2020高考数学 6.2 基本不等式课后限时作业 理(通用版).doc

全品一线高考总复习数学（理科）课时作业(三十一)1.B[解析] 由a<0,ay>0,可知y<0,又由x+y>0,可知x>0,所以x>y.2.B[解析] f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,则f(x)>g(x).3.D[解析] ①ab-ab2=ab(1-b),∵a<0,-1<b<0,∴ab-ab2>0,故ab>ab2.②ab2-a=a(b2-1),∵a<0,-1<b<0,∴ab2-a>0,故ab2>a.综上可知ab>ab2>a.故选D.4.(5,10)[解析] 令a-b=x,a+b=y,则1<x≤2,2≤y<4,∴4a-2b=3x+y∈(5,10).5.d>b>a>c [解析] ∵a+b=c+d,a+d>c+b,∴2a>2c,即a>c,∴b<d.∵a+c<b,c>0,∴a<b.综上可得d>b>a>c.6.D[解析] 当a=-2,b=-1时,满足a<b,但a+b<0,ab>b2,故A,C不一定成立;当a=-1,b=1时,满足a<b,但<,故B不一定成立;因为y=x3在R上单调递增,a<b,所以a3<b3,故D一定成立.故选D.7.D[解析] 由a+|b|<0,知a<0且|a|>|b|,∴当b≥0时,a+b<0成立,当b<0时,a+b<0也成立,∴a+b<0恒成立.故选D.8.C[解析] 对于①,因为b<a<0,所以|b|>|a|,所以①不成立;对于②,因为b<a<0,所以a+b<0,ab>0,所以a+b<ab,所以②恒成立;对于③,因为b<a<0,所以>0,>0,所以+≥2,当且仅当a=b时取等号,又b<a,所以+>2,所以③恒成立;对于④,-2a+b=-=-<0,所以<2a-b,所以④恒成立.故选C.9.B[解析] 令x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3.A中,ax+by+cz=1+4+9=14;B中,az+by+cx=3+4+3=10;C中,ay+bz+cx=2+6+3=11;D中,ay+bx+cz=2+2+9=13.故选B. 10.B[解析] 由已知及三角形三边长的关系得∴∴两式相加,得0<2×<4,∴的取值范围为--(0,2).11.C[解析] 根据对数函数的单调性可得log2018a>log2018b,log b a<log c a,故A,B中不等式成立;∵a>1,0<c<b<1,∴a c<a b,又a-c>0,∴(a-c)a c<(a-c)a b,故C中不等式不成立;∵c-b<0,∴(c-b)a c>(c-b)a b,故D中不等式成立.故选C.12.z>y>x [解析] 方法一:∵y2-x2=2c(a-b)>0,y>0,x>0,∴y>x.同理,z>y.∴z>y>x.方法二:令a=3,b=2,c=1,则x=,y=,z=,∴z>y>x.13.-,[解析] 设3x+2y=m(x+y)+n(x-y),则-∴即3x+2y=(x+y)+(x-y).又∵-1<x+y<4,2<x-y<3,∴-<(x+y)<10,1<(x-y)<,∴-<(x+y)+(x-y)<,即-<3x+2y<.14.②④[解析] 令x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合题设条件x>y,a>b.∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5,∴a-x=b-y,此时①不成立.∵ax=-6,by=-6,∴ax=by,此时③不成立.∵=-=-1,=-=-1,∴=,此时⑤不成立.由不等式的性质可知②④恒成立.15.A[解析] 结合定义及m⊗n≥2可得或即n≥m≥2或m>n≥2,所以mn≥4,m+n≥4;结合定义及p q≤2,可得或即q<p≤2或p≤q≤2,所以p+q≤4,pq与4的大小关系不确定.故选A.16.-,3[解析] ∵实数a,b,c满足a>c-2且3a+3b<31+c,∴ 3a-c>3-2=,3a-c+3b-c<3,又由3b-c>0,可得3a-c-3b-c<3①.再由3b-c<3-3a-c<3-=,可得-3b-c>-,∴ 3a-c-3b-c>-②.由①②可得-<3a-c-3b-c<3,即-的取值范围为-,3.课时作业(三十二)1.D[解析] 解方程x2-x-6=0,得x1=3,x2=-2,∴不等式x2-x-6<0的解集为(-2,3).故选D.2.A[解析] 不等式-≤0可化简为(x+1)(2x-1)≤0且x≠,∴不等式-≤0的解集为-1,.故选A.3.C[解析] 由题意可知mx2+2x+1≥0恒成立.当m=0时,不等式不一定成立;当m≠0时,应有m>0且Δ=22-4m≤0,解得m≥1.综上可得实数m的取值范围是m≥1.故选C.4.[0,4)[解析] 由题知ax2-ax+1>0恒成立.当a=0时,不等式显然恒成立;当a≠0时,应有a>0且Δ=a2-4a<0,得0<a<4.综上,a的取值范围是[0,4).5.{x|-a<x<3a}[解析] x2-2ax-3a2<0等价于(x-3a)(x+a)<0,因为a>0,所以-a<3a,所以不等式的解集为{x|-a<x<3a}.6.D[解析] ∵log2(x2-x-5)≥0,即log2(x2-x-5)≥log21,∴x2-x-5≥1,解得x≥3或x≤-2,故选D.7.C[解析] ∵关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),即不等式ax<b的解集是(1,+∞),∴a=b<0,∴不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3,∴所求解集是(-1,3).8.C[解析] 设每件售价定为x元,利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)],依题意有(x-8)[100-10(x-10)]>320,即x2-28x+192<0,解得12<x<16,所以每件售价应定为12元到16元之间.9.A[解析] 由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2},由根与系数的关系可知a=-1,b=-2,则a+b=-3.10.D[解析] 当a=0时,不等式ax2+2ax-(a+2)<0可化为-2<0,恒成立.当a<0时,由不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,可得Δ=4a2+4a(a+2)<0,得-1<a<0.当a>0时,易知不满足条件.综上可得,-1<a≤0,故选D.11.A[解析] ∵一元二次方程x2+mx+3=0(m∈Z)有两个实数根,且0<x1<2<x2<4,∴令f(x)=x2+mx+3,则由题意可得解得-<m<-.结合m∈Z,可得m=-4.故选A.12.-2[解析] 不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,1]恒成立,即a≥-x-max,x∈(0,1].令f(x)=-x-,x ∈(0,1],由对勾函数的性质知函数f(x)在(0,1]上单调递增,∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,且f(1)=-1-1=-2,∴a的最小值为-2.13.,1[解析] 由题意,不等式x2-1+x+<0,即(x-1)x-<0,因为a>1,所以0<<1,所以不等式的解集为,1.14.[-8,4][解析] 因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,由一元二次不等式的性质可知,Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,因为b2≥0,所以λ2+4λ-32≤0,所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.15.(-3,2)[解析] 因为存在x0∈[1,2],使不等式(m-x0)※(m+x0)<4成立,所以存在x0∈[1,2],使不等式(m-x0+1)(m+x0)<4成立,所以存在x0∈[1,2],使不等式-x0+4>m2+m成立,因为x∈[1,2],所以函数y=x2-x+4的最大值为22-2+4=6.所以6>m2+m,得-3<m<2.16.(-∞,0][解析] 因为不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,所以4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1,x∈[1,2].因为1≤x≤2,所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知,当2x=2,即x=1时,y取得最小值0,所以实数a的取值范围为(-∞,0].课时作业(三十三)1.C[解析] 将原点坐标(0,0)代入2x-y+2,得2>0,于是2x-y+2≥0所表示的平面区域在直线2x-y+2=0的右下方,结合所给图形可知C正确.2.D[解析] 将(0,0)代入(x+2y-1)(x-y+3),得-3<0,不符合题意;将(-2,0)代入(x+2y-1)(x-y+3),得-3<0,不符合题意;将(0,-1)代入(x+2y-1)(x-y+3),得-12<0,不符合题意;将(0,2)代入(x+2y-1)(x-y+3),得3>0,符合题意.故选D.3.B[解析] 由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示,易得A(5,0),B(2,4),C(0,2).直线2x+y-10=0恰过点A(5,0),且其斜率k=-2<k AB=-,故直线2x+y-10=0与可行域仅有一个公共点A(5,0).4.10[解析] 作出可行域如图中阴影部分内的整点所示,由图可知,可行域内的整点为(3,1),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4),(5,5),所以x+y≤5+5=10,即学校今年计划最多招聘教师10人.5.[解析] 不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.因为z=4x-y,所以y=4x-z,由图可知,当直线y=4x-z经过点C时,纵截距-z最大,z最小.由--得C,,故z=4x-y的最小值为4×-=.6.B[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示.易得A(1,0),B(2,1),C(4,0),根据三角形的面积公式可得所求面积S=×(4-1)×1=.故选B.7.D[解析] 由题意作出约束条件----表示的平面区域,如图中阴影部分所示,将z=y-ax化为y=ax+z,直线y=ax+z的纵截距为z,由题意可得,直线y=ax+z与直线y=2x+2或与直线y=2-x平行,故a=2或a=-1.故选D.8.C[解析] 画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,由题意得A(2,2),B(2,-4).由z=-得=--,所以可看作可行域内点(x,y)和P(5,0)连线的斜率,记为k,由图可得k PA≤k≤k PB,又k PA=--=-,k PB=---=,所以-≤k≤,因此z≤-或z≥,所以z=-的取值范围为-∞,-∪,+∞.故选C.9.B[解析] 易知a<0,作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知当直线x+3y-z=0经过点C时,z取得最大值8.由-解得即C(2,2),因为点C也在直线2x+y+a=0上,所以4+2+a=0,解得a=-6.10.B[解析] 由题意,作出约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示,由方程x2+y2+6y-k=0,得x2+(y+3)2=9+k,所以问题可转化为求区域内的点到定点C(0,-3)的距离最小时实数k的值,结合图形,可知点C到直线x+2y+2=0的距离d==为所求最小距离,此时9+k=2,解得k=-.故选B.11.[解析] 作出不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示,设u=2x+y ,则y=-2x+u ,直线的纵截距为u ,易知当直线y=-2x+u 经过点A (2,2)时,直线的纵截距最小,即u 最小,此时u=2×2+2=6,所以2x+y 的最大值为6=. 12.7 [解析] 1≤x ≤2x-y ≤4等价于不等式组 - - 即- 由 -=2可得z=3x-2y ,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C 处取得最大值,由 - 可得点C 的坐标为(1,-2),据此可知z max =3×1-2×(-2)=7.13.