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初高中数学衔接讲义一、课程简介本讲义旨在帮助初高中学生顺利衔接高中数学知识，提高数学成绩。
本讲义涵盖了初中数学的基础知识，并在此基础上增加了高中数学的新内容，包括函数、数列、不等式等。
通过本讲义的学习，学生将掌握高中数学的基本概念和方法，培养数学思维和解决问题的能力。
二、课程目标掌握初中数学基础知识，包括代数、几何等。
了解高中数学的新内容，包括函数、数列、不等式等。
培养数学思维和解决问题的能力，为高中数学学习打下基础。
激发学生对数学的兴趣和热情，培养自主学习能力。
三、课程内容初中数学知识回顾初中数学知识是高中数学的基础，因此在本讲义的开始，我们将对初中数学知识进行回顾。
包括代数基础知识（如代数式、方程、不等式等）、几何基础知识（如三角形、四边形、圆等）以及统计基础知识（如平均数、中位数、众数等）。
高中数学知识介绍本讲义将介绍高中数学的新内容，包括函数、数列、不等式等。
通过具体实例和练习题，帮助学生了解这些概念和方法的基本应用。
此外，本讲义还将介绍一些数学思想和方法，如分类讨论、归纳推理等。
典型例题解析本讲义将选取一些典型例题进行解析，帮助学生理解初中和高中的数学知识的应用方法和解题思路。
通过这些例题的解析，学生将掌握解题技巧和提高解决问题的能力。
数学趣味知识拓展本讲义将穿插一些数学趣味知识，包括数学历史、数学文化等方面。
这些内容将帮助学生了解数学的趣味性和实用性，激发学生对数学的兴趣和热情。
练习题及答案本讲义将提供一定数量的练习题，包括初中和高中数学知识，帮助学生巩固所学知识和提高解题能力。
同时，本讲义还将提供参考答案，供学生自我评估和纠正错题使用。
四、课程安排本讲义将根据学生的实际情况和学习需求进行安排。
一般情况下，建议按照每周2-3课时的学习进度进行学习。
具体安排可根据学生的学习能力和时间情况进行调整。
五、总结通过本讲义的学习，学生将掌握初中和高中的数学知识，培养数学思维和解决问题的能力，为高中数学学习打下基础。
第一章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念一、集合的有关概念：1、集合的概念（1）集合：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。
通俗理解为：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、元素对于集合的关系（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……（2）元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（3）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作Aa ∈（4）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）4、特定集合及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR1N；1.5N；2Z ；二、集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例：（1）、由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为（2）、方程组⎩⎨⎧=-=+2-0y x y x 的解的集合，可以表示为（3）、所有正奇数组成的集合：2、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．格式：{x ∈A|P （x ）}即{研究对象|具有的性质}其中x 表示该集合的代表元素，()p x 表示该集合中所有的元素具有性质。
例：（1）大于1的数组成的集合可以表示为：（2）小于3的自然数组成的集合可以表示为：（3）直线y=2x-1的点组成的集合可以表示为：（4）所有直角三角形的集合可以表示为：（5）函数2-x y =的自变量的所有取值组成的集合可以表示为：（6）函数2-x y =的因变量的所有取值组成的集合可以表示为：（7）奇数集我们可以记为．注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{全体直角三角形}；{大于104的所有实数}；{大于104的实数集}3、图示法：①数轴表示，例如，不等式73x -<的解集为{|10}x R x ∈<，可以表示为②坐标平面表示法（用点和图形来表示）③用韦恩图（Venn 图）表示：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
高初中数学的衔接讲座-育才编（全套，新课标人教A版）如何做好高、初中数学的衔接●第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。
这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。
高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。
初高中数学衔接讲义摘要：一、引言1.初高中数学衔接的重要性2.初高中数学内容的差异和挑战二、初高中数学衔接策略1.知识体系的构建2.学习方法的调整3.学习态度的转变4.时间的管理和规划三、具体学科的衔接方法1.数学思维的培养2.数学运算能力的提升3.数学解题技巧的训练四、应对数学考试的策略1.熟悉考试大纲和题型2.做好复习计划和时间分配3.提高应试技巧和心理素质五、实例解析1.初高中数学衔接案例分享2.成功学员的经验总结六、结语1.初高中数学衔接的长期性和持续性2.鼓励学生勇敢面对挑战，积极学习正文：初高中数学衔接讲义一、引言随着我国教育制度的深化改革，初高中阶段的学习成为了每个学生必经的历程。
在这个阶段，数学作为基础学科之一，其重要性不言而喻。
然而，许多学生在升入高中后，往往会发现数学学科的难度有了明显的提升，初高中数学的衔接成为了一道必须要过的难关。
1.初高中数学衔接的重要性初高中数学衔接不仅关乎学生高中阶段的学习，更影响到学生的未来发展和职业生涯。
一个良好的衔接，能够帮助学生建立扎实的数学基础，培养良好的数学素养，为后续学习提供有力支持。
2.初高中数学内容的差异和挑战相较于初中数学，高中数学在知识点、难度、思维方式等方面都有了很大提升。
例如，高中数学更注重知识的体系性和逻辑性，要求学生具备较强的抽象思维和逻辑推理能力。
同时，高中数学的题型也更加丰富多样，需要学生掌握一定的解题技巧。
二、初高中数学衔接策略面对初高中数学的差异和挑战，学生需要调整自己的学习策略，以更好地适应高中数学的学习。
1.知识体系的构建学生在学习高中数学时，应重视知识体系的构建。
可以从以下几个方面入手：（1）理清知识点之间的关系；（2）把握数学概念的本质；（3）了解数学方法的应用场景。
2.学习方法的调整初高中数学的学习方法有很大差异。
初中数学侧重于模仿和记忆，而高中数学则需要学生理解概念、探索方法、总结规律。
