关于Bernoulli数与Euler数的一组同余式

定理内容在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。

欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n 且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。

所以，很明显，S=Zn既然这样，那么（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)费马定理:a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

初 等 数 论 （16）（第二章 同余 第七节 简化剩余系（2））一、复习二、例题例2 什么样的正整数满足ϕ (2x ) = ϕ (3x )解 设x =2a 3b y ，其中ab 为非负整数，y |6/。

若b > 0，（a 、b 大于或等于0）则ϕ (2x ) =ϕ (2a +1) ϕ (3b ) ϕ (y ) =2a ×3b -1×(3-1)ϕ (y )ϕ (3x ) =ϕ (2a ) ϕ (3b +1) ϕ (y ) =2a -1×3b ×(3-1)ϕ (y )这时ϕ (2x )和ϕ (3x )不会相等。

所以在ϕ (2x ) =ϕ (3x )时，b = 0，x =2a y 。

这时，ϕ (2x ) =2a ×ϕ (y )，ϕ (3x ) =2×ϕ (2a )×ϕ (y )由ϕ (2x ) = ϕ (3x )得ϕ (2a ) =2a -1， (a > 0)故 x =2a y ，a 为正整数，y |6/。

例如 x = 215×35，则ϕ (2×215×35) =215×ϕ (35)ϕ (3×215×35) =（3 - 1）×214×ϕ (35)例3 证明：n n 41)(=ϕ不可能成立。

证明 若n n 41)(=ϕ，则n 4。

设 k p p p n αααα 21212=，其中p i 为奇质数，a ≥ 2，则k k p p p n αααα 21212241-=)1()1(2)(111211121--=----k k p p p p p n k ααααϕ，于是 )1()1)(1(22121---=k k p p p p p p上式右边为偶数，左边为奇数，矛盾。

故不存在n ，使得n n 41)(=ϕ。

例4 设m 与n 是正整数，证明：ϕ (mn )ϕ ((m ，n )) = (m ，n )ϕ (m )ϕ (n )。

Euler数是数论中一类重要的数列，它们由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在18世纪提出。

Euler数在数论、组合数学和代数中具有广泛的应用，并且在数列的递推公式方面有着丰富的理论和性质。

欧拉数的定义可以通过二项式定理给出，即：1 + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...具体地，我们可以用下面的递推公式来定义欧拉数：1. 欧拉数的递推公式欧拉数的递推公式定义如下：E_0 = 1E_n = (n-1)*E_{n-1} + \sum_{k=0}^{n-1} C(n, k) * (-1)^k * E_k其中C(n, k)表示从n个不同元素中取k个元素的组合数。

这个递推公式给出了欧拉数的一种紧凑的表示方式，它使我们可以通过已知的欧拉数来计算新的欧拉数。

这对于在实际应用中计算欧拉数非常有用。

2. 递推公式的性质上述的递推公式有一些重要的性质：(1) 递推公式给出了欧拉数与之前的欧拉数之间的关系，这意味着我们只需要知道第一个欧拉数E_0，就可以通过递推公式计算出所有的欧拉数。