解:(1)由题意得到相应的平面区域如图中阴影部分内的整点所示.(2)设花费资金为z=200x+72y,即y=-x+,由得A(5,10),由图可知当x=5,y=10时,z取得最小值,z min=1000+720=1720.答:当买A种规格胶合板5张,B种规格胶合板10张时,才能使花费资金最少,最少为1720元.14.解:(1)若某学生只食用食物A,则蛋白质的摄入量(单位:克)在[60,90]时,食物A的重量(单位:千克)在[1,1.5],其相应的脂肪摄入量(单位:克)在[9,13.5],不符合该营养学家的建议;当脂肪的摄入量(单位:克)在[18,27]时,食物A的重量(单位:千克)在[2,3],其相应的蛋白质摄入量(单位:克)在[120,180],不符合该营养学家的建议.(2)设学生每天食用x千克食物A,y千克食物B,每天的伙食费z=20x+15y.由题意x,y满足即作出可行域如图中阴影部分所示,把z=20x+15y变形为y=-x+z.由图可以看出,当直线z=20x+15y经过可行域内的点B时,纵截距z最小,即z取得最小值.解方程组得点B的坐标为,,所以z min=20×+15×=22.故学生每天同时食用0.8千克食物A和0.4千克食物B,既能符合营养学家的建议又花费最少,最少花费为22元.表示可行域内的点(x,y)与A(a,-2)连线15.D[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,z=-的斜率,易得B(2,0),C(4,-2),因为目标函数z=的取值范围为[0,2),直线2x-y-4=0的斜率为-2,所以0≤k AB<2,得a<1,故选D.16.[解析] 依题意可知,以原点为圆心,为半径的圆完全在由不等式组--所表示的平面区域内(如图),由于原点到直线4x-3y+4=0的距离为,所以实数a的最大值为.课时作业(三十四)1.B[解析] 分别令x=,x=0,可排除A,D.当x≠kπ,k∈Z时,sin x∈(-1,0)∪(0,1),不满足基本不等式的条件,排除C.故选B.2.C[解析] 由x>1,得x-1>0,y=x+-=x-1+-+1≥2--+1=3,当且仅当x=2时取等号,故y=x+-的最小值为3,故选C.3.B[解析] 由题意a,b>0,a+b=1,则+=+(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时等号成立,故+的最小值为4,故选B.4.4[解析] ∵x,a,b,y成等差数列,∴a+b=x+y.∵x,c,d,y成等比数列,∴cd=xy.又∵x>0,y>0,∴==++2≥4,当且仅当x=y时取等号.∴的最小值是4.5.[9,+∞)[解析] ∵a,b是正数,∴ab=a+b+3≥2+3,当且仅当a=b=3时等号成立,∴≥3,即ab≥9.6.B[解析] f(x)==|x|+≥2=4,当且仅当x=±2时等号成立,故选B.7.B[解析] 由题意可得直线AB的方程为x+2y=3,∴2x+4y=2x+22y≥2=2=2=4当且仅当x=2y=时取“=”.故选B.8.B[解析] ∵f(a)=f(b),∴|lg a|=|lg b|,又0<a<b,∴lg a+lg b=0,即ab=1.∵2==<=,∴N=log22<-2.∵>=,∴M=log2>-2,又Q=ln=-2,∴M>Q>N.故选B.9.D[解析] 将等式化简可得xy-8=x+y≥2,当且仅当x=y时等号成立,得≥4,所以xy≥16,所以xy的最小值为16,故选D.10.A[解析] 易知p:∃x>0,≥1,即“∃x0>0,a≥=x0+”为真命题,又x>0时,y=x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,∴可知a≥2,故实数a的最小值为2.故选A.11.-[解析] 由a>b>0且ab=1,知-=--=(a-b)+-≥2,当且仅当a-b=时取等号,此时-b=,解得b=-舍去--.12.220[解析] 设工厂和仓库之间的距离为x千米,运费为y1万元,仓储费为y2万元,则y1=k1x(k1≠0,x>0),y2=(k2≠0,x>0).∵当工厂和仓库之间的距离为4千米时,运费为20万元,仓储费为5万元,∴k1=5,k2=20,∴运费与仓储费之和为5x+万元.∵x>0,∴5x+≥2=20,当且仅当5x=,即x=2时等号成立,即当工厂和仓库之间的距离为2千米时,运费与仓储费之和最小,最小为20万元.13.[6,+∞)[解析] 因为a>0,b>0,+=1,所以a+b=(a+b)·+=10++≥10+2=16,当且仅当b=3a=12时等号成立.由题意,得16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立,又x2-4x-2=(x-2)2-6的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6.14.解:(1)y=x+-=(2x-3)+-+=--+-+.当x<时,有3-2x>0,∴-+-≥2--=4,当且仅当-=-,即x=-时取等号.于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.(2)∵0<x<2,∴2-x>0,∴y=-=·-≤·-=,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,∴当0<x<2时,函数y=-的最大值为.15.解:(1)由题设,得S=(x-8)-2=-2x-+916,x∈(8,450).(2)因为8<x<450,所以2x+≥2=240,当且仅当2x=,即x=60时等号成立,从而S≤-240+916=676.故当矩形温室的室内长为60 m时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,最大为676 m2.16.B[解析] ∵正数a,b满足+=1,∴b=->0,解得a>1.∴-+-=-+--=-+9(a-1)≥2--=6,当且仅当9(a-1)=-,即a=,b=4时等号成立,∴-+-的最小值为6.故选B.17.(-∞,1][解析] ∵不等式+1≥m(a+b)对任意正数a,b恒成立,∴m≤对任意正数a,b恒成立,∵≥=+≥2=1,当且仅当a=b=1时取等号,∴m≤1,即实数m的取值范围为(-∞,1].。

第三节 基本不等式及其应用课时作业练1.当x>1时,函数y=x+1x -1的最小值是 . 答案 3解析 当x>1时,x-1>0, y=x+1x -1=(x-1)+1x -1+1≥2√(x -1)·1x -1+1=3, 当且仅当x-1=1x -1,即x=2时等号成立.2.(2018江苏高考信息预测)函数y=x+12x -1(x >12)的最小值是 . 答案 √2+12解析 ∵x>12,∴2x -1>0.∴y=x+12x -1=(x -12)+12x -1+12≥2√12+12=√2+12,当且仅当x=√2+12时取等号.∴函数y=x+12x -1(x >12)的最小值是√2+12.3.函数y=log a (x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m +2n 的最小值为 . 答案 8解析 ∵函数y=log a (x+3)-1的图象恒过点(-2,-1),∴A(-2,-1).又点A 在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.又mn>0,∴m>0,n>0.∴1m +2n =2m+n m +4m+2n n =2+n m +2+4mn≥4+2√4=8,当且仅当n=12,m=14时,等号成立,∴1m +2n的最小值为8.4.若正数x,y 满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是 . 答案 5解析 由x+3y=5xy,得3x +1y=5(x>0,y>0), 则3x+4y=15(3x+4y)(3x +1y ) =15(13+12y x +3x y )≥15(13+2√12y x ·3xy) =15×(13+12)=5, 当且仅当12y x =3xy,即x=2y 时,等号成立,此时由{x =2y ,x +3y =5xy ,解得{x =1,y =12.5.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2√ab -(4a 2+b 2)的最大值是 . 答案√2-12解析由√(2a )2+b 22≥2a+b 2≥√2a ·b ,得√2ab ≤12,且4a 2+b 2≥12,所以S=2√ab -(4a 2+b 2)=√2·√2ab -(4a 2+b 2)≤√22-12,当且仅当2a=b=12时,等号成立.6.(2018江苏无锡调研)已知正数a,b,直线l 1:(a-b)x+aby+1=0,l 2:(a+3b)x+y=0,若l 1∥l 2,则b 的最大值为 . 答案 13解析 由l 1∥l 2得a-b=ab(a+3b),则1b -1a =a+3b.∵a>0,∴1b -3b=a+1a ≥2√a ·1a =2,整理得3b 2+2b-1≤0.又b>0,解得0<b≤13,即b 的最大值为13. 7.(2018徐州高三模拟)已知正实数m,n 满足m+n=3,则m 2+1m +n 2n+1的最小值为.答案 3解析 令n+1=t,t>1,则n=t-1,m+n=m+t-1=3,m+t=4,则m 2+1m +n 2n+1=m+1m +(t -1)2t =m+1m +t+1t-2=2+1m +1t =2+14(m+t)(1m +1t )=2+14(2+tm +mt )≥2+12+14×2√tm ·mt =3,当且仅当m=t=2时取等号,故m 2+1m+n 2n+1的最小值为3.8.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)设m>0,n>0,2m+n=1,则4m 2+n 2+√mn 的最大值与最小值之和为 . 答案25+4√216解析 由m>0,n>0,2m+n=1得1≥2√2mn ,0<mn≤18,0<√mn ≤√24,4m 2+n 2+√mn =(2m+n)2-4mn+√mn=-4mn+√mn +1=-4(√mn -18)2+1716,当√mn =18时,取得最大值1716;当√mn =√24时,取得最小值12+√24,所以最大值与最小值之和为1716+12+√24=25+4√216. 9.(2017兴化一中高三12月月考)等比数列{a n }的首项为1,公比为2,前n 项的和为S n ,若log 2[14a n (S 4m +1)]=7,则1n +4m 的最小值为 . 答案 52解析 由题意得a n =2n-1,S 4m =1-24m 1-2=24m -1,则14a n (S 4m +1)=14×2n-1×24m =24m+n-3=27,则4m+n=10,所以1n +4m =110(1n +4m )(4m+n)=110(17+4m n +4n m )≥110(17+2√4m n ·4n m)=52,当且仅当m=n=2时取等号,故1n +4m 的最小值为52. 10.(2017镇江高三期末)已知a,b∈R,a+b=4,则1a 2+1+1b 2+1的最大值为 .答案2+√54解析 由基本不等式可得ab≤(a+b 2)2=4,则1a 2+1+1b 2+1=a 2+b 2+2(a 2+1)(b 2+1)=(a+b )2-2ab+2(ab )2+(a+b )2-2ab+1=18-2ab (ab )2-2ab+17, 令9-ab=t,t≥5,则ab=9-t,1a 2+1+1b 2+1=2t t 2-16t+80=2t+80t-16≤8√5-16=√5+24,当且仅当t=4√5时取等号,故1a 2+1+1b 2+1的最大值是2+√54. 11.(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知函数y=x+mx -1(m>0). (1)若m=1,求当x>1时函数的最小值; (2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m 的值. 解析 (1)m=1时,y=x+1x -1=x-1+1x -1+1.因为x>1,所以x-1>0.所以y=x-1+1x -1+1≥2√(x -1)·1x -1+1=3. 当且仅当x-1=1x -1,即x=2时取等号.所以当x>1时函数的最小值为3. (2)因为x<1,所以x-1<0.所以y=x-1+mx -1+1=-(1-x +m1-x )+1≤-2√(1-x )·m1-x +1=-2√m +1. 当且仅当1-x=m 1-x ,即x=1-√m 时取等号.即函数的最大值为-2√m +1,所以-2√m +1=-3,解得m=4.12.