抽样调查第4章 分层抽样
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抽样调查-Ch4 分层抽样-1-029
. Solution (Continued) . ¯ yst 与 ¯ y 的比较 ¯ y = (15180 × 300 + 9856 × 250)/(300 + 250) = 12760, ¯ yst = 10585.39.
.
判断哪个估计更合理? 为什么?
15 / 18
4.1 分层随机抽样及实施方法 4.2 简单估计及其性质
2 / 18
4.1 分层随机抽样及实施方法 4.2 简单估计及其性质
4.1.1 定义与实施方法 4.1.2 特点
4.1 分层随机抽样及实施方法
背景 简单随机抽样是最基本的抽样手段, 在一些小型的抽样调查 (总体容量N 较小) 中被人们采纳. 当总体容量 N 较大时, 不 便采用简单随机抽样方法. 这时, 分层抽样将起到作用. 定义 将总体按一定的原则分成若干互不重叠且穷尽的子总体, 每 个子总体称为层 (stratum), 在每个层内进行抽样, 不同层的 抽样相对独立, 称为分层抽样(stratified sampling). 若每层中的抽样都是按简单随机抽样进行的, 称为分层随机 抽样.
W1 = N1 /N = 0.137, W2 = N2 /N = 0.863. . ¯ yst y2 = 0.137 × 15180 + 0.863 × 9856 = 10585.39. y1 + W 2 ¯ = W1¯
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4.1 分层随机抽样及实施方法 4.2 简单估计及其性质
4.2.1 参数估计 4.2.2 估计的性质 4.2.3 例题
若实际调查了 18 个工人, 10 个技术人员, 2 个行政人员, 其损失的工时 数如下: 工人 8,24,0,0,16,32,6,0,16 7,4,4,9,5,8,18,2,0 技术人员 4,5,0,24,8, 12,3,2,1,8 行政管理人员 1,8
2-1-3分层抽样4
1 L yst = ∑ Wh yh (或 = ∑ N h yh ) 或 N h =1 h =1 ~ 的无偏估计可选为： 总体总和 Y 的无偏估计可选为：
L
(4.2)
% yst = N ⋅ yst = N ⋅ ∑ Wh yh = ∑ N h yh
h =1 h =1
L
L
(4.3)
的方差为： 估计量 y st 的方差为： L Var ( yst ) = Var ( ∑ Wh yh ) 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的，故各个 yh相互 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式，有
含义 的层权 抽样比 总体均值 样本均值
记号 公式
Yh
yh
2 Sh
2 sh
∑Y
i =1
Nh
hi
= N hYh
∑y
i =1
nh
hi
= nh yh
(Yhi − Yh )2 ∑
i =1
Nh
( yhi − yh )2 ∑
i =1
nh
Nh −1
nh − 1
代表的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 含义 总体总量 样本总量 总体方差 样本方差
h=1 i =1 L
h =1
L
(4.5)
(4.5)式两端各除以 －1)，假如各层的单元数 N h都很大，当 式两端各除以(N－ ， 都很大， 式两端各除以 近似认为： 近似认为： N h ≈ N h − 1 ≈ N h = W (4.6) h
N −1
N −1
N
因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： 因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： L 1 1 L 2 2 Var ( y ) = ( − ) ∑ Wh Sh + ∑ Wh (Yh − Y ) (4.7) n N h =1 h =1 (4.7)式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和，而第二 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和， 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较(4.4)和(4.7)， 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较 和 ， 那么易见(4.4)式变为 若取 nh n = Wh ，那么易见 式变为 1 1 L 2 Var ( yst ) = ( − )∑ Wh S h n N h =1
【抽样调查】分层随机抽样
【抽样调查】分层随机抽样第2部分：分层随机抽样⽬录概述分层随机抽样的思路：当N ,n 都较⼤，总体单元之间的差异也较⼤时，简单随机抽样会出现⾼成本、低精度情形，解决⽅法是将总体划分为若⼲个⼦总体、减少总体单元之间的差异。
假设在各个⼦总体内已经满⾜实施简单随机抽样的条件，则可以在各个⼦总体内独⽴地进⾏简单随机抽样，再将各个⼦总体参数的估计值进⾏加权，得到总体参数的估计。
分层抽样的概念：层：如果⼀个包含N 个单位的总体可以分成不重不漏的L 个⼦总体，即每个单元必定属于且仅属于⼀个⼦总体，则这样的⼦总体称为层。
有N 1+⋯+N L =N 。
分层抽样：在每⼀层中独⽴进⾏抽样，总的样本由各层样本组成，总体参数⼜按照各层样本参数的汇总作出估计。
有n 1+⋯+n L =n 。
分层随机抽样：每层的样本，都独⽴地按照简单随机抽样进⾏，这样的分层抽样称为分层随机抽样。
符号规定：h ：层。
从⽽N h 代表第h 层的单位总数，n h 代表第h 层的样本数。
i ：层内单位号。
从⽽Y hi 代表第h 层第i 个总体单元，y hi 代表第h 层第i 个样本单元。
