2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点32 离散型随机变量的概率(原卷版)

第2讲 概率、离散型随机变量及其分布一、选择题1.(2019甘肃兰州诊断考)某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A,B,C,D,E 中随机选取2人,赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作,则A 或B 被选中的概率是( )A.15B.25C.35D.710答案 D 从5名干部中随机选取2人有C 52=10种选法,其中只选中A 没选中B 有C 31=3种选法,只选中B 没选中A 有C 31=3种选法,A 和B 均被选中有1种选法,所以所求概率P=3+3+110=710,故选D.2.如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率为( )A.116B.316C.14D.1316答案 D 记甲,乙,丙,丁这4个开关闭合分别为事件A,B,C,D,又记甲与乙至少有一个不闭合为事件E ,则P(E )=P(A B )+P(A B)+P(A B )=34,则灯亮的概率P=1-P(E C D )=1-P(E )·P(C )·P(D )=1-34×12×12=1-316=1316. 3.(2019安徽合肥第二次教学质量检测,6)若在x 2+y 2≤1所围区域内随机取一点,则该点落在|x|+|y|≤1所围区域内的概率是( )A.1πB.2πC.12πD.1-1π答案 B x 2+y 2≤1表示的区域是半径为1的圆面,其面积为π,|x|+|y|≤1表示的区域是边长为√2的正方形及其内部,其面积为2,所以在x 2+y 2≤1所围区域内随机取一点,该点落在|x|+|y|≤1所围区域内的概率为2π,故选B.4.先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点),落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A 为“x+y 为偶数”,事件B 为“x,y 中有偶数且x ≠y ”,则概率P(B|A)=( )A.12B.13C.14D.25答案 B 正面朝上的点数(x,y)的不同结果共有C 61·C 61=36(种),事件A:“x+y 为偶数”包含事件A 1:“x,y 都为偶数”与事件A 2:“x,y 都为奇数”两个互斥事件,其中P(A 1)=C 31·C 3136=14,P(A 2)=C 31·C 3136=14,所以P(A)=P(A 1)+P(A 2)=14+14=12. 事件B 为“x,y 中有偶数且x ≠y ”,所以事件AB 为“x,y 都为偶数且x ≠y ”,所以P(AB)=C 31·C 31-336=16, 由条件概率的计算公式,得P(B|A)=P(AB)P(A)=13. 5.(2019安徽巢湖一模,6)某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的,A 学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握,最后选择题的得分为X 分,B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其他三个选项都没有把握,最后选择题的得分为Y 分,则D(Y)-D(X)=( )A.12512B.3512C.274D.234答案 A 设A 学生答对题的个数为m,得分为5m 分,则m~B (12,14),D(m)=12×14×34=94,∴D(X)=25×94=2254.设B 学生答对题的个数为n,得分为5n 分,则n~B (12,13),D(n)=12×13×23=83,∴D(Y)=25×83=2003.∴D(Y)-D(X)=2003-2254=12512.故选A. 6.(2019湖北武汉调研)为了提升学生的身体素质,学校十分重视学生的体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习,他前一球投进则后一球投进的概率为34,他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第2球投进的概率为( )A.34B.58C.716D.916答案 B 由题意得,他第2球投进的概率为34×34+(1-34)×14=58. 二、填空题7.(2018开封高三定位考试)已知函数y=cos x,x ∈[-π2,π2],则cos x ≤12的概率是 . 答案 13解析 由cos x ≤12得π3+2kπ≤x ≤5π3+2kπ,k ∈Z,又x ∈[-π2,π2],所以满足条件的x ∈[-π2,-π3]∪[π3,π2],故所求概率P=-π3-(-π2)+π2-π3π2-(-π2)=13. 8.(2019广东东莞一模,6)现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 . 答案 13解析 基本事件的总数n=C 42C 22A 22·A 22=6,乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件的个数m=C 22C 22·A 22=2,∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率P=m n =26=13.9.某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位:分)X 服从正态分布N(110,102),从中抽取一个同学的数学成绩ξ,记该同学的成绩90<ξ≤110为事件A,记该同学的成绩80<ξ≤100为事件B,则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率P(B|A)= .(用分数表示) 附:X 满足P(μ-σ<X ≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)≈0.95,P(μ-3σ<X ≤μ+3σ)≈0.99. 答案2795解析 由题意,知P(A)≈0.475,P(AB)≈12×(0.95-0.68)=0.135,所以P(B|A)=0.1350.475=2795. 10.在一投掷竹圈套小玩具的游戏中,竹圈套住小玩具的全部记2分,竹圈只套在小玩具一部分上记1分,小玩具全部在竹圈外记0分.某人投掷100个竹圈,有50个竹圈套住小玩具的全部,25个竹圈只套在小玩具一部分上,其余小玩具全部在竹圈外,以频率估计概率,则该人两次投掷后得分ξ的数学期望是 . 