小学奥数计数之标数法经典例题讲解【三篇】

【导语】成功根本没有秘诀可⾔，如果有的话，就有两个：第⼀个就是坚持到底，永不⾔弃；第⼆个就是当你想放弃的时候，回过头来看看第⼀个秘诀，坚持到底，永不⾔弃，学习也是⼀样需要多做练习。

以下是⽆忧考为⼤家整理的《⼩学奥数计数问题练习与答案【三篇】》供您查阅。

【第⼀篇：整体法经典练习题】经典例题展⽰1：有⼀类各位数字各不相同的五位数M，它的千位数字⽐左右两个数字⼤，⼗位数字也⽐左右两个数字⼤；另有⼀类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字⽐左右两个数字⼩，⼗位数字也⽐左右两个数字⼩。

请问符合要求的数M和W，哪⼀类的个数多？多多少？ 经典例题展⽰2：游乐园的门票1元1张，每⼈限购1张。

现在有10个⼩朋友排队购票，其中5个⼩朋友只有1元的钞票，另外5个⼩朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱。

问有多少种排队⽅法,使售票员总能找得开零钱?【第⼆篇：递推⽅法的概述及解题技巧】在不少计数问题中，要很快求出结果是⽐较困难的，有时可先从简单情况⼊⼿，然后从某⼀种特殊情况逐渐推出与以后⽐较复杂情况之间的关系，找出规律逐步解决问题，这样的⽅法叫递推⽅法。

线段AB上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上⼀共有多少条不同的线段？ 分析与解答：从简单情况研究起： AB上共有2个点，有线段：1条 AB上共有3个点，有线段：1＋2＝3（条） AB上共有4个点，有线段：1＋2＋3＝6（条） AB上共有5个点，有线段：1＋2＋3＋4＝10（条） …… AB上共有10个点，有线段：1＋2＋3＋4＋…＋9＝45（条） ⼀般地，AB上共有n个点，有线段： 1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）＝n×（n－1）÷2 即：线段数＝点数×（点数－1）÷2【第三篇：计数习题标数法和加法原理的综合应⽤】★★★★）有20个相同的棋⼦，⼀个⼈分若⼲次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋⼦数不是3或4的倍数，有（）种不同的⽅法取完这堆棋⼦. 【分析】把20、0和20以内不是3或4的倍数的数写成⼀串，⽤标号法把所有的⽅法数写出来： 考点说明：本题主要考察学⽣对于归纳递推思想的理解，具体来说就是列表标数法的使⽤，难度⼀般，只要发现了题⽬中的限制条件，写出符合条件的剩余棋⼦数，然后进⾏递推就可以了。

