九年级数学下册 专项综合全练 相似三角形的判定与性质试题 (新版)新人教版

专题十六__相似三角形判定的综合_一相似三角形的判定(教材P36练习第2题)图1中的两个三角形是否相似？为什么？图1解：不相似．理由：三边比例不同，1527≠2036≠2545.(2)相似．理由：∠ACB＝∠ECD∵ACCE＝5436＝32，BCDC＝4530＝32∴ACCE＝BCDC，∴△ABC≌△EDC在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC＝2，则AD的长是( C )A.5－12B.5＋12C.5－1D.5＋1【解析】∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝12(180°－∠A)＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝12∠ABC＝36°，∴∠A＝∠DBC.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，且AD＝BD＝BC. 设BD＝x，则BC＝x，CD＝2－x.由于BCCD＝ACBC，∴x2－x＝2x.整理得x2＋2x－4＝0，解方程得x＝－1± 5. ∵x为正数，∴x＝－1＋ 5.如图2，已知BDBE ＝ADCE＝ABBC.求证：△DBE∽△ABC.证明：∵BDBE ＝ADCE＝ABBC，∴△ABD∽△CBE.∴∠ABD＝∠EBC.∴∠ABC＝∠EBD.∵BDBE＝ABBC，∴BDAB＝BEBC.∴△DBE∽△ABC.图2图3如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E.(1)求证：△ABE∽△DBC；(2)求线段AE的长．解：(1)证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC.∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠C＝90°，∴△ABE∽△DBC.(2)∵AB＝AD，AE⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE.由△ABE∽△DBC，得ABBD＝BEBC.∵AB＝AD＝25，BC＝32，∴252BE＝BE32，∴BE＝20，∴AE＝AB2－BE2＝252－202＝15.如图4，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.图4(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平方四边形，∴AB∥CD，AD ∥BC ，∴∠C ＋∠B＝180°，∠ADF ＝∠DEC. ∵∠AFD ＋∠AFE＝180°，∠AFE ＝∠B， ∴∠AFD ＝∠C. 在△ADF 与△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFD ＝∠C ∠ADF＝∠DEC∴△ADF ∽△DEC.(2)∵四边形ABCD 为平方四边形，∴CD ＝AB ＝8. 由(1)知△ADF∽△DEC，∴AD DE ＝AF CD ，∴DE ＝AD ·CD AF ＝63×843＝12. 在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE ＝DE 2－AD 2＝122－（63）2＝6.如图5，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6 cm ，BC＝8 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发．(1)经过多少秒钟，△PBQ 的面积等于8 cm 2?(2)经过多少秒钟，△ABC 与△BPQ 相似？图5解：(1)设经过xs，△PBQ的面积等于8 cm2，则12(6－x)·2x＝8，解得x＝2或x＝4.∴经过2 s或4 s时，△PBQ的面积为8 cm2.(2)①设经过ys时，△B PQ∽△BAC，则BPAB＝BQBC，即6－y6＝2y8，解得y＝125.②设经过zs时，△BPQ∽△BCA，则BPBC＝BQAB，即6－z8＝2z6，解得z＝1811.∴当经过125s或1811s时，△ABC与△BPQ相似．二圆中的相似(教材P58复习题27第8题)如图6，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·PB.图6证明：连接AC，BC，因为AB是直径，所以∠ACB＝90°，因为CD垂直AB，所以∠ACP＝∠CBA＝90°－∠A，所以△ACP∽△CBP，AP PC ＝PCPB，所以PC2＝PA·PB。

