云南中考数学《专项三压轴题》精讲教学案类型⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究

中考考点总动员之三轮冲刺聚焦考点+名师点睛+能力提升专题05 四边形讲练测模块一：平行四边形【例1】如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称____________．【难度】★【答案】答案不唯一，例：矩形，正方形，等腰梯形．【解析】考查常见的四边形的性质．【例2】下列判断错误的是( )A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】★【答案】C【解析】对平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质的考查．【例3】下列命题中，真命题是( )A．菱形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线互相垂直平分C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】★【答案】D【解析】考查菱形，矩形，正方形，平行四边形的性质．【例4】 如图，在ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，请添加一个条件________________，可得ABCD 是矩形．【难度】★【答案】BD AC =或90DAB ∠=︒．【解析】矩形是有一个角为直角的平行四边形，或者矩形是对角线平分且相等的四边形． 【总结】考查矩形的判定．【例5】 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列结论中正确的是( )A ．当AB = BC 时，四边形ABCD 是矩形 B ．当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是矩形 C ．当OA = OB 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当ABD CBD ∠=∠时，四边形ABCD 是矩形 【难度】★★ 【答案】C【解析】矩形是对角线平分且相等的四边形．【例6】 已知在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )A ．AC = BD ，AB // CD ，AB = CD B ．AD // BC ，A C ∠=∠ C ．AO = BO = CO = DO ，AC BD ⊥D ．AO = CO ，BO = DO ，AB = BC【难度】★★ 【答案】C【解析】正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形．【例7】 如果点K 、L 、M 、N 分别是四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且四边形KLMN 是菱形，那么下列选项正确的是( )A ．AB BC ⊥ B ．AC BD ⊥C ．AB BC =D ．AC BD =【难度】★★ 【答案】D【解析】连接AC 、BD ，点K 、L 、M 、N 分别是四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，所以得四边形KLMN 为平行四边形，又它为菱形则相邻两边相等，而邻边正 好是四边形ABCD 的对角线的中位线，所以AC=BD ．ABC DO【总结】考查三角形中位线定理的运用．【例8】 从①AB // CD ，②AD // B C ，③AB = CD ，④AD = BC 四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形ABCD 是平行四边形的概率是______．【难度】★★ 【答案】23． 【解析】四种选2中共有6种情况，两组对边平行的四边形、两组对边相等的四边形、一组对边平行且相等的四边形均是平行四边形，共有4种情况，所以概率是42=63．【总结】考查平行四边形的判定及概率的综合运用．【例9】 在平行四边形ABCD 中，BC = 24，AB = 18，ABC ∠和BCD ∠的平分线交AD 于点E 、F ，则EF =______．【难度】★★ 【答案】12．【解析】由平行线和角平分线可知△ABE 和△CDF 都是等腰三角形， 所以18AE AB ==，18DF DC ==， 所以18182412EF AE DF AD =+-=+-=．【总结】本题主要考查“平行线+角平分线推出等腰三角形”的基本模型的运用．【例10】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点O ，AO = CO ，AOD ADO ∠=∠，E是DC 边的中点．下列结论中，错误的是( ) A ．12OE AD = B ．12OE OB =C ．12OE OC =D ．12OE BC =【难度】★★ 【答案】DF EDCBAAB C D EO【解析】由AOD ADO ∠=∠得到AO OD =，又AO = CO ，得AO =AD =OC ， 因为O 、E 都是中点，所以OE 是中位线，即12OE AD =， 又90ABC ∠=︒且O 为中点，则AO =OC =OB ，所以A 、B 、C 正确，D 错误． 【总结】本题主要考查直角三角形的性质与三角形中位线的综合运用．【例11】 设边长为3的正方形的对角线长为a ．下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③34a <<；④a 是18的一个平方根．其中，所有正确说法的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④【难度】★★ 【答案】C【解析】勾股定理可得：a = 一对应，所以②是对的，故选C ．【总结】本题主要考查勾股定理及对实数的认识．【例12】 如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果AE = 2，ADE ∆的面积是4，四边形BCDE 的面积是5，那么AB 的长是______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】因为ADE C A A ∠=∠=∠，，所以ADEACB ∆∆．因为4ADE S ∆=，459ABC S ∆=+=，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：249ADE ABC S DE AB S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，得：23DE AB =，因为AE = 2，所以AB=3． 【总结】本题主要考查相似三角形的性质的运用．【例13】 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB // CD ，点E 是对角线AC 上一点，DEC ABC ∠=∠，且2CD CE CA =．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）分别过点E 、B 作AB 和AC 的平行线交于点F ，联结CF ，若FCE DCE ∠=∠， 求证：四边形EFCD 是菱形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵AB // CD ，∴BAC ECD ∠=∠， ∵DEC ABC ∠=∠，∴CDE ACB ∆~∆，∴CD CEAC AB=． ∴CD AB CE CA ⋅=⋅，又∵2CD CE CA =，∴AB =CD ， 又因为AB // CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形；（2）∵//AE BF ，//AB EF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴//AB EF 且AB EF =，又∵ABCD 为平行四边形，∴//AB CD 且AB CD = ∴//EF CD 且EF CD =，∴四边形EFCD 为平行四边形，∵//EF CD ，∴FEC ECD ∠=∠，∵FCE DCE ∠=∠，∴FEC FCE ∠=∠， ∴EF =CF ，∴四边形EFCD 为菱形．【总结】本题主要考查相似三角形与菱形性质的综合运用．【例14】 如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 在边AC 上，AD = BD =DE ，联结BE ，72ABC DBE ∠=∠=︒．（1）联结CE ，求证：CE = BE ；（2）分别延长CE 、AB 交于点F ，求证：四边形DBFE 是菱形．【难度】★★ 【答案】见解析．A B C DEO A BCD EF【解析】证明：（1）设DE 与BC 的交点为O ， ∵72ABC DBE ∠=∠=︒，AB = AC ，AD = BD =DE ，∴36ABD DBA DBC ∠=∠=∠=，72ABC ACB BDC DBE DEB ∠=∠=∠=∠=∠=， ∴BCD DBE ∆≅∆，∴DE =BC ，CD =DO =BO ，∴OC =OE ， ∴36CEO OCE CBE ∠=∠=∠=︒，∴BE =CE ．（2）∵36BDE CED ∠=∠=︒，∴//BD CF ，∵36ABD EDB ∠=∠=︒，∴//DE AB ， ∴四边形DBFE 为平行四边形，又∵BD =DE ，∴四边形DBFE 为菱形． 【总结】本题主要考查等腰三角形的性质与菱形判定的综合运用．【例15】 已知：如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = BC ，点E 在边AC 上，延长BC 至D 点，使CE = CD ，延长BE 交AD 于F ，过点C 作CG // BF ，交AD 于点G ，在BE 上取一点H ，使HCE DCG ∠=∠． （1）求证：BCE ∆≌ACD ∆； （2）求证：四边形FHCG 是正方形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵90ACB ACD ∠=∠=︒，CE =CD ，AC =BC ， ∴BCE ∆≌ACD ∆；（2）∵BCE ∆≌ACD ∆，∴CEB CDA ∠=∠，又∵HCE DCG ∠=∠，CE =CD ，∴CEH CDG ∆≅∆，∴CH =CG ， ∵HCE DCG ∠=∠且90ACB ∠=︒，∴90HCG CHF CGF ∠=︒=∠=∠，∴四边形FHCG 为矩形，又∵CH =CG ，∴四边形FHCG 为正方形． 【总结】本题主要考查矩形和正方形性质的综合运用．【例16】 如图，在四边形ABCD 中，AB // DC ，E 、F 为对角线BD 上两点，且BE = DF ，AF // EC ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）延长AF ，交边DC 于点G ，交边BC 的延长线于点H ，求证：AD DC BH DG =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵BE =DF ，∴BF =DF ， ∵//AB DC ，∴ABF EDC ∠=∠，BAF AGD ∠=∠，∵AF // EC ，∴AGD ECD BAF ∠=∠=∠，∴AFB CED ∆≅∆， ∴AB =CD ，且AB // DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形； （2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴HAB AGD ∆∆，∴AD DGBH AB=， 又∵CD =AB ，∴AD DC BH DG =．【总结】本题主要考查平行四边形的性质及相似的性质的综合运用．