《计算机数学基础》(一)――离散数学期末复习参考.doc

离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。

B. 如果今天是周一，则明天不是周二。

答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。

答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。

这种性质称为函数的______。

答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。

如果一个图的直径为1，则该图被称为______。

答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。

布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。

答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。

答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。

例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。

2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。

答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。

例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。

《计算机数学基础(上)》离散数学部分期末复习中央电大基础部数理教研室《计算机数学基础》是中央广播电视大学本科开放教育计算机科学与技术专业学生必修的一门专业基础课程，是学习专业理论必不可少的数学工具。

本课程分两个学期学习，本学期的教学内容是“计算机数学基础(上)−−离散数学”部分，共计72学时，4学分。

本学期使用的教材是由任现淼主编、吴裕树副主编的《计算机数学基础(上)−−离散数学》，由中央广播电视大学出版社出版。

一、期末考试题型试题类型及分数分别为单项选择题和填空题各有5题，分数约占25％；化简解答题与计算题，分数约占56％；证明题，分数约占19％。

各章分数的比例大致与其所用课时比例相同。

单项选择题和填空题主要涉及基本概念、基本理论、重要性质和结论、公式及其简单计算。

单项选择题给出四个备选答案，其一正确。

填空题只需填写正确结论，不写计算、推论过程或理由。

化简解答题与计算题主要考核学员的基本运算技能和速度，要求写出计算过程。

证明题主要考查应用概念、性质、定理及重要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。

本学期期末复习应以中央电大考试处编发的《计算机数学基础(上)离散数学部分考核说明》为依据。

二、各章复习要求和重点第1章命题逻辑复习要求1. 理解命题概念，掌握判断语句是不是命题的方法。

判断一个语句是否为命题，应首先判断它是否为陈述句。

再判断它是否有唯一的真值。

因此，命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义。

2. 了解六个联结词概念，掌握由它们构成的公式及真值表：①⌝P(否定式); ②P∧Q(合取式);③P∨Q(析取式);④P→ Q (蕴含式);⑤P↔ Q (等价式)；⑥P⎺∨ Q (不可兼析取式)。

会将命题符号化。

熟练掌握求给定公式真值表的方法。

3. 理解公式、公式解释、永真式(重言式)、永假式(矛盾式)和可满足式等概念。

掌握基本等值式以及用真值表法和等值演算法判别公式类型和公式等值的方法。

自学考试：离散数学复习(一)自学考试是一种能够让没有条件参加全日制学习的人继续学习的方式。

与传统的大学学习相比，它更为灵活和自由。

在自学考试中，离散数学是一门必修的科目，也是考试难点之一。

本文将从离散数学的定义、内容、复习方法以及注意事项等方面进行讲解。

一、离散数学的定义离散数学是研究数量的离散性质的数学分支学科，主要研究对象是离散的集合、函数、算法、逻辑、图论等。

它的研究对象并不是连续的，而是由一些个别的、离散的数量组成的。

二、离散数学的内容离散数学主要包括以下几个方面：1. 逻辑与集合论：又称数理逻辑，是离散数学的重要组成部分。

它主要涉及命题逻辑、谓词逻辑、逻辑推理等内容。

2. 离散数学的代数结构：主要包括半群、群、环、域等内容。

3. 布尔代数与逻辑设计：主要涉及布尔运算、代数基本定理、逻辑电路设计等方面。

4. 图论：涉及图的定义、图的类型、基本概念和定理、图的遍历等方面。

5. 计算机科学中的重要应用：涉及图论和逻辑设计等方面。

三、离散数学的复习方法1. 系统地复习课本，强调对每个概念和定理的理解和记忆。

2. 刻意练习，做大量的练习题，以此巩固知识点。

3. 找到与离散数学相关的书籍，进行阅读和学习，补充知识点。

4. 制定学习计划并严格执行，不断检查自己的学习进度。

四、注意事项1. 离散数学比较抽象，需要认真思考并理解其概念和定理。

2. 多做题，不要死记硬背，应该结合题目进行思考，理解知识点。

3. 有时间限制的考试需要注重时间管理，做题的时候应该合理分配时间。

4. 总结每次考试的弱点，找到自己的不足之处，并及时进行复习和巩固。

总之，离散数学是一门重要的学科，它具有广泛的应用领域，并且在计算机科学领域中具有重要地位。

对于自学考试的学生而言，掌握好离散数学的知识点是非常重要的。

希望本文对自学考试的离散数学复习有所帮助。

离散数学复习提纲离散数学是一门关于离散对象的数学分支，它主要研究离散结构及其性质，广泛应用于计算机科学、信息技术、密码学等领域。

下面是一个离散数学的复习提纲，包括离散数学的基本概念、离散结构、图论、关系、逻辑以及集合论等内容。

一、离散数学的基本概念1.数学基础：集合、函数、关系、证明方法（数学归纳法、反证法、递归法等）；2.命题逻辑：命题、命题连接词、真值表、逻辑运算、逻辑等价、推理规则等；3.谓词逻辑：谓词、量词、公式、合取范式和析取范式、蕴含、等价、量词的否定规则等；4.证明方法：直接证明、间接证明、归谬证明、证明策略等。

