沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线方程的其它形式(2)教案

下中之阳早格格创做下一（一）第一章集中战命题1 集中1.1 集中及其表示法1.2 集中之间的闭系1.3 集中的运算2 四种命题的形式1.4 命题的形式及等价闭系 3 充分条件取需要条件1.5 充分条件，需要条件1.6 子集取推出闭系第二章没有等式2.1 没有等式的基赋本量2.2 一元二次没有等式的解法2.3 其余没有等式的解法2.4 基原没有等式及其应用*2.5 没有等式的说明第三章函数的基赋本量3.1 函数的观念3.2 函数闭系的修坐3.3 函数的运算3.4 函数的基赋本量第四章幂函数、指数函数战对于数函数(上) 1 幂函数4.1 幂函数的本量图像取本量2 指函数4.2 指数函数的图像取本量4.3 借帮计数器瞅察函数递加的快缓下一(二)第四章幂函数、指数函数战对于数函数(下)3 对于数4.4 对于数观念及其运算4 反函数4.5 反函数的观念5 对于数函数4.6 对于数函数的图像取本量6 指数圆程战对于数圆程4.7 简朴的指数圆程4.8 简朴的对于数圆程第五章三角比1 任性角的三角比5.1 任性角及其度量5.2 任性角的三角比2 三角恒等比5.3 共角三角比的闭系战诱导公式5.4 二角战取好的余弦、正弦战正切 3 解斜三角形5.6 正弦定理、余弦定理妥协斜三角形第六章三角函数1 三角函数的图像取本量6.1 正弦函数取余弦函数的图像本量6.2 正切函数的图像本量6.3 函数y=Asin(wx+ψ)的图像、本量 2 反三角函数取最简三角圆程6.4 反三角函数6.5 最简三角圆程下二(一)第七章数列取数教归纳法1 数列7.1 数列7.1 等好数列7.3 等比数列2 数教归纳法7.4 数教归纳法7.5 数教归纳法的应用7.6 归纳——预测——论证 3 数列的极限7.7 数列的极限7.8 无贫等比数列各项的战第八章仄里背量的坐标表示8.1 背量的坐标表示及其运算8.2 背量的数量积8.3 仄里背量的领会定理第九章矩阵战止列式发端1 矩阵9.1 矩阵的观念9.2 矩阵的运算2 止列式9.3 二阶止列式9.4 三阶止列式第十章算法发端10.1 算法的观念10.2 步调框图*10.3 预计机话语战算法步调下二（二）第11章坐标仄里上的直线11.1 直线的圆程11.2 直线的倾斜角战斜率11.3 二条直线的位子闭系11.4 面到直线的距离第12章圆锥直线12.2 圆的圆程12.4 椭圆的本量12.5 单直线的尺度圆程12.6 单直线的本量12.7 扔物线的尺度圆程12.8 扔物线的本量第13章复数13.1 复数的观念13.2 复数的坐标表示13.3 复数的加法战减法13.4 复数的乘法取除法13.5 复数的仄圆根取坐圆根13.6 真系数一元二次圆程下三（一）第14章空间直线取仄里14.1 仄里及其基赋本量14.2 空间直线取直线的位子闭系14.3 空间直线取仄里的位子闭系14.4 空间仄里取仄里的位子闭系第15章简朴几许体1 多里体15.1 多里体的观念15.2 多里体的直瞅图2 转动体15.3 转动体的观念3 几许体的表面积、体积战球里距离15.4 几许体的表面积15.5 几许体的体积15.5 球里的距离第16章排列拉拢取二项式定理16.1 计数定理1——乘法定理16.2 排列16.3 计数定理2——加法定理16.4 拉拢16.5 二项式定理下三（二）第17章概率论发端17.1 古典概率17.2 频次概率第18章基原统计要领18.1 总体战样原18.2 抽样技能18.3 统计预计18.4 真例领会18.5 概率统计真验下三（拓展&理科）博题一三角恒等变更1.1 半角公式的应用1.2 三角比的积化战好取战好化积博题二参数圆程战极坐标圆程1 参数圆程2.1 直线的参数圆程2.2 直线战圆锥直线的参数圆程2 极坐标圆程2.3 极坐标系博题三空间背量及其应用3.1 空间背量3.2 空间背量的坐标表示3.3 空间直线的目标背量战仄里的法背量 3.4 空间背量正在度量问题中的应用博题四概率论发端（绝）4.1 事变战概率4.2 独力事变积的概率 4.3 随机变量战数教憧憬 4.4 正态分散*博题五线性返回5.1 直交瞅察法5.2 最小二乘法下三（拓展&文科、武艺）博题一线性筹备1.1线性筹备问题1.2线性筹备的可止域1.3线性筹备的解博题二劣选取统筹1 真验安排的若搞要领2.1 二分法2 统筹筹备2.3 统筹筹备博题三投影取绘图3.1 空间图形的仄里图 3.2 轴测图3.3 三视图博题四统计案例4.1 抽样考察案例4.2 假设查看案例*4.3 列联表独力性查看案例博题五数教取文化艺术5.1 数教取音乐5.2 数教取好术*5.3 数教取文教。

