《管理运筹学》第二版案例题解(韩伯棠教授)

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。

决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。

s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124m a xx x x Z ++= s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ． 6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

韩棠伯管理运筹学习题答案韩棠伯管理运筹学习题答案韩棠伯是一位热爱学习的年轻人，对于管理运筹学这门课程也充满了兴趣。

每天晚上，他都会认真完成老师布置的学习题，以便更好地掌握这门学科的知识。

在这里，我们将为大家分享韩棠伯管理运筹学习题的答案。

第一题：线性规划韩棠伯在学习线性规划时，遇到了以下一道题目：某公司生产两种产品A和B，每个单位产品A的利润为10元，产品B的利润为15元。

产品A每个单位需要2个工时，产品B每个单位需要3个工时。

公司每天可用的总工时为60个。

问应该如何安排生产，才能获得最大利润？答案：设产品A的产量为x，产品B的产量为y。

根据题目中的条件，我们可以列出以下线性规划模型：目标函数：Maximize 10x + 15y约束条件：2x + 3y ≤ 60非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0通过求解这个线性规划模型，我们可以得到最大利润的产量分配方案。

第二题：排队论在学习排队论时，韩棠伯碰到了以下一道题目：某家餐厅有一个服务台，平均每小时有30名顾客到达，服务员平均每小时能为25名顾客提供服务。

问在稳定状态下，平均顾客等待时间是多少？答案：根据排队论的基本原理，我们可以使用排队模型来解决这个问题。

根据题目中的条件，我们可以得到以下参数：顾客到达率（λ）= 30人/小时服务率（μ）= 25人/小时利用排队模型中的公式，我们可以计算出平均顾客等待时间（Wq）：Wq = λ / (μ - λ)将具体数值代入公式，我们可以计算出平均顾客等待时间。

第三题：决策树在学习决策树时，韩棠伯遇到了以下一道题目：某公司要决定是否投资于一个新的项目。

如果投资成功，公司将获得300万元的利润；如果投资失败，公司将损失200万元。

根据市场分析，投资成功的概率为0.6，失败的概率为0.4。

问公司应该如何决策？答案：我们可以使用决策树来解决这个问题。

根据题目中的条件，我们可以绘制出以下的决策树：投资成功（0.6）/ \获得300万元损失200万元投资失败（0.4）/ \获得0万元损失200万元根据决策树，我们可以计算出投资的期望值，即投资成功的利润乘以成功的概率加上投资失败的利润乘以失败的概率。

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。

决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。

s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ． 6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

《管理运筹学》案例题解案例1：北方化工厂月生产计划安排解：设每月生产产品i （i=1，2，3，4，5）的数量为X i ，价格为P 1i ，Y j 为原材料j 的数量，价格为P 2i ，a ij 为产品i 中原材料j 所需的数量百分比，则：510.6j i ij i Y X a ==∑总成本：1521i i i TC Y P ==∑总销售收入为：511i i i TI X P ==∑目标函数为：MAX TP （总利润）=TI-TC 约束条件为：1030248002151×××≤∑=j j Y X 1+X 3=0.7∑=51i i XX 2≤50.05∑=51i i XX 3+X 4≤5X 1 Y 3≤54000 X i ≥0,i=1,2,3,4,5 应用计算工具求解得到：X 1=19639.94kg X 2=0kg X 3=7855.97kg X 4=11783.96kgX5=0kg最优解为：348286.39元案例2：石华建设监理工程师配置问题解：设X i表示工地i在标准施工期需要配备的监理工程师，Y j表示工地j在高峰施工期需要配备的监理工程师。