二、离散结构1.图论：图的基本概念、图的表示方法、连通性、路径和回路、图的着色、最小生成树等；2.代数结构：群、环、域的定义、性质及基本例子；3.组合数学：组合基本原理、二项式系数、排列组合、生成函数、递归关系、容斥原理等；4.有限状态自动机：确定性有限状态自动机、非确定性有限状态自动机、正则表达式等。

1.图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度等；2.图的表示：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等；3.图的遍历：深度优先、广度优先；4. 最短路径问题：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法；5. 最小生成树问题：Prim算法、Kruskal算法；6.匹配问题：最大匹配、二分图匹配等。

四、关系1.关系的基本概念：关系矩阵、关系的性质（反自反性、对称性、传递性等）；2.等价关系：等价关系的性质、等价类等；3.偏序关系：偏序关系的性质、偏序集合、哈斯图等；4.传递闭包：传递闭包的定义、传递闭包的计算方法等。

五、逻辑1.命题逻辑：命题的定义、逻辑运算、真值表、逻辑等价、推理规则等；2.谓词逻辑：量词的定义、公式的定义、量词的否定规则、等价变换等；3.命题逻辑与谓词逻辑的转换；4.形式化推理：前向链式推理、后向链式推理、消解法等。

1.集合的基本概念：子集、并集、交集、差集、补集等；2.集合运算：集合的并、交、差、补等运算的性质；3.集合的关系：包含关系、相等关系、等价关系等；4.集合的表示方法：列举法、描述法、元祖法等；5.集合的基数：有限集合的基数、无穷集合的基数、基数的性质。

《离散数学》期末复习提要课程的主要内容1、集合论部分（集合的基本概念和运算、二元关系和函数）；2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；3、图论部分（图的基本概念、特殊的图，树及其性质）。

一、各章复习要求与重点第一章命题逻辑[复习知识点]１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题２、命题公式与解释，真值表，公式分类（永真、矛盾、可满足），公式的等价３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）５、全功能集６、推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、推理理论[复习要求]１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。

２、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在解释下的真值。

３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。

４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。

掌握24个重要等值式。

５、掌握推理理论，会写出推理的证明，掌握附加前提证明法和归谬发。

[本章重点习题]习题P31-36: 1.1,1.7-1.9,1.12,1.18,1.19，1.15 [疑难解析]1、公式恒真性的判定判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。

具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0），就可以判定该公式是否恒真（或恒假），若不全为0，则为可满足的。

二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式G 是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。

离散数学复习资料离散数学是计算机科学与数学领域中的重要学科，它研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。

在计算机科学领域，离散数学是构建算法和设计计算机系统的基础。

为了更好地复习离散数学，我们可以从以下几个方面入手。

一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其运算。

在集合论中，我们需要了解集合的定义、基本运算和集合间的关系。

此外，还需要掌握集合的代数运算法则，如交、并、差和补集等。

复习时可以通过解题来加深理解，例如证明集合之间的等价关系、集合的幂集等。

二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的重要分支，它研究的是推理和论证的规则。

在逻辑中，命题是最基本的逻辑单位。

复习时需要了解命题的定义和常见的逻辑运算符，如非、与、或、异或等。

此外，还需要熟悉命题的真值表和命题之间的逻辑等价关系。

通过解题和推理，可以提高对逻辑的理解和应用能力。

三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图及其性质。

在图论中，我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径、环等。

此外，还需要熟悉图的表示方法，如邻接矩阵和邻接表。

复习时可以通过解题来加深对图的理解，例如求最短路径、判断图的连通性等。

四、代数系统代数系统是离散数学中的一个重要内容，它研究的是代数结构及其性质。

在代数系统中，我们需要了解群、环、域等代数结构的定义和性质。

此外，还需要熟悉代数运算法则和代数结构之间的关系。

复习时可以通过解题来加深对代数系统的理解，例如证明一个集合构成一个群、判断一个环是否是域等。

五、概率论与统计学概率论与统计学是离散数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件和随机变量的概率性质。

