浙教版九年级数学(上)课时训练 1.4 二次函数的应用(2)

1.4 二次函数的应用（1）（巩固练习）姓名班级1.4二次函数的应用(1)第一部分1. 对于二次函数y=－5x2+8x－1，下列说法中正确的是…………………………………（）A. 有最小值2.2B. 有最大值2.2C. 有最小值－2.2D. 有最大值－2.22. 小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是……（）A. 4cm2B. 8cm2C. 16cm2D. 32cm23. 在半径为4cm的圆面上，从中挖去一个半径为x的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y，则y关于x的函数关系为………………………………………………………………（）A. y=πx2－4B. y=π(2－x)2C. y=－π(x2+4)D. y=－πx2+16π4. 已知二次函数y=(x－1)2+(x－3)2，当x＝时，函数达到最小值.5. 已知二次函数y=－x2+mx+2的最大值为94，则m= ．第二部分6、如图，用长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？7、如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm.. 点M从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动.若M, N分别从A，B点同时出发，设移动时间为t (0<t<6)，△DMN的面积为S.(1) 求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；(2) 当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积.第三部分8、如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为______________米.9、某桥梁的两条钢缆具有相同抛物线的形状，两条抛物线关于y轴对称，其中一条抛物线的关系式是2991040010y x x =++. (1) 求另一条钢缆的函数关系式；(2) 求出两条钢缆的最低点之间的距离.10、如图，正方形ABCD 的边长为10，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，且满足AE ∶BF ∶CG ∶DH =1∶2∶3∶4. 问当AE 长为多少时，四边形EFGH 的面积最小?并求出这个最小值.参考答案第一部分1. 对于二次函数y=－5x 2+8x －1，下列说法中正确的是…………………………………（ ）A. 有最小值 2.2B. 有最大值 2.2C. 有最小值－2.2 D. 有最大值－2.2答案：D2. 小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是……（ ）A. 4cm 2B. 8cm 2C. 16cm 2D. 32cm 2答案：43. 在半径为4cm 的圆面上，从中挖去一个半径为x 的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y ，则y关于x 的函数关系为………………………………………………………………（ ）A. y=πx 2－4B. y=π(2－x )2C. y=－π(x 2+4)D. y=－πx 2+16π答案：D4. 已知二次函数y=(x －1)2+(x －3)2 ，当x ＝ 时，函数达到最小值.答案：25. 已知二次函数y =－x 2+mx +2的最大值为94，则m = ． 答案：±1第二部分6、如图，用长20m 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？【解】设与墙垂直的一边为x 米，园子面积为S 米2，则另一边长为(20－2x )米，由题意得S=x(20－2x)=－2x2+20x=－2(x－5)2+50(0<x<10)∵a<0，∴当x=5(在0<x<10的范围内)时，园子面积S的最大值为50米2.7、如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm.. 点M从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动.若M, N分别从A，B点同时出发，设移动时间为t (0<t<6)，△DMN的面积为S.(1) 求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；(2) 当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积.【解】(1) 由题意，得AM=t cm，BN=2t cm，则BM=(6－t)cm，CN=(12－2t)cm.∵S△DMN=S矩形ABCD－S△ADM－S△BMN－S△CDN∴S=12×6－12×12t－12(6－t)·2t－12×6(12－2t)=t2－6t+36=(t－3)2+27∵t=3在范围0<t<6内，∴S的最小值为27.(2) 当△DMN为直角三角形时，∵∠MDN<90°，∴可能∠NMD或∠MND为90°.当∠NMD=90°时，DN2=DM2+MN2，∴(12－2t)2+62=122+t2+(6－t)2+(2t)2，解得t=0或－18，不在范围0<t<6内，∴不可能. 当∠MND=90°时，DM2=DN2+MN2，∴122+t2=(12－2t)2+62+(6－t)2+(2t)2，解得t=32或6，(6不在范围0<t<6内舍).∴S=(32－6)2+27=1174cm.第三部分8、如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为______________米.解析：设窗子长为x，则宽为1223x-，S矩形=12x·1223x-=13-x2+2x=13-(x－3)2+3，即x=3时矩形窗子面积最大.答案：3，29、某桥梁的两条钢缆具有相同抛物线的形状，两条抛物线关于y轴对称，其中一条抛物线的关系式是2991040010y x x =++. (1) 求另一条钢缆的函数关系式； (2) 求出两条钢缆的最低点之间的距离. 分析：(1) 先求2991040010y x x =++的顶点坐标，再求出其关于y 轴的对称点坐标， 又a 值不变，从而可求得另一条钢缆的函数解析式；(2) 即为两条抛物线横坐标之差的绝对值.解：(1) 在2991040010y x x =++中，2b a -=－20，244ac b a -=1，即顶点坐标(－20，1) 这个顶点关于y 轴对称点的坐标为(20，1)，又a =9400∴另一条钢缆的解析式为y =9400(x －20)2+1=2991040010x x -+； (2) 最低点之间的距离=|20－(－20)|=40.10、如图，正方形ABCD 的边长为10，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，且满足AE ∶BF ∶CG ∶DH =1∶2∶3∶4. 问当AE 长为多少时，四边形EFGH 的面积最小?并求出这个最小值.解：设AE =x ，则BF=2x ，CG=3x ，DH=4x ，BE =10－x ，CF=10－2 x ，DG =10－3 x ，AH =10－4 x . ∴S 四边形EFGH =S 正方形ABCD －S △AEH －S △BEF －S △CFG －S △DGH=102－12x (10－4x )－ 12·2x (10－x )－ 12·3x (10－2x )－ 12·4x (10－3x )=10x 2－50x +100 ∵2b a-=2.5，244ac b a -=37.5 ∴当AE 长为2.5时，四边形EFGH 的面积的最小值为37.5.初中数学试卷。

