大学物理习题解答3第三章热力学

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第三章热力学第二定律3.1卡诺热机在（1）热机效率；（2）当向环境作功。

解：卡诺热机的效率为时，系统从高温热源吸收的热及向低温热源放出的热的高温热源和的低温热源间工作。

求根据定义3．2卡诺热机在（1）热机效率；（2）当从高温热源吸热解：(1)由卡诺循环的热机效率得出时，系统对环境作的功的高温热源和的低温热源间工作，求：及向低温热源放出的热（2）3．3卡诺热机在（1）热机效率；（2）当向低温热源放热解：（1）时，系统从高温热源吸热及对环境所作的功。

的高温热源和的低温热源间工作，求1(2)3．4试说明：在高温热源和低温热源间工作的不可逆热机与卡诺机联合操作时，若令卡诺热机得到的功wr等于不可逆热机作出的功－w。

假设不可逆热机的热机效率大于卡诺热机效率证：（反证法）设ηir>ηr不可逆热机从高温热源吸热则，向低温热源放热，对环境作功，其结果必然是有热量从低温热源流向高温热源，而违反势热力学第二定律的克劳修斯说法。

逆向卡诺热机从环境得功则从低温热源吸热向高温热源放热若使逆向卡诺热机向高温热源放出的热不可逆热机从高温热源吸收的热相等，即总的结果是：得自单一低温热源的热，变成了环境作功，违背了热力学第二定律的开尔文说法，同样也就违背了克劳修斯说法。

23．5高温热源温度低温热源，求此过程。

，低温热源温度，今有120KJ的热直接从高温热源传给解：将热源看作无限大，因此，传热过程对热源来说是可逆过程3.6不同的热机中作于情况下，当热机从高温热源吸热（1）可逆热机效率（2）不可逆热机效率（3）不可逆热机效率解：设热机向低温热源放热。

物理化学第三章课后答案完整版第三章热⼒学第⼆定律3.1 卡诺热机在的⾼温热源和的低温热源间⼯作。

求（1）热机效率；（2）当向环境作功时，系统从⾼温热源吸收的热及向低温热源放出的热。

解：卡诺热机的效率为根据定义3．2 卡诺热机在的⾼温热源和的低温热源间⼯作，求：（1）热机效率；（2）当从⾼温热源吸热时，系统对环境作的功及向低温热源放出的热解：(1) 由卡诺循环的热机效率得出（2）3．3 卡诺热机在的⾼温热源和的低温热源间⼯作，求（1）热机效率；（2）当向低温热源放热时，系统从⾼温热源吸热及对环境所作的功。

解：（1）(2)3．4 试说明：在⾼温热源和低温热源间⼯作的不可逆热机与卡诺机联合操作时，若令卡诺热机得到的功r W 等于不可逆热机作出的功－W 。

假设不可逆热机的热机效率⼤于卡诺热机效率，其结果必然是有热量从低温热源流向⾼温热源，⽽违反势热⼒学第⼆定律的克劳修斯说法。

证：（反证法）设 r ir ηη>不可逆热机从⾼温热源吸热，向低温热源放热，对环境作功则逆向卡诺热机从环境得功从低温热源吸热向⾼温热源放热则若使逆向卡诺热机向⾼温热源放出的热不可逆热机从⾼温热源吸收的热相等，即总的结果是：得⾃单⼀低温热源的热，变成了环境作功，违背了热⼒学第⼆定律的开尔⽂说法，同样也就违背了克劳修斯说法。

3．5 ⾼温热源温度，低温热源温度，今有120KJ的热直接从⾼温热源传给低温热源，求此过程。

解：将热源看作⽆限⼤，因此，传热过程对热源来说是可逆过程3.6 不同的热机中作于的⾼温热源及的低温热源之间。

求下列三种情况下，当热机从⾼温热源吸热时，两热源的总熵变。

（1）可逆热机效率。

（2）不可逆热机效率。

（3）不可逆热机效率。

解：设热机向低温热源放热，根据热机效率的定义因此，上⾯三种过程的总熵变分别为。

3.7 已知⽔的⽐定压热容。

今有1 kg，10℃的⽔经下列三种不同过程加热成100 ℃的⽔，求过程的。

（1）系统与100℃的热源接触。

《大学物理》热力学基础练习题及答案解析一、简答题：1、什么是准静态过程?答案：一热力学系统开始时处于某一平衡态，经过一系列状态变化后到达另一平衡态，若中间过程进行是无限缓慢的，每一个中间态都可近似看作是平衡态，那么系统的这个状态变化的过程称为准静态过程。

2、从增加内能来说，做功和热传递是等效的。

但又如何理解它们在本质上的差别呢?答：做功是机械能转换为热能，热传递是热能的传递而不是不同能量的转换。

3、一系统能否吸收热量，仅使其内能变化? 一系统能否吸收热量，而不使其内能变化?答：可以吸热仅使其内能变化，只要不对外做功。

比如加热固体，吸收的热量全部转换为内能升高温度；不能吸热使内能不变，否则违反了热力学第二定律。

4、有人认为：“在任意的绝热过程中，只要系统与外界之间没有热量传递，系统的温度就不会改变。

”此说法对吗? 为什么?答：不对。

对外做功，则内能减少，温度降低。

5、分别在Vp-图、Tp-图上，画出等体、等压、等温和绝热过程的曲线。

V-图和T6、 比较摩尔定体热容和摩尔定压热容的异同。

答案：相同点：都表示1摩尔气体温度升高1摄氏度时气体所吸收的热量。

不同点：摩尔定体热容是1摩尔气体，在体积不变的过程中，温度升高1摄氏度时气体所吸收的热量。

摩尔定压热容是1摩尔气体，在压强不变的过程中，温度升高1摄氏度时气体所吸收的热量。

两者之间的关系为R C C v p +=7、什么是可逆过程与不可逆过程答案：可逆过程：在系统状态变化过程中，如果逆过程能重复正过程的每一状态，而且不引起其它变化；不可逆过程：在系统状态变化过程中，如果逆过程能不重复正过程的每一状态，或者重复正过程时必然引起其它变化。