在概率论与统计学中，我们需要了解概率的定义和性质，掌握常见的概率分布和统计方法。

此外，还需要熟悉概率的运算法则和统计推断的基本原理。

复习时可以通过解题和实际问题的分析来加深对概率论与统计学的理解。

总之，离散数学作为计算机科学与数学领域中的重要学科，对于计算机科学专业的学生来说具有重要意义。

计算机数学基础习题答案计算机数学基础习题答案在计算机科学领域，数学是一门非常重要的基础学科。

它为我们提供了解决问题的方法和工具，使我们能够设计和分析算法、优化系统性能等。

而对于计算机数学基础的学习，习题是非常重要的一部分。

下面，我将为大家提供一些计算机数学基础习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

一、离散数学离散数学是计算机科学中的一门基础课程，主要研究离散对象及其结构、关系和操作等。

以下是一些常见的离散数学习题的答案：1. 集合论习题题目：设集合 A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B 和A∩B。

答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。

2. 逻辑代数习题题目：化简逻辑表达式F=(A+B)·(A+C)·(B+C)。

答案：F=A·B+A·C+B·C。

3. 图论习题题目：给定一个无向图 G，顶点集为 V={1,2,3,4}，边集为E={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}，求图 G 的邻接矩阵。

答案：1 2 3 41 0 1 0 12 1 0 1 03 0 1 0 14 1 0 1 0二、概率论与统计学概率论与统计学是计算机科学中另一门重要的数学基础课程，它研究随机现象的规律性和不确定性。

以下是一些常见的概率论与统计学习题的答案：1. 概率习题题目：一枚硬币抛掷三次，求出现两次正面的概率。

答案：设事件 A 为出现两次正面，事件 B 为抛掷三次硬币。

则P(A)=C(3,2)·(1/2)^2·(1/2)^1=3/8。

2. 随机变量习题题目：设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)=kx^2，其中x∈[0,1]，求常数 k 的值。