W h ：层权，即W h =N h N 。
f h ：层内抽样⽐，即f h =n hN h 。
¯Yh,Y h,S 2h：层内总体参数（均值、总值与⽅差）。
¯y h ,y h ,s 2h：层内样本参数（样本均值、样本总值与样本⽅差）。
简单估计量分层抽样⾸先根据各层的样本，计算出各层均值¯Y h的适当估计值ˆ¯Y h ，然后再使⽤总体层权加权平均，得到总体均值¯Y 的估计，即ˆ¯Y st =L∑h =1W h ˆ¯Y h =1N L∑h =1N h ^¯Y h .对于分层随机抽样，每⼀层的ˆ¯Y h就是h 层的样本均值¯y h ，即ˆ¯Y st =L∑h =1W h ¯y h =1N L∑h =1N h ¯y h .注意这⾥的线性形式。
第4章__抽样调查
4.1.3抽样误差的确定
❖1）抽样误差的概念
❖2）影响抽样平均误差的因素
1、全及总体标志变异程度 2、样本容量 3、抽样组织方式 4、抽样方法
❖3）降低调查误差的途径
1、提高样本的代表性
2、注重样本量的控制
3、提高抽样设计的效率 4、重视抽样方案的审评
5、努力降低调查员的误差 6、努力调查被调查者的误差
❖ （4）如果这一地区街对面从第一号开始都没有住户，在第一号对面的街区转 一圈，并遵循右手法则。（即按顺时针方向在街区转一圈。）试着沿路线每 隔两户访问一户。
❖ （5）在起始门牌号对面邻近的街区绕过一圈后，如果你没有完成所需的访问， 就按顺时针方向到下一个街区访问。
❖ （6）如果第三个街区的住户数不够完成你的任务，就再做几个街区直到要求 的户数完成为止；这些区要按顺时针方向绕原有的街区来找。
❖5）简单随机抽样方式的优缺点
随机抽样方式的优点
方法简单直观，当总体名单完整时，可直接从中随机抽取样本。由于 抽取概率相同，计算抽样误差及对总体指标加以推断比较方便。
随机抽样方式的缺点
尽管简单随机抽样在理论上是最符合随机原则的，但是在实际应用中 有一定的局限性。第一，采用简单随机抽样，一般需对总体各单位加以 编码，而实际市场调查活动中所需调查总体往往是十分庞大的，单位非 常多，逐一编码几乎是不可能的；第二，对于某些事物无法使用简单随 机抽样，如对连续不断产生的大量产品进行质量检验，就不能对全部产 品进行编号抽样；第三，当总体的标志变异程度较大时，简单随机抽样 的代表性就不如经过分组后再抽样的代表性高；第四，由于抽出样本单 位较为分散，所以调查人力、物力、费用消耗较大。
2）抽样调查的特征
❖（1）抽取样本的客观性 ❖（2）抽样调查可以比较准确地推断总体
分层抽样要求
将相近的单位归为一层，且每一层必有若干 单位抽中，所以，避免了样本明显偏高或偏 低情况。
比较定额抽样，与分层抽样有何区别？
①分类②确定每类抽选比例③主观抽样
第四章 分层抽样
2．分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
有时调查的目的不仅要推算总体指标，可能 还要推算各层的指标。
第四章 分层抽样
在不重复抽样下，根据前一章公式可知
2 xi
1
fi
（第 i层单位数占总体
单位数的比重）
则：
Xˆ
K
Wi xi
第四章 分层抽样
二、分层抽样简单估计的抽样标准误
如果我们对总体方差 进2 行分解，可得
2
2 i
2 P
即
总体方差=平均层内方差+层间方差
我们知道，纯随机抽样的抽样误差，是按总体 方差计算的，对于分层抽样，由于对各层而言 是全面调查，故层间不存在抽样误差问题。所 以，其抽样方差等于平均层内方差。
二、使用场合与分层原则
第四章 分层抽样
根据分层抽样的特点，分层除了可以提供子总 体指标和便于调查的组织实施外，通常，使用分 层抽样的主要目的是为了提高估计的精度。为充 分利用分层抽样的特点，在一项抽样调查项目中 ，往往反复使用分层抽样方法。
在对层进行具体划分时，通常考虑如下原则：
1．层内单元具有相同性质。
通常按调查对象的不同类型进行划分。这时， 分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。
第四章 分层抽样
2．使层间单元的差异尽可能大。从而达到提 高抽样估计精度的目的。
3．既按类型又按层内单元标志值相近的原则 进行多重分层，同时达到实现估计层值以及提 高估计精度的目的。
比较定额抽样，与分层抽样有何区别？
①分类②确定每类抽选比例③主观抽样
第四章 分层抽样
2．分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
有时调查的目的不仅要推算总体指标，可能 还要推算各层的指标。
第四章 分层抽样
在不重复抽样下，根据前一章公式可知
2 xi
1
fi
（第 i层单位数占总体
单位数的比重）
则：
Xˆ
K
Wi xi
第四章 分层抽样
二、分层抽样简单估计的抽样标准误
如果我们对总体方差 进2 行分解，可得
2
2 i
2 P
即
总体方差=平均层内方差+层间方差
我们知道，纯随机抽样的抽样误差，是按总体 方差计算的，对于分层抽样，由于对各层而言 是全面调查，故层间不存在抽样误差问题。所 以，其抽样方差等于平均层内方差。
二、使用场合与分层原则
第四章 分层抽样
根据分层抽样的特点，分层除了可以提供子总 体指标和便于调查的组织实施外，通常，使用分 层抽样的主要目的是为了提高估计的精度。为充 分利用分层抽样的特点，在一项抽样调查项目中 ，往往反复使用分层抽样方法。
在对层进行具体划分时，通常考虑如下原则：
1．层内单元具有相同性质。
通常按调查对象的不同类型进行划分。这时， 分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。
第四章 分层抽样
2．使层间单元的差异尽可能大。从而达到提 高抽样估计精度的目的。
3．既按类型又按层内单元标志值相近的原则 进行多重分层，同时达到实现估计层值以及提 高估计精度的目的。
分层抽样
２ ３
４００ ７５０
４ １５００
５０
３５
１５
０
20
３０
２５
１０
３０
２５