8标数法⼀、加法原理概念引⼊⽣活中常有这样的情况，就是在做⼀件事时，有⼏类不同的⽅法，⽽每⼀类⽅法中，⼜有⼏种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要⽤加法原理来解决．例如:王⽼师从北京到天津，他可以乘⽕车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次⽕车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在⼀天中去天津能有多少种不同的⾛法？分析这个问题发现，王⽼师去天津要么乘⽕车，要么乘长途汽车，有这两⼤类⾛法，如果乘⽕车，有5种⾛法，如果乘长途汽车，有4种⾛法．上⾯的每⼀种⾛法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的⾛法．在上⾯的问题中，完成⼀件事有两⼤类不同的⽅法．在具体做的时候，只要采⽤⼀类中的⼀种⽅法就可以完成．并且两⼤类⽅法是互⽆影响的，那么完成这件事的全部做法数就是⽤第⼀类的⽅法数加上第⼆类的⽅法数．⼆、加法原理的定义⼀般地，如果完成⼀件事有k 类⽅法，第⼀类⽅法中有1m 种不同做法，第⼆类⽅法中有2m 种不同做法，…，第k 类⽅法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同⽅法，这就是加法原理．加法原理运⽤的范围：完成⼀件事的⽅法分成⼏类，每⼀类中的任何⼀种⽅法都能完成任务，这样的问题可以使⽤加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独⽴”．分类时，⾸先要根据问题的特点确定⼀个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进⾏分类；其次，分类时要注意满⾜两条基本原则：①完成这件事的任何⼀种⽅法必须属于某⼀类；②分别属于不同两类的两种⽅法是不同的⽅法．只有满⾜这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．知识要点第8讲标数法运⽤加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐⼀计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成⼀件事分N 类；2、每类找种数（每类的⼀种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加树形图法、标数法及简单的递推⼀、树形图法“树形图法”实际上是枚举的⼀种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，⽽且有条理⼜不重复遗漏，使⼈⼀⽬了然．【例 1】（难度等级※※※）A 、B 、C 三个⼩朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第⼀次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧⼜回到A ⼿中，那么不同的传球⽅式共多少种？(2005年《⼩数报》数学邀请赛)【解析】如图，A 第⼀次传给B ，到第五次传回A 有5种不同⽅式．同理，A 第⼀次传给C ，也有5种不同⽅式．所以，根据加法原理，不同的传球⽅式共有5510+=种．C B CC B AACBA【巩固】（难度等级※※※）⼀只青蛙在A ，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙⼀共有多少种不同的跳法？【解析】 6种，如图，第1步跳到B ，4步回到A 有3种⽅法；同样第1步到C 的也有3种⽅法．根据加法原理，共有336+=种⽅法．AA A BCAB C BA【例 2】（难度等级※※※）甲、⼄⼆⼈打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有⼈连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为⽌．问：⼀共有多少种可能的情况？【解析】如下图，我们先考虑甲胜第⼀局的情况：图中打√的为胜者，⼀共有7种可能的情况．同理，⼄胜第⼀局也有 7种可能的情况．⼀共有 7＋7=14（种）可能的情况．⼆、标数法适⽤于最短路线问题，需要⼀步⼀步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的⽅法总数．标数法是加法原理与递推思想的结合．【例 3】（难度等级※※）如图所⽰，沿线段从A 到B 有多少条最短路线？GFE D C BA111064332111AB【解析】图中B 在A 的右上⽅，因此从A 出发，只能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来法也等于到达F和到达G的⾛法之和，这样我们就归纳出：到达任何⼀点的⾛法都等于到它左侧点⾛法数与到它下侧点⾛法数之和，根据加法原理，我们可以从A点开始，向右向上逐步求出到达各点的⾛法数．如图所⽰，使⽤标号⽅法得到从A到B共有10种不同的⾛法．【巩固】（难度等级※※）如图，从A点到B点的最近路线有多少条？BA10204111111B6243310A【解析】使⽤标号法得出到B点的最近路线有20条．【例 4】（难度等级※※）如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南⾓的A处沿最短的路线⾛到东北⾓B出，由于修路，⼗字路⼝C不能通过，那么共有＿＿＿＿种不同⾛法．AA【解析】本题是最短路线问题．要找出共有多少种不同⾛法，关键是保证不重也不漏，⼀般采⽤标数法．如上图所⽰，共有120种．另解：本题也可采⽤排除法．由于不能经过C，可以先计算出从A到B的最短路线有多少条，再去掉其中那些经过C的路线数，即得到所求的结果．对于从A到B的每⼀条最短路线，需要向右6次，向上4次，共有10次向右或向上；⽽对于每⼀条最短路线，如果确定了其中的某6次是向右的，那么剩下的4次只能是向上的，从⽽该路线也就确定了．这就说明从A到B的最短路线的条数等于从10次向右或向上⾥⾯选择6次向右的种数，为610C．本题中，从A到B的最短路线共有610C种；从A到C的最短路线共有26C种，从C到B的最短路线共有24C种，根据乘法原理，从A到B且必须经过C的最短路线有2264C C种，所以，从A到B且不经过C的最短路线有622106421090120C C C-?=-=种．【例 5】（难度等级※※※）如图所⽰，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？【解析】1、⽅格图⾥两点的最短路径，从位置低的点向位置⾼的点出发的话，每到⼀点（如C、D点）只能向前或者向上．2、题问的是经过C点，或者D点；那么A到B点就可以分成两条路径了A--C---B；A---D---B，那么也就可以分成两类．但是需要考虑⼀个问题——A到B点的最短路径会同时经过C和D点吗？最短路径只能往上往前，经过观察发现C、D不会同时出现在最短路径上了．3、A---C---B，那么C就是必经之点了，就需要⽤到乘法原理了．A---C，最短路径⽤标数法标出，同样C---B点⽤标数法标注，然后相乘A---D---B，同样道理．最后结果是735+420=1155条．【例 6】如图1为⼀幅街道图，从A出发经过⼗字路⼝B，但不经过C⾛到D的不同的最短路线有条.【解析】到各点的⾛法数如图2所⽰.ACBD118633211DB CA图1图2所以最短路径有18条.【例 7】⼩王在⼀年中去少年宫学习56次，如图所⽰，⼩王家在P点，他去少年宫都是⾛最近的路，且每次去时所⾛的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．EC【解析】本题属最短路线问题．运⽤标数法分别计算出从⼩王家P点到A、B、C、D、E点的不同路线有多少条，其中，路线条数与⼩王学习次数56相等的点即为少年宫．因为，从⼩王家P点到A点共有不同线路84条；到B点共有不同线路56条；到C点共有不同线路71条；到D点共有不同线路15条；到E点共有不同线路36条．所以，少年宫在B点处．【例 8】（难度等级※※※）在下图的街道⽰意图中，有⼏处街区有积⽔不能通⾏，那么从A 到B的最短路线有多少种？AB11111111114555151422 1111 1311B A【解析】因为B在A的右下⽅，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何⼀点的⾛法数都等于到它左侧点的⾛法数与到它上侧点的⾛法数之和．有积⽔的街道不可能有路线经过，可以认为积⽔点的⾛法数是0．接下来，可以从左上⾓开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的⾛法数．如右上图，从A到B的最短路线有22条．【例 9】（难度等级※※※）在下图的街道⽰意图中，C处因施⼯不能通⾏，从A到B的最短路线有多少条？CB A633311122221111CB A【解析】因为B在A的右上⽅，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何⼀点的⾛法数【巩固】（难度等级※※※）在下图的街道⽰意图中，C 处因施⼯不能通⾏，从A 到B 的最短路线有多少种？CB A【解析】因为B 在A 在右下⽅，由标号法可知，从A 到B 的最短路径上，到达任何⼀点的⾛法数都等于到它左侧点的⾛法数与到它上侧点的⾛法数之和.⽽C 是⼀个特殊的点，因为不能通⾏，所以不可能有路线经过C ，可以认为到达C 点的⾛法数是0.接下来，可以从左上⾓开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的⾛法数.如图，从A 到B 的最短路线有6条．【例 10】（难度等级※※※）如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字⾥能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这⾥共有多少种完【解析】⽅法⼀：标数法．第⼀个字只能选位于左上⾓的“我”，以后每⼀个字都只能选择前⾯那个字的下⽅或右⽅的字，所以本题也可以使⽤标号法来解：(如右上图，在格⼦⾥标数)共70种不同的读法．⽅法⼆：组合法．仔细观察我们可以发现，按“我们学习好玩的数学”⾛的路线就是向右351511113451014610151512013570321⾛四步，向下⾛四步的路线，⽽向下和向右⼀个排列顺序则代表了⼀种路线．所以总共有4870C 种不同的读法．【例 11】（难度等级※※※）如图，沿着“北京欢迎你”的顺序⾛（要求只能沿着⽔平或竖直⽅向⾛），⼀共有多少种不同的⾛法？