微分方程组的基本概念44页PPT

控制工程中的微分方程组
总结词
微分方程组在控制工程中用于描述系统的动 态特性，如机械系统、航空航天系统等。
详细描述
在控制工程中，微分方程组被用于描述各种 系统的动态特性，例如，控制系统的稳定性、 响应速度和误差等。这些微分方程组可以帮 助工程师设计和优化控制系统，提高系统的 性能和稳定性。
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数值解法
要点一
总结词
通过数值计算方法求解微分方程组的近似解。
要点二
详细描述
数值解法是一种求解微分方程组的常用方法，其基本思想 是通过数值计算方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）求解微 分方程组的近似解。这种方法适用于无法直接求解解析解 的微分方程组，通过将微分方程转化为差分方程，然后进 行迭代计算，可以得到满足一定精度要求的近似解。数值 解法在科学计算、工程技术和实际应用中具有广泛的应用 价值。
04
微分方程组的实际应用
经济模型中的微分方程组
总结词
微分方程组在经济模型中用于描述经济系统的动态变化，如经济增长、通货膨胀、就业 等。
详细描述
经济学家通过建立微分方程组来模拟和分析经济系统的各种复杂现象，例如，菲利普斯 曲线模型使用微分方程组来描述通货膨胀和失业率之间的关系，索洛模型使用微分方程 组来预测经济增长。这些模型可以帮助政策制定者更好地理解经济系统的运行机制，并
生物系统中的微分方程组
总结词
微分方程组在生物系统中用于描述生物种群的变化、疾病的传播等动态过程。
详细描述
在生物学中，微分方程组被广泛应用于种群生态学和流行病学等领域。例如，Logistic方程可以描述 种群数量的增长规律，而SIR模型和SEIR模型则可以用于预测疾病的传播趋势。这些微分方程组对于 保护生态环境和制定公共卫生政策具有重要意义。

原方的通解为 y tan( x C ) x.
dx Q( x, y) 则称其为一阶微分方程的典则形式.
也可写为： P x, ydx Q x, ydy,
称为微分方程的对称形式。
“对称”指方程关于变量 x 和 y 对称。
y y x或 x x y
dy dx
P Q
x, x,
y y
Q x, y 0
或
dx dy
Q P
x, x,
y y
P x, y 0.
一、可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
的微分方程称为可分离变量的微分方程.
例如
dy dx
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x 2dx,
解法 设函数g y 和 f x 是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G y和F x 依次为g y 和 f x 的原函数,
故 x C1 coskt C2 sinkt是原方程的解.
x A, dx 0,
t0
dt t0
C1 A, C2 0. 所求特解为 x Acoskt.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式：
F x, y, y 0.
若方程可解出 y′, 即
y f x, y dy P( x, y)
y 2x2 y sin x y 2
y y x3 y 0,
线性微分方程
x( y)2 2 yy x 0;
y y x3 y2 0,
d 2
dt 2
3sin
0.
非线性微分方程
三、微分方程的解及积分曲线
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.

的解.
y + 2y + y = 0
解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， 得
y = - 4e – x + xe - x, y = 5e – x - xe - x,
将 y，y 及 y 代入原方程的左边，有 (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程，所以该函数是 所给二阶微分方程的解.
语言. 2020/8/21
2
一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 称为微分方程，有 时 简 称 为 方 程 ， 未 知 函 数 是 一 元 函数的微分方程称做常微分方程，未 知 函 数 是 多 元 函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微 分方程，并简称为微分方程.
2020/8/21
4
二、微分方程的解
定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的 函数，都叫做该方程的解. 若微分方程的解中含有 任意常数的个数与方程的阶数相同，且 任 意 常 数 之 间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解). 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称 为方程的特解.
2020/8/21
7
例 2 验证方程 y 2 y 的通解为 y = Cx2 (C 为
x
任意常数)，并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解.
解 由 y = Cx2 得 y = 2Cx,
将 y 及 y 代入原方程的左、右两边，左边有 y= 2Cx，
而右边 2 y 2Cx, 所以函数 y = Cx2 满足原方程.

解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.