解: N = 200+400+750+1500=2580 nh =10( h=1,2,3,4) 各层的层权及抽样比为：
N1 200 W1 0.07018 N 2850 N 400 W2 2 0.14035 N 2850 N 750 W3 3 0.26316 N 2850 N 4 1500 W4 0.52632 N 2850
三、符号说明
关于第h层的记号如下：
第二节 估计量
一．总体均值的估计 (一)简单估计量的定义 对于分层样本,对总体均值Y 的估计是通过对各层的Yh 的估计, 按层权 Wh 加权平均得到的。 公式为:
1 ˆ ˆ Yst WhYh N h 1
L
ˆ N Y hh
h 1
L
如果得到的是分层随机样本,则总体均值 Y 的简单估 计为:
f1 n1 10 0.05 N1 200
n2 10 f2 0.025 N2 400 f3 f4 n3 10 0.013 3 N3 750 n4 10 0.006 7 N4 150 0
各层样本均值及样本方差为：
1 y1 y1i 39.5 n1 i 1 y2 105 y3 165 y4 24
y 15180 300 9856 250 / 550 1)简单估计量的定义 总体比例P的估计为:
L
pst Wh ph
h 1
(二)估计量的性质 如果定义 1, 第i个单元具有所考虑的特征 Yi , 其他 i=1,2 … N 0
第四章 抽样
• 3．设计抽样方案 • 4．制定抽样框
– 制定抽样框就是依据已经明确界定的总体范围，收集总体中全部抽样单位 的名单，并统一编号。
• 5．实际抽取样本 • 6．样本评估
– 样本评估就是对样本的质量和代表性进行检验，其目的是防止因样本的偏 差过大而导致的失误。
– 实际抽取样本就是在上述几个步骤的基础上，严格按照所选定的抽样方法， 从抽样框中抽取一个个的抽样单位，构成样本。
运用：
• 从侨光分校的7000位学生中，抽取100位学 生进行调查查，以研究学生对学校教学条 件的满意度。之前所做的普查表现出的对 学校教学条件的平均满意度为85％，现通 过抽查统计后的满意度为80％。 • 请说出本次抽查中的总体、样本、抽样元 素、抽样单位、抽样框、参数值、统计值、 抽样误差。
二、抽样的作用
• 分类抽样有着突出的优点： 第一，分类抽样能够克服简单随机抽样的缺 点，适用于总体内个体数目较多，结构较复杂， 内部差异较大的情况。 第二，精确度较高。 第三，便于对不同层面的问题进行探索。 第四，便于分工，使工作效率提高。 分类抽样的缺点是，如何分类通常由人们主 观判定，因此要求调查者具备较高的素质与能力， 并且必须事先对总体各单位的情况有较多的了解， 而它们在实际工作中有时难以完全实现，这就会 影响分类的科学性和精确性。
三、抽样的类型
• 概率抽样 • 非概率抽样
– 根据抽取对象的具体方式，人们把抽样分为许多不同 的类型。总的来说，各种抽样都可以归为概率抽样与 非概率抽样两大类。这是两种有着本质区别的抽样类 型。概率抽样是依据概率论的基本原理，按照随机原 则进行的抽样，因而它能够避免抽样过程中的人为误 差，保证样本的代表性；而非概率抽样则主要是依据 研究者的主观意愿、判断或是否方便等因素来抽取对 象，它不考虑抽样中的等概率原则，因而往往产生较 大的误差，难以保证样本的代表性。 概率抽样与非概率抽样又各自包括了许多具体类 型。分别适用于不同调查对象。联系实际认识概率抽 样的不同类型及其适用性是掌握抽样方法的关键。
第四章分层抽样
0.0263
v( p4)
(1
f
4
)
p4q4 n4 1
0.0099
第23页，本讲稿共72页
因此该地区居民拥有家庭电脑比例的估计为
pst
4
Wh ph
h1
1 N
4
Nh ph
h1
1 (2000.24000.27500.415000.1) 2850
0.2
第24页，本讲稿共72页
估计量的方差为
v ( p st )
二、最优分配
• 由此得出下面的行为准则：如果某一层单 位数较多，内部差异较大，费用比较省， 则对这一层的样本量要多分配一些。这样 得到的估计量方差称为最优方差。
第32页，本讲稿共72页
三、尼曼分配
• 对于分配随机样本，做为特例，如果每层抽样的
费用相同，即 c h c 时，最优分配可简化为
nh n
-
y prop
L
Wh
h 1
yh
L
h 1
nh n
yh
L nh h1 n
1 nh
nh i1
yhi
1 L nh
1n
n h1 i1 yhi n i1 yi y
总 体 比 例 P的 估 计 量
pprop
p
1 n
L
ah
h 1
第28页，本讲稿共72页
• 因为总体中的任一个单位，不管它在哪一层，都以同 样的概率入样，因此按比例分配的分层随机样本，估
• （一）简单估计量的含义
记层比例为P h
Ah Nh
,Qh
1
Ph ,
层
样
本
比
例 ph
ah nh
抽样技术第4章分层抽样
4.7 事后分层
在实际当中，有时进行事先分层会存在 一定的困难。 1.各层的抽样框无法得到。 2.几个变量都适合于分层，而要进行事先的 多重交叉分层存在一定困难。 3.总体规模太大，事先分层太费事等。 在这种情况下，就可以考虑采用事后分层 技术。
事后分层的具体实施办法是：先采用简
单随机抽样的方法从总体中抽取一个样本
第四章 分层抽样
4.1 什么是分层抽样
在例2.4中我们用简单随机抽样估计每 个郡的平均农场面积。我们提到，即使我 们认真细致地产生了一个随机样本，还是 有一些地区被过分代表，而另一些则根本 没有代表。例4.1用分层抽样保持分层变量 在样本中的均衡，从而使得总体得到全面 的估计。
使用分层抽样的理由： 1.我们要防止得到一个很差的样本。
分层抽样比例
如我们在2.3中所观察到的一样，比例是取
值为0到1之间的一个变量的均值，为了得
到比例的推断，我们用等式（4.1）—
（4.5），其中
，
，
则有
估计总体单元的总数有一个特别相似的性质：
因此，总体单元的总数估计量是每层总数估
计量之和 。类似有
。
例4.3 美国团体学习委员会（ACLS）用分层随 机抽样在七门学科中选取ACLS中的团体研究出版 物格局和属于这些团体的学者使用电脑和图书馆 的情况。数据见表4.2.