答案 52解析 将“竹圈套住小玩具的全部”“竹圈只套在小玩具一部分上”“小玩具全部在竹圈外”分别记为事件A,B,C,则P(A)=50100=12,P(B)=P(C)=25100=14.某人两次投掷后得分ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(ξ=0)=14×14=116,P(ξ=1)=2×14×14=18,P(ξ=2)=14×14+2×12×14=516,P(ξ=3)=2×14×12=14,P(ξ=4)=12×12=14, 故ξ的分布列为ξ 01234P116 18 516 14 14所以E(ξ)=0×116+1×18+2×516+3×14+4×14=52. 三、解答题11.(2019河北冀州高三期末,19)有编号为1,2,3,…,n 的n 个学生,入座编号为1,2,3,…,n 的n 个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法. (1)求n 的值;(2)求随机变量X 的概率分布列及数学期望E(X). 解析 (1)因为当X=2时,有C n 2种方法,因为C n 2=6,即n(n -1)2=6,也即n 2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去), 所以n=4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X, 由题意可知X 的所有可能取值是0,2,3,4,所以P(X=0)=1A 44=124,P(X=2)=C 42×1A 44=14, P(X=3)=C 43×2A 44=13,P(X=4)=1-124-14-13=38,所以X 的概率分布列为X 0234P124 14 13 38所以数学期望E(X)=0×124+2×14+3×13+4×38=3. 12.(2019湖北荆门高三调研,19)在测试中,客观题难度的计算公式为P i =R i N,其中P i 为第i 题的难度,R i 为答对该题的人数,N 为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试,共5道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度,如下表所示:题号 1 2 3 4 5 考前预估难度P i0.90.80.70.60.4测试后,随机抽取了20名学生的答题数据进行统计,结果如下:题号 1 2 3 4 5 实测答对人数161614144(1)根据题中数据,估计这240名学生中第5题的实测答对人数;(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生,记这2名学生中答对第5题的人数为X,求X 的分布列和数学期望;(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差,设P i '为第i 题的实测难度,并定义统计量S=1n [(P 1'-P 1)2+(P 2'-P 2)2+…+(P n '-P n )2],若S<0.05,则本次测试的难度预估合理,否则不合理,试检验本次测试对难度的预估是否合理.解析 (1)因为20人中答对第5题的人数为4,所以第5题的实测难度为420=0.2,所以,估计240人中有240×0.2=48人实测答对第5题. (2)X 的所有可能取值是0,1,2.P(X=0)=C 162C 202=1219,P(X=1)=C 161C 41C 202=3295,P(X=2)=C 42C 202=395.所以X 的分布列为X 012P1219 3295 395EX=0×1219+1×3295+2×395=3895=25. (3)将抽样的20名学生测试中第i 题的实测难度作为240名学生测试中第i 题的实测难度. 列表如下:题号12 3 4 5 实测难度 0.80.80.70.70.2S=15×[(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2-0.4)2]=0.012. 因为S=0.012<0.05,所以,本次测试的难度预估是合理的.13.(2019江西九江二模,19)某企业打算处理一批产品,这些产品每箱100件,以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能:10%或者20%,两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元,废品不值钱.现处理价格为每箱8 400元,遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望作为决策依据. (1)在不开箱检验的情况下,判断是否可以购买;(2)现允许开箱,有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.①若此箱出现的废品率为20%,记抽到的废品数为X,求X 的分布列和数学期望; ②若已发现在抽取检验的2件产品中,恰有一件是废品,判断是否可以购买. 解析 (1)在不开箱检验的情况下,一箱产品中正品的价格期望为100×(1-0.2)×100×0.5+100×(1-0.1)×100×0.5=8 500,∵8 500>8 400, ∴在不开箱检验的情况下,可以购买. (2)①X 的可能取值为0,1,2, P(X=0)=C 20×0.20×0.82=0.64, P(X=1)=C 21×0.21×0.81=0.32, P(X=2)=C 22×0.22×0.80=0.04, ∴X 的分布列为X 0 1 2 P0.640.320.04E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.②设事件A:发现在抽取检验的2件产品中,恰有一件是废品, 则P(A)=C 21×0.2×0.8×0.5+C 21×0.1×0.9×0.5=0.25, 一箱产品中,设正品的价格的期望为η元,则η=8 000,9 000, 设事件B 1:抽取废品率为20%的一箱,则P(η=8 000)=P(B 1|A)=P(AB 1)P(A)=C 21×0.2×0.8×0.50.25=0.64, 设事件B 2:抽取废品率为10%的一箱, 则P(η=9 000)=P(B 2|A)=P(AB 2)P(A)=C 21×0.1×0.9×0.50.25=0.36, ∴E(η)=8 000×0.64+9 000×0.36=8 360,∵8 360<8 400,∴已发现在抽取检验的2件产品中,恰有一件是废品,则不可以购买.。