8、简述热力学第二定律的两种表述。

答案：开尔文表述：不可能制成一种循环工作的热机，它只从单一热源吸收热量，并使其全部变为有用功而不引起其他变化。

克劳修斯表述：热量不可能自动地由低温物体传向高温物体而不引起其他变化。

9、什么是第一类永动机与第二类永动机?答案：违背热力学第一定律（即能量转化与守恒定律）的叫第一类永动机，不违背热力学第一定律但违背热力学第二定律的叫第二类永动机。

第三章 热力学第二定律一．基本要求1．了解自发变化的共同特征，熟悉热力学第二定律的文字和数学表述方式。

2．掌握Carnot 循环中，各步骤的功和热的计算，了解如何从Carnot 循环引出熵这个状态函数。

3．理解Clausius 不等式和熵增加原理的重要性，会熟练计算一些常见过程如：等温、等压、等容和,,p V T 都改变过程的熵变，学会将一些简单的不可逆过程设计成始、终态相同的可逆过程。

4．了解熵的本质和热力学第三定律的意义，会使用标准摩尔熵值来计算化学变化的熵变。

5．理解为什么要定义Helmholtz 自由能和Gibbs 自由能，这两个新函数有什么用处？熟练掌握一些简单过程的,,H S A ∆∆∆和G ∆的计算。

6．掌握常用的三个热力学判据的使用条件，熟练使用热力学数据表来计算化学变化的r m H ∆，r m S ∆和r m G ∆，理解如何利用熵判据和Gibbs 自由能判据来判断变化的方向和限度。

7．了解热力学的四个基本公式的由来，记住每个热力学函数的特征变量，会利用d G 的表示式计算温度和压力对Gibbs 自由能的影响。

二．把握学习要点的建议自发过程的共同特征是不可逆性，是单向的。

自发过程一旦发生，就不需要环境帮助，可以自己进行，并能对环境做功。

但是，热力学判据只提供自发变化的趋势，如何将这个趋势变为现实，还需要提供必要的条件。

例如，处于高山上的水有自发向低处流的趋势，但是如果有一个大坝拦住，它还是流不下来。

不过，一旦将大坝的闸门打开，水就会自动一泻千里，人们可以利用这个能量来发电。

又如，氢气和氧气反应生成水是个自发过程，但是，将氢气和氧气封在一个试管内是看不到有水生成的，不过，一旦有一个火星，氢气和氧气的混合物可以在瞬间化合生成水，人们可以利用这个自发反应得到热能或电能。