(2) 递推公式中的每一项都依赖于之前的欧拉数，这导致了计算欧拉数时需要进行多次的递归计算。

(3) 递推公式的计算过程中需要用到组合数，这使得计算欧拉数的复杂度为O(n^2)，其中n为欧拉数的下标。

除了递推公式，欧拉数还有许多其他的定义方式和性质，它们一起构成了欧拉数理论的一个重要部分。

欧拉数理论不仅在数学领域有着重要的地位，在计算机科学、物理学和工程学等应用领域也有着广泛的应用。

这些应用包括计算机图形学中的曲线生成、密码学中的算法设计、量子力学中的矩阵理论等等。

欧拉数的递推公式是欧拉数理论中一个重要的部分，它提供了一种简单而有效的方法来计算欧拉数。

深入研究欧拉数的递推公式及其性质有助于我们更好地理解数论和组合数学中的基本概念，并且对于各个领域的应用也具有重要的意义。

3. 欧拉数的性质和应用除了递推公式外，欧拉数还有许多其他重要性质和应用。

本科生毕业设计（论文）( 2010届 )题目：几个有关欧拉数的恒等式和同余式学院：数理与信息工程学院专业：数学与应用数学学生姓名：严婉丽学号： 06170313 指导教师：朱伟义职称：教授合作导师：职称：完成时间：2010 年 4 月 20 日成绩：浙江师范大学本科毕业设计(论文)正文目录摘要 (1)英文摘要 (1)1 引言 (1)1.1 欧拉数的定义及相关介绍 (1)1.2 欧拉数的研究现状 (3)2 结论 (5)2.1 定理 (5)2.2 推论 (6)3 一些函数方程 (6)3.1 公式的推导 (6)3.2 函数方程 (9)4 结论的证明 (9)4.1 定理的证明 (9)4.2 推论的证明 (15)5欧拉数的一些应用 (15)参考文献 (16)几个有关Euler 数的恒等式和同余式数理与信息工程学院 数学与应用数学专业 严婉丽（06170313）指导老师：朱伟义（教授）摘要：通过对正割函数的幂级数表示及正割函数偶数阶导函数与正割函数的奇次幂的内在 联系的研究分析，在文献[1]的定义下，得到几个关于欧拉数的有趣的恒等式，并由此推导出有关欧拉数的一组同余方程，提供了一个把一般的求和式()()()()∑=+++=n a a a ka a a kka a a E E E n E 2121!2!2!221222表示成12-+k n E ，32-+k n E ，…，n E 2的线性组合式的方法．关键词：欧拉数；恒等式；正割函数；同余Some Identities And Congruence Equations Involving Euler NumbersYan Wan-li Director ：Zhu Wei-yi(Mathematics and Applied Mathematics, College Of Mzthematics Physics and InformationEngineering, Zhejiang Normal University ,103 No.13)Abstract ：In this paper, the author gets some identities and congruence equations involving Euler numbers by research the contacts between secant functi on’s even order derivative and secant function’s odd times power. In addition, provide a way of change general sum type()()()()∑=+++=n a a a ka a a kka a a E E E n E 2121!2!2!221222to linear combination of 12-+k n E , 32-+k n E , …, n E 2.Key Words ：Euler numbers ；identities ；secant function ；congruence1 引言1.1 欧拉数的定义及相关介绍 著名Euler 数n E 2在文献[1]中的定义为()n n n zzz n E e e 2022!212∑∞==+ （1-1）奇数项的Euler 数皆为零，偶数项的Euler 数正负相间．其中1E 0=， 1E 2-=， 5E 4=， 61E 6-=， 1385E 8=，50521E 10-=，……欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel ）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667-1748年）的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究．欧拉还发现 ，不论什么形状的凸多面体，其顶点数v 、棱数e 、面数f 之间总有v-e+f=2这个关系．v-e+f 被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念．在数论中，欧拉首先引进了重要的欧拉函数φ(n)，用多种方法证明了费马小定理．以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就．欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i （1777年），e （1748年），sin 和cos （1748年），tg （1753年），△x （1755年），∑（1755年），f(x)（1734年）等．18 世纪, 欧拉在研究正整数分析时首先使用了生成函数,19 世纪初拉普拉斯在研究概率问题时得到进一步发展, 生成函数的一种自然推广，导致概率论中引进了强有力的工具——特征函数, 它把随机变量的分布函数变换为它的特征函数,从而把对分析函数的研究转化为对应的特征函数的研究,大大地推动了相互独立随机变量和的极限理论研究．生成函数在证明恒等式、解排列组合的计数问题及求递归数列的通项公式等方面的应用相当广泛, 其基本思想是将离散数列同幂级数的系数一一对应起来, 从而可以用数学分析的方法去研究．定义:设{}+∞=0n n a为一个数列，则称幂级数()n n n x a x f ∑+∞==0为数列{}+∞=0n n a 的生成函数，称数列{}+∞=0n n a 为f （x ）的生成函数列.如函数+++++==-∑∞=n n n x x x x x 20111是常数列{}1的生成函数．生成函数是形式幂级数， 可以象数学分析中的幂级数一样进行加、减、乘、除、求导、积分等运算， 而不必考虑级数的敛散性．应用生成函数解题的思想方法如下:数列问题→生成函数↓ ↓结 论 ←新生成函数 由此可见, 应用生成函数需解决两个问题:(1) 如何由数列{}n a 求出其生成函数； (2) 如何把f(x)展开成所需要的级数.生成函数在许多地方都有着应用，如可以用生成函数证明一些恒等式，解递归数列问题以及在渐进计算方面的应用等.1.2 欧拉数的研究现状Euler 数有许多有趣的性质，一直是许多专家、学者研究的热点，得到了很多很有益的结果.根据Euler 数其本身的定义性质，Euler 数跟许多著名的数之间都有着联系，许多专家学者研究了Euler 数与Bernoulli 数之间的关系，如文献[8]中朱伟义的关于Bernoulli 数和Euler 数的等式，得到了关于Bernoulli 数和Euler 数一组有趣的等式()()()()()()!2121221!2!222211n B n b a E E n n nn n b a b a ---=--=+∑， 其中a ，b 为非负整数，n 为正整数．()()()()()!12!2!212212221-=--∑=+-n E b a E B nnb a b a a a a ，其中1≥a ，b 为非负整数，n 为正整数．Euler 数与戴煦数之间的关系，如王海林，罗见今的戴煦数与欧拉数，给出了戴煦数与欧拉数之间的关系定理k nk n D k n E ∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01 ， k nk n E k n D ∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0． 此外，欧拉数不但与其他数之间有着联系，它的本身也有着关系，许多专家学者致力于这方面的研究，获得了许多有趣的成果．如李超李莉杰的关于欧拉数的一些恒等式，得到了关于欧拉数{}n E 4 四项的累加和的卷积公式.并在其后李超，杨存典，刘端森的关于Euler 数的一些恒等式，给出了欧拉数{}k E n 4项的累加和的卷积公式．