初中数学•人教版•九年级下册一一专项综合全练相似三角形的判定与性质一、选择题1.如图27-5-1, D 是△ABC 的边BC 上一点,AB=4, AD=2, ZDAC=ZB.如果AABD 的面积为15,那么ZkACD 的面积为（ ）A. 15B. 10C.yD. 5答案 D V ZDAC=ZB, ZC=ZC, A AACD^ ABCA, VAB=4,AD=2, AAACD 的面积:A ABC 的面积=1 : 4, .\S AACD : S AABD =1 : 3, VS AABD =15, AS AACD =5.故选1).2•如图27-5-2,在中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确的是（ ）C. △ADEs/\ABCD. S AJ \DE • S AML I • 22答案D •・•【）、E 分别是AB 、AC 的中点，・・・DE 〃BC, DE 弓BC, ••罟二等疇冷,A ADE-A ABC, AS A -WE : S AABC =（^）弓，・",B, C 正确，I ）错误.故选1）.3.如图27-5-3,在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点,DE 〃BC,BE 与CD 相交于点F,则下列结论一定正确的是（）A . DE =|BCAD_AEAB~AC图 27-5-1AD_AE ■矿屁DF^AE ■莎瓦C.咤DB BCD.些竺BF FC图27-5-3答案 A J DE // BC, J △ ADEs AABC,••磐务話故选项A 正确，故选A.4•如图27-5-4, D. E 分别是ZXABC 的边AB 、BC 上的点，且DE 〃AC,AE 、CD 相交于点0■若S ADOE : S A COA =1 : 25,则S M 与Sa 的比是（ ）A. 1 ： 3B. 1 ： 4C. 1 ： 5D. 1 ： 25答案 B VDE//AC, •••△DOEs/OA, VS^： : S △阳 1 ： 25,堆g VDE//AC, ・・・皿与 Sg 的比是 1 ： 4,故选 B.5.如图27-5-5,正方形ABCD 也E 为CD 的中点,EF 丄AE,交BC 于点F,则Z1与Z2的大小关系为（ ）答案 C VZ1+ZCEF=9O° , ZDAE+Z1=9O° , A ZDAE=ZCEF, V ZADE=ZECF=90° , AAADE<^AECF, VAD=2EC, AAE=2EF, XVAD=2DE, ZADE=ZAEF, •••△ADEs △八EF,・・・Z1 二Z2.故选 C.6. 如图27-5-6, OO 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分ZBAC 交OO 于点D, AD=5, BD=2,则DE 的长为（） .3A -5答案 D TAD 平分ZBAC, ・・・ZBAD 二ZDAC,V ZDBC=ZDAC, ・・・ZDBC 二ZBAD,A. Z1>Z2C. Z1=Z2B. Z1<Z2 1）・无法图 27-5-4图 27-5-5V ZD=ZD, •••△ABDsABED, •••詩磊,2 「•DE 二%4 故选 D. AD 57. 将一张边长分别为a,b(a>b)的矩形纸片八BCD 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长为()A.夕 Va 2 + b 2B. | y/a 2 + b 2答案 A 如图，设折痕EF 与对角线AC 的交点为G,则ACXEF, AG=GC, V 四边形ABC1)是矩形，A ZB 二90° , VAC 丄EF, A ZAGE=90° , /• ZAGE=ZB.又 VZGAE^ZBAC, A AAGE^ AABC, AGE^, 乂 ・.・ AG 弓AC 二呼，二EF 二2GE 丄K 丽.故选 A.8. 如图27-5-7严ABCD 的对角线AC, BD 交于点0, CE 平分ZBCD,交AB 于点E,交BD 于点F,且ZABC=60° , AB=2BC,连接0E.下列结论中:®ZACD=30° ;@S.ABO )=AC • BC;③0E : AC-A /3 : 6;④S AOCF =2S AOEF ,止确的有( )A. 1个 B ・2个C ・3个I)・4个答案 1) J 四边形 ABCD 是平行四边形，••• ZABC 二ZADC 二60° , ZBAD-12()° , VCE 平分ZBCI),交 AB 于点 E, A ZDCE=ZBCE=60° , :. ACBE 是等边三 角形，/.BE=BC=CE, VAB=2BC, AAE=BC=CE, A ZACB=90° , ZACD=ZCAB=30° ,故①正确:VAC 丄BC, ・・.S 皿尸AC ・ BC,故②正确;在 RtAACB 中,ZACB=90° , ZCAB=30° , AAC=V3BC, VA0=0C, AE=BE, A0E=^BC, AOE : AO 耘,/.0E : AC=V3 : 6,故③正确;V AO=OC, AE=BE, A0E/7BC, AAOEF^ABCF, •••沽二詩2, S AOCE : S AO K ^=2, /.S AOCF =2S AOEF ,故④正确，故选 D.