1.4 二次函数的应用（2） （巩固练习）姓名 班级第一部分1. 小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x ，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A. y =500(x +1)2B. y=x 2+500C. y =x 2+500xD. y=x 2+5x2.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是……………………………………（ ）A. 4.6mB. 4.5mC. 4mD. 3.5m3. 已知直角三角形的两直角边之和为2，则斜边长可能达到的最小值是 .4. 函数y=x 2－4x +3 (－3≤x ≤3)的最小值是 , 最大值是 .5. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件. 根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为 元.第二部分6、如图是两条互相垂直的街道, 且A 到B , C 的距离都是4千米. 现甲从B 地走向A 地, 乙从A 地走向C 地, 若两人同时出发且速度都是4千米/时, 问何时两人之间的距离最近?7、求223y x x =-+－2≤x ≤2)的最小值和最大值.8、南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆．．汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润．．．．为y 万元．（销售利润=销售价-进货价） (1) 求y 与x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；(2) 假设这种汽车平均每周．．的销售利润为z 万元，试写出z 与x 之间的函数关系式； (3) 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？9、杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施。

1.4 二次函数的应用第1课时 几何图形的面积问题数学（浙教版）九年级 上册第1章二次函数学习目标1．学会分析实际问题中的二次函数关系；2．学会用二次函数表示几何图形中的关系，并用来求实际问题中的最大值与最小值；导入新课问题1：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位：m ）与小球的运动时间 t （单位：s ）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2（0≤t ≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h= 30t - 5t2解决思路：通过图象可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.思考：如何求二次函数的顶点坐标呢？知识点一 二次函数的实际应用——几何图形面积问题由于抛物线 y = ax 2+ bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2+ bx + c有最小（大）值思考：如何求出二次函数 y = ax 2+ bx + c 的最小（大）值？二次函数的顶点式可以很直观地看出最大值或最小值当 时小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．t/sh/m O 1234562040h= 30t - 5t2我们来求一下问题1：例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？1.矩形面积公式是什么？2.如何用l表示另一边？3.面积S的函数关系式是什么？l30-lS=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).S=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).因此，当时，S有最大值，也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.归纳总结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.典例精析【例1】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（ ）米．A．4B．5C．6D．8【详解】解：设中间隔开的墙长为x m，能建成的饲养室总占地的面积为Sm2，根据题意得，S=x×(28+2-3x)=-3(x-5)2+75，-3＜0，有最大值，∴当x=5时，S取得最大值，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．练一练1．如图，某跑道的周长为400m 且两端为半圆形，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道AB 段的长应为．【详解】解：设矩形直线跑道AB=xcm ，矩形面积为ycm 2，由题意得： y=400−2ᵆᵰ·ᵆ=−2ᵰ(ᵆ−100)2+20000ᵰ∵−2ᵰ＜0，∴当x=100时，y 最大，即直线跑道长应为100m ．故答案为：100m2．如图，一块矩形区域ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为18米（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD 的面积最大时AB 的长．【详解】解：设AB=x 米，矩形的面积设为y （平方米），则AB+EF+CD=3x ，∴AD=BC=18−3ᵆ2．∴y=x·18−3ᵆ2=−32ᵆ2+9ᵆ．由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，∴当AB=x=-ᵄ2ᵄ=3时，函数y 取得最大值．∴当AB=3米时，矩形ABCD 的面积最大．1．如图，要围一个矩形菜园ABCD，共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB,BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【详解】设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2，则BC的长为(40-2x)m，由题意得y=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200，其中0＜40-2x≤26，即7≤x＜20，①AB的长不可以为6m，原说法错误；③菜园ABCD面积的最大值为200m2，原说法正确；②当y=-2(x-10)2+200=192时，解得x=8或x=12，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，说法正确；综上，正确结论的个数是2个，故选：C．2．把一根长4a的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（ ）A．ᵄ2B．ᵄ2�C．ᵄ22D．ᵄ243．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m ，门宽为2m ．这个矩形花圃的最大面积是．【详解】解：设花圃的长为x,面积为y,则y 关于x 的函数表达式为：y=12(38+2−��ᵆ)ᵆ=−12ᵆ2+20ᵆ=−12(x-20)2+200又∵38+2-x＞0，x≥22≤x＜404．