设()()nn n x n E ix x x F 404!4cos 1cos 121∑∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，n 是正整数，则有如下恒等式 ()()()n k a a na a a a x a E a E a E kk 442414!4!4!42211∑=++=()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑=+++++=+++n a a a k a a a a a a km k k k k m m m a E a E a E m k 212121!2!2!2121222120． 刘晓民，李超，王念良的关于Euler 数n E 6的一组恒等式，在上述结果上进一步得出了关于n E 6的一组恒等式．设()()∑∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛++=066!6cos 1cos 1cos 131n nn x n E x x x x F ϖω，则有恒等式 （1）()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑=+=+=+n b a b a n b a a b a bn b a a b E a E b E a E b E a E 32232266!2!22!2!231!6!6ω，（2）()()()!6!6!6666c E b E a E cb nc b a a ∑=++()()()()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∑∑∑=++=++=+++!2!2!22!2!2!23!2!2!23!6291222322232223626c E b E a E c E b E a E c E b E a E n E E c b a c n c b a b c b a n c b a c c b a n c b a c n n ϖωϖω， （3）()()()∑∑=++=+++=kt s r k k a a na a a a t s r k a E a E a E kk !!!!31!6!6!6626162211()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∑=+++++++++++++++++!2!2!222212322221212121k a a a n a a a a a a a a a a E a E a E k k ks r s r s r r r ω， 其中+∈N n ，i 2321+-=ω，i 2321--=ϖ． 而三角函数x y sec =与著名的Euler 数之间也有着密切的联系，本文主要通过分析计算Euler 数与正切函数之间的关系从而得到有关Euler 数的恒等式，并进一步得出有关Euler 数的同余方程．考察三角函数x y sec =，由2cos ixix e e x -+=知()()()()n n n n nn n ixix ix ix x n E ix n E e e e e x x 20220221!2!2122cos 1sec -==+=+==∑∑∞=∞=-，（1-2） 即有 ()() +-++++=n nn x n E x x x 22421!2245211sec 2π<x ． （1-3）本文根据文献[2]所得到的正割函数x y sec =的偶阶导数与其奇次幂的内在联系的定理 定理 设x f sec =，n 位非负整数，则有()f C f C f C f C f n i i n n n n n n n n 1,1212,1212,1212,2 ++++=++--++ （1-4）其中12,+i n C 为整数，满足以下关系()!212,n C n n =+，n n C )1(1,-=，12,1212,112,)12()12(2+---++--=i n i n i n C i C i i C 11-≤≤n i ．并参照文献[3]张文鹏的得到的几个有关Euler 数的恒等式在欧拉数定义()nn n x n E x 202!2sec ∑∞==下，有 定理 当整数0≥n 时，我们有恒等式 （1） ()()())!2(!2!2!22222222n E E c b a E E E nn n c b a c b a +=+=++∑， （2） ()()()()())!2(910!2!2!2!2!2242224222222n E E E e d c b a E E E E E nn n n e d c b a e d c b a ++=++=++++∑， （3） ()()()()()()()∑=++++++n g f e d c b a gf e d c b ag f e d c b a E E E E E E E !2!2!2!2!2!2!27202222222)!2(225259352224262n E E E E nn n n +++=+++．2 结论在定义（1-1）下，通过对公式（1-4）两边进行幂级数展开式表示，利用生成函数法，比较展开式之间的系数得到了Euler 数之间几个有趣的恒等式，得到了下面结论．2.1 定理定理 设n a i ,为非负整数，n E 2为Euler 数，则有 （1）()()())!2(!2!2!2!2222321222321321n E E a a a E E E nn na a a a a a +-=+=++∑， （2-1）（2）()()()()())!2(!4910!2!2!2!2!22224254321222225432154321n E E E a a a a a E E E E E nn n na a a a a a a a a a +-=++=++++∑，（2-2）（3）()()()()()()()∑=++++++n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a E E E E E E E 76543217654321!2!2!2!2!2!2!276543212222222)!2(!622525**********n E E E E nn n n +-+-=+++， （2-3）（4）()()()()()()()()()∑=++++++++na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a E E E E E E E E E 987654321987654321!2!2!2!2!2!2!2!2!2987654321222222222)!2(!81102512916197484222426282n E E E E E nn n n n +-+-=++++， （2-4）（5）()()()()()()()()()()()∑=++++++++++n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a E E E E E E E E E E E 11109876543211110987654321!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2111098765432122222222222)!2(!101607400194438428393511953165222426282102n E E E E E E nn n n n n +-+-+-=+++++．（2-5）这里的n a a a k =+++ 21表示对所有满足该式的k 维非负整数组),(21k a a a 求和．下同2.2 推论推论 n E 2为Euler 数，n 为非负整数，我们有（1） ）（!2mod 0222≡+-+n n E E ，（2）)!4(mod 091022242≡+-++n n n E E E ， （3）)!6(mod 0225259352224262≡+-+-+++n n n n E E E E ， （4）)!8(mod 01102512916197484222426282≡+-+-++++n n n n n E E E E E ， （5）22426282102194438428393511953165+++++-+-+-n n n n n E E E E E)!10(mod 016074002≡+n E ．3 一些函数方程3.1 公式的推导这节我们推导出几个包含Euler 数的函数方程，为定理的证明做准备． 