自发过程不是不能逆向进行，只是它自己不会自动逆向进行，要它逆向进行，环境必须对它做功。

例如，用水泵可以将水从低处打到高处，用电可以将水分解成氢气和氧气。

大学物理下册习题及答案热力学（一）一、选择题：1、如图所示，当汽缸中的活塞迅速向外移动从而使汽缸膨胀时，气体所经历的过程（A）是平衡过程，它能用P—V图上的一条曲线表示.（B）不是平衡过程，但它能用P—V图上的一条曲线表示.（C）不是平衡过程，它不能用P—V图上的一条曲线表示.（D）是平衡过程，但它不能用P—V图上的一条曲线表示. [ ]2、在下列各种说法中，哪些是正确的？ [ ]（1）热平衡就是无摩擦的、平衡力作用的过程.（2）热平衡过程一定是可逆过程.（3）热平衡过程是无限多个连续变化的平衡态的连接.（4）热平衡过程在P—V图上可用一连续曲线表示.（A）（1）、（2）（B）（3）、（4）（C）（2）、（3）、（4）（D）（1）、（2）、（3）、（4）3、设有下列过程： [ ]（1）用活塞缓慢的压缩绝热容器中的理想气体.（设活塞与器壁无摩擦）（2）用缓慢地旋转的叶片使绝热容器中的水温上升.（3）冰溶解为水.（4）一个不受空气阻力及其它摩擦力作用的单摆的摆动.其中是逆过程的为（A）（1）、（2）、（4）（B）（1）、（2）、（3）（C）（1）、（3）、（4）（D）（1）、（4）4、关于可逆过程和不可逆过程的判断： [ ]（1）可逆热力学过程一定是准静态过程.（2）准静态过程一定是可逆过程.（3）不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程.（4）凡有摩擦的过程，一定是不可逆过程.以上四种判断，其中正确的是（A）（1）、（2）、（3）（B）（1）、（2）、（4）（C）（2）、（4）（D）（1）、（4）5、在下列说法中，哪些是正确的？ [ ]（1）可逆过程一定是平衡过程.（2）平衡过程一定是可逆的.（3）不可逆过程一定是非平衡过程.（4）非平衡过程一定是不可逆的.（A）（1）、（4）（B）（2）、（3）（C）（1）、（2）、（3）、（4）（D）（1）、（3）6、置于容器内的气体，如果气体内各处压强相等，或气体内各处温度相同，则这两种情况下气体的状态[ ]（A）一定都是平衡态.（B）不一定都是平衡态.（C）前者一定是平衡态，后者一定不是平衡态.（D）后者一定是平衡态，前者一定不是平衡态.7、气体在状态变化过程中，可以保持体积不变或保持压强不变，这两种过程 [ ]（A）一定都是平衡过程.（B）不一定是平衡过程.（C）前者是平衡态，后者不是平衡态.（D）后者是平衡态，前者不是平衡态.8、一定量的理想气体，开始时处于压强，体积，温度分别为P1、V1、T1，的平衡态，后来变到压强、体积、温度分别为P2、V2、T2的终态.若已知V2 > V1, 且T2 = T1 , 则以下各种说法正确的是: [ ]（A）不论经历的是什么过程，气体对外净做的功一定为正值.（B）不论经历的是什么过程，气体从外界净吸的热一定为正值.（C）若气体从始态变到终态经历的是等温过程，则气体吸收的热量最少.（D）如果不给定气体所经历的是什么过程，则气体在过程中对外净做功和外界净吸热的正负皆无法判断.二、填空题：1、在热力学中，“作功”和“传递热量”有着本质的区别，“作功”是通过__________来完成的; “传递热量”是通过___________来完成的.2、设在某一过程P中，系统由状态A变为状态B，如果______________________________________________________，则过程P为可逆过程；如果______________________________________________________则过程P为不可逆过程.3、同一种理想气体的定压摩尔热容C p大于定容摩尔热容C v，其原因是_____________________________________________________________________.4、将热量Q传给一定量的理想气体，（1）若气体的体积不变，则热量转化为________________________________.（2）若气体的温度不变，则热量转化为________________________________.（3）若气体的压强不变，则热量转化为________________________________.5、常温常压下，一定量的某种理想气体（可视为刚性分子自由度为i），在等压过程中吸热为Q，对外作功为A，内能增加为ΔE，则A / Q = ____________. ΔE / Q = _____________.6、3 mol的理想气体开始时处在压强P1 = 6 at m、温度T1 = 500K的平衡态.经过一个等温过程，压强变为P2 = 3 atm.该气体在等温过程中吸收的热量为Q = _____________J.(摩尔气体常量R = 8.31 J•mol-1•K-1)7、2 mol单原子分子理想气体，经一等容过程后，温度从200K上升到500K，若该过程为准静态过程，气体吸收的热量为_________；若为不平衡过程，气体吸收的热量为___________.8、卡诺制冷机，其低温热源温度为T2 = 300 K，高温热源温度为T1 = 450 K，每一循环从低温热源吸收Q2 = 400 J.已知该制冷机的制冷系数为1212TTTAQw-==（式中A为外界对系统作的功），则每一循环中外界必须作功A = _________.三、计算题：1、有1 mol刚性多原子分子的理想气体，原来的压强为1.0 atm ，温度为27˚C，若经过一绝热过程，使其压强增加到16 atm .试求：（1）气体内能的增量；（2）在该过程中气体所作的功；（3）终态时，气体的分子数密度.（1 atm = 1.013×105 Pa，玻耳滋曼常数k = 1.38×10-23J•K-1摩尔气体常量R=8.31J•mol-1•K-1）2、如图所示，a b c d a为1 mol单原子分子理想气体的循环过程，求：（1）气体循环一次，在吸热过程中从外界共吸收的热量；（2）气体循环一次对外做的净功；（3）证明Ta Tc = T b T d.3、一气缸内盛有一定量的单原子理想气体.若绝热压缩使其容积减半，问气体分子的平均速率为原来的几倍？热力学（二）1、理想气体向真空作绝热膨胀. [ ]（A）膨胀后，温度不变，压强减小.（B）膨胀后，温度降低，压强减小.（C）膨胀后，温度升高，压强减小.（D）膨胀后，温度不变，压强不变.2、氦、氮、水蒸气（均视为理想气体），它们的摩尔数相同，初始状态相同，若使他们在体积不变情况下吸收相等的热量，则 [ ]（A）它们的温度升高相同，压强增加相同.（B）它们的温度升高相同，压强增加不相同.（C）它们的温度升高不相同，压强增加不相同.（D）它们的温度升高不相同，压强增加相同.3、一个绝热容器，用质量可忽略的绝热板分成体积相等的两部分.两边分别装入质量相等、温度相同的H2和O2.开始时绝热板P固定.然后释放之，板P将发生移动（绝热板与容器壁之间不漏气且摩擦可以忽略不计），在达到新的平衡位置后，若比较两边温度的高低，则结果是：[ ]（A）H2比O2温度高.（B）O2比H2温度高.（C）两边温度相等且等于原来的温度.（D）两边温度相等但比原来的温度降低了.4、如图所示，一绝热密闭的容器，用隔板分成相等的两部分，左边盛有一定量的理想气体，压强为Po，右边为真空.今将隔板抽去，气体自由膨胀，当气体达到平衡时，气体的压强是[ ]（A）Po （B）Po/2 （C）2 r / Po （D）Po/2 r （ r = Cp / Cv ）5、1 mol理想气体从P-V图上初态a分别经历如图所示的（1）或（2）过程到达末态b.