计算机应用基础-3-线性与非线性方程(组)求解
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应用计算方法教程
应用计算方法教程第一章：引言计算方法是一门研究如何利用计算机进行数值计算和问题求解的学科。
它在科学计算、工程分析和实际应用中起着重要的作用。
本教程将介绍一些常用的应用计算方法，帮助读者理解和掌握这门学科的基本概念和方法。
第二章：数值计算基础2.1 浮点数表示法2.2 误差与有效数字2.3 数值舍入与截断2.4 计算机算术运算2.5 机器精度与舍入误差第三章：线性方程组的数值解法3.1 直接法：高斯消元法3.2 直接法：LU分解法3.3 迭代法：雅可比迭代法3.4 迭代法：高斯-赛德尔迭代法3.5 迭代法：超松弛迭代法第四章：非线性方程的数值解法4.1 二分法4.2 牛顿迭代法4.3 弦截法4.4 试位法4.5 不动点迭代法第五章：插值与拟合5.1 插值多项式与牛顿插值法5.2 分段线性插值与样条插值5.3 最小二乘拟合与多项式拟合5.4 曲线拟合与非线性最小二乘第六章：数值积分与数值微分6.1 数值积分基本概念6.2 复化求积公式6.3 数值积分的收敛性与误差估计6.4 高斯积分公式6.5 数值微分与差分近似第七章：常微分方程的数值解法7.1 常微分方程初值问题7.2 欧拉法与改进的欧拉法7.3 龙格-库塔法7.4 多步法与预估-校正法7.5 刚性问题与刚性算法第八章：常微分方程的边值问题8.1 二点边值问题与有限差分法8.2 三点边值问题与有限差分法8.3 多点边值问题与有限差分法8.4 边值问题的特殊情况与特殊方法第九章：数值优化方法9.1 优化问题的基本概念9.2 无约束优化问题的最优性条件9.3 一维搜索法9.4 梯度下降法与共轭梯度法9.5 二次规划问题与牛顿法第十章：随机模拟方法10.1 随机数生成10.2 蒙特卡洛方法10.3 马尔可夫链蒙特卡洛法10.4 收敛性与误差估计10.5 随机优化与模拟退火结语这本教程介绍了应用计算方法的基本概念和常用方法。
通过学习本教程，读者可以掌握数值计算的基本原理和技巧，能够应用计算机进行数值计算和问题求解。
计算机应用基础积分方程及应用常用文档
计算机应用基础积分方程及应用常用文档在当今数字化的时代，计算机应用已经深入到我们生活和工作的方方面面。
其中，积分方程作为数学领域的一个重要分支，在计算机应用中也有着广泛而重要的应用。
本文将为您介绍计算机应用基础中的积分方程及其常见应用，帮助您更好地理解这一重要的数学工具。
一、积分方程的基本概念积分方程是指含有未知函数的积分式的方程。
它与微分方程一样，是数学物理方程中的重要类型。
积分方程可以分为线性积分方程和非线性积分方程。
线性积分方程又可以进一步分为第一类弗雷德霍姆积分方程、第二类弗雷德霍姆积分方程和沃尔泰拉积分方程。
第一类弗雷德霍姆积分方程的形式为：＼＼int_{a}＾｛b} K(x, t) ＼varphi(t) dt ＝ f(x)＼其中＼（K(x, t)＼）称为积分核，＼（＼varphi(t)＼）是未知函数，＼（f(x)＼）是已知函数。
第二类弗雷德霍姆积分方程的形式为：＼＼varphi(x) ＋＼lambda ＼int_{a}＾｛b} K(x, t) ＼varphi(t) dt ＝ f(x)＼沃尔泰拉积分方程与弗雷德霍姆积分方程的区别在于积分区间是可变的。
二、积分方程的求解方法求解积分方程的方法多种多样，常见的有数值解法和解析解法。
数值解法包括有限差分法、有限元法和蒙特卡罗方法等。
有限差分法是将积分方程转化为差分方程，通过迭代求解。
有限元法则是将求解区域划分为有限个单元，通过求解单元上的方程来逼近原方程的解。
蒙特卡罗方法则是基于随机抽样的思想来求解积分方程。
解析解法包括傅里叶变换法、拉普拉斯变换法等。
傅里叶变换法将积分方程在频域中进行求解，然后通过逆变换得到时域的解。
拉普拉斯变换法则是将积分方程在复频域中求解。
三、积分方程在计算机应用中的常见应用1、图像处理在图像处理中，积分方程常用于图像去噪、图像恢复和图像分割等方面。
例如，在图像去噪中，可以通过建立积分方程来描述图像的噪声模型，然后求解方程得到去噪后的图像。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
【文献综述】非线性方程组的迭代解法
文献综述信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、国内外状况 近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。
这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。
非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。
数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。
它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。
80年代以前，数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设，限于计算机的发展，课程的重心在数学方法理论分析方面，是一门理论性较强的课程。
近年来，随着计算机技术的迅速发展，以及计算机的普及和应用，数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。
特别是Mathworks公司对Matlab软件的研发，给数值分析课程注入了新的活力。
利用Matlab 所含的数值分析计算工具箱，可以进行数值计算方法的程序设计，同时利用图形图像处理功能，可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析，特别是对非线性问题的求解，利用软件计算求解的方法简单多了。
二、进展情况经过多年的不断研究探索，非线性问题的理论性质得到了更多的认证，我们通过对理论的学习，将它融入其他知识体系中比如：动力学，农业学等等。
非线性问题在经过人们不断的探索努力下发现了很多定理定义，比如不动点迭代法，牛顿法，拟牛顿法，以及各种迭代法。