文件编号________ 语文必修五电子课本20 年月日附件二2014年教师资格认定测试课题（注：一、小学二、初中三、幼儿园四、高中五、中职）时间仓促，如有错误，敬请批评指正。

一、小学教师资格测试课题（一）语文1、苏教版小学语文三年级下册25课：争论的故事(第1课时)2、苏教版小学语文三年级下册26课：剪枝的学习(第1课时)3、苏教版小学语文四年级下册21课：爱因斯坦和小女孩(第1课时)4、苏教版小学语文四年级下册22课：宋庆龄故居的樟树(第1课时)5、苏教版小学语文四年级下册23课：黄河的主人(第1课时)6、苏教版小学语文五年级下册23课：大江保卫战(第1课时)7、苏教版小学语文五年级下册26课：灰椋鸟(第1课时)8、苏教版小学语文五年级下册27课：水(第1课时)9、苏教版小学语文六年级下册21课：莫泊桑拜师(第1课时)10、苏教版小学语文六年级下册22课：理想的风筝(第1课时)（二）英语（四年级下册）(人教版PEP)1. Unit Two What time is it? Period 12. Unit Two What time is it? Period 23. Unit Three Weather Period 14. Unit Three Weather Period 25. Unit Four At the farm Period 16. Unit Four At the farm Period 27. Unit Five My clothes Period 18. Unit Five My clothes Period 29. Unit Six Shopping Period 110. Unit Six Shopping Period 2（三）音乐《人民音乐出版社，安徽文艺出版社》1、三年级第五册P2页《唱给妈妈的摇篮曲》(第1课时)2、三年级第五册P34页《小乌鸦爱妈妈》(第1课时)3、三年级第六册P3页《嘀哩嘀哩》(第1课时)4、三年级第六册P12页《花喜鹊和小乌鸦》(第1课时)5、四年级第七册P14页《愉快的梦》(第1课时)6、四年级第七册P30页《摇篮曲》(第1课时)7、四年级第八册P6页《阳光牵着我的手》(第1课时)8、五年级第九册P2页《清晨》(第1课时)9、五年级第十册P20页《小白船》(第1课时)10、六年级第十一册P32页《茉莉花》(第1课时)（四）数学1、北师大版二年级下册P62页第六单元“认识图形”(第1课时)2、北师大版二年级下册P75第七单元“时、分、秒”(第1课时)3、北师大版三年级下册P39第四单元“面积”(第1课时)4、北师大版三年级下册P53第五单元“认识分数”(第1课时)5、北师大版四年级下册P38第三单元“小数乘法”(第1课时)6、北师大版四年级下册P85第七单元“认识方程”(第1课时)7、北师大版五年级下册P64第六单元“百分数”(第1课时)8、北师大版五年级下册P84第七单元“统计”(第1课时)9、北师大版六年级下册P2第一单元“圆柱和圆锥”(第1课时)10、北师大版六年级下册P18第二单元“正比例和反比例”(第1课时)（五）美术1、第5册第6课P14-15《红色的画》(第1课时)2、第5册第7课P16-17《黄色和蓝色的画》(第1课时)3、第6册第11课P24-25《吉祥图案》(第1课时)4、第6册第12课P26-27《橙色的画》(第1课时)5、第7册第13课P4-5《生活中的暖色》(第1课时)6、第7册第13课P26-27《多姿多彩的靠垫》(第1课时)7、第9册第3课P6-7《绘画中的透视现象》(第1课时)8、第9册第10课P22-23《色彩的色相》(第1课时)9、第10册第4课P8-9《色彩的对比》(第1课时)10、第11册第7课P14-15《色彩的调和》(第1课时)（六）信息技术1、第1课播放动听的音乐P2（小学第六册电子工业出版社）(第1课时)2、第3课欣赏精彩的视频P15（小学第六册电子工业出版社）(第1课时)3、第4课合成精彩的影片P21（小学第六册电子工业出版社）(第1课时)4、第5课欣赏与规划MTV P32（小学第六册电子工业出版社）(第1课时)5、第8课执着坚强的蜗牛P55（小学第六册电子工业出版社）(第1课时)6、第9课完成MTV的制作P61（小学第六册电子工业出版社）(第1课时)7、第10课小海龟起步走P69（小学第六册电子工业出版社）(第1课时)8、第11课小海龟变魔术P78（小学第六册电子工业出版社）(第1课时)9、第12课绘制彩色图形P85（小学第六册电子工业出版社）(第1课时)10、第14课绘制旋转图形P99（小学第六册电子工业出版社）(第1课时)（七）科学三年级上册（教育科学出版社）1.各种材料在水中的沉浮状态。