【例17】 如图，已知在矩形ABCD 中，过对角线AC 的中点O 作AC 的垂线，分别交射线AD 和CB 于点E 、F ，交边DC 于点G ，交边AB 于点H ．联结AF 、CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）如果OF = 2GO ，求证：2GO DG GC =．A BCDEF H【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AO =OC ，//AE DF ， ∴EOA FOC ∆≅∆，∴OE =OF ，又∵EF AC ⊥，且AO =OC ，∴四边形AFCE 为菱形；（2）∵四边形AFCE 为菱形，∴90EOC EDC ∠=∠=︒， ∵EGD CGO ∠=∠，∴EGDCGO ∆∆，∴DG GOEG CG=， ∵OF = 2GO =OE ，∴OG =EG ，∴2GO DG GC =． 【总结】本题主要考查矩形及菱形性质的综合运用．【例18】 已知：如图，Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中，90ABC CDE ∠=∠=︒，且BC 与CD 共线，联结AE ，点M为AE 中点，联结BM ，交AC 于点G ，联结MD ，交CE 于点H ． （1）求证：MB = MD ；（2）当AB = BC ，DC = DE 时，求证：四边形MGCH 为矩形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）过点M 作MN BD ⊥于N ，∵90ABC CDE ∠=∠=︒，且BC 与CD 共线，∴////AB MN DE ，又∵M 为AE 中点，∴N 也为BD 中点， ∴BM D ∆为等腰三角形，∴BM =MD ； （2）延长BM 交DE 延长线于点P ，∵//AB PE ，M 为AE 中点，∴AB =PE ，∵AB =BC ，DC =DE ，∴Rt ABC ∆和Rt CDE ∆都是等腰直角三角形，∴45CED ACB ∠=∠=︒， ∴CED P ∠=∠，ACB BDM ∠=∠，∴//CE BP ，//AC DM ，A BCDE M HN P∴四边形MGCH 为平行四边形，又∵90GMH ∠=︒，∴四边形MGCH 为矩形．【总结】本题主要考查等腰直角三角形性质和矩形判定的综合运用．【例19】 如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边BC 上，联结BE 、DF ，DF 交对角线AC于点G ，且DE = DG ． （1）求证：AE = CG ； （2）求证：BE // DF ．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）取AC 中点O ，连接DO∵AD =CD ，∴DO AC ⊥．又∵DE =DG ，∴EO =OG ，∴AE =CG ；（2）∵正方形ABCD ，∴45BAC ACD ∠=∠=︒，∵AE =CG ，AB =CD ，∴EAB CGD ∆≅∆，∴ABE GDC ∠=∠，又∵90DFC FDC EBC ABE ∠+∠=∠+∠=︒，∴DFC EBF ∠=∠，∴BE // DF ． 【总结】本题主要考查正方形性质的运用．【例20】 已知：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE = AF ，AEC AFC ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如图2，若AD = AF ，延长AE 、DC 交于点G ，求证：2AF AG DF =．（3）在第（2）小题的条件下，连接BD ，交AG 于点H ，若HE = 4，EG = 12，求AH 的长．A BCD E FOA BCD EF【难度】★★★ 【答案】略【解析】（1）∵AEC AFC ∠=∠， ∴AEB AFD ∠=∠，又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴B D ∠=∠，又∵AE = AF ，∴ABE ADF ∆≅∆，∴AB =AD ，∴四边形ABCD 为菱形； （2）∵四边形ABCD 为菱形，∴BAG AGD FAD ∠=∠=∠，又∵D D ∠=∠， ∴AFDGDA ∆∆，∴AD FDGA AD=，又∵AD =AF ，∴2AF AG DF =； （3）∵//AB DC ，//AD BC ，∴AH BH HG HD =，BH EH HD AH =，∴AH EHHG AH=， 又∵HE =4，EG =12，∴416AH AH=，∴AH =8． 【总结】本题主要考查菱形的性质及相似性质的综合运用．【巩固1】（2019春•浦东新区校级月考）已知四边形ABCD ，在①//AB CD ；②AD BC =；③AB CD =；④A C ∠=∠四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是( ) A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③【分析】根据平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有两组对边相互平行的四边形是平行四边形；即可得出结论．【解答】解：根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以选①③和①④； 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，选②③； 所以不能推出四边形ABCD 为平行四边形的是①②； 故选：A ．【巩固2】（2019春•浦东新区校级月考）在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，若10BD =，14AC =，那么BC 的取值范围为 ．【分析】根据平行四边形的性质可得BO 、CO 的长，然后再根据三角形的三边关系可得BC 的取值范围． 【解答】解：如图：四边形ABCD 是平行四边形，12BO BD ∴=，12CO AC =，10BD =，14AC =， 5BO ∴=，7CO =， 212BC ∴<<，故答案为：212BC <<．【巩固3】（2018春•浦东新区期中）如图，以BC 为底边的等腰ABC ∆，点D ，E ，G 分别在BC ，AB ，AC 上，且//EG BC ，//DE AC ，延长GE 至点F ，使得BE BF =． （1）求证：四边形BDEF 为平行四边形；（2）当45C ∠=︒，4BD =时，联结DF ，求线段DF 的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出ABC C ∠=∠，证出AEG ABC C ∠=∠=∠，四边形CDEG 是平行四边形，得出DEG C ∠=∠，证出F DEG ∠=∠，得出//BF DE ，即可得出结论；（2）证出BDE ∆、BEF ∆是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF BE ===作FM BD ⊥于M ，连接DF ，则BFM ∆是等腰直角三角形，由勾股定理得出2FM BM ===，得出6DM =，在Rt DFM ∆中，由勾股定理求出DF 即可．【解答】（1）证明：ABC ∆是等腰三角形， ABC C ∴∠=∠，//EG BC ，//DE AC ，AEG ABC C ∴∠=∠=∠，四边形CDEG 是平行四边形， DEG C ∴∠=∠，BE BF =，BFE BEF AEG ABC ∴∠=∠=∠=∠，F DEG ∴∠=∠， //BF DE ∴，∴四边形BDEF 为平行四边形；（2）解：45C ∠=︒，45ABC BFE BEF ∴∠=∠=∠=︒，BDE ∴∆、BEF ∆是等腰直角三角形，BF BE ∴=== 作FM BD ⊥于M ，连接DF ，如图所示： 则BFM ∆是等腰直角三角形，2FM BM ∴===， 6DM ∴=，在Rt DFM ∆中，由勾股定理得：DF即D ，F 两点间的距离为【巩固4】（2018•上海）已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A ．A B ∠=∠B ．AC ∠=∠C ．AC BD =D ．AB BC ⊥【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A 、A B ∠=∠，180A B ∠+∠=︒，所以90A B ∠=∠=︒，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B 、AC ∠=∠不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C 、AC BD =，对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；D 、AB BC ⊥，所以90B ∠=︒，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B ．【巩固5】（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该图形的高．如图2，菱形ABCD 的边长为1，边AB 水平放置．如果该菱形的高是矩形的宽的23，那么矩形的宽的值是 ．【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF x =，则23CF x =，根据勾股定理列方程可得结论． 【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC ， 设AF x =，则23CF x =， 在Rt CBF ∆中，1CB =，1BF x =-， 由勾股定理得：222BC BF CF =+，22221(1)()3x x =-+，解得：1813x =或0（舍)， 即它的宽的值是1813， 故答案为：1813．【巩固6】（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD CD =，E 是对角线BD 上一点，且EA EC =．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果BE BC =，且:2:3CBE BCE ∠∠=，求证：四边形ABCD 是正方形．【分析】（1）首先证得ADE CDE ∆≅∆，由全等三角形的性质可得ADE CDE ∠=∠，由//AD BC 可得ADE CBD ∠=∠，易得CDB CBD ∠=∠，可得BC CD =，易得AD BC =，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD 为平行四边形，由AD CD =可得四边形ABCD 是菱形；（2）由BE BC =可得BEC ∆为等腰三角形，可得BCE BEC ∠=∠，利用三角形的内角和定理可得1180454CBE ∠=⨯=︒，易得45ABE ∠=︒，可得90ABC ∠=︒，由正方形的判定定理可得四边形ABCD 是正方形．【解答】证明：（1）在ADE ∆与CDE ∆中， AD CD DE DE EA EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ADE CDE ∴∆≅∆，ADE CDE ∴∠=∠， //AD BC ， ADE CBD ∴∠=∠， CDE CBD ∴∠=∠，BC CD ∴=， AD CD =， BC AD ∴=，∴四边形ABCD 为平行四边形，AD CD =，∴四边形ABCD 是菱形；（2）BE BC =BCE BEC ∴∠=∠，:2:3CBE BCE ∠∠=，218045233CBE ∴∠=⨯=︒++，四边形ABCD 是菱形， 45ABE ∴∠=︒， 90ABC ∴∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形．