单元数。这样第h层中第j个单元入样的概率
为
。因此，抽样权重只是抽样概率
的倒数：
（4.8）
抽样权重之和等于总体容量N，每个抽样单 元代表一特定数量的总体单元。因此，整 个样本代表整个总体。这个定义可以用于 检验权重变量是否正确：如果样本权重之 和是其它的数，而不是N，那么肯定有某个 地方出错了。 总体总数的估计量可以写成以下形式：
分层抽样
《社会调查与统计分析》
第四章 抽样
知识点7 分层抽样
学习导航
分层抽样
分层抽样的定义 分层抽样的优点 分层的标准 按比例分层和不按比例分层
1. 分层抽样的定义
分层抽样又称类型抽样，它是先将总体中的 所有元素按照某种特征或标志（如性别、年 龄、职业或地域等）划分成若干类型或层次 ，然后再在各个类型或层次中采用简单随机 抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本，最 后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
2. 分层抽样的优点
优点2：便于了解总体内不同层次的情况，便于对总 体中不同层次进行单独研究，或者进行比较。
3. 分层的标准
已有明显层次区分的变量； 把分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准; 保证各层内部同质性强和各层之间的异质性强。
思考：在“大学生价值观念研究”层
例如，某工厂有工人500人，男性有450人，女性有 50人，男女比例为9：1，样本为100人。 按比例分层抽样，男性90人，女性10人。 不按比例的方法进行分层抽样，男性70人，女性30 人。
THE END
谢 谢 观 看！
专业、家庭背景
4. 按比例分层和不按比例分层
按比例分层是根据统一的比例来确定各层要抽取的 元素数。即通常用各类型组的元素数占总体元素数 的比例，来确定各层抽样的样本元素数。 不按比例分层就是不根据各类型组的元素数占总体 元素数的比例，来确定各层抽样的样本元素数。
4. 按比例分层和不按比例分层
例：某县共有农户30万户，其中纯务农户10万户、 兼业户15万户、纯务工户5万户，问如何使用按比例 分层抽样抽取3000户进行家庭状况调查？ N=300000户 n=3000户 统一的抽样比例为：n/N=3000/300000=1/100，按照 要求，三种农户类型分别抽取的样本元素数为： n1（纯农户）=100000×1%=1000（户） n2（兼业户）=150000×1%=1500（户） n3（纯务工户）=50000×1%=500（户）
第四章 抽样
知识点7 分层抽样
学习导航
分层抽样
分层抽样的定义 分层抽样的优点 分层的标准 按比例分层和不按比例分层
1. 分层抽样的定义
分层抽样又称类型抽样，它是先将总体中的 所有元素按照某种特征或标志（如性别、年 龄、职业或地域等）划分成若干类型或层次 ，然后再在各个类型或层次中采用简单随机 抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本，最 后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
2. 分层抽样的优点
优点2：便于了解总体内不同层次的情况，便于对总 体中不同层次进行单独研究，或者进行比较。
3. 分层的标准
已有明显层次区分的变量； 把分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准; 保证各层内部同质性强和各层之间的异质性强。
思考：在“大学生价值观念研究”层
例如，某工厂有工人500人，男性有450人，女性有 50人，男女比例为9：1，样本为100人。 按比例分层抽样，男性90人，女性10人。 不按比例的方法进行分层抽样，男性70人，女性30 人。
THE END
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专业、家庭背景
4. 按比例分层和不按比例分层
按比例分层是根据统一的比例来确定各层要抽取的 元素数。即通常用各类型组的元素数占总体元素数 的比例，来确定各层抽样的样本元素数。 不按比例分层就是不根据各类型组的元素数占总体 元素数的比例，来确定各层抽样的样本元素数。
4. 按比例分层和不按比例分层
例：某县共有农户30万户，其中纯务农户10万户、 兼业户15万户、纯务工户5万户，问如何使用按比例 分层抽样抽取3000户进行家庭状况调查？ N=300000户 n=3000户 统一的抽样比例为：n/N=3000/300000=1/100，按照 要求，三种农户类型分别抽取的样本元素数为： n1（纯农户）=100000×1%=1000（户） n2（兼业户）=150000×1%=1500（户） n3（纯务工户）=50000×1%=500（户）
第4章 抽样调查技术要点
抽样调查
• 时间短、效率高，投入资源较少
• 调查结果的正确性较高，但是获取 的信息全面性不如普查
细性要求高时可采用这种方法，比如
人口普查，农业普查、企业员工整体 素质普查等。
• 可以通过统计推断技术来估计调查