北北京北北京欢京北欢迎欢你113112*********【解析】沿着“北京欢迎你”的顺序沿⽔平或竖直⽅向⾛，北以后的每⼀个字都只能选择上⾯的或左右两边的字，按加法原理，⽤标号法可得右上图．所以⼀共有11种⾛法．【巩固】（难度等级※※※）如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字⾥能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这⾥共有多少【解析】第⼀个字只能选位于左上⾓的“我”，以后每⼀个字都只能选择前⾯那个字的下⽅或右⽅的字，所以本题也可以使⽤标号法来解：(在格⼦⾥标数)共70种不同的读法．【例 12】（难度等级※※※）在下图中，⽤⽔平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些1511113451014610151512013570321A|A—P—A| | |A—P—P—P—A| | | | |A—P—P—L—P—P—A| | | | | | |A—P—P—L—E—L—P—P—A1|1—3 —1| | |1—2—7 —2—1| | | | |1—2—4—15—4—2—1| | | | | | | 1—2—4—8—31—8—4—2—1【解析】要想拼出英语“APPLE”的单词，必须按照“A→P→P→L→E”的次序拼写．在图中的每⼀种拼写⽅式都对应着⼀条最短路径．如下图所⽰，运⽤标号法原理标号得出共有31种不同的路径．【巩固】如图1，⽤⽔平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖国明天更美好”，那么可读成“祖国明天更美好”的路线有条.【解析】如图2所⽰，利⽤加法原理，将读到各个字的路线数写在每个字下⽅，共有不同的路线721127-=(条).祖祖国祖祖国明国祖祖国明天明国祖祖国明天更美好美更天明国祖图1祖1祖1国3祖1祖1国2明7国2祖1祖1国2明4天15明4国2祖1祖1国2明4天31天8明4国2祖1祖1国2明4天8更16美63更16天8明4国2祖1祖1国2明416美32好127美32更16天8明4国2祖1图2【巩固】(第三届“希望杯”2试试题)右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法.杯杯杯杯杯望望望望希希希爱爱我161511353211111111杯杯杯杯杯望望望望【解析】 “我爱希望杯”的读法也就是从“我”⾛到“杯”的⽅法.如上右图所⽰，共16种⽅法.【例13】如图1所⽰，科学家“爱因斯坦”的英⽂名拼写为“Einstein ”，按图中箭头所⽰⽅向有种不同的⽅法拼出英⽂单词“Einstein ”.iniinee t ttssssnnn ii E30302010101010464332111111E i i n n n ss s s t t t e e niin【解析】由E n s t e i n →i →→→→→→的拼法如图2所⽰.根据加法原理可得共有303060+=(种)不同拼法.【例 14】（难度等级※※※）图中有10个编好号码的房间，你可以从⼩号码房间⾛到相邻的⼤号码房间，但不能从⼤号码⾛到⼩号码，从1号房间⾛到10号房间共有多少种不同的⾛法？【解析】我们可以把这个图展开，⽤箭头标出来就更直观了，然后采⽤我们学的标数法．【例 15】（难度等级※※※）国际象棋中“马”的⾛法如图1所⽰，位于○位置的“马”只能⾛到标有×的⽅格中，类似于中国象棋中的“马⾛⽇”．如果“马”在88?的国际象棋棋盘中位于第⼀⾏第⼆列（图2中标有△的位置），要⾛到第⼋⾏第五列（图2中标有＠的位置），最短路线有________条．【2008年北京“数学解题能⼒展⽰”读者评选活动】第@图图1题@图2【解析】最后⼀步的可能如图1，倒数第⼆步的可能如图2，倒数第三步的可能如图3．最后36312++=（种）．图3图2@11112122图1@111122163321111@【例 16】（难度等级※※※）从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的航线，其他城市间的航线如图所⽰(虚线表⽰在地球背⾯的航线)，则从北京出发沿航线到达其他所有【解析】第⼀站到东京的路线有10条：→→?→??→→??→→→→→→??→→→→?→→??→??→→→莫斯科巴黎悉尼纽约悉尼巴黎莫斯科巴黎悉尼纽约悉尼巴黎北京东京莫斯科纽约悉尼巴黎悉尼纽约巴黎莫斯科纽约莫斯科巴黎悉尼纽约莫斯科巴黎莫斯科纽约同理，第⼀站到悉尼、巴黎、莫斯科的路线各有10条，不同的路线共有10440?=条．【例 17】⼀个实⼼⽴⽅体的每个⾯分成了四部分．如图所⽰，从顶点P 出发，可找出沿图中相连的线段⼀步步到达顶点Q 的各种路径．若要求每步沿路径的运动都更加靠近Q ，则从P 到Q 的各种路径的数⽬为⼏？QP181866633332211111【解析】因为正⽅体每个⾯的对⾯也有同样的路径，最靠近Q 的有三个点，从P 点到这三个点都是18种路径．故有18354?=三、简单递推：斐波那契数列的应⽤对于某些难以发现其⼀般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这⼀递归关系就可以利⽤前⾯的数求出后⾯的数，这种⽅法称为递推法．【例 18】（难度等级※※※）⼀楼梯共10级，规定每步只能跨上⼀级或两级，要登上第10级，共有多少种不同⾛法？【解析】登 1级 2级 3级 4级 ...... 10级1种⽅法 2种 3种 5种 ...... ？我们观察每级的种数，发现这么⼀个规律：从第三个数开始，每个数是前⾯两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运⽤：假如我们把这个⼈开始登楼梯的位置看做A 0，那么登了1级的位置是在A 1，2级在A 2... A 10级就在A 10．到A 3的前⼀步有两个位置；分别是A 2 和A 1 ．在这⾥要强调⼀点，那么A 2 到A 3 既然是⼀步到了，那么A 2 、A 3之间就是⼀种选择了；同理A 1 到A 3 也是⼀种选择了．同时我们假设到n 级的选择数就是An ．那么从A 0 到A 3 就可以分成两类了：第⼀类：A 0 ---- A 1 ------ A 3 ，那么就可以分成两步．有A 1×1种，也就是A 1 种；(A 1 ------ A 3 是⼀种选择)第⼆类：A 0 ---- A 2 ------ A 3，同样道理有A 2 ．类类相加原理：A 3 = A 1 ＋A 2，依次类推An = An-1 + An-2．【例 19】（难度等级※※※）1×2的⼩长⽅形(横的竖的都⾏)覆盖2×10的⽅格⽹，共有多少种不同的盖法．【解析】如果⽤12?的长⽅形盖2n ?的长⽅形，设种数为n a ,则11a =，22a =,对于3n ≥，左边可能竖放1个12?的，也可能横放2个12?的，前者有-1n a 种，后者有-2n a 种，所以-1-2n n n a a a =+,所以根据递推，覆盖210?的长⽅形⼀共有89种．【例 20】（难度等级※※※）如下图，⼀只蜜蜂从A 处出发，回到家⾥B 处，每次只能从⼀个蜂房爬向右侧邻近的蜂房⽽不准逆⾏，共有多少种回家的⽅法？BAAB 1357946821813213455891【解析】蜜蜂“每次只能从⼀个蜂房爬向右侧邻近的蜂房⽽不准逆⾏”这意味着它只能从⼩号码的蜂房爬近相邻⼤号码的蜂房．明确了⾏⾛路径的⽅向，就可以运⽤标数法进⾏计算．如右图所⽰，⼩蜜蜂从A 出发到B 处共有89种不同的回家⽅法．【巩固】⼩蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由⼩号房间进⼊⼤号房间问⼩蜜蜂由A 房间到达B 房间有多少种⽅法？【解析】斐波那契数列第⼋项．21种．【例 21】每对⼩兔⼦在出⽣后⼀个⽉就长成⼤兔⼦，⽽每对⼤兔⼦每个⽉能⽣出⼀对⼩兔⼦来．如果⼀个⼈在⼀⽉份买了⼀对⼩兔⼦，那么⼗⼆⽉份的时候他共有多少对兔⼦？【解析】第⼀个⽉，有1对⼩兔⼦；第⼆个⽉，长成⼤兔⼦，所以还是1对；第三个⽉，⼤兔⼦⽣下⼀对⼩兔⼦，所以共有2对；第四个⽉，刚⽣下的⼩兔⼦长成⼤兔⼦，⽽原来的⼤兔⼦⼜⽣下⼀对⼩兔⼦，共有3对；第五个⽉，两对⼤兔⼦⽣下2对⼩兔⼦，共有5对； ……这个特点的说明每⽉的⼤兔⼦数为上⽉的兔⼦数，每⽉的⼩兔⼦数为上⽉的⼤兔⼦数，即上上⽉的兔⼦数，所以每⽉的兔⼦数为上⽉的兔⼦数与上上⽉的兔⼦数相加．依次类推可以列出下表：经过⽉数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔⼦对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144 所以⼗⼆⽉份的时候总共有144对兔⼦．【例 22】树⽊⽣长的过程中，新⽣的枝条往往需要⼀段“休息”时间供⾃⾝⽣长，⽽后才能萌发新枝．⼀棵树苗在⼀年后长出⼀条新枝，第⼆年新枝“休息”，⽼枝依旧萌发新枝；此后，⽼枝与“休息”过⼀年的枝同时萌发，当年⽣的新枝则依次“休息”．这在⽣物学上称为“鲁德维格定律”．那么⼗年后这棵树上有多少条树枝？【解析】⼀株树⽊各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以⼗年后树上有89条树枝．【例 23】对⼀个⾃然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进⾏直到得数为1操作停⽌．问经过9次操作变为1的数有多少个？【解析】可以先尝试⼀下，倒推得出下⾯的图：241013111214302831643215167683421其中经1次操作变为1的1个，即2，经2次操作变为1的1个，即4，经3次操作变为1的2个，是⼀奇⼀偶，以后发现，每个偶数可以变成两个数，分别是⼀奇⼀偶，每个奇数变为⼀个偶数，于是，经1、2、…次操作变为1的数的个数依次为：1，1，2，3，5，8，…这⼀串数中有个特点：⾃第三个开始，每⼀个等于前两个的和，即即经过9次操作变为1的数有34个.为什么上⾯的规律是正确的呢？道理也很简单. 设经过n 次操作变为1的数的个数为n a ,则1a =1，2a =1，3a =2，… 从上⾯的图看出，1n a +⽐n a ⼤.⼀⽅⾯，每个经过n 次操作变为1的数，乘以2，就得出⼀个偶数，经过1n +次操作变为1；反过来，每个经过1n +次操作变为1的偶数，除以2，就得出⼀个经过n 次操作变为1的数. 所以经过n 次操作变为1的数与经过1n +次操作变为1的偶数恰好⼀样多.前者的个数是n a ,因此后者也是n a 个.另⼀⽅⾯，每个经过n 次操作变为1的偶数，减去1，就得出⼀个奇数，它经过1n +次操作变为1，反过来.每个经过1n +次操作变为1的奇数，加上1，就得出⼀个偶数，它经过n 次操作变为1. 所以经过n 次操作变为1的偶数经过1n +次操作变为1的奇数恰好⼀样多.⽽由上⾯所说，前者的个数就是1n a -,因此后者也是1n a -.经过n +1次操作变为1的数，分为偶数、奇数两类，所以11n n n a a a +-=+，即上⾯所说的规律的确成⽴.。

