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第一章习题4-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。
解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢：求平面力系对O点的主矩：(2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力偶，大小是260Nm，转向是逆时针。
习题4－3．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。
解：(1) 平行力系对A点的矩是：取B点为简化中心，平行力系的主矢是：平行力系对B点的主矩是：向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且：如图所示；将R B向下平移一段距离d，使满足：最后简化为一个力R，大小等于R B。
其几何意义是：R的大小等于载荷分布的矩形面积，作用点通过矩形的形心。
(2) 取A点为简化中心，平行力系的主矢是：平行力系对A点的主矩是：向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A，且：如图所示；将R A向右平移一段距离d，使满足：最后简化为一个力R，大小等于R A。
其几何意义是：R的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。
习题4-4．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。
解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图：列平衡方程：解方程组：反力的实际方向如图示。
校核：结果正确。
(2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图：列平衡方程：解方程组：反力的实际方向如图示。
校核：结果正确。
(3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图：列平衡方程：解方程组：反力的实际方向如图示。
校核：结果正确。
习题4-5．重物悬挂如图，已知G=1.8kN，其他重量不计；求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。
解：(1) 研究整体，受力分析（BC是二力杆），画受力图：列平衡方程：解方程组：反力的实际方向如图示。
习题4-8．图示钻井架，G=177kN，铅垂荷载P=1350kN，风荷载q=1.5kN/m，水平力F=50kN；求支座A的约束反力和撑杆CD所受的力。
·115·第10章 动量定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．内力虽不能改变质点系的动量，但可以改变质点系中各质点的动量。
( √ ) 2．内力虽不影响质点系质心的运动，但质点系内各质点的运动，却与内力有关。
( √ ) 3．质点系的动量守恒时，质点系内各质点的动量不一定保持不变。
( √ ) 4．若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心坐标保持不变。
( × ) 5．若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心运动的速度保持不变。
( √ ) 二、填空题1．质点的质量与其在某瞬时的速度乘积，称为质点在该瞬时的动量。
2．力与作用时间的乘积，称为力的冲量。
3．质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4．质点系的动量随时间的变化规律只与系统所受的外力有关，而与系统的内力无关。
5．质点系动量守恒的条件是质点系所受外力的主矢等于零，质点系在x 轴方向动量守恒的条件是质点系所受外力沿x 轴方向投影的代数和等于零。
6．若质点系所受外力的矢量和等于零，则质点系的动量和质心速度保持不变。
三、选择题1．如图10.12所示的均质圆盘质量为m ，半径为R ，初始角速度为0ω，不计阻力，若不再施加主动力，问轮子以后的运动状态是( C )运动。
(A) 减速(B) 加速(C) 匀速 (D) 不能确定2．如图10.13所示的均质圆盘质量为m ，半径为R ，可绕O 轴转动，某瞬时圆盘的角速度为ω，则此时圆盘的动量大小是( A )。
(A) 0P = (B) P m R =ω (C) 2P m R =ω(D) 2P m R /=ω图10.12 图10.133．均质等腰直角三角板，开始时直立于光滑的水平面上，如图10.14所示。
给它一个微小扰动让其无初速度倒下，问其重心的运动轨迹是( C )。