因此，学生应调整学习方法，培养自己的独立思考和解决问题的能力。
2023年初高中数学衔接经典教材讲义引言本讲义旨在帮助初中毕业生顺利过渡到高中数学研究阶段，通过介绍一些经典教材内容和相关知识点，为他们打下坚实的数学基础。
一、数与式1. 整数与有理数- 整数的定义与性质- 有理数的概念和运算规律- 实数集的组成及其性质2. 代数式与多项式- 代数式的定义和基本运算- 多项式的概念及其展开与合并- 一元一次方程的解法二、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义和函数图像的性质- 一次函数、二次函数及其图像特征2. 方程与不等式- 一元一次方程与一元一次不等式的解法- 一元二次方程的解法- 一元二次不等式的解法三、图形的性质与变换1. 图形的基本概念- 点、线、线段、射线等基本概念- 角的概念及其分类2. 图形的变化- 平移、旋转、翻转和对称等基本变换- 图形的相似性和全等性四、数列与函数1. 数列的概念与应用- 数列的定义及常见数列的性质- 等差数列与等比数列2. 函数的应用- 二次函数的应用问题- 指数函数与对数函数的应用五、几何证明1. 几何基本概念及分类- 点、线、角、三角形等基本概念- 同位角、对顶角、同旁内角等角度关系2. 几何证明方法- 直线与平行线的证明- 三角形的相似性及判定结论通过研究本讲义，初中毕业生将对高中数学学科的重要内容有所了解，为进一步研究和掌握打下良好的基础。
我们鼓励学生运用所学知识进行实际问题的解决，在实践中不断提高数学能力。
希望大家能够善于思考、勤于实践，取得在数学研究中更大的成就！_注：本讲义内容仅为经典教材的概述，并不涵盖所有具体知识点和例题。
具体学习还需参考相关教材和教学指导。
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初高中数学衔接班讲义初高中衔接班数学讲义第1课时数与式(一)??a，a＞0，一、绝对值 |a|＝?0，a＝0，?－a，a＜0．?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．0 aO |aA x 图1－1(1) a 0 A |aO x绝对值的性质：两个互为相反数的绝对值相等．即|a|＝|－a|．两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．a bx B A |a－b| 图1－2(1)b ax A B|a－b|图1－2(2)例1 解方程：（1）|x－1|＝2．（2）|x－1|＋|x－3|＝4．练习 1．填空：(1)若|x|＝5，则x＝_________；若|x|＝|－4|，则x＝_________．(2)如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝________． 3．化简：|x－5|－|2x－13|(x＞5)．4．解方程：(1)|x－2|＝1； (2)|x＋2|＋|x－1|＝4； (3)|x－2|＋|2x＋3|＝6．二、乘法公式(1)立方和公式： (a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； (2)立方差公式： (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(3)三数和平方公式 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca； (4)两数和立方公式 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (5)两数差立方公式 (a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3．1图1－1(2)初高中衔接班数学讲义例1 化简：(x－1)(x+1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．111例2 若x＋＝3，求x2＋2和x－的值．xxx例3 已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ca＝4，求a2＋b2＋c2的值．练习11111． (1)a2－b2＝(b＋a)( )； (2)(4m＋ )2＝16m2＋4m＋( )；9423(3)(a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋( )．12．(1)若x2＋mx＋k是一个完全平方式，则k等于 ( )2111(A)m2 (B)m2 (C)m2 (D)m2431622(2)不论a，b为何实数，a＋b－2a－4b＋8的值( ) (A)总是正数 (B)总是负数(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数三、二次根式1．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程a，a＞0，???a，a≥0，2．二次根式a2的意义 a2＝|a|＝?0，a＝0，也可以写成a2＝|a|＝?－a，a＜0．???－a，a＜0．例1 将下列式子化为最简二次根式：(1)12b；(2)a2b(a≥0)；(3)4x6y(x＜0)．例2 计算：3÷(3－3)．2例3 试比较下列各组数的大小：(1)12－11和11－10；(2)和22－6．6＋41例 4 化简：(1)9－45；(2)x2＋2－2(0＜x＜1)．x练习2初高中衔接班数学讲义1－31．(1)＝________________；1＋3(2)若(5－x)(x－3)2＝(x－3)5－x，则x的取值范围是_______； (3)424－654＋396－2150＝______________；x＋1－x－1x＋1＋x－15(4)若x＝，则＋＝_________．2x＋1＋x－1x＋1－x－1xx＝成立的条件是( ) x?2x?2(A)x≠2 (B)x＞0 (C)x＞2 (D)0＜x＜2a2－1＋1－a23．若b＝，求a＋b的值．a＋14．比较大小：2－3 5－4(填“＞”，或“＜”)． 5．(1)(2＋3)18(2－3)19＝________；(2)若(1－a)2＋(1＋a)2＝2，则a满足的条件是____；1111(3)＋＋＋＝_______． 1＋22＋33＋44＋52．等式3初高中衔接班数学讲义第2课时数与式(二)一、分式5x＋4AB例1 若对于一切不为0且不为－2的实数x，＝＋，求常数A，B的值．x(x＋2)xx＋2例2 (1)试证：＝－(其中n是正整数)；n(n＋1)nn＋1111(2)计算：＋＋…＋；1×22×39×10(3)证明：对任意大于1的正整数n，有1111＋＋…＋＜；2×33×4n(n＋1)2c例3 设e＝，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．a练习1111．对任意的正整数n，＝ (－)．nn＋2n(n＋2)3a2－ab112．若a＝，b＝，则2＝_______．233a＋5ab－2b2x2＋3xy＋y2223．若x＋xy－2y＝0，xy≠0，则＝______．