第37届全国中学生物理竞赛复赛试题解析,附试卷及答案

全国中学生物理竞赛复赛试卷姓名（）总分（）本卷共九题，满分160 分．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算环节．只写出最后结果的不能得分．有数字计算的题．答案中必须明确写出数值和单位．填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程．一、（15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）．若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小．设重力加速度g = 9 . 80 m/ s2 ,1 ．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），规定满足：( a ）每个摆的摆长不小于0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b ）初始时将所有摆球由平衡点沿x 轴正方向移动相同的一个小位移xo ( xo <<0.45m ) ，然后同时释放，通过40s 后，所有的摆可以同时回到初始状态．2 ．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率初次所有为零所通过的时间为________________________________________.二、（20 分）距离我们为L 处有一恒星，其质量为M ，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为T ，摆动范围的最大张角为△θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程．若L=10 光年，T =10 年，△θ= 3 毫角秒，M = Ms （Ms为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量Ms 和国际单位AU （平均日地距离）作为单位，只保存一位有效数字．已知1 毫角秒=11000角秒，1角秒=13600度，1AU=1.5×108km,光速 c = 3.0×105km/s.三、（22 分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为R ，螺距H =πR ，可绕竖直的对称轴OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,一方面扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A ，这时螺旋环也处在静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴O O′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．四、（ 12 分）如图所示，一质量为m、电荷量为 q ( q > 0 ）的粒子作角速度为ω、半径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为d ( d > R ) ，在导线上通有随时间变化的电流I, t= 0 时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为d+ R .若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力，试求出电流 i 随时间的变化规律．不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响．长直导线电流产生的磁感应强度表达式中的比例系数 k 已知．五、（20分）如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q和-Q (Q >0) ，半径分别为R和R/2，小球面与大球面内切于C点，两球面球心O和O’的连线MN沿竖直方在MN与两球面的交点B、0和C 处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量为m，带电荷为q(q>0的质点自MN线上离B点距离为R的A点竖直上抛。

第37届全国中学生物理竞赛预赛试题一、选择题1. 有两个同样的梯子，其顶部用活页连在一起，在两梯中间某相对的位置用一轻绳系住，便形成了人字梯。

如图所示，将两个同样的人字梯甲、乙放置于水平地面上，甲梯用的绳更长一些。

当某人先、后站在甲、乙两梯顶端时，下述说法正确的是（）A. 甲梯所受地面的支持力一定较大B. 甲、乙两梯所受地面的支持力一定相等C. 绳子被张紧时，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的大D. 绳子被张紧时，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的小2. 某飞机（见图a）起落架结构如简图b所示。

当驱动杆甲转动时，通过杆上螺纹带动连杆乙，实现轮子的收放。

忽略空气对轮子的阻力。

不考虑地球自转。

下述说法正确的是（）A. 飞机在着陆瞬间，连杆乙、丙对轮轴的合力竖直向下B. 飞机在着陆瞬间，连杆乙、丙对轮轴的合力竖直向上C. 飞机沿直线匀速飞行时，连杆乙、丙对轮轴的合力竖直向上D. 轮子受到的重力与连杆乙、丙对轮轴的合力是一对作用力与反作用力3. 某电动汽车自重2.0 t，其电池额定容量为50kWh。

车行驶时受到的阻力约为车重的十分之一。

电池瞬时功率最高可达90kW，理论续航里程为400km。

国家电网的充电桩可在电池额定容量的30%~80%范围内应用快充技术（500V，50A）充电，而便携充电器(220V，16A)可将电池容量从零充至100%；不计充电电源的内阻。

当汽车电池剩余电量为其额定值的30%时，下列说法正确的是A. 汽车至少还能行驶130kmB. 用国家电网充电桩将电池容量充至其额定值的80%，理论上需要40minC. 用便携充电器将电池电量充至其额定值的80%，理论上需要7h以上D. 此电动汽车的最高行驶速度可超过130 km/ht 4. 甲、乙两车在同一平直公路上以相同速度30m/s同向行驶，甲车在前，乙车在后，两车距离100m。

从0时起，甲、乙两车的加速度随时间变化如图所示。

取运动方向为正方向，下面说法正确的是（）A. t = 3s时刻两车距离最近B. t = 9s时刻两车距离为100mC. 3~9s内乙车做匀减速运动D. t = 9s时刻乙车速度为零5. 在生产纺织品、纸张等绝缘材料过程中，为了实时监控材料的厚度，生产流水线上设置如图所示的传感器，其中甲、乙为平行板电容器的上、下两个固定极板，分别接在恒压直流电源的两极上。