如图,等腰直角三角形区域ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC=1百米.现准备划出一块三角形区域CDE,其中D,E 均在斜边AB 上,且∠DCE=45°.记三角形CDE 的面积为S. (1)①设∠BCE=θ,试用θ表示S; ②设AD=x,试用x 表示S; (2)在②的基础上,求S 的最大值.解析 (1)①以CB 所在直线为x 轴,CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系, 则直线CE:y=(tan θ)·x,直线CD:y=(tan (θ+π4))·x,0≤θ<π4,直线AB:y=-x+1, 联立解得E (11+tanθ,tanθ1+tanθ),D (1-tanθ2,1+tanθ2), 所以S=12×√22×|DE|=1+tan 2θ4(1+tanθ).当θ=π4时,S △CDE =14,满足S=1+tan 2θ4(1+tanθ),所以S=1+tan 2θ4(1+tanθ),0≤θ≤π4.②如图,以AB 为斜边另作等腰直角三角形AOB,延长CD 交AO 于F,延长CE 交BO 于G,设∠ACF=α,∠BCG=β,AF=m,BG=n,所以tan α=m=AF AC =AF BC =ADDB =√2-x,同理tan β=n=√2-x -DEx+DE.由tan(α+β)=m+n1-mn =1, 代入化简得DE=2√2x+1√2-x ,0≤x≤√22,所以S=12×√22×|DE|=√2x 2√24(√2-x ),0≤x≤√22.(2)令t=√2-x,√22≤t≤√2,则S=√24(t +1t -√2)≥√2-12,当且仅当t=1,即x=√2-1时取到等号.答:三角形CDE 面积S 的最大值为√2-12百米2.13.(2019徐州铜山高三模拟)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务,为了保证直升飞机的降落准确、安全,在门诊楼AB 和综合楼CD 的楼上安装导航标记,已知两楼的地面距离AC=50 m,在A,C 之间取一导航标志观测点P,当点P 在AC 中点时,测得两楼顶导航标记的张角∠BPD=45°,若∠ACB=45°.(1)求两导航标记距离地面的高度AB 、CD;(2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角∠BPD 最大,点P 应在何处?解析 (1)因为点P 是AC 的中点,AC=50 m,所以AP=PC=25 m, 在Rt△ABC 中,AC=50 m,∠ACB=45°,可得AB=AC=50 m,在Rt△APB 中,tan∠APB=AB AP =5025=2,在Rt△CPD 中,tan∠DPC=CD PC =CD25,因为∠BPD=45°,所以∠APB+∠DPC=135°,于是tan(∠APB+∠DPC)=tan∠APB+tan∠DPC1-tan∠APB ·tan∠DPC =2+CD251-2·CD 25=-1,解得CD=75.(2)设AP=x m,则PC=(50-x)m,在Rt△APB 中,tan∠APB=AB AP =50x , 在Rt△CPD 中,tan∠DPC=CD PC =7550-x ,于是tan∠BPD=tan(180°-∠APB -∠DPC)=-tan(∠APB+∠DPC)=-tan∠APB+tan∠DPC1-tan∠APB ·tan∠DPC =-50x +7550-x 1-50x ·7550-x=25(x+100)x 2-50x+50×75,设100+x=t,则tan∠BPD=f(t)=25tt -250t+252×30,f(t)=25t+252×30t-250≤2√t ·252×30t-250=2√30-10,当且仅当t=252×30t时取等号,于是当t=25√30时,函数f(t)取最大值,此时100+x=25√30,x=25√30-100,又因为t2-250t+252×30>0恒成立,所以tan∠BPD=f(t)>0,从而∠BPD∈(0,π2),而正切函数在(0,π2)上为增函数,所以当f(t)取最大值时∠BPD也最大.答:(1)两导航标记距离地面的高度AB,CD分别为50 m,75 m.(2)当AP=(25√30-100)m时,在点P处看两楼顶导航标记的张角∠BPD最大.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.已知集合A={x|x≥3}∪{x|x<-1},则∁RA= .答案 {x|-1≤x<3}2.函数f(x)=√2x-4的定义域为 .答案[2,+∞)解析由2x-4≥0⇒x≥2,得原函数的定义域为[2,+∞).3.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.答案9解析由函数f(x)=x2+ax+b的值域是[0,+∞),所以判别式Δ=a2-4b=0(*),又不等式x2+ax+b-c<0的解集是(m,m+6),所以2m+6=-a,m(m+6)=b-c,得a=-(2m+6),b=m(m+6)+c,代入(*)解得c=9.4.已知{an }为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10= .答案-7解析∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=-8,∴a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,当a4=4,a7=-2时,q3=-12,∴a1=-8,a10=1,∴a1+a10=-7.当a4=-2,a7=4时,q3=-2,则a10=-8,a1=1,∴a1+a10=-7,综上可得a 1+a10=-7.5.(2018扬州中学第一学期阶段性测试)设函数y=sin ωx(ω>0)在区间[-π6,π4]上是增函数,则ω的取值范围为. 答案(0,2]解析因为ω>0,所以{-π6ω≥-π2,π4ω≤π2,解得0<ω≤2.6.函数y=2x-log0.5(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为.答案 4解析因为函数y=2x-log0.5(x+1)在区间[0,1]上递增,所以x=0时,y取得最小值1,当x=1时,y取得最大值3,所以最大值和最小值之和为4.7.(2018盐城时杨中学高三月考)若变量x,y满足约束条件{y≤x,x+y≤1,y≥-1,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n= .答案6解析作出不等式组对应的平面区域如图.由z=2x+y,得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最小,此时z最小,由{y =-1,y =x 解得{x =-1,y =-1,即A(-1,-1),此时z=-2-1=-3,此时n=-3.平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z 经过点B 时, 直线y=-2x+z 的截距最大,此时z 最大, 由{y =-1,x +y =1解得{x =2,y =-1,即B(2,-1),此时z=2×2-1=3,即m=3.则m-n=3-(-3)=6.8.(2018常州教育学会学业水平检测)在△ABC 中,已知B=π3,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 . 答案 [-14,+∞)解析 以点B 为坐标原点,BA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则C(1,√3),设A(x,0),x>0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,0)·(1-x,√3)=x 2-x=(x -12)2-14≥-14,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[-14,+∞). 9.(2018江苏苏州高三上学期期中)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知sin B+sin C=msin A(m∈R),且a 2-4bc=0. (1)当a=2,m=54时,求b,c 的值;(2)若角A 为锐角,求实数m 的取值范围.解析 (1) 由题意得b+c=ma,a 2-4bc=0.当a=2,m=54时,b+c=52,bc=1,解得{b =2,c =12或{b =12,c =2.(2) cos A=b 2+c 2-a 22bc=(b+c )2-2bc -a 22bc=(ma )2-a 22-a 2a 22=2m 2-3.因为A 为锐角,所以cos A=2m 2-3∈(0,1),所以32<m 2<2.又由b+c=ma可得m>0,所以√6<m<√2.2。

2020高考数学(理数)复习作业本6.3基本不等式及其应用一、选择题1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C=π6，a ＋b=12，则△ABC 面积的最大值为( )A ．8B ．9C ．16D ．212.若实数a ，b 满足1a ＋2b =ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．43.已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y=xy ，则x ＋y 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．164.设a>0,若关于x 的不等式1-+x ax ≥5在(1,+∞)上恒成立,则a 的最小值为( ) A.16 B.9 C.4 D.25.正实数ab 满足+=1，则(a+2)(b+4)的最小值为( )A.16B.24C.32D.406.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当zxy取得最大值时,z y x 212-+的最大值为( )A.0 B .1 C.49D.37.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2，且目标函数z=ax ＋by(a ＞0，b ＞0)的最大值为7，则3a ＋4b的最小值为( ) A ．14 B ．7 C ．18 D ．138.正实数ab 满足+=1，则(a+2)(b+4)的最小值为( )A.16B.24C.32D.40二、填空题9.已知实数x ，y 满足2x ﹣y=4，则4x +(0.5)y 的最小值为 10.若点A （3，1）在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0,则的最大值为 .11.若直线过点（1,2），则2a+b 的最小值为 . 12.已知直线过点(1,1)，则ab 的最小值为_______________．13.直线l 经过点P （1，9），且与两坐标轴的正半轴相交，当两截距之和最小时直线l 的方程为14.已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6=0，则2a＋18b 的最小值为________．三、解答题15.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？16.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．答案解析1.答案为：B.解析：由三角形的面积公式：S=12absin C=14ab ≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22=9，当且仅当a=b=6时等号成立．则△ABC 面积的最大值为9.2.答案为：C.解析：由1a ＋2b =ab 知a ＞0，b ＞0，所以ab=1a ＋2b ≥22ab ，即ab≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b＝ab ，即a=42，b=242时取“=”，所以ab 的最小值为2 2.3.答案为：B.解析：由题意可得4y ＋1x =1，则x ＋y=(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x =5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×y x =9， 当且仅当4x y =yx，即x=3，y=6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.4.答案为：C ；5.C.6.答案为：B ；7.答案为：B.