高中数学工作计划（共8篇）第1篇：高中数学工作计划篇1：高一数学教学计划高一数学教学计划一、学情分析本学期担任高一的数学教学工作，初中的基础参差不齐，学生整体水平不高，以低分学生为主；部分学生学习习惯不好，生活习惯也有一定问题；很多学生不能正确评价自己，学习兴趣不高，学习积极性不强，学习方法也存在问题，自律能力差，这给教学工作带来了一定的难度，为把本学期教学工作做好，制定如下教学工作计划。

二、教材简析使用人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（a版）》，教材在坚持我国数学教育优良传统的前提下，认真处理继承、借鉴、发展、创新之间的关系，体现基础性、时代性、典型性和可接受性等，具有亲和力、问题性、科学性、思想性、应用性、联系性等特点。

必修1有三章（集合与函数概念；基本初等函数；函数的应用）；必修4有三章（三角函数；平面向量；三角恒等变换）。

三、教法分析1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的。

2、通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式。

3、在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯。

四、指导思想使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

具体目标如下。

1．获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。

通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。

2．提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。

3．提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。

1.1 集合的概念1．设集合{}22|,,M a a x y x y z ==-∈．求证： （1）一切奇数属于集合M ； （2）偶数42()k k z -∈不属于M ；（3）属于M 的两个整数，其乘积仍属于M ．2．设集合{2A x x =≤或}6x ≥，{}13B x x =-<<，{}13C x m x m =-<<+. （1）求A B ；（2）若C A ⊆，求实数m 的取值范围.3．已知集合(){}223,1,22A a a a a =++++，若1A ∈，求实数a 的值.4．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()UA B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a 的取值范围.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对任意的点(),P x y ，定义OP x y =+，任取点()()1122,,,A x y B x y ，记()()''1221,,,A x y B x y ，若此时2222''OA OB OA OB +≥+成立，则称点,A B 相关.（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由.①()()2,1,3,2A B -；②()()4,3,2,4C D -. （2）给定*N ,3n n ∈≥，点集(){},,,,n x y n x n n y n x y Z Ω=-≤≤-≤≤∈，求集合n Ω中与点()1,1A 相关的点的个数.6．若集合A 中有三个元素x 、1x +、1，集合B 中也有三个元素x 、2x x +、2x ，且A B =，求实数x 的值．7．已知集合{A x x m ==+，且}2231,,m n m n Z -=∈．（1）证明：若x A ∈，则1x x+是偶数； （2）设a A ∈，且14a <<，求实数a 的值；（3）设c AA ；并求满足(222c ≤的c 的值．8．集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，{|4,}M x x k k N ==-∈. （1）若7a =，求()M A C B ；（2）如果A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.9．已知集合2{|210}A x R ax x =∈++=，其中a R ∈. （1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，求实数a 的组成的集合B ； （3）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.10．（1）设A 表示集合2，3，a 2＋2a －3），B 表示集合|a ＋3|，2}，若5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值；（2）已知集合A ＝（x ，y ）|2x －y ＋m>0}，B ＝（x ，y ）|x ＋y －n≤0}，若（2，3）∈A ，且（2，3）∉B ，试求m ，n 的取值范围.11．