答案：由概率密度函数的性质可知，∫[0,1]f(x)dx=1。

代入 f(x) 的表达式，得到∫[0,1]kx^2dx=1，解得 k=3。

3. 统计学习题题目：某班级的学生身高数据如下：160、165、170、175、180，请计算平均身高和标准差。

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《离散数学》题库及答案一一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）．A．A⊂B，且A∈B B．A∈B，但A⊄BC．A⊂B，但A∉B D．A⊄B，且A∉B2．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y∈A}，则R的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的3．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A．0 B．2 C．1 D．34．如图一所示，以下说法正确的是( ) ．A．{(a, e)}是割边B．{(a, e)}是边割集C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集图一5．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(∀x)(A(x)∧B(x)) B．┐(∃x)(A(x)∧B(x))C．┐(∀x)(A(x) →B(x)) D．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为．7．设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为．8．若A={1,2}，R={<x, y>|x∈A, y∈A, x+y=10}，则R的自反闭包为．9．结点数v与边数e满足关系的无向连通图就是树．10．设个体域D＝{a, b, c}，则谓词公式(∀x)A(x)消去量词后的等值式为．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．12．将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （∀x）F（x）→G（x）前提引入(2) F（y）→G（y）US（1）．14．若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．图二五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P∨Q）→（R∨Q）的合取范式．16．设A={0，1，2，3，4}，R={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y<0}，S={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y≤3}，试求R，S，R•S，R-1，S-1，r(R)．17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．六、证明题（本题共8分）18．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明G与G中的奇数度顶点个数相等(G 是G的补图)．试题解答一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1．A 2．B 3．B 4．D 5．C 二、填空题（每小题3分，本题共15分） 6．1024 7．88．{<1,1>,<2,2>} 9．e=v -110．A (a ) ∧A (b )∧A （c ）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．设P ：他接受了这个任务，Q ：他完成好了这个任务， （2分）P ∧⌝ Q ． （6分）12．设P ：今天下雨， （2分）⌝ P ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13．错误． （3分） （2）应为F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． （7分） 14．错误． （3分） 集合A 的最大元不存在，a 是极大元． （7分） 五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．（P ∨Q ）→（R ∨Q ）⇔⌝（P ∨Q ）∨（R ∨Q ） （4分） ⇔(⌝P ∧⌝Q )∨（R ∨Q ）⇔(⌝P ∨R ∨Q )∧(⌝Q ∨R ∨Q )⇔(⌝P ∨R ∨Q ) ∧R 合取范式 （12分） 16．R =∅, （2分） S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （4分） R •S =∅， （6分）R -1=∅， （8分） S -1= S ， （10分） r (R )=I A ． （12分） 17．（10分）权为1⨯3+2⨯3+2⨯2+3⨯2+4⨯2=27 （12分）六、证明题（本题共8分）18．证明：因为n 是奇数，所以n 阶完全图每个顶点度数为偶数， （3分） 因此，若G 中顶点v 的度数为奇数，则在G 中v 的度数一定也是奇数， （6分）ο οο ο ο ο ο ο ο 1 2 23 34 75 12所以G 与G 中的奇数度顶点个数相等． （8分）《离散数学》题库及答案二一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．若集合A ={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A ．2⊂A B ．{1}⊂AC ．1∉AD ．2 ∈ A2．已知一棵无向树T 中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为( )． A ．6 B ．4 C ．3 D ．53．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101110011000011100111110 则G 的边数为( )． A ．1 B ．7 C ．6 D ．144．设集合A ={a }，则A 的幂集为( )．A ．{{a }}B ．{a ，{a }}C ．{∅，{a }}D ．{∅，a }5．下列公式中 ( )为永真式．A ．⌝A ∧⌝B ↔ ⌝A ∨⌝B B ．⌝A ∧⌝B ↔ ⌝(A ∨B )C ．⌝A ∧⌝B ↔ A ∨BD ．⌝A ∧⌝B ↔ ⌝(A ∧B )二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．命题公式P P ⌝∧的真值是 ． 7．若无向树T 有5个结点，则T 的边数为 ．8．设正则m 叉树的树叶数为t ，分支数为i ，则(m -1)i = ．9．设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在R 中仅需加一个元素 ，就可使新得到的关系为对称的．10．(∀x )(A (x )→B (x ，z )∨C (y ))中的自由变元有 ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．12．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A到B的关系为f={<1, 3>}，则f是A到B的函数．14．设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图．五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．试求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．16．设A={{1}, 1, 2}，B={1, {2}}，试计算（1）（A∩B）（2）（A∪B）（3）A （A∩B）．17．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d }，E={ (a, b), (a, c) , (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}，对应边的权值依次为1、2、3、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．六、证明题（本题共8分）18．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．试题解答一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B 2．D 3．B 4．C 5．B二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．假（或F，或0）7．48．t-19．<2, 1>10．z，y三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．设P ：今天上课， （2分） 则命题公式为：P ． （6分） 12．设 P ：他去操场锻炼，Q ：他有时间， （2分） 则命题公式为：P →Q ． （6分） 四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13．错误． （3分） 因为A 中元素2没有B 中元素与之对应，故f 不是A 到B 的函数． （7分） 14．错误． （3分） 不满足“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v -6．” （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．（P ∨Q ）→（R ∨Q ）⇔ ┐(P ∨Q )∨（R ∨Q ） （4分）⇔ (┐P ∧┐Q )∨（R ∨Q ） （8分）⇔ (┐P ∧┐Q )∨R ∨Q （析取范式） （12分）16．（1）（A ∩B ）={1} （4分）（2）（A ∪B ）={1, 2, {1}, {2}} （8分） （3） A -（A ∩B ）={{1}, 1, 2} （12分）17．（1）G 的图形表示如图一所示：（3分）（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111101111011110 （6分） （3）最小的生成树如图二中的粗线所示：图一 ο ο ο ο a b c d1 124 53 图二ο ο ο ο a b cd1 1 2453（10分）权为：1+1+3=5 （12分）六、证明题（本题共8分）18．证明：设∀x∈A，因为R自反，所以x R x，即< x, x>∈R；又因为S自反，所以x R x，即< x, x >∈S．（4分）即< x, x>∈R∩S （6分）故R∩S自反．（8分）《离散数学》题库及答案三一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．若集合A＝{ a，{a}}，则下列表述正确的是( )．A．{a}⊆A B．{{{a}}}⊆AC．{a，{a}}∈A D．∅∈A2．命题公式（P∨Q）的合取范式是( )A．（P∧Q）B．（P∧Q）∨（P∨Q）C．（P∨Q）D．⌝（⌝P∧⌝Q）3．无向树T有8个结点，则T的边数为( )．A．6 B．7 C．8 D．9 4．图G如图一所示，以下说法正确的是( )．A．a是割点B．{b,c}是点割集C．{b, d}是点割集D．{c}是点割集图一5．下列公式成立的为( )．A．⌝P∧⌝Q ⇔P∨Q B．P→⌝Q⇔⌝P→QC．Q→P⇒ P D．⌝P∧(P∨Q)⇒Q二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A ={2, 3, 4}，B ={1, 2, 3, 4}，R 是A 到B 的二元关系，},{y x B y A x y x R ≤∈∈><=且且则R 的有序对集合为 ．7．如果R 是非空集合A 上的等价关系，a ∈A ，b ∈A ，则可推知R 中至少包含 等元素． 8．设G ＝<V , E >是有4个结点，8条边的无向连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．9．设G 是具有n 个结点m 条边k 个面的连通平面图，则m 等于 10．设个体域D ＝{1, 2}，A (x )为“x 大于1”，则谓词公式()()x A x ∃的真值为 三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分） 11．将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式． 12．将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式． 四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 是欧拉图．14．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元是f ．图二五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设谓词公式)),,()(),()((z x y B z y x A x ∀→∃，试（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元． 16．设集合A ={{1},1,2}，B ={1,{1,2}}，试计算（1）（A -B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．17．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4 }，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4) }，试 （1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形． 六、证明题（本题共8分）18．设A ，B 是任意集合，试证明：若A ⨯A=B ⨯B ，则A=B ．试题解答(供参考)一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．{<2, 2>，<2, 3>，<2, 4>，<3, 3>}，<3, 4>，<4, 4>} 7．<a , a >，< b , b > 8．5 9．n +k -210．真（或T ，或1）三、逻辑公式翻译（每小题4分，本题共12分）11．设P ：今天考试，Q ：明天放假． （2分） 则命题公式为：P ∧Q ． （6分）12．设P ：我去旅游，Q ：我有时间， （2分）则命题公式为：P →Q ． （6分） 四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13．错误． （3分）当图G 不连通时图G 不为欧拉图． （7分） 14．错误． （3分） 集合A 的最大元与最小元不存在，a 是极大元，f 是极小元，． （7分） 五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．（1）∃x 量词的辖域为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→， （3分）∀z 量词的辖域为),,(z x y B , （6分） （2）自由变元为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→中的y ， （9分）约束变元为x 与z ． （12分）16．（1）A -B ={{1},2} （4分）（2）A ∩B ={1} （8分） （3）A ×B={<{1},1>，<{1},{1,2}>，<1,1>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2, {1,2}>} （12分） 17．（1）G 的图形表示为(如图三)：（3分）图三 （2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110101111000100（6分） （3）v 1，v 2，v 3，v 4结点的度数依次为1，2，3，2 （9分） （4）补图如图四所示：（12分）图四六、证明题（本题共8分）18．证明：设x ∈A ，则<x ，x >∈A ⨯A ， （1分） 因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈B ⨯B ，则有x ∈B ， （3分） 所以A ⊆B ． （5分） 设x ∈B ，则<x ，x >∈B ⨯B ， （6分） 因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈A ⨯A ，则有x ∈A ，所以B ⊆A ． （7分） 故得A=B ． （8分）《离散数学》题库及答案四一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）二、填空题（每小题3分，本题共15分）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“如果他掌握了计算机的用法，那么他就能完成这项工作．”翻译成命题公式．12．将语句“前天下雨，昨天还是下雨．”翻译成命题公式．四、判断说明题（判断各题正误，并说明理由．每小题7分，本题共14分）五、计算题（每小题12分，本题共36分）六、证明题（本题共8分）试题答案《离散数学》题库及答案五一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）试题及答案《离散数学》题库及答案六一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）二、填空题（每小题3分，本题共15分）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“昨天下雨”翻译成命题公式．12．将语句“小王今天上午或者去看电影或者去打球”翻译成命题公式．四、判断说明题（判断各题正误，并说明理由．每小题7分，本题共14分）五、计算题（每小题12分，本题共36分）六、证明题（本题共8分）试题答案及评分标准（供参考）。