解析：画出可行域如图所示，由图形可知当直线经过x －y=－1与2x －y=2的交点N(3，4)时，目标函数取得最大值，即3a ＋4b=7，于是3a ＋4b =17(3a ＋4b)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋4b =17(25＋12b a ＋12a b )≥17(25＋212b a ·12a b )=7，即3a ＋4b的最小值为7.8.C.9.答案为：8．10.答案为：-l6;11.答案为：8.12.答案为：4；13.答案为：3x+y﹣12=0．14.答案为：0.25；解析：∵a－3b ＋6=0，∴a －3b=－6，∴2a ＋18b =2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b =22a －3b =22－6=14.当且仅当2a =2－3b ，即a=－3，b=1时，2a＋18b 取得最小值14.15.解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为： y x =12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200=200， 当且仅当12x=80 000x，即x=400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S=100x －y=100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000=－12x 2＋300x －80 000=－12(x －300)2－35 000，因为x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．16.解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x t ，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]=9x(x＋1)元． 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1=1x [9x(x ＋1)＋900]＋6×1 800=900x ＋9x ＋10 809≥2900x·9x＋10 809=10 989. 当且仅当9x=900x，即x=10时取等号．所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)若该厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2=1x [9x(x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90=900x＋9x ＋9 729(x≥35)．令f(x)=x ＋100x(x≥35)，x 2＞x 1≥35，则f(x 1)－f(x 2)=⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2=（x 1－x 2）（x 1x 2－100）x 1x 2. ∵x 2＞x 1≥35，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2－100＞0，∴f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)．∴当x=35时，y 2有最小值，约为10 069.7，此时y 2＜10 989. ∴该厂应该接受此优惠条件．。

配套课时作业1．已知a ，b 为正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．4D ．2★答案★ A解析 因为函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0,1)，所以2a ＋b ＝1.又a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝2a ＋b a ＋2a ＋b b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2a 时取等号，所以1a ＋1b 的最小值是3＋2 2.2．(2019·长春质量监测一)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16 ★答案★ B解析 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”．故选B.3．不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) ★答案★ C 解析 因为a b ＋16ba ≥2a b ·16ba ＝8，当且仅当a ＝4b 时等号成立，由题意知x 2＋2x <8恒成立，由此解得－4<x <2.4．(2019·秦皇岛模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2★答案★ A解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2－1＋3x －1＝(x －1)(x ＋1)＋3x －1＝x ＋1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2(当且仅当x ＝1＋3时取“＝”)．故选A.5．(2019·陕西咸阳质检)已知x ＋y ＝3，则2x ＋2y 的最小值是( ) A ．8 B ．6 C ．3 2 D ．4 2★答案★ D解析 因为2x >0,2y >0，x ＋y ＝3，所以由基本不等式得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ＝42，当且仅当2x ＝2y ，即x ＝y ＝32时等号成立．故选D.6．(2019·湖南模拟)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 ★答案★ C解析 由1a ＋2b ＝ab ，知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.故选C.7．设x >0，y >0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2★答案★ D解析 ∵x ＋4y ＝40，且x >0，y >0，∴x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，当且仅当x ＝4y ＝12×40，即x ＝20，y ＝5时取“＝”，∴4xy ≤40.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 100＝2.∴lg x ＋lg y 的最大值为2.故选D.8．(2019·江西鹰潭模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( ) A ．4 B ．2 2 C ．8 D ．16 ★答案★ B解析 因为a >0，b >0，所以根据a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，可得ab ＝1，所以1a ＋2b ≥21a ·2b ＝22，当且仅当b ＝2a ＝2时等号成立．故选B.9．若两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n12<0有解，则实数n 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2512 ★答案★ B解析 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n 12<0有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <n 2＋13n 12.因为x >0，y >0，且13x ＋3y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋23x y ·y12x ＝2512，当且仅当3x y ＝y 12x 时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝2512.故n 2＋13n 12－2512>0，解得n <－2512或n >1，所以实数n 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)．故选B.10．已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时x ，y 的值分别为( )A ．5,5B ．10,5C ．10，52 D ．10,10★答案★ C解析 xy ＝x ＋4y ＋5≥4xy ＋5，当且仅当x ＝4y 时，取等号．令xy ＝t ，则上式为t 2－4t －5≥0(t >0)，整理得(t －2)2≥9，解得t ≥5(t ≤－1舍去)，当t ＝5时，取等号，即t ＝5为最小值，xy 最小值为t 2＝25. 当⎩⎨⎧x ＝4y ，x ＋4y ＋5＝25时，xy 取最小值，即x ＝10，y ＝52. 11．(2019·河南中原名校质检)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则11＋a ＋44＋b的最小值为( )A ．1B ．78C ．98D ．2★答案★ C解析 因为a ＋b ＝3，所以(1＋a )＋(4＋b )＝8，所以11＋a ＋44＋b＝18[(1＋a )＋(4＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋a ＋44＋b ＝18⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4＋b 1＋a ＋4(1＋a )4＋b ≥18×(5＋4)＝98，当且仅当4＋b ＝2(1＋a )，即2a －b ＝2，即a ＝53，b ＝43时等号成立．故选C.12．(2019·唐山模拟)当0<m <12时，若1m ＋21－2m≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]★答案★ D解析 因为0<m <12，所以12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋(1－2m )22＝18(当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号)，所以1m ＋21－2m ＝1m (1－2m )≥8，又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.13．函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为________． ★答案★ 22＋2 解析 因为y ＝2x ＋1x －1(x >1)，所以y ＝2x ＋1x －1＝2(x －1)＋1x －1＋2≥2＋22(x －1)·1x －1＝22＋2.当且仅当x ＝1＋22时取等号，故函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为22＋2.14．(2019·北京朝阳区模拟)已知x >1，且x －y ＝1，则x ＋1y 的最小值是________．★答案★ 3解析∵x>1且x－y＝1，∴y＝x－1>0，∴x＋1y＝x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2(x－1)·1x－1＋1＝3(当且仅当x＝2时取等号，此时y＝1)．∴x＋1y的最小值为3.15．若实数x，y满足x2＋x＋y2＋y＝0，则x＋y的取值范围是________．★答案★[－2,0]解析∵x2＋y2≥2xy，∴2(x2＋y2)≥x2＋y2＋2xy，即x2＋y2≥(x＋y)22.由已知x2＋y2＋x＋y＝0，得x＋y＋(x＋y)22≤0，∴(x＋y)2＋2(x＋y)≤0，解得－2≤x＋y≤0.16．(2019·湖北八校联考)已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，则a b2＋1的最大值为________．★答案★ 2解析∵正数a，b满足2a2＋b2＝3，∴a b2＋1＝22×2a b2＋1≤22×12(2a2＋b2＋1)＝24×(3＋1)＝2，当且仅当2a＝b2＋1，即a＝1，b＝1时，等号成立．故a b2＋1的最大值为 2.17．(2019·贵阳模拟)已知正实数x，y满足等式1x＋3y＝2.