北京市2020年〖华师大版〗高三数学复习试卷离散型随机变量及分布列创作人：百里浩荡 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂飘拂创作单位： 雅礼明智德学校一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤52.已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k，k ＝1,2，…，则P (2＜X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.5163.已知随机变量X 的概率分布列如下表：X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P23232233234 235236237238239m则P (X ＝10)＝( ) A.239 B.2310 C.139D.13104. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E(X)>1.75，则p 的取值范围是( ) A ．(0，712) B ．(712，1)C ．(0，12) D ．(12，1) 5. 某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为( ) A.13B.12 C.23D.346. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)7. 设随机变量X 的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 Pa1316 F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1,2)时，F (x )等于( ) 13A.16B.56D.12C. 8. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X =A.126125 B.65 C.168125 D.75 二、填空题9. 已知某一随机变量X 的分布列如下： X 3 b8P0.20.5 a且()6E X =，则a ＝__________；b ＝__________. 10. 设随机变量ξ的概率分布列为()1cP k k ξ==+（k ＝0，1，2，3），则(2)P ξ==． =EX．X0 1 2 3 p 0.1 0.3 0.4 0.2三、解答题12.(·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？13.(·贵州黔东南月考)有甲、乙、丙、丁、戊五位工人参加技能竞赛培训．现分别从甲、乙两人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，用茎叶图表示这两组数据如图所示.甲 乙 9 8 7 5 4 1 8 0 3 5 5 392 5(1)现要从甲、乙两人中选派一人参加技能竞赛，从平均成绩及发挥稳定性角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由．(2)若将频率视为概率，对甲工人在今后3次的竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X ，求X 的分布列及期望E (X )．14. （广州市荔湾区高三调研测试、理、19）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下： b a ,的值；（1）求表中的（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求: ① 5天中该种商品恰好有2天的销售量为 1.5吨的概率;②已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元)求ξ的分布列和期望.15. 【上饶市高三第二次高考模拟考试】2月21日，《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》明确：坚持计划生育的基本国策，启动实施一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子的政策.为了解某地区城镇居民和农村居民对“单独两孩”的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否赞成“单独两孩”的问题，调查统计的结果如下表：赞成反对无所谓农村居民2100人 120人 y 人 城镇居民600人x 人z 人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“反对”态度的人的概率为0.05.（1） 现在分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2） 在持“反对”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，按每组3人分成两组进行深入交流，求第一组中农村居民人数ξ的分布列和数学期望.16. 【咸阳市高考模拟考试试题（一）】 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为2141，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为4121，；两人日销售量（吨） 11.52频数 10 2515频率0.2a b态度 调 查人群租车时间都不会超过四小时.（Ⅰ）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE.17.【新余市高三第二次模拟考试数学】某网络营销部门为了统计某市网友11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（1）试确定x，y，p，q的值；（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．18.【高考山东卷第18题】乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B，乙被划分为两个不相交的区域,C D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.【长安一中-度高三第一学期第三次教学质量检测】一中食堂有一个面食窗口,假设学生买饭所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往学生买饭所需的时间统计结果如下:买饭时间（分） 1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个学生开始买饭时计时.（Ⅰ）估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率;（Ⅱ）X表示至第2分钟末已买完饭的人数,求X的分布列及数学期望20.【邯郸市高三上学期第二次模拟考试】（本小题满分12分）某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担．若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元．为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：统计信息汽车行驶路线在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)堵车的概率运费(万元)公路1231101.6公路214120.8（Iξξ)(ξE；（II）如果你是牛奶厂的决策者，你选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？(注：毛收入＝销售商支付给牛奶厂的费用－运费)21.【高考山东，理19】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.22. 【高考安徽，理17】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.创作人：百里浩荡创作日期：202B.03.31审核人：北堂飘拂创作单位：雅礼明智德学校。