并且对于各种迭代法的收敛性质和收敛速度进行了深入的研究，从而了解了迭代法的构造、几何解释、并对它的收敛性（全部收敛和局部收敛）、收敛阶、误差估计等。
由于迭代法的计算步骤比较多，计算量大且复杂，很多学者对迭代法的加速方法进行了研究。
而对非线性方程组的迭代解法也初步有了研究的进展。
非线性方程求解算法比较
非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。
因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。
本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。
通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。
它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。
2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。
3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。
然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。
二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。
它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。
2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。
3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。
然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。
与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。
三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。
它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。
求解非线性方程组的元胞自动机方法及其全局收敛性证明
求解非线性方程组的元胞自动机方法及其全局收敛性证明
陆秋琴 ，杨少敏，黄光球
( 西安建筑科技大学 管理学院，西安 710055) ( * 通信作者电子邮箱 luqiuqin88@ yahoo． cn)
*
摘
要：为了求得非线性方程组所有精确解 ， 根据元胞自动机的特点构造了求解非线性方程组的全局收敛算法 。
s s s
（ 5）
（ 1）
t | N|
x （ t） ， gBest（ t） ， lBest（ t） ） （ 6 ） Δx （ t + 1 ） = F（ Δx （ t ） ， 式中： gBest（ t） 为截止到时刻 t 为止， 元胞状态空间内已达到 gBest（ t） = 的使方程组（ 2 ） 成立时误差最小的方程组的解 。
Journal of Computer Applications 计算机应用，2012，32( 12) : 3283 － 3286 文章编号： 1001 － 9081 （ 2012 ） 12 － 3283 － 04
ISSN 1001-9081 CODEN JYIIDU
2012-12-01 http: / / www． joca． cn doi： 10． 3724 / SP． J． 1087． 2012． 03283
t S ti +1 = f（ S1 ， …， S tj ， …， S t| N| ） t +1 i t 1 t 2
（ 4）
显然， 任意时刻 t， 有 | S（ t） | = | L d | =
∏M 。
i i =1
4 ） 每个元胞的邻居 N 可以根据实际情形定义 ， 常用的邻 Moore 。 r 型邻域来表示 居可使用半径为 的 5 ） 元胞状态演化规则如下 ： x s （ t + 1 ） = x s （ t ） + Δx s （ t ）
(整理)线性方程组的直接法
第二章线性方程组的直接法在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题。
例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（2.1）的未知量的数值。
（2.1）其中ai j，bi为常数。
上式可写成矩阵形式Ax = b，即（2.2）其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量。
当detA=D0时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组的解存在且惟一，且有为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。
克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量。
例如，解一个100阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100！·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间。
在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。
研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。
解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。
从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。
但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。
迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第2章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已。
在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解。
在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。
对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。
非线性方程求解
非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。
与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。
尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。
本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。
二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。
它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。
不断这样做直到最终解得精度足够高为止。
下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。
在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。
但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。
它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。
下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。
如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。
如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。
其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。
其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。
结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。
无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。
数值分析课程教学大纲
数值分析课程教学大纲一、课程简介数值分析是一门应用数学课程，研究如何利用计算机和数值方法来解决实际问题。
本课程将介绍数值计算的基本概念和数值算法，以及其在科学和工程领域中的应用。
主要内容包括：插值与逼近、数值积分与数值微分、非线性方程求解、线性方程组求解、特征值与特征向量计算、数值解常微分方程等。
二、教学目标1.掌握数值分析的基本概念，了解数值计算的背景和意义；2.熟悉常用的数值算法，能够正确选择和应用适当的数值方法；3.能够使用计算机编程语言实现数值分析中的算法，并利用计算机进行数值计算；4.培养独立思考和问题解决能力，能够通过数值分析方法解决实际问题。
三、教学内容与安排1.插值与逼近1.1 插值多项式1.2 插值余项与误差估计1.3 最小二乘逼近方法1.4 样条插值方法2.数值积分与数值微分2.1 数值积分的基本概念2.2 数值积分公式与误差估计 2.3 自适应积分方法2.4 数值微分的基本概念与方法3.非线性方程求解3.1 二分法与不动点迭代法3.2 牛顿法与割线法3.3 收敛性分析3.4 高级方法：弦截法、过程函数法等4.线性方程组求解4.1 线性方程组与矩阵运算的基本概念4.2 直接解法：高斯消元与LU分解4.3 迭代解法：雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代4.4 收敛性与稳定性分析5.特征值与特征向量计算5.1 线性代数复习：特征值与特征向量的定义5.2 幂迭代法与反幂迭代法5.3 Jacobi方法与QR方法6.数值解常微分方程6.1 常微分方程数值解的基本概念与方法6.2 单步法：欧拉法、改进的欧拉法、Runge-Kutta法 6.3 多步法：Adams法、Milne法6.4 稳定性与刚性问题四、教学方法1.理论与实践相结合，以理论讲解为主，辅以相关数值计算实例；2.组织编程实践，利用计算机进行数值分析的算法实现与应用；3.课堂互动，鼓励学生提问和思考，培养独立解决问题的能力；4.课后作业辅导，及时解答学生的问题，帮助学生巩固所学知识。
非线性﹑微分方程数值求解
8 0.019 -124.540
In
0.182 0.088 0.058 0.0431 0.0343 0.0284 0.024 0.021 0.019
原因：对格式1，如果前一步有误差， 称为不稳定
则被放大5倍加到这一步
格式
稳定格式，对舍入误差有抑制作用
2、 有时候，模型本身就是病态
（系数引入小变化，解产生大变化）
6 5
I~n
2.
I n1
1 5
1 n
In
,
I8 0.019
In
n
In
0 0.182
I~n
0.182
1 0.088 0.090
2 0.058 0.050
3 0.0431 0.083
4 0.0343 -0.165
5 0.0284 1.025
6 0.024 -4.958
7 0.021 24.933
设 x* 为准确值， x 为近似值
er
e x*
x* x x*
x* x x
称为 x 的相对误差.
若| er|Biblioteka r ，则称 r 为 x 的一个相对误差限.
例：将10,000米的跑道建成10,010与 100米的跑道建成101， 两者的绝对误差分别为10和1米，优劣如何？
前者相对误差 (10010-10000)/10000=0.001， 后者相对误差(101-100)/100=0.01. 故虽前者绝对误差较大，但在某种意义上前者更精确。
在
( x1 , ,
xn ) 处取值.