【巩固7】（2019•杨浦区二模）已知：如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，连接HA 、HC ．求证：（1）四边形FBGH 是菱形； （2）四边形ABCH 是正方形．【分析】（1）由三角形中位线知识可得//DF BG ，//GH BF ，根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH 是菱形；（2）连结BH ，交AC 于点O ，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB OH =，OF OG =，又AF CG =，所以OA OC =．再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH 是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解．【解答】证明：（1）点F 、G 是边AC 的三等分点， AF FG GC ∴==．又点D 是边AB 的中点， //DH BG ∴．同理：//EH BF ．∴四边形FBGH 是平行四边形，连结BH ，交AC 于点O ， OF OG ∴=， AO CO ∴=，=，AB BC∴⊥，BH FG∴四边形FBGH是菱形；（2）四边形FBGH是平行四边形，=．∴=，FO GOBO HO==，又AF FG GC=．AF FO GC GO∴+=+，即：AO CO∴四边形ABCH是平行四边形．=，AC BH⊥，AB BC∴四边形ABCH是正方形．模块二：梯形【例21】顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是__________形．【难度】★【答案】菱形．【解析】连接对角线，得出新的四边形的每条边为对角线的中位线且分别平行对角线，得出四边形为平行四边形，由因为等腰梯形的对角线相等，所以新的四边形为菱形．【总结】本题主要考查三角形中位线的运用．【例22】如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为______．【难度】★【答案】3．【解析】梯形中位线等于上底加下底和的一半．【总结】本题主要考查梯形中位线的运用．【例23】梯形ABCD中，AD // BC，AD = 2，BC = 6，点E是边BC上的点，如果AE将梯形ABCD的面积平分，那么BE的长是______．【难度】★★【答案】4．【解析】设梯形的高为h，则1(26)42ABCDS h h=⨯+⨯=梯形，因为AE将梯形ABCD的面积平分，所以114222ABES BE h h h =⨯⨯=⨯=，所以4BE=．【总结】本题主要考查梯形的面积及三角形面积的运用．【例24】如果梯形ABCD中，AD // BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD = 1，BC = 3，那么四边形AEFD与四边形EBCF的面积比是______．【难度】★★【答案】35．【解析】因为EF为梯形ABCD的中位线，所以EF=2，又因为四边形AEFD与EBCF为梯形，且他们的高相等，所以面积之比等于123 235 +=+．【总结】本题主要考查梯形中位线及面积的综合运用．【例25】如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，已知AD = 2，4cot3ACB∠=，梯形ABCD的面积是9．（1）求AB的长；（2）求tan ACD∠的值．【难度】★★【答案】（1）3；（2）617．E D CBAA B CDH【解析】（1）设AB x =，则43BC x =，梯形面积等于42392x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，解得：3x =， 即AB 的长为3；（2）过D 作DH AC ⊥于H ，∵AD // BC ，∴ACB CAD ∠=∠，∴4cot cot 3CAD ACB ∠=∠=， ∴65DH =，85AH =，∵AC=5，∴175CH =， ∴6tan 17DH ACD CH ∠==． 【总结】本题主要考查梯形的面积与锐角三角比的综合运用．【例26】 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E 是边CD 的中点，点F 在边BC 上，EF // AB ． 求证：()12BF AD BC =+．【难度】★★ 【答案】略．【解析】取AB 的中点G ，连接EG ，∵点E 是边CD 的中点，∴EG 为梯形ABCD 的中位线，∴()12EG AD BC =+， 又∵//EF AB ，且//EG BC ，∴四边形BFEG 为平行四边形， ∴BF =EG ，∴()12BF AD BC =+．【总结】本题主要考查梯形的中位线和平行四边形性质的综合运用．【例27】 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，DC // AB ，AB >CD >AD ，90A ∠=︒，将纸片沿过点D 的直线翻折，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ，联结EF 并展开纸片；AB C D EF GAB C D EF GA BC DH（1）求证：四边形ADEF 为正方形；（2）取线段AF 的中点G ，联结GE ，当BG = CD 时，求证：四边形GBCE 为等腰梯形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵//CD AB ，∴90ADE A ∠=∠=︒， 由翻折性质，知ADF EDF ∆≅∆，∴90A DEF ∠=∠=︒， ∴四边形ADEF 为矩形，∵45ADF FDE ∠=∠=︒，∴DA =AF ， ∴四边形ADEF 为正方形；（2）连接DG ，EG ，∵BG =CD ，//AB CD ，∴四边形DGBC 为平行四边形，∴BC =DG ， 又∵AG =GF ，AD =EF ，90A EFA ∠=∠=︒，∴AGD FGE ≅，∴EG =DG ， ∴BC =EG ，∵//BG CE 且不相等，∴四边形GBCE 为等腰梯形．【总结】本题综合性较强，一方面考查翻折的性质，另一方面考查特殊的平行四边形的性质 的运用．【例28】 如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AC 、BC 边上的点，AE 与BD 交于点O ，且CD = CE ，12∠=∠．（1）求证：四边形ABED 是等腰梯形；（2）若EC = 2，BE = 1，21AOD ∠=∠，求AB 的长．【难度】★★★ 【答案】（1）略；（2）32． 【解析】（1）∵C C ∠=∠，CD = CE ，12∠=∠， ∴ACE BCD ∆≅∆，∴BC =AC ，∴AD =BE ，CAB ABC ∠=∠，∴ABC DEC ∠=∠，∴//DE AB ，又∵DE AB ≠，∴四边形ABED 为等腰梯形；A BC DE 1 2 O AB CD E FGA B CD E FG（2）∵四边形ADEB 为等腰梯形，∴ADE BED ∠=∠．∵12∠=∠，∴EDO OED ∠=∠，又∵21AOD ∠=∠，∴1ODE ∠=∠， ∴DE =BE =1，∵//DE AB ，∴DE EC AB BC =，∴32AB =． 【总结】本题一方面考查等腰梯形的判定，另一方面考查三角形一边平行线性质定理的运用．【例29】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，点D 在边BC 上，点E 在边AD 的右侧，联结CE ． （1）求证：60ACE ∠=︒；（2）在边AB 上取一点F ，使BF = BD ，联结DF 、EF ．求证：四边形CDEF 是等腰梯形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形， ∴60BAC DAE ∠=∠=︒，AB =AC ，AD =AE ， ∴BAD CAE ∠=∠，∴ABD ACE ∆≅∆， ∴60ACE ABC ∠=∠=︒；（2）∵CE =BD ，BF =BD ，60B ∠=︒，∴BDF ∆为等边三角形， ∴DF =BD =CE ，∵ACE ACB B ∠=∠=∠，∴120BCE ∠=︒， ∴180B BCE ∠+∠=︒，∴//BF CE ，∵BF =CE ，∴四边形BFEC 为平行四边形，∴//CD EF 且DF =CE ， ∴四边形CDFE 为等腰梯形．【总结】本题主要考查等边三角形的性质与等腰梯形判定的综合运用．【例30】 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，AD = BC ，E 是CD 的中点，BE 交AC 于F ，过点F 作FG // AB ，AB C D EF交AE 于点G ． （1）求证：AG = BF ；（2）当2AD CA CF =时，求证：AB AD AG AC =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AD BC =，D BCE ∠=∠．又∵E 是CD 的中点，∴DE =CE ，∴ADE BCE ∆≅∆，∴AE =BE ． ∵//GF AB ，∴EGF ∆和AEB ∆均为等腰三角形，∴AG =BF ； （2）∵AD =BC ，且2AD CA CF =，∴2BC CA CF =， 又∵BCF FCB ∠=∠，∴BCFACB ∆∆，∴AB ACBF BC=．又∵AD =BC ，AG =BF ，∴AB AD AG AC =． 【总结】本题主要考查等腰梯形性质与相性质的综合运用．【巩固1】（2018•青浦区一模）在梯形ABCD 中，//AD BC ，下列条件中，不能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是( )A ．ABC DCB ∠=∠ B ．DBC ACB ∠=∠C ．DAC DBC ∠=∠D ．ACD DAC ∠=∠【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可． 【解答】解：A 、ABC DCB ∠=∠， BD BC ∴=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；B 、DAC DBC ∠=∠，//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，DAC ACB ∠=∠， OBC OCB ∴∠=∠，OAD ODA ∠=∠OB OC ∴=，OD OA =，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；C 、ADB DAC ∠=∠，//AD BC ， ADB DAC DBC ACB ∴∠=∠=∠=∠，OA OD ∴=，OB OC =， AC BD ∴=， //AD BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；D 、根据ACD DAC ∠=∠，不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项正确．故选：D ．【巩固2】（2019•浦东新区二模）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米．【分析】根据梯形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：梯形的中位线长1(59)72=⨯+=（厘米）故答案为：7．【巩固3】（2019春•浦东新区期末）已知，在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AD =，6AB CD ==，60B ∠=︒，那么下底BC 的长为 ．【分析】首先过A 作//AE DC 交BC 与E ，可以证明四边形ADCE 是平行四边形，进而得到4CE AD ==，再证明ABE ∆是等边三角形，进而得到6BE AB ==，从而得到答案． 