概率与统计（3）离散型随机变量及其分布列1、已知X 的分布列如下，且()733Y aX E Y =+=，，则的值为（ ）X 1-1P121316A.1B.2C.3D.42、设01p <<，随机变量ξ的分布列如下表：ξ0 1 2p12p- 12 2p 则当p 在(0,1)内增大时（ ） A. ()D ξ减小B. ()D ξ增大C. ()D ξ先减小后增大D. ()D ξ先增大后减小3、随机变量X 的分布列如下表，且()2E x =，则()23D x -=（ ）X 02aP16p13A.2B.3C.4D.54、设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X1-0 1P1212q -2q则q 等于( ) A ．1B ．21±C ．21-D ．21+5、若离散型随机变量的分布列为12()(15,Z)(21)(21)+⋅==≤≤∈--kk k m P X k k k , 则1522⎛⎫<< ⎪⎝⎭P X 的值为 ( ) A. 2731B. 2131C. 1531D. 9316、若随机变量X 的分布列为：已知随机变量,(,R,0)Y aX b a b a =+∈>且()10,()4,E Y D Y ==则a 与b 的值为( ) A.10,3a b == B.3,10a b == C.5,6a b ==D.6,5a b ==7、一袋中装5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( ) A ．B ．C ．D ．8、已知η的分布列为：设32ξη=-则E ξ的值为（ ）A. 3-B. 43C. 23-D. 59、随机变量X 的分布列如下表,则()E X 等于 ( )A.2.4B.3C.2.2D.2.310、设随机变量ξ等可能取值123,,n L ，，，，若(4)0.3P ξ<=,则n 的值为（ ） A.3 B.4 C.10 D.不确定 11、已知随机变量ξ的分布列如下表，则x =________.12、若离散型随机变量X 的概率分布列为则常数m =___________13、已知离散型随机变量η的分布列如下表:则()14Pη<≤=__________14、已知随机变量ξ的分布列为:15、2018年是中国改革开放40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段:[)[)20,3,30,40，…，[)70,80，并绘制了如图所示的频率分布(1)现从年龄在[)[)[)20,3,30,40,40,50内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示年龄在[)30,40内的人数，求X 的分布列和数学期望； (2)若将样本的频率视为概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[)30,50内的概率为()01220()P Y k k ==⋯,,,,，当()P Y k =最大时，求k 的值答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：()11111012363X E =-⨯+⨯+⨯=-，()()()1733333E Y E aX aE X a =+=+=-+=，∴2a =. 故选B.2答案及解析： 答案：D解析：设01p <<，随机变量ξ的分布列是111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+； 方差是22211111()(0)(1)(2)222222p p D p p p ξ-=--⨯+--⨯+--⨯22111()422p p p =-++=--+，1(0,)2p ∈∴时，()D ξ单调递增；1(,1)2p ∈时，()D ξ单调递减；所以()D ξ先增大后减小． 