(1)求xy的最小值；(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．解(1)2＝1x＋3y≥23xy，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3.(2)3x＋y＝12(3x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋3y＝12⎝⎛⎭⎪⎫6＋9xy＋yx≥12⎝⎛⎭⎪⎫6＋29xy·yx＝6，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3.18．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解(1)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，又x>0，y>0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立． (2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2， 因为x >0，所以y >2， 则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18， 当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立． 解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．19．(2019·郑州模拟)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解 (1)因为a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab ， 所以ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 因为a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号， 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)可知，2a ＋3b ≥22a ·3b ＝26ab ≥43>6， 故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立．20．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？解 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x －200≥212x ·80000x －200＝200，当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋300x －80000＝－12(x －300)2－35000，因为x ∈[400,600]，所以S ∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《基本不等式》一、选择题1.下列不等式正确的是( )A ．a ＋1a ≥2B ．(-a)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤-2C ．a 2＋1a 2≥2D ．(-a)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2≤-22.已知m=a ＋1a＋1(a>0)，n=3x (x<1)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m>n B ．m<n C ．m=n D ．m≤n3.已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.234.已知f(x)=x ＋1x-2(x<0)，则f(x)有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为-4 D ．最小值为-45.下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 36.若-4<x<1，则f(x)=x 2－2x ＋22x －2( ) A ．有最小值1 B ．有最大值1 C ．有最小值-1 D ．有最大值-17.设f(x)=ln x,0<a<b ，若 p=f(ab)，q=f(a ＋b 2)，r=12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A ．q=r<pB ．q=r>pC ．p=r<qD ．p=r>q二、填空题8.当x>12时，函数y=x ＋82x －1的最小值为________．9.若x ，y 均为正实数，且x ＋4y=1，则x·y 的最大值为________．10.已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．11.若正数a ，b 满足ab-(a ＋b)=1，则a ＋b 的最小值是________．12.函数y=log a (x ＋3)-1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1=0上，其中m ，n>0，则1m ＋2n的最小值为________．三、解答题13.已知不等式ax 2-3x ＋2<0的解集为A={x|1<x<b}．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f(x)=(2a ＋b)x ＋25b －a x ＋a(x ∈A)的最小值．14.某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x(x ∈N *)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？1 a ＋1b＋1c≥9.15.已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c=1.求证：答案解析1.答案为：C ；解析：因为a 2＋1a 2中a 2>0，所以a 2＋1a 22≥a 2·1a 2，即12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥1，所以a 2＋1a2≥2.2.答案为：A ；解析：因为a>0，所以m=a ＋1a ＋1≥2a ·1a＋1=3，当且仅当a=1时等号成立． 又因为x<1，所以n=3x <31=3，所以m>n.3.答案为：B ；解析：由x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×94=34，当且仅当3x=3-3x ，即x=12时等号成立．4.答案为：C ；解析：∵x<0，∴f(x)=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x -2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1－x ，即x=-1时取等号．5.答案为：D ；解析：a<0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a=1，b=1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a=4，b=16， 则ab<a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．6.答案为：D ；解析：f(x)=x 2－2x ＋22x －2=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1， 又∵-4<x<1，∴x-1<0.∴-(x-1)>0.∴f(x)=-12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －1＋1－x －1≤-1. 当且仅当x-1=1x －1，即x=0时等号成立．7.答案为：C ；解析：p=f(ab)=ln ab ，q=f(a ＋b 2)=ln a ＋b 2， r=12(f(a)＋f(b))=12ln ab=ln ab ，函数f(x)=ln x 在(0，＋∞)上单调递增， 因为a ＋b 2>ab ，所以f(a ＋b 2)>f(ab)，所以q>p=r.8.答案为：92； 解析：设t=2x-1，∵x>12，∴2x-1>0，即t>0，∴y=t ＋12＋8t =t 2＋8t ＋12≥2t 2·8t ＋12=92. 当且仅当t 2=8t ，即t=4， x=52时，取等号．9.答案为：116； 解析：1=x ＋4y≥24xy=4xy ，∴xy≤116，当且仅当x=4y 时等号成立．10.答案为：32； 解析：因为x ＞a ，所以2x ＋2x －a =2(x-a)＋2x －a ＋2a≥22x －a ·2x －a ＋2a=2a ＋4， 即2a ＋4≥7，所以a≥32.即a 的最小值为32.11.答案为：22＋2；解析：由于ab-(a ＋b)=1，所以ab=a ＋b ＋1，而ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ＋1≤14(a ＋b)2. 令a ＋b=t(t>0)，所以t ＋1≤14t 2，解得t≥2＋22，即a ＋b≥22＋2. 当且仅当a=b=1＋2时取等号．12.答案为：8；解析：函数y=log a (x ＋3)-1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(-2，-1)，且点A 在直线mx ＋ny ＋1=0上，∴2m ＋n=1，m ，n>0，∴1m ＋2n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ·(2m＋n)=4＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4m n=8， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝1，n m ＝4m n，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝14，n ＝12时等号成立．13.解：(1)由题意知，1，b 是方程ax 2-3x ＋2=0的两根，且b>1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＋2＝0，ab 2－3b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.(2)由(1)得f(x)=(2×1＋2)x ＋252－1x ＋1=4x ＋25x ＋1=4(x ＋1)＋25x ＋1-4≥24x ＋1·25x ＋1-4=16.当且仅当4(x ＋1)=25x ＋1，即x=32∈A 时等号成立．∴函数f(x)的最小值为16.14.解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋ (x)=200＋12x(x ＋1)·16(万元)．∴y=4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋1·16=16(-2x 2＋23x-50)． (2)年平均利润为y x =16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x =16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x .又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2x ·25x =10，当且仅当x=5时，等号成立，此时yx ≤16×(23-20)=48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．15.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c=1，∴1a ＋1b ＋1c =a ＋b ＋c a ＋a ＋b＋c b ＋a ＋b ＋cc=3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ba ＋ab ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ca ＋ac ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋bc ≥3＋2＋2＋2=9.当且仅当a=b=c=13时等号成立．。

