菱形的性质及判定1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2 .菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，？还具有自己独特的性质:①边的性质：对边平行且四边相等.②角的性质：邻角互补，对角相等.③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形.菱形的面积等于底乘以咼，等于对角线乘积的一半.点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半. 3.菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.判定③：四边相等的四边形是菱形.4 .三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线.也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线.以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质.定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半.重点是菱形的性质和判定定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。
难点是菱形性质的灵活应用。
由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质， 同时还具有自己独特的性质。
如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条 件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措， 教师在教学过程 中 应给予足够重视。
在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】 【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 1 __________ 度.16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC 16cm ，则【例4】 如图，在菱形 ABCD 中， A 60 , E 、 的边长是 __________________ •F 分别是AB 、AD 的中点，若 EF 2，则菱形ABCD【例5】 如图, 证明:E 是菱形ABCD 的边AD 的中点, AB 与EF 互相平分.EF AC 于H ，交CB 的延长线于 F ,交AB 于P ，【例6】 所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点O , H 为AD 边中点，菱形 ABCD 的周如图1 长为24，则OH 的长等于DAD图【例7】如图，已知菱形ABCD的对角线AC 8cm , BD 4cm , DE BC于点E，则DE的长为【例8】菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为 __________________【例9】菱形的周长为20cm ,两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为__________________________【例11】如图3，在菱形ABCD中, A 110，E、F分别是边AB和BC的中点, EP CD于点P，则【例10】如图2，在菱形ABCD 中，AC 6, BD 8，则菱形的边长为（）A . 5B . 10C . 6D . 8A __________________ DB 图2 CFPC （）C. 50D. 55PC 【例12】如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（）A.15 或30 B . 30 或45 C . 45 或60 D . 30 或60菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ，AF CD ，那么 EAF 等于已知菱形的一个内角为 60，一条对角线的长为 2 3，则另一条对角线的长为已知菱形ABCD 的两条对角线 AC,BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的 大小是如图，菱形花坛 ABCD 的周长为20m , ABC 60 , ?沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积.如图，在菱形 ABCD 中，AB 4a ,E 在BC 上，BE 2a ， BAD 120 ,P 点在BD 上，则PE PC的最小值为 ___________【例13】 【例14】【例15】如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚 线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ 2A. 10cm 2B. 20cm)2C. 40cm【例16】 【例17】 【例18】 D. 80cmAOC图2B如图，在 ABC 中，BD 平分 ABC , BD 的中垂线交 AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形如图，在 ABC 中，AB AC , D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点 E ，连结BE , CE •当AE 与AD满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由.【例19】 已知，菱形ABCD 中，E 、 【例20】 已知，菱形ABCD 中，E 、 CEF 的度数.板块二、 【例21】 菱形的判定如图，如果要使平行四边形是 ____________ .F 分别是BC 、CD 上的点，若 AE AF EF AB ，求 C 的度数.F 分别是BC 、CD 上的点，且 B EAF 60 , BAE 18 .求:ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件【例22】 【例23】 DA【例24】已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F . 求证：四边形AFCE 是菱形•【例25】如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C E.求证：四边形CDC E是菱形.【例26】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC于H，交CB的延长线于F,交AB于P，证明：AB与EF互相平分【例27】已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得GFC •若 B 60，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形?证明你的结论.【例28】如图，在ABC中，AB AC ,M是BC的中点.