故选：D ．3答案及解析： 答案：C解析：由题意可得:11163p ++=，解得12p =， 因为()2E X =，所以: 111022623a ⨯+⨯+⨯=，解得3a =()()()()2221110222321623D X =-⨯+-⨯+-⨯=，()()2344D X D X -==.所以C 选项是正确的.4答案及解析：答案：C解析：由分布列的性质得2201210111212q q q q ⎧⎪≤-<⎪≤<⎨⎪⎪+-+=⎩1021q q ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩所以q等于1故选C5答案及解析： 答案：A 解析：6答案及解析： 答案：C解析：由随机变量的分布列可知，10.20.8m =-=， ()00.210.80.8E X ∴=⨯+⨯=,()10.20.80.16D X =⨯⨯=， ()()10E Y aE X b ∴=+=2()()4D Y a D X ==0.810a b ∴+=,20.164a =5,6a b ∴==7答案及解析： 答案：C 解析：8答案及解析： 答案：A 解析：9答案及解析： 答案：A解析：由表格可求得()00.320.240.5 2.4E X =⨯+⨯+⨯=.故选A.10答案及解析： 答案：C 解析：11答案及解析： 答案：12解析：由随机变量概率分布列的性质可知：2114x x ++=，且01x ≤≤， 解得12x = 故答案为1212答案及解析： 答案：13解析：13答案及解析： 答案：0.45解析：由分布列的性质,得0.20.250.10.150.21x +++++=,解得0.1x =,所以()()()()1423=4=0.1+0.25+0.1=0.45P P P P ηηηη<≤==+=+14答案及解析： 答案：0.49解析：由随机变量分布列性质可得13115102p =--=.又11301 1.15210E x ξ=⨯+⨯+⨯=,解得2x =.可得()()()2221130 1.11 1.12 1.10.495210D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=.15答案及解析：答案：(1)按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[)20,30内的人数为0.005810.0050.0100.025⨯=++，年龄在[)30,40内的人数为0.010810.0050.0100.025⨯=++，年龄在[)40,50内的人数为0.025850.0050.0100.025⨯=++. 所以X 的可能取值为0，1，2，所以()3062385014C C P X C ===；()21623815128C C P X C ===；()1262383228C C P X C ===.所以X 的分布列为则()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (2)由题知Y 服从二项分布，由频率分布直方图可知，年龄在[)30,50内的频率为()0.0100.025100.35+⨯=，所以()20,0.35B :Y ，所以()()()20200.3510.350122()0kkkP Y k C k -==-=⋯,,,,.设()()1P Y K t P Y k ===-()()()()20201211200.3510.350.3510.35k k kk k k C C -----=-()()7211,2,...,2016k k k-=. 若1t >，则7.35k <，()()1P Y k P Y k =-<=； 若1t <，则7.35k >，()()1k P Y k P Y =->=.所以当7k =时，()P Y k =最大，即当()P Y k =最大时，k 的值为7. 解析：。

