0); D.y=-1x(x<0) 4.(2004·徐州)如图,点P 是x 轴上的一个动点,过点P 作x 轴的 垂线PQ 交双曲线于点Q,连结OQ,当点P 沿x 轴正半方向运动时,Rt △QOP 的面积( )A.逐渐增大;B.逐渐减小;C.保持不变;D.无法确定 5.(2004·上海)在函数y=kx(k>0)的图象上有三点A 1(x 1,y 1),A 2(x 2,y 2),A 3( x 3.y 3),已知x 1<x 2<0<x 3,则下列各式中,正确的是( )A.y 1<0<y 3B.y 3<0<y 1;C.y 2<y 1<y 3D.y 3<y 1<y 2 6.(2004·武汉)已知直线y=kx+b 与双曲线y=kx交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 两点, 则x 1·x 2的值( )A.与k 有关、与b 无关;B.与k 无关、与b 无关;C.与k 、b 都有关;D.与k 、b 都无关 7.(2002.青岛)已知关于x 的函数y=k(x-1)和y=-kx (k ≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是下图中的( )二、填空题:1.(2004.福州)如果反比例函数图象过点A(1,2),那么这个反比例函数的图象在第_______象限.2.(2004.哈尔滨)反比例函数y=kx(k 是常数,k ≠0)的图象经过点(a,- a) , 那么k_____0(填“>”或“<”).y O x A y O x B yO x C y O xD1-1y OxPy Q OxPyO x A yO x B yO x C y Ox3.(2004.陕西)若反比例函数y=kx经过点(-1,2),则一次函数y=-kx+2的图象一定不经过第_____象限.4.(2004.北京)我们学习过反比例函数.例如,当矩形面积S一定时,长a是宽b 的反比例函数,其函数关系式可以写为a=sb(S为常数,S≠0).请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例,并写出它的函数关系式.实例:_______________________________________________________________;函数关系式:_______________________.5.(2003.安徽)近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例.已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25米,则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是____.三、解答题:1.(2004·天津)已知一次函数y=x+m与反比例函数y=1mx(m≠-1)的图象在第一象限内的交点为P(x0,3).(1)求x0的值;(2)求一次函数和反比例函数的解析式.2.(2004·呼和浩特)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点:A(-2,1),B(1,n).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.3.(2003·海南)如科,已知反比例函数y=12x的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于P、Q两点,并且P点的纵坐标是6.(1)求这个一次函数的解析式;(2)求△POQ的面积.yOxBAyOxP能力提高练习一、学科内综合题 1.(2002·潍坊)如图,△OPQ 是边长为2的等边三角形,若反比例函数的图象过点P,则它的解析式是_________. 2.(2002·南宁)如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线y=kx 与直线y=-x-(k+1)在第二象限的交点.AB ⊥x 轴于B,且S △ABO =32.(1)求这两个函数的解析式;(2)求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积.二、学科间综合题3.(2004·南京)在压力不变的情况下,某物体承受的压强p(Pa) 是它的受力面积S(m2)的反比例函数,其图象如图所示.(1)求p 与S 之间的函数关系式; (2)求当S=0.5m 2时,物体承受的压强p.y QO xPy O x C B AS(m 2)三、实际应用题 4.(2002·吉林)某单位为响应政府发出的全民健身的号召,打算在长和宽分别为20m 和11m 的矩形大厅内修建一个60m2的矩形健身房ABCD. 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁(如图为平面示意图),已知装修旧墙壁的费用为20元/m 2,新建(含装修)墙壁的费用为80元/m 2.设健身房的高为3m,一面旧墙壁AB 的长为xm,修建健身房墙壁的总投入为y 元.(1)求y 与x 的函数关系式;(2)为了合理利用大厅,要求自变量x 必须满足条件:8≤x ≤12, 当投入的资金为4800元时,问利用旧墙壁的总长度为多少?11m20mDCB A5.(2003.金华)为了预防“非典”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧完后,y 与x 成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕, 此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息,解答下列问题:(1)药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为: _____________, 自变量x 的取值范围是:________________;药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为:___________________.(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过_______分钟后,学生才能回到教室;(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?x(分钟)y(豪克)86O答案:一、1.A 2.D 3.D 4.C 5.A,C 6.D 7.B二、1.一、三 2.< 3.四 4.如当路程s 一定时,速度v 是时间t 的反比例函数;函数关系式为v=s t (s 是常数) 5.y=100x三、(1)∵点P(x 0,3)在一次函数y=x+m 的图象上.∴3=x 0+m,即m=3-x 0.又点P(x 0,3)在反比例函数y=1m x+ 的图象上. ∴3=1m x +,即m=3x 0-1. ∴3-x 0=3x 0-1,解得x 0=1. (2)由(1),得m=3-x 0=3-1=2, ∴一次函数的解析式为y=x+2,反比例函数的解析式为y=3x2.解:(1)点A(-2,1)在反比例函数y=mx的图象上, ∴m=(-2)×1=-2. ∴反比例函数解析式y=2x点B(1,n)也在反比例函数的图象上, ∴n=-2.点A 、B 均在一次函数y=kx+b 的图象上 ∴21121k b k k b b -+==-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩∴一次函数的解析式为y=-x-1. (2)根据图象可知,满足要求的x 取值范围为x<-2或0<x<1. 3.解:(1)因点P 在反比例函数y=12x 的图象上,且其纵坐标为6,于是,得12x=6,解得x=2, ∴P(2,6).又∵点P 在函数y=kx+4的图象上, ∴6=2k+4,解得k=1. ∴所求一次函数解析式为y=x+4.(2)解方程组412y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得121262,26x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ ∴Q(-6,-2) 令y=0,代入y=x+4, 解得x=-4,∴函数y=x+4的图象与x 轴的交点是A(-4,0).∴△AOP 和△AOQ 的公共边OA=4,OA 边上的高分别为PM=6,QN=2. ∴S △POQ =S △AOP +S △AOQ =12×4×6+12×4×2=16. 能力提高练习1.y=x(x>0) 2.解:(1)设A 点坐标为(x,y),且x<0,y>0则S △ABO =12·│BO │·│BA │=12·(-x)·y=32。