已知Ta < Tb，则这两过程中气体吸收的热量Q1和Q2的关系是 [ ]（A）Q1 > Q2 > 0 （B）Q2 > Q1 > 0 （C）Q2 < Q1 < 0（D）Q1 < Q2 < 0 （E）Q1 = Q2 > 06、有两个相同的容器，容积固定不变，一个盛有氦气，另一个盛有氢气（看成刚性分子理想气体），它们的温度和压强都相等，现将5 J的热量传给氢气，使氢气温度升高，如果使氦气也升高同样的温度，则应向氦气传递的热量是 [ ]（A）6 J （B）5 J（C）3 J （D）2 J7、一定量的理想气体经历acb过程时吸热200 J.则经历acbda过程时，吸热为（A）–1200 J （B）–1000 J（C）–700 J （D）1000 J [ ]8、对于室温下的双原子分子理想气体，在等压膨胀的情况下，系统对外所作的功与从外界吸收的热量之比A / Q等于 [ ]（A）1 / 3 （B）1 / 4（C）2 / 5 （D）2 / 79、如果卡诺热机的循环曲线所包围的面积从图中的a b c d a增大为a b’c’d a，那么循环ab cda与a b’c’da所作的净功和热机效率变化情况是： [ ]（A）净功增大，效率提高. （B）净功增大，效率降低.（C）净功和效率都不变. （D）净功增大，效率不变.一、填空题：1、如图所示，已知图中画不同斜线的两部分分别为S1和S2，那么（1）如果气体的膨胀过程为a—1—b，则气体对外做功A= ;（2）如果气体进行a—2—b—1—a的循环过程,则它对外做功A =2、已知1 mol的某种理想气体（可视为刚性分子），在等压过程中温度上升1 K，内能增加了20.78 J，则气体对外做功为__________,气体吸收热量为__________.3、刚性双原子分子的理想气体在等压下膨胀所作的功为A，则传递给气体的热量为___ ____________.4、热力学第二定律的克劳修斯叙述是：_________________________________________；开尔文叙述是____________________________________________.5、从统计的意义来解释：不可逆过程实质上是一个________________________________________的转变过程.一切实际过程都向着____________________________________________的方向进行.6、由绝热材料包围的容器被隔板隔为两半，左边是理想气体，右边是真空.如果把隔板撤去，气体将进行自由膨胀过程，达到平衡后气体的温度_________（升高、降低或不变），气体的熵___________（增加、减小或不变）.二、计算题：1、一定量的单原子分子理想气体，从A态出发经等压过程膨胀到B态，又经绝热过程膨胀到C态，如图所示.试求这全过程中气体对外所作的功，内能的增量以及吸收的热量.2、如果一定量的理想气体，其体积和压强依照V = a / 的规律变化，其中a为已知常数.试求：（1）气体从体积V1膨胀到V2所作的功；（2）体积为V1时的温度T1与体积为V2时的温度T2之比.3、一卡诺热机（可逆的），当高温热源的温度为127°C、低温热源温度为27°C时，其每次循环对外作净功8000 J.今维持低温热源的温度不变，提高高温热源温度，使其每次循环对外作净功10000 J.若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝缘线之间，试求：（1）第二个循环热机的效率；（2）第二个循环的高温热源的温度.4、一定量的刚性双原子分子的理想气体，处于压强P1= 10 atm、温度T1 = 500K的平衡态，后经历一绝热过程达到压强P2 = 5 atm、温度为T2的平衡态.求T2.热力学(三)一、选择题1、设高温热源的热力学温度是低温热源的热力学温度的n倍，则理想气体在一次卡诺循环中，传给低温热源的热量是从高温热源吸取的热量的(A) n倍 (B) n–1倍(C) 倍 (D) 倍 [ ]2、一定量理想气体经历的循环过程用V-T曲线表示如题2图，在此循环过程中，气体从外界吸热的过程是(A) A→B (B) B→C(C) C→A (D) B→C和C→A [ ]3、所列题3图分别表示某人设想的理想气体的四个循环过程，请选出其中一个在物理上可能实现的循环过程的图的标号. [ ]V P （A）P （B）绝热绝热C B 等温等容等容O V O 等温 VP 等压（C）P （D）A 等温绝热绝热绝热绝热O T O V O V题图题3图4、理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小(图中阴影部分)，分割为S1和S2，则二者的大小关系是(A) S1 > S2 (B) S1 = S2(C) S1 < S2 (D) 无法确定 [ ]PS2 S1V.对此说法，有如下几种评论，哪种是正确的？(A) 不违反热力学第一定律，但违反热力学第二定律.(B) 不违反热力学第二定律，但违反热力学第一定律.(C) 不违反热力学第一定律，也不违反热力学第二定律.(D) 违反热力学第一定律，也违反热力学第二定律. [ ]6、一绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，另一半是理想气体，若把隔板抽出，气体将进行自由膨胀，达到平衡后(A) 温度不变，熵增加. (B) 温度升高，熵增加.(C) 温度降低，熵增加. (D) 温度不变，熵不变. [ ]7、一定量的理想气体向真空作绝热自由膨胀，体积由V1增至V2，在此过程中气体的(A) 内能不变，熵增加. (B) 内能不变，熵减少.(C) 内能不变，熵不变. (D) 内能增加，熵增加. [ ]8、给定理想气体，从标准状态 (P0，V0，T0)开始作绝热膨胀，体积增大到3倍，膨胀后温度T、压强P与标准状态时T0、P0之关系为 (γ为比热比) [ ](A) T = ( ) r T0 ; P = ( ) r-1 P0. (B) T = ( ) r-1 T0 ; P = ( ) r P0.(C) T = ( ) -r T0 ; P = ( ) r-1 P0. (D) T = ( ) r-1 T0 ; P = ( ) -r P0.一、填空题：1、在P-V图上(1) 系统的某一平衡态用来表示；(2) 系统的某一平衡过程用来表示；(3) 系统的某一平衡循环过程用来表示.2、P-V图上的一点，代表；P-V图上任意一条曲线，表示；3、一定量的理想气体，从P-V图上状态A出发，分别经历等压、等温、绝热三种过程，由体积V1膨胀到体积V2，试画出这三种过程的P—V图曲线，在上述三种过程中：（1）气体对外作功最大的是过程；(2) 气体吸热最多的是过程；V2( 均视为刚性分子的理想气体)，它们的质量比为m1：m2E1：E2 = ，如果它们分别在等压过程中吸收了相同的热量，则它们对外作功之比为A1：A2 = .(各量下角标1表示氢气，2表示氦气)5、质量为2.5 g的氢气和氦气的混合气体，盛于某密闭的气缸里 ( 氢气和氦气均视为刚性分子的理想气体)，若保持气缸的体积不变，测得此混合气体的温度每升高1K，需要吸收的热量等于2.25 R ( R为摩尔气体常量).由此可知，该混合气体中有氢气 g，氦气 g；若保持气缸内的压强不变，要使该混合气体的温度升高1K，则该气体吸收的热量为 . (氢气的M mol = 2×10 -3 kg，氦气的M mol = 4×10 -3 kg)6、一定量理想气体，从A状态 (2P1，V1) 经历如图所示的直线过程变到B状态 (P1，2V1)，则AB过程中系统作功A = ；内能改变△E = .第6题图第7题图7、如图所示，理想气体从状态A出发经ABCDA循环过程，回到初态A点，则循环过程中气体净吸的热量Q = .8、有一卡诺热机，用29kg空气为工作物质，工作在27℃的高温热源与–73℃的低温热源之间，此热机的效率η= .