奥数标数法练习计数之标数法经典例题讲解解答：第1步：在起点A处标1。

再观察点B，要想到达点B，只有一个入口A，所以在B点也标1。

第2步：再观察点C，要想到达点C,它有两个入口A和B，所以在点C处标1＋1＝2。

同理重复点F，点D，点E，点G，点H，点I【第三篇】分析:既然要走最短路线,自然是不能回头走,所以从A地到B地的过程中只能向右或向下走.我们首先来确认一件事,如下图从A地到P点有m种走法,到Q点有n种走法,那么从A地到B 地有多少种走法呢?就是用加法原理,一共有m+n种走法.这个问题明白了之后,我们就可以来解决这道例题了:首先由于只能向右或向下走,那么最上面一行和最左边一列的每一个点都只能有一种走法,(因为不可以走回头路).我们就在这些交点的旁边标记上一个数字,代表走到这个位置有多少种方法.【第四篇】有一个5位数,每个数字都是1,2,3,4,5中的一个,并且相临两位数之差是1.那么这样的5位数到底有多少个呢?(数字可以重复) 这是一道数论的题目,但是我们也可以使用标数法来解答,并且非常直观.到第一站可以有5种选择,每种选择有一种走法,那么下一站,走1号门就只有一种走法(就是第一站走的2号门),走2号门就有2种走法(第一站走1号或3号门)走3号门也是2种走法(第一站走2号门或4号门)走4号门2种走法(第一站走3号门或者5号门)走5号门只有一种走法(第一站走的是4号门)我们发现在这一站经过某个门有多少种走法,正好等于他左上和右上的两个数字和.于是我们可以将数字标全.这道题的答案就是42种,虽然很多同学会用枚举法也能做出42种,但是一旦这道题给的不是5位数,而是7位数,9位数的话,枚举法就显得无力了.这种时候标数法是个不错的选择.可以用到标数法的问题有很多，大家掌握这种方法之后可以解决很多平时看起来很麻烦的题目。