二、填空题9. _____________________________________________________________________________________________ 如图27-5-&在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点,EC 交对和线BD 于点F,若S ADEC =3,则S ABCI - _________________________________________________________答案4C.讣2小2D.图 27-5-810. ____________________________________________________________________________________________ 如图27-5-9,在m\BCD +,对角线AC, BD札I交于点0, P是13C边的中点,AP交BD于点Q.则铝的值为______________________________________________答案i解析连接0P,・・・四边形ABCD是平行四边形，・・・20C, ・・・PC=PB, A0P//AB, 0P弓AB,唱疇珂唱冷11. ____________________________________________________ 如图27-5-10, AABC^ADEF, AB=AC=5, BC=6, AABC固定不动，ADEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B. C重合），DE始终经过点A, EF与AC边交于点M,当AAEM是等腰三角形时,BE= .答案1或亍解析••• ZAEF=ZB=ZC,且ZAME>ZC, ?• ZAME>ZAEF, AAE^AM.当AE=EM 时，易知ZBAE二ZMEC, T ZB=ZC, AABE^AECM, ACE=AB=5, ABE=BC-EC=6-5=1,当AM二EM 时，Z\IAE=ZMEA, T ZMAE=ZMEC, ZMAE+ ZBAE= ZMEA+ ZCEM,即ZCAB=ZCEA,又T ZC=ZC, AACAE^ACBA, •••咚二经，/•AC C DCE書二寻・・・BE二6-響・・・BE二1或辛.12.如图27-5-11,斜边长12cm, ZA=30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至AA' B' C的位置，再沿CB向左平移使点B'落在原三角尺ABC的斜边AB上则三角尺向左平移的距离为__________ c m.（结果保留根号）答案6-2V3解析如图,连接B‘ B" , •••在RtAABC 中，AB二12, ZA=30° , ABC=|AB=6, AC=6V3, AB,C=6, •••AB'二AC-B‘ C=6V3-6, TB' C〃B" C" , B‘ C二B" C" , ••-四乙解析T 四边形ABCD 是平行四边形，AAD//BC, AD=BC, AADEF^ABCF, 、,・・・E是边AD的屮点，・・・DE弓AD弓BC, ••罟詈扌,1、sDEI^S AMX—I,—ADEF1△BCFA图27-5-11边形B〃C" CB‘ 是平行四边形,•••B" B‘ 〃BC, B〃B‘ 二C" C, AAAB^ B, <^AABC, 即解得:B〃B‘ =6-2V3. ：.C ff C二B" B‘ =6-2V3.AC BC 6V3 6所以三角尺向左平移的距离为(6-2 V3) cm.13. _______如图27-5-12,点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接CP并延长，交AD于E,交BA的延长线于点F.若PE二4, EF二5,则线段PC的长为____ .答案6 解析•・•四边形ABCD 是正方形，・・・AD二CD, ZADP二ZCDP, TDP二DP, AAAPD^ACPD, APA=PC, ZDAP二ZDCP, VCD#BF, ZDCP二ZF, ZDAP二ZF,又・・・ZAPE*FPA, •••△APEs^PA,・・•怜磊曲PE ・PF, VPA=PC, AP^PE • PF二4X9, APC=6.。