若在等温膨胀的过程中气缸体积增大2.718倍，则此热机每一循环所作的功为 .(空气的摩尔质量为29×10-3kg·mol-1)二、计算题：1、一定量的某种理想气体，开始时处于压强、体积、温度分别为P0 = 1.2×106 P0，V0 = 8.31×10-3m3，T0 = 300K的初态，后经过一等容过程，温度升高到T1 = 450 K，再经过一等温过程，压强降到P = P0的末态.已知该理想气体的等压摩尔热容与等容摩尔热容之比C P/C V=5/3，求：(1)该理想气体的等压摩尔热容C P和等容量摩尔热容C V.(2)气体从始态变到末态的全过程中从外界吸收的热量.2、某理想气体在P-V图上等温线与绝热线相交于A点，如图，已知A点的压强P1=2×105P0，体积V1 = 0.5×10-3 m3，而且A点处等温线斜率与绝热线斜率之比为0.714，现使气体从A点绝热膨胀至B点，其体积V2 = 1×10-3 m3，求(1) B 点处的压强；(2) 在此过程中气体对外作的功.3、1 mol单原子分子的理想气体，经历如图所示的可逆循环，联结AC两点的曲线III的方程为P = P0 V2 / V20，A点的温度为T0.(1)试以T0，R表示I、II、III过程中气体吸收的热量.(2)求此循环的效率.(提示：循环效率的定义式η= 1– Q2 / Q1, Q1循环中气体吸收的热量，Q2为循环中气体放出的热量).气体动理论 (一)一、选择题：1、一个容器内贮有1摩尔氢气和1摩尔氦气，若两种气体各自对器壁产生的压强分别为P1和P2，则两者的大小关系是：(A) P1 > P2 (B) P1 < P2(C) P1 = P2 (D) 不确定的. [ ]2、若理想气体的体积为V，压强为P，温度为T，一个分子的质量为m，k为玻耳兹曼常量，R为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：(A) PV / m . (B) PV/(KT).(C) PV / (RT). (D) PV/(mT). [ ]3、有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分隔成两边，如果其中的一边装有0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边应装入同一温度的氧气质量为：[ ](A) 1 / 16 kg (B) 0.8 kg(C) 1.6 kg (D) 3.2 kg4、在一密闭容器中，储有A、B、C三种理想气体，处于平衡状态，A种气体的分子数密度为n1，它产生的压强为P1，B种气体的分子数密度为2 n1，C种气体的分子数密度为3 n1，则混合气体的压强P为(A) 3 P1 (B) 4 P1(C) 5 P1 (D) 6 P1 [ ]5、一定量某理想气体按PV2 = 恒量的规律膨胀，则膨胀后理想气体温度(A) 将升高 (B) 将降低(C) 不变 (D)升高还是降低，不能确定 [ ]6、如图所示，两个大小不同的容器用均匀的细管相连，管中有一水银滴作活塞，大容器装有氧气，小容器装有氢气，当温度相同时，水银滴静止于细管中央，试问此时这两种气体的密度哪个大？(A)氧气的密度大. (B)氢气的密度大.(C)密度一样大. (D)无法判断. [ ]一、填空题：1、对一定质量的理想气体进行等温压缩，若初始时每立方米体积内气体分子数为1.96×1024，当压强升高到初值的两倍时，每立方米体积内气体分子数应为 .2、在推导理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是：(1) ；(2) .3、某理想气体在温度为27℃和压强为1.0×10-2 atm情况下，密度为11.3 g / m3，则这气体的摩尔质量M= .(摩尔气体常量R = 8.31 J·mol-1·K-1)mol4、在定压下加热一定量的理想气体，若使其温度升高1K时，它的体积增加了0.005倍，则气体原来的温度是 .5、下面给出理想气体状态方程的几种微分形式，指出它们各表示什么过程.(1) p d V = (M / M mol) R d T表示过程.(2) V d p = (M / M mol) R d T表示过程.(3) p d V + V d p = 0 表示过程.6、氢分子的质量3.3×10 –24 g，如果每秒有1023个氢分子沿着与容器器壁的法线成45°角的方向以105cm·s-1的速率撞击在2.0 cm 2 面积上(碰撞是完全弹性的)，则此氢气的压强为 .7、一气体分子的质量可以根据该气体的定容比热容来计算，氩气的定容比热容Cv = 0.314 kJ·kg-1·K-1，则氩原子的质量m = .(1 k c a l = 4.18×103 J)8、分子物理是研究的学科，它应用的基本方法是方法.9、解释下列分子运动论与热力学名词：(1) 状态参量：；(2) 微观量：；(3) 宏观量：；二、计算题：1、黄绿光的波长是5000 Å (1 Å =10-10m)，理想气体在标准状态下，以黄绿光的波长为边长的立方体内有多少个分子？（玻耳兹曼常量k = 1.38×10 -23J·K-1）2、两个相同的容器装有氢气，以一细玻璃管相连通，管中用一滴水银作活塞，如图所示，当左边容器的温度为0℃，而右边容器的温度为20℃时，水银滴刚好在管的中央，试问，当左边容器温度由0℃增到5℃，而右边容器温度由20℃增到30℃时，水银滴是否会移动？如何移动？3、假设地球大气层由同种分子构成，且充满整个空间，并设各处温度T相等.试根据玻璃尔兹曼分布律计算大气层分子的平均重力势能εp.(已知积分公式 X n e -ax d x = n ！/ a n+1)热力学（一） (答案)一、 1．C 2．B 3．D 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D二、 1．物体作宏观位移，分子之间的相互作用.2．能使系统进行逆向变化，回复状态，而且周围一切都回复原状.系统不能回复到初；态；或者系统回复到初态时，周围并不能回复原状.3．在等压升温过程中，气体要膨胀而作功，所以要比气体等体升温过程多吸收一部分热量.4．（1）气体的内能，（2）气体对外所做的功，（3）气体的内能和对外所做的功5．2/i+2,i/i+2 6．8.64×103 7．7.48×103 J ,7.48×103 J8．200J热力学（二）答案一、1．A 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.D二、1．S1+S2，-S1 2. 8.31J, 29.09J 3.7A/24、不可能把热量从低温物体自动传到高温物体而不引起外界变化不可能制造出这样循环工作的热机,它只从单一热源吸热来作功,而不放出热量给其他物体,或者说不使外界发生任何变化.5. 从概率较小的状态到概率较大的状态，状态概率增大（或熵增大）6．不变； 增加热力学（三）答案一、1、C 2、A 3、B 4、B 5、C 6、A 7、A 8、D二、1、一个点，一条曲线，一条封闭线 2、（参看1题）3、等压，等压 4、1：2，5：3，5：7 5、1.5，1，3.25R 6、23P 1V 1，0 7、1.62×104J 8、33.3%，831×105J气体动理论（一）答案一、1.C 2. B 3.C 4.D 5.B 6.A二、1、3.92×1024 2、（1）沿空间各方向运动的分子数相等；（2）v x 2=v y 2=v z 23、27．9g/mol4、200K5、等压，等容，等温6、2．33×103 Pa7、6.59×10-26 kg8、物体热现象和热运动规律、统计9、（1）描述物体运动状态的物理量；（2）表征个别分子状况的物理量，如分子大小、质量、速度等；（3）表征大量分子集体特征的物理量，如P 、V 、T 、C 等.气体动理论(二) 答案。