如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是平方米．【详解】解：设AB=x米，矩形ABCD的面积为S，则BC=（16-2x)米，∴S=x(16-2x)=2x2+16x=-2(x-4)2+32即矩形ABCD的最大面积为32平方米故答案为：32．5．用一段长为24m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长10m ，则这个养鸡场最大面积为 m 2．【详解】设养鸡场长为x 米，则宽为12(24−��ᵆ)米，面积为S 平方米，根据题意得：S=x×12(24−ᵆ)=−12ᵆ2+12ᵆ，(0＜x≤10)，∵二次函数图象对称轴为：直线x=12，开口向下，∴ 当0＜x≤10时，S 随x 的增大而增大，∴当x=10时，S 取得最大值为70．故答案是：70．6．如图所示，矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【详解】（1）∵AB边长为xm，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32m，∴BC边长为(32-2x)m，∴S=AB·BC=x(32-2x)=-2x2+32x；（2）函数化为顶点式，即得S=-2(x-8)2+128，可知x=8时，S有最大值128m2．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，根据简单等量关系解决问题，二次函数化为顶点式即可得到函数最值，正确理解题意列得函数解析式是解题的关键．7．如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长15m的墙，想用长为40m的网绳围成一个矩形ABCD给奶奶养鸡，怎样使矩形ABCD的面积最大呢？同学淇淇帮她解决了这个问题．淇淇的思路是：设BC的边长为xcm，矩形ABCD的面积为Sm2，不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：(1)求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；(2)x为何值时，矩形ABCD的面积最大？【详解】（1）解：S=x(40−��ᵆ2)=-12ᵆ2+20ᵆ,ᵆ的取值范围为0＜ ᵆ�≤15；（2）解：∵S=-12ᵆ2+20ᵆ ，-12＜0，∴当x=-20−1=20时，S 有最大值，当x ＜20时，S 随x 的增大而增大，而0＜x≤15，∴x=15时，S 有最大值，即矩形ABCD 的面积最大．课堂小结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.谢谢~。

浙教版九年级上册二次函数1.4 二次函数的应用同步练习1.关于二次函数y＝x2＋4x－7的最大(小)值，下列叙述正确的是( )A．当x＝2时，函数有最大值 B．当x＝2时，函数有最小值C．当x＝－2时，函数有最大值 D．当x＝－2时，函数有最小值2.如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m23.抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2020的值为()A．2021B．2020C．2019D．20184.若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为( )A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝55.如图，C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C为AB的三等分点时，S最大6.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是()A．m≥－2B．m≥5 C．m≥0D．m>47.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值8.如图，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为()9.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m ＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中，正确结论的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为__________．11.如果二次函数y＝ax2－6x＋1有最小值为0，则a的值为________．12．二次函数y＝(x－2)2＋3，当－1<x<4时，y的取值范围为__________．13.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2.14，二次函数y＝(x－5)2＋3(－1≤x≤4)的最小值为____________．15.已知二次函数y=(x－1)2+(x－3)2，当x＝时，函数达到最小值16.如图是函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象，当y≥2400时，x的取值范围是_________．17.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图K－6－5所示，当－5≤x≤0时，函数y 的最大值是________，最小值是________．18．已知一个直角三角形两直角边的长度之和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．19.已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象交于点A(－1，4)，B(6，2)(如图所示)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________________．20.某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个．若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元(x为偶数)，每周销售量为y个．(1)直接写出销售量y(个)与降价x(元)之间的函数表达式；(2)设商户每周获得的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？21.如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm.. 点M从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动. 若M, N分别从A，B点同时出发，设移动时间为t (0<t<6)，△DMN的面积为S.(1) 求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；(2) 当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积.22.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(-2,0)，且OA=OC=4OB，抛物线y=ax²+bx=c图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．D(第4题)。