设x f sec =，)(n f 表示n 阶导数，f 表示0阶导数，则x x x f sec tan )(sec ''==． （3-1）因为 1sec tan 22-=x x ，所以 24222'sec tan )(f f x x f -==． （3-2） 对公式（3-1）两边进行求导，可得f f xx x x x f -=+==3322'2''2cos sin 2cos )cos sin (， （3-3） 即有f f f +=''32． （3-4）再对式子（3-2）两边求二阶导数，则可得到 ()'2''2'''166f f f f f f -=-=， ()()()''22'41612f f f f f -+=．将式子（3-2）、（3-4）代入上式，从而有()()()()f f f f f f f --+-=3224421612f f f +-=352024． （3-5）利用式子（3-4）式子（3-5）可写为()f f f f f f f f 91024)(1024''5''54--=++-=， 即()f f f f 91024''45++=． （3-6）然后对（3-5）两边求二阶导数，可得 ()()'245160120f f f f +-=，()()()()''242'36160120120480f f f f f f f +-+-=．利用公式（3-2）、（3-3）上式可化简整理为()()()()()f f f f f f f f f -+-+--=32424362160120120480f f f f -+-=357182840720． （3-7）将式子（3-4）、（3-6）代入式子（3-7）则有()()()()()f f f f f f f f -++++-=''''4769191035720()f f f f 22525935720''47---=， 即()()f f f f f 22525935720''467+++=． （3-8）对式子（3-7）两边求二阶导数，有()()'2467154642005040f f f f f -+-=，()()()()''2462'35815464200504010921680030240f f f f f f f f f -+-++-=．利用公式（3-2）、（3-3）上式可化简整理为()()()()()ff f f ff f f f f f --+-+-+-=324624358215464200504010921680030240f f f f f +-+-=35791640231846048040320． （3-9） 根据式子（3-4）、（3-6）、（3-8）代入（3-9）得到()()()()()()()ff f f f f ff f f f f ++-++++++-=''''4''4698820910966225259358440320()()f f f f f 110251291619748440320''469----=， 即()()()f f f f f f 110251291619748440320''4689++++=． （3-10）对公式（3-9）两边求二阶导数，有()()'2468914920115920423360362880f f f f f f +-+-=，()()()()''24682'35710149201159204233603628809840463689254160290340ff f f f f f f f f f +-+-+-+-=．利用公式（3-2）、（3-3）上式可化简整理为()()()()()ff f f f f f f f f f f f -+-+-+--+-=3246824357102149201159204233603628809840463689254160290340f f f f f f -+-+-=35791114762599280137304066528003628800．（3-11）将式子（3-4）、（3-6）、（3-8）、（3-10）代入（3-11）得到()()()()()()()()()()()ff ff fff f ffff f f f f f -+-++-++++++++-=''''4''46''468111073819102497022525935190711025129161974841653628800()()()f f f f f f 16074001944384283935119531653628800''46811-----=，即()()()()f f f f f f f 16074001944384283935119531653628800''4681011+++++=． （3-12）3.2 函数方程这一小节我们通过对正割函数x f sec =进行求导，寻找到几个正割函数几数次幂与它的偶数阶导数的关系，从而建立了几个函数方程f f f +=''32， 公式一 ()f f f f 91024''45++=， 公式二 ()()f f f f f 22525935720''467+++=， 公式三()()()f f f f f f 110251291619748440320''4689++++=， 公式四()()()()f f f f f f f 16074001944384283935119531653628800''4681011+++++=．公式五 为接下来的定理的证明做准备．4 结论的证明有了上节的函数方程，我们容易给出结论的证明．4.1 定理的证明事实上注意到公式（1-2）正割函数的幂级数展开式，立刻可得到()()km m m m kx m E f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞=0221!2()()()()nn n a a a k a a a x a a a E E E k k 20212222121!2!2!2-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞==+++ ()()n nn x k E 201∑∞=-=， （4-1）其中()()()()∑=+++=na a a k a a a k ka a a E E E n E 2121!2!2!221222．当k=3时，根据（4-1）式有()()()()n n a a a a a a nn x a a a E E E f 232122203321321!2!2!21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑=++∞=． （4-2） 因为 ()()()()∑∑∞=-∞=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1122'022'1!221!2n n n n n n n n x n E n x n E f ， ()()'1122''1!22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞=-n n n n x n E n f()()()∑∞=---=12221!2122n n n nx n E n n ()()∑∞=---=12221!22n n n nx n E ()()∑∞=++-=021221!2n n n n x n E ． （4-3） 将（1-2）式、（4-2）式、（4-3）式代入公式一，可得()()()()()()()()nn n n n n n n n na a a a a a nn x n E x n E x a a a E E E 20202122232122201!21!2!2!2!212321321-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑∞=∞=++=++∞= 比较等式左右两边n x 2的系数可得 ()()())!2(!2!2!22222321222321321n E E a a a E E E nn na a a a a a +-=+=++∑，即()()())!2(!2!2!2!2222321222321321n E E a a a E E E nn na a a a a a +-=+=++∑，结论一得到证明．