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《27。

2.2相似三角形的性质》分层练习一．基础题1.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′,BD 和B ′D ′是它们的对应中线，且C A AC ''=23，B ′D ′=4，则BD 的长为 。

2.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′,AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线,且AD=8 cm ， A ′D ′=3 cm.，则△ABC 与△A ′B ′C ′对应高的比为 . 3。

两个相似三角形的相似比为2∶3,它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________，这两个三角形的面积比为 .4。

把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍。

5。

已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 。

6。

已知ABC A B C '''△∽△且1:2ABC A B C S S '''=△△:,则:AB A B ''= 。

7.在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16,面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为（ ） A ．8，3 B ．8，6 C ．4,3 D ．4，68。

相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图 第2题图 第3题图4． 如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为 ．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于 ．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝ ．第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是 ；若6DE =，则BC =第9题图 第10题图 第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。

相似三角形性质与判定的综合应用A组训练1.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD 交AC于点E.求AE的长.2.如图，在△ABP中，C，D分别是AP，BP上的点.若CD＝CP＝4,DP＝5,AC＝3.5,BD＝1.（1）求证:△ABP∽△DCP;（2）求AB的长.3.在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC.求∠BCA的度数.4.如图,在等腰△ABC中,BA＝BC,M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC，连接CN.试探究∠ABC与∠ACN 的数量关系，并说明理由.5.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E,交BC于点D.求证:（1）D是BC的中点;（2）△BEC∽△ADC;（3）BC2＝2AB·CE.6.如图,在△ABC中,AC＝2,BC＝4,D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为A.2aB.52a C.3a D.72a7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝13AB.若四边形ABCD的面积为157，求四边形AMCD的面积.8.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上.若∠ADE＝∠C,且AB＝5,AC＝4,AD＝x，AE ＝y，则y与x的关系式是（）A.y＝5xB.y＝45xC.y＝54x D.y＝920x9.如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC,使∠BAC＝90°, ∠ACB＝30°.设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的是B组训练卷1.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为A.10米B.12米C.15米D.22.5米2.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是A.6米B.8米C.18米D.24米3.数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为_____米.4.图，某位同学通过调整自己的位置测量树高AB，设法使三角尺的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的距离AC＝1.5m，人与树的距离CD＝8m，求树高.5.如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A,测得AC＝5m,过点A作AB∥DE,交EC的延长线于点B，测出AB＝6m，则池塘的宽DE为A.25mB.30mC.36mD.40m6.如图为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长为30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB 垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点.若不考虑其他因素，求该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长.7.如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB.如果OA:OC＝OB:OD＝3,且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm8.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长______米.9.如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm.求梯子的长.达标准10.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是A.16cm B.13cm C.12cm D.1cm11.阳光通过窗口照到室内，在地上留下2.7m宽的亮区（如图），已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，那么窗口底边离地面的高BC等于A.2mB.4mC.6mD.1m12.如图，有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门.走出东门15里处有棵大树，出南门_____步而见木.（本题出自《九章算术》，其中1里＝300步）13.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为 G 的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F;当杠杆被拉至OA，处时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A作AD⊥OA，垂足分别为C，D.有下列4个结论:①△OB1C∽△OA1D;②OA·OC＝OB·OD;③OC·G＝OD·F;④F＝F1.其中正确的说法有_____个.14.如图，一圆柱形油桶高1.5米，用一根长2米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2米，求桶内油面的高度.15.如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹竿竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹竿的顶端刚好看到塔顶.若小明眼睛离地面1.5m，竹竿顶端离地面2.4m，小明到竹竿的距离DF＝2m，竹竿到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度.16.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？17.如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N、即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A，D，N三点在同一直线上，并且点M，F，P，N共线,点B,D,F共线,若AB,DE、MF均垂直于河面EP，则河宽EP是多少米？18.如图，某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木.（1）他们在△AMD和△BMC地带种植太阳花，单价8元/m2，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用;（2）若其余地带要种的花木有玫瑰花和茉莉花两种可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪种花木.刚好用完所筹集的资金？19.（烟台中考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B 观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米， AE＝0.4米，那么CD为_____米.第二十七章相似 17。

第02讲相似三角形的性质及其判定学习目标课程标准学习目标1.掌握相似三角形的定义及其表示方法。

① 相似三角形的定义② 相似三角形的性质③ 相似三角形的判定 2. 掌握相似三角形的性质并能够熟练应用。

3. 掌握相似三角形的判定并能够熟练的判定相似三角形。

相似三角形两角对成相等知识点01相似三角形的定义与性质1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比,对应角,那么这两个三角形相似。

用符号“S 来表示。

若AABC 相似于ADEF, A 对应D, B 对应E, C 对应F 。

则表示为△ABCs^EDF 。

对应边的比叫做这 两个三角形的 o2.相似三角形的性质:①相似三角形的对应角,对应边的比O②相似三角形（多边形）的周长的比等于;相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于。