(A) 椭圆 (B) 水平直线 (C) 铅垂直线(D) 抛物线ABC图10.14·116·4．质点系的质心位置保持不变的必要与充分条件是( D )。
第11章动量矩定理、是非题（正确的在括号内打“√”、错误的打“X”）1. 质点系对某固定点（或固定轴）的动量矩，等于质点系的动量对该点（或轴）的矩。
2. 质点系所受外力对某点（或轴）之矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。
3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。
4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中， 以对质心轴的转动惯量为最大。
d i n7. 质点系对某点的动量矩定理 L='、M O （F i e）中的点O ”是固定点或质点系的质心。
dt i J8.如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB,对转轴的转动惯量为1 2 2 ml mr ,式中m 为AB 杆的质量。
3 9.当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有-L P 八MP （F i e）不需附加任何条件。
10.平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主 矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ,绕Z 轴转动的回旋半径为 匚 则刚体对Z 轴的转动惯量为J Z m<2。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为 质点系的动量。
4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的 内力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零,质点系的动量对 X 轴的动量矩守恒的条件是 质点系所受的全部外力对X 轴之矩的代数(× )(√)(√) (√) (× ) (× )(√)2J o=J A mr的形式，而l图 11.23和等于零。
6.质点M质量为m ,在Cy 平面内运动， 如图11.24所示。
第一章习题4-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。
解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢：求平面力系对O点的主矩：(2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力偶，大小是260Nm，转向是逆时针。
习题4－3．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。
解：(1) 平行力系对A点的矩是：取B点为简化中心，平行力系的主矢是：平行力系对B点的主矩是：向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且：如图所示；将R B向下平移一段距离d，使满足：最后简化为一个力R，大小等于R B。
其几何意义是：R的大小等于载荷分布的矩形面积，作用点通过矩形的形心。
(2) 取A点为简化中心，平行力系的主矢是：平行力系对A点的主矩是：向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A，且：如图所示；将R A向右平移一段距离d，使满足：最后简化为一个力R，大小等于R A。
其几何意义是：R的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。
习题4-4．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。
解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图：列平衡方程：解方程组：反力的实际方向如图示。
校核：结果正确。
(2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图：列平衡方程：解方程组：反力的实际方向如图示。
校核：结果正确。
(3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图：列平衡方程：解方程组：反力的实际方向如图示。
校核：结果正确。
习题4-5．重物悬挂如图，已知G=1.8kN，其他重量不计；求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。
解：(1) 研究整体，受力分析（BC是二力杆），画受力图：列平衡方程：解方程组：反力的实际方向如图示。