当k=5时，根据（4-1）式有()()()()()()nn a a a a a a a a a a nn x a a a a a E E E E E f 25432122222055432154321!2!2!2!2!21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑=++++∞=． （4-4） 因为 ()()()()()∑∑∞=-++∞=++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112122'0212231!221!2n n n n n n n n x n E n x n E f ， ()()()'11212241!22⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∞=-++n n n n x n E n f()()()∑∞=-++--=1221221!2122n n n n x n E n n ()()∑∞=-++--=1221221!22n n n n x n E ()()∑∞=+-=02421!2n n n n x n E ． （4-5） 将（1-2）式、（4-3）式、（4-4）式、（4-5）式代入公式二，可得()()()()()()()()()()()()()().!291011!291!2101!2!2!2!2!2!212402222422020212202422543212222205432154321∑∑∑∑∑∑∞=++∞=∞=++∞=+=++++∞=+--=-+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n n nn n n n n nn n n n n n nn a a a a a a a a a a nn x n E E E x n E x n E x n E x a a a a a E E E E E 比较上式两边n x 2的系数，有 ()()()()()()!2910!2!2!2!2!2242224254321222225432154321n E E E a a a a a E E E E E nn n na a a a a a a a a a +-=++=++++∑，即()()()()()()!2!4910!2!2!2!2!22224254321222225432154321n E E E a a a a a E E E E E nn n na a a a a a a a a a +-=++=++++∑，于是完成了结论二的证明．当k=7时，根据公式（4-1）有()()()()()()()()nn a a a a a a a a a a a a a a nn x a a a a a a a E E E E E E E f2765432122222220776543217654321!2!2!2!2!2!2!21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑=++++++∞=，（4-6） 因为 ()()()()()∑∑∞=-+∞=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11242'024251!221!2n n n n n n n n x n E n x n E f ， ()()()'1124261!22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞=-+n n n n x n E n f ()()()∑∞=-+--=122421!2122n n n n x n E n n()()∑∞=-+--=122421!22n n n n x n E ()()∑∞=++-=021621!2n n n n x n E ． （4-7） 将（1-2）式、（4-3）式、（4-5）式、（4-6）式、（4-7）式代入公式三，可得()()()()()()()()nn a a a a a a a a a a a a a a nn x a a a a a a a E E E E E E E 276543212222222076543217654321!2!2!2!2!2!2!21720⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑=++++++∞= ()()()()()()()()n n n n n nn n n n n n n n n n x n E x n E x n E x n E 202021220242021621!22251!22591!2351!2-+-+-+-=∑∑∑∑∞=∞=++∞=+∞=++ ()()nn n n n n nx n E E E E 202224262!2225259351∑∞=++++-+--=．比较上式两边n x 2的系数，可得()()()()()()()()!222525935!2!2!2!2!2!2!222242627654321222222276543217654321n E E E E a a a a a a a E E E E E E E nn n n na a a a a a a a a a a a a a +-+-=+++=++++++∑，即()()()()()()()∑=++++++na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a E E E E E E E 76543217654321!2!2!2!2!2!2!276543212222222)!2(!622525**********n E E E E nn n n +-+-=+++，于是结论三得到了证明．当k=9时，根据公式（4-1）有()()()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a n x a a a a a a a a a E E E E E E E E E f 209876543212222222229967654321987654321!2!2!2!2!2!2!2!2!21∑∑∞==++++++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （4-8）因为()()()()()∑∑∞=-++∞=++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112162'0216271!221!2n n n n n n n n x n E n x n E f ，()()()'11216281!22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞=-++n n n n x n E n f ()()()∑∞=-++--=1221621!2122n n n n x n E n n ()()∑∞=-++--=1221621!22n n n n x n E ()()∑∞=+-=02821!2n n n n x n E ． （4-9） 将（1-2）式、（4-3）式、（4-5）式、（4-7）式、（4-8）式、（4-9）式代入公式四，可得()()()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a n x a a a a a a a a a E E E E E E E E E 20987654321222222222967654321987654321!2!2!2!2!2!2!2!2!2140320∑∑∞==++++++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-()()()()()()()()()()nn n n n n n n n n n n n nn n n n n n x n E x n E x n E x n E x n E 2020212202420216202821!2110251!2129161!219741!2841!2-+-+-+-+-=∑∑∑∑∑∞=∞=++∞=+∞=++∞=+()()∑∞=+++++-+--=02222426282!211025129161974841n nn n n n n nx n E E E E E ．比较上式左右两边n x 2项的系数，立刻可得()()()()()()()()()∑=++++++++na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a E E E E E E E E E 967654321987654321!2!2!2!2!2!2!2!2!240320987654321222222222()!21102512916197484222426282n E E E E E nn n n n +-+-=++++，即()()()()()()()()()∑=++++++++na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a E E E E E E E E E 967654321987654321!2!2!2!2!2!2!2!2!2987654321222222222()!2!81102512916197484222426282n E E E E E nn n n n +-+-=++++，于是定理（2-4）式完成了证明．