【解答】解：如图，过A 作//AE DC 交BC 与E ， //AD BC ，∴四边形AECD 是平行四边形，5AD EC ∴==，AE CD =， 6AB CD ==，6AE AB ∴==，60B ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，6BE AB ∴==， 6511BC ∴=+=．故答案为：11．1．（2019春•嘉定区期末）如果平行四边形ABCD 两条对角线的长度分别为8AC m =，12BD cm =，那么BC 边的长度可能是( ) A ．2BC cm =B ．6BC cm =C ．10BC cm =D ．20BC cm =【分析】根据平行四边形的对角线互相平分确定对角线的一半的长，然后利用三角形的三边关系确定边长的取值范围，从该范围内找到一个合适的长度即可． 【解答】解：设平行四边形ABCD 的对角线交于O 点， 4OA OC ∴==，6OB OD ==，6464BC ∴-<<+ 210BC ∴<<， 6cm ∴符合，故选：B ．2．（2019春•浦东新区期中）下列条件中不能判定一定是平行四边形的有( ) A ．一组对角相等，一组邻角互补B ．一组对边平行，另一组对边相等C ．两组对边相等D ．一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．【解答】解：A 、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；B 、不能判定平行四边形，如等腰梯形；C 、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；D 、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；故选：B ．3．（2019春•杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，10AC =，24BD =，则AD = ．【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求AO 的长． 【解答】解：ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，1122BO DO BD ∴===，152AO CO AC ===，AB AC ⊥，13AD ∴，故答案为：13．4．（2019•嘉定区二模）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 的线段EF 与AD 、BC 分别交于点E 、F ，如果4AB =，5BC =，32OE =，那么四边形EFCD 的周长为 ．【分析】根据平行四边形的性质知，4AB CD ==，5AD BC ==，AO OC =，OAD OCF ∠=∠，AOE ∠和COF ∠是对顶角相等，根据全等三角形的性质得到 1.5OF OE ==，CF AE =，所于是得到结论．【解答】解：四边形ABCD 平行四边形，4AB CD ∴==，5AD BC ==，AO OC =，OAD OCF ∠=∠，AOE COF ∠=∠，()OAE OCF AAS ∴∆≅∆， 1.5OF OE ∴==，CF AE =，∴四边形EFCD 的周长ED CD CF OF OE =++++ED AE CD OE OF =++++ AD CD OE OF =+++45 1.5 1.5=+++12=．故答案为：12．5．（2019春•浦东新区校级月考）如图，在平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，28BC AB ==，点C 关于AD 的对称点为E ，连接BE 交AD 于点F ，点G 为CD 的中点，连接EG ，BG ，则BEG S ∆= ．【分析】如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM CD ⊥交CD 的延长线于M ．构建BEG BCE ECG BCG S S S S ∆∆∆=+-计算即可；【解答】解：如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM CD ⊥交CD 的延长线于M ．2BC AB =，BH CH =，60ABC ∠=︒，BA BH CH ∴==，ABH ∴∆是等边三角形，HA HB HC ∴==， 90BAC ∴∠=︒，30ACB ∴∠=︒，EC BC ⊥，180120BCD ABC ∠=︒-∠=︒， 60ACE ∴∠=︒，30ECM ∠=︒， 28BC AB ==，4CD ∴=，CN EN ==，EC ∴=EM =， BEG BCE ECG BCG S S S S ∆∆∆∴=+-11182224ABCD S =⨯⨯⨯⨯平行四边形==故答案为．6．（2019春•杨浦区期中）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为 ． 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB AE =；分两种情况：①当2AE =，4DE =时；②当4AE =，2DE =时；即可求出平行四边形ABCD 的周长． 【解答】解：如图所示：①当2AE =，4DE =时， 四边形ABCD 是平行四边形， 6BC AD ∴==，AB CD =，//AD BC ， AEB CBE ∴∠=∠，BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠，2AB AE ∴==，∴平行四边形ABCD 的周长2()16AB AD =+=；②当4AE =，2DE =时， 同理得：4AB AE ==，∴平行四边形ABCD 的周长2()20AB AD =+=；故答案为：16或20．7．（2019春•金山区期末）已知：如图，ABCD 中，AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，分别交边DC 、AB 于点E 、F ，求证：AE CF =．【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明ADE CBF ∆≅∆即可判断AE CF =． 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， DAB DCB ∴∠=∠，D B ∠=∠，AD BC =．AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，DAE BCF ∴∠=∠．()ADE CBF ASA ∴∆≅∆． AE CF ∴=．8．（2019春•杨浦区期中）在平行四边形ABCD 中，45A ∠=︒，BD AD ⊥，2BD =． （1）求平行四边形ABCD 的周长和面积； （2）求A 、C 两点间的距离．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出2AD BD ==，由勾股定理求出AB =行四边形的性质得出DC AB ==，2BC AD ==，即可得出平行四边形的周长和面积； （2）连接AC ，与BD 相交于点O ，由平行四边形的性质得出112OD BD ==，2AC AO =，由勾股定理求出OA ，得出AC =【解答】（1）解：90BD AD ADB ⊥∴∠=︒ 又45452A ABD AD BD ∠=︒∴∠=︒∴==，AB ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴==2BC AD ==，∴()22224ABCD C AB AD =+==平行四边形，224ABCD S AD BD ∴=⨯=⨯=平行四边形；（2）解：连接AC ，与BD 相交于点O ，如图所示：四边形ABCD 是平行四边形， ∴112OD BD ==，2AC AO =， 在Rt AOD ∆中，90ADO ∠=︒，∴OA∴AC =所以A 、C 两点间的距离为．9．（2018秋•黄浦区校级月考）已知：如图，在ABCD 中，4AC =，6BD =，CA AB ⊥，求ABCD 的周长和面积．【分析】依据平行四边形的对角线互相平分，即可得到2AO =，3BO =，再根据勾股定理即可得出AB 与BC 的长，进而得到ABCD 的周长和面积． 【解答】解：如图所示，4AC =，6BD =，2AO ∴=，3BO =，又CA AB ⊥，Rt AOB ∴∆中，AB ==Rt ABC ∴∆中，BC ，ABCD ∴的周长==，ABCD 的面积4AB AC =⨯=．10．（2018春•金山区期中）已知，如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 边上一点，F 为AB 边上一点，且CD BF =，以AD 为边作等边ADE ∆，联结EF 、FC ．求证： （1）ADC CFB ∆≅∆；（2）四边形EFCD 是平行四边形．【分析】（1）ACD ∆和CBF ∆中，已知的条件有：AC BC =，CD BF =，60ACD CBF ∠=∠=︒；根据SAS 即可判定两个三角形全等．（2）由（1）的全等三角形知：AD CF =，即DE CF AD ==；因此只需判断DE 与CF 是否平行即可，由（1）的全等三角形，可得DAC BCF ∠=∠，而60BCF ACG ∠+∠=︒，即60CAD ACG ∠+∠=︒；根据三角形外角的性质，可得60AGF CGD ∠=︒=∠，由此可判定//DE FC ，即可得出四边形CDEF 的形状． 【解答】证明：（1）ABC ∆为等边三角形， AC BC ∴=， 60ACD B ∠=∠=︒，CD BF =，()ACD CBF SAS ∴∆≅∆；（2）四边形CDEF 为平行四边形； ACD CBF ∆≅∆；DAC BCF ∴∠=∠，CF AD =；AED ∆是等边三角形； AD DE ∴=；CF DE ∴=①；60ACG BCF ∠+∠=︒； 60ACG DAC ∴∠+∠=︒；180()120AGC ACG DAC ∴∠=︒-∠+∠=︒； 120DGF AGC ∴∠=∠=︒；AED ∆是等边三角形；60ADE ∴∠=︒；180DGF ADE ∴∠+∠=︒；//CF DE ∴②；综合①②可得四边形CDEF 是平行四边形．11．（2018春•浦东新区期中）如图，ABCD 中，E 、F 是直线AC 上两点，且AE CF =． 求证：（1）BE DF =； （2）//BE DF【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可； （2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可． 【解答】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴=，//AD BC ， DAC BCA ∴∠=∠，DAF BCE ∴∠=∠， AE CF =， AF EC ∴=，在FAD ∆和ECB ∆中， AF CE FAD ECB AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()FAD ECB SAS ∴∆≅∆，BE DF ∴=；（2）FAD ECB ∆≅∆，F E ∴∠=∠，//BE DF ∴．12．（2018春•浦东新区期中）在平行四边形ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边ADE ∆和等边BCF ∆，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．【分析】由题意先证60DAE BCF ∠=∠=︒，再由SAS 证DCF BAE ∆≅∆，继而题目得证． 【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形， CD AB ∴=，AD CB =，DAB BCD ∠=∠．