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．指数函数．指数概念的推广[学习目标].理解根式的概念及分数指数幂的含义.会进行根式与分数指数幂的互化.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．[知识链接]．的平方根为±的立方根为.．·＝，()＝，(·)＝，＝.[预习导引]．把(正整数)个实数的连乘记作，当≠时有＝，－＝(∈)．．整数指数幂的运算有下列规则：·＝＋，＝－，()＝，()＝·，()＝(≠)．．若一个(实)数的次方(∈，≥)等于，即＝，就说是的次方根次方根也称为立方根．当是奇数时，数的次方根记作.＞时，＞；＝时，＝；＜时，＜.当是偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．其中正的次方根叫作算术根，记作.也就是说，当＞时，如＝，那么＝±.规定：＝，负数没有偶次方根．．式子叫作根式(∈，≥)，叫作根指数，叫作被开方数．一般地，有()＝.当为奇数时，＝；当为偶数时，＝.．当＞，，∈且≥时，规定＝mn，＝mn.．规定的正分数指数幂为没有负分数指数幂，在＞时，对于任意有理数，仍有公式·＝＋，＝－，()＝，()＝·，()＝(≠)．．对任意的正有理数和正数，若＞则＞；若＜则＜.根据负指数的意义和倒数的性质可得：对任意的负有理数和正数，若＞，则＜；若＜则＞.．任意正数的无理数次幂有确定的意义．于是，给了任意正数，对任意实数，的次幂都有了定义．可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对实数次幂仍然成立．类似地，还有不等式：对任意的正实数和正数，若＞则＞；若＜则＜.对任意的负实数和正数，若＞则＜；若＜则＞.要点一根式的运算例求下列各式的值：()；()；()；()－，∈(－)．解()＝－.()＝＝.()＝－π＝π－.()原式＝－＝－－＋，。
． 对数函数
． 对数的概念和运算律
[学习目标].理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.了解常用对数与自然对数的意义.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.掌握对数的运算性质及其推导.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．
[知识链接] ．82
3＝,2-364＝.
．若＝，则＝；若＝，则＝.
．在指数的运算性质中：
·＝＋，＝－，()＝.
[预习导引]
．对数的概念
如果＝(＞，≠)，那么叫作以为底，(正)数的对数，记作＝.这里，叫作对数的底，叫作对数的真数．
把上述定义中的＝代入＝，得到＝；把＝代入＝，得到＝，这两个等式叫作对数的基本恒等式：
＝，＝.
由上述基本恒等式可知，＝＝，＝＝.
．对数的运算法则
如果＞，≠，＞，＞，那么
()()＝＋.
()＝(∈)．
()＝－.
．常用对数与自然对数
()以为底的对数叫作常用对数，记作.
()以无理数＝…为底的对数叫作自然对数．通常记为.
要点一指数式与对数式的互化
例将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
()－＝；()＝；()－＝；
()＝－；()＝－.
解()＝－.
()＝.
()＝－.
()－＝.
()－＝.
规律方法.解答此类问题的关键是要搞清，，在指数式和对数式中的位置．
．若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成指数式．
跟踪演练将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
()＝；()＝；()＝.
解()＝.。
第课时 对数函数的图象和性质的应用
[学习目标].进一步加深理解对数函数的概念.掌握对数函数的性质及其应用．
[知识链接]
对数函数的图象和性质
＞ ＜＜
图象
性
质 定义域
(，＋∞) 值域
过定点 ()，即当＝时，＝ 单调性
在(，＋∞)上是增函数 在(，＋∞)上是减函数 奇偶性
非奇非偶函数
[预习导引]
形如＝()(＞，且≠)函数的性质
()函数＝()的定义域须满足()＞.
()当＞时，函数＝()与＝()具有相同的单调性；当＜＜时，函数＝()与函数＝()的单调性相反．
解决学生疑难点
要点一对数值的大小比较
例比较下列各组中两个值的大小：
()，；
()，(＞，且≠)；
()，；
()π，π.
解()因为函数＝是增函数，且＜，
所以＜.
()当＞时，函数＝在(，＋∞)上是增函数，又＜，所以＜；
当＜＜时，函数＝在(，＋∞)上是减函数，又＜，所以＞.