总体的各项指标，是企业经常使用 的调查研究方法。
抽样调查的定义
抽样调查又称样本调查，是指按照随机原则，
几种概率抽样方法的选择与比较
对抽样误差大小的要求：
抽样误 差大小
• 有关标志值排队的系统抽样方式误差最小； • 分层抽样、按无标志值排队的系统抽样方式其次； • 简单随即抽样和整群抽样方式误差较大。 调查对象本身特点的要求：
调查对 象特点
• 有无总体的全面、详细的资料，如果没有就无法 按有关标志值排队进行系统抽样； • 与对调查对象了解的程度 也有关系。 人、财、物和事件等各种调查条件的要求： • 样本的分散程度大、调查往返的时间长和费用大的情况 下可以考虑整群抽样。
系统抽样的方法，将士兵的编号按班排序（每班10
人），进行抽样，从1号开始抽取，接下来是11号、
21号„„，调查发现士兵对待战争的积极性很高。但
是经过对样本进行研究发现，被抽到的士兵都是每班
的班长，样本的代表性就有问题了！
分层抽样
分层抽样，是指先将调查总体的所有个体按某一重要标志进行
分类（分组），然后在各类（组）中采用简单随即抽样或系统
配额抽样
配额抽样也叫定额抽样，是指将总体中的各单位按 一定的标准划分为若干个类别，将样本数额分配到
个类别中，在规定的数额内由调查人员任意抽选样
本。 配额抽样可分为独立控制配额抽样和相互控制配 额抽样两类。
的样本个体数。 非等比分层抽样主要在于减低各层之间的标准差，使母 非等比分层抽样适用于各层之间相差悬殊或标准差相差较 体平均数的估计更加精确。 大的情况。
抽样调查方法与技术：分层抽样
第一节 概述
• 四、符号说明
• 设总体分为L层，下标h表示层号(h=1，2，…
，L)。则关于第h层的记号如下：
L
•
第h层总体单元数：
N
（通常已知），且
h
L
Nh N
h 1
• 第h层样本单元数： nh，且
nh n
h 1
• 第h层总体第i个单元标志值(观察值) ： Yhi
• 第h层第i个样本单元标志值(观察值)： yhi
i 1
•
第h层总体方差：
S
2 h
1 Nh 1
Nh i 1
Yhi Yh
2
•
第h层样本方差：sh2
1 nh 1
nh
yhi
i 1
yh 2
第二节 简单估计量及其性质
• 一、总体均值的估计
• (一)简单估计量的定义
• 在分层抽样中，对总体均值 的Y估计是通
过对各层的 的Y估h 计，按层权 加W权h 平均得 到的。公式为：
• 值得强调的是，在分层抽样中只要对各层估
计是无偏的，则对总体的估计也是无偏的。因此
，各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估
计量是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
• 一、总体均值的估计
• (二)估计量的性质
•
性质2 对于分层随机抽样， ， 的Ys方t 差为：
Y是st
的Y无偏估计
V
yst
第一节 概述
• 二、分层抽样的原则（层的划分原则） （一）层内单位具有相同性质：通常按不同类型
划分。（这样）便于对子总体估计。 （二）层内单位差异小，层间差异大。从变量值
看。便于提高估计精度。（Δ） （三）通常按行政管理机构设置分层。便于组织
04第四章 分层抽样
W S 1 =∑ h h nh N h
L
2
2
1 2 Wh S h = 2 ∑ N h
L
S N h (N h nh ) h ∑ nh h
L
2
可见,在分层抽样中,总体均值估计量的方差只与各层 内的方差有关,而同层间方差无关.而总体方差又是由 层内方差与层间方差两部分构成的.所以,估计量的方 差小于总体方差. 2,总体总和估计量的方差 有了总体均值估计量的方差,就可推导出总体总和估计 量的方差:
第 h 层的总体均值;
1 yh = nh
2 h
∑y
hi
第 h 层的样本均值; 第 h 层的总体方差;
1 Nh S = (Yhi Yh ) 2 ∑ N h 1 i =1
1 nh s = ∑ ( yhi yh ) 2 nh 1 i =1
2 h
L Nh
第 h 层的样本方差.
Y = ∑∑ y hi 为总体总量;
此时:
l L ( y ) = ∑ W 1 f h s = ∑ Wh s h 1 ∑ W s 2 V st h h h h nh nh N h h h L 2 2 2
1 = 2 N
2
s N h ( N h nh ) h ∑ nh h
L
L
2
s V (Yst ) = N V ( y st ) = ∑ N h ( N h n h ) h nh h
h
L
为各层内成数方差的平均.
(二)最优分配 1,一般情形 在分层随机抽样中,在给定的费用条件下,使估计量的方 差达到最小,或在精度要求(常用方差表示)一定条件下, 使总费用最小的各层样本量的分配称为最优分配. 在分层随机抽样中,费用函数可能是简单线性的,也可能 是其它复杂形式,这里主要考虑简单线性的费用函数:
04分层抽样
二、分层随机抽样
2. 估计 Y
L
估计量 Yˆst N yst Nh yh , 是 Y 的U.E. ；
h 1
L
方差 V (Yˆst ) Nh2V ( yh )
h 1
L h 1
Nh(Nh
nh )
Sh2 nh
；
方差的一个U.E.