第三章 单元系的相变3.1 证明下列平衡判据（假设S >0）；（a ）在,S V 不变的情形下，稳定平衡态的U 最小. （b ）在,S p 不变的情形下，稳定平衡态的H 最小. （c ）在,H p 不变的情形下，稳定平衡态的S 最小. （d ）在,F V 不变的情形下，稳定平衡态的T 最小. （e ）在,G p 不变的情形下，稳定平衡态的T 最小. （f ）在,U S 不变的情形下，稳定平衡态的V 最小. （g ）在,F T 不变的情形下，稳定平衡态的V 最小.解：为了判定在给定的外加约束条件下系统的某状态是否为稳定的平衡状态，设想系统围绕该状态发生各种可能的自发虚变动. 由于不存在自发的可逆变动，根据热力学第二定律的数学表述（式（1.16.4）），在虚变动中必有đ,U T S W δδ<+ （1）式中U δ和S δ是虚变动前后系统内能和熵的改变，đW 是虚变动中外界所做的功，T 是虚变动中与系统交换热量的热源温度. 由于虚变动只涉及无穷小的变化，T 也等于系统的温度. 下面根据式（1）就各种外加约束条件导出相应的平衡判据.（a ） 在,S V 不变的情形下，有0,đ0.S W δ==根据式（1），在虚变动中必有0.U δ< （2）如果系统达到了U 为极小的状态，它的内能不可能再减少，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,S V 不变的情形下，稳定平衡态的U 最小.（b ）在,S p 不变的情形下，有0,đ,S W pdV δ==-根据式（1），在虚变动中必有0,U p V δδ+<或0.H δ< （3）如果系统达到了H 为极小的状态，它的焓不可能再减少，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,S p 不变的情形下，稳定平衡态的H 最小.（c ）根据焓的定义H U pV =+和式（1）知在虚变动中必有đ.H T S V p p V W δδδδ<+++在H 和p 不变的的情形下，有0,0,đ,H p W p V δδδ===-在虚变动中必有0.T S δ> （4）如果系统达到了S 为极大的状态，它的熵不可能再增加，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,H p 不变的情形下，稳定平衡态的S 最大.（d ）由自由能的定义F U TS =-和式（1）知在虚变动中必有đ.F S T W δδ<-+在F 和V 不变的情形下，有0,đ0,F W δ==故在虚变动中必有0.S T δ< （5）由于0S >，如果系统达到了T 为极小的状态，它的温度不可能再降低，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,F V 不变的情形下，稳定平衡态的T 最小.（e ）根据吉布斯函数的定义G U TS pV =-+和式（1）知在虚变动中必有đ.G S T p V V p W δδδδ<-++-在,G p 不变的情形下，有0,0,đ,G p W p V δδδ===-故在虚变动中必有0.S T δ< （6）由于0S >，如果系统达到了T 为极小的状态，它的温度不可能再降低，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,G p 不变的情形下，稳定的平衡态的T 最小.（f ）在,U S 不变的情形下，根据式（1）知在虚变动中心有đ0.W >上式表明，在,U S 不变的情形下系统发生任何的宏观变化时，外界必做功，即系统的体积必缩小. 如果系统已经达到了V 为最小的状态，体积不可能再缩小，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,U S 不变的情形下，稳定平衡态的V 最小.（g ）根据自由能的定义F U TS =-和式（1）知在虚变动中必有δδđ.F S T W <-+在,F T 不变的情形下，有δ0,δ0,F T ==必有đ0W > （8）上式表明，在,F T 不变的情形下，系统发生任何宏观的变化时，外界必做功，即系统的体积必缩小. 如果系统已经达到了V 为最小的状态，体积不可能再缩小，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,F T 不变的情形下，稳定平衡态的V 最小.3.2 试由式（3.1.12）导出式（3.1.13） 解：式（3.1.12）为()()22222222δδ2δδδ0.S S S S U U V V U U V V ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++<⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦（1）将2δS 改写为2δδδδδδδ.S S SS S U V U U V V UU V U U VV V⎡∂∂∂∂⎤⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦（2）但由热力学基本方程TdS dU pdV =+可得1,,V U S S p U T V T∂∂⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 代入式（2），可将式（1）表达为211δδδδδδδS p p S U V U U V V U T V T U T V T ⎡∂∂⎤⎡∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1δδδδ0.p U V T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （4）以,T V 为自变量，有δδδV TU U U T V T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭δδ,V V p C T T p V T ⎡⎤∂⎛⎫=+- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦（5）111δδδV TT V T T T V T ∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭21δ,T T =-（6） δδδV Tp p p T V T T T V T ∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭211δδ.V T p p T p T V T T T V ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦（7） 将式（5）—（7）代入式（4），即得()()22221δδδ0,V TC p S T V T T V ∂⎛⎫=-+< ⎪∂⎝⎭ （8）这就是式（3.1.13）.3.3 试由0V C >及0Tp V ∂⎛⎫<⎪∂⎝⎭证明0p C >及0.S p V ∂⎛⎫< ⎪∂⎝⎭ 解：式（2.2.12）给出2.p V TVT C C ακ-=（1）稳定性条件（3.1.14）给出0,0,V Tp C V ∂⎛⎫>< ⎪∂⎝⎭ （2）其中第二个不等式也可表为10,T TV V p κ⎛⎫∂=-> ⎪∂⎝⎭ （3） 故式（1）右方不可能取负值. 由此可知0,p V C C ≥> （4）第二步用了式（2）的第一式.