一个中学数学建模的简要案例--------教育储蓄问题

一个中学数学建模的简要案例--------教育储蓄问题我们以高中数学教学为背景, 介绍一个数学建模的教学的设计,它的问题设计是利用“教育储蓄”的素材，学习和应用数列和数列求和的知识。

它的教学目的是：使学生初步了解用数学建模方法解决生活中实际问题的过程，体会所学数学知识的应用价值和数学理论由于它的一般性和抽象性所带来的应用的广泛性。

培养学生关注并能发现生活中常见现象中的数学因素、数学问题，主动应用自己所学的数学知识去概括、抽象、解决问题的意识。

由于教育储蓄问题的特殊性，可以用这个问题来学习或复习、应用等差、等比数列的通项、求和等知识。

教与学的过程一种参考设计是：请学生个人或组成小组，利用课余时间调查有关“教育储蓄”的资料，事先可以让学生讨论需要了解的信息是什么，主要途径：网上主题词检索、各大银行直接询问。

以往的应用题常常是“没有源头”的，所需解决问题的信息都是已知的，不多不少，没有信息寻求、选择、加工的过程。

而解决实际问题的第一步应该是从寻求有关信息开始。

让学生交流、互相启发补充扩展他们取得的信息。

重点确认以下信息：教育储蓄的适用对象：（在校中小学学生），储蓄类型和特点：（是“零存整取”的形式，但享受“整存整取”的利率，不扣利息税。

），最低起存金额：（人民币50元），每户存款本金的最高限额（人民币2万元），支取方式：（到3年期或到六年期，凭学校开出的在学证明一次支取本息），银行现行的各类、各档存款利率：（略），零存整取、整存整取的本息计算方法。

学生常常出现的问题是信息寻求时“丢三拉四”，用互相交流的方式常常可以改善这一点；同时，合作学习，合作解决问题的意识，也是我们特别要培养的东西。

3．请学生提出拟解决的问题，根据问题，在教师带领下，寻找适用的数学工具，建立相应的数学模型，如有：（1）依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少钱？（等差数列求和，公式应用模型）。

关于数学建模课程综合性教学内容的设计与研究胡京爽(青岛理工大学理学院，青岛 266033)1、引言数学建模课程的教学方法应当是丰富多彩的，主要的教学方法一般都是案例式教学，通过剖析各种各样的建模案例，让学生体会学习数学建模的实际过程，积累经验。

但是案例式教学内容不应当太过分散，不能完全就是一个一个案例讲解，而是应当从众多的案例中总结出蕴含在其中的某些共性和可遵循的规律，这种共性规律对于启发学生在解决类似问题时将会起到重要的作用。

存贮模型从最简单的微积分优化模型，到具有随机需求、随机供货以及多供应商的数学规划模型，通过详细解剖分析这些模型的特点，能让学生体会到从简单到复杂的循序渐进的建模过程；人口模型则是微分（常微和偏微）方程、差分方程、随机微分方程模型的综合体现，能够体现出利用客观的平衡规律，对同一个背景下的问题可以从不同的角度进行分析，用不同的数学理论与方法进行描述和求解的过程；0-1变量方法的使用则体现了数学建模方法中具有一定普遍意义的专门方法，用这种方法可以解决一系列的问题。

本文探讨的是在教学过程中，在学生掌握了一些基本的数学建模知识的基础上，如何设计教学内容，体现出数学模型方法的渐进性、灵活多样性、层次性、统一性等规律，让学生得到良好的建模实战训练，全面提高学生数学建模的综合素质和能力。

下面介绍三个实例，可以选为数学建模教学的参考案例。

2 教学案例及分析2.1 系列存贮优化模型存贮模型是一类重要的数学模型。

要根据市场需求量状况、存贮费用、订购费用、供货方的生产能力和供货时间、缺货的损失代价等，综合分析，确定使得费用最小或者使得盈利最大的计划。

该类模型类型丰富，层次分明，多种模型体现了有机的统一。

其数学理论方法涉及到简单的优化分析、综合的规划分析、随机优化分析等，特别是在计算离散数量的和时，用到了将离散和转换成定积分计算、并进而转换成计算几何图形面积的方法，在目标函数的构建上，利用平均值作为优化目标的建模方法等。