1.4 二次函数的应用第2课时 商品销售利润问题数学（浙教版）九年级 上册第1章二次函数学习目标1．学会根据销售问题中的数量关系列出二次函数关系式；2．利用列出的二次函数关系式，根据其性质解决商品销售过程中的最大利润问题；3、商品销售类二次函数问题，要注意二次函数自变量的取值范围；　导入新课目前，我国存在大量的商场，是人们平时购物、饮食、游玩等重要的场所；在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？知识点一二次函数的应用——商品销售问题问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润元.180006000数量关系（1）销售额= 售价×销售量;（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.例某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10x y=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.60001.自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.2.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当时,y=-10×52+100×5+6000=6250.即定价65元时，最大利润是6250元.降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+18x y=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60x+6000.60001.自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.2.降价多少元时，利润最大，是多少？当 时,即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y =-18x 2+60x +6000，由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?归纳总结求解最大利润问题的一般步骤1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”2.结合实际意义，确定自变量的取值范围；3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.典例精析【例1】某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出30-x件，要使利润最大，每件的售价应为（ ）A．24元B．25元C．28元D．30元【详解】解：设利润为w，由题意可得，w=(x-20)(30-x)=-x2+50x-600=-(x-25)2+25∵-1＜0，20≤x≤30，∴当x=25时w最大，故选B；【例2】已知某商品的进价为每件40元．现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；定价为元才能使利润最大．【详解】解：设每涨价x元，获得的总利润为y元，根据题意得：y=(6--40+x)(300-10x)=(20+x)(300-10x)==-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250(0≤x≤30)∴当x=5时，y的值最大，此时定价为：60+5=65（元）故答案为：65．练一练1．“爱成都，创文明，迎大运”，卫生环境先着手，为提高工作效率，某清洁工具生产商投产一种新型垃圾夹，每件制造成本为20元，在试销过程中发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=-2x+52．(1)写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；(2)当销售单价为多少元时，生产商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？【详解】（1）由题意得：w=y(x-20)=(-2x+52)(x-20)=-2x2+92x-1040；（2）w=-2x2+92x-1040=-2(x-23)2+18，∴当销售单价为23元时，每月能获得最大利润，最大利润是18万元；1．2022年北京冬奥会的冰墩墩受广大群众的喜爱，某超市销售冰墩墩饰品，每件成本为40元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y （件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y=-2x+200，若要求销售单价不得低于成本．为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少元？（ ）A．80元，1800元B．70元，2000元C．70元，1800元D．80元，2000元【详解】设每月所获利润为w，由题意可知：w=(x-40)×y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70）2+1800∵抛物线开口向下，∴当x=70时，函数有最大值为1800．故选：C．2．某书店销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出(100-5x)本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）A．250元B．500元C．750元D．1000元【详解】解：每本可获利x元，一天可售出(100-x)本，则一天的利润为(100-5x)x=-5x2+100x，设日利润为y，∴y=-5x2+100x=-5(x-10)2+500，∴最大利润为：500元，故选：B．3．某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出，若每床每天收费提高10元，则有2张床位不能租出；若每床每天收费再提高10元，则再有2张床位不能租出；若每次按提高10元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（ ）A．3125元B．3120元C．2950元D．1280元【详解】解：设每床每晚收费提高x个10元，旅店每天营业收入为y元，根据题意得：y=（10+10x）（30-2x）=-20x2+280x+300=-20(x-7)2+1280，∴当x=7时，y最大，最大值为1280元，∴该旅店每天营业收入最多为1280元，故选：D．4．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为150件：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（件），每天所得的销售利润为w（元）．则当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是_______元.【详解】解：由题意，得：涨了(x-25)元，销售量少10(x-25)件，现在的销售量为y=150-10(x-25)=(400-10x)件，W=(x-20)·y=(x-20)(400-10x)=-10x2+600x-8000当x=−ᵄ2ᵄ=30时，W最大，W=(30-20)×(400-300)=1000元．故当销售单价为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是1000元．故答案为：30，1000．5．