③相似三角形的面积的比等于O题型考点：①求相似三角形的相似比。

②利用相似三角形的性质求值。

【即学即练1】1.已知AABC^ADEF,若ZA=30°,ZB=SO°,则/歹的度数为（）A.30°B.80°C.70°D.60°【即学即练2】2.如图，MDEsMBC,若4D=1,BD=2,则△4DE与AABC的相似比是（）【即学即练3】3.若两个相似三角形的周长之比是1：2,则它们的面积之比是（）A.1：2B.1：V2C.2：1D.1：4【即学即练4】4.如图，△■BCs,S△abc：S四边形bdec=1：2其中,DE的长为（）【即学即练5】5.若左ABC^^DEF,A ABC的面积为81函2,△「时的面积为36cm1,且AB=12cm,则DE=【即学即练6】6.如图，4ABC,AB=n,力。

=15,D为AB上一点，且AD^—AB,在AC±取一点E,使以力、D、E3为顶点的三角形与45。

相似，则，E等于（）AA.告B.10/C、BC.绥或105 D.以上答案都不对知识点02相似三角形判定的预备定理1.判定预备定理内容:平行于三角形其中一边的直线与另两边或两边的延长线相交，所得到的三角形与原三角形如图 1： AAOE^AABC ；如图 2, AAOB^/\COD 题型考点：①利用预备定理进行相似三角形的判定。

相似三角形判定和性质专项训练1、如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC．2、如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．3、如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F 为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB 上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．5、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．6、在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．7、如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．8、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．9、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．10、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．11、如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：OA2=OE•OF．12、如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG=4，求BE的长．13、如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=6，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．（1）试确定当CP=3时，点E的位置；（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式．14、如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．15、四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE •CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．16如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M 顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．17、如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；18、已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC 边上，EF交AD于点K．①求的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．相似与圆1、如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．2、如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC 为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.3、如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．4．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA 的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O 的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE；(2)若S△AOC＝34，求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．6．如图，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F 在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CE∥BF；(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5，求△BCD的面积．7．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．8．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连结PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)连结OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为22，求BC的长．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．10、如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.证明：(1)∠D＝∠AEC；(2)OA2＝OD·OF.相似三角形动点问题1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．2．如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，t为何值时，DP⊥AC．3．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0）．动点P从A 开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并求出此时点P的坐标．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向终点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B﹣C﹣A方向向终点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC，BC的长．（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．5．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C 重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．6.如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a=，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．7、如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．8、如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.。