约束条件为：X1≥5X2≥4X3≥4X4≥3X5≥3X6≥2X7≥2Y1+Y2≥14Y2+Y3≥13Y3+Y4≥11Y4+Y5≥10Y5+Y6≥9Y6+Y7≥7Y7+Y1≥14Y j≥ X i （i=j，i=1,2, (7)总成本Y为：Y=∑=+71)12/353/7(ii iY X解得X1=5；X2=4；X3=4；X4=3；X5=3；X6=2；X7=2；Y1=9；Y2=5；Y3=8；Y4=3；Y5=7；Y6=2；Y7=5总成本Y=167案例3：北方印染公司应如何合理使用技术培训费解：变量的设置如下表所示，其中X ij为第i类培训方式在第j年培训的人数：第一年第二年第三年1.高中生升初级工X11X12X132.高中生升中级工X213.高中生升高级工X314.初级工升中级工X41X42X435.初级工升高级工X51X526.中级工升高级工X61X62X63则每年年底培养出来的初级工、中级工和高级工人数分别为：第一年底第二年底第三年底初级工X11X12X13中级工X41X42X21 +X43高级工X61X51 +X62X31 +X52+X63则第一年的成本TC1为：1000X11+3000X21+3000X31+2800X41+2000X51+3600 X61≤550000；第二年的成本TC2为：1000X12+3000X21+2000X31+2800X42+（3200 X51+2000X52）+3600X62≤450000；第三年的成本TC3为：1000X13+1000X21+4000X31+2800X43+3200 X52+3600X63≤500000；总成本TC= TC1 +TC2 +TC3≤1500000;其他约束条件为：X41 +X42 +X43+X51 +X52≤226；X61+X62 +X63≤560；X1j≤90 （j=1，2，3）；X21 +X41≤80；X21 +X42≤80；X21 +X43≤80；X31 +X51+X61≤80；X31 +X51+X52+X62≤80；X31 +X52+X63≤80；以下计算因培训而增加的产值Max TO=(X11+ X12+ X13) + 4(X41 +X42 +X21 +X43) +5.5(X61 +X51 +X62 +X31 +X52+X63);利用计算机求解：X11=38；X41=80；X42=59；X43=77；X61=80；X62=79；X63=79；其余变量都为0；TO=2211案例4：光明制造厂经营报告书设直径4.76、6、8、10和12的钢管的需求量分别是X1，X2，X3，X4，X5。

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。

决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。

s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ． 6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

运筹学（Operational Research）复习资料第一章绪论一、名词解释1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。

二、选择题1.运筹学的主要分支包括（ABDE ）A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划2. 最早运用运筹学理论的是（ A ）A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上第二章线性规划的图解法一、选择题/填空题1.线性规划标准式的特点：（1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位：（1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。

（2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。

（3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。

3.LP模型（线性规划模型）三要素：（1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。

5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。

6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。

7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A【解析】：如何判断是凸集？凸集：两点之间连线在图内凹集：两点之间连线在图外8. 线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时CA没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解9. 对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ）A. 线性规划问题可能没有可行解B. 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域C. 线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达D. 上述说法都正确第三章线性规划问题的计算机求解一、名词解释1.相差值：相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值。

运筹学（Operational Research）复习资料第一章绪论一、名词解释1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。

二、选择题1.运筹学的主要分支包括（ABDE ）A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划2. 最早运用运筹学理论的是（ A ）A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上第二章线性规划的图解法一、选择题/填空题1.线性规划标准式的特点：（1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位：（1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。

（2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。

（3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。

3.LP模型（线性规划模型）三要素：（1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。

5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。

6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。

7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A【解析】：如何判断是凸集？凸集：两点之间连线在图内凹集：两点之间连线在图外8. 线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时CA没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解9. 对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ）A. 线性规划问题可能没有可行解B. 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域C. 线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达D. 上述说法都正确第三章线性规划问题的计算机求解一、名词解释1.相差值：相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值。

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0 i b ，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。

s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

表1—15 某极大化问题的单纯形表7．用大M 法求解如下线性规划。

s .t . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≤++0,,101632182321321321321x x x x x x x x x x x x解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：s .t . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+++=+++=+++)6,,2,1(0101632182632153214321 i x x x x x x x x x x x x x i列出单纯形表x为“第i电站向第j城市分配的电量”（i=1,2; j=1,2,3），建立模型如下：解：设ijs .t . ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≤+≥+=+≤+≥+=++=++3,2,1;2,1,035027025032029045040023132313221221112111232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x ij10s .t . ⎪⎪⎪⎪⎩⎨=≥≤≤≤4,3,2,1,0,,101520)3()2()1()1(4)1(3)1(2i x x x x x x i i i 通过LINGO 软件计算得：44,12,0,20,10)2(1)2(1)1(3)1(2)1(1=====x x x x x ． 10．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。