设集合A ＝1，a ，b}，B ＝a ，a 2，ab}，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.12．用列举法把下列集合表示出来： ①A=9{|};9x x∈∈-N N ②B=9{|};9x x∈∈-N N ③C＝y ｜y ＝－x 2＋6，x∈N，y∈N}； ④D＝(x ，y)｜y ＝－x 2＋6，x∈N，y∈N}； ⑤E＝{|,5,,*}px x p q p q q=+=∈∈⋅N N13．用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 3.5-小于12.8的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）所有能被3整除的数的集合； （5）方程(1)(2)0x x --=的解组成的集合； （6）不等式215x ->的解集.14．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ (1){|}P PA PB =(A,B 是两个不同定点)； (2){|3}P PO cm =(O 是定点)15．求下列方程或方程组的解集.（1）42617120x x -+=（2）221321x y x y ⎧+=⎨-=⎩16．若集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围.17．已知集合{}1,2,,n A n =，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.18．已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，且1A ∈，求实数a 值．19．用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．20．当实数a 、b 满足什么条件时，集合{}0A x ax b =+=是有限集、无限集、空集？参考答案1．（1）证明见解析 ；（2） 证明见解析；（3） 证明见解析． 解析：（1）根据奇数的表达式，结合集合元素描述等式进行证明即可； （2）根据x y +与x y -的奇偶性，结合反证法进行证明即可； （3）根据集合元素描述等式进行证明即可. 详解：证明：（1）设a 为任意奇数，则21()a k k z =-∈，因为2221(1),k k k -=--且,1k k -均为整数，∴a M∈．由a 的任意性知，一切奇数属于M ．（2）首先我们证明如下命题：设：,x y z ∈，则x y +与x y -具有相同的奇偶性． 以下用反证法证明．假设(42)k M -∈，则存在,x y z ∈，使得2242()()2(21)x y k x y x y k -=-⇒+-=-．若x y +与x y -同为奇数，则（x y +）（ x y -）必定为奇数，而2(21)k -表示偶数，矛盾；若x y +与x y -同为偶数，则（x y +）（ x y -）必定被4整除，但2(21)k -表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾．综上所述，形如42k -的偶数不属于M ．（3）设,a b M ∈，则存在1122,,,x y x y z ∈，使得22221122,a x y b x y =-=-．22221122()()ab x y x y =--=22222222121212121212122122x x y y x x y y x x y y x y x y +-+-- =2212121221()()x x y y x y x y ---，又因为1212x x y y -，1221x y x y -均为整数，∴ab M∈．点睛：方法点睛：证明偶数42()k k z -∈不属于M ，可以运用反证法来证明.2．（1）{}12A B x x ⋂=-<≤（2）{1m m ≤-或}7m ≥解析：（1）已知集合A ，B ，可直接得交集；（2）因为13m m -<+，所以集合C 不是空集，又C A ⊆，那么有32m +≤或16m -≥，解不等式即得。

北师大版数学七年级上册第四单元说课稿一. 教材分析北师大版数学七年级上册第四单元的主题是“方程”，这是学生继小学阶段学习了简单方程后，进一步深入研究方程性质和解决实际问题的重要阶段。

本单元主要包括一元一次方程、方程的解与解方程、二元一次方程组等内容。

这些内容不仅是初中的重要知识，也是进一步学习高中数学的基础。

二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经初步掌握了方程的基本概念，对解方程有一定的了解。

但他们对方程的深层次理解和运用还有待提高。

此外，学生对于解决实际问题，尤其是多变量问题的能力也亟待提高。

三. 说教学目标根据课程标准和学生的实际情况，本节课的教学目标分为三个方面：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。

首先，学生需要理解和掌握一元一次方程的概念和解法。

其次，学生需要通过解决实际问题，提高解决多变量问题的能力。

最后，学生需要培养对数学的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点本节课的重点是一元一次方程的解法和实际应用。