第三节基本不等式1．基本不等式≤ab a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)＋≥2(a ，b 同号)；b a a b(3)ab ≤2(a ，b ∈R)；(4)2≤(a ，b ∈R)；(a ＋b 2)(a ＋b 2)a 2＋b 22(5)≤≤≤ (a ＞0，b ＞0)．2aba ＋b ab a ＋b 2a 2＋b 223．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：a ＋b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2(简记：积定和最小)．p (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)．q 24注：(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.(2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当a ≥0，b ≥0时，≥.( )a ＋b 2ab (2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与≥成立的条件是相同的．( )a ＋b 2ab (3)x ＞0且y ＞0是＋≥2的充要条件．( )x y y x(4)函数f (x )＝cos x ＋，x ∈的最小值等于4.( )4cos x (0，π2)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×二、选填题1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80 B ．77C ．81D ．82答案：C2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜＜B ．a ＜＜＜b ab a ＋b 2ab a ＋b 2C ．a ＜＜b ＜ D.＜a ＜＜b ab a ＋b 2ab a ＋b 2解析：选B 因为0＜a ＜b ，所以a －＝(－)＜0，故a ＜；b －＝＞0，ab a a b ab a ＋b 2b －a 2故b ＞；由基本不等式知＞，综上所述，a ＜＜＜b ，故选B.a ＋b 2a ＋b 2ab ab a ＋b 23．函数f (x )＝x ＋的值域为( )1xA ．[－2,2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．R解析：选C 当x ＞0时，x ＋≥2 ＝2.1x x ·1x当x ＜0时，－x ＞0.－x ＋≥2 ＝2.1－x (－x )·1(－x )所以x ＋≤－2.1x所以f (x )＝x ＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1x4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．答案：225．若x ＞1，则x ＋的最小值为________．4x －1解析：x ＋＝x －1＋＋1≥4＋1＝5.4x －14x －1当且仅当x －1＝，即x ＝3时等号成立．4x －1答案：5考点一　利用基本不等式求最值[全析考法过关](一)　拼凑法——利用基本不等式求最值[例1]　(1)已知0＜x ＜1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)已知x ＜，则f (x )＝4x －2＋的最大值为________．5414x －5(3)函数y ＝(x ＞1)的最小值为________．x 2＋2x －1[解析]　(1)x (4－3x )＝·(3x )(4－3x )≤·2＝，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝1313[3x ＋(4－3x )2]4323时，取等号．故所求x 的值为.23(2)因为x ＜，所以5－4x ＞0，54则f (x )＝4x －2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝，即x 14x －5(5－4x ＋15－4x )15－4x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋的最大值为1.14x －5(3)y ＝＝x 2＋2x －1(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋＋2≥2＋2.3x －13当且仅当x －1＝，即x ＝＋1时，取等号．3x －13[答案]　(1)　(2)1　(3)2＋2233[解题技法]通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． (二)　常数代换法——利用基本不等式求最值[例2]　已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则＋的最小值为________．1a 1b[解析]　因为a ＋b ＝1，所以＋＝(a ＋b )＝2＋≥2＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b ＝时，取等号．1a 1b (1a ＋1b )(b a ＋a b)b a ·a b 12[答案]　4[变式发散]1．(变条件)将条件“a ＋b ＝1”改为“a ＋2b ＝3”，则＋的最小值为________．1a 1b解析：因为a ＋2b ＝3，所以a ＋b ＝1.1323所以＋＝1a 1b (1a ＋1b )(13a ＋23b )＝＋＋＋≥1＋2 1323a 3b 2b 3a a 3b ·2b 3a＝1＋.当且仅当a ＝b 时，取等号．2232答案：1＋2232．(变设问)保持本例条件不变，则的最小值为________．(1＋1a )(1＋1b )解析：＝(1＋1a )(1＋1b )(1＋a ＋b a )(1＋a ＋b b )＝＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝时，取等号．(2＋b a )(2＋a b )(b a ＋a b )12答案：9[解题技法]通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值． (三)　消元法——利用基本不等式求最值[例3]　已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．[解析]　法一(换元消元法)：由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥2，3xy 所以3xy ≤2，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－(x ＋3y 2)108≥0.。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

[基本知识]1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式⎭⎪⎬⎪⎫(1)a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ；(2)b a ＋ab ≥2，ab >0；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ，b ∈R ；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ，b ∈R 当且仅当a ＝b 时等号成立.3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( ) (3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、填空题1．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 答案：12．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解析：由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取到等号． 答案：2143．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________． 解析：∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．答案：44．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝32时取等号． 答案：83[全析考法]考法一通过拼凑法利用基本不等式求最值利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．[例1] (1)(2019·泉州检测)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B ．12C.34D ．23(2)(2019·南昌调研)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________． [解析] (1)∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎡⎦⎤x ＋(1－x )22＝34. 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．(2)∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2(x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧]通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 考法二 通过常数代换法利用基本不等式求最值[例2] (1)(2019·青岛模拟)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3(2)(2019·齐齐哈尔八校联考)若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．[解析] (1)因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时取等号． (2)∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴2x ＋1y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋2＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当x ＝12，y ＝14时取等号，∴2x ＋1y 的最小值为8，又2x ＋1y ≥m 恒成立，∴m ≤8，即m的最大值为8.[答案] (1)C (2)8 [方法技巧]通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．[集训冲关]1.[考法一]已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是( ) A ．－18 B ．18 C ．16D ．－4解析：选D ∵x <0，∴y ＝－⎣⎡⎦⎤4－x ＋(－x )≤－4，当且仅当x ＝－2时取等号．2.[考法二]正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16.由题意．得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，又x 2－4x －2＝(x －2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.答案：[6，＋∞)突破点二 基本不等式的综合问题关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、立体几何、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力．