一、关于储蓄问题1.本金：存入银行的钱2.存期：存款的时间3.利率（年利率或月利率）＝利息本金4.利息（银行付给储户的酬金）=本金×利率×存期5.本息和= 本金+ 利息储户的实得利息收益是扣除利息税后的所得利息，利息税率为20％．练习1、小明于利率调整后把3500元的压岁钱按一年期定期存入银行，到期时他实得利息收益是多少元?2、小明在这次利率调整前有一笔一年期定期存款，到期时按调整前的年利率2.79％计息，本金与实得利息收益的和为2555．8元，问他这笔存款的本金是多少元?3、小明爸爸有一张利率调整前存入的10000元的一年期定期存款单，为获取更大的利息收益，想把这笔存款转存为利率调整后的一年期定期存款．问他是否应该转存?请说明理由．约定：①存款天数按整数天计算，一年按360天计算利息．②比较利息大小是指从首次存入日开始的一年时间内．获得的利息比较．如果不转存，利息按调整前的一年期定期利率计算；如果转存，转存前已存天数的利息按活期利率计算，转存后，余下天数的利息按调整后的一年期定期利率计算（转存前后本金不变）．解：1、3500×3.06％×80％= 85.68(元)，答：到期时他实得利息收益是85．68元．2、设他这笔存款的本金是x元，则x（1+2.79％×80％）=2555．8，解得x=2500，答：这笔存款的本金是2500元．3、设小明爸爸的这笔存款转存前已存了x天，由题意得l0000×x360×0.72％+10000×360-x360×3.06％>10000×2.79％解得x<41.5当他这笔存款转存前已存天数不超过41天时；他应该转存；否则不需转存二、营销问题概念1、打折：减价出售商品，通常称 “打折扣”出售，打几折就是按标价的几成出售。

（共10成）2、利润：商家在成本价的基础上提高价格出售，所赚的钱称为利润。

一元一次方程储蓄问题利用列一元一次方程解应用题，除了要掌握列一元一次方程的一般步骤外，还要能熟练掌握储蓄问题中的一些常用术语：①本金：顾客存入银行的钱；②利息：银行付给顾客的酬金；③本息和：本金与利息的和；④期数：存入的时间；⑤利率：每个期数内的利息与本金的比；⑥年利率：一年的利息与本金的比；⑦月利率：一个月的利息与本金的比；⑧从1999年11月1日起，国家对个人在银行的存款征得利息税：禾I」息税二利息X20%;⑨计算公式：利息二本金X利率X期数•等等.总之，我们在解决储蓄这样的问题时，要注意以下尖系：①对于教育储蓄这样的不纳利息稅的储蓄，利息二本金X利率X期数；本息和二本金 +利息二本金(1+利率X期数)；②对于需纳20%的利息稅的储蓄，利息二本金X利率X期数X (1- 20%)；本息和二本金+利息二本金+本金X利率X期数X(1- 20%)•只要很好地利用好这几个尖系，储蓄的问题就可很容易地变成刻画储蓄问题的一元一次方程・例1某段时间，银行一年定期存款的年利率为2.25%.向国家交纳利息税，一储户取一年到期的本金及利息时，交纳了利息税4・5元，问这储户一年前存入多少钱？分析从这个问题中可看出：所求的一年前存入多少钱是本金45元是利息税即利息X20%二本金X 利率X期数X 20%•其中期数二1年•年利$=2.25%所以，这个问题可利用本金、利息、利率、期数、利息稅之间的尖系列出一元一次求解•解设这储户一年前存入银行x元钱，根据题意，列出方程xX 2.25%X 1 X 20%二4.5解，得x二1000所以这个储户存入银行1000元钱.例2 一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息稅•例如，存入一年期100元，到期储户纳稅后所得的利息的计算公式为：税后利息二100X2.25%—100X225%X20%二100 X 2.25%(1- 20%)，已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到的利息450元，问该储户存入多少本金？分析由题意可知本金X年利率X(1- 20%)二450元，利用这个等量尖系，设出未知数就可列出一元一次方程・解设存入本金x元，根据题意，得2.25%(1—20%)x=450解这个方程，得x二25000所以该储户存入25000元本金.例3李明以两种形式储蓄了500元钱，一种储蓄年利率是5%，另一种是4%，一年后共得利息23元5角，两种储蓄各存了多少钱(不用纳利息税)？分析首先是待求的有两个未知数，我们需设出一个，另一个未知数借助于题中的条件用第一个未知数表示出来；其次要清楚利息二本金X利率X期数.解设年利率是5%的储蓄存了x元，则年利率是4%的储蓄存了(500 — x)元，根据题意，得x X 5%+(500—x)X 4%= 23.5解这个方程，得x二350500— x= 500- 350= 150所以年利率是5%和4%的储蓄分别存了350元和150元・例4为了使贫困学生能够顺利完成大学学业，国家设立了助学贷款・助学贷款分0.5~1年期、1〜3年期、3~5年期、5~8年期四种，贷款利率分别为5.85% 5.95%，6.03%，6.21%，贷款利息的50%由政府补贴，某大学生刚入学准备贷6年期的款，他预计6年后最多能够一次性还清20000元，他现在至多可以贷多少元(可借助计算器)？分析贷款和储蓄是两个正好相反的过程，这位大学生6年后最多能够一次还清20000元，这就意味着他现在贷的款到6年后的本息和为20000元，要注意这里有国家的优惠政策：贷款利息的50%都由政府补贴，于是此题的等量尖系为贷款(相当于本金)+贷款X 6.21 %x 6X 50%二20000元.解设现衽至多可以贷x元，根据题意，得x( 1+6.21%X 6X 50%)二20000. 借助于计算器，算得x〜16859元.所以该大学生至多可贷16859元.例5王叔叔想用一笔钱买年利率为2.89%的3年期国库券，如果他想3年后的本息和为2万元，现在应买这种国库券多少？分析购买国库券是为了支援国家建设，因此也无需纳利息稅・2万元二20000元是3年后的本息和，因此等量尖系为：现在买的国库券X (1+2.89%X 3)二20000.解设应买这种国库券x元，则(1+2.89%X 3)x= 20000利用计算器，解得x二18404.34342 ；根据实际意义x〜18405.所以王叔叔现在应买这种国库券18405元.例6我国股市交易中每买卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利多少元？分析衽股市市场每买卖一次都需交7.5%。