超市销售的某商品进价是10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，则该商品的售价定为元/件时，每天销售该商品的获利最大．【详解】设获利W元，则W=（x-10）·y∴W=（x-10）（-5x+150）=-5x2+200x-1500当x=−ᵄ2ᵄ=20时，W的值最大，∴当x=20时，每天销售该商品的获利最大．故答案为：20．6．2022年，中国航天迈着大步向浩瀚宇宙不断探索．这一年，神舟十四号载人飞船成功发射．某航模专卖店向航天爱好者推出了“神舟十四号”飞船模型．每个模型的进价是80元，原计划按每个120元销售，每月能售出30个，经调查发现，这种模型每个降价1元，则每月销售量将增加2个．（降价为整元）(1)直接写出每月销售量y（个）与每个降价x（元）的函数关系式；(2)设专卖店销售这种模型每月可获利w元，当每个降价多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？【详解】（1）根据题意得：y=30+2x；（2）设每个降价x元，根据题意得，w=(120-80-x)(30+2x)=-2x2+50x+1200=-2(x-252)2+30252，当每个降价12或13元时，每月获得的利润最大，最大利润是1512元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．7．水果店新进一种水果，进价为每千克5元，每天的销售量y(kg)与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式，其图像如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)水果的销售单价定为多少元时，水果店卖这种水果每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0），由所给函数图像可知：8ᵅ+ᵄ=606ᵅ+ᵄ=100，解得：ᵅ=−20ᵄ=220，∴y与x的函数关系式为y=-20x+220．（2）解：设每天销售这种水果所获的利润为w元，∵y=-20x+220，∴w=(x-5)y=(x-5)(-20x+220)=-20(x-8)2+180，∴当x=8时，w有最大值，最大值为180，∴售价定为8元/件时，每天最大利润为180元．课堂小结求解最大利润问题的一般步骤1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”2.结合实际意义，确定自变量的取值范围；3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.谢谢~。

初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用同步练习一、单选题1.二次函数的图象与x轴交点的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个2.如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（）A. h＞B. 0＜h≤C. h＞2D. 0＜h＜24.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（）人A. 56B. 55C. 54D. 535.已知一次函数，二次函数，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为和，则下列表述正确的是（）A. B. C. D. ，的大小关系不确定6.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A. 20B. 1508C. 1550D. 15587.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A. 米B. 8米C. 10米D. 2米8.实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则（）A. b2﹣4ac＞0B. b2﹣4ac≥0C. b2﹣4ac＜0D. b2﹣4ac≤09.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（）A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②③10.二次函数y＝x2+2kx+k2﹣1（k为常数）与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定11.小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米12.如图所示，将一根长m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系13.已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 202114.已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的负半轴相交.则下列关于、的大小关系正确的是（）15.当时，二次函数的图象与x轴所截得的线段长度之和为（）A. B. C. D.二、填空题16.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是________m．17.以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）.若h1＝2h2，则t1：t2＝________.18.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是________元.19.已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．20.如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x 轴上，则不等式的解集为________．下函数关系：，则该球从弹起回到地面需要经过________秒，距离地面的最大高度为________米.22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为________.23.如图，已知直线分别交轴、轴于点、，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为．过点且平行于轴的直线与直线交于点，当时，的值是________．24.如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是________米．25.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点(0，-3)，与x轴两个交点的横坐标分别为m，n，则a(m2+n2)+b（m+n）的值为________三、计算题26.已知函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。