专题限时集训(五) 概率、随机变量及其分布[专题通关练] (建议用时：30分钟)1．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B.35 C.18125D.54125D [由题意可知抽到黄球的次数ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35， ∴P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25＝54125.]2．(2019·咸阳二模)已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为16，14，13，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为( )A.3172B.712C.2572D.1572B [甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为16，14，13，且三个录取结果相互之间没有影响，∴他们三人中至少有一人被录取的概率为：P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝712.故选B.] 3.(2019·郑州二模)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 5)A ．906B ．2 718C ．1 359D ．3 413C [∵X ～N (－1,1)，∴阴影部分的面积S ＝P (0﹤X ≤1)＝12[P (－3﹤x ≤1)－P (－2﹤x ≤0)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9， ∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.135 9＝1 359.故选C.]4．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( )A.13 B.25 C.23D.45B [由题意，甲获得冠军的概率为23×23＋23×13×23＋13×23×23＝2027，其中比赛进行了3局的概率为23×13×23＋13×23×23＝827，∴所求概率为827÷2027＝25，故选B.]5．(2019·巢湖市一模)某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则D (Y )－D (X )的值为( )A.12512B.3512C.274D.234A [设A 学生答对题的个数为m ，得分5m ，则m ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，D (m )＝12×14×34＝94， ∴D (X )＝25×94＝2254.设B 学生答对题的个数为n ，得分5n ，则n ～B ⎝⎛⎭⎪⎫12，13， D (n )＝12×13×23＝83，∴D (Y )＝25×83＝2003.∴D (Y )－D (X )＝2003－2254＝12512.故选A.]6．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (0≤X ≤2)＝0.3，则P (X ＞4)＝________. 0.2 [由正态分布的特征可知P (0≤X ≤2)＝P (2≤X ≤4)＝0.3.又P (X ≥2)＝0.5，∴P (X ＞4)＝0.5－0.3＝0.2.]7．[易错题]某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．200 [将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，…，1 000，由题意可知ξ～B (1 000,0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，又因为X ＝2ξ，所以E (X )＝2E (ξ)＝200.]8．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于________．12[由题意可知，n (B )＝C 1322＝12，n (AB )＝A 33＝6， 所以P (A |B )＝n AB n B ＝612＝12.][能力提升练] (建议用时：30分钟)9．根据以往的数据统计，某支深受广大球迷喜欢的足球队中，乙球员能够胜任前锋、中场、后卫及守门员四个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1，当出任前锋、中场、后卫及守门员时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.则(1)当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；(2)当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率； (3)如果你是教练员，应用概率统计的相关知识分析，如何安排乙球员能使赢球场次更多？[解] 设A 1表示“乙球员担当前锋”，A 2表示“乙球员担当中场”，A 3表示“乙球员担当后卫”，A 4表示“乙球员担当守门员”，B 表示“球队某场比赛输球”．(1)P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＋P (A 4)P (B |A 4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32.(2)由(1)知，P (B )＝0.32， 所以P (A 1|B )＝P A 1B P B ＝0.2×0.40.32＝0.25.(3)因为P (A 1|B )∶P (A 2|B )∶P (A 3|B )∶P (A 4|B )＝0.08∶0.10∶0.12∶0.02＝4∶5∶6∶1， 所以多安排乙球员担当守门员，能够赢球场次更多．10．为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．[解] 设A i (i ＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化验次数为i 次；B j (j ＝2,3)表示方案乙所需化验的次数为j 次，方案甲与方案乙相互独立．(1)P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (A 4)＝16，P (A 5)＝13，P (B 2)＝C 25C 36C 13＋C 35C 36C 13＝13，P (B 3)＝1－P (B 2)＝23，用事件D 表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数， 则P (D )＝P (A 2B 2＋A 3B 3)＝P (A 2)P (B 2)＋P (A 3)P (B 3)＝16×13＋16×23＝16.(2)η的可能取值为1,2,3,4,5.ξ的可能取值为2,3.由(1)知P (η＝1)＝P (η＝2)＝P (η＝3)＝P (η＝4)＝16，P (η＝5)＝13，所以E (η)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×13＝103，P (ξ＝2)＝P (B 2)＝13，P (ξ＝3)＝P (B 3)＝23，所以E (ξ)＝2×13＋3×23＝83. 