故绝对误差限
e( f ) f (x1*,, xn* ) f (x1,, xn )
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【例3-2】
1 2 2 4 2 2 4 4 3 1 6 2 4 1 X= 8 2 1 3 2 6
判定可解性：
>> A=[1 2 3 4; 2 2 1 1; 2 4 6 8; 4 4 2 2] B=[1; 3; 2; 6]; C=[A B]; [rank(A), rank(C)] rank(A)=rank(C)=2<4
3.1 线性方程（组）求解
解出全部解：
2 X = a1 -2.5 + a2 1 0
3 0.9542 -3.5 + 0.7328 0 -0.0763 1 -0.2977
验证得出的解： >> a1=randn(1); a2=rand(1); x=a1*Z(:, 1)+a2*Z(:, 2)+x0 norm(A*x-B)
第三章 代数方程（组）的Matlab求解
3.1 线性方程（组）求解 一方程组解个数的判定 二高斯消元法求解 三LU矩阵分解求解 四Jacobi迭代求解 五 调用内部函数求解
3.2 非线性方程（组）求解
3.1 线性方程（组）求解
一、方程组解个数及求解
Ax=B 对于矩阵
a11 a 21 A a m1 a12 a1n b11 a 22 a 2 n b 21 B a m 2 a mn b m1
3.1 线性方程（组）求解
【例3-3】
1 2 2 4 2 2 4 4 3 1 6 2 4 1 X= 8 2 1 2 3 4
>> B=[1:4]’; C=[A B]; [rank(A), rank(C)]
最小二乘解： >> x=pinv(A)*B 检验： >>norm(A*x-B)=7.47e-015
1 消元过程 （1）令 列的元素（2
1 a i1 mi1 1 a11
，进行矩阵的代数运算，可消去第一 n) n)
(2) 同理，可消去第二列的元素（3
（3） 可得任意步消元公式，假设第k步，有：
3.1 线性方程（组）求解
k a ik mik k a kk
a ijk 1 a ijk mik a k kj
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2
a1n x1 b1 a 2n x 2 b 2 a n3 x n bn
3.1 线性方程（组）求解
求解程序“ME_31_7.m”
x =（2.40, -19.20, -1.00, 4.00)’
3.1 线性方程（组）求解
三 LU矩阵分解求解
A=LU
其中
1 l 1 21 L l n1 l n 2 1
LUx=b
u11 U
u12 u1n u 22 u 2 n u nn
线性方程组解的判定定理: (1) 当 m=n 且 rank(A)=rank(C)=n 时 方程组有唯一解 x=A-1B x=inv(A)*B (2) 当rank(A)=rank(C)=r<n 时
3.1 线性方程（组）求解
方程组有无穷多解:
x a1x1 a 2 x 2 a n r x n r 其中 ai , i 1,2n r为任意数
b12 b1p b 22 b 2 p b m 2 b mp
3.1 线性方程（组）求解
解的判定矩阵,又叫增广矩阵
a11 a 21 c a m1 a12 a1n a 22 a 2 n a m 2 a mn b11 b 21 b m1 b 22 b 2 p b m 2 b mp b12 b1p
【例3-1】求解 1 4 1 4 2 3 3 1 3 2 2 3 4 5 1 1 X= 4 2 4 3 3 2 2 4
>> A=[1 2 3 4; 4 3 2 1; 1 3 2 4; 4 1 3 2]; B=[5 1; 4 2; 3 3; 2 4]; X=inv(A)*B X= -1.8000 2.4000 1.8667 -1.2667 3.8667 -3.2667 -2.1333 2.7333 检验： >>norm(A*x-B)=7.47e-015
进过n-1次主元消去之后，对后得到上三角矩阵。 通用算法
function [x,xA]= AllGaussFun(A,b) % AllGaussFun.m为用高斯全主元消去法求解线性方程组的解 % A为线性方程组的系数矩阵 % b为线性方程组的常数向量 % x为线性方程组的解 % xA为消元后的系数矩阵 N = size(A); n = N(1); indexl = 0; indexr = 0; order = 1:n; %记录未知数顺序的向量 for i=1:(n-1) me = max(max(abs(A(i:n,i:n)))); %选取全主元 for k=i:n for r=i:n if(abs(A(k,r))==me) indexl = k; indexr = r; k=n; break; end end end
i, j k 1, k 2, n