又ADE ∆和CBF ∆都是等边三角形，DE BF ∴=，AE CF =．60DAE BCF ∠=∠=︒． DCF BCD BCF ∠=∠-∠，BAE DAB DAE ∠=∠-∠，DCF BAE ∴∠=∠．()DCF BAE SAS ∴∆≅∆．DF BE ∴=．∴四边形BEDF 是平行四边形．13.（2017•上海）已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A ．BAC DCA ∠=∠B ．BAC DAC ∠=∠C ．BAC ABD ∠=∠ D ．BAC ADB ∠=∠【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A 、BAC DCA ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形；B 、BAC DAC ∠=∠，能判定四边形ABCD 是菱形；不能判断四边形ABCD 是矩形；C 、BAC ABD ∠=∠，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD 是矩形；D 、BAC ADB ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形；故选：C ．14．（2019•杨浦区三模）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，90BAD ∠=︒，BO DO =，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．90BCD ∠=︒C ．AB CD =D ．//AB CD【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分。

2018年云南中考数学压轴题专项精讲教学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5ykj.com 类型②图形面积存在性问题探究,备考攻略)．三角形面积的最大值“抛物线上的顶点，使之和一条定线段构成的三角形面积”的问题．“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题．“三边均动的动三角形面积最大”的问题．2．四边形面积的最大值“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大”的问题．“定四边形面积的求解”问题．3．图形运动过程中出现重叠部分的图形面积．．动点坐标与动线段，长度的转化不能较好理解．2．列出面积的表达式后，化简能力缺乏．3．对图形运动过程缺乏分析，遗漏答案．．过动点向y轴作平行线，找到与定线段的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标设好，转化为长度代入，利用二次函数最值进一步可得到题目要求出的最大值．2．先把动三角形分割成两个基本模型的三角形面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似．利用相似三角形的性质可表示出分割后的一个三角形的高．从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了．3．经过三角形的3个顶点构造矩形，利用矩形面积减去3个三角形面积．4．一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题，由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大．5．“定四边形面积的求解”问题：有两种常见解决的方案：方案：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；方案：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x 轴作垂线，或者把该点与原点连接起来，分割成一个梯形和一些三角形的面积之和，或几个基本模型的三角形面积的和，转化为一个开口向下的二次函数问题．．三角形面积已知抛物线三定点形成的三角形面积：抛物线与一条直线相交得出两个交点，联立方程组即可求出这两个点的坐标，再与抛物线上的顶点形成三角形，并求出这个三角形面积．已知抛物线上一动点与两定点形成的三角形面积：抛物线与一条直线相交得出两个交点，联立方程组即可求出这两个点的坐标，再在抛物线上求一动点与它们形成三角形，并求出这个三角形面积的最大值．三边都在变化的三角形的面积：两个动点沿两条直线运动与一个定点形成的三角形的面积最大值．2．四边形面积的最大值抛物线上的顶点，使之和另外三个定点构成的四边形面积：抛物线与两坐标轴的三个交点与顶点形成的四边形的面积．一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积：抛物线与两坐标轴的三个交点与另一动点形成的四边形的最大值．3．重叠部分的面积几何图形由于折叠、平移与一基本图形出现重叠部分，求重叠部分的图形面积．,典题精讲)◆三角形面积【例1】如图，一小球从斜坡o点抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝－x2＋4x刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x刻画．请用配方法求二次函数图象最高点P的坐标；小球的落点是A，求点A的坐标；连接抛物线的最高点P与点o，A得△PoA，求△PoA的面积；在oA上方的抛物线上存在一点m，△moA的面积等于△PoA的面积，请写出点m的坐标．【解析】配方法即可求得P点坐标；联立方程组可求点A的坐标；过点P作PB⊥x轴交oA于点B，可得点B的坐标，表示出PB的长，以PB为公共边求出两个三角形的面积之和即可；利用三角形同底等高的知识，过点P作Pm∥oA交抛物线于点m，保证两个三角形的高相等，从而面积相等．【答案】解：y＝－x2＋4x＝－＝－＋4＝－2＋4，∴最高点P的坐标为；点A的坐标满足方程组y＝－x2＋4x，y＝12x，解得x＝0，y＝0，或x＝72，y＝74，∴点A的坐标为72，74；如图，过点P作PB⊥x轴交oA于点B，则点B的坐标为，∴PB＝3.∴S△PoA＝S△oPB＋S△APB＝12×3×2＋12×3×32＝214；过点P作Pm∥oA交抛物线于点m，连接om，Am，则△moA的面积等于△PoA的面积，设直线Pm的解析式为y＝12x＋b，代入P，得12×2＋b ＝4，解得b＝3，∴直线Pm的解析式为y＝12x＋3，根据题意可列方程组y＝－x2＋4x，y＝12x＋3，解得x＝2，y＝4，或x＝32，y＝154，∴点m的坐标为32，154.【例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点c.求抛物线的解析式；点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段Bc上以每秒1个单位长度的速度向c点运动，其中一个点到达终点时，另一个也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？当△PBQ的面积最大时，在Bc下方的抛物线上存在点m，使S△cBm∶S△PBQ＝5∶2，求m点坐标．【解析】待定系数法求出二次函数解析式；设经过ts 时，可知PB＝6－3t，BQ＝t，B，c，则Bc＝5，过Q点作Qk⊥x轴于k点，利用三角形相似表示kQ的长度，从而表示出△PBQ的面积为二次函数，利用二次函数的最值即可求出面积最大值；根据的结果求出△cBm的面积，依据函数解析式表示出动点m的坐标，过m点作y轴的平行线交Bc 于N点，交x轴于R点，表示N的坐标，分割△cBm为两个三角形，列出方程即可求出答案．【答案】解：y＝ax2＋bx－3经过A，B，∴4a－2b－3＝0，16a＋4b－3＝0，解得：a＝38，b＝－34，∴y＝38x2－34x－3；设经过ts时，△PBQ面积最大．∴PB＝6－3t，BQ＝t，∵B，c，∴Bc＝5.过Q点作Qk⊥x轴于k点．∵oc⊥x轴，Qk⊥x轴，∴oc∥Qk，∴BkBo＝BQBc＝kQoc，即t5＝kQ3，∴kQ＝35t，∴S△BPQ＝12BP×kQ＝12×35t＝－9102＋910，∴当t＝1时，S△BPQ取最大值为910；当S△BPQ取最大值910时，S△cBm∶S△PBQ＝5∶2，即S△cBm＝94，∵m在抛物线上，且在Bc下方，设mt，38t2－34t－3，过m点作y轴的平行线交Bc于N点，交x轴于R点，设直线Bc的解析式为y＝kx＋b，代入B，c，得4k＋b＝0，b＝－3，解得k＝34，b＝－3，∴直线Bc解析式为y＝34x－3，∴N点坐标为t，34t－3，∴S△cmB＝S△cmN＋S△NmB＝12mN×oR＋12mN×BR＝12mN＝12mN×oB，∴94＝12×4×34t－3－38t2－34t－3，解得t1＝1，t2＝3，∴m11，－278，m23，－158.◆四边形面积【例3】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B 两点，B点坐标为，与y轴交于点c．求抛物线的解析式；点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPc的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPc的最大面积．【解析】由B，c两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；连接Bc，则△ABc的面积是不变的，过P 作Pm∥y轴，交Bc于点m，设出P点坐标，可表示出Pm的长，可知当Pm取最大值时△PBc的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPc的最大面积．【答案】解：把B，c两点坐标代入抛物线解析式，得9＋3b＋c＝0，c＝－3，解得b＝－2，c＝－3，∴抛物线解析式为y＝x2－2x－3；连接Bc，过P作y轴的平行线，交Bc于点m，交x轴于点H.在y＝x2－2x－3中，令y＝0，得0＝x2－2x－3，解得x＝－1或x＝3，∴A点坐标为，∴AB＝3－＝4，且oc＝3，∴S△ABc＝12AB&#8226;oc＝12×4×3＝6，∵B，c，∴直线Bc解析式为y＝x－3，设P点坐标为，则m点坐标为，∵P点在第四限，∴Pm＝x－3－＝－x2＋3x，∴S△PBc＝12Pm&#8226;oH＋12Pm&#8226;HB＝12Pm&#8226;＝12Pm&#8226;oB＝32Pm，∴当Pm有最大值时，△PBc的面积最大，则四边形ABPc 的面积最大，∵Pm＝－x2＋3x＝－x－322＋94，∴当x＝32时，Pmmax＝94，则S△PBc＝32×94＝278，此时P点坐标为32，－154，S四边形ABPc＝S△ABc＋S △PBc＝6＋278＝758，即当P点坐标为32，－154时，四边形ABPc的面积最大，最大面积为758.【例4】如图所示，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过点c，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D.求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为m，求四边形ABmD的面积；在y轴上找一点E，使S△ABE＝S四边形ABmD，求出点E的坐标．【解析】由c，D两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；求出顶点m的坐标，过点m作mN⊥x轴于点N，得出点N的坐标，把四边形ABmD分割成两个直角三角形，一个梯形，求出面积之和；设出点E的坐标，直接列方程求解．