x2＋y2x－y4．正数x，y满足x2－y2＝2xy，求的值．x＋y5．计算：111111(1)＋＋…＋；(2)＋＋…＋．1×22×399×1001×32×49×11 6．试证：对任意的正整数n，有＋＋…＋＜．1×2×32×3×4n(n＋1)(n＋2)4二、分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法4初高中衔接班数学讲义例1 分解因式：(1)x2－3x＋2； (2)x2＋4x－12； (3)x2－(a＋b)xy＋aby2； (4)xy－1＋x－y．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：(1)x3＋3x2＋3x＋9； (2)2x2＋xy－y2－4x＋5y－6．3．关于x的二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2)．例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x2＋2x－1；(2)x2＋4xy－4y2．练习1．多项式2x2－xy－15y2的一个因式为 ( )(A)2x－5y (B)x－3y (C)x＋3y (D)x－5y 2．分解因式：(1)x2＋6x＋8； (2)8a3－b3；(3)x2－2x－1； (4)4(x－y＋1)＋y(y－2x)． 3．分解因式： (1)a3＋1；(2)4x4－13x2＋9； (3)b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc； (4)3x2＋5xy－2y2＋x＋9y－4．4．在实数范围内因式分解：(1)x2－5x＋3； (2)x2－22x－3； (3)3x2＋4xy－y2； (4)(x2－2x)2－7(x2－2x)＋12．5．△ABC三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判定△ABC的形状．6．分解因式：x2＋x－(a2－a)．5感谢您的阅读，祝您生活愉快。
初高中数学衔接基础知识点专题初高中数学衔接知识点专题临洮二中数学组董学峰★专题一数与式的运算【要点回顾】1．绝对值[1]绝对值的代数意义：．即．[2]绝对值的几何意义：的距离．[3]两个数的差的绝对值的几何意义：表示的距离．[4]两个绝对值不等式:；．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1][公式2](立方和公式)[公式3] (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”．3．根式[1]式子叫做二次根式，其性质如下：(1) ；(2) ；(3) ； (4) ．[2]平方根与算术平方根的概念：叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方根．[3]立方根的概念：叫做的立方根，记为4．分式[1]分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：（1）；（2）．[2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．[3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）（2）＞4．例2 计算：（1）（2）（3）（4）例3 已知，求的值．例4 已知，求的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）（3）（4）例6 设，求的值．例7 化简：（1）（2）（1）解法一：原式=解法二：原式=（2）解：原式=说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．【巩固练习】1．解不等式2．设，求代数式的值．3．当，求的值．4．设，求的值．5．计算6．化简或计算：(1) (2)(3) (4)★专题二因式分解【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．[4][5](立方和公式)[6] (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式3．十字相乘法（1）型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵，∴运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．（2）一般二次三项式型的因式分解由我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法【例题选讲】例1 （公式法）分解因式：(1) ；(2)例2 （分组分解法）分解因式：（1）（2）例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) (2)(3) (4)解：（1）（2）（3）分析：把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．解：(4) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．解：例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) ；(2)解：(1)(2)说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．例5 （拆项法）分解因式【巩固练习】1．把下列各式分解因式：(1) (2)(3) (4) (5)2．已知，求代数式的值．3．现给出三个多项式，，，，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.4．已知，求证：．★专题三一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根：；[2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根：；[3]当Δ 0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．【例题选讲】例1 已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．例2 已知实数、满足，试求、的值．例3 若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．例4 已知是一元二次方程的两个实数根．(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(2) 求使的值为整数的实数的整数值．解：(1) 假设存在实数，使成立．∵一元二次方程的两个实数根，∴，又是一元二次方程的两个实数根，∴∴，但．∴不存在实数，使成立．(2) ∵∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为．