难点在于理解方程的解的概念，以及如何将实际问题转化为方程问题。

五. 说教学方法与手段为了达到教学目标，我将以问题为导向，采用启发式教学法和案例教学法。

通过设计富有挑战性和实际意义的问题，引导学生主动探索和解决问题。

同时，利用多媒体教学手段，如PPT和在线教学平台，提供丰富的教学资源和交互式学习环境。

六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，激发学生的兴趣和思考。

2.知识讲解：通过讲解和示例，引导学生理解和掌握一元一次方程的解法和性质。

3.实践操作：学生分组讨论和解决实际问题，培养解决多变量问题的能力。

4.总结提升：通过归纳和总结，使学生对一元一次方程有更深刻的理解。

5.拓展延伸：设计一些拓展问题，激发学生的思考和探索欲望。

七. 说板书设计板书设计将遵循清晰、简洁、直观的原则。

主要包括一元一次方程的定义、解法步骤和实际应用案例。

八. 说教学评价教学评价将采用多元化的评价方式，包括学生的课堂表现、作业完成情况、实际问题解决能力等。

人教A版高中数学必修教案：立体几何全部教案第一章：绪论1.1 立体几何的概念教学目标：1. 理解立体几何的概念，掌握立体几何的研究对象和基本元素。

2. 掌握空间点、线、面的位置关系，培养空间想象能力。

教学重点：立体几何的概念，空间点、线、面的位置关系。

教学难点：立体几何的概念的理解，空间点、线、面的位置关系的应用。

教学过程：一、导入：引导学生回顾平面几何的基本概念，引出立体几何的概念。

二、新课：讲解立体几何的研究对象和基本元素，通过实物展示和图形绘制，介绍空间点、线、面的位置关系。

三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。

四、小结：总结本节课的主要内容，强调立体几何的概念和空间点、线、面的位置关系的重要性。

第二章：直线与平面2.1 直线与平面的位置关系教学目标：1. 理解直线与平面的位置关系，掌握直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。

2. 培养空间想象能力和逻辑思维能力。

教学重点：直线与平面的位置关系，直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。

教学难点：直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法的运用。

教学过程：一、导入：通过实例引入直线与平面的位置关系。

二、新课：讲解直线与平面的位置关系，介绍直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。

三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。

四、小结：总结本节课的主要内容，强调直线与平面的位置关系和判定方法的重要性。

第三章：平面与平面3.1 平面与平面的位置关系教学目标：1. 理解平面与平面的位置关系，掌握平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。