当k=11时，根据公式（4-1），有 ()()()()n n a a a a a a a a a a a a a a nn x a a a E E E f2112122201111109876543211121!2!2!21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑=++++++++++∞= ． （4-10）因为()()()()()∑∑∞=-+∞=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11282'028291!221!2n n n n n n n n x n E n x n E f ， ()()()'11282101!22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞=-+n n n n x n E n f ()()()∑∞=-+--=122821!2122n n n n x n E n n ()()∑∞=-+--=122821!22n n n n x n E ()()∑∞=++-=0211021!2n n n n x n E ． （4-11） 将（1-2）式、（4-3）式、（4-5）式、（4-7）式、（4-9）式、（4-10）式、（4-11）代入公式五，可得()()()()n n a a a a a a a a a a a a a a nn x a a a E E E 21121222011109876543211121!2!2!213628800⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑=++++++++++∞= ()()()()()()∑∑∑∞=++∞=+∞=++-+-+-=0216202820211021!2119531!21651!2n n n n n nn n n n n n x n E x n E x n E ()()()()()()n n n n n nn n n n n n x n E x n E x n E 2020212202421!216074001!219443841!2283935-+-+-+∑∑∑∞=∞=++∞=+ ()()nn n n n n n nn xn E E E E E E 22224262821020!216074001944384283935119531651+-+-+--=+++++∞=∑比较上式左右两边n x 2项的系数，立刻可得()()()∑=++++++++++na a a a a a a a a a a a a a a a a E E E 11109876543211121!2!2!236288001121222)!2(1607400194438428393511953165222426282102n E E E E E E nn n n n n +-+-+-=+++++，即()()()()()()()()()()()∑=++++++++++na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a E E E E E E E E E E E 11109876543211110987654321!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2111098765432122222222222)!2(!101607400194438428393511953165222426282102n E E E E E E nn n n n n +-+-+-=+++++，至此定理的五个结论都得到了证明．4.2 推论的证明 n a a a k =+++ 21， ∴()()()()!2!2!2!221k a a a n 为整数．又 n E 2为整数， 由定理（2-1）式立即可得）（!2mod 0222≡+-+n n E E ，由定理（2-2）式可得)!4(mod 091022242≡+-++n n n E E E ， 由定理（2-3）式可得)!6(mod 0225259352224262≡+-+-+++n n n n E E E E ， 由定理（2-4）式可得)!8(mod 01102512916197484222426282≡+-+-++++n n n n n E E E E E ， 由定理（2-5）式可得22426282102194438428393511953165+++++-+-+-n n n n n E E E E E )!10(mod 016074002≡+n E ． 至此五个推论都得到了证明．5 欧拉数的一些应用（1）利用欧拉数n E 可将某些函数展开成幂级数()()n n n nx n E x 2021!2sec -=∑∞=，2π<x ， ()n n n x n E hx 202!2sec ∑∞==，2π<x ． （2）利用欧拉数n E 可求如下一类级数的和()()()()[]1112111n n m m k nk E m E k -+-=-∑=，()()()()n n k k k n E k n ∑∞=++--=--11212121!22121π． （3）利用n E 可求如下一类广义积分n x xkE dx ee x =+⎰∞-2222ππ．（4）欧拉数与Bernoulli 数、第二类Stirling 数等分别有如下关系式()()()l k S l k n E lk k t l nk n n ,!21100-==∑∑-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=∑=---nr r r r nr r nn B r C E 1122121142111． 这里的()l k S ,表示第二类Stirling 数，r B 表示Bernoulli 数．因此对欧拉数的研究的同时也有助于其他数的研究．参考文献[1] Jordan C ．Calculus of Finite Differences[M]．New York ：Chelsen ，1965．[2] 朱伟义．正割函数偶数阶导数的表示与Euler 数的几个恒等式[J]．延安大学学报（自然科学版），2004，23（3）：7-8．[3] 张文鹏．关于Euler 数的几个恒等式[J]．西北大学学报，1992，22（1）：17-19． [4] 李超．关于欧拉数的一些恒等式[J]．纺织高校基础学科学报，2000，13（3）：189-191． [5] 李超，杨存典，刘端森．关于Euler 数的一些恒等式[J]．长春师范学院学报，2003，22（1）： 12-14．[6] 刘晓民，李超，王念良．关于Euler 数n E 6的一组恒等式[J]．西安工程科技学院学报，2007， 2（4）：545-548．[7] Murray R ．Splegel ．最新实用大学用书 数学手册[M]．114-115．[8] 朱伟义．关于Bernoulli 数和Euler 数的恒等式[J]．宁夏大学学报（自然科学版），2001，22 （4）：370-371．[9] Zhang Sheng ．Euler and Euler Numbers[J]．内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），2007， （6）：778-779．[10] 陈志明．Euler 数与Bernoulli 数的一些恒等式[J]．纯粹数学与应用数学，1994，10（1）：7-10．[11] 杨奎林，刘国栋.一些包含第二类中心阶乘数的求和公式[J]．惠州学院学报（自然科学版），2008，28（3）：33-36．[12] 罗见今，王海林.戴煦数与欧拉数[J]．空军雷达学院学报，2000，14（1）：55-57．浙江师范大学本科毕业设计(论文)过程管理材料目录1 浙江师范大学本科毕业设计(论文)任务书 (1)2 浙江师范大学本科毕业设计(论文)文献综述 (3)3 浙江师范大学本科毕业设计(论文)开题报告 (11)4 浙江师范大学本科毕业设计(论文)外文翻译 (17)5 浙江师范大学本科毕业设计(论文)指导记录 (31)6 浙江师范大学本科毕业设计(论文)中期检查表 (33)7 浙江师范大学本科毕业设计(论文)作品(实物)验收单 (34)8 浙江师范大学本科毕业设计(论文)答辩资格审查表 (35)9 浙江师范大学本科毕业设计(论文)答辩记录 (36)10 浙江师范大学本科毕业设计(论文)评审表 (38)浙江师范大学本科毕业设计(论文)任务书过程管理材料1：本科毕业设计（论文）任务书注意：1.任务书由指导教师填写、系主任审核，学生、指导教师、系主任均应签名。