浙教版九年级数学上册同步测试：1.4 二次函数的应用一、解答题1．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣6）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．3．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．（1）求a、c的值．（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．5．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？6．已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y 轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．（1）求抛物线解析式．（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．7．如图，抛物线y=﹣x2+6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B．过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF．（1）求点A，M的坐标．（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？（3）当BD=1时①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A（﹣6，0），与y轴的交点为C（0，3），且经过点G （﹣2，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为S，求S的最大值；（3）若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．9．若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．11．已知抛物线y=x 2+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点E （m ，n ）是第二象限内一点，过点E 作EF ⊥x 轴交抛物线于点F ，过点F 作FG ⊥y 轴于点G ，连接CE 、CF ，若∠CEF=∠CFG ．求n 的值并直接写出m 的取值范围（利用图1完成你的探究）．（3）如图2，点P 是线段OB 上一动点（不包括点O 、B ），PM ⊥x 轴交抛物线于点M ，∠OBQ=∠OMP ，BQ 交直线PM 于点Q ，设点P 的横坐标为t ，求△PBQ 的周长．12．已知抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（1，0），与y 轴的交点坐标为（0，）．R （1，1）是抛物线对称轴l 上的一点．（1）求抛物线y=ax 2+bx +c 的解析式；（2）若P 是抛物线上的一个动点（如图一），求证：点P 到R 的距离与点P 到直线y=﹣1的距离恒相等；（3）设直线PR 与抛物线的另一交点为Q ，E 为线段PQ 的中点，过点P 、E 、Q 分别作直线y=﹣1的垂线．垂足分别为M 、F 、N （如图二）．求证：PF ⊥QF ．13．如图，抛物线y=x 2﹣4x 与x 轴交于O ，A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y=x +m 与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是 ；（2）若两个三角形面积满足S △POQ =S △PAQ ，求m 的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ 的最大值；②PD•DQ的最大值．14．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．15．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（2，0），点B（3，3），BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（﹣4，0），点F与原点重合（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式；（3）点P是抛物线对称轴上一点，当△ABP是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标．16．如图，已知抛物线y=﹣（x2﹣7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D 两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为顶点的抛物线与x轴分别相交于B，C两点，抛物线上一点A的横坐标为2，连接AB，AC，正方形DEFG的一边GF在线段BC上，点D，E在线段AB，AC上，AK⊥x轴于点K，交DE于点H，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x …﹣2 0 4 8 10 …y …0 5 9 5 0 …（1）求出这条抛物线的解析式；（2）求正方形DEFG的边长；（3）请问在抛物线的对称轴上是否存在点P，在x轴上是否存在点Q，使得四边形ADQP的周长最小？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．19．抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线y=x2﹣的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．20．如图所示，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣2，0）、B（4，0），其原点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出原点D的坐标；（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．21．已知抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C 时，直接写出点P经过的路线长．22．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．——————————新学期新成绩新目标新方向——————————23．已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x﹣1（1）求证：点P在直线l上；（2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x 轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标；（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作桑水。