根据式（2.2.14），有.S S VT p TV p C C Vp κκ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭==⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭ （5） 因为V p C C 恒正，且1V pCC ≤，故0,S TV V p p ⎛⎫⎛⎫∂∂≤< ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （6） 第二步用了式（2）的第二式.3.4 求证：（a ）,,;V n T V S T n μ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （b ）,,.T p t n V p n μ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 解：（a ）由自由能的全微分（式（3.2.9））dF SdT pdV dn μ=--+ （1）及偏导数求导次序的可交换性，易得,,.V n T VS T n μ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 这是开系的一个麦氏关系.（b ） 类似地，由吉布斯函数的全微分（式（3.2.2））dG SdT Vdp dn μ=-++ （3）可得,,.T pT n V p n μ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （4）这也是开系的一个麦氏关系.3.5 求证：,,.T V V nU T n T μμ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭解：自由能F U TS =-是以,,T V n 为自变量的特性函数，求F 对n 的偏导数（,T V 不变），有,,,.T V T V T VF U S T n n n ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）但由自由能的全微分dF SdT pdV dn μ=--+可得,,,,,T VT V V nF n S n T μμ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）代入式（1），即有,,.T V V nU T n T μμ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）3.6 两相共存时，两相系统的定压热容量p pSC T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭，体胀系数1pV V T α∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭和等温压缩系数1T TV V p κ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭均趋于无穷，试加以说明. 解：我们知道，两相平衡共存时，两相的温度、压强和化学势必须相等.如果在平衡压强下，令两相系统准静态地从外界吸取热量，物质将从比熵较低的相准静态地转移到比熵较高的相，过程中温度保持为平衡温度不变. 两相系统吸取热量而温度不变表明它的（定压）热容量p C 趋于无穷. 在上述过程中两相系统的体积也将发生变化而温度保持不变，说明两相系统的体胀系数1pV V T α∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭也趋于无穷. 如果在平衡温度下，以略高（相差无穷小）于平衡压强的压强准静态地施加于两相系统，物质将准静态地从比容较高的相转移到比容较低的相，使两相系统的体积发生改变. 无穷小的压强导致有限的体积变化说明，两相系统的等温压缩系数1T T V V p κ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭也趋于无穷.3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为1.m p dT U L T dp ⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简. 解：发生相变物质由一相转变到另一相时，其摩尔内能m U 、摩尔焓m H 和摩尔体积m V 的改变满足.m m m U H p V ∆=∆-∆ （1）平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热L ：.m H L ∆=克拉珀龙方程（式（3.4.6））给出,mdp L dT T V =∆ （3） 即.m L dTV T dp∆=（4） 将式（2）和式（4）代入（1），即有1.m p dT U L T dp ⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭（5） 如果一相是气体，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于气相的摩尔体积，则克拉珀龙方程简化为2.dp LpdT RT= （6） 式（5）简化为1.m RT U L L ⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭（7）3.8 在三相点附近，固态氨的蒸气压（单位为Pa ）方程为3754ln 27.92.p T =-液态氨的蒸气压力方程为3063ln 24.38.p T=-试求氨三相点的温度和压强，氨的汽化热、升华热及在三相点的熔解热.解：固态氨的蒸气压方程是固相与气相的两相平衡曲线，液态氨的蒸气压方程是液相与气想的两相平衡曲线. 三相点的温度t T 可由两条相平衡曲线的交点确定：3754306327.9224.38,t tT T -=- （1） 由此解出195.2.t T K =将t T 代入所给蒸气压方程，可得5934Pa.t p =将所给蒸气压方程与式（3.4.8）In Lp A RT=-+ （2） 比较，可以求得443.12010J,2.54710J.L L =⨯=⨯升汽氨在三相点的熔解热L 溶等于40.57310J.L L L =-=⨯溶升汽3.9 以C βα表示在维持β相与α相两相平衡的条件下1mol β相物质升高1K 所吸收的热量，称为β相的两相平衡摩尔热容量，试证明：.m p m m pV LC C V V T βββαβα⎛⎫∂=- ⎪-∂⎝⎭ 如果β相是蒸气，可看作理想气体，α相是凝聚相，上式可简化为,p LC C Tββα=-并说明为什么饱和蒸气的热容量有可能是负的.解：根据式（1.14.4），在维持β相与α相两相平衡的条件下，使1mol β相物质温度升高1K 所吸收的热量C βα为.mm m p T dS S S dp C T T T dT T p dTββββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂==+⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 式（2.2.8）和（2.2.4）给出,.m p pm m T pS T C T S V p T ββββ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）代入式（1）可得.m p pV dp C C T T dT βββα⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭ （3） 将克拉珀龙方程代入，可将式（3）表为.m p m m pV LC C V V T βββαβα⎛⎫∂=- ⎪-∂⎝⎭ （4） 如果β相是气相，可看作理想气体，α相是凝聚相，mm V V αβ ，在式（4）中略去m V α，且令m pV RT β=，式（4）可简化为.p LC C Tββα=-（5） C βα是饱和蒸气的热容量. 