学而思学校秋季第五级（下）初三数学测试卷 （目标班）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 下列运算错误的是（ ） A 235 B ．236= C 623= D ．2(2)2-=2.抛物线24(3)1y x =-+-的顶点坐标是（ ） A ． ()31-， B ．()31--， C ． ()31， D ．()31-，3.如图，O ⊙的直径4AB =，点C 在O ⊙上，30ABC =︒∠，则AC 的长是（ ） A ．1B 2C 3D ．24. 在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，若DE BC ∥，12AD BD =，4cm DE =，则BC 的长为（ ） A ．8cm B ．12cm C ．11cm D ．10cm5.已知方程2540x x -+=的两根分别为1O ⊙与2O ⊙的半径，且123O O =，那么两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离6.如图，在小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 、E 都在小正方形的顶点上，则tan ADC ∠的值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．17.已知三角形的三边长分别为345，，（ ） A ．01234，，，， B ．01245，，，， C ．012345，，，，， D ．0123456，，，，，， 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是反比例函数xy 1=（x > 0）图象上的一个动点，点A 在x 轴上，且PO =P A ，EDCBAOCBAAB 是PAO △中OP 边上的高．设m OA =，n AB =，则 下列图象中，能表示n 与m 的函数关系的图象大致是( )A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 2x -x 的取值范围是 ．10. 如图，O ⊙的直径CD AB ⊥，60AOC =︒∠，则CDB ∠为 度．个11. 将二次函数22y x =+的图象向左平移1个单位，再向下平移3单位，则平移后抛物线的表达式为 ． 12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，… 都在y 轴上，对应的纵坐标分别为1，2，3，…．直线1l ，2l ，3l ，…分别经过点1A ，2A ，3A ，…，且都平行于x轴．以点O 为圆心，半径为2的圆与直线1l 在第一象限 交于点1B ，以点O 为圆心，半径为3的圆与直线2l 在第 一象限交于点2B ，…，依此规律得到一系列点n B （n 为正整数）， 则点1B 的坐标为 ，点n B 的坐标为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：118122sin 60tan 602-骣÷ç+--白?÷ç÷ç桫14. 已知：0162=-+x x ，求代数式()()()()3312122+-+--+x x x x x 的值．15. 先化简，再求值：23111xx x x x x -⎛⎫-⋅⎪-+⎝⎭，其中22x =．OBAmn O16. 在Rt ABC △中，AD 为斜边上的高，若4AD =,3BD =，求AC 的长．x 轴交17.如图，二次函数2y x bx c =-++的图象经过坐标原点，且与于()20A -，．⑴求此二次函数解析式及顶点的坐标；⑵在抛物线上有一点P ，满足3AOP S =△，直接写出点P 的坐标．18.如图，AB 是O ⊙的直径，点D 在O ⊙上，45DAB =︒∠，BC AD ∥，CD AB ∥．⑴判断直线CD 与O ⊙的位置关系，并说明理由； ⑵若O ⊙的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．DB AOAyxODB四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根．据此可知：(1) i 可以运算，例如：321i i i i i =⋅=-⨯=-，则i 4= ， i 2011=______________，i 2017=__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．20.如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，O 为AD 边的中点，若把四边形ABCD 绕着点O 顺时针旋转180︒，试解决下列问题：⑴画出四边形ABCD 旋转后的图形； ⑵求点C 旋转过程时所经过的路径长；⑶设点B 旋转后的对应点为B '，求t a n D A B '∠的值．21.吸烟有害健康！你知道吗，即使被动吸烟也大大危害健康．有消息称，我国准备从2011年元月一日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织同学们在某社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求市民的意见，并将调查结果整理后制成了如下统计图：根据统计图解答：戒烟戒烟戒烟戒烟人数120603015%10%强制戒烟警示戒烟替代品戒烟药物戒烟A BCDO图2图1A'PPA ABCBC⑴同学们一共随机调查了多少人？ ⑵请你把统计图补充完整；⑶如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持“强制戒烟”的概率是多少？假定该社区有1万人，请估计该地区大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式．22.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在ABC △（其中BAC ∠是一个可以变化的角）中，2AB =，4AC =，以BC 为边在BC 的下方作等边PBC △，求AP 的最大值。