习题4-8．图示钻井架，G=177kN，铅垂荷载P=1350kN，风荷载q=1.5kN/m，水平力F=50kN；求支座A的约束反力和撑杆CD所受的力。
理论力学参考答案第11章盛冬发__________________________________________________第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)__________________________________________________8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×)9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图11.23二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
__________________________________________________4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。
·77·第7章 点的合成运动一、是非题（正确的在括号内打“√”、错误的打“×”）1．点的速度和加速度合成定理建立了两个不同物体上两点之间的速度和加速度之间的 关系。
( √ ) 2．根据速度合成定理，动点的绝对速度一定大于其相对速度。
( × ) 3．应用速度合成定理，在选取动点和动系时，若动点是某刚体上的一点，则动系不可以固结在这个刚体上。
( √ )4．从地球上观察到的太阳轨迹与同时在月球上观察到的轨迹相同。
( × ) 5．在合成运动中，当牵连运动为转动时，科氏加速度一定不为零。
( × ) 6．科氏加速度是由于牵连运动改变了相对速度的方向而产生的加速度。
( √ ) 7．在图7.19中，动点M 以常速度r v 相对圆盘在圆盘直径上运动，圆盘以匀角速度ω绕定轴O 转动，则无论动点运动到圆盘上的什么位置，其科氏加速度都相等。
( √ ) 二、填空题1．已知r 234=++v i j k ，e 63=-ωi k ，则k =a 18 i ＋ -60 j ＋ 36 k 。
2．在图7.20中，两个机构的斜杆绕O 2的角速度均为2ω，O 1O 2的距离为l ，斜杆与竖直方向的夹角为θ，则图7.20(a)中直杆的角速度=1ωθθωcos sin 2，图7.20(b)中直杆的角速度=1ω2ω。
图7.19 图7.203．科氏加速度为零的条件有：动参考系作平动、0=r v 和r e v ω//。
4．绝对运动和相对运动是指动点分别相对于定系和动系的运动，而牵连运动是指牵连点相对于定系的运动。
牵连点是指某瞬时动系上和动点相重合的点，相应的牵连速度和加速度是指牵连点相对于定系的速度和加速度。
5．如图7.21所示的系统，以''Ax y 为动参考系，Ax'总在水平轴上运动，AB l =。
则点B 的相对轨迹是圆周，若kt ϕ= (k 为常量)，点B 的相对速度为lk ，相对加速度为2lk 。
理论力学课后习题答案1. 第一题题目：一个质点从初始点A沿着一条直线运动到达点A，在此过程中质点受到一个恒定的力A的作用。
求解质点从A 到A的位移A和速度A与时间A的关系。
解答：根据牛顿第二定律A=AA，我们可以得到质点在恒定力作用下的运动方程为 $F = m \\frac{dv}{dt}$。
即：$$F = m \\frac{dx}{dt}$$将方程变形可得：$$dx = \\frac{F}{m} dt$$对上式两边同时积分可得：$$\\int_{x_A}^{x_B} dx = \\frac{1}{m} \\int_0^t F dt$$化简后可得：$$x_B - x_A = \\frac{1}{m} \\int_0^t F dt$$即质点从初始点A移动到达点A时的位移A与时间A的关系为：$$x = x_A + \\frac{1}{m} \\int_0^t F dt$$2. 第二题题目：一个滑块在一个光滑的水平轨道上，质量为A，受到一根拉力为A的绳子的作用。
求解滑块的加速度A。
解答：根据牛顿第二定律A=AA，可以得到滑块的加速度A与拉力A的关系为 $a = \\frac{F}{m}$。
3. 第三题题目：一个质点在一个弹簧的作用下振动，弹簧的劲度系数为A，质量为A。
求解质点的振动周期A。
解答：质点在弹簧的作用下振动，其运动方程为 $m\\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$，其中A为质点的位移。
对上式进行变形可得：$$\\frac{d^2x}{dt^2} = -\\frac{k}{m}x$$该微分方程的通解为 $x = A \\sin(\\sqrt{\\frac{k}{m}} t + \\phi)$，其中A为振幅，$\\phi$ 为相位角。
振动周期A可以通过求解动能和势能的平衡关系来得到。