v( yst )
L h 1
Nh(Nh
L h1
nh i 1
yhi (
y)
V ( yst )
L
Wh2
h1
1 fh nh
Sh2
L h1
nh n
1 f nh
Wh Sh2
1 n
f
L
Wh Sh2
h1
v( yst )
L
Wh2
h1
1 fh nh
sh2
1 n
f
L
Wh sh2
h1
一、比例配置
P 的估计
P Y
L Nh h1 N
1 Nh
Nh
Yhi
i 1
L
WhPh ，其中 Ph
h1
1 Nh
Nh
Yhi 。
i 1
记第 h 层样本中具有属性C的单元所占比例为 Pˆh ，即
Pˆh
1 nh
nh i 1
yhi 。
4. 比例的估计
估计量
L
pst Wh ph , 是 P 的U.E.； h1
常见的分配方式：
(1) 随意配置 (2) 比例配置(proportional allocation) (3) 最优配置(optimal allocation)
第四章 抽样方法
抽样的两种主要类型是概率抽样与 非概率抽样。
非概率抽样的用途是有限的， 因为抽选单元的倾向性不允许对调 查总体进行推断。然而非概率抽样 快速简便，对探索性研究很有用， 特别是在市场调查中应用非常广 泛。。
一、非概率抽样
非概率抽样是用主观的(非随机 的)方法从总体中抽选单元，是一种 快速、简易且节省的从总体中选取 样本单元的方法。
它假定总体是同质的，即总体单元 都相似。比如“街道拦截”访问法。
2.志愿者抽样
被调查者都是志愿者。 例如具有特定病情的人参加某些医疗
实验；打电话参与广播或电视节目的 人；抽选参加焦点座谈或深入访问的 人。
3.判断抽样
由专家有目的地抽选有代表性的样本。 它适用于探索性研究，
如：抽选参加焦点座谈或深入访谈的 人，但不宜用在试调查中。
果。 有时，非概率抽样是唯一可行的选择。
例如，在医学实验中，采用志愿者抽样 可能是取得数据的唯一途径。
非概率抽样常被用于抽选参加焦 点座谈和深入访问的个人。
另一个能较好发挥非概率抽样作 用的例子是预研究。
非概率抽样的优点是：
快速简便； 费用相对较低； 不需要抽样框； 对探索性研究和调查的设计开发很有用。
简单随机样本（图示）
简单随机抽样在实际抽样中应用很 少，常被用作评估其他抽样方法的 效率的标准。
抽样的误差是通过其抽样方差来测 量的，如果一种抽样方法的抽样方 差比另一种抽样方法的抽样方差小， 我们就称这种抽样方法更有效率 （统计效率）。
与其他抽样技术相比，简单随机抽样 有以下优点：
是最简单的抽样技术；
假定一个总体有六个农场，我们 要估计这个农场总体的总支
出。假定我们已知每个农场的规模 (以公顷计的农场大小)，为便于说明， 进一步假定我们已知它们的支出。
非概率抽样的用途是有限的， 因为抽选单元的倾向性不允许对调 查总体进行推断。然而非概率抽样 快速简便，对探索性研究很有用， 特别是在市场调查中应用非常广 泛。。
一、非概率抽样
非概率抽样是用主观的(非随机 的)方法从总体中抽选单元，是一种 快速、简易且节省的从总体中选取 样本单元的方法。
它假定总体是同质的，即总体单元 都相似。比如“街道拦截”访问法。
2.志愿者抽样
被调查者都是志愿者。 例如具有特定病情的人参加某些医疗
实验；打电话参与广播或电视节目的 人；抽选参加焦点座谈或深入访问的 人。
3.判断抽样
由专家有目的地抽选有代表性的样本。 它适用于探索性研究，
如：抽选参加焦点座谈或深入访谈的 人，但不宜用在试调查中。
果。 有时，非概率抽样是唯一可行的选择。
例如，在医学实验中，采用志愿者抽样 可能是取得数据的唯一途径。
非概率抽样常被用于抽选参加焦 点座谈和深入访问的个人。
另一个能较好发挥非概率抽样作 用的例子是预研究。
非概率抽样的优点是：
快速简便； 费用相对较低； 不需要抽样框； 对探索性研究和调查的设计开发很有用。
简单随机样本（图示）
简单随机抽样在实际抽样中应用很 少，常被用作评估其他抽样方法的 效率的标准。
抽样的误差是通过其抽样方差来测 量的，如果一种抽样方法的抽样方 差比另一种抽样方法的抽样方差小， 我们就称这种抽样方法更有效率 （统计效率）。
与其他抽样技术相比，简单随机抽样 有以下优点：
是最简单的抽样技术；
假定一个总体有六个农场，我们 要估计这个农场总体的总支
出。假定我们已知每个农场的规模 (以公顷计的农场大小)，为便于说明， 进一步假定我们已知它们的支出。
第四章 抽样调查
p
p1 p
n
0.2 0.8 0.02 400
即：根据样本资料推断全部学生中戴眼镜的学 生所占的比重时，推断的平均误差为2%。
例： :
一批食品罐头共60000桶，随机抽查300桶，发 现有6桶不合格，求合格品率的抽样平均误差？
解: 已知 N 60000 n 300 n1 6
解：
x xf 12600 126件 f 100
s x x 2 f 4144 6.47件
f 1
99
x
s 2 1 n n N
6.472 1 100 0.614件
100 1000
x
通过例题可说明以下几点：
①样本平均数的平均数等于总体平均数。 ②抽样平均数的标准差仅为总体标准差的 1
n
③可通过调整样本单位数来控制抽样平均误差。
例：假定抽样单位数增加 2 倍、0.5倍时， 抽样平均误差怎样变化？
解：抽样单位数增加 2 倍，即为原来的 3 倍
则：
x
3n
1 0.577 3
二、抽样调查的特点
1、 是专门组织的一次性的非全面调查 2、 抽选样本单位遵循随机原则 3、 用样本指标数值去推断总体指标数值 （与重点调查的区别） 4、 抽样误差可计算并控制在一定范围内 （与典型调查的区别）
三、抽样调查的几个基本概念 （一） 全及总体和抽样总体
全及总体 指研究对象的全体。其单位数 （总体） 用N 表示。