将 y 和 y 代入原方程得C( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
24
C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
.精品课件.
19
例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
.精品课件.
17
解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx

y dx 2 xdx 得
y x 2 C1
2 y dx ( x C1 )dx
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第一节 微分方程的基本概念
2、通解 若微分方程的解中含有独立的任意常数,且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 则称这样的解 为微分方程的通解 （一般解）。
2 前例中， y 3 x ,
其中x0 , y0为已知常数. 二阶微分方程y f ( x, y, y)的初始条件为 , 其中x0 , y0 , y0 为已知常数. y x x y0 , y x x y0
0 0 0
y x x y0 ,
第一节 微分方程的基本概念
称为 4、初始条件 确定通解中的任意常数的条件， 初始条件， 也称为定值条件。
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程. 解： 设所求曲线方程为 y y( x ), dy 2 ① 微分方程 3 x 由导数的几何意义得
因曲线通过点 (1,2), 故 y | x 1 2
dx
② 初始条件 对(1)式求积分, 得 y 3 x 2dx x 3 C ③ 方程通解
n阶线性微分方程的一般形式为 ( n) ( n1) y a1 ( x) y ... an1 ( x) y an ( x) y g( x) （3） 其中a1 ( x),.a2 ( x)...,an ( x)和g( x)均为自变量x的
已知函数。 例： y P ( x ) y Q( x ), y 2 yy 3 y x 2 一阶线性常微分方程 二阶线性常微分方程
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 是现代数学的一个重要分支。 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种 常用的微分方程的求解方法，微分方程在经济中的应用。

（用来确定任意常数的条件）： 4、初始条件 用来确定任意常数的条件）： 一阶微分方程的初始条件是 y x = x 0 = y 0 , 二阶微分方程的初始条件是
y
x = x0
= y0 , y ′
x = x0
′ = y0 ,
求微分方程满足初始条件的解的问题. 5、初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题. 一阶: 一阶
3、n 阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y′, …, y(n)) = 0， ′ ， 是自变量， 是未知函数。 其中 x 是自变量， y 是未知函数。 例如 mv′(t) = mg – m v ′′ ( t ) ′
二、微分方程的解
代入微分方程后使其成为恒等式的函数。 代入微分方程后使其成为恒等式的函数。 1、微分方程的解： 微分方程的解：
有 将 y，y′ 及 y″ 代入原方程的左边， ， ′ ″ 代入原方程的左边， (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， ， 满足原方程， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程， 所以该函数是 所给二阶微分方程的解. 所给二阶微分方程的解
1 1 x y′ − y = e , 2 2
y =e ∫
− P( x)dx
C + Q( x)e∫ P( x)dxdx. ∫
则
1 1 x P ( x ) = − , Q( x ) = e , 2 2
1 x 则 − ∫ P ( x )dx = ∫ dx = , e − ∫ P ( x )dx 2 2 x x − 1 x 2 ∫ P ( x )dx Q( x )e dx = ∫ e e dx = e 2 , ∫ 2

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分 方 程
z z xy z2 x y
zx 5z4 0
常微分方程
偏微分方程

t →+ ∞
lim x(t , 0, x0 ) = K 0
(5.1.2)克服了 克服了(5.1.1)中种群数量无限增长的缺陷 中种群数量无限增长的缺陷, 克服了 中种群数量无限增长的缺陷
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结束
在一定程度上能更好的刻画实际问题的变化规律． 在一定程度上能更好的刻画实际问题的变化规律． 对(5.1.1)和(5.1.2)这样能求出其解的具体形 和 这样能求出其解的具体形 式的问题.当然可以用前面所学的知识来讨论其解 式的问题 当然可以用前面所学的知识来讨论其解 在
dx (t , x 0 ) <0 时 dt
则从方程的形式可以看出， 则从方程的形式可以看出， 当r
Hale Waihona Puke > 0, x(t , x0 ) > 0
则 x (t , x0 ) , 单调减 ;
dx(t , x 0 ) x 当 r < 0 ， ( t , x0 ) < 0 时 > 0, dt
则 x (t , x0 ) , 单调增 。 所以， 所以，当
dX (t ; t0 , X 0 ) = F (t , X (t ; t0 , X 0 )) dt
和 关于初始值问题(5.1.6)，(5.1.7)也有解的存在惟 ， 关于初始值问题 也有解的存在惟 一性定理． 一性定理．
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若 (1)
中满足： 在开区域 G ⊆ R × R n 中满足： F (t , x) 内连域，简记为： F 在 G 内连域，简记为： 满足局部 局部Lipschitz条件，即对于点 条件， 条件 X 满足局部
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(1) 如果 (2) 如果

数，则称其为方程的通解; 若n阶微分方程的解中不含有 任意常数，则称其为方程的特解.
例如 y Ce2x 是方程 y 2 y 0 的通解
y C1 sin x C2 cos x 是方程 y y 0 的通解 y e2x 是方程 y 2 y 0 的特解.
确定n阶微分方程通解中n个独立的任意常数时, 通
§10.1 微分方程的基本概念
一. 引例 二. 微分方程的概念
一. 引例
例1 已知曲线通过点(0,1)且在该曲线上的任一点 M ( x, y) 处的切线斜率为 2x, 求该曲线方程.
解 设所求曲线的方程为 y = f (x) , 根据导数的几何意 义知道, 未知函数 应满足关系式
dy 2x dx
其中 F 是 x, y , y', … , y (n) 的已知函数, x 为自变量, y
为未知函数, 且方程中一定含有 y(n).
n阶微分方程的另一种形式为
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) )
其中 f 是 x , y , y', … , y ( n - 1) 的已知函数.