专项训练卷（二） 相似三角形的判定与性质一、选择题1．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，31=S S DOCADO △△，则BCAD 的值为 ( )A ．21 B ．31 C ．91 D ．332．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，DE 与AC 交于F ，若AB=6，∠B=60°，则AF 的长为( )A.3B.3.5C.33D.43．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB=2：3，则S S EBC ADE △△:=( )A ．4:15B ．2:3 C.4:9 D.4:254．在矩形ABCD 中，AB=6，AD=9，点E 为线段AD 上一点，且DE=2AE ，点G 是线段AB 上的动点，EF ⊥EG 交BC 所在直线于点F ，连接GF ，则GF 的最小值是( )A ．3B ．6C ．26D ．535.如图，在△ABC 中，点E 在BC 边上，连接AE ，点D 在线段AE 上，GD ∥BA ，且交BC 于点G ，DF ∥BC ，且交AC 于点F ，则下列结论一定正确的是 ( )A ．BEBG DEAD = B ．CEDF DEAD = C ．BEBGACAF= D ．AFCF ABDG =6.如图，已知E 、F 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，则下列结论：①∠AME= 90°；②∠BAF=∠EDB ；③MD= 2AM= 4EM ；④AM=32MF ，其中正确结论的个数是 ( )A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题7．如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，且AB= 5，BC=3，则ADCD 的值为____．8．已知D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC ，BD= 2AD ，DE=3，那么BC=____.9．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BC 为半径作弧，分别交AC 、AB 于点D 、E ，连接DE ，若DE=DC ，AE=4，AD=5，则S S ABCADE △△=____．10.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为(0，4)、(-3，0)，E 为AB 的中点，EF ∥AO 交OB 于点F ，AF 与EO 交于点P ，则EP 的长为____.11.在△ABC 中，AB=6 cm ，点P 在AB 上，且∠ACP= ∠B ，若点P 是AB 的三等分点，则AC 的长是____．12.如图，矩形ABCD 中，AD=6，AB=4，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF=2FC ，AF 分别与DE 、DB 相交于点M 、N ，则MN 的长为____．13.如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接BC 交⊙O 于点F ，取弧BF的中点D ，连接AD 交BC 于点E ，过点E 作EH ⊥AB 于H. (1)求证：△HBE ∽△ABC ；(2)若CF=8，BF=10，求AC 和EH 的长.14.如图，在△ABC 中，AB =AC ，以点B 为圆心，BC 为半径作弧(MCN)，再以点C 为圆心，任意长为半径作弧，交前弧于M 、N 两点，射线BM 、BN 分别交直线AC 于点D 、E ． (1)求证：AC²=AD ·AE;(2)若BM ⊥AC ，且CD=2，AD=3，求△ABE 的面积．15.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，BC=3CD ，分别过点B 、D 作AD 、AB 的平行线，并交于点E ，且ED 交AC 于点F ，AD= 3DF. (1)求证：△CFD ∽△CAB;(2)求证：四边形ABED 为菱形； (3)若DF=35，BC=9，求四边形ABED 的面积．16.如图，在菱形ABCD 中，点E 在BC 边上(不与点B 、C 重合)，连接AE 、BD 交于点G ．(1)若AG=BG ，AB=4，BD=6，求线段DG 的长;(2)设BC=kBE ，△BGE 的面积为S ，△AGD 和四边形CDGE 的面积分别为S₁和S₂，把S₁和S₂分别用含k 、S 的代数式表示; (3)求S S 12的最大值．专项训练卷(二) 相似三角形的判定与性质1．B ∵31=S S DOCADO △△，∴31=OCOA ，∵AD ∥BC ，∴△ADO ∽△CBO ，∴31==OCOA BCAD ，故选B ．2．D ∵在菱形ABCD 中，AB=6，∠B= 60°，∴AB=BC=AD=AC=6．∵点E 是BC的中点，∴EC=21BC=3．在△AFD 和△CFE 中，∠AFD=∠EFC ，∠FAD=∠FCE ，∴△AFD ∽△CFE ，∴AFCF ADEC =，∵CF=6-AF ，∴AFAF ADEC -=6，代入数据整理得3AF= 12，解得AF=4．故选D ．3.A ∵DE ∥BC ，AD:DB=2:3，∴52=ABAD ，△ADE ∽△ABC ，∴S S ABC ADE △△:=254522=⎪⎭⎫⎝⎛ ，S S ABC ADE △△254=，易知53:=S S ABC BEC △△，∴S S ABC BEC △△53=，∴S S EBC ADE △△: =4：15．故选A ．4．