[全析考法]考法一基本不等式的实际应用问题[例1] 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm ，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm 2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm ，b cm ，铝合金窗的透光部分的面积为S cm 2.(1)试用a ，b 表示S ；(2)若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？ [解] (1)∵铝合金窗宽为a cm ，高为b cm ，a >0，b >0， ∴ab ＝28 800.①设上栏框内高度为h cm ，则下栏框内高度为2h cm ，则3h ＋18＝b ，∴h ＝b －183， ∴透光部分的面积S ＝(a －18)×2(b －18)3＋(a －12)×(b －18)3＝(a －16)(b －18)＝ab －2(9a ＋8b )＋288＝28 800－2(9a ＋8b )＋288＝29 088－2(9a ＋8b )．(2)∵9a ＋8b ≥29a ·8b ＝29×8×28 800＝2 880，当且仅当9a ＝8b 时等号成立，此时b ＝98a ，代入①式得a ＝160，从而b ＝180，即当a ＝160，b ＝180时，S 取得最大值．∴铝合金窗的宽为160 cm ，高为180 cm 时，可使透光部分的面积最大． [方法技巧]利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．考法二基本不等式与其他知识的交汇问题考向一 基本不等式与函数的交汇问题[例2] (2019·北京西城区期末)已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设x 1<x 2.函数y ＝2x 为单调增函数，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则12－y 1＝y 2－12，即y 1＋y 2＝1，即2x 1＋2x 2＝1.由基本不等式得1＝2x 1＋2x 2≥22x 1·2x 2，当且仅当x 1＝x 2＝－1时取等号，则2x 1＋x 2≤14，解得x 1＋x 2<－2(因为x 1≠x 2，等号取不到)，故选B.[答案] B考向二 基本不等式与数列的交汇问题[例3] (2019·济宁期末)已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( )A ．16B ．9C ．5D ．4[解析] ∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b ＝1，∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a ≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1，即a ＝4，b ＝43时等号成立，故选A. [答案] A考向三 基本不等式与解析几何的交汇问题[例4] (2019·邢台月考)当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x[解析] 由题意得m >0，e ＝1＋m 2＋4m ＝1＋m ＋4m ≥1＋2m ·4m ＝5，当且仅当m ＝4m ，即m ＝2时等号成立，所以双曲线的方程为x 22－y 28＝1，所以渐近线方程为y＝±2x ，故选A.[答案] A [方法技巧]求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．[集训冲关]1.[考法二·考向一]已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3－2 2B ．5C ．3＋2 2D ．3＋ 2解析：选C 令x ＋3＝1，得x ＝－2，故A (－2，－1)．又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n ≥3＋2n m ·2m n ＝3＋2 2.当且仅当m ＝12＋2，n ＝12＋1时等号成立，所以1m ＋1n 的最小值为3＋22，故选C.2.[考法二·考向二]已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．3.[考法二·考向三]两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n ∈R ，且mn ≠0，则4m 2＋1n 2的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 由题意可知两圆内切，x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0化为x 2＋(y －m )2＝1，x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0化为(x －2n )2＋y 2＝9，故4n 2＋m 2＝3－1＝2，即4n 2＋m 2＝4，4m 2＋1n 2＝14⎝⎛⎭⎫4m 2＋1n 2(4n 2＋m 2)＝2＋4n 2m 2＋m 24n2≥2＋24n 2m 2·m 24n 2＝4. 4.[考法一]某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元？解：由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎡⎦⎤16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A.25 B ．12C.22D ．1解析：选B 显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0；当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤12，当且仅当x ＝1时取等号，f (x )max ＝12.2，若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( ) A.|a ＋b |2≥|ab |B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4解析：选C 由于a ，b ∈R ，所以A 、B 、D 项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C 项．∵a 2＋b 22－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝2(a 2＋b 2)－(a 2＋2ab ＋b 2)4＝a 2－2ab ＋b 24＝(a －b )24≥0，∴a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.3．(2018·东北三省四市一模)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由题意可得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×yx＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.4．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5解析：选C 因为x ＋y ＋1x ＋1y ＝x ＋y ＋x ＋y xy ≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y ，所以x ＋y ＋4x ＋y≤5.令x ＋y ＝t .则t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4. 5．(2019·西藏林芝期中)若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是( ) A ．24 B ．28 C ．25D ．26解析：选C 因为x ，y 均为正数，所以由基本不等式得3x y ＋12yx ＋13≥23x y ·12y x ＋13＝25，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故3x y ＋12yx ＋13的最小值是25，故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·郑州外国语学校月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝ lga ＋b2，则( ) A ．R <P <Q B ．Q <P <R C ．P <Q <RD ．P <R <Q解析：选C ∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .∵a ＋b 2>ab ，∴lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q ，∴P <Q <R . 2．(2019·湖北稳派教育联考)若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( )A ．x ＝yB ．x ＝2yC ．x ＝2且y ＝1D ．x ＝y 或y ＝1解析：选C ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件，故选C.3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为( )A ．1B ．12C.34D ．32解析：选C 由题意知a m a n ＝a 212m＋n －2＝4a 2122＝a 2124，∴m ＋n ＝6，则2m ＋12n ＝16⎝⎛⎭⎫2m ＋12n (m ＋n )＝16( 52＋2n m ＋m 2n )≥16×⎝⎛⎭⎫52＋2＝34，当且仅当m ＝2n 时取等号，∴2m ＋12n 的最小值为34，故选C.4．(2019·岳阳一中模拟)已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．2 3D ．3 2解析：选A 因为4a ＋b ＋1a －b ＝12a ( 4a ＋b ＋1a －b )·[](a ＋b )＋(a －b )＝12a [ 5＋a ＋b a －b＋4(a －b )a ＋b ]≥12a (5＋4)＝92a (当且仅当a ＝3b 时取等号)，所以2a ＋4a ＋b ＋1a －b ≥2a ＋92a ≥6(当且仅当a ＝32时后一个不等式取等号)，故选A.5．(2019·甘肃诊断)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( ) A.53 B ．83C ．8D ．24解析：选C 因为a ∥b ，故3(y －1)＝－2x ，整理得2x ＋3y ＝3，所以3x ＋2y ＝13(2x ＋3y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ＝13( 12＋9y x ＋4x y )≥13⎝⎛⎭⎫12＋2 9y x ·4x y ＝8，当且仅当x ＝34，y ＝12时等号成立，所以3x ＋2y的最小值为8，故选C. 6．若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝8，则a ＋b ＋c 的最大值为( ) A ．9 B ．2 3 C ．3 2D ．2 6解析：选D (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝8＋2ab ＋2ac ＋2bc . ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴8＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤2(a 2＋b 2＋c 2)＋8＝24，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴a ＋b ＋c ≤2 6.7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( )A ．10B ．15C ．20D ．25解析：选C 由题意可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，由S 8－2S 4＝5可得S 8－S 4＝S 4＋5，由等比数列的性质可得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，综上可得：a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝(S 4＋5)2S 4＝S 4＋25S 4＋10≥2S 4×25S 4＋10＝20，当且仅当S 4＝5时等号成立．