因为E (ξ)＜E (η)，所以从经济角度考虑方案乙最佳．11．(2019·昆明模拟)为了解甲、乙两种产品的质量，从中分别随机抽取了10件样品，测量产品中某种元素的含量(单位：毫克)，如图所示是测量数据的茎叶图．规定：当产品中的此种元素的含量不小于18毫克时，该产品为优等品．(1)试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率；(2)从乙产品抽取的10件样品中随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E (ξ)；(3)从甲产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件，也从乙产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件，抽到的优等品中，记“甲产品恰比乙产品多2件”为事件C ，求事件C 的概率．[解](1)从甲产品抽取的10件样品中优等品有4件，优等品率为410＝25，从乙产品抽取的10件样品中优等品有5件，优等品率为510＝12.故甲、乙两种产品的优等品率分别为25，12.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 35C 310＝112，P (ξ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，P (ξ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，P (ξ＝3)＝C 35C 310＝112.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×12＋1×12＋2×12＋3×12＝2.(3)抽到的优等品中，甲产品恰比乙产品多2件包括两种情况：“抽到的优等品数甲产品2件且乙产品0件”，“抽到的优等品数甲产品3件且乙产品1件”，分别记为事件A ，B ，P (A )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝9250， P (B )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253×C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝3125， 故抽到的优等品中甲产品恰比乙产品多2件的概率为P (C )＝P (A )＋P (B )＝9250＋3125＝350. 12．春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在{11,12，…，30}范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在{11,12，…，30}范围内取值(每天进1次货)．商店每销售1盒礼盒可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼盒亏损10元；若供不应求，可从其他商店调拨，销售1盒礼盒可获利30元．设该礼盒每天的需求量为x 盒，进货量为a 盒，商店的日利润为y 元．(1)求商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式；(2)试计算进货量a 为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值．[解](1)由题意得商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50a ＋x －a ，a ≤x ≤30，x ∈Z ，50x －a －x ，11≤x ＜a ，x ∈Z ，化简得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20a ，a ≤x ≤30，x ∈Z ，60x －10a ，11≤x ＜a ，x ∈Z .(2)日利润y 的分布列为E (y )＝120·{(60×11－10a )＋(60×12－10a )＋…＋[60×(a －1)－10a ]}＋120·{(30a ＋20a )＋[30(a ＋1)＋20a ]＋…＋(30×30＋20a )}＝120⎣⎢⎡⎦⎥⎤60×＋a －a －2－10a a －＋30×a ＋－a2＋20a (31－a )＝－34a 2＋1434a ＋1 0652，结合二次函数的知识，当a ＝24时，日利润y 的数学期望最大，最大值为958.5元．【押题1】 三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为2，4，4，将T 2，T 3两个元件并联后再和T 1串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为________．1532 [三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将T 2，T 3两个元件并联后再和T 1串联接入电路，则电路不发生故障的概率为：p ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×34＋34×14＋34×34＝1532.] 【押题2】 某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8 400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据．(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X ，求X 的分布列和数学期望； ②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买． [解](1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：E (ξ)＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500＞8 400，∴在不开箱检验的情况下，可以购买． (2)①X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 02×0.20×0.82＝0.64， P (X ＝1)＝C 12×0.21×0.81＝0.32， P (X ＝2)＝C 22×0.80×0.22＝0.04，∴X 的分布列为：E (X )②设事件A ：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品， 则P (A )＝C 12×0.2×0.8×0.5＋C 12×0.1×0.9×0.5＝0.25， 一箱产品中，设正品的价格的期望值为η，则η＝8 000,9 000， 事件B 1：抽取的废品率为20%的一箱，则P (η＝8 000)＝P (B 1|A )＝P AB 1P A＝C12×0.2×0.8×0.50.25＝0.64，事件B2：抽取的废品率为10%的一箱，则P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝P AB2P A＝C12×0.1×0.9×0.50.25＝0.36，∴E(η)＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360＜8 400，∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买．。