1．4 二次函数的应用1．已知二次函数y ＝－(x －3)2＋4，当－1≤x ≤4时，该函数(D) A ．有最大值，最小值分别是3，0 B ．只有最大值是4，无最小值 C ．有最小值是－12，最大值是3 D ．有最小值是－12，最大值是42．当二次函数y ＝(x －1)2＋(x －3)2的值最小时，x 的值为(B) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4(第3题)3． 某幢建筑物，从10 m 高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直，如图)．如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面403m ，那么水流落地点B 离墙的距离O B 是(B)A ． 2 mB ． 3 mC ． 4 mD ． 5 m4． 在距离地面2 m 高的某处将一物体以初速度v 0(m /s )竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度h (m)与抛出时间t (s)满足h ＝v 0t －12gt 2(其中g 是常数，取10 m /s 2)．若v 0＝10 m /s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7__ m ．5． 两个正数的和为50，设其中一个为x ，它们的积为y ，则y 关于x 的函数表达式是y ＝－x 2＋50x ，当x ＝__25__时，y 最大值＝625．6．用长为40cm 的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积可以达到__100__cm 2．7．某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个方案使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？【解】 设矩形的一边长为x (m)，面积为S (m 2)，则另一边长为12－2x 2＝(6－x )m ，∴S ＝x (6－x )＝－x 2＋6x ． ∵0＜2x ＜12，∴0＜x ＜6．∵S ＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9，∴S 有最大值，当x ＝3时，S 最大＝9． ∴设计费最多为9×1000＝9000(元)．(第8题)8．如图，用长20 m 的竹篱笆，一面靠墙围成一个矩形的园子，怎样围才能使园子面积最大？最大面积是多少？【解】 设AB ＝x (m)，矩形ABCD 的面积为y (m 2)，则BC ＝(20－2x )m ，∴y ＝x (20－2x )＝－2x 2＋20x (0<x <10)． 当x ＝－20－4＝5时，y 最大，y 最大＝－2×52＋20×5＝50．答：当长BC 为10 m ，宽AB 为5 m 时，园子的面积最大，最大面积为50 m 2．9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，且b 2＝ac ，当x ＝0时，y ＝－4，则(C) A ．y 最大＝－4 B ．y 最小＝－4 C ．y 最大＝－3 D ．y 最小＝－3【解】 把x ＝0，y ＝－4代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得c ＝－4． ∵b 2＝ac ，∴b 2＝－4a ，∴a ＝－14b 2<0，即y 有最大值．∴y 最大＝4ac －b 24a ＝4ac －（－4a ）4a ＝4ac ＋4a4a＝c ＋1＝－4＋1＝－3．(第10题)10． 如图，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，抛物线的顶点为C ，求四边形ABCD 的面积．【解】 令－x 2＋4x ＋5＝0， 解得x 1＝5，x 2＝－1． ∴A(－1，0)，B(5，0)． 令x ＝0，则y ＝5， ∴D(0，5)．∵y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9，∴C(2，9)． 连结C O ．S 四边形ABCD ＝S △A O D ＋S △C O D ＋S △B O C＝12×1×5＋12×5×2＋12×5×9＝30．(第11题)11．如图，有一座抛物线形状的拱桥，在正常水位时水面AB 的宽是20m ．如果水位上升3m 时，水面CD 的宽为10m ．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地．已知甲地到此桥的距离为280km(桥长忽略不计)，货车以每小时40km 的速度开往乙地．当行驶1h 时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0．25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处)，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行．试问：汽车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少？【解】 (1)设y ＝ax 2，点B 的纵坐标为k ，则B(10，k )，D(5，k ＋3)，把B ，D 两点的坐标代入y ＝ax 2，得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＝k ，25a ＝k ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，k ＝－4.∴y ＝－125x 2．(2)不能安全通过此桥．理由：水位由CD 处涨到点O 的时间为(4－3)÷0．25＝4(h)， 货车按原来的速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200＜280． ∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x (km/h)，当4x ＋40×1＝280时，x ＝60． ∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60 km/h ．(第12题)12．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝1．两个动点P ，Q 同时从点A 出发，但点P 沿AC 运动，点Q 沿AB ，BC 运动，两点同时到达点C ．(1)点Q 的速度是点P 的速度的多少倍？(2)设A P ＝x ，△A PQ 的面积为y ，当点Q 在BC 上运动时，用x 表示y ，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值．【解】 (1)∵∠A ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝1，∴BC ＝2AB ＝2，AC ＝22－12＝3． ∴AB ＋BC AC ＝33＝3．即点Q 的速度是点P 的速度的3倍． (2)过点Q 作QE ⊥AC 于点E ． ∵∠C ＝30°，∴C Q ＝2QE ． ∵AB ＋B Q ＝3x ，∴C Q ＝3－3x ． ∴QE ＝3－3x 2．∴y ＝12x ×3－3x 2＝－34x 2＋34x ．∵0<3－3x ≤2，∴33≤x <3． ∵y ＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3 316，∴当x ＝32(属于33≤x <3范围)时， y 有最大值，y 最大＝3 316．(第13题)13．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6m ，底部宽度OM 为12m ．现以点O 为原点，OM 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的函数表达式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使点C ，D 在抛物线上，点A ，B 在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？【解】 (1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －6)2＋6．∵抛物线y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，0)，∴0＝a (0－6)2＋6，解得a ＝－16．∴抛物线的函数表达式为y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x ．(3)设A(m ，0)，则B(12－m ，0)，C(12－m ，－16m 2＋2m )，D(m ，－16m 2＋2m )．∴AD ＋DC ＋CB ＝(－16m 2＋2m )＋(12－2m )＋(－16m 2＋2m )＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15．∵此二次函数的图象开口向下，∴当m ＝3时，AD ＋DC ＋CB 有最大值，为15m ．初中数学试卷。