{教育管理}初三数学辅导班学习讲义圆（1）当d=14 厘米时，因为 d R+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（2）当d=2厘米时，因为d R－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（3）当d=15 厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（4）当d=7 厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（5）当d=1 厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：6、切线性质：例4：（1）如图，PA 是⊙O的切线，点A 是切点，则∠PAO=度（2）如图，PA、PB 是⊙O的切线，点 A、B 是切点，则= ，∠=∠；7、圆中的有关计算（1）弧长的计算公式：例 5：若扇形的圆心角为60°，半径为 3，则这个扇形的弧长是多少？解：因为扇形的弧长=所以== (答案保留π)（2）扇形的面积：例 6：①若扇形的圆心角为60°，半径为 3，则这个扇形的面积为多少？解：因为扇形的面积 S=所以 S== (答案保留π)②若扇形的弧长为12πcm，半径为 6㎝，则这个扇形的面积是多少？解：因为扇形的面积S=所以 S= =（3）圆锥：例 7：圆锥的母线长为 5cm，半径为 4cm，则圆锥的侧面积是多少？解：∵圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于∴圆锥的侧面积=8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；例 8：画出下列三角形的外心或内心（1）画三角形 ABC 的内切圆，（2）画出三角形 DEF 的外接圆，并标出它的内心；并标出它的外心 D二、练习： （一）填空题1、如图，弦 AB 分圆为 1：3 两段，则的度数的度数等于度；∠AOB＝ 度，∠ACB2、如图，已知 A 、B 、C 为⊙O 上三点，若、、的 度数之比为 1∶2∶3，则∠AOB＝，∠AOC＝ ，∠ACB＝，3、如图 1－3－2，在⊙O 中，弦 AB=1.8cm ，圆周角∠ACB=30○，则⊙O 的半径等于=cm ．4、⊙O 的半径为 5，圆心 O 到弦 A B 的距离 O D=3， 则 AD=，AB 的长为；5、如图，已知⊙O 的半径 OA=13㎝，弦 AB ＝24㎝， 则 OD=㎝。

满分晋级阶梯中考内容与要求中考内容中考要求ABC二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题中考考点分析二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。

这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定1二次函数图象特征与变换函数16级方程与函数思想函数15级二次函数图象特征与变换函数14级二次函数实际应用二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。