决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。

s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124m a xx x x Z ++= s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ． 6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案汇总《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第一章线性规划（复习问题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（LP）是运筹学中最成熟的分支，也是运筹学中应用最广泛的分支。

线性规划在规划理论中属于静态规划。

它是解决有限资源优化配置问题的重要优化工具。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。

决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2.在解决线性规划问题时，可能会有几个结果。

哪个结果表明建模中存在错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最佳优势；（2）多重最优解：无限多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3.线性规划的标准形式是什么？松弛变量和剩余变量的管理意义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4.尝试解释线性规划问题的可行解、基本解、基本可行解和最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件这个问题的解叫做可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基础：与可行解对应的基础称为可行基础。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：5.使用表格单纯形法求解以下线性规划。

s.t.解决方案：标准化s.t.列出单纯形表00441b二万八千四百一十一/4一3/20－1/2二[8]六2一/81/8]/8六5/4/43/43/21/22/88/6(1/4/(1/8(13/2/(1/422806－221－因此，最佳解决方案是125，即－2．为何值及变，最佳值为6．表1―15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中当数量属于哪种类型时：（1）表中的解是唯一的最优解；（2）表中的解是无限最优解之一；（3）下一次迭代将是代替基变量（4）线性规划问题有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章线性规划（复习思考题）1.什么是线性规划线性规划的三要素是什么答：线性规划（Linear Programming, LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、LI标函数。

决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；U标函数是决策者希望实现的LI标，为决策变量的线性函数表达式，有的LI标要实现极大值，有的则要求极小值。

2.求解线性规划问题时可能出现儿种结果，哪种结果说明建模时有错误答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解：（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3.什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么答：线性规划的标准型是：LI标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项^>0, 决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“事”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4.试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件AX=b, X>0的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使訂标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：基可行解5.用表格单纯形法求解如下线性规划。

max Z = 4Xj + x2+ 2x3 8Xj + 3X2 +x3 <26xj + x 2 + 兀3 § 8 飞°解：标准化max Z = 4x t + x2 + 2x38xj + 3X2+x3 + x4 = 2< + x2 + x3 +x5 = 8列出单纯形表故最优解为X* = (0Q2Q6V ,即M = 09x2 = 0內=2 ,此时最优值为Z(X*) = 4 •6.表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中5<2,5心,〃为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以“代替基变量心；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

《管理运筹学》（第二版）课后习题与参考答案解析第1章 线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。

决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0 i b ，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。

32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表j c412i θB CB X b 1x2x3x4x5x0 4x 2 [8] 3 1 1 0 2/8 05x86 1 1 0 1 8/6 j σ41 2 0 0 4 1x 1/4 1 3/8 [1/8] 1/8 0 (1/4)/(1/8) 05x13/26 －5/4 1/4 －3/4 1 (13/2)/(1/4)j σ－1/2 3/2 -1/2 0 2 3x 2 8 3 1 1 0 05x6－2－2－11故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ． 6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。

决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项b，决策变量满足非负性。

≥i如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件0AX，的解，称为可行解。

b≥=X基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。

32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表j c412i θB CB Xb 1x2x3x4x5x0 4x 2 [8] 3 1 1 0 2/8 05x86 1 1 0 1 8/6 j σ41 2 0 0 4 1x 1/4 1 3/8 [1/8] 1/8 0 (1/4)/(1/8) 05x13/26 －5/4 1/4 －3/4 1 (13/2)/(1/4)j σ－1/2 3/2 -1/2 0 2 3x 2 8 3 1 1 0 05x6－2－2－11故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ．6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。