“教育储蓄”教学案例一、教学内容：北师大版七年级第一学期第五章〈一元一次方程〉§5.8教育储蓄二、教学准备：这是我2006年冬参加县教育局组织的教学能手大赛在xx中学借班上课的新课教学，由于对学生的情况完全不了解，对教学环境也陌生，我对该节课作了以下准备：1、认真备好课，预设好教与学的双边活动，预想县城学生对储蓄有一定的了解，预料学生对借班上课老师的反应。

2、制作好相关挂图，将要探究的问题和“理财设计”绘制成精美的挂图，并准备好相关用品。

3、课前半小时确定授课班级后，先向该班班主任虚心请教，大致掌握本班学生的基本情况；然后，简要的向该班数学老师了解学生的学习习惯和学生数学科的双基情况。

在条件有限时间有限的情况下，尽可能较多的了解关系课堂的因素。

4、在上课前几分钟，到课室走一圈，了解黑板的性能，确定自己所制作的挂图能否正常使用。

关注细节，确保课堂各个环节顺利进行。

5、调节情绪，以饱满的热情出现在学生面前，让学生信任自己，不由自主的配合自己，顺利有效完成教学任务。

三、教学目标：1、学生能理解教育储蓄的有关概念和计算公式；2、学生能构造方程解决有关计算问题；3、学生能掌握有关教育储蓄的各种储蓄方式及其计算。

4、学生在新课之后能有初步的理财意识。

四、教学过程：（一）导入新课通过热情的话语，引起同学们的专注，激发同学们的求知欲，营造轻松活跃的课堂氛围。

老师：同学们，大家好，我是来自上陵中学的老师，今天能与大家一起学习，我感到好荣幸。

首先，我有个问题问问大家：同学们到银行存过钱吗？有自己的储蓄吗？学生：有（有同学大声回答，但答话的人数不多）。

老师：有同学参加过教育储蓄吗？学生：？？？（同学们茫然的摇头，无人回答）。

老师：同学们，我相信三年后你们都会上高中，六年后都能上大学。

不知大家有没想过把自己的压岁钱零用钱节省下来，多为自己储存些费用呢？大家想不想多了解一些关于储蓄，特别是关于教育储蓄的知识呢？学生：想（同学们兴致高涨大声回答，期待的眼神让我也融入了班级之中）。