一．到达任何一点的走法等于到它左侧点走法数与到它下侧点走法数之和，根据加法原理，我们可以从A 点开始，向右向上逐步求出到达各点的走法数(即每个点所标数字应为该点左方数字与下方数字之和）．二．标数法的核心思想是：每点的路线方法总数等于能够到达该点的所有方法数之和．这种思想本质上就是利用加法原理进行分类计数．重难点：特殊要求的标数法，注意不能通过的点或者路线．题模一：单步标数法例1.1.1下图中有一个从A 到B 的公路网络，一辆汽车从A 行驶到B，可以选择的最短路线计数第06讲_标数法A一共有________条？BA例1.1.2下图是一个街道的示意图，实线表示道路，从B到A，只能向右或向上或右斜上方沿着道路前进，则一共有_________种不同的走法．AB例1.1.3在图所示中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”．那么一共有多少种不同的读法？北京京奥奥奥运运运运会会会会会题模二：特殊要求的标数例1.2.1在如图所示的街道示意图中，C处因施工不能通行，那么从A到B处的最短路线有________条．例 1.2.2有一只蚂蚁沿着下图中的方格线从A爬到B，每次只能向右爬一格或向上爬一格．图中画着黑点的地方必须通过，那么这只蚂蚁可以选择____________条不同的路线．例1.2.3如图，从A 出发经过十字路口D ，但不经过线段BC （不过点B 、C ），不同的最短路径有多少条？题模三：多步标数法例1.3.1如图所示，国际象棋中的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法？A ．168B ．178C ．188D ．198随练1.1如图，从A 点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？DABCBA随练1.2在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？BA随练1.3如图，从A出发经过十字路口D，但不经过线段BC（不过点B、C），不同的最短路径有多少条？DBCA随练1.4如图，从A出发经过十字路口D，但不经过线段BC（不过点B、C），不同的最短路径有多少条？DB CA随练1.5如图所示，亚瑟王要沿路线从A地前往B地拿去圣剑Excalibur，但路中有许多恶魔使得部分道路无法通行，那么亚瑟王现在要取得圣剑的最短路线共有_________条．（圆圈表示恶魔占据的地方）随练 1.6如图所示，国际象棋中的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法？作业1如图，有一个48 的棋盘，现将一枚棋子放在棋盘左下角格子A处，要求每一步只能向棋盘右上或右下走一步（如从C 走一步可走到D 或E ），那么将棋子从A 走到棋盘右上角B 处共有_______种不同的走法．作业2在下图中，从A 点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？作业3一只兔子沿着方格的边从A 到B ,规定上只能往上或往右走，但是必须经过一座独木桥MN ,这只兔子有______________种不同的走法．ABABNM作业4一只甲虫沿着下图中的方格线从A 爬到B ，每次只能向右爬一格或向上爬一格．请问：（1）图中C 、D 两点必须都通过，那么这只甲虫可以选择多少条不同的路线？（2）图中C 、D 两点只通过其中的一个点，那么这只甲虫可以选择多少条不同的路线？图中C 、D 两点都不通过，那么这只甲虫可以选择多少条不同的路线？作业5如图，从A 处到B 的最短路线中，必通过十字路口C 和D 的，共有多少条？作业6一种蜂房编号如图所示，左上角有一只小蜜蜂，还不会飞，只会向相邻的蜂房爬行，且方向只能是向右、右上、右下方爬，它爬行到8号蜂房，共有____种路线．ABCDB AC D1 35 7 8642。

第九讲操作与计数技巧教学目标操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性,非常受出题和供题者青睐,如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化,因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。

鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式,本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例,引导学生发现关键并解决问题。

1.常见操作类问题2.计数技巧与操作经典精讲常见操作类题目【例1】（2006年《小学生数学报》读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折,再左右对折（如右图）,然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。

问能把餐巾纸：⑴剪成2块吗？⑵剪成3块吗？⑶剪成4块吗？⑷剪成5块吗？如果你认为能剪成,请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能,那么只需回答“不行”即可。

【分析】⑴剪开成两块,如下图：⑵剪开成3块,如下图：⑶剪开成4块,如下图：⑷剪开成5块,如下图：【巩固】（2008年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭3次(图中的虚线是三边中点的连线),然后沿两边中点的连线剪去一角。

将剩下的纸片展开、铺平,得到的图形是( )．【分析】折迭3次,纸片的厚度为4,所以剪去的面积即应等于4倍小三角形的面积,所以答案是A。

【例2】A、B、C、D四个盒子中依次放有6,4,5,3个球。

第1个小朋友找到放球最少的盒子,从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第2个小朋友找到放球最少的盒子,从其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去,……。

求当34位小朋友放完后,B盒子中放有球多少个？【分析】盒子A B C D初始状态 6 4 5 3第1人放过后 5 3 4 6第2人放过后 4 6 3 5第3人放过后 3 5 6 4第4人放过后 6 4 5 3第5人放过后 5 3 4 6由此可知：每经过4人,四个盒子中球的情况重复出现一次,因为34482÷=,所以第34次后的情况与第2次后的情况相同,即B盒子中有球6个。

1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲知识要点教学目标7-1-3.加法原理之树形图及标数法1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； 3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．模块一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例 1】 A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？【巩固】 一只青蛙在A ，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？【例 2】 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【例 3】 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有 种不同的走法。