1. 4二次函数的应用（一）1.已知二次函数y =（ x — 4） 2+ 2，则当 K x < 3时，该函数（D ） A. 有最大值11,有最小值2 B. 只有最大值11，无最小值 C. 只有最小值3,无最大值D. 有最小值3,有最大值115.如图，在梯形 ABCD 中，AB II DC ,/ ABC = 90 ° / A = 45 ° AB = 30，BC = x ,其中 15<x<30.过点D 作DE 丄AB 于点E ，将△ ADE 沿直线DE 折叠，使点 A 落在点F 处，DF 交BC 于点G.（1） 用含x 的代数式表示 BF 的长.（2）设四边形 DEBG 的面积为S ,求S 关于x 的函数表达式（3） 当x 为何值时，S 有最大值？并求岀这个最大值 .【解】 (1) •/ DE = BC = x,ZA = 45° DE 丄\E ,••AE = DE = x.由折叠知，EF = AE = x ,（第 2 题）16 m ，则所围成矩形 2如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为 22 A. 60 m B. 63 m 2 2C. 64 mD. 66 m3.已知二次函数 y =（ a — 1） x 2 + 2ax + 3a — 2的图象的最低点在 ABCD 的最大面积是（C ）x 轴上，则 a = 2 ，此时函数的表达式为 y = x 2 + 4x + 4W .4. 如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 篱笆的总长为900 m （篱笆的厚度忽略不计），当AB边平行的篱笆 150 m 时，矩形土地EF 分开，已知 ABCD 的面积最E（第 5题）（第 4题）E•'BF = AF —AB= 2x—30.1 1 2(2)••• S/DEF = 2EF DE = 2x ,1 1 2S^BFG =尹卩BG = 2 (2x—30),1 2 1 2 3 2••S= 2x —2 ( 2x—30) =—2X + 60x —450.(3)•/ 15<x<30 ,•••当X=-603= 20时，S有最大值，32 x 23 2S最大=—2X 202+ 60 X 20 —450 = 150.A DB C(第6 题)6. 如图，在足够大的空地上有一段长为a(m)的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD < MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另外三边是总长为100 m的木栏.(1)若a= 20,所围成的矩形菜园的面积为450 m2，求所利用旧墙AD的长.(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.【解】(1)设AB= x ( m)，贝U BC =( 100 —2x) m.根据题意，得x ( 100 —2x)= 450,解得X1 = 5，x? = 45.当x= 5时，100 —2x= 90> 20,不合题意，舍去；当x= 45 时，100—2x = 10.答：AD的长为10 m.(2)设AD = y ( m )，1 1 2则S矩形ABCD = 2 (y—50) + 1250 ；若a> 50，则当y= 50时，S矩形ABCD的最大值为1250 ;1 2若0v a v 50，则当y= a时，S矩形ABCD的最大值为50a—尹.综上所述，当a > 50时，S矩形ABCD的最大值为1250 ;当0 v a v 50时，S矩形ABCD的最大值为1 250a —尹.7. 如图，在△ ABC 中，/ C = 90 ° AB = 10 cm , BC = 8 cm ，点P 从点A 岀发，沿 AC 向点C 以1 cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点C 岀发，沿CB 向点B 以2 cm/s 的速度运动（点Q 运动到 点B 时，P , Q 两点同时停止运动）.在运动过程中，四边形 PABQ 面积的最小值为（C ）22 A. 19 cm B. 16 cm2 2C. 15 cmD. 12 cm1111•'S 四边形 PABQ = S ZABC — S CPQ = 2AC BC — ?PC CQ = 2 x 6 X 8 — - ( 6 — t ) X 2t = t 2— 6t + 24 =( t—3) 2+ 15，AB = 10，F 是AB 的中点，点D ，E 分别在•CF 1AB ，CF = AF = 5，Z A = Z FCE = 45° AC = BC = 10 X~22= 5 ,2. 又 TZ DFC + Z CFE = 90°Z AFD + Z CFD = 90°【解在 Rt △ ABC 中= 90° AB = 10 cm ， BC = 8 cm ， ••AC = AB 2- BC 2= 6 cm.设运动时间为t （s ）（ 0 < t < 4），则PC =( 6 — t ) cm ，CQ = 2t (cm )，•••当t = 3时，四边形 PABQ 的面积取得最小值，为152cm .,（第8题解） （第7题）W .8.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，/ C = 90 °•••△BC 是等腰直角三角形，/ ACB = 90° AB = 10，F 是AB 的中点,•••ZFD = Z CFE，•••△DF 幻JCEF (ASA)设AD = x ( 0<x<5 .2),A CDE 的面积为y,贝U CE = x, CD = 5 2 —x,1•=只(5,2 — x )•••△DE 面积的最大值为9.如图，在矩形 OABC 合)，过点F 的反比例函数中，OA = 3，OC = 2，F 是AB 上的一个动点(点 F 不与点A ，B 重k y = k ( k > 0)的图象与BC 边相交于点 E.x(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的表达式.【解】 (1) •••在矩形OABC 中，OA = 3，OC = 2，•••点B ( 3，2)••F 为AB 的中点，.••点F ( 3，1)k••点F 在反比例函数y = - ( k > 0)的图象上,x • = 3,3•该函数的表达式为y = - (x > 0).x (2)由题意知E , F 两点的坐标分别为 E$, 2 '卜F (3, 3 ,c1 1^1 ( 1••S/teFA = 2AF BE = 2X3k3 — 2k 丿，=—± ( k 2 — 6k + 9— 9)3 4.^^^当k = 3时，/EFA 的面积最大，最大面积是 3 4.数学乐园4 -L 7,10.已知二次函数y=—（x —h）2（h为常数），当自变量x的值满足2<x< 5时，与其对应的函数值y的最大值为一1,则h的值为（B）A. 3 或6B. 1 或6C. 1 或3D. 4 或6【解】如解图，当h v 2时，有一（2 —h）2=—1,解得h1 = 1，h2 = 3 （不合题意，舍去）；,（第10题解））当2< h< 5时，y=—（x—h）2的最大值为0,不合题意；当h>5 时，有一（5—h）2=—1，解得h3 = 4 （不合题意，舍去），h4= 6.综上所述，h的值为1或6.。