《计算机数学基础》(一)――离散数学期末复习参考一、关于期末考试1.本学期的结业考核由形成性考核和期末考核构成。

形成性考核由平时作业成绩构成, 占结业考核成绩的20%, 期末考核成绩占结业考核成绩的80%。

2.期末考核实行全国统一考核, 根据本课程考试说明, 由中央电大统一命题, 统一考核时间, 制定统一评分标准。

开办试点的地方电大组织考核。

期末考核的考核内容和要求以考核说明为准; 采用闭卷笔试, 试卷满分100分; 时限120分钟。

试题类型及分数: 单项选择题和填空题, 分数约占25％。

解答与计算题, 分数约占56％; 证明题, 分数约占19％。

3, 考核试卷分数分布: 第1编数理逻辑约30分, 第2编集合论约30分, 第3编图论约25分, 第4编代数系统约15。

4. 易、中、较难题目在试卷中占的比例是4: 4: 2。

二、各章重点考核内容第1章命题逻辑1．命题联结词真值真值表简单命题符号化2. 命题公式永真式永假式可满足式3. 公式等值演算(必须掌握公式基本等值式)4. 求范式 ( 用各种方法求合取范式、析取范式, 特别是主析取范式, 主合取范式等)5. 掌握逻辑推理的方法。