由式（5）可知，当p L C Tβ<时，C βα是负的.3.10 试证明，相变潜热随温度的变化率为.m m p p m mp p V V dL L L C C dT T T T V V βαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为.p p dL C C dTβα=- 解: 物质在平衡相变中由α相转变为β相时，相变潜热L 等于两相摩尔焓之差：.m m L H H βα=- （1）相变潜热随温度的变化率为.mm m m p T p T H H H H dL dp dp dT T p dT T p dTββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 式（2.2.8）和（2.2.10）给出,,p pp TH C T H V V T p T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）所以().m m p p m m p p V V dL dp dp C C V V T dT dT T T dT βαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦将式中的dpdT用克拉珀龙方程（3.4.6）代入，可得,m m p p m mp p V V dL L L C C dT T T T V V βαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （4）这是相变潜热随温度变化的公式.如果β相是气相，α相是凝聚相，略去m V α和m pV T α⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭，并利用m pV RT β=，可将式（4）简化为.p p dL C C dTβα=- （5）3.11 根据式（3.4.7），利用上题的结果计及潜热L 是温度的函数，但假设温度的变化范围不大，定压热容量可以看作常量，试证明蒸气压方程可以表为ln ln .Bp A C T T=-+ 解: 式（3.4.7）给出了蒸气与凝聚相两平衡曲线斜率的近似表达式21.dp Lp dT RT = （1） 一般来说，式中的相变潜热L 是温度的函数. 习题3.10式（5）给出.p p dL C C dTβα=- （2） 在定压热容量看作常量的近似下，将式（2）积分可得()0,p p L L C C T βα=+- （3）代入式（1），得021,p pC C L dL p dT RT RTβα-=+ （4） 积分，即有ln ln ,Bp A C T T=-+ （5） 其中0,,p pC LB C A R C βα==是积分常数.3.12 蒸气与液相达到平衡. 以mdV dT表示在维持两相平衡的条件下，蒸气体积随温度的变化率. 试证明蒸气的两相平衡膨胀系数为111.m m dV L V dT T RT ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解：蒸气的两相平衡膨胀系数为11.m m m p m m T dV V V dp V dT V T p dT ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫=+⎢⎥⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦（1） 将蒸气看作理想气体，m pV RT =，则有11,11.m p m m m T V V T T V V p p∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭ （2）在克拉珀龙方程中略去液相的摩尔体积，因而有2.m dp L LpdT TV RT== （3） 将式（2）和式（3）代入式（1），即有111.m m dV L V dT T RT ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（4）3.13 将范氏气体在不同温度下的等温线的极大点N 与极小点J 联起来，可以得到一条曲线NCJ ，如图所示. 试证明这条曲线的方程为()32,m m pV a V b =-并说明这条曲线划分出来的三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的含义.解：范氏方程为2.m mRT ap V b V =-- （1） 求偏导数得()232.m m Tm p RT aV V V b ⎛⎫∂=-+ ⎪∂-⎝⎭ （3） 等温线的极大点N 与极小点J 满足0,m Tp V ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 即()232,mm RTaV V b =- 或()()32.m m mRT aV b V b V =-- （3） 将式（3）与式（1）联立，即有()322,m m ma ap V b V V =-- 或()32m m m pV a V b aV =--()2.m a V b =- （4）式（4）就是曲线NCJ 的方程.图中区域Ⅰ中的状态相应于过热液体；区域Ⅲ中的状态相应于过饱和蒸气；区域Ⅱ中的状态是不能实现的，因为这些状态的0m Tp V ⎛⎫∂> ⎪∂⎝⎭，不满足平衡稳定性的要求.3.14 证明半径为r 的肥皂泡的内压强与外压强之差为4rσ. 解：以p β表示肥皂泡外气体的压强，p γ表示泡内气体的压强，p α表示肥皂液的压强，根据曲面分界的力学平衡条件（式（3.6.6）），有2,p p r αβσ=+（1）2,p p rγασ=+ （2）式中σ是肥皂液的表面张力系数，r 是肥皂泡的半径. 肥皂液很薄，可以认为泡内外表面的半径都是r . 从两式中消去p α，即有4.p p rγβσ-=（3）3.15 证明在曲面分界面的情形下，相变潜热仍可表为().m m mm L T S S H H βαβα=-=- 解：以指标α和β表示两相. 在曲面分界的情形下，热平衡条件仍为两相的温度相等，即.T T T αβ== （1）当物质在平衡温度下从α相转变到β相时，根据式（1.14.4），相变潜热为().m m L T S S βα=- （2）相平衡条件是两相的化学势相等，即()(),,.T p T p ααββμμ= （3）根据化学势的定义,m m m U TS pV μ=-+式（3）可表为,m m m m m m U TS p V U TS p V ααααββββ-+=-+因此()()m m m m m mL T S S U p V U p V βαβββααα=-=+-+.m m H H βα=- （4）3.16 证明爱伦费斯特公式：()(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1),.p p dp dT C C dp dT TV αακκαα-=--=- 解：根据爱氏对相变的分类，二级相变在相变点的化学势和化学势的一级偏导数连续，但化学势的二级偏导数存在突变. 因此，二级相变没有相变潜热和体积突变，在相变点两相的比熵和比体积相等. 在邻近的两个相变点(),T p 和(),T dT p dp ++，两相的比熵和比体积的变化也相等，即(1)(2)v v ,d d = （1）(1)(2).ds ds = （2）但v v v v .p Td υdT dp T p dT dp ακ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=- 由于在相变点(1)(2)v v =，所以式（1）给出(1)(1)(2)(2),dT dp dT dp ακακ-=-即(2)(1)(2)(1).dp dT αακκ-=- （3） 同理，有v .p T p pp s s ds dT dp T p C υdT dpT T C dT dp Tα⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭=- 所以式（2）给出(1)(2)(1)(1)(2)(2)v v ,ppC C dT dp dT dp TTαα-=-即()(2)(1)(2)(1),v p p C C dp dT T αα-=- （4）式中(2)(1)v v v ==. 式（3）和式（4）给出二级相变点压强随温度变化的斜率，称为爱伦费斯特方程.3.17 试根据朗道自由能式（3.9.1）导出单轴铁磁体的熵函数在无序相和有序相的表达式，并证明熵函数在临界点是连续的。