bik 1 bik mik bk k
（4） 经过n-1步消元后，系数矩阵称为上三角矩阵
a 111 a 112 a111 a11 n n 2 2 2 a 2n a 22 a 2 n 2 0 A n a n 1n 1,n 2 a n 1n 1n 0 0 0 a n nn
3.1 线性方程（组）求解
高斯全主元消去法 对于求解精度较高，或方程数量较多，易采用全主元法
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2 a1n x1 b1 a 2n x 2 b 2 a n3 x n bn
3.1 线性方程（组）求解
b 11 2 n b 2 b n b n
回归过程：
（1）首先解最后一个方程
（2）依次回代，可得到任意公式:
n k k k x k b k a kj x j / a kk , j k 1
线性方程组变为： 令：
Y组， 可得解。
function x=LUfun(A,b) % 实现LU分解求线性方程组Ax=b的解 % A为线性方程组的系数矩阵 % b为线性方程组中的常数向量 % x为线性方程组中的解 r=rank(A); % flag=isexist(A,b) %判断方程组解的情况 if flag==0 disp('该方程组无解！'); x=[]; return; else [m,n]=size(A); [L,U,P]=lu(A); %lu函数为MATLAB提供的函数实现矩阵LU分 解 b=P*b; % 解Ly=b y(1)=b(1); if m>1 for k=2:m y(k)=b(k)-L(k,1:k-1)*y(1:k-1)'; end end y=y';
a 111 a 112 a11 n 1 a 122 a 12 n 1 a 21 A 1 a n1 a 1n 2 a 1n 3
b 11 1 b 2 b 1 1 b n
3.1 线性方程（组）求解
x=UpTriangleFun(A,b); y=zeros(n,1); for i=1:n for j=1:n if(order(j)==i) y(i)=x(j); end end end x=y; 3x1 x 2 2 x 3 x 4 6 5x x 3x 1 xA =A; 1 3 4 例【3-4】求多元线性方程组的解 2 x 3 3x 4 10 4 x 4 16
3.1 线性方程（组）求解
解出规范化零空间： >>Z=null(A,'r') Z= 2.0000 3.0000 -2.5000 -3.5000 1.0000 0 0 1.0000 得出一个特解： >>X0=pinv(A)*B X0= 0.9542; 0.7328; -0.0763; -0.2977
3.1 线性方程（组）求解
二 高斯消去法求解线性方程组
高斯消去法它不需要方程组解的初值，也不需要重复迭代计 算，它通过消去和回代两个过程就可以直接求出方程组的 解。和前面的迭代法一样，在计算过程中，也有可能发散 而得不到方程组的解，但可以通过一些其它方法解决。 设一个n元方程组，以矩阵形式表示为：
3.1 线性方程（组）求解
精确解： >> x1=inv(sym(A))*B X1 = [ -9/5, 12/5] [ 28/15, -19/15] [ 58/15, -49/15] [ -32/15, 41/15] 检验： >>norm(double(A*x1-B))=0
3.1 线性方程（组）求解
k n 2, n 3,1
3.1 线性方程（组）求解
高斯消元法通用程序
function x=UpTriangleFun(A,b) % 求上三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解 % A为线性方程组的系数矩阵 % b为线性方程组中的常数向量 % x为线性方程组中的解 n=size(A); N=n(1); for k=N:-1:1 if(k<N) s=A(k,(k+1):N)*x((k+1):N,1); else s=0; end x(k,1)=(b(k)-s)/A(k,k); end
temp = A(i,1:n); A(i,1:n) = A(indexl,1:n); A(indexl,1:n) = temp; bb = b(indexl); b(indexl)=b(i); b(i) = bb; %交换主行 temp = A(1:n,i); A(1:n,i) = A(1:n,indexr); A(1:n,indexr) = temp; %交换主列 pos = order(i); order(i) = order(indexr); order(indexr) = pos; %主列的交换会造成未知数顺序的变化 for j=(i+1):n if(A(i,i)==0) disp('对角元素为0！'); return; end l = A(j,i); m = A(i,i); A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m; b(j)=b(j)-l*b(i)/m; end end