第2章谓词逻辑1. 谓词量词个体词个体域变元(约束变元、自由变元) 简单命题符号化2. 判别简单谓词公式的类型(永真式、永假式、可满足式)3. 求前束范式4. 有限个体域中, 求给定解释下的公式真值。

第3章集合及其运算1.集合元素全集空集幂集2. 集合的关系与运算3. 有序对和笛卡儿积第4章关系与函数1. 二元关系及其表示方法――集合方法、矩阵和图2.关系的运算和复合关系、逆关系3.二元关系的性质 (5条性质)4. 等价关系(等价类)与偏序关系 (哈斯图极大(小)元最大(小 )元5. 函数复合函数单射满射和双射, 求反函数第5章图的基本概念1. 图结点边有向图无向图简单图多重图完全图子图与生成子图结点度数握手定理及其推论2. 通路通路的长度初级(简单)通路回路初级(简单)回路点割集与割点边割集与桥连通图强(单测、弱)连通3. 关联矩阵邻接矩阵第6章几种特殊图1. 欧拉通路(回路) 欧拉图哈密顿通路(回路) 哈密顿图2. 平面图面的次数平面图相关定理(定理6～8)3. 树无向树有向树最小生成树根树最优树二叉树第7章群1. 代数运算以及运算性质单位元、逆元, 代数系统,2. 半群群及其性质子群3. 循环群交换群n元置换及置换群4. 群的同态与同构第8章其它代数系统1. 环与域, 环. 2. 格有界格有余格分配格3. 布尔代数三、各章基本问题第1章命题逻辑1. 命题符号化, 是否命题判断或求真值。

大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)一、选择题1. 离散数学的主要研究对象是（）。

A. 连续的数学结构B. 有限的数学结构C. 数学的综合应用D. 数学的哲学思考2. 命题逻辑是离散数学的一个重要组成部分，它主要研究（）。

A. 命题之间的真假关系B. 变量之间的关系C. 函数之间的关系D. 集合之间的关系3. 集合的基本运算包括（）。

A. 并、交、差、补B. 加、减、乘、除C. 包含、相等、不等、自反D. 大于、小于、等于、不等于二、填空题1. 若集合A={m|2m-1>3}，则A中的元素为______。

2. 有一个集合A={1，2，3}，则集合A的幂集为______。

3. 若命题p为真，命题q为假，则复合命题“p∧q”的真值为______。

三、解答题1. 请写出离散数学中常用的数学符号及其含义。

2. 请解释命题逻辑中的充分必要条件及其符号表示，并给出一个例子。

3. 请定义集合的笛卡尔积，并给出两个集合进行笛卡尔积运算的例子。

四、问答题1. 离散数学在计算机科学中有着重要的应用，请列举三个与计算机科学相关的离散数学应用领域并简要介绍。

2. 请简要解释归纳法在离散数学中的作用，并给出一个使用归纳法证明的例子。

3. 什么是有向图？请给出一个有向图的例子，并解释该图中的关系。

参考答案：一、选择题1. B2. A3. A二、填空题1. A={m|2m-1>3}2. {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}3. 假三、解答题1. 常用数学符号及含义：- ∪：并，表示集合的合并操作。

- ∩：交，表示集合的交集操作。

- ∖：差，表示减去一个集合中的元素。

- ⊆：包含，表示一个集合包含于另一个集合。

- =：相等，表示两个集合具有相同的元素。

2. 充分必要条件是指一个命题的成立与另一个命题的成立互为必要条件，若A是B的充分必要条件，那么当A成立时B一定成立，且当A不成立时B也一定不成立。

离散数学期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的子集个数是：A. 3B. 4C. 8D. 2^3答案：C2. 命题逻辑中，命题p∧(q∨¬p)的真值表中，真值个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 函数f: A→B中，若A={1, 2}，B={a, b}，则f是单射的必要条件是：A. |A| ≤ |B|B. |A| < |B|C. |A| = |B|D. |A| > |B|答案：B4. 以下哪个图是无向图？A. 有向图B. 无向图C. 完全图D. 树答案：B5. 在图论中，一个图的生成树是：A. 包含图中所有顶点的最小连通子图B. 包含图中所有边的最小连通子图C. 包含图中所有顶点和边的连通子图D. 包含图中所有顶点和边的无环子图答案：A6. 以下哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数B. 所有整数都是偶数C. 所有奇数都是整数D. 所有整数都是奇数答案：A7. 在布尔代数中，以下哪个运算符表示逻辑与？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B8. 有限状态机中，状态的转移是由以下哪个决定的？A. 当前状态B. 输入符号C. 当前状态和输入符号D. 输出符号答案：C9. 以下哪个是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 动态规划D. 分治算法答案：A10. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的交集？A. ∪B. ∩C. ×D. ÷答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的幂集是{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}，其中包含元素个数最多的子集是_。