在振动过程中，动能 $K = \\frac{1}{2} m v^2$ 和势能 $U =\\frac{1}{2} k x^2$ 之和保持不变。
理论力学(盛冬发)课后习题答案ch12|第12章动能定理.143.第12章动能定理1，真或假问题(括号内正确打勾，错误打勾“*”)1。
当一个圆形车轮纯滚动时，与地面接触点的法向约束力和滑动摩擦力不起作用。
(√) 2。
理想约束的约束反力所做的功之和等于零(√) 3。
因为粒子系统中的内力成对出现，所以内力功的代数和等于零(×) 4。
弹簧压缩了10厘米，从原来的长度延长了10厘米，弹簧力也同样起作用。
(√) 5。
粒子系统动能的变化与作用在粒子系统上的外力有关，而与内力无关。
(×) 6。
如果相同质量的三个粒子以相同的初始速度从相同的高度向上、水平和向下抛向地面，这三个粒子将以相同的速度落到地面。
(√)7。
动能定理的方程是向量(×) 8。
弹簧从其自然位置拉长10厘米，再拉长10厘米。
在这两个过程中，弹力的作用是相等的。
(x) 2。
填写问题1。
当一个粒子刚刚在一个垂直平面上转动一次，它的重力做功是02.在理想约束条件下，约束反力所做功的代数和为零3。
如图12.19所示，质量为m1的均质杆OA的一端铰接在质量为m2的均质圆形车轮的车轮中心，另一端位于水平面上。
圆形的轮子在地上滚动。
如果车轮中心的速度是vo，系统的动能t？1322m1v0？M2v0244..圆轮的一端连接一个刚度系数为K的弹簧，另一端连接一个重量为P的重物，如图12.201所示最初，春天自然很长。
当重量降到h时，系统的总功w？博士？kh22 o VO a k p h图12.19图12.205。
如图12.21所示，滑块a和滑块BC之间的摩擦力是系统的内力。
假设已知的摩擦力是f，等于一个常数，曲柄每转一周的摩擦力功是？4Fr6。
平行四边形机构如图12.22，O1A？O2B？R，O1A//O2B，以角速度转动O1A？5次旋转如果所有的棒都是同质的，质量是m，那么动能T =mr2？26. 143 .. 144 .理论力学7。
第6章 运动学基础一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．动点速度的大小等于其弧坐标对时间的一阶导数，方向一定沿轨迹的切线。
( √ ) 2． 动点加速度的大小等于其速度大小对时间的一阶导数，方向沿轨迹的切线。
( × ) 3．在实际问题中，只存在加速度为零而速度不为零的情况，不存在加速度不为零而速度为零的情况。
( × ) 4．两个刚体做平动，某瞬时它们具有相同的加速度，则它们的运动轨迹和速度也一定相同。
( × ) 5．定轴转动刚体的角加速度为正值时，刚体一定越转越快。
( × ) 6．两个半径不等的摩擦轮外接触传动，如果不出现打滑现象，两接触点此瞬时的速度相等，切向加速度也相等。
( √ )二、填空题1. 描述点的运动的三种基本方法是矢径法、直角坐标法和自然坐标法。
2. 点做圆周运动，加速度由切向加速度和法向加速度组成，其中切向加速度反映了速度大小随时间的变化率，方向是沿圆周的切线；法向加速度反映了速度的方向随时间的变化率，方向是沿圆周的法线。
3. 质点运动时，如果d d st和22d d s t 同号，则质点做加速运动，反之则做减速运动。
4. 刚体运动的两种基本形式为平动和定轴转动。
5. 刚体平动的运动特征是刚体在运动的过程中其内的任一直线始终和原来的位置平行。
6. 定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示，它的表达式为r ωv ⨯=；刚体上点的加速度可以用矢积表示，它的表达式为v ωr εa ⨯+⨯=。
7. 刚体绕定轴转动时，在任一瞬时各点具有相同的角速度和角加速度，且各点轨迹均为 圆周。
8. 定轴转动刚体内点的速度分布规律为任何一条通过轴心的直径上各点的速度，若将速度矢的端点连成直线，此直线通过轴心。
9. 半径均为R 的圆盘绕垂直于盘面的O 轴做定轴转动，其边缘上一点M 的加速度如图6.23所示，试问两种情况下圆盘的角速度和角加速度的大小分别为：图(a)：=ω0；=εRa。
第12章 动能定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．圆轮纯滚动时，与地面接触点的法向约束力和滑动摩擦力均不做功。
( √ ) 2．理想约束的约束反力做功之和恒等于零。
( √ ) 3．由于质点系中的内力成对出现，所以内力的功的代数和恒等于零。
( × ) 4．弹簧从原长压缩10cm 和拉长10cm ，弹簧力做功相等。
( √ )5．质点系动能的变化与作用在质点系上的外力有关，与内力无关。
( × ) 6．三个质量相同的质点，从距地相同的高度上，以相同的初速度，一个向上抛出，一个水平抛出，一个向下抛出，则三质点落地时的速度相等。
( √ )7．动能定理的方程是矢量式。
( × ) 8．弹簧由其自然位置拉长10cm ，再拉长10cm ，在这两个过程中弹力做功相等。