y
x0

y0 ,
y
x0

y1 ,
, y(n1) x0 yn1
微分方程解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积 分曲线. 初值问题的几何意义, 就是求微分方程的通 过点 ( x0 , y0 ) 的那条积分曲线.
例3 验证 函数 y = C1cosx + C2 sinx + x 是微分方程
解 设所求的函数关系为 Q = Q (p)
则由题意可知，它应满足
p

Q

dQ dp

1）首先建立M-文件 （weif.m） function f = weif(x,y) f=-y+x+1;
2）求解：[x，y]=ode23(‘weif’, [0, 1], 1) 3) 作图形: plot(x, y, ‘r’); 4) 与精确解进行比较
hold on ezplot(‘x+exp(-x)’,[0, 1])
数学实验之 －－微分方程
实验目的 应用场景 基本概念 数值解法 软件求解 范例 课堂延伸 布置实验
结束
Matlab软件计算数值解
注意1：
dx(t) dt

f1(t, x(t), y(t))
dy(t) dt

f2 (t, x(t), y(t))
1、建立M文件函数
function xdot = fun(t,z) xdot = [f1(t, z(1), z(2))； f2(t, z(1), z(2))]；
函数的 初值
函数文 终值
件
ode23：2阶3级龙格-库塔算法 ode45：4阶5级龙格-库塔算法
数学实验之 －－微分方程
实验目的 应用场景 基本概念 数值解法 软件求解 范例 课堂延伸 布置实验
结束
Matlab软件计算数值解
例1 y’= - y+x+1，y(0) = 1
标准形式： y’= f(x , y)
实验目的 应用场景 基本概念 数值解法 软件求解 范例 课堂延伸 布置实验
结束
微分方程的数值解法
“常微分方程初值问题数值解”的提法
而在一系列离散点 x1 x2 xn
求y(xn)的近似值yn(n=1,2,…)
y
通常取等步长h
xn x0 nh

(9)
2
这就是初速度为0的物体垂直下落时距离
s与时间t之间的函数关系．
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9
第六章 常微分方程
二、微分方程的定义
第一节 微分方程的基本概念
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.
如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就 称为常微分方程。
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 , 都是常微分方程；
y(4) 4 y ' 4 y xex
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11
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数， 并且在方程中出现偏导数
如
2u x2

2u y2

2u z2

0
就是偏微分方程；
本章我们只介绍常微分方程。
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶的高阶微分方程 第四节 二阶线性微分方程解的结构 第五节 二阶常系数线性齐次微分方程
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3 又由于已知曲线过点 (1, 2)，代入上式，得 C . 2 3 1 所以，求此曲线的方程为 x . 2 y
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元
函数 y = y(x) ， 其图形是一条平面曲线，我们称 它为微分方程的积分曲线. 通解的图形是平面上的
一族曲线，称为积分曲线族， 特解的图形是积分 曲线族中的一条确定的曲线. 这 就 是 微 分 方 程 的 通解与特解的几何意义.
(3) mv(t) = mg - kv(t)；
1 2 y 1 y ; ( 4) a d 2q g (5) 2 sinq 0 ( g , l 为常数). dt l 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
称为微分方程的阶. 例如，方程 (1) - (3) 为一阶微 分方程，方程 (4) - (5) 为二阶微分方程. 通常，n 阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y, , y(n)) = 0，
第五模块
第一节
微分方程
微分方程的基本概念
一、微分方程 二、微分方程的解
第五模块
第一节
微积分学的应用
微分方程的基本概念
一、微分方程 二、微分方程的解
一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元 函数的微分方程称做常微分方程， 未知函数是多元 函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微 分方程，并简称为微分方程. 例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为 未知函数). (1) y= kx, k 为常数； (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；
一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为
初值问题. 求解某初值问题，就是求方程的特解.