即:当根据样本学生的平均体重估计全部学生的平均 体重时,抽样平均误差为1公斤。
例： 某厂生产一种新型灯泡共2000只，随机抽出 400只作耐用时间试验，测试结果平均使用寿 命为4800小时，样本标准差为300小时，求抽 样推断的平均误差？
第4章-抽样设计
9
第一节 抽样设计的基本概念
市场调研
二、抽样调查的相关概念
1、全及总体——人们想要认识的对象的全体，它是构成 它的所有个体的集合，也称为总体。（常用 N 表示）
2、抽样总体——由总体中抽取的部分个体构成，具有对
总体的代表性，也称为样本。（常用 n 表示） 3、抽样单元——组成样本的互不重叠的基本单位，也称
49
40
9
2
调查研究总体：美国全体选民
调查访问样本：2000名选民
13
第一节 抽样设计的基本概念
市场调研
抽样调查的特点
（1）调查方式的科学性
（2）调查费用的经济性
（3）获取资料的及时性
（4）调查结果的准确性和全面性
（5）应用范围的广泛性
任何样本都无法完全代表总体，永远存在抽样误差。
14
第二节 抽样调查方法
23
第二节 抽样调查方法
市场调研
N=90，n=10， 则：K=90/10 =9；设k=6
1 11 21 31 41 51 61 71
2 12 22 32 42 52 62 72
3 13 23 33 43 53 63 73
4 14 24 34 44 54 64 74
5 15 25 35 45 55 65 75
7
第一节 抽样设计的基本概念
市场调研
3、重点调查
在调查总体中，针对一部分处于十分重要地位 的单位进行的非全面市场调查，以尽快估计调查总 体的基本情况。 重点调查的特点
（1）便于尽快了解调查对象的基本情况；
（2）在人、财、物和时间上比较节省；
8
第一节 抽样设计的基本概念
市场调研
4、抽样调查
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估 值 法 (一 )
练习1 为调查某地区住户的平均家庭成员数，将该地 去分为城市和乡村2层，每层按照简单随机抽样抽取 10户。调查数据如表。 估计该地区住户的平均家庭成员数及其95%的 置信区间。
组合比估计 组合回归估计
组合比估计 (Ratio combined)
组合比估计的含义
有辅助变量X用于估值分析的，先分别对各层进 行简单估计，再用比估值法获得目标指标量的估计
§4.1 估值法(一) §4.2 估值法(二)—— 组合比估计和回归估计 §4.3 样本量的分配 §4.4 与简单随机抽样之比较 §4.5 如何适当分层 §4.6 后分层估计和定额抽样
分层抽样的提法 估值法(一)
分层抽样的提法 (Stratified sampling)
分层抽样的步骤
将总体 ( N )分成互不相交的 K个子总体 分层：
分层抽样的提法
分层抽样的问题
如何分层 1N1 Y21 , , Y2 N 2 YK 1 , , YKN K
y11 , , y21 , , yK 1 , , y1n1 y 2 n2 y Kn K
N
i 1
K
i
N
n
i 1
K
i
n
Ni Wi N
ni wi n
ij
Ni 1 ni Yi Yij Yi Yi / Ni yi fi ni Ni j 1 ni 1 2 si2 ( y y ) ij i ni 1 j 1
y
j 1
ni
Y Yij
比估计与回归估计小结
当Y与X高度相关时，采用比估计和回归估计都 是有效的。在选择估计方法时，有以下原则：
（1）由于分别估计（分别比或者分别回归估计）要求各层的样 本量都比较大，所以当某些层的样本量不够大时，建议采用联合估 计。 （2）当回归系数需要由样本进行估计时，回归估计是有偏的， 尤其当样本量较小的时候，采取联合比估计更好。 （3）如果各层的样本量都比较大，每层的比估计或回归估计有 效，此时用分别比估计，方差更小。 （4）如果各层的样本量不大，各层的Ri差异较小，采用联合估计。 （5）如果各层的Ri之间的差别不是太大，而且并不是每层的样本 量都相当大，采用联合估计。 （6）如果各层的回归系数都接近于1，则可采用差估计。
i 1
若b是事先指定的常数, yLS是Y的无偏估计, 其均方偏差为
1 fi 2 2 2 V ( y Ls ) Wi ( S Yi bi S Xi 2bi i SYi S Xi ) ni i 1
K 2
ni 1 f 1 2 2 i [( yij yi ) bi xij xi ] v( y Ls ) Wi ni ni 2 i 1 j 1 K
其中V ( yRC )，V ( xst )分别是估计量yRC，xst的均方偏差.
组合比估计
当分层抽样的样本分配合理, 且xst 0(不依赖与n)时
1 (1) E ( y RC Y ) O n
1 1 (2) E ( y RC Y ) E ( yst Rxst ) O 3 / 2 O 3 / 2 n n K 2 1 fi 2 2 Wi ( SYi R 2 S Xi 2 Ri SYi S Xi ) ni i 1
2 W i K
1 fi 2 2 2 V ( yLC ) Wi （SYi 2 BC i S Xi SYi BC S Xi ) ni i 1
K 2
ni 1 f 1 2 i v( yLC ) Wi 2 ( y y ) b ( x x ) ij i C ij i n n 1 i 1 j 1 i i K
组合回归估计
分别回归估计与组合回归估计的比较
1 fi 2 Vmin ( yLC ) Vmin ( yLS ) Wi S Xi ( Bi BC ) 2 ni i 1
K 2
除非各层Bi 相同, 否则最佳选取系数的分别回归估计优于 组合回归估计
仅当层数较多，而各层只有较小的样本量时，才推荐使 用组合回归估计.