( × )二、填空题1．当质点在铅垂平面内恰好转过一周时，其重力所做的功为 0 。
2．在理想约束的条件下，约束反力所做的功的代数和为零。
3．如图12.19所示，质量为1m 的均质杆OA ，一端铰接在质量为2m 的均质圆轮的轮心，另一端放在水平面上，圆轮在地面上做纯滚动，若轮心的速度为o v ，则系统的动能=T222014321v m v m +。
4．圆轮的一端连接弹簧，其刚度系数为k ，另一端连接一重量为P 的重物，如图12.20所示。
初始时弹簧为自然长，当重物下降为h 时，系统的总功=W 221kh Ph -。
图12.19 图12.205．如图12.21所示的曲柄连杆机构，滑块A 与滑道BC 之间的摩擦力是系统的内力，设已知摩擦力为F 且等于常数，则曲柄转一周摩擦力的功为Fr 4-。
6．平行四边形机构如图12.22所示，r B O A O ==21，B O A O 21//，曲柄A O 1以角速度ω转动。
设各杆都是均质杆，质量均为m ，则系统的动能T =2265ωmr 。
7．均质杆AB ，长为l ，质量为m ，A 端靠在墙上，B 端以等速率v 沿地面运动，如图12.23所示。
在图示瞬时，杆的动能为292mv 。
ω图12.21 图12.228．在图12.24中，均质摆杆OA ，质量为15kg m =，长12m l .=；物块B 的质量为215kg m =，由杆OA 通过套筒带动在水平面内运动。
设图示瞬时，杆OA 的角速度1rad s/ω=，09m h .=，则杆OA 的动能为J 2.1，滑块B 的动能为J 075.6。
图12.23 图12.24三、选择题1．若质点的动能保持不变，则 C 。
(A) 其动量必守恒 (B) 质点必做直线运动 (C) 质点必做匀速运动(D) 质点必做变速运动2．汽车靠发动机的内力做功， D 。
(A) 汽车肯定向前运动 (B) 汽车肯定不能向前运动 (C) 汽车动能肯定不变(D) 汽车动能肯定变3．如图12.25所示，半径为R 、质量为1m 的均质滑轮上，作用一常力矩M ，吊升一质量为2m 的重物，则重物上升高度h 的过程中，力矩M 的功W = A 。
(A) h MR(B) 2m gh(C) 2hMm gh R- (D) 04．均质圆盘质量为m ，半径为R ，在水平面上作纯滚动，设某瞬时其质心速度为0v ，则此时圆盘的动能是 B 。
(A)2012mv (B)2034mv (C)2032mv (D) 20mv5．如图12.26所示，三棱柱B 沿三棱柱A 的斜面运动，三棱柱A 沿光滑水平面向左运动。
已知A 的质量为1m ，B 的质量为2m ；某瞬时A 的速度为1v ，B 沿斜面的速度为2v 。
则此时三棱柱B 的动能T = D 。
(A)22212m v (B)22121()2m v v - (C) 222121()2m v v -(D) 22221221[(cos )sin ]2m v v v θθ-+图12.25 图12.266．如图12.27所示，两均质轮质量为m ，半径均为R ，用绕在两轮上的绳系在一起。
设某瞬时两轮的角速度分别为1ω和2ω，则系统的动能T = D 。
(A)()22212111222mR m R ωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭(B) 22221211112222mR mR ωω⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(C)()222221221111122222mR m R mR ωωω⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D)()2222211221111122222mR m R R mR ωωωω⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四、计算题12-1 摆锤质量为m ，摆长为0r ，如图12.28所示。
求摆锤由点A 至最低位置点B ，以及由A 点经过最低位置点B 到点C 的过程中摆锤重力所做的功。
解：根据重力做功的公式，摆锤由点A 至最低位置点B ，摆锤重力所做的功为)cos 1()cos (000ϕϕ+=+=mgr r r mg W AB摆锤由A 点经过最低位置点B 到点C 的过程中摆锤重力所做的功为2图12.27)sin (cos )sin cos (000θϕθϕ-=-=mgr r r mg W AC12-2 重量为2000N 的刚体在已知力500N F =的作用下沿水平面滑动，力F 与水平面夹角30α=︒。
如接触面间的动摩擦系数0.2f =，求刚体滑动距离30m s =时，作用于刚体各力所做的功及合力所做的总功。
解：计算滑动摩擦力N F mg f fF F N d 350)30sin 5002000(2.0)sin (o =-⨯=-==α刚体滑动距离30m s =时，滑动摩擦力所做的功为)(1050030350J s F W d F d -=⨯-=-= 主动力F 所做的功为)(4.1299030cos 3050030cos o o J Fs W F =⨯== 其它力不做功。