D 如图，过点F 作FM ⊥AD 于M ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A=∠EMF= 90°，MF=AB=6，∵EF ⊥GE ，∴∠AGE+ ∠AEG= 90°，∠AEG+ ∠MEF= 90°， ∴∠AGE= ∠MEF ，∴△AEG ∽△MFE ，∴MFAE MEAG =，设AG=x ，∴AD=9，DE=2AE ，∴AE=3，∴63=ME x ，∴ME=2x ，∴BF =AM=3+2x ，在Rt △GBF中，GF²=GB²+BF²=(6-x)²+( 3+2x)²=5x²+45，∵点G 在线段AB 上，∴0≤x ≤6，由二次函数的性质可知，当x=0时，GF²有最小值，为45，∴GF 的最小值为53，故选D.5.C ∵DG ∥AB ，∴BEBGEG BG DE AD ≠=，故A 不符合题意；∵DF ∥CE ，∴△ADF ∽△AEC ，∴DEAD CEDFAEAD ≠=，故B 不符合题意；∵DF ∥CE ，∴△ADF ∽△AEC ，∴AE ADACAF=，∵DG ∥AB ，∴BEBG AE AD =，∴BEBG ACAF=，故C 符合题意；∵DF ∥CE ，∴AD DEAFCF=，∵DG ∥AB ，∴△DGE ∽△ABE ，∴AEDE AB DG =，∴AFCF ABDG ≠故D 不符合题意，故选C ．6．B ①∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=AB=BC ，∠DAE= ∠ABF=90°，∵E 、F 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，∴AE=21AB ，BF=21BC ，∴AE=BF ，∴△DAE ≌△ABF( SAS)，∴∠BAF= ∠ADE ，∵∠BAF+ ∠DAM= 90°，∴∠ADE+∠DAM= 90°，∴∠AME= 90°，故①正确．②设AF 与BD 交于点N ，正方形ABCD 的边长为4，则AE=BE=BF=2，∴DE=AF=2422+=52．∴AD ∥BF ，∴△BFN ∽△DAN ，∴21==AN FN AD BF ，∴FN=352，AN=354，∵AM DE AE AD S AED ⋅=⋅=2121△，∴AM=5545224=⨯=⋅DEAE AD ，∴MN =AF -AM -NF=1558，∴AM ≠MN ，若∠BAF= ∠EDB ，则∠ADE=∠EDB ，又∵DM=DM ，∠DMA= ∠DMN=90°，∴△DAM ≌△DNM( ASA)，∴AM=MN ，与AM ≠MN 矛盾，故②错误，③由(1)知∠BAF= ∠ADE ，又∠AME= ∠EAD= ∠AMD=90°，∴△AME ∽△DMA ∽△DAE ，∴21===AD AE DM AM AM EM ，∴AM= 2EM ，DM=2AM ，∴ MD=4EM ，故③正确，④由(2)知AM=554，MN=1558，FN= 352，∴MF=MN+FN=1558+352=556，∴32=MFAM，即AM=32MF ，故④正确，故选B ．7．答案：43解析：∵AC ⊥BC ，∴∠ACB= 90°，∴AC=BCAB 22-=3522-=4，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠ACB= 90°，∵∠CAD= ∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ，∴43==ACBC ADCD .8．答案：9解析：∵BD= 2AD ，∴AB= 3AD ．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴BCDE ABAD =，∴BC331=，∴BC=9． 9．答案：178解析：连接BD ，∵ED=DC ，∴，∴∠CBD= ∠DBE ，∴BE =BD= BC ，在△BDE 和△BDC 中，，∴△BDE ≌△BDC(SAS)，∴∠BED=∠BDE= ∠BDC= ∠BCD ，∵∠AED+∠BED= 180°，∠ADB+∠BDC=180°， ∴∠AED= ∠ADB ，∵∠A=∠A ，∴△AED ∽△ADB ，∴ABADAD AE =，∴AB554=，∴AB=425，∴BE=AB -AE=49，∴S S BED AED △△:=AE:BE=4：49=16：9，∴S S BCDE ADE 四边形△:= 16: 18，∴S S ABC AED △△:= 16: (16+18)=8:17.10．答案：65解析：∵点A 、B 的坐标分别为（0，4）、（-3，0），∴OA=4，OB=3，∵E 为AB 的中点，EF ∥AO 交OB 于点F ，∴EF=21OA=2，OF=21OB=23，在Rt △OEF 中，OE=EF OF 22+=25，∵EF ∥AO ，∴△EPF ∽△OPA ，∴OPEP =21OA=EF，∴211+=OE EP ，∴EP=31OE=65．11.答案32cm 或62cm解析：由∠ACP=∠B ，∠A= ∠A ，可得△ACP ∽△ABC ，∴ACAP ABAC =，即AC ²=AP ·AB ．分两种情况：(1)当AP=31AB=2 cm 时，AC²=2×6=12，∴AC=12=32cm ；(2)当AP=32AB=4cm 时，AC²= 4×6= 24，∴AC=24=62cm.12．答案：1029解析：过F 作FH ⊥AD 于H ，交ED 于O ，则FH=AB=4，∵BF=2FC ，BC=AD=6，∴BF=AH=4，FC=HD=2，∴AF=AH FH 22+=4422+=24，∵OH ∥AE ，∴31==ADDHAE HO ，∴OH= 31AE ，又∵E 为AB 的中点，∴AE=BE=2，∴OH=32，∴OF=FH -OH=4-32=310，∵AE ∥FO ，∴△AME∽△FMO ，∴53==FO AE FMAM，∴AM=AF 83=223，∵AD ∥BF ，∴△AND ∽△FNB ，∴23==BFAD FNAN ，∴AN=AF 53=5212，∴MN=AN -AM =10292235212=-.13.解析：(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线∴AB ⊥AC.