K 2
2 由于比估计适合的场合( i SYi S Xi Ri S Xi )通常比较小，上
式一般大于零，分别比估计通常比组合比估计更精确.
仅当层数较多，而各层只有较小的样本量时，才推荐使 用组合比估计.
分别回归估计
分别回归估计 K
y Ls Wi [ y i bi ( X i xi )]
ˆ ) W 2V (Y ˆ) V (Y i i st
i 1 K
估 值 法 (一 )
系 1 当各层独立抽取的都是 简单随机样本，且每层 的Yi用简单估值时 , 则估计量
yst Wi yi
i 1
K
是Y的无偏估计 , 其均方偏差为
1 V ( yst ) Wi (1 f i ) Si2 ni i 1
1 fi 2 K 2 1 fi 2 2 Vmin ( y Ls ) Wi SYi Wi S Xi Bi ni ni i 1 i 1
K 2
组合回归估计
组合回归估计
yLC yst b( X xst )
若b是事先指定的常数, yLC是Y的无偏估计, 其均方偏差为
K 2
1 fi 2 K 2 1 fi 2 2 Vmin ( yLC ) Wi SYi Wi S Xi BC ni ni i 1 i 1
K 2
组合回归估计
1 fi s xyi ni 1 实践中以bC i 代替BC，有 K 2 1 fi 2 Wi s xi ni i 1
K
( N ) ( Ni )
i 1
N Ni
i 1
K
抽样： 从每层抽取一个样本构成总的样本 K
y , y
i1
i2
,, yini , i 1,2,, K
n ni
i 1
采用分层抽样的理由
可同时对子总体进行参数估计 便于组织实施,可根据各层特点采用不同抽样方式 可使样本在总体中分布均匀,从而具有更好代表性 适当分层可提高参数估计的精度
yst Wi yi
i 1
K
xst Wi xi
i 1
K
yRC
yst X rC X xst
组合比估计只需知道总体的X或X , 无需知道每层的 X i 或X i
组合比估计
估值定理
定理4.2.1 对分层抽样的组合比估计,有
V ( xst ) | E ( y RC Y ) | |X| V ( y RC )
i 1 j 1
K
Ni
K Y N iYi K Y WiYi N i 1 N i 1
估 值 法 (一 )
定理 4.1.1 如果分层抽样样本是从 每一层独立抽取的， ˆ , 则估计量 且每一层 Y 有无偏估计 Y
i i
ˆ WY ˆ Y ii st
i 1
K
是Y的无偏估计 , 其均方偏差为
2 2
1 fi 2 2 (3)v( yRC ) Wi ( s yi rC2 s xi 2rC s xyi ) ni i 1
K 2
例3续：给出Y的组合比估计量，估计其精度，与 分别比估计进行比较
组合比估计
分别比估计与组合比估计的比较
V ( y RC ) V ( y RS ) 1 fi 2 Wi ( R 2 Ri2 ) S Xi 2( R Ri ) i SYi S Xi ni i 1 K 2 1 fi 2 2 Wi ( R Ri ) 2 S Xi 2( R Ri )( i SYi S Xi Ri S Xi ) ni i 1
2 K
V ( yst )的一个无偏估计为
1 v( yst ) Wi (1 f i ) si2 ni i 1
2 K
估 值 法 (一 )
系2 当各层独立抽取的都是 简单随机样本，且各层 的样本额 ni 足够大时，用比估值法 时,
yRS Wi ri X i
i 1
K
是Y的近似无偏估计 , 其均方偏差近似为 Ni K 1 f 1 2 i V ( yRS ) Wi 2 ( Y R X ) ij i ij ni Ni 1 j 1 i 1 K 2 1 fi 2 2 2 Wi SY R i S X i 2 Ri i SYi S X i i ni i 1 V ( yRS )的一个近似无偏估计为 ni K 1 f 1 2 i v( yRS ) Wi 2 ( y r x ) ij i ij n n 1 i 1 j 1 i i
等额样本量 按比例分配 奈曼最优分配 考虑费用的最优分配
等额样本量
各层的样本量相等
n ni , i 1,2,, K K
特点：实施方便，便于管理
例1 对各乡收入数据，采用分层抽样，各层采用简单 随机抽样，计划抽取8个乡，按照下列样本量分配方 式，确定各层的样本量
(1)等额分配 (2)按比例分配
(3)Neyman最优分配
按比例分配 (proportional allocation)
Ni ni n , i 1,2,, K N K 1 K ni yst Wi yi yij n i 1 j 1 i 1
若总体总值或均值的一个无偏估计量可以表示成 样本总值或均值的常数倍，这种估计量称为自加 权估计量 适用于Ni已知而其他信息很少的情形
估 值 法 (一 )
例3 已知某公司一般职员及高级管理人员刚进入公司 时的工资总额分别为5523965元、2541660元，欲通过 抽样调查估计当前该公司职员的工资总额Y。抽样按 照一般职员与高管层进行分层随机抽取。一般职员共 390人，抽取15人；高管层共84人，抽取10名。调查 数据如表。 给出Y的分别比估计量，估计其精度