姓名，年级：时间：专题强化训练[基础达标］1．某同学求得一离散型随机变量的分布列为X012P0。

20.33a－1A．0。

3 B．0.4 C．0.5 D．0。

6解析：选C.由分布列性质得0.2＋0。

3＋3a－1＝1，所以a＝0。

5,故选C.2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取出白球的概率为( ）A。

错误! B.错误! C.错误! D。

错误!解析:选A。

从15个球中任取一球有15种取法,取出白球有6种，所以取出白球的概率P＝615＝25。

3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0）等于（)A．0 B.错误! C。

错误! D.错误!解析：选C.设X的分布列为X01P p2p错误!故应选C.4．(2019·嘉兴市一中高考适应性考试)随机变量X的分布列如下表,且E （X)＝2，则D(2X－3)＝( )X02aP错误!p错误!解析：选C。

由题意可得：错误!＋p＋错误!＝1，解得p＝错误!，因为E（X)＝2，所以0×错误!＋2×错误!＋a×错误!＝2,解得a＝3.D(X）＝（0－2)2×错误!＋（2－2)2×错误!＋(3－2）2×错误!＝1.D(2X－3）＝4D（X)＝4.故选C。

5．若随机变量X的分布列为，其中C为常数，则下列结论正确的是（)A．E（X）＝D（X）＝0 B．E(X）＝C，D(X）＝0C．E(X)＝0，D（X）＝C D．E（X）＝D(X)＝C解析：选B.E（X）＝C×1＝C，D(X）＝（E(X）－C)2×1＝0，故选B。

6．设随机变量Y的分布列如下表：Y－123P错误!m错误!≤Y≤错误!”的概率为（）则“2A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!解析：选C。

依题意知，错误!＋m＋错误!＝1，则m＝错误!.故P错误!＝P(Y＝2）＋P（Y＝3)＝错误!＋错误!＝错误!。

第1讲概率、随机变量及其分布［做小题——激活思维］1．若随机变量X的分布列如表所示，E(X）＝1。

6,则a－b＝( ）X0123P0。

1a b0。

1A．0.2C．0。

8 D．－0。

8B［由0。

1＋a＋b＋0.1＝1,得a＋b＝0。

8,又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0。

1＝1。

6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0。

3,b＝0.5，则a－b＝－0。

2.］2．已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0。

5,两个路口连续遇到红灯的概率为0。

4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( )A．0。

6 B．0.7C．0.8 D．0。

9C［记“第一个路口遇到红灯"为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P（A）＝0.5，P（AB)＝0。

4，则P（B｜A)＝错误!＝0.8，故选C。

]3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!,两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ）A。

错误!B。

错误!C。

14D。

错误!B［设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)＝错误!,P(B）＝错误!，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A错误!)＋P（错误!B)＝P（A)P（错误!）＋P(错误!）P(B）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

］4．设随机变量X~B(2，p），Y～B（4，p)，若P（X≥1）＝错误!,则P(Y≥1）＝( ）A.错误!B。

错误!C。

错误!D．1C[∵X～B(2，p），∴P（X≥1）＝1－P(X＝0）＝1－C错误!（1－p)2＝错误!，解得p＝错误!,∴P(Y≥1）＝1－P（Y＝0)＝1－C0，4（1－p)4＝1－错误!＝错误!，故选C.］5．罐中有6个红球和4个白球，从中任取1球,记住颜色后再放回，连续取4次,设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为________．错误!［因为是有放回地取球，所以每次取球（试验）取得红球（成功）的概率均为错误!，连续取4次(做4次试验），X为取得红球（成功）的次数,则X~B错误!，∴D(X）＝4×错误!×错误!＝错误!.]6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米)服从正态分布N（0,32)，从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6）内的概率为________．（附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2），则P(μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0。

离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________． 解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)． 解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ， 则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。