二年级奥数：《飞速图形计数》（预热）前铺知识一、认识各种图形二、标号法（零散图形计数）数一数下图中，分别少个长方形和圆形?数的时候，长方形和圆形一定要分开计数，并且每数一个图形，都要做标记，也就是标号，这样才能做到不重复也不遗漏.如图所示，长方形有2个，圆形有6个.三、恰含法【例1】数一数下图中一共有多少个角?①②③恰含1个角的：①、②、③，共3个；恰含2个角的：①+②、②+③，共2个；恰含3个角的：①+②+③，共1个.一共：3+2+1=6（个）答：一共有6个角.【例2】数一数下图有多少个长方形?①⑤②③④恰含1个长方形的：①、②、③、④、⑤，共5个；恰含2个长方形的：①+②、②+③、③+④、④+⑤，共4个；恰含3个长方形的：②+③+④，共1个.一共：5+4+1=10（个）答：一共有10个长方形.四、其他分类方法1、按大小分类有4个小正方形，3个大正方形.2、按位置分类中间有2个圆，周围有3个圆.如何预习?为了保护孩子课前的好奇心和学习兴趣，以及保证课堂效果，家长在给孩子预习的时候，一定要把握好度.预习，切忌给孩子讲解书本上的例题和知识点，因为孩子容易先入为主，如果家长选取的方式方法不当，那么孩子很难转换思路了；另外，家长给孩子讲过例题后，孩子可能会觉得自己已经学会了，上课的时候就不愿意认真听了.我们预习的目的是回顾这一讲课前的铺垫知识，以及引起孩子的思考，因此家长可以把我们的这份预习资料打印出来，让孩子自己看一看，如果孩子有不明白的，您可以适当点拨.《飞速图形计数》知识点精讲【知识点总结】复习1、枚举法（标号法）2、恰含法（通用）新知识一、简单规整图形（肩并肩、手拉手排成一排）开火车大法总数=火车头（基本图形数）依次加到1二、多层规整图形分层数（相合不能忘）三、不规整图形分类法：①分部分②分大小（恰含法）③分方向注：常见的【简单规整图形】（特别：数正方形不能用开火车大法）线段角【例1】数一数下面一共有多少条线段?①②③④方法1：恰含1条：4条恰含2条：①②、②③、③④3条恰含3条：①②③、②③④2条恰含4条：①②③④1条总数：4＋3＋2＋1＝10（条）方法2：基本线段有4条，所以从4开始依次加到14＋3＋2＋1＝10（条）答：一共有10条线段.【例2】数一数图中有多少个三角形?每层个数：4+3+2+1=10（个）层数：3层总数：10×3=30（个）答：一共有30个三角形.【例3】数一数右侧图形中一共有多少个三角形?左边：3+2+1=6（个）右边：3+2+1=6（个）合起来：3个总数：6+6+3=15（个）答：一共有15个三角形.【例4】数一数右侧图形中一共有多少个三角形?恰含1个：①、②、③、④、⑤、⑥6个Array恰含2个：①②、③④、⑤⑥3个恰含3个：①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥、⑤⑥①、⑥①②6个恰含6个：①②③④⑤⑥1个6＋3＋6＋1＝16（个）答：一共有16个三角形.【例5】数一数下面图形中一共有多少个正方形?方法：先按照正的和斜的这两个不同方向，把图形拆分出来.正的：按大小分类数，斜的：一个田字格，有5个正方形最小：4个中等大小：5个最大：1个共4+5+1=10（个）总数：10+5=15（个）答：一共有15个正方形.【学习建议】本讲讲的是数图形的方法，根据不同类型的图形有不同的巧妙方法，同学们要仔细辨认图形的种类，像是简单规整图形和多层规整图形都是有巧妙方法的；如果是不规则图形，那么一定要注意分类，分类的依据是什么，数的时候思路要清楚，这样才不会数错.《飞速图形计数》补充题1.数一数下面两幅图中分别有多少条线段?2. 在一条直线上有10个端点，那么在这条直线上可以数出多少条线段?3. 下图中有多少个三角形?4、数一数，下面有多少个长方形?5、数一数图中有多少个正方形?6、数一数下面一共有几个正方形.7、数一数，下图中包含有苹果的三角形有几个?8、数一数下图中一共有多少个平行四边形?答案解析1、（1）5+4+3+2+1=15（条）答：这幅图中有15条线段.（2）（3+2+1）+（2+1）=9（条）答：这幅图中有9条线段.2、基本线段数：10-1=9（条）总线段数：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（条）答：这条直线上有45条线段.3、每层个数：5+4+3+2+1=15（个）层数：3层总数：15×3=45（个）答：图中共有45个三角形.4、长边线段数：3+2+1=6（条）宽边线段数：4+3+2+1=10（条）长方形总个数：10×6=60（个）答：图中共有60个长方形.5、恰含1个：5×3=15（个）恰含4个：8个恰含9个：3个正方形总个数：15+8+3=26（个）答：图中共有26个正方形.6、按照正的和斜的两个方向，先把原图形拆分成如下两个图形.恰含1个：4×4=16（个）一个田字格有5个正方形恰含4个：3×3=9（个）恰含9个：2×2=4（个）恰含16个：1×1=1（个）共：16+9+4+1=30（个）所以一共有：30+5=35（个）正方形答：一共有35个长方形.7、按照三角形从小到大的顺序，且时刻注意题目要求，要包含苹果.恰含1个：2个恰含4个：6个恰含9个：5个恰含16个：3个最大的：1个共：2+6+5+3+1=17（个）答：含有苹果的三角形一共有17个.8、是简单规整图形，肩并肩、手拉手，可以用开火车大法.6+5+4+3+2+1=21（个）答：一共有21个平行四边形.。

计数篇1.枚举与容斥计数枚举法：适用于数小，题目简单，就可以按照一定的顺序一一列举出来，如果数目较大，也可以用适当的标准，把问题分类，在每一类中进行枚举，枚举≠傻举，具有一定的特性。

要想在枚举中做到不重不漏需要满足四个规则：1.有序；2.分类；3.寻找规律；4.利用对称性；例1：政政有10块糖，如果每天至少吃3块，那么共有多少种不同的吃法吃完这10块糖？政政有10块糖，想分成三堆（不考虑顺序，且糖没有区别），每堆至少两块，有几种分法？（加加老师说：不要自己加限制条件，没有说多少天吃完。