第37届全国中学生物理竞赛决赛理论试题1. 我国大科学装置散裂中子源于2018年建成并投入使用，它在诸多领域有广泛的应用。

历史上，查德威克在1932年首次确认了中子的存在并测出了它的质量；哈恩等人在1939年发现用中子轰击铀原子核可使其分裂，同时放出中子，引发链式反应。

为了使链式反应能够持续可控地进行，可通过弹性碰撞使铀核放出的中子慢化。

不考虑相对论效应。

(1)查德威克用中子（质量为m ）轰击质量为1m 的静止靶核（氢核H 或氮核14N ，质量为H m 或H 14m ）。

观察它们的运动。

设靶核的出射动量与入射中子的初动量之间的夹角为α，试导出此时靶核的出射速率1v 和中子的末速率v 分别与中子初速率0v 之间的关系。

该实验测得氢核的最大出射速率为73.3010m/s ⨯，氮核的最大出射速率为64.7010m/s ⨯，求m 和0v 的值。

(2)在上述实验中一个氮核也可能受到一束中子的连续撞击。

假设氮核开始时是静止的，每次与之相碰的中子的速率都是0v ，碰撞都使得氮核速率的增量最大。

试计算经过多少次碰撞后氮核的动能与中子的初动能近似相等？(3)设经过多次碰撞被减速的中子处于热平衡状态，其速率满足麦克斯韦分布223/22B ()4()2B Bmv k T m f v v e Tk ππ-=这里B k 为玻尔兹曼常量，T 为系统的绝对温度。

试计算在热平衡时，中子的最概然速率所对应的动能和最概然动能。

【答案】(1)2222220111012cos m v m v mm v v m v α+-=，H 1.1m ，73.0710m/s ⨯；(2)2；(3)B k T ，B 12k T 2. 当电场中两个导体球靠近时，导体球之间电场将明显增强。

本题试探讨这一现象。

已知真空介电常量为0ε。

(1)设一个半径为0R 的孤立导体球的球心与一个静止点电荷Q 相距为()0a a R >，求镜像电荷的电量及其位置。

(2)设导体球置于大小为0E 的匀强外电场中，该外加电场可看作是由两个相距很远的等量异号点电荷Q ±在其连线中点处产生的。

第37届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答（2020年9月19日9:00-12:00）一、（1）依题意，空气弹簧主气室对簧上负载竖直向上的作用力为10e ()F p p A =- ① 式中，1p 是主气室内空气的压强。

当空气弹簧承受的负载发生变化时，主气室内气体的压强1p 和体积1V 均会发生变化。

为了统一处理题给的两种情形，考虑气体压强和体积变化的过程方程为11np V =常量 ②式中，n 是常数。

①式左右两边对空气弹簧承载面的竖直位移y 微商，可知空气弹簧的劲度系数K 满足e 110e ()dA dF dpK p p A dy dy dy≡=-+ ③ ②式左右两边对y 微商得1111110n n dp dVkp V dy dy -+= ④ 由题意知，空气弹簧主气室内体积1V 和有效承载面积e A 相对于平衡位置的竖直位移的变化率为e 1, dAdV dy dyαβ=-= ⑤ 联立①③④⑤式得，空气弹簧的劲度系数K 与其有效承载面积e A 之间的关系为101010100111n n e k kp V V K A p p V V αβ+⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⑥在高铁上下乘客的情形下，主气室内气体压强和体积变化满足等温过程1n = ⑦ 由⑥⑦式得101010100211e p V V K A p p V V αβ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⑧ 在列车运行中遇到强烈颠簸的情形下，主气室内气体压强和体积变化满足绝热过程n γ= ⑨ 式中，γ是空气的定压摩尔热容p C 与定容摩尔热容V C 之比772552p V V VR C C R C C R γ+==== ⑩由⑥⑨式得7/57/510101010012/51175e p V V K A p p V V αβ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⑪（2）主气室连通附加气室后，如果车辆振动频率较低，例如情形i ），空气弹簧变形较慢，可认为在任意瞬间，空气弹簧主气室的压强与附加气室的压强相同，两气室间的压强差可视为零。

全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准一、参考解答令 表达质子的质量, 和 分别表达质子的初速度和到达a 球球面处的速度, 表达元电荷, 由能量守恒可知2201122mv mv eU =+ （1）由于a 不动, 可取其球心 为原点, 由于质子所受的a 球对它的静电库仑力总是通过a 球的球心, 所以此力对原点的力矩始终为零, 质子对 点的角动量守恒。

所求 的最大值相应于质子到达a 球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。

以 表达 的最大值, 由角动量守恒有 max 0mv l mvR = （2）由式（1）、（2）可得20max 1/2eU l R mv =- （3） 代入数据, 可得max 22l R = （4） 若把质子换成电子, 则如图复解20-1-2所示, 此时式（1）中 改为 。

同理可求得 max 62l R =（5）评分标准: 本题15分。

式（1）、（2）各4分, 式（4）2分, 式（5）5分。

二、参考解答在温度为 时, 气柱中的空气的压强和体积分别为, （1）1C V lS = （2）当气柱中空气的温度升高时, 气柱两侧的水银将被缓慢压入A 管和B 管。

设温度升高届时 , 气柱右侧水银刚好所有压到B 管中, 使管中水银高度增大C BbS h S ∆= （3） 由此导致气柱中空气体积的增大量为C V bS '∆= （4）与此同时, 气柱左侧的水银也有一部分进入A 管, 进入A 管的水银使A 管中的水银高度也应增大 , 使两支管的压强平衡, 由此导致气柱空气体积增大量为A V hS ''∆=∆ （5）所以, 当温度为 时空气的体积和压强分别为21V V V V '''=+∆+∆ （6）21p p h =+∆ （7）由状态方程知112212p V p V T T = （8） 由以上各式, 代入数据可得2347.7T =K （9）此值小于题给的最终温度 K, 所以温度将继续升高。