【答案】解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点D，c，∴c＝5，－9＋3b＋c＝8，解得b＝4，c＝5，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于点A，B，顶点为m，过点m作mN⊥x轴于点N，则N．∴S四边形ABmD＝SRt△AoD＋S梯形DoNm＋SRt△BmN ＝12×1×5＋12××2＋12×9×3＝30；∴四边形ABmD的面积为30；设点E的坐标为，则S△ABE＝12×6×|y|＝3|y|.∵S△ABE＝S四边形ABmD，∴3|y|＝30，解得y＝10，y2＝－10.∴点E的坐标为或．．如图，对称轴为直线x＝72的抛物线经过点A和B．求抛物线解析式及顶点坐标；设点E是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形oEAF 是以oA为对角线的平行四边形，求平行四边形oEAF的面积S与x之间的函数关系式；当中的平行四边形oEAF的面积为24时，请判断平行四边形oEAF是否为菱形．解：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线经过A，B两点且对轴为直线x＝72，∴－b2a＝72，36a＋6b＋c＝0，c＝－4，解得a＝－23，b＝143，c＝－4，∴抛物线的解析式为y＝－23x2＋143x－4，配方，得y＝－23x－722＋256，∴顶点坐标为72，256；设E点坐标为x，－23x2＋143x－4，S＝2×12oA&#8226;yE＝6－23x2＋143x－4即S＝－4x2＋28x－24；平行四边形oEAF的面积为24时，平行四边形oEAF可能为菱形，理由如下：当平行四边形oEAF的面积为24时，即－4x2＋28x－24＝24，化简，得x2－7x＋12＝0，解得x＝3或4，当x＝3时，Eo＝EA，平行四边形oEAF 为菱形；当x＝4时，Eo≠EA，平行四边形oEAF不为菱形．◆重叠部分面积【例5】如图①，在直角坐标系xoy中，直线l：y＝kx ＋b交x轴，y轴于点E，F.点B的坐标是，过点B分别作x 轴，y轴的垂线，垂足为A，c.点D是线段co上的动点，以BD为对称轴，作与△BcD成轴对称的△Bc′D.当∠cBD＝15°时，求点c′的坐标；当图①中的直线l经过点A，且k＝－33时，求点D由c到o的运动过程中，线段Bc′扫过的图形与△oAF重叠部分的面积．【解析】利用翻折变换的性质得出∠cBD＝∠c′BD＝15°，c′B＝cB＝2，进而得出cH的长，进而得出答案；首先求出直线AF的解析式，进而得出当D与o重合时，点c′与A重合，且Bc′扫过的图形与△oAF重合部分是弓形，求出即可．【答案】解：由题意得：△cBD≌△c′BD，∴∠cBD＝∠c′BD＝15°，c′B＝cB＝2，∴∠cBc′＝30°.如图①，作c′H⊥Bc于H，则c′H＝1，HB＝3，∴cH＝2－3，∴点c′的坐标为；如图②，∵A，k＝－33，∴代入直线AF的解析式y＝－33x＋b，∴b＝233，则直线AF的解析式为y＝－33x＋233，∴∠oAF＝30°，∠BAF＝60°，∵在点D由c到o的运动过程中，Bc′扫过的图形是扇形，∴当D与o重合时，点c′与A重合，且Bc′扫过的图形与△oAF重合部分是弓形，当c′在直线y＝－33x＋233上时，Bc′＝Bc＝AB，∴△ABc′是等边三角形，这时∠ABc′＝60°，∴重叠部分的面积是：60π×22360－34×22＝23π－3.图①图②2．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－34x2＋3x＋33交x轴于A，B两点，交y轴于点w，顶点为c，抛物线的对称轴与x轴的交点为D.求直线Bc的解析式；点E，F为x轴上两点，其中2&lt;m&lt;4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线与点E′，F′，交Bc于点m，N，当mE′＋NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RF′－RE′|值最大，请求出R点的坐标及|RF′－RE′|的最大值；如图②，已知x轴上一点P92，0，现以点P为顶点，23为边长在x轴上方作等边三角形QPc，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′，设△Q′P′G′与△ADc的重叠部分面积为S，当点Q′到x轴的距离与点Q到直线Aw的距离相等时，求S的值．图①图②解：y＝－3x＋63；如图①，∵点E，F，∴E′m，－34m2＋3m＋33，F′m＋2，－34m2＋43，∴E′m＝－34m2＋3m＋33－＝－34m2＋23m－33，F′N＝－34m2＋43－＝－34m2＋3m，∴E′m＋F′N＝－32m2＋33m－33，当m＝－332×－32＝3时，E′m＋F′N的值最大，∴E′3，1534，F′5，734，∴E′F′解析式为y＝－3x＋2734，∴R0，2734，根据勾股定理得：RF′＝10，RE′＝6，∴|RF′－RE′|max＝4；由题意，Q点在∠wAB的角平分线或外角平分线上，①如图②，当Q点在∠wAB的角平分线上时，Q′m＝Q′N＝3，Aw＝31，∵△RmQ′∽△woA，∴RQ′wA＝mQ′Ao，∴RQ′＝932，∴RN＝932＋3，∵△ARN∽△Awo，∴ANAo＝RNwo，∴AN＝2＋313，∴DN＝AD－AN＝4－2＋313＝10－313，∴S＝1313－209327；图③②如图③，当Q点在∠wAB的外角平分线上时，∵△Q′RN∽△wAo，∴Q′R＝932，∴Rm＝932－3.∵△RAm∽△woA，∴Am＝31－23，在Rt△Q′mP′中，mP′＝3Q′m＝3，∴AP′＝mP′－Am＝3－31－23＝11－313，在Rt△cP′S中，P′S＝32AP′＝32×11－313，∴S＝763－119312.www.5ykj.com。

四边形第二节矩形、菱形、正方形命题点1 矩形的性质及判定(省卷考查1次，曲靖考查1次)1. (’13普洱6题3分)矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为( )A. 16B. 12C. 24D. 202. (’13大理等八地州联考21题7分)已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)求矩形ADBE的面积．第2题图3. (’13西双版纳20题8分)如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°.(1)若∠ECF＝30°，CF＝8，求CE的长；(2)求证：△ABF≌△DEC；(3)求证：四边形BCEF是矩形．第3题图4. (’13昭通24题7分)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．第4题图5. (’15云南22题7分)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.M、N分别是AB、CD边的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求证：∠PNM＝2∠CBN；(2)求线段AP的长．第5题图命题点2 菱形的性质及判定(昆明考查1次，曲靖考查3次)1. (’14曲靖7题3分)如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC中点，连接AF、BE、CE、DF分别交于点M、N，四边形EMFN是( )A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 无法确定第1题图第2题图2. (’13曲靖7题3分)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC 交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF，则四边形AECF是( )A. 梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3. (’15昆明10题3分)第3题图如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA＝OB; ③∠ADB ＝∠CDB; ④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是( )A. ①②B. ③④C. ②③D. ①③4. (’15曲靖21题9分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OBEC是矩形；(2)若菱形ABCD的周长是410，tanα＝12，求四边形OBEC的面积．第4题图命题点3 正方形的性质及判定(昆明考查2次，曲靖考查2次)1. (’13昆明8题3分)如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A、B重合)，对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝AC；③PE2＋PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有( )A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个第1题图第2题图2. (’14昆明14题3分)如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是__________cm.3. (’13曲靖22题10分)如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE 于F，过点A作AG∥CF交DE于点G.(1)求证：△DCF≌△ADG；(2)若点E是AB的中点，设∠DCF＝α，求sinα的值．第3题图4. (’13红河22题7分)如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．第4题图命题点1 矩形的性质及判定1. B 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝OB ＝12AC ＝4，∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB ＝60°，于是△ABO 是等边三角形，则△ABO 的周长＝4×3＝12. 2. (1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，(1分)∴∠ADB ＝90°，(2分)∵四边形ADBE 是平行四边形， ∴平行四边形ADBE 是矩形．(3分)(2)解：∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝DC ＝6×12＝3，(4分) 在Rt△ACD 中， ∵AC ＝5，DC ＝3， ∴AD=＝4，(6分)∴S 矩形ADBE ＝BD ·AD ＝3×4＝12.(7分) 3. (1)解：在Rt△FEC 中， ∵∠ECF ＝30°，CF ＝8， ∴EF ＝12CF ＝4， 根据勾股定理得：CE=；(3分)(2)证明：∵AB ∥DE ， ∴∠A ＝∠D ，在△ABF 和△DEC 中，AB DE A D AF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△DEC (SAS)；(5分) (3)证明：∵△ABF ≌△DEC ， ∴BF ＝EC, ∠AFB ＝∠DCE ， ∴∠BFC ＝∠ECF ， ∴BF ∥CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形， 又∵∠CEF ＝90°，∴平行四边形BCEF 是矩形．(8分) 4. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴DC ∥AM ，∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME ， 又∵点E 是AD 边的中点，∴△NDE≌△MAE(AAS)，∴ND＝MA，又∵ND∥MA，∴四边形AMDN是平行四边形．(3分) (2)解：1.(4分)理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，若平行四边形AMDN是矩形，则DM⊥AB，即∠DMA＝90°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴AM＝12AD＝1.(7分)5. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD且AB＝CD，∠C＝90°，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴BM＝CN，BM∥CN，∴四边形MBCN是矩形，(1分)∴MN∥BC，∴∠MNB＝∠CBN. (2分)∵∠PNB＝3∠CBN，∴∠PNM＋∠MNB＝3∠CBN，∴∠PNM＝2∠CBN.(3分)(2)解：如解图，连接AN，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵MN∥BC，∴MN∥AD，∴∠ANM＝∠PAN. (4分)第5题解图∵MN⊥AB，且MN平分AB，∴AN＝BN，∴∠ANM＝∠BNM，∵∠PNM＝2∠CBN＝2∠BNM，∴∠PNA＝∠ANM，∴∠PAN＝∠PNA，∴PA＝PN. (5分)设PA＝x，则PD＝6－x，在Rt△PDN中，根据勾股定理得(6－x)2＋22＝x2，(6分)解得x＝103，即线段AP长为103.(7分)命题点2 菱形的性质及判定1. B 【解析】如解图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，E，F分别是AD，BC的第1题解图中点，∴AD∥BC，AE＝DE＝BF＝CF，∴四边形AECF、四边形DEBF都是平行四边形，∴BE∥DF，AF∥CE，∴四边形EMFN是平行四边形．又∵EM＝12DF，MF＝12EC，DF＝EC，∴EM＝FM＝EN＝NF, ∴四边形EMFN是菱形．一题多解：这个题还可以由轴对称性直接看出四边形EMFN是菱形．因为这个图形的对称轴既可以是MN所在直线，又可以是EF所在直线，根据它的对称性可知四边形EMFN的四条边都相等，因而它为菱形．2. C 【解析】菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∠AFE＝∠FEC，∵∠AOF＝∠EOC，∴△AOF≌△COE(AAS)，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．序号结论分析正误①由菱形对角线互相垂直得AC⊥BD √②由菱形性质可知对角线AC不一定等于BD，则OA＝OB不一定成立×③∵菱形的对角线平分一组对角，∴DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB √④只有当∠ABC＝60°时，△ABC才是等边三角形×4. (1)证明：∵∥，∥，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°，∴平行四边形OBEC是矩形．(4分)(2)解：∵四边形ABCD是菱形，周长是10∴AD＝141010OC＝OA，OB＝OD，在Rt△AOD中，设OA＝x，∵tanα＝OAOD＝12，∴OD＝2x，由OA2＋OD2＝AD2，得x2＋(2x)2＝2，解得x1＝v，x2(舍去)，则OC＝OA，OB＝OD＝.∴S四边形OBEC＝OB×OC＝4.(9分)命题点3 正方形的性质及判定1 B 【解析】②PM＋PN＝AC，结论正确，理由如下：延长NP交DA的延长线于点H，如解图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠HPM＝90°，∠H＝45°，∠HMP＝45°，∴△PHM是一个等腰直角三角形，∴PH＝PM，第1题解图①∴PM＋PN＝PH＋PN＝HN，∵AH∥CN，AC∥HN，∴四边形HNCA是一个平行四边形，∴HN＝AC，∴PM＋PN＝AC√③PE2＋PF2＝PO2，结论正确，理由如下：第1题解图②如解图②，连接EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四边形PFOE是矩形，∴PO＝EF，∵PE2＋PF2＝EF2，∴PE2＋PF2＝PO2√④△POF∽△BNF，结论错误，理由如下：在两个三角形中只有一对对顶角相等，都等于90°，∵点P是一个动点，∴△POF中的另外两个角的度数不固定，∴不一定相似×⑤结论正确，理由如下：如解图③，∵四边形ABCD是正方形，∴△APM是等腰直角三角形．∵△PMN∽△APM，第1题解图③∴△PMN是等腰直角三角形，∴PM＝PN，∴△AMP≌△BPN，∴AP＝BN，又∵△PBN是等腰直角三角形，∴PB＝BN.∴AP＝PB，∴点P是AB的中点√2. 12 【解析】设＝，＝＝6－，在Rt△中，由勾股定理可得：＋3＝(6－x )2，解得：x ＝94，∴EF ＝154.由于∠A ＝∠B ＝∠FEG ＝90°，∠AEF ＋∠BEG ＝∠BEG ＋∠EGB ＝90°，∴∠AEF ＝∠EGB ，∴△AEF ∽△BGE ，∴AF AE EF BE BG EG ==，即943＝1534BG EG =，∴BG ＝4，EG ＝5，∴△EBG 的周长＝3＋4＋5＝12.3. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，即∠ADG ＋∠CDF ＝90°，∵CF ⊥DG ，∴∠CFD ＝∠CFG ＝90°，∴∠CDF ＋∠DCF ＝90°，∴∠ADG ＝∠DCF ，(3分)∵AG ∥CF ，∴∠AGD ＝∠CFG ＝∠CFD ，在△DCF 和△ADG 中，AD CD ADG DCF AGD CFD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△DCF ≌△ADG (AAS)．(5分)(2)解：设AE ＝a ，则AD ＝AB ＝2a ，在Rt△DAE 中，DE==，∵△DCF ≌△ADG ，∴∠ADE ＝∠DCF ＝α，∴sin α＝sin∠ADE＝5AE DE ==.(10分) 4. 解：(1)四边形ACED 是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，即AD ∥CE ，∵DE ∥AC ，∴四边形ACED 是平行四边形．(3分)(2)由(1)知，BC ＝AD ＝CE ＝CD ，在Rt△BCD 中，令BC ＝CD ＝x ，则由勾股定理可得：x 2＋x 2＝82，(5分)解得x 1＝x 2＝－(不符合题意，舍去)，∴BE ＝2x ＝cm.(7分)。

第二节 矩形、菱形、正方形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2018·龙东)如图，在平行四边形ABCD 中，添加一个条件______________ __________________________________________，使平行四边形ABCD 是矩形．2．(2018·深圳)如图，四边形ACDF 是正方形，∠CEA 和∠ABF 都是直角且点E ，A ，B 三点共线，AB ＝4，则阴影部分的面积是______．3．(2018·湖州)如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若tan ∠BAC＝13，AC ＝6，则BD 的长是________.4．(2018·天水)如图所示，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O.若AC ＝6，BD ＝8，AE⊥BC，垂足为E ，则AE 的长为________．5．(2018·黔南州)已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是______． 6．(2017·丹东)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，M ，N 分别为边AB ，BC 的中点，连接MN ，若MN ＝1，BD ＝23，则菱形的周长为________．7．(2018·南通)如图，在△ABC 中，AD ，CD 分别平分∠BAC 和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD，若从三个条件：①AB＝AC ；②AB＝BC ；③AC＝BC 中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE 为菱形的是______(填序号)．8．(2018·重庆A 卷)下列命题正确的是( ) A ．平行四边形的对角线互相垂直平分 B ．矩形的对角线互相垂直平分 C ．菱形的对角线互相平分且相等 D ．正方形的对角线互相垂直平分9．(2018·天水)如图所示，点O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，OE∥AB 交AD 于点E.若OE ＝3，BC ＝8，则OB 的长为( )A ．4B ．5C.342D.3410．(2018·湘潭)如图，已知点E 、F 、G 、H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形11．(2018·日照)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，添加下列条件，不能判定四边形ABCD 是菱形的是( )A ．AB ＝AD B ．AC ＝BD C ．AC⊥BDD ．∠ABO＝∠CBO12．(2018·陕西)如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 和DA 的中点，连接EF 、FG 、GH 和HE ，若EH ＝2EF ，则下列结论正确的是( )A ．AB ＝2EF B ．AB ＝3EFC ．AB ＝2EFD ．AB ＝5EF13．(2018·恩施州)如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B. 8C ．10D ．1214．(2017·西宁)如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为( )A ．5B ．4C.342D.3415．(2018·内江)如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ，已知∠BDC ＝62°，则∠DFE 的度数为( )A ．31°B ．28°C ．62°D ．56°16．(2018·兰州)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，BE∥DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是( )A.7B.38C.78D.5817．(2018·宿迁)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE 的面积是( )A. 3B ．2C ．2 3D ．418．(2017·黔东南州)如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，FE⊥AB，AF ＝2AE ，FC 交BD 于O ，则∠DOC 的度数为( )A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．54°19．(2018·郴州)如图，在▱ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD 、BC 于E 、F ，连接BE 、DF.