2. 培养空间想象能力和逻辑思维能力。

教学重点：平面与平面的位置关系，平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。

教学难点：平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法的运用。

教学过程：一、导入：通过实例引入平面与平面的位置关系。

二、新课：讲解平面与平面的位置关系，介绍平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。

三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。

1.1 集合的概念1．已知M 是满足下列条件的集合：① 0M ∈，1M ∈；② 若,x y M ∈，则x y M -∈；③ 若x M ∈且0x ≠，则1M x∈. （1）判断12M ∈是否正确，说明理由；（2）证明：“x ∈Z ”是“x M ∈”的充分条件；（3）证明：若,x y M ∈，则xy M ∈.2．用适当的方法表示下列集合.（1）小于5的自然数构成的集合；（2）直角坐标系内第三象限的点集；（3）偶数集.（4）如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.3．已知{2A a =-，225a a +，6}，且3A -∈，求实数a .4．已知集合{}2|210A x R ax x =∈++=，其中a R ∈.（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.5．用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y ＝3x 2+1图象上所有点组成的集合.6．已知集合A 有三个元素：3a -，21a -，21a +，集合B 也有三个元素：0，1，x .（1）若3A -∈，求a 的值；（2）若2x B ∈，求实数x 的值；7．已知集合A=x|x=m 2-n 2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A ．8．方程2210ax x ++=，R a ∈的根组成集合A .（1）当A 中有且只有一个元素时，求a 的值，并求此元素；（2）当A 中至少有一个元素时，求a 满足的条件.9．已知集合{}2|320A x ax x =-+=，问（1）若集合A 中至多有一个元素，求a 的取值范围；（2）若集合A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．10．若集合()(){}420A x x x =+-<，{}23B x x =+>，{}11,C x m x m m =-<<+∈R ．（1）若A C ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）若()A B C ⊆，求实数m 的取值范围．11．设集合B ＝6{|}2x N N x ∈∈+.试判断元素1，2与集合B 的关系；用列举法表示集合B ．12．用适当的方法表示下列集合：（1）英语单词mathematics （数学）中的所有英文字母组成的集合；（2）方程27x y +=的所有解组成的集合；（3）绝对值小于0的所有实数组成的集合.13．试用描述法表示下列集合：（1）比3的倍数多1的整数；（2）不等式100x ->的解集；（3）一次函数21y x =+图象上的所有的点．14．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-． （1）若3a =-，求出A 中其他所有元素；（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的元素；（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？15．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0A ∉且1A ∉；③若a A ∈，则11A a ∈-． （1）若2A ∈，则A 中至少有多少个元素；（2）证明： A 中不可能只有一个元素．16．已知集合{}22,4A a a a =-，求实数a 的取值范围．17．已知集合{2,5,12}A x x =-+，且3A -∈，求x 的值.18．已知集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈，若集合A 中的元素至多有一个，求a 的取值范围.19．设n 为正整数，集合A=12{|(,,,)n t t t αα=，{0,1}k t ∈，1k =，2，，}n ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++．（Ⅰ）当n=3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素α，β，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤． （Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α，β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明由．20．已知集合2|340A x ax x R .（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.参考答案1．（1）正确，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析解析：（1）由①②容易得到2M ∈，所以由③得到；12M ∈；（2）x M ∈，能得到x M -∈，由已知条件知0M ∈，所以只要证明任意的正整数x M ∈即可得到任意的整数x M ∈，可考虑用数学归纳法来证：1，2M ∈，假设k M ∈，则(1)1k k M --=+∈，所以根据数学归纳法对任意正整数x M ∈，所以便得到x ∈Z 是x M ∈的充分条件；（3）先构造出222()22x y x y xy ++=-，所以可先证明：若x ，y M ∈，则2x M ∈，x y M +∈．先证明2x M ∈，设x M ∈，0x ≠，则得到1M x∈，1x M -∈，11M x ∈-，所以1111(1)M x x x x -=∈--，所以2x x M -∈，所以得到22()x x x x M --=∈，由前面知，x y M +∈，112M x x x +=∈，所以，2x M ∈，所以便可得到2()2x y +，222x y M +∈，从而222()22x y x y M ++-∈． 