【巩固练习】1．若是方程的两个根，则的值为( )A．B．C．D．2．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A．B．C．D．大小关系不能确定3．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= ___ __ ，= _ ____ ．4．已知实数满足，则= ___ __ ，= _____ ，= _____ ．5．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：关于的方程有实数根．6．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．(1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值．★专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】1．平面直角坐标系[1]组成平面直角坐标系。
叫做轴或横轴，叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点。
[2] 平面直角坐标系内的对称点：2．函数图象[1]一次函数：称是的一次函数，记为：(k、b是常数，k≠0)特别的，当=0时，称是的正比例函数。
[2] 正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而．[3]一次函数的图象与性质：函数(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.设(k≠0)，则当时，y随x的增大而；当时，y随x的增大而．[4]反比例函数的图象与性质：函数(k≠0)是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是原点．【例题选讲】例1 已知、，根据下列条件，求出、点坐标．(1) 、关于x轴对称；(2) 、关于y轴对称；(3) 、关于原点对称．例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。
例3如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．解：（1）在的图象上，，又在的图象上，，即，解得：，，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，（2）从图象上可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。
【巩固练习】1．函数与在同一坐标系内的图象可以是（）2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知，，求点的坐标．3．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．（1）求的值；（2）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．★专题五二次函数【要点回顾】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质问题[1] 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？问题[2] 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：[1]当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最小值．[2]当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最大值．上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．2．二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示方式：（1）．一般式：；（2）．顶点式：；（3）．交点式：．说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点.时可利用交点式来求．3．分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．【例题选讲】例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系多少元？此时每天的销售利润是多少？例3 已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）；（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．例5 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示．【巩固练习】1．选择题：（1）把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是（）（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）（2）函数y＝－x2＋4x＋6的最值情况是（）（A）有最大值6 （B）有最小值6（C）有最大值10 （D）有最大值2（3）函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（）（A）－3≤y≤1 （B）－7≤y≤1（C）－7≤y≤11 （D）－7≤y＜112．填空：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为．（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为．3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，），B（1，0），C（，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（，0），（5，0），且与y轴交于点（0，）；（4）已知抛物线的顶点为（3，），且与x轴两交点间的距离为4．4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围．★专题六二次函数的最值问题【要点回顾】1．二次函数的最值．二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．3．求二次函数在某一范围内的最值．如：在（其中）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：；第二步：讨论：[1]若时求最小值或时求最大值，需分三种情况讨论：①对称轴小于即，即对称轴在的左侧；②对称轴，即对称轴在的内部；③对称轴大于即，即对称轴在的右侧。