储蓄问题解决方案储蓄问题摘要本文就老人退休后办理活期存款问题展开，要求存入一定数额的存款，在计划的年数期间每月能够提取固定数额的提款，直到提尽为止。

通过对这一问题的分析讨论，建立了相应的数学模型。

本模型以银行现行的存取利率为依据，不考虑通货膨胀及利率变动影响，结合题中所给信息，从储蓄的目的、储蓄的过程以及储蓄的要求等角度进行合理的分析并建立相关数学模型。

在模型的建立与求解过程中运用了比较、目标方程求解等数学方法，然后通过matlab 软件进行分析，进而得出直观可靠的结论。

<1>该=本金+利息，利息=本金*利率*期数，某个月月末本利和=该月初本金*(1+利率)，以及相邻两个月份账户余额公式：1n +Y =n Y ⨯（1+利率）- 每月取款数额求得。

<2> 题目给出三种不同初始存款，要求分别分析出一年内账户余额的变化趋势。

我们在分析三种不同初始存款的过程中，根据目标方程 1n = 1Y =()1000%5.01-+C =005.11000-⨯C2n ≥ ()200000200000-005.1n n +⨯=C Y ，运用Matlab 软件绘制出三种不同初始存款一年内账户余额的变化趋势，得出直观可靠的结论。

<3> 根据题意分析知，存入一笔资金，保证20年用尽存款，则应满足以下公式：()0200000200000-005.1n =+⨯C ，由此公式得出结果。

关键词： 活期存款 本利和 月利率 目标方程 Matlab 软件一、 问题重述为了改善我国人口老龄化带来的养老难等一系列问题，我国政策推出，老人退休后可以办理活期存款账户，即在其退休后存入一笔存款，以便每月提取固定数额的提款，直到提尽为止，且保证在存款用尽之前，在计划的年数期间都能每月提款，以保障老年人拥有一个和谐的晚年生活。

二、 问题分析由题意分析知，老人退休后存入一笔存款C ,月利率为a ，老人每月提取固定数额b ，直到提尽为止，但要保证在存款用尽之前，在计划的年数m 期间都能每月提款。

列一元一次方程解应用题——储蓄问题题目描述小明存储蓄款的钱正在逐年增加。

他在银行存了一些钱，每年末会将这些钱按照固定的利率存到一个储蓄计划里。

储蓄计划的具体规定：每年末获得的利息，都会按照同样的利率，和这一年底总存款的总额一起再存入储蓄计划。

当第1年结束时，小明将1000元存入储蓄计划。

储蓄计划的利率是r%，第2年底时，小明的储蓄总额是a1元，第3年底时，小明的储蓄总额是a2元，以此类推。

在第n年底时，小明的储蓄总额是an元。

根据以上条件，编写应用题，求出第5年末小明的储蓄总额为6452.46元时，储蓄计划的利率是多少？解题思路如何利用已知数据计算第5年结束时的储蓄总额的利率呢？首先，我们可以列出方程：an = a{n-1} + r * a{n-1}其中，an 表示第n 年结束时总储蓄额，a{n-1} 表示第n-1 年结束时总储蓄额，r 表示储蓄利率。

我们已知第1年结束时的储蓄总额为 1000 元，那么：a1 = 1000同理，知道第5年结束时的储蓄总额为 6452.46 元。

所以，列出方程：6452.46 = a4 + r * a4此时，我们需要解出方程中的未知数 r。

将 a4 展开后，方程则变为：6452.46 = (a3 + r * a3) + r * (a3 + r * a3) = 2 * r * a3 + a3继续展开，得到：6452.46 = (2 * r + 1) * a3由此，我们可以求出 r：r = (6452.46 / a3 - 1) / 2那么，如何求出 a3 呢？我们可以通过类似的方式来递推得到 a5，然后反推回a3，举个例子：a5 = a4 + r * a4a5 = a3 + r * a3 + r * a4a4 = a3 + r * a3将 a4 代入上式，得到：a5 = a3 + r * a3 + r * (a3 + r * a3)a5 = a3 + 2r * a3 + r^2 * a3a5 = a3 * (r^2 + 2r + 1)由此，我们可以求得：a3 = a5 / (r^2 + 2r + 1)将 a3 的值代入上面求得 r 的方程中即可求出 r 的值。