分别作MD AB于D , ME AC于E , DF AC 于F , EG AB于G .DF、EG相交于点P •求证：四边形DMEP是菱形.【例30】如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将 MAB 沿AD 方向平移，使 AB 与DC 重合，点M 移动 到点M '的位置⑴画出平移后的三角形；⑵连结MD , MC , MM '，试说明四边形 MDM 'C 的对角线互相垂直，且长度分别等于 AB, AD 的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形 MDM 'C 是菱形？为什么？【例31】如图， ACD 、 ABE 、 BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形•已知 AB AC .⑴顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 的条件. ⑵ 当 BAC 为 ___________ 度时，四边形 ADFE 为正方形.三、与菱形相关的几何综合题【例32】已知等腰△ ABC 中，AB AC , AD 平分 BAC 交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （ A 点 除外），过 P 点作EF II AB ，分别交 AC 、BC 于E 、F 点，作PM II AC ，交AB 于M 点，连【例29】如图， 于F ,ABC 中， ACB 90 , AD 是 DE AB 于E ，求证：四边形BAC 的平分线，交BC 于D , CH 是AB 边上的高，交AD CDEF 是菱形.M'A结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形 AEPM 的面积为四边形 EFBM 面积的一半?【例33】问题：如图1在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上， P 是线段DF 的中点，连结PG ，PC •若 ABC BEF 60，探究PG 与PC 的位置关系及匹的值. PC小聪同学的思路是：延长 GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决. 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： ⑴ 写出上面问题中线段 PG 与PC 的位置关系及 空的值；PC⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）.你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明. ⑶若图1中 ABC BEF 20 90,将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度， 原问四、中位线与平行四边形【例34】顺次连结面积为 20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一 个 ，其面积为 .【例35】如图，在四边形 ABCD 中，AB CD , E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BD 、CD 、AC 的中点,要使四边形EFGH 是菱形，四边形 ABCD 还满足的一个条件是 ___________________________________ ，并说明理由.题中的其他条件不变，求匹的值（用含的式子表示）PCFD【例36】在四边形ABCD中，AB CD , P , Q分别是AD、BC的中点,M , N分别是对角线AC , BD 中点，证明：PQ与MN互相垂直.【例37】四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD 上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小C.线段EF的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关【例38】如图，ABC中，AD是BAC的平分线，CE AD于E , M为BC的中点，AB 14cm ,AC 10cm，贝U ME的长为 ________________ .【例39】如图，四边形ABCD中，AB CD , E, F分别是BC, AD的中点，连结EF并延长，分别交BA, CD 的延长线于点G, H，求证：BGE CHEH【例40】如图，已知BE 、CF 分别为 ABC 中 B 、 证：MN // BC .【例41】如图，四边形ABCD 中，E ,F 分别是边 AB , CD 的中点，贝U AD , BC 和EF 的关系是（)A. AD BC 2EF B . AD BC > 2EF C. AD BC 2EFD. AD BC < 2EFF C.【例42】已知如图所示，行四边形.E 、F 、G 、H 分别是四边形 ABCD 的四边的中点，求证：四边形 EFGH 是平DC 厶FAEB【例43】如图，在四边形 ABCD 中，E 为AB 上一点， ADE 和 BCE 都是等边三角形， AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且 PQ PN .C 的平分线，AMBE 于 M , AN CF 于 N ，求AD【例44】如图，四边形 ABCD 中，AB CD ,E ,F ,G ,H 分别是 AD , BC , BD , AC 的中点，求证：EF , GH相互垂直平分1【例46】在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使BE -DE ，连接AE 并延长与DC 的延长线交3于 F ，贝V CF 2AB .【例45】 ABC 的三条中线分别为AD II EH .AD 、BE 、CF , H 为BC 边外一点，且 BHCF 为平行四边形，求证:CQC图D【例47】如图，ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H是AC的三等分点，连结并延长EG、ADFH 交于点D •求证：四边形 ABCD 是平行四边形.【例49】如图，线段AB, CD 相交于点0，且AB CD ，连结AD , BC , E , F 分别是AD , BC 的中点，EF分别交AB ,CD 于M ,N ，求证：OM ON如图，梯形ABCD 中，AD // BC, AB CD ,对角线AC , BD 相交于点 分别是OA,OB, CD 的中点，求证： EFG是等边三角形【例51】如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点.【例48】如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点,BD AC , BD 和AC 相交于点0 ,MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF .【例50】BCBL D【例52】如图，0是平行四边形ABCD内任意一点，E, F, G, H分别是OA, OB, OC, OD的中点.若DE , CF 交于P , DG , AF 交于 Q , AH , BG 交于R, BE , CH 交于S，求证：PQ SR.AENO FH。