年份2011年2012年2013年题号7，8，238，2310，23分值11分11分9分考点抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围二次函数函数图象的性质；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数图像的对称性知识互联网思路导航图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则：开口方向00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小．题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系例题精讲【引例】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<；1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>典题精练【例1】⑴设0＞b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为（）A ．152--B ．152-+C ．1-D ．1⑵二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（）⑶若二次函数2y ax bx c =++的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴，则点,c P a b ⎛⎫⎪⎝⎭在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】⑴二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，已知OA OB 2=，OC OA ＜，则a ，b ，c 满足的关系式是⑵如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为．C BAOy x【例3】(1)已知二次函数c bx ax y ++=2满足：⑴c b a ＜＜；⑵0=++c b a ；⑶图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有①0a <；②0a b c -+<；③0c >；④20a b ->；⑤412＜a b -(2)已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b +=；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例4】⑴二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a的取值范围⑵二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．思路导航平移“左加右减，上加下减”．对称关于x 轴对称2y ax bx c =++的图象关于x 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =---．关于y 轴对称2y ax bx c =++的图象关于y 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+．关于原点对称2y ax bx c =++的图象关于原点对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+-．旋转主要旋转180︒和90︒.例题精讲【引例】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，．⑴求该二次函数的解析式；⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．【解析】⑴设二次函数解析式为2(1)4y a x =--，∵二次函数图象过点(30)B ，，∴044a =-，得1a =．∴二次函数解析式为2(1)4y x =--，即223y x x =--．⑵令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，．典题精练题型二：二次函数的图象变换【例5】已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与反比例函数xa y 4+=的图象交于点A (a ,-3)，与y 轴交于点B .⑴试确定反比例函数的解析式;⑵若∠ABO =135︒,试确定二次函数的解析式;⑶在⑵的条件下,将二次函数y =ax 2+bx +c 的图象先沿x 轴翻折,再向右平移到与反比例函数xa y 4+=的图象交于点P (x 0,6).当x 0≤x ≤3时,求平移后的二次函数y 的取值范围.【例6】已知抛物线()221:22101C y ax amx am m a m =-+++>>，的顶点为A ，抛物线2C 的对称轴是y 轴，顶点为点B ，且抛物线1C 和2C 关于点()13P ，成中心对称．⑴用含m 的代数式表示抛物线1C 的顶点坐标；⑵求m 的值和抛物线2C的解析式.【例7】已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，310=OP ，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b的取值范围.复习巩固题型一二次函数图象与其解析式系数关系巩固练习【练习1】在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（）【练习2】如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x 轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．12b -<<D ．01b <<【练习3】二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，且2P a b c a b =-+++，2Q a b c a b =+++-，请比较P 、Q 的大小．-1-1BAO yxDCBAxyO xyO xyO O yx1xyO题型二二次函数的图象变换巩固练习【练习4】如图，已知抛物线1C ：()225y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．⑴求P 点坐标及a 的值；⑵如图⑴，抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P M 、关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式.（福建宁德中考）y xAO B PM图1C 1C 2C 3图⑴【练习5】二次函数2y x =的图象所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．⑴画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式．⑵求经过两次平移后的图象与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0？思维拓展训练(选讲)训练1.⑴设a 、b 是常数，且0b >，抛物线2256y ax bx a a =++--为下图中四个图象之一，则a 的值为（）-111-1xyOxyOx yO xyOA ．6或1-B ．6-或1C ．6D ．1-⑵已知0b <时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示．-111-1xyOxyOx yO x yO根据图象分析，a 的值等于．．．．（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2训练2.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点()20-，和()10-，之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 内（包括边界和内部）的一个动点，则①abc _______0（填“>”或“<”）；②a 的取值范围是_____________．训练3.已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．⑴求该抛物线与x 轴的交点及顶点的坐标(可以用含k 的代数式表示)；⑵若记该抛物线顶点的坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值；⑶将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．训练4.已知抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点．⑴求m 的取值范围；⑵若m >1,且点A 在点B 的左侧，OA :OB =1:3,试确定抛物线的解析式；⑶设⑵中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴,将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折,抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象.请你结合新图象回答:当直线13y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0,y 0)且07y ≤时,求b 的取值范围.第十七种品格：成就古往今来，古今中外，很多人取得了各种成就。