求证：四边形BFDE 是菱形．20．(2018·舟山)如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．21．(2018·新疆建设兵团)如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．22．(教材改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE.过点C 作BD的平行线交线段OE的延长线于点F，连接DF.求证：(1)△ODE≌△FCE；(2)四边形CODF是菱形．23．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝5，BD＝2，求OE的长．24．(2018·沈阳)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC 的平行线，两直线相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)若CE＝1，DE＝2，ABCD的面积是______．25．(2018·潍坊)如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE.(1)求证：AE＝BF；(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．1．(2018·武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是____________________．2．(2018·青岛)已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为________．线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE.若DE∥AC，计算AE 的长度等于______．4．(2018·安徽)矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE∽△DBC.若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为________．5．(2018·新疆建设兵团)如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，则MP ＋PN 的最小值是( )A.12B ．1C. 2D ．26．(2018·自贡)如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BM ，连接AM 并延长交CD 于点N ，连接MC ，则△MNC 的面积为( )A.3－12a 2 B.2－12a 2C.3－14a 2D.2－14a 27．(2018·扬州)如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DA ，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE.(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)若DC ＝10，tan ∠DCB＝3，求菱形AEBD 的面积．8．(2018·甘肃省卷)已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．9．(2018·南宁)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．10．(2018·南通)如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F.(1)求证：CF＝AB；(2)连接BD、BF，当∠BCD＝90°时，求证：BD＝BF.参考答案【基础训练】1．AC ＝BD 或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°或∠DA B ＝90°或AB⊥BC 等(答案不唯一)2.83.24.2455．2 3 6.8 7.②8．D 9.B 10.B 11.B 12.D 13.D 14.D 15.D 16.C17．A 18.A19．证明： ∵EF 垂直平分BD ，∴EB＝ED ，∴∠EDB＝∠EBD.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠FBD，∴△EBO≌△FBO(AAS)，∴EO＝OF ，∴EF 与BD 互相垂直平分，∴四边形BFDE 是菱形．20．证明： ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠D ＝∠C＝90°.∵△AEF 是等边三角形，∴AE＝AF ，∠AEF＝∠AFE＝60°，又∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD ，∴矩形ABCD 是正方形．21．(1)证明： ∵▱ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA＝OC ，OB ＝OD.∵AE＝CF ，∴OE＝OF.在△DOE 与△BOF 中∵⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠DOE＝∠BOF OE ＝OF，∴△DOE≌△BOF(SAS)；(2)解： 在四边形DEBF 中，∵OB＝OD ，OE ＝OF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵BD＝EF ，∴▱DEBF 是矩形．22．证明： (1)∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E 是CD 的中点，在△ODE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ODE＝∠FCE，DE ＝CE ，∠DEO＝∠CEF，∴△ODE≌△FCE(ASA)；(2)由(1)知△ODE≌△FCE.∴OD＝FC ，∵CF∥BD，∴四边形CODF 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴OC＝OD ，∴四边形CODF 是菱形．23．(1)证明： ∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD，∵AC 平分∠BAD，∴∠CAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD ＝CD.又∵AD＝AB ，∴AB＝CD ，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB＝AD ，∴▱ABCD 是菱形；(2)解： ∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，∴AC⊥B D ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ， ∴OB＝12BD ＝1. 在Rt△AOB 中，∠AOB＝90°. ∴OA＝AB 2－OB 2＝2.∴∠AEC＝90°.在Rt△AEC 中，∠AEC＝90°，O 为AC 的中点，∴OE＝12AC ＝OA ＝2. 24．(1)证明： ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°.∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED 是平行四边形，又∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED 是矩形；(2)解： 4.25．(1)证明： ∵四边形ABCD 为正方形，∴BA＝AD ，∠BAD＝90°，∵DE⊥AM 于点E ，BF⊥AM 于点F ，∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，∵∠ABF＋∠BAF＝90°，∠EAD＋∠BAF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，在△ABF 和△DEA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFA＝∠DEA，∠ABF＝∠EAD，AB ＝DA ，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴BF＝AE ；(2)解： 设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝2，∵四边形ABED 的面积为24，∴12x·x＋12x×2＝24， 解得x 1＝6，x 2＝－8(舍去)，∴EF＝x －2＝4.在Rt△BEF 中，BE ＝42＋62＝213，∴sin∠EBF＝EF BE ＝4213＝21313. 【拔高训练】1．30°或150° 2.342 3.2 3 4.3或655．B 6.C7．解：(1)证明： ∵平行四边形ABCD ，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BED，∠DAB＝∠EBF，∵点F 是AB 的中点，∴AF＝BF ，∴△ADF≌△BEF(AAS)，∴AD＝BE ，又∵AD∥BC，∴四边形AEBD 是平行四边形．∵DA＝DB ，∴平行四边形AEBD 是菱形；(2)解： ∵四边形AEBD 是菱形，∴AB⊥ED，∵平行四边形ABCD ，∴AB∥CD，∴ED⊥CD，在Rt△CDE 中，t an∠DCB＝3，DC ＝10，∴DE＝310，∵AB＝CD ＝10，∴菱形AEBD 的面积＝12AB·ED＝12×10×310＝15. 8．(1)证明： ∵点F ，H 分别是BC ，CE 的中点，∴FH∥BE，FH ＝12BE ，BF ＝CF ， ∴∠CFH＝∠CBG.又∵点G 是BE 的中点，∴FH＝BG.又∵BF＝CF ，∴△BGF≌ △FHC(SAS )；(2)解： 连接EF ，GH.当四边形EGFH 是正方形时，可知EF⊥GH 且EF ＝GH, ∵在△BEC 中，点G ，H 分别是BE ，EC 的中点，∴ GH＝12BC ＝12AD ＝12a ，且GH∥BC, ∴EF⊥BC.又∵AD∥BC, AB⊥BC，∴ AB＝EF ＝GH ＝12a ， ∴S 矩形ABCD ＝AB·AD＝12a·a＝12a 2. 9．(1)证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF ，∴△AEB≌△AFD(ASA)，∴AB＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)解： 如解图，连接BD 交AC 于O.∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，∴AC⊥BD，AO ＝OC ＝12AC ＝12×6＝3. ∵AB＝5，AO ＝3，∠AOB ＝90°，∴在Rt△AOC 中，由勾股定理得BO ＝AB 2－AO 2＝52－32＝4，∴BD＝2BO ＝8，∴S ▱ABCD ＝12AC·BD＝24. 10．证明： (1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE.∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠AEB＝∠CEF，∴△AEB≌△FEC(AAS)，∴AB＝CF；(2)如解图，连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC.∵由(1)知AB＝CF，AB∥CF，∴四边形ACFB是平行四边形，∴BF＝AC，∴BD＝BF.。