详解：解：（1）12M ∈正确；证明如下：由①0M ∈，1M ∈，由②知011M -=-∈，1(1)2M ∴--=∈， 由③知12M ∈；（2）证明：由②知，若x M ∈，则0x x M -=-∈，故只需证明任意正整数x M ∈即可， 由（1）知，2M ∈，假设正整数k M ∈，则(1)1k k M --=+∈，∴由数学归纳法知：任意正整数x M ∈， 即x ∈Z ，是x M ∈的充分条件；（3）先证：若x M ∈，则2x M ∈，由②知，若x M ∈，且0x ≠，1M ∈，则1x M -∈； 由③知1M x ∈，11M x ∈-， 所以1111(1)M x x x x -=∈--，所以2x x M -∈，所以得到22()x x x x M --=∈，再证：若x ，y M ∈，则x y M +∈，0y y M -=-∈，()x y x y M ∴--=+∈； ∴112M x x x+=∈，由③知2xM ∈，∴由前面知：2()x y +、2x 、2y 、2()2x y +、222x y M +∈， ∴222()22x y x y xy M ++-=∈． 点睛： 本题主要考查对给出的新信息的运用，以及数学归纳法在证明正整数问题的运用，而想到222()22x y x y xy +-=-是求解本题的关键．本题属于难题．2．（1）{}01234，，，，；（2）(){|00}x y x y <<，，；（3）{|2}x x k k Z =∈，；（4）()5302122M x y xy x y ⎧⎫=≥-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，，，. 解析：（1）利用列举法表示集合；（2）利用描述法表示集合；（3）利用描述法表示集合；（4）根据图形利用描述法表示集合；详解：解：（1）小于5的自然数构成的集合，利用列举法表示为{}01234，，，，； （2）直角坐标系内第三象限的点集；利用描述法表示为(){},|00x y x y <<，；（3）偶数集.利用描述法表示为{}|2x x k k Z =∈，（4）由图形阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合表示为()53,02122M x y xy x y ⎧⎫=≥-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，， 点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.3．32a =- 解析：集合中有三个元素，3-是集合A 中的元素，所以3-只能是除6外的其它两个，分别让2a -和225a a +等于3-求解a 的值．详解：解：3A -∈，23a ∴-=-或2253a a +=-由23a -=-，解得1a =-，此时23a -=-，2253a a +=-与集合中元素的互异性矛盾，舍去；由2253a a +=-，得1a =-（舍)，或32a =- 当32a =-时，722a -=-，2253a a +=- 此时7{2A =-，3-，6}适合题意． ∴32a =-． 点睛：本题考查集合与元素关系的判断，考查分类讨论的数学思想，解答的关键是掌握集合中元素的互异性，属基础题．4．（1）1{,1}3-（2）0a =或1a ≥ 解析：（1）由1A ∈得3a =-，代入2210ax x ++=，解得A 的元素后，可得解；（2）按照集合A 中元素的个数分类讨论，可求得结果.详解：（1）因为1A ∈，所以210a ++=，得3a =-，所以2{|3210}A x R x x =∈-++=1{,1}3=-. （2）当A 中只有一个元素时，2210ax x ++=只有一个解，所以0a =或0440a a ≠⎧⎨∆=-=⎩， 所以0a =或1a =，当A 中没有元素时，2210ax x ++=无解，所以0440a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >， 综上所述：0a =或1a ≥.点睛：易错点点睛：容易忽视0a =的情况，错把方程默认为一元二次方程，造成漏解.5．（1）1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）1,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；（3）（x ，y ）|y ＝3x 2+1，x∈R}. 解析：（1）利用列举法求解即可；（2）先解出方程的解，然后利用列举法；（3）利用描述法即可详解：解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.由于元素个数有限，故用列举法表示为1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.（2）由算术平方根及绝对值的意义，可知：21020x y +=⎧⎨-=⎩，解得122x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 因此该方程的解集为（﹣12，2）}. （3）首先此集合应是点集，是二次函数y ＝3x 2+1图象上的所有点，故用描述法可表示为（x ，y ）|y ＝3x 2+1，x∈R}.6．（1）0a =或1-；（2）1x =-.解析：（1）根据元素的确定性和互异性可得33a -=-或213a -=-，即可求解；（2）根据元素的确定性列方程，再检验互异性即可求解.详解：（1）由3A -∈且211a +≥， 所以213a +≠-当33a -=-时，可得0a =，此时{}3,1,1A =--符合题意，当213a -=-时，可得1a =-，此时{}4,3,2A =--符合题意，所以0a =或1-，（2）若2x B ∈，则20x =或21x =或2x x =，解得：0x =或1x =或1x =-，由元素互异性可得：0x ≠且1x ≠，所以1x =-7．（1）见解析；（2）见解析.详解：试题分析：（1）由3=22-12即可证得；（2）设4k-2∈A，则存在m ，n∈Z，使4k-2=m 2-n 2=（m+n ）（m-n ）成立，分当m ，n 同奇或同偶时和当m ，n 一奇，一偶时两种情况进行否定即可.试题解析：（1）∵3=22-12，3∈A；（2）设4k-2∈A，则存在m ，n∈Z，使4k-2=m 2-n 2=（m+n ）（m-n ）成立，1、当m ，n 同奇或同偶时，m-n ，m+n 均为偶数，∴（m-n ）（m+n ）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．2、当m ，n 一奇，一偶时，m-n ，m+n 均为奇数，∴（m-n ）（m+n ）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．综上4k-2不属于A ．8．（1）当0a =时，集合A 中的元素为12-；当1a =时，集合A 中的元素为1-；（2）1a ≤. 解析：（1）根据题意可知方程2210ax x ++=为一元一次方程或者一元二次方程有两相等根，由此可求出；（2）根据题意可知方程2210ax x ++=有两个不等实根或有两个相等实根或有且只有一个实根，由此分类求出满足条件的a 值。