∵ EH ⊥AB ，∴ EH ∥AC ，∴ △HBE ∽△ABC. (2)如图，连接AF ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AFB= 90°. 而∠ACF= ∠BCA ，∴△CAF ∽△CBA. ∴CACB CFCA=，即CACA 1088+=，∴CA=12．∵点D 为弧BF 的中点．∴∠BAD=∠FAD. ∵EF ⊥AF ，EH ⊥AB ，∴ EF=EH. 设EH=x ，则EF=x ，BE=10-x ， ∵△HBE ∽△ABC ， ∴CAEH BCBE =，即121810x x =-，解得x=4，即EH=4．14.解析：(1)证明：连接CM 、CN ， 由作图可知BM=BN ，CM=CN ，∵BC=BC ，∴△BCM ≌△BCN ，∴ ∠CBM= ∠CBN ， ∵AB=BC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABD+∠CBD=∠CBE+∠E ，∴∠ABD=∠E. ∵∠A=∠A ，∴△ABD ∽△AEB ， ∴ABAD AEAB =，∴AE AD AB ⋅=2∵AB=AC ，∴AE AD AC ⋅=2(2)∵AD=3，CD=2，∴AC=AB=5. ∵AE AD AB ⋅=2，∴AE= 325，在Rt △ABD 中，BD=AD AB 22-=4，∴35043252121=⨯⨯=⋅⋅=BD AE S ABE △.15．解析：(1)证明：∵EF ∥AB ，，∴∠CFD=∠CAB. 又∵∠C= ∠C ，∴ △CFD ∽△CAB.(2)证明：∵EF ∥AB ，BE ∥AD ，∴四边形ABED 是平行四边形， ∵BC=3CD ，∴BC:CD=3:1.∵△CFD ∽△CAB ，∴ AB:DF=BC:CD =3:1，∴AB= 3DF. ∵AD=3DF ，∴ AD=AB ，∴四边形ABED 为菱形． (3)如图，连接AE 交BD 于O ，∵四边形ABED 为菱形，∴BD ⊥AE ，OB=OD ，∴ ∠AOB=90°. ∵△CFD ∽△CAB ，∴AB:DF=BC:CD=3：1，∴AB= 3DF= 3×35=5.∵BC=3CD=9，∴CD=3，BD=6，∴ OB=3， 由勾股定理得OA=OBAB 22-=4，∴AE=8．∴四边形ABED 的面积为21×AE ×BD=21×8×6=24.16.解析：(1)∵AG=BG ，∴∠BAG=∠ABG ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=AD ，∴∠ABD= ∠ADB ， ∴∠BAG= ∠ADB ，又∵∠ABG= ∠ABG ，∴△BAG ∽△BDA ， ∴BABD BGBA =，即464=BG∴BG=38，∴DG=BD -BG=6-38=310(2)∵四边形ABCD 力菱形，∴BC=AD=kBE ，AD ∥BE ， ∴△ADG ∽△EBG ，∴k BE AD S S 221==⎪⎭⎫ ⎝⎛，k BE AD BG DG ==，∴S k S 21=，∵k BGDG S S ABG==△1，∴k SS ABG 1=△，∵△ABD 的面积=△BDC 的面积．∴()S k S kS S S kk k S S S 122112-+=-+=-+=.(3)∵()452111111222212+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=-+=k k k S k S k k S S ，∴S S 12的最大值为45.。

人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（ ） A ．15 B ．10 C.6215 D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（ ）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（ ） A ．85B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（ ）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ； （3）ABAC AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（ ）A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（ ） A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（ ）A ．3：1B ．3：1C ．3：2 D. 7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（ ） A ．等腰三角形 B. 任意三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（ ） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．一定相似D ．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（ ）A ．22B ．21C ．36D ．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是（ ）A ．12-B ．22C ．1D ．21 图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．34C ．4D ．6 图1—6—314．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（ ）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（ ） A ．2516 B ．54C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。