）种种种天吃完种天吃完种天吃完4442 532 433 622.293513 334 343 433 35 37 46 55 64 73 21 10 1.1++++++++=+++++++++++++有1、2、3、4四张数字卡片，要求1不排在千位上，数2不排在百位上，数3不排在十位上，数4不排在个位上，那么用这四张卡片组成满足要求的四位数共有多少个？（全错位排序、递推公式、欧拉公式）93334321431241234 3431341231423 2413234121432=++⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧开头开头开头树形图（枚举树）：枚举树状图是借助树状结构的分层特征来罗列所有的可能的一种方法，适用于层级结构鲜明的题型。

利用枚举树进行枚举的一般步骤和技巧1.明确条件：分析枚举对象满足的限制条件。

2.确定范围：根据限制条件缩小枚举的范围3.确定次序：一般按照由小到大、由少到多的原则，采用合适的分类保证枚举的完整，以求不重不漏。

4.逐一枚举：借助枚举树的分层特性，按照次序逐次画图枚举，最终求出问题的解。

甲乙两人进行乒乓球比赛，规定谁先胜三场，第一场甲胜。

问到决出最后胜负为止，共有几种不同的情形？其中甲胜的情形有几种？由树状图可得，比赛结果情况共10种，其中甲胜的情况有6种。

下图中6个点，9条线段。

一只蚂蚁从A点出发，要沿着图示的线段爬到C点，行进中，同一个点或者线段只能经过一次。

第九讲操作与计数技巧教学目标操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受出题和供题者青睐，如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化，因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。

鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式，本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例，引导学生发现关键并解决问题。

1.常见操作类问题2.计数技巧与操作经典精讲常见操作类题目【例1】（2006年《小学生数学报》读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折，再左右对折（如右图），然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。

问能把餐巾纸：⑴剪成2块吗？⑵剪成3块吗？⑶剪成4块吗？⑷剪成5块吗？如果你认为能剪成，请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能，那么只需回答“不行”即可。

【分析】⑴剪开成两块，如下图：⑵剪开成3块，如下图：⑶剪开成4块，如下图：⑷剪开成5块，如下图：【巩固】（2008年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭3次(图中的虚线是三边中点的连线)，然后沿两边中点的连线剪去一角。

将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是( )．【分析】折迭3次，纸片的厚度为4，所以剪去的面积即应等于4倍小三角形的面积，所以答案是A。

【例2】A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。

第1个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第2个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去，……。

求当34位小朋友放完后，B盒子中放有球多少个？【分析】盒子A B C D初始状态 6 4 5 3第1人放过后 5 3 4 6第2人放过后 4 6 3 5第3人放过后 3 5 6 4第4人放过后 6 4 5 3第5人放过后 5 3 4 6由此可知：每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次，因为34482÷=L L，所以第34次后的情况与第2次后的情况相同，即B盒子中有球6个。

标数法模块一、知识点一、标数法利用加法原理解决最短路线有几条的方法二、过程1. 确定目标方向2. 起点开始横竖标“1”3. 做加法PS:每个点的数，表示从起点到这个点最短路线的条数三、类型1. 基本型(“田”字型)2. 非“田”字型3. 必过：套框；必不过：标0或去线4. 拼读文字、字母型5. 蜂房型模块二、例题精讲【基本型】如图所示，从A点沿线段走最短路线到B点，共有多少种不同的最短路线?B[解答] B在A的右上方，每次只能向右或向上，标数可得共有10种不同的最短路线A【非田型】小君家到学校的道路如图所示.从小君家到学校有种不同的走法. (只能沿图中向右向下的方向走)小君家学校[解析]标数法如图，共10条不同走法. 只要每次都想一下，它上一步在哪里，它可以从哪个点过过来!【必过、必不过型】艾迪和薇儿准备去看望养老院的李奶奶，如下图(1) 他们从学校经过市中心到养老院的最短路线共有几条呢?[解析]先要到达市中心，可以先把市中心当成终点，然后再从市中心出发到达养老院，标数可得有60种方法。

养老院(2) 他们从学校不经过市中心到养老院的最短路线共有几条呢?[解析]不经过市中心，说明到达市中心的方法为0,可以直接标0;可以把周围4条线去掉，标数可得有66种方法。

(也可以用到达终点的所有方法，减去经过市中心的方法)养老院(3)傍晚时，市中心附近下了一场大雨，附近的路均无法通行，请问到养老院的最短路线共有几条呢学校[解析]里面每个点标0,得到有35条。

养老院【拼读型】如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”, 按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”[解析]由E→i→n→s→t→e→i→n拼读顺序，进行标数可得：30+30=60种【蜂房型】一只蜜蜂从A处出发, 回到家里B处,每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行, 共有多少种回家的方法?[解析]向右指的正右、右上、右下都可以，所以标数得，有89种.。

【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。

以下是⽆忧考为⼤家整理的《计数之标数法经典例题讲解【三篇】》供您查阅。

【第⼀篇】
⼀只蜜蜂从A处出发，回到家⾥B处，每次只能从⼀个蜂房爬向右侧邻近的蜂房⽽不准逆⾏，共有多少种回家的⽅法？
解答：蜜蜂“每次只能从⼀个蜂房爬向右侧邻近的蜂房⽽不准逆⾏”这意味着它只能从⼩号码的蜂房爬进相邻的⼤号码的蜂房。