摘要本文主要探讨解决订货与存储问题，属于典型的存贮问题，并建立模型以得到最优订货方案。

所谓最优订货方案是指在满足市场需求并充分发挥存货功能的基础上使存货成本最低。

模型以存货成本最低为目标，建立起其与相关变量之间的函数关系得到目标函数。

进而，通过MATAL程序实现，并得出目标函数最优解，即最优订货方案。

关键词：经济批量订货；订货成本，成本利率解决订货与存储问题的最优方案设计（一）．问题的重述太原某食品加工厂每星期食用油的消耗量为80桶，每桶食用油的价格是250元。

在每次采购中的固定费用为580元，该费用与采购数量的大小无关，订购的食用油可以即时送达。

工厂财务成本的利率以每年15%计算，保存每桶食用油的库存成本为每星期11元。

根据题目要求，需要解决以下几个问题：（1）目前的方案是每次采购够用两个星期的食用油，计算这种方案下的平均成本。

（2计算最优订货量及相应的平均成本。

（3）若食用油供应商为推出促销价格：当食用油的一次购买量大于500桶时，为220元/桶，计算最优订货量及相应的平均成本。

（二）．问题的分析（1）计算以两周为周期的采购方案下的平均成本。

（2）通过典型的存贮模型来求出最优订货量及相应的平均成本。

（3）在典型的存贮模型中改进来建立批量采购模型，计算最优订货量及相应的平均成本。

（三）．模型建立与求解模型一：不允许缺货，补充时间极短。

为了便于分析和描述，对模型作如下假设：（1）需求是连续的，即单位时间（每周）的需求量是常数R；（2）不补充可以瞬时实现，及补充时间近似为零；（3）单位储存费用为C1，由于不允许缺货，故单位缺货C2为无穷大，订货固定费为C3，货物单价为K.订货费采用t-循环策略。

设订货周期为t ，订货时贮存已用尽，每次订货量为Q 。

则每次订货量Q 满足T 实间的需求，则Q=Rt 。

那么订货费为3C KRt +，t 时间内的平均订货费为：3C KRt t+ 由于需求是连续均匀的，故时间t 内的平均存贮费量为：0112t RTdT Rt t =⎰ 因此，t 时间内的平均存贮费为11C 2Rt 由于不允许缺货，故不考略缺货费用。

储蓄问题模型建模人：王旭辉老年人退休后办理活期存款账户分析摘要本文考虑的是储蓄问题。

本题影响储蓄的因素主要有初始存款额、月利率、每月提款额与存取时间。

我在模型中因为月利率与月存款额都是固定的，所以只考虑初始存款额和存取时间对本题要求的账户余额以及初始存款进行分析解决。

根据此模型得到初始存款在月利率%5.0、每月提款额为1000元情况下初始存款N月后账户余额数。

老人退休办理活期存款账户对自身养老是很有必要的，因此活期存款储蓄问题能反应储蓄的现实，符合存款人的迫切需求，分析结果更实用。

本文从第n月后账余额与初始存款的关系入手，得出了问题——相邻两个月账户余额关系式；账户余额涉及到初始存款额和存取时间，由多个相邻账户余额关系式观察得出账户余额与初始存款和存取时间的关系式，其中用到求等比数列的前n项和公式q-1q1aS n1 n）（-⨯=。

根据n月后账户余额公式利用MATLAB软件对问题二提出的三种初始存款分析出一年内的账户余额变化趋势，画散点图加以直观表示；问题三同样根据n月后账户余额公式求解出初始存款额以保证20年用尽存款。

通过对以上模型的分析与求解，得到了较为合理的预测结果。

关键词储蓄问题账户余额初始存款 MATLAB 散点图一、问题的提出老人退休后办理活期存款账户，便于每月提取固定数额的提款，直到提尽为止，这对老人养老是个必要的保障，为长远考虑就必须在退休后办理活期存款账户并存入一笔存款并保证在存款用尽之前，在计划的年数间都能每月提款。

现给出月利率为%5.0，每月提款额为1000元，需要我们利用所给数据和问题建立第n 月后账户余额与初始存款的数学模型，并由此对老年人活期存款问题进行分析解决。

二、问题分析本题是关于老年人办理活期存款账户问题。

我们首先从相邻两个月账户余额关系式入手，得出相邻两个月账户余额关系式，并利用此关系式建立存款n 月后账户余额与初始存款和存取时间的数学模型——200000)200000(005.1y +-⨯=c n n 。