四年级数学期末复习计划指导思想1、查漏补缺，本册教材内容进行系统的归纳整理，理清知识点的联系，通过对基础知识的复习和练习，加强学生的记忆，深化认识，使所学的知识内化为学生的知识素养。

使学生对知识的掌握理解由感性认识提升到一个理性的认识上来。

2、在复习、练习过程当中，注重学生的学习方法、数感和数学思维的梳理和培养，发展学生逻辑思维能力。

3、灵活解题，提高综合运用与解决实际问题的能力。

使学生在复习、练习过程中，对知识进行分类、整理，帮助学生找出各知识之间的联系和解题规律，重新整合，形成一个完整的知识体系。

达到举一反三、能综合、灵活地运用所学的知识解决简单实际问题应用数学能力。

4、养成学生认真做题、细心检查的良好学习习惯，形成良好的数学情操。

知识点梳理：数与代数一.小数的认识小数的意义：①能用小数表示图中的阴影，或根据小数在图中图色。

②能正确读、写小数。

③能知道分母是10、100、1000的分数分别能用一位、两位、三位小数表示。

并能让这些分数与小数互换。

④能用小数表示日常的生活中的实物。

⑤能在数轴上表示某个小数。

⑥数位顺序及小数的组成。

⑦能把十进、百进、千进的计量单位用小数表示。

⑧小数的大小比较。

（先比较整数部分，再比较十分位...）二.小数的运算1.小数的加减法①不进位、不退位。

1.2+3.46.6-1.3②进一位、退一位。

20.6+3.719.1-2.7③连续进位，连续退位。

12.75+2.2571.13-16.55④位数不同。

16.3+2.7560-2.882.小数的乘法①一般情况。

2.8____1.1②乘数中间有“0”。

1.06____3.3③乘数末尾有“0”。

1.06____470④积末尾有“0”。

8.5____0.88⑤积与因数之间的关系。

0.49____0.9○0.49⑥小数点的移动引起小数大小的变化。

⑦小数的性质。

（在不改变1.3的大小的情况下，把它改写成两位小数）3.混合运算。

要求：能简算要简算。

第四单元两、三位数除以一位数第15课时复习（2）教学内容：教材第70页。

教学目标:1、通过复习，让学生用所学的数学知识解决实际问题，经历探究的过程，培养学生的应用意识和仔细观察，积极思考的习惯。

2、感受数学与日常生活的联系，在不断克服困难取得成功的过程中逐步树立学好数学的自信心。

教学重难点:进一步使学生掌握两、三位数除以一位数的笔算方法。

教学准备:教学光盘教学过程:一、谈话引入谈话：同学们，上节课我们复习了两、三位数除以一位数的口算和笔算方法，运用除法解决了简单的实际问题，还记得吗？指名说一说。

小结：大家掌握了两、三位数除以一位数的计算方法，这节课，老师带领大家，通过除法计算发现计算中有趣的规律，大家有兴趣吗？（板书课题：复习）二、基础知识训练1、完成复习第 6 题要求观察每组题的前后两个算式，判断每组题的大小。

全屋定制衣柜详细问题了解下！2、完成复习第 7 题观察每组算式：先估算，猜猜每组算式的结果相等吗？学生独立计算后，在小组里说说你发现了什么规律。

小结：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个除数的积。

3、完成复习第 8 题独立计算并核对，说说通过计算你发现了什么？被除数有什么共同特点？（被除数的三个数字都是 1、2、6）你能再选三个数字组成不同的三位数，使它们除以 9 都没有余数吗？三、解决实际问题1、完成复习第 9 题观察图，说说你从图中获得了哪些信息？列式计算，说说你是怎样想的，每一步求的是什么。

教师小结评价。

2、完成复习思考题引导学生独立思考，补全竖式。

左题：可根据除数和十位上的商求出它们的积，填在相关的方框内，再根据十位上余数2 算出被除数的前两位，然后根据个位上的余数 2，填出被除数个位上的数 9 。

右题：商百位商只能是 1，十位上只能是 0，个位上可以是 2、4、6、8 中任何一个数，对应的被除数是 5 1 2 、5 2 2 、5 3 2 、5 4 2 。

案不唯一。

四、课堂总结今天我们复习了什么？你有哪些收获？板书设计:6. < < > >7. 106 106 150150 101 1018. 14 24 6818 29 69(1)没有余数。