第一部分
一、案例名称：北方印染公司应如何合理使用技术培训费。
二、案例目的：确定培养方案，使企业增加的产值最多。
三、案例分析：由案例给出的信息，可以设十三个变量，分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、
x11、x12、x13。其分别代表的含义是，第一年由高中生培养初级工的人数，第二年由高中生培养初级工的人数，第三年由高中生培养初级工的人数，由高中生培养中级工的人数，由高中生培养高级工的人数，第一年由初级工培养中级工的人数，第二年由初级工培养中级工的人数，第三年由初级工培养中级工的人数，第一年由初级工培养高级工的人数，第二年由初级工培养高级工的人数，第一年由中级工培养高级工的人数，第二年由中级工培养高级工的人数，第三年由中级工培养高级工的人数。
为了更加直观的各个变量的含义，可以用如下表格展现各个变量的含义，以便于理解和分析。
根据培养一名初级工在高中毕业后需要一年，费用为1000元；培养一名中级工，高中毕业后第一年费用为3000元；培养一名高级工，高中毕业后第一年费用为3000元；由初级工培养为中级工需一年且费用为2800元；由初级工培养为高级工第一年且费用为2000元；由中级工培养为高级工需一年且费用为3600元。并且根据第一年的投资为55万。可以列出如下约束条件：
1000x1+3000x4+3000x5+2800x6+2000x9+3600x11≤
550000。
根据培养一名初级工在高中毕业后需要一年，费用为1000元；培养一名中级工，高中毕业后第二年费用为3000元；培养一名高级工，高中毕业后第一年费用为2000元；由中级工培养为高级工需一年且费用为3600元；由初级工培养为中级工需一年且费用为2800元；由初级工培养为高级工第一年且费用为2000元；由中级工培养为高级工需一年且费用为3600元。并且根据第二年的投资为45万。可以列出如下约束条件：
1000x2+3000x4+2000x5+2800x7+3200x9+2000x10+36 00x12≤450000。
根据培养一名初级工在高中毕业后需要一年，费用为1000元；由初级工培养为中级工需一年且费用为2800元；由中级工培养为高级工需一年且费用为3600元;培养一名中级工，高中毕业后第三年费用为1000元；培养一名高级工，高中毕业后第三年费用为4000元；由初级工培养为高级工第二年且费用为3200元。并且根据第三年的投资为50万。可以列出如下约束条件：
1000x3+1000x4+4000x5+2800x8+3200x10+3600x13≤500000。
根据公司有初级工226人，可以列出如下约束条件：x6+x7+x8+x9+x10≤226.
根据公司有中级工560人，可以列出如下约束条件：x11+x12+x13≤560。
根据在培的初级工不超过90人，可以列出如下约束条件：
x1,x2,x3≤90。
根据在培的中级工不超80人，可以列出如下约束条件：
x4+x6≤80,x4+x7≤80。
根据在培的高级工不超80人，可以列出如下约束条件：
x4+x8≤80,x5+x9+x11≤80,x5+x9+x10+x12≤80。又根据培养出的每个初级工可为公司增加产值1万元，每个中级工每年可为公司增加产值4万元，每个高级工可为公司增加产值5.5万元，可以列出目标函数表达式：y=10000（x1+x2+x3）+40000(x6+x7+x4+x8)+55000(x11+x9+x12+x10+x13)。
四、建立模型
综上分析可以得到如下的线性规划问题：
Max y=10000（x1+x2+x3）
+40000(x6+x7+x4+x8)+55000(x11+x9+x12+x10+x13) 约束条件：
①1000x1+3000x4+3000x5+2800x6+2000x9+3600x11≤550000
②
1000x2+3000x4+2000x5+2800x7+3200x9+2000x10+36 00x12≤450000
③1000x3+1000x4+4000x5+2800x8+3200x10+3600x13≤500000
④x6+x7+x8+x9+x10≤226
⑤x11+x12+x13≤560
⑥x1,x2,x3≤90
⑦x4+x6≤80
⑧x4+x7≤80
⑨x4+x8≤80
⑩x5+x9+x11≤80
⑾x5+x9+x10+x12≤80
⑿x5+x10+x13≤80
⑿x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13≥0
五、解决问题
（整数规划方法）
利用管理运筹学软件解决上述线性规划问题，得到如下结果：
软件模拟的图片：
由输出的结果：当x1=38，x6=80，x7=59，x8=77，x11=80，x12=79，x13=79，其余变量取0时，目标函数可以取得最大值22110000。
第二部分
线性规划
利用管理运筹学软件解决上述线性规划问题，得到如下结果
由显示的结果可知，变量的取值可为x1=38,x6=x11=x12=x13=80,x7=57.857，x8=75.714，其余变量均为0，此时目标函数可取得最优解22122840。但是此结果不符合实际情况，因此不能采用此方案
输出结果分析：
由各个变量的对偶价格可知在增大投资的情况下，若x6增加1会多带来12000元的产值，若x9增加1会多带来19000元的产值，x1每增加1会多带来10元的产值，x2和x3每增加1均会带来14,286元的产值。
由常数项的范围可知，第一年的最大投资为