欧拉定理在数学和许多分支中可以看到以欧拉命名的许多常数，公式和定理。

在数论中，Euler定理（也称为Fermat Euler定理或Euler 函数定理）是关于同余的性质。

欧拉定理以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的名字命名，被认为是数学界最精彩的定理之一。

欧拉定理实际上是费马小定理的推广。

此外，在平面几何中有欧拉定理，在多面体上有欧拉定理（在凸多面体中，顶点数-边数+面数= 2，即V-E + F = 2）。

在西方经济学中，欧拉定理也称为产出分配的净耗竭定理，这意味着在完全竞争的条件下，假设规模收益长期保持不变，则所有产品都足以分配给每个产品因子。

还有欧拉公式。

在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。

欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:证明将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）我们考虑这么一些数：m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) （这里假定mS更大一些），就有：mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。

但是a与n互质，a 与n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。

也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。

2）这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。

(因为a*xi=pn+qr=r(……)，说明a*xi含有因子r，又因为前面假设n 含有因子r，所以a*xi和n含有公因子r，因此a*xi与n不互质)那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.由1）和2）可知，数m1,m2,m3……mφ(n)（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).故得出：m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3......xφ(n))≡x1*x2*x3......xφ(n)(mod n) 或者为了方便：K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3 (x)φ(n)。

关于广义 Bernoulli 数的一些恒等式王念良【摘要】The generalized Bernoulli number B n,χ has the closed relationship to the Euler numbers and Dirichlet L functions,for example,one has L(1-n,χ)=-B n,χn (n≥1).The main purpose of this note is by the properties of generalized Bernoulli number B n,χ and the Cauchy product formula of absolutely conver-gent power series,some identities and congruence involving generalized Bernoulli numbers are obtained.%广义Bernoulli 数B n,χ与 Euler 数、Dirichlet L 函数有密切的联系,如 L(1-n,χ)=-B n,χn (n≥1)等。