故a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→的最小值是( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选D ∵O 为AB 的中点，∴PA ―→＋PB ―→＝2PO ―→，从而(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→＝2PO ―→·PC ―→＝－2|PO ―→ |·|PC ―→|.又|PO ―→|＋|PC ―→|＝|OC ―→|＝12AB ＝2≥2|PO ―→|·|PC ―→|，∴|PO ―→|·|PC ―→|≤1，∴－2|PO ―→|·|PC ―→|≥－2，∴当且仅当|PO ―→|＝|PC ―→|＝1，即P 为OC 的中点时，(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→取得最小值－2，故选D.9．(2019·玉溪月考)在△ABC 中，若a 2＋b 2＝2c 2，则内角C 的最大值为( ) A.π6 B ．π4C.π3 D ．2π3解析：选C∵a 2＋b 2＝2c 2，∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≥a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2＝2c 2－c 22c 2＝12，当且仅当a ＝b 时取等号．∵C 是三角形的内角，∴角C 的最大值为π3，故选C. 10．(2019·淮安学情调研)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．解析：∵x >0，y >0，x ＋2y ＝3，∴y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ·x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x 3y 即x ＝63－9，y ＝6－33时等号成立，∴y x ＋1y 的最小值为23＋23.答案：23＋2311．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．解析：由2m ＋n ＋6＝mn ，m >0，n >0，得22mn ＋6≤2m ＋n ＋6＝mn ，令2mn ＝t (t >0)，则2t ＋6≤t 22，即t 2－4t －12≥0，解得t ≤－2(舍)或t ≥6，即2mn ≥6，mn ≥18，则mn 的最小值是18.答案：1812．(2019·张掖月考)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．解析：∵a >0，b >1，a ＋b ＝2， ∴3a ＋1b －1＝⎝⎛⎭⎫3a ＋1b －1(a ＋b －1)＝3＋3(b －1)a ＋ab －1＋1＝4＋3(b －1)a ＋a b －1≥4＋23，当3(b －1)a ＝a b －1， 即a ＝3－32，b ＝3＋12时取等号，故最小值为4＋2 3. 答案：4＋2 313．(2019·石家庄高三一检)已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2,3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，所以b ＝2aa －3>0，所以a －3>0，所以a ＋b ＝a ＋2a a －3＝a －3＋6a －3＋5≥5＋2(a －3)·6a －3＝5＋26，当且仅当a －3＝6a －3，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立． 答案：5＋2 614．(2018·唐山二模)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1. (1)求证：a ＋b ≤2；(2)判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．解：(1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号． 解得(a ＋b )2≤4，又a ，b >0， 所以a ＋b ≤2. (2)不能成立．理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立． 因为a ＋b ≤2， 所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2. 因为c >0，d >0，cd >1， 所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d2＋1≥ac ＋bd ，故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．15．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]， 所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x60单调递减， 故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10. 因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x ， ①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2 x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x －2为减函数，所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．。

"【三维设计】高考数学 第六章第二节一元二次不等式及其解法课后练习 人教A 版 "一、选择题1．(2012·合肥模拟)不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．(－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2]解析：∵x －2x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2≤0，x ＋1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ≠－1，∴x ∈(－1,2]． 答案：B2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0，x 2－3x ＜0的解集为( )A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0，x 2－3x ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，0＜x ＜3⇒0＜x ＜1.答案：C3．(2012·湘潭月考)不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：(1)当x －2>0，即x >2时⇔(x －2)2≥4，∴x ≥4. (2)当x －2<0，即x <2时⇔(x －2)2≤4，∴0≤x ＜2. 故B 正确． 答案：B4．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m <－1C ．m <－1311D ．m >1或m <－1311解析：(1)m ＝－1时，不等式为2x －6<0即x <3不合题意．(2)m ≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0.∴m <－1311.答案：C5．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析：∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．因此f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0.∴－32<a <－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1即为－x 2－x >0. 解得－1<x <0. 答案：C 二、填空题6．(2012·衡阳模拟)若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值集合是________． 解析：由题意知，a ＝0时，满足条件；a ≠0时，由题意知a >0且Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.答案：{a |0≤a ≤4}7．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．解析：由题意得x 2＋12x ≥(12)n max ＝12，∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1] 三、解答题8．已知f (x )＝2x 2－4x －7，求不等式f x－x 2＋2x －1≥－1的解集．解：原不等式可化为2x 2－4x －7－x 2＋2x －1≥－1， 等价于2x 2－4x －7x 2－2x ＋1≤1，即2x 2－4x －7x 2－2x ＋1－1≤0， 即x 2－2x －8x 2－2x ＋1≤0. 由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0.所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －8≤0，x 2－2x ＋1≠0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，x ≠1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x <1或1<x ≤4}． 9．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3<0(a ∈R)． 解：x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3<0⇔(x －a )(x －a 2)<0. 讨论：(1)当a ＝0或a ＝1时，解集为∅. (2)当0<a <1时，解集为{x |a 2<x <a }． (3)当a <0或a >1时，解集为{x |a <x <a 2}． 故a ＝0或a ＝1时，解集为∅； 0<a <1时，解集为{x |a 2<x <a }；a <0或a >1，解集为{x |a <x <a 2}．10．某种商品，现在定价p 元，每月卖出n 件，设定价上涨x 成，每月卖出数量减少y 成，每月售货总金额变成现在的z 倍．(1)用x 和y 表示z ；(2)设x 与y 满足y ＝kx (0<k <1)，利用k 表示当每月售货总金额最大时x 的值； (3)若y ＝23x ，求使每月售货总金额有所增加的x 值的范围．解：(1)按现在的定价上涨x 成时，上涨后的定价为p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10元，每月卖出数量为n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10件，每月售货总金额是npz 元，因而npz ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10，所以z ＝10＋x10－y100.(2)在y ＝kx 的条件下，z ＝10＋x10－kx 100＝－k100x 2＋1－k10x ＋1， 对称轴x ＝－1－k 102×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 100＝51－kk，∵0<k <1，∴51－kk>0.∴当x ＝51－kk时，z 有最大值．(3)当y ＝23x 时，z ＝10＋x ⎝⎛⎭⎪⎫10－23x 100，要使每月售货总金额有所增加，即z >1， 应有(10＋x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫10－23x >100，即x (x －5)<0.所以0<x <5. 所以所求x 的范围是(0,5)．。