1 2 2 4 2 2 4 4 3 1 6 2 4 1 X= 8 2 1 3 2 6
判定可解性：
>> A=[1 2 3 4; 2 2 1 1; 2 4 6 8; 4 4 2 2] B=[1; 3; 2; 6]; C=[A B]; [rank(A), rank(C)] rank(A)=rank(C)=2<4
3.1 线性方程（组）求解
解出全部解：
2 X = a1 -2.5 + a2 1 0
3 0.9542 -3.5 + 0.7328 0 -0.0763 1 -0.2977
验证得出的解： >> a1=randn(1); a2=rand(1); x=a1*Z(:, 1)+a2*Z(:, 2)+x0 norm(A*x-B)
第三章 代数方程（组）的Matlab求解
3.1 线性方程（组）求解 一方程组解个数的判定 二高斯消元法求解 三LU矩阵分解求解 四Jacobi迭代求解 五 调用内部函数求解
3.2 非线性方程（组）求解
3.1 线性方程（组）求解
一、方程组解个数及求解
Ax=B 对于矩阵
a11 a 21 A a m1 a12 a1n b11 a 22 a 2 n b 21 B a m 2 a mn b m1
3.1 线性方程（组）求解
【例3-3】
1 2 2 4 2 2 4 4 3 1 6 2 4 1 X= 8 2 1 2 3 4
>> B=[1:4]’; C=[A B]; [rank(A), rank(C)]
最小二乘解： >> x=pinv(A)*B 检验： >>norm(A*x-B)=7.47e-015
1 消元过程 （1）令 列的元素（2
1 a i1 mi1 1 a11
，进行矩阵的代数运算，可消去第一 n) n)
(2) 同理，可消去第二列的元素（3
（3） 可得任意步消元公式，假设第k步，有：
3.1 线性方程（组）求解
k a ik mik k a kk
a ijk 1 a ijk mik a k kj
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2
a1n x1 b1 a 2n x 2 b 2 a n3 x n bn
3.1 线性方程（组）求解
求解程序“ME_31_7.m”
x =（2.40, -19.20, -1.00, 4.00)’
3.1 线性方程（组）求解
三 LU矩阵分解求解
A=LU
其中
1 l 1 21 L l n1 l n 2 1
LUx=b
u11 U
u12 u1n u 22 u 2 n u nn
线性方程组解的判定定理: (1) 当 m=n 且 rank(A)=rank(C)=n 时 方程组有唯一解 x=A-1B x=inv(A)*B (2) 当rank(A)=rank(C)=r<n 时
3.1 线性方程（组）求解
方程组有无穷多解:
x a1x1 a 2 x 2 a n r x n r 其中 ai , i 1,2n r为任意数
b12 b1p b 22 b 2 p b m 2 b mp
3.1 线性方程（组）求解
解的判定矩阵,又叫增广矩阵
a11 a 21 c a m1 a12 a1n a 22 a 2 n a m 2 a mn b11 b 21 b m1 b 22 b 2 p b m 2 b mp b12 b1p
【例3-1】求解 1 4 1 4 2 3 3 1 3 2 2 3 4 5 1 1 X= 4 2 4 3 3 2 2 4
>> A=[1 2 3 4; 4 3 2 1; 1 3 2 4; 4 1 3 2]; B=[5 1; 4 2; 3 3; 2 4]; X=inv(A)*B X= -1.8000 2.4000 1.8667 -1.2667 3.8667 -3.2667 -2.1333 2.7333 检验： >>norm(A*x-B)=7.47e-015
进过n-1次主元消去之后，对后得到上三角矩阵。 通用算法
function [x,xA]= AllGaussFun(A,b) % AllGaussFun.m为用高斯全主元消去法求解线性方程组的解 % A为线性方程组的系数矩阵 % b为线性方程组的常数向量 % x为线性方程组的解 % xA为消元后的系数矩阵 N = size(A); n = N(1); indexl = 0; indexr = 0; order = 1:n; %记录未知数顺序的向量 for i=1:(n-1) me = max(max(abs(A(i:n,i:n)))); %选取全主元 for k=i:n for r=i:n if(abs(A(k,r))==me) indexl = k; indexr = r; k=n; break; end end end
i, j k 1, k 2, n
bik 1 bik mik bk k
（4） 经过n-1步消元后，系数矩阵称为上三角矩阵