设 y2 / y1 u( x ) , 即 y 2 u( x ) e 1 x , 代入方程 (2), 并约去 e
1 x
,得
2 u (21 a)u (1 a1 b)u 0 ,
因为 1 是方程 2 a b 0 的二重根,
2 故有 1 a1 b 0 , 21 a 0 ,
y u( x ) e
P ( x )dx
P ( x )dx
y u( x ) e
P ( x )dx
u( x ) [ P ( x )] e
P ( x ) dx
,
将y和y代入原方程得u( x ) e
Q( x ),
P ( x )dx 积分得 u( x ) Q( x ) e dx C ,
是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为
所以原方程的通解为:
ye
P ( x )dx
P ( x )dx [ Q( x ) e dx C ]
17
dy x2 2 xy 2 xe 满足 y ( 0 ) 1 的特解. 例5 求方程 dx
解 通解为
ye
e
2 x dx
[ 2 x e
x2
2 x dx e dx C ]
当Q( x ) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上方程称为非齐次的.
dy y x2 , 例如 dx
dx x sint t 2 , 线性的; dt
yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
15
一阶线性微分方程的解法
dy P ( x ) y 0. 1. 线性齐次方程 dx dy dy P ( x )dx , P ( x )dx , y y

阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
4
d 2s
dt2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t 0
10
(6)
对（5）式两端积分一次，得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次，得S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件v t0 10代入（7）式中，将条件S t0 0代入（8）式，
原方程，经整理得 C(x) ex
y C(x) 代入 x
解得
C(x) ex C
于是原方程的通解为 y 1 (ex C) x
方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得
23
y
e
1 x
dx
(
e
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
eln x ( e x eln xdx C) x
1 x
( exdx
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
b 1 eabt
C
这就是种群的生长规律 。
15
8.3 一阶线性微分方程
形如
y P(x)y Q(x)
(1)
的方程叫做一阶线性微分方程（linear differential equation of first
Order),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数
curve).如 y x2 c 是方程（1）的积分曲线族,而 y x2 1只是其中过（1，2）点的一条积分曲线。
10
8.2 可分离变量的一阶微分方程

例 4．求方程 y 2dx ( x 2 xy)dy 0 的通解。
y 2 ( ) dy y2 dy 解： ， x dx y dx xy x 2 1 x
y dy du 令 u ，则 y ux ， u x ， x dx dx
dx u1 dx 1 du ， (1 )du ， x u x u
∴所求曲线方程为 y x 2 2 。
例 2．设自由落体下落的加速度为常数g ( g 0) ，且初 始位置为 0， 初速度为 v ，求自由落体的运动规律。
S 解：设自由落体运动的路程随时间的变化规律为 S (t ) ，
则有
d 2S dt
2
g ，
①
dS 且 S t 0 0, ② t 0 v . dt dS 将①式 两边对t 积分得 gt C1 ， ③ dt
1 x y 2 xy 2 的通解。 例2．求微分方程 y
解: y (1 x )(1 y 2 ) ，
分离变量，得 dy 1 y 2 (1 x )dx ，
x2 两端积分，得： arctan y x C ， 2 x2 即 y tan( x C ) 。 2
k 2 y k 2 y 0, 所以函数①是方程②的解。
d2y dx2
又函数 y C1 cos kx C 2 sinkx 中含有两个独立的任意常数，
方程
k 2 y 0( k 0) 为二阶微分方程，
故函数①是方程②的通解。
将条件 y
x 0 A
代入通解 y C 1 cos kx C 2 sinkx ，
tan( x y ) sec( x y ) x C 。
函数是显式的，则称为显式解；若是隐式的，则称为隐式解。

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和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔· 伯努利也研究了 数学物理方面的问题, 提出了解弹性系振动问题的一般 方法, 对偏微分方程的发展起了比较大的影响, 拉格朗 日也讨论了一阶偏微分方程, 丰富了这门学科的内容 . 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪, 那时候,数学 物理问题的研究繁荣起来了, 许多数学家都对数学物理 问题的解决做出了贡献. 这里应该提一提法国数学家傅 里叶, 他年轻的时候就是一个出色的数学学者. 在从事热 流动的研究中, 写出了《热的解析理论》, 在书中他提出 了三维空间的热方程, 也就是一种偏微分方程. 他的研究 对偏微分方程的发展的影响是很大的 .
utt a 2uxx 0, x , t 0, u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x).
所描述的是无限长弦或边界对弦的振动的影响可忽略不 计的弦振动规律 .
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初始条件的提法只有一种,而是边界条件的提法则有 三种 . (1)狄立克莱边界条件 在这种情形, 对未知函数u在有界区域的边界上给出 其值. 例如
utt a 2u xx 0 utt a 2 (u xx u yy ) 0 utt a 2 (u xx u yy u zz ) 0
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(5.1.04)
例3. 拉普拉斯(Laplace)方程
u xx u yy 0 u xx u yy u zz 0
完全非线性偏微分方程
如果一个偏微分方程具有不含有未知函数及其偏导数 的项, 则称其为非齐次偏微分方程, 否则称其为齐次偏微 分方程 .
x2uxx 2xyuxy y 2uyy 1 e y