答案：{1, 2, 3}2. 在命题逻辑中，如果p和q都为真，则p∨q的真值为_。

答案：真3. 函数f: A→B中，若A={1, 2}，B={a, b, c}，则f是满射的必要条件是_。

计算机数学基础试题及答案尊敬的读者，本文将为您提供一份计算机数学基础试题及答案。

希望通过这些试题的讨论和答案的解析，能够帮助您更好地理解和应用计算机数学基础知识。

试题一：离散数学1. 什么是二进制数？2. 请举例说明二进制数的运算规则。

3. 什么是排列组合？4. 请计算C(5,2)的值。

5. 请计算5!的值。

答案一：1. 二进制数是由0和1组成的数字系统，是计算机中常用的表示方式。

2. 以两个二进制数的加法为例，对应的运算规则如下：0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 （进位）3. 排列组合是离散数学中的一个重要概念，用于计算某个集合中元素的排列或组合方式的总数。

4. C(5,2)表示从5个元素中选出2个元素的组合数。

计算公式为C(5,2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 10。

5. 5!表示5的阶乘，计算公式为5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120。

试题二：线性代数1. 什么是向量？2. 请说明向量的加法和数乘规则。

3. 什么是矩阵？4. 请计算矩阵相乘的规则。

5. 请计算以下矩阵相乘的结果：A = [[1, 2], [3, 4]]B = [[5, 6], [7, 8]]答案二：1. 向量是有方向和大小的量，由一组按照特定顺序排列的数值表示。

2. 向量的加法规则是对应位置上的数值相加，数乘规则是将向量的每一个分量与一个数相乘。

3. 矩阵是由一组按行和列排列的数值组成的矩形阵列。

4. 矩阵相乘的规则是：若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，那么它们可以进行相乘运算。

结果矩阵的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。

5. 输入矩阵A和B的计算机执行矩阵相乘运算，结果为：AB = [[19, 22], [43, 50]]试题三：概率论与统计学1. 什么是概率？2. 请说明条件概率和贝叶斯公式。

3. 什么是均值和标准差？4. 请计算以下数据集的均值和标准差：[2, 4, 6, 8, 10]5. 请计算以下数据集的方差：[1, 3, 5, 7, 9]答案三：1. 概率是用来描述某个事件发生的可能性的数值。

离散数学期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）。

A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案：B2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是（）。

A. 若x≤0，则x≤1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤1，则x≤0答案：B3. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。

A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A4. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。

A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A5. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。

A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A6. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。

A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C7. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。

A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A8. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。

A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A9. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。

A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A10. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。