a 111 a 112 a111 a11 n n 2 2 2 a 2n a 22 a 2 n 2 0 A n a n 1n 1,n 2 a n 1n 1n 0 0 0 a n nn
3.1 线性方程（组）求解
高斯全主元消去法 对于求解精度较高，或方程数量较多，易采用全主元法
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2 a1n x1 b1 a 2n x 2 b 2 a n3 x n bn
3.1 线性方程（组）求解
b 11 2 n b 2 b n b n
回归过程：
（1）首先解最后一个方程
（2）依次回代，可得到任意公式:
n k k k x k b k a kj x j / a kk , j k 1
线性方程组变为： 令：
Y组， 可得解。
function x=LUfun(A,b) % 实现LU分解求线性方程组Ax=b的解 % A为线性方程组的系数矩阵 % b为线性方程组中的常数向量 % x为线性方程组中的解 r=rank(A); % flag=isexist(A,b) %判断方程组解的情况 if flag==0 disp('该方程组无解！'); x=[]; return; else [m,n]=size(A); [L,U,P]=lu(A); %lu函数为MATLAB提供的函数实现矩阵LU分 解 b=P*b; % 解Ly=b y(1)=b(1); if m>1 for k=2:m y(k)=b(k)-L(k,1:k-1)*y(1:k-1)'; end end y=y';
a 111 a 112 a11 n 1 a 122 a 12 n 1 a 21 A 1 a n1 a 1n 2 a 1n 3
b 11 1 b 2 b 1 1 b n
3.1 线性方程（组）求解
x=UpTriangleFun(A,b); y=zeros(n,1); for i=1:n for j=1:n if(order(j)==i) y(i)=x(j); end end end x=y; 3x1 x 2 2 x 3 x 4 6 5x x 3x 1 xA =A; 1 3 4 例【3-4】求多元线性方程组的解 2 x 3 3x 4 10 4 x 4 16
3.1 线性方程（组）求解
解出规范化零空间： >>Z=null(A,'r') Z= 2.0000 3.0000 -2.5000 -3.5000 1.0000 0 0 1.0000 得出一个特解： >>X0=pinv(A)*B X0= 0.9542; 0.7328; -0.0763; -0.2977
3.1 线性方程（组）求解
二 高斯消去法求解线性方程组
高斯消去法它不需要方程组解的初值，也不需要重复迭代计 算，它通过消去和回代两个过程就可以直接求出方程组的 解。和前面的迭代法一样，在计算过程中，也有可能发散 而得不到方程组的解，但可以通过一些其它方法解决。 设一个n元方程组，以矩阵形式表示为：
3.1 线性方程（组）求解
精确解： >> x1=inv(sym(A))*B X1 = [ -9/5, 12/5] [ 28/15, -19/15] [ 58/15, -49/15] [ -32/15, 41/15] 检验： >>norm(double(A*x1-B))=0
3.1 线性方程（组）求解
k n 2, n 3,1
3.1 线性方程（组）求解
高斯消元法通用程序
function x=UpTriangleFun(A,b) % 求上三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解 % A为线性方程组的系数矩阵 % b为线性方程组中的常数向量 % x为线性方程组中的解 n=size(A); N=n(1); for k=N:-1:1 if(k<N) s=A(k,(k+1):N)*x((k+1):N,1); else s=0; end x(k,1)=(b(k)-s)/A(k,k); end
temp = A(i,1:n); A(i,1:n) = A(indexl,1:n); A(indexl,1:n) = temp; bb = b(indexl); b(indexl)=b(i); b(i) = bb; %交换主行 temp = A(1:n,i); A(1:n,i) = A(1:n,indexr); A(1:n,indexr) = temp; %交换主列 pos = order(i); order(i) = order(indexr); order(indexr) = pos; %主列的交换会造成未知数顺序的变化 for j=(i+1):n if(A(i,i)==0) disp('对角元素为0！'); return; end l = A(j,i); m = A(i,i); A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m; b(j)=b(j)-l*b(i)/m; end end