明确了⾏⾛路径的⽅向，就可运⽤标数法进⾏计算。

如图所⽰，⼩蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家⽅法。

【第⼆篇】
例1．按图中箭头所指的⽅向⾏⾛，从A到I共有多少条不同的路线？
解答：
第1步：在起点A处标1。

再观察点B，要想到达点B，只有⼀个⼊⼝A，所以在B点也标1。

第2步：再观察点C，要想到达点C,它有两个⼊⼝A和B，所以在点C处标1＋1＝2。

同理重复点F，点D，点E，点G，点H，点I
【第三篇】
分析:既然要⾛最短路线,⾃然是不能回头⾛,所以从A地到B地的过程中只能向右或向下⾛.
我们⾸先来确认⼀件事,如下图
从A地到P点有m种⾛法,到Q点有n种⾛法,那么从A地到B地有多少种⾛法呢?
就是⽤加法原理,⼀共有m+n种⾛法.
这个问题明⽩了之后,我们就可以来解决这道例题了:
⾸先由于只能向右或向下⾛,那么最上⾯⼀⾏和最左边⼀列的每⼀个点都只能有⼀种⾛法,(因为不可以⾛回头路).
我们就在这些交点的旁边标记上⼀个数字,代表⾛到这个位置有多少种⽅法.。

1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；知识要点教学目标7-1-3.加法原理之树形图及标数法3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．模块一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例 1】 A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2005年，小数报【解析】 如图，A 第一次传给B ，到第五次传回A 有5种不同方式． 同理，A 第一次传给C ，也有5种不同方式．所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5510+=种．C B CC B AAB A B CCBA【答案】10【巩固】 一只青蛙在A ，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 6种，如图，第1步跳到B ，4步回到A 有3种方法；同样第1步到C 的也有3种方法．根据加法原理，共有336+=种方法．AA A BCAB C BA【答案】6【例 2】 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：例题精讲图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一共有 7＋7=14（种）可能的情况．【答案】14【例 3】 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有 种不同的走法。

小学计数知识学习：标数法习题一小学计数知识学习：标数法习题二1. 如图所示，小明家在A地，小学在B地，电影院在C地。

1.小明从家里去学校，走最短的线路，有多少种走法?2.小明从家里去电影院，走最短线路，有多少种走法?小学计数知识学习：标数法习题三如图，从一楼到二楼有12梯，小明一步只能上1梯或2梯，问小明从1楼上到2楼有多少种走法？小学计数知识学习：标数法习题四一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？解答：蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房。

明确了行走路径的方向，就可运用标数法进行计算。

如图所示，小蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家方法。

小学计数知识学习：标数法习题五例1．按图中箭头所指的方向行走，从A到I共有多少条不同的路线？解答：第1步：在起点A处标1。

再观察点B，要想到达点B，只有一个入口A，所以在B点也标1。

第2步：再观察点C，要想到达点C,它有两个入口A和B，所以在点C处标1＋1＝2。

同理重复点F，点D，点E，点G，点H，点I小学计数知识学习：标数法习题六分析:既然要走最短路线,自然是不能回头走,所以从A地到B地的过程中只能向右或向下走. 我们首先来确认一件事,如下图从A地到P点有m种走法,到Q点有n种走法,那么从A地到B地有多少种走法呢?就是用加法原理,一共有m+n种走法.这个问题明白了之后,我们就可以来解决这道例题了:首先由于只能向右或向下走,那么最上面一行和最左边一列的每一个点都只能有一种走法,(因为不可以走回头路).我们就在这些交点的旁边标记上一个数字,代表走到这个位置有多少种方法.小学计数知识学习：标数法习题七有一个5位数,每个数字都是1,2,3,4,5中的一个,并且相临两位数之差是1.那么这样的5位数到底有多少个呢?(数字可以重复)这是一道数论的题目,但是我们也可以使用标数法来解答,并且非常直观.到第一站可以有5种选择,每种选择有一种走法, 那么下一站,走1号门就只有一种走法(就是第一站走的2号门),走2号门就有2种走法(第一站走1号或3号门)走3号门也是2种走法(第一站走2号门或4号门)走4号门2种走法(第一站走3号门或者5号门)走5号门只有一种走法(第一站走的是4号门)我们发现在这一站经过某个门有多少种走法,正好等于他左上和右上的两个数字和.于是我们可以将数字标全.这道题的答案就是42种,虽然很多同学会用枚举法也能做出42种,但是一旦这道题给的不是5位数,而是7位数,9位数的话,枚举法就显得无力了.这种时候标数法是个不错的选择.可以用到标数法的问题有很多，大家掌握这种方法之后可以解决很多平时看起来很麻烦的题目。

第四讲：计数方法（八）——标数法知识与方法归纳数学世界是一个充满的惊喜的世界，在这个奇特的世界里，总是会有很多闪亮的星星指引我们走向更美好的星空。

标数法是这个世界里比较闪亮的一颗星星，它是解决数学中一类问题的捷径，一般用于求从某地到某地最短路线的条数，是一个有用而不失有趣的数学方法。

欢迎您来感受神奇的标数法！标数法一般适用于求从点A到点B的最短路线的条数。

标数法的核心思想是：从起点到达任何一点的最短线路，都等于从起点出发到达与这一点相邻的点的最短路线数之和。

这种思想本质上就是利用加法原理进行分类计数。

经典例题例1.图中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？例2.五（二）班少先队开展智力游戏活动。

先在大操场内用石灰画好如图所示的线路。

从A点出发沿线走到B点，只能按由北到南，从西向东（即不能倒回走），共有多少种不同的走法？如果有21个同学从A点到B点，问他们能不能都走不同的路线？体验训练1从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通。

如图所示，李楠从学校出发，步行到少年宫（只许向东或向南行进），问最多有多少种不同的走法？例3.如图所示，从P到Q共有多少种不同的最短路线？例4.如图所示，图为某城市的街道示意图，若从A走到B（只能由北向南，由西向东），问共有多少种不同的走法？体验训练2沿图中的格线，选最近的路线从A走到B，问共有多少种不同的走法？*例5.如图所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？*例6.取两排蜂巢，如图所示，一只蜜蜂要从A爬到B去，它爬行的方向只允许是向右（→）、向右上（↗）、向右下（↘）这三种中的任一种，并爬到相邻的下一个蜂巢。

问从A到B有多少种不同的爬行路线？*7.如图所示，这是一张某城市的主要公路示意图，今在C、D、E、F、G、H路口修建立交桥，车辆不能通行，问从A到B的最近路线共有几条？过关检测总分15分时间10分钟得分1.如图所示，ABCD是一个长和宽分别为4个单位和3个单位的长方形。