A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=______。

答案：{1,2,3,4}2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是：若x≤1，则x≤0。

离散数学期末复习要点与重点离散数学是计算机科学及其他相关学科中的一门重要的基础课程。

它主要研究离散的结构和对象，以及它们之间的关系和性质。

离散数学的核心内容包括集合论、关系、图论、布尔代数和逻辑等。

下面是离散数学期末复习的要点与重点。

一、集合论1.集合的基本概念，包括元素、子集、幂集、集合的运算等。

2.集合的性质，如交换律、结合律、分配律等。

3.集合的表示方法，包括列举法、描述法、特征函数法等。

4.集合的运算，如并、交、差、对称差等。

5.集合的关系，包括子集关系、相等关系、真子集关系等。

二、关系1.关系的基本概念，包括序偶、笛卡尔积、关系的定义等。

2.关系的性质，如自反性、对称性、传递性等。

3.关系的表示方法，包括关系矩阵、关系图、关系表等。

4.关系的运算，如复合、逆、幂等等。

5.等价关系和偏序关系的特性和性质。

6.关系的闭包，包括自反闭包、对称闭包、传递闭包等。

三、图论1.图的基本概念，包括顶点、边、路径、环等。

2.不同类型的图，包括无向图、有向图、简单图、多重图等。

3.图的表示方法，包括邻接矩阵、邻接表等。

4.图的遍历算法，包括深度优先（DFS）和广度优先（BFS）。

5. 最小生成树算法，包括Prim算法和Kruskal算法。

6. 最短路径算法，包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

四、布尔代数1.布尔代数的基本运算，包括与、或、非等。

2.布尔函数的最小项和最大项表示方法。

3.布尔函数的化简，包括代数化简和卡诺图化简。

4.布尔函数的特性，包括恒等律、零律、单位律等。

5.布尔函数的逻辑门电路实现，包括与门、或门、非门等。

五、逻辑1.命题逻辑的基本概念，包括命题、命题变量、逻辑联结词等。

2.命题逻辑的语法，包括命题公式的形式化定义和语法规则。

3.命题逻辑的证明方法，包括直接证明、间接证明、反证法等。

4.谓词逻辑的基本概念，包括谓词、量词、合取范式等。

5.谓词逻辑的语义，包括赋值、满足关系等。

离散数学复习资料离散数学复习资料离散数学是计算机科学和数学领域的重要基础课程，它涉及到离散结构和离散对象的研究，如集合论、图论、逻辑、代数和组合数学等。

在计算机科学领域，离散数学为算法设计、数据结构和计算机网络等问题提供了理论基础。

本文将为大家提供一些离散数学复习资料，帮助大家更好地掌握这门课程。

一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其元素之间的关系。

在集合论中，我们需要了解集合的定义、运算、关系和函数等基本概念。

此外，还需要熟悉集合的证明方法，如直接证明、间接证明、归谬证明等。

在复习集合论时，可以通过做一些练习题来加深理解，同时也可以查阅一些相关的教材和参考资料。

二、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图及其性质和应用。

图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。

在图论中，我们需要了解图的基本概念，如有向图和无向图、路径和回路、连通性和强连通性等。

此外，还需要掌握一些图的算法，如最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。

复习图论时，可以通过绘制图和解决一些图的实际问题来加深理解。

三、逻辑逻辑是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是推理和证明的规则。

在逻辑中，我们需要了解命题逻辑和谓词逻辑的基本概念，如命题、命题变量、逻辑连接词、真值表和推理规则等。

此外，还需要熟悉一些逻辑证明的方法，如直接证明、间接证明和数学归纳法等。

复习逻辑时，可以通过做一些逻辑推理题和证明题来提高逻辑思维能力。

四、代数代数是离散数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构和运算。

在代数中，我们需要了解集合的代数结构，如半群、幺半群、群、环和域等。

此外，还需要掌握一些代数运算，如集合的并、交和补运算，以及代数方程的求解方法。

复习代数时，可以通过做一些代数运算题和代数方程的求解题来加深理解。

五、组合数学组合数学是离散数学中的一个重要分支，它研究的是离散对象的组合和排列问题。

在组合数学中，我们需要了解组合和排列的基本概念，如组合数、排列数、二项式系数和多项式系数等。

离散数学期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设A={1,2,3,4,5}，B={2,3,5,7,11}，则A∩B等于（）A. {1,2,3,4,5}B. {2,3,5}C. {1,4}D. {2,3,5,7,11}2. 下面哪一个图是连通图？（）A. 无向图B. 有向图C. 平面图D. 连通图3. 若一个图G有n个顶点，e条边，则以下哪个条件是图G 为连通图的必要条件？（）A. n ≥ eB. n ≤ eC. n = eD. n + e = 24. 在一个简单图中，若每个顶点的度数都等于n-1，则该图是（）A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 平面图5. 以下哪一个命题是正确的？（）A. 每个图都有欧拉回路B. 每个连通图都有哈密顿回路C. 每个图都有哈密顿路径D. 每个连通图都有欧拉路径二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A={a,b,c}，B={1,2,3}，则A×B的结果是______。

7. 一个连通图的生成树包含______条边。

8. 在一个n阶完全图中，任意两个不同顶点之间的距离是______。

9. 一个图G的顶点集为V，边集为E，则图G的邻接矩阵表示为______。

10. 在一个简单图中，若每个顶点的度数都等于n-1，则该图的边数是______。

三、判断题（每题5分，共25分）11. 一个图的子图包含原图的所有顶点和边。

（）12. 一个连通图的所有顶点都连通。

（）13. 在一个简单图中，每个顶点的度数都小于等于n-1。

（）14. 每个图都有哈密顿路径。

（）15. 一个图G的生成树是原图G的子图。

（）四、解答题（共50分）16. （10分）设A={1,2,3,4,5}，B={2,3,5,7,11}，求A∪B 和A-B。

17. （10分）证明：一个连通图的每个顶点的度数都大于等于2。

18. （10分）给定一个图G，顶点集V={a,b,c,d,e}，边集E={ab,bc,cd,de,ac,ad}，求图G的所有连通分支。