合力所做的总功为)(4.2490J W W W d F F =+=合12-3 弹簧原长为0l ，刚度系数为1960N m k /=，一端固定，另一端与质点M 相连，如图12.29所示。
试分别计算下列各种情况时弹簧力所做的功。
(1) 质点由1M 至2M ；(2) 质点由2M 至3M ；(3) 质点由3M 至1M 。
图12.28 图12.29解：根据弹力做功的公式，计算下列各种情况时弹簧力所做的功。
（1）质点由1M 至2M ，弹簧力所做的功为)(06.2)05.002.0(21960)(2122222112J k W -=-⨯=-=δδ（2）质点由2M 至3M ，弹簧力所做的功为)(06.2])02.0(05.0[21960)(2122232223J k W =--⨯=-=δδ（3）质点由3M 至1M ，弹簧力所做的功为0]02.0)02.0[(21960)(2122212331=--⨯=-=δδk W12-4 计算图示各物体的动能。
已知物体均为均质，其质量为m ，几何尺寸如图12.30所示。
(a)(d)(b)(c)图12.30解：（a ）杆子作定轴转动，它的动能为2222261312121ωωωml ml J T O =⨯==（b ）圆盘绕O 点作定轴转动，它的动能为2222243232121ωωωmR mR J T O =⨯==（c ）圆盘绕O 点作定轴转动，它的动能为2222241212121ωωωmR mR J T O =⨯==（d ）圆盘在水平面上作纯滚动，它的动能为22222243)(2121212121CC C C C mv R v mR mv J mv T =⨯+=+=ω 12-5 如图12.31所示，与弹簧相连的滑块M ，可沿固定的光滑圆环滑动，圆环和弹簧都在同一铅直平面内。
已知滑块的重量100N W =，弹簧原长为15cm l =，弹簧刚度系数400N m k /=。
求滑块M 从位置A 运动到位置B 过程中，其上各力所做的功及合力的总功。
解：根据重力做功的公式，滑块M 从位置A 运动到位置B 过程中，重力所做的功为)(101.0100J Wh W =⨯==重根据弹力做功的公式，滑块M 从位置A 运动到位置B 过程中，弹力所做的功为)(2122B A k W δδ-=弹而m A 1662.015.01.03.022=-+=δ，m B 05.015.02.0=-=δ，代入上式，可得)(03.5)05.01662.0(2400)(212222J k W B A =-=-=δδ弹合力的总功为)(03.15J W W W =+=弹重合12-6 长为l 、质量为m 的均质杆OA 以球铰链O 固定，并以等角速度ω绕铅直线转动，如图12.32所示。
若杆OA 与铅直线的夹角为θ，试求杆的动能。
图12.31 图12.32解：将杆分成许多微段，先计算微段的动能dx lmx x dx l m dxv l m dT 2sin )sin (22122222θωθω===整个杆子的动能为6sin 2sin 22202220θωθωml dx l mx dT T ll===⎰⎰12-7 摩擦阻力等于正压力与滑动摩擦系数的乘积。
为测定动摩擦系数，把料车置于斜坡顶A 处，让其无初速度地下滑，料车最后停止在C 处，如图12.33所示。
已知12h s s 、、，试求料车运行时的动摩擦系数f 。
解：料车在坡顶A 处无初速度地下滑最后停止在C 处，在该过程中重力和摩擦力均要做功，由动能定理，可知它们做功的和等于零。
料车在坡顶A 处下滑到C 处，重力所做的功为Wh W =重式中W 为料车的重力。
而料车在坡顶A 处下滑到C 处，摩擦力所做的功为2221cos fWs h s fW W -+-=α摩而1221cos s h s =+α，即摩擦力所做的功为21fWs fWs W --=摩由动能定理可知，合力的功为零，即0)(21=+-=+=s s fW Wh W W W 摩重合 解得21s s hf +=12-8 如图12.34所示，一不变力偶矩M 作用在绞车的均质鼓轮上，轮的半径为r ，质量为1m 。
绕在鼓轮上绳索的另一端系一质量为2m 的重物，此重物沿倾角为α的斜面上升。
设初始系统静止，斜面与重物间的摩擦系数为f 。
试求绞车转过ϕ后的角速度。
图12.33 图12.34解：选系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。
绞车转过ϕ，重物向上滑动ϕr s =的距离。
在此过程中，作用在鼓轮上的力偶矩M 所做的功为ϕM W M =，滑动摩擦力所做的功为αϕcos 2gr fm s F W d F d -=-=，重物重力所做的功为αϕsin 2gr fm W -=重，而其它的力均不做功。
故绞车转过ϕ后，系统所受的全部力做功的和为)sin cos (2ααϕϕ+-=∑f gr m M W i初始系统静止，系统的动能01=T 。