应用绝对收敛幂级数的 Cauchy 乘积公式和B n,χ的性质,得到了关于广义 Bernoulli 数的一些恒等式和同余式。

【期刊名称】《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】5页(P403-407)【关键词】Bernoulli 数;广义 Bernoulli 数;恒等式【作者】王念良【作者单位】商洛学院数学与计算机应用学院，陕西商洛 726000【正文语种】中文【中图分类】O156.4设q是大于1的正整数,χ是模q的Dirichlet特征.广义Bernoulli数、广义Bernoulli多项式定义[1]为显然特别地,当χ=χ0是模q的Dirichlet主特征时和即为经典的Bernoulli数Bn 和Bernoulli多项式Bn(1+x);当χ是模4的本原特征时,著名的Euler数En和Euler多项式En(x)可以用和表示[1]为设表示以特征χ为模q的Dirichlet L函数,则广义Bernoulli数可用来表示L(s,χ)在0和负整数处的值[2]Bernoulli数、Bernoulli多项式及其推广形式,在解析数论、组合数学中发挥着十分重要的作用,许多学者对Bernoulli数、Bernoulli多项式及其各种推广形式的算术性质进行了深入地研究[1-17].关于Bernoulli数、Bernoulli多项式及推广的Bernoulli数的同余性质,也有很多优美的结果,例如,G.Voronoi[3]证明了Bernoulli 数的一些同余式,其中之一是:当p是大于3的素数且p≡3(mod 4)时,有这里表示Legendre符号经典的Kum mer同余式[3-4]是当素数p≥5,n≥1,k,l为大于等于零的偶数,且满足p-1不能整除k,k≡l(modφ(pn))时,有对于模q的Dirichlet特征χ,记[5]则(4)式可表示为其中的含义与(4)式相同.本文应用解析方法,对Bernoulli数、广义Bernoulli数的算术性质进行研究,得到下列结论.定理1 设n,k是整数,且n≥1,k≥0,则推论1 设n,k是整数,且n≥1,k≥0,B2j(x)表示关于变量x下标为2j的Bernoulli多项式,则定理2 设n,k是任意的正整数,则是2k+1的倍数.定理3 设[x]表示不超过实数x的最大整数,p是一个大于3的奇素数,a是与p互素的整数,n≥1, χ是模pn的Dirichelet特征,则有引理1 对任意的实数x,有证明见文献[6]中的引理2.引理2 对任意正整数是整数.证明见文献[5].引理3 设χ是模q的Dirichlet特征,记是对应于χ的和式,则证明在(2)式中取x=q并减去(1)式,可得注意到于是有比较(11)式两边的系数,应用有这就证明了引理3.定理1的证明对任意整数k≥1,取m=1,2,…,k,由于则注意到应用引理1,有当n≥1时,比较等式两边的系数,得整理即得(6)式,定理1证毕.推论1的证明注意到对任意m≥0,应用关系式由(13)式即得(7)式. 定理2的证明由(13)式有由引理2知是整数,因而是2k+1的倍数,所以有即能被2k+1整除.定理3的证明设1≤j＜pn,(a,p)=1,由带余数除法有因此即应用引理3,令q=pn,有即由(14)式和(15)式即完成了定理3的证明.【相关文献】[1] Chen K W.Sums of products of Generalized Bernoulli polynomials[J].Pacific Journal of Mathematics,2003,208(1): 39-52.[2] Szmidt J,Urbanowicz J,Zagier D.Congruences among generalized Bernoulli numbers[J].ACTA ARITHMETICA, LXXI,1995(3):273-278.[3] Ireland K,Rosen M.A Classical Introduction to Modern Number Theory[M]//2thed.Graduate Texts in Mathematics,Vol.84.New York:Springer,1990:237.[4] Kummer E E.Uber eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen[J].J Reine Angew Math,185(41):368-372.[5] Pan H,Zhang Y.Stern's type congruences for L(-k,χ)[J].ar Xiv:1101.4806v2[math.NT]29 Apr 2013.[6] Yuan Y.Some identities involving Bernoulli numbers and Euler numbers[J].Scientia Magna,2006,2(1):102-107.[7] Rademacher H.Topics in Analytic Number Theory[M].New York:Springer-Verlag,1973:12.[8] Tom M Apostol.Introduction to Analytic Number Theory[M].New York:Springer-Verlag,1976:265.[9] Liu G,Luo H.Some identities involving Bernoulli numbers[J].The Fibonacci Quarterly,2005,43(3):208-212.[10] Liu G.On congruences of Euler numbers modulo an square[J].The Fibonacci Quarterly,2005,43(2):132-136.[11] 王念良,李复活.高阶Apostol-Bernoulli函数的—些恒等式[J].商洛学院学报,2011,25(6):3-6.[12] Kanebo M.A recurrence formula for the Bernoulli numbers[J].Proc Japan Acad Ser A Math Sci,1995,71:192-193.[13] Lehmer E.On Congruences Involving Bernoulli Numbers and the quotients of Fermat and Wilson[J].Annals of Math, 1938,39:350-360.[14] Kanemitsu S,Ubanowicz J,Wang N.On some new congruences for generalized Bernoulli numbers[J].Acta Arith, 2012,155(3):247-258.[15] 何园,张文鹏.关于一个多项式序列的对称关系[J].西南师范大学学报:自然科学版,2013,38(4):28-30.[16] 巫朝霞,何园.关于Bernoulli和Euler多项式的一个注记[J].内蒙古师范大学学报:自然科学汉文版,2012,41(6): 604-606.[17] Wang N,Li C,Li H.Some identities on the Generalized Higher-order Euler and Bernoulli Numbers[J].Ars Combinatoria,2011,2:517-528.[18] 雒秋明.广义Bernoulli数和广义高阶Bernoulli数[J].纯粹数学与应用数学,2002,18(4):305-308.。