()方法一因为＞＞，所以＜，即＜.
方法二如图所示
由图可知＞.
()因为函数＝是增函数，且π＞，所以π＞＝.
同理，＝ππ＞π，所以π＞π.
规律方法比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．．若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．。
对数函数的图象和性质
第课时 反函数及对数函数的图象和性质
[
学
习
目
标].理解对数函数的概念.初步掌握对数函数的图象及性质.会类比指数函数，研究对数函数的性质．
[知识链接]
．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法． ．指数函数＝(＞且≠)的图象与性质.
＞
＜＜
图象
定义域 值域 (，＋∞) 性质
过定点
过点()，即＝时，＝
函数值的变化
当＞时，＞；
当＜时，＜＜
当＞时，＜＜；
当＜时，＞ 单调性
是上的增函数
是上的减函数 [预习导引] ．对数函数的概念
把函数＝(＞，＞，≠)叫作(以为底的)对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(，＋∞)． ．对数函数的图象与性质
＞
＜＜
图象
性质
定义域 (，＋∞)
值域
过点
过点()，即＝时，＝
函数值的变化
当＜＜时，＜；
当＞时，＞
当＜＜时，＞；
当＞时，＜ 单调性
是(，＋∞)上的增函数
是(，＋∞)上的减函数 .反函数
()对数函数＝(＞且≠)与指数函数＝(＞，且≠)互为反函数．
()要寻找函数＝()的反函数，可以先把和换位，写成＝()，再把解出来，表示成＝()的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到()的反函数().
要点一对数函数的概念
例指出下列函数哪些是对数函数？ ()＝；()＝； ()＝；()＝＋.
解()的系数是，不是，不是对数函数．。
2.2.3对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的图象和性质[学习目标］1。
理解对数函数的概念。
2.初步掌握对数函数的图象及性质。
3。
会类比指数函数，研究对数函数的性质．［知识链接］1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1）的图象与性质。
R[1．对数函数的概念把函数y＝log a x（x＞0，a＞0，a≠1)叫作（以a为底的）对数函数,其中x是自变量，函数的定义域是(0,＋∞)．2．对数函数的图象与性质（0，＋∞）3.反函数（1)对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1)与指数函数y＝a x（a＞0,且a≠1）互为反函数．(2）要寻找函数y＝f(x）的反函数，可以先把x和y换位,写成x＝f(y），再把y解出来，表示成y＝g(x）的形式，如果这种形式是唯一确定的,就得到f(x）的反函数g(x）。
要点一对数函数的概念例1 指出下列函数哪些是对数函数?（1)y＝3log2x;(2）y＝log6x；(3）y＝log x3；（4)y＝log2x＋1。
解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．（2）符合对数函数的结构形式，是对数函数．（3)自变量在底数位置上，不是对数函数．（4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x（a＞0且a≠1）的形式,即必须满足以下条件（1)系数为1.(2）底数为大于0且不等于1的常数．（3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点（4，2)，则该对数函数的解析式为( ）A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定答案A解析设对数函数的解析式为y＝log a x（a＞0且a≠1）,由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，∴该对数函数的解析式为y＝log2x.要点二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取错误!，错误!，3、错误!,则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为( )5A.3、错误!、错误!、错误!B.错误!、错误!、错误!、错误!C.43、错误!、错误!、错误!D。
2.2对数函数问题探究问题1如何将给出的对数式换成指定底数的对数？探究:《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数. 对数换底公式:log b N=bN a a log log (a>0且a ≠1,b>0且b ≠1,N>0). 推论:log a b=ab log 1,log a m b n =m n log a b. 更特别地有log a a n =n.问题2对数函数的运算性质有几条？探究:对数函数有三条运算性质,它们分别是:如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,则有(1)log a (M ·N)=log a M+log a N;(2)log a (N M )=log a M-log a N; (3)log a M n =nlog a M(n ∈R ).问题3对对数函数的图象和性质的研究,教材是根据互为反函数的图象特征,由指数函数的图象再作出其关于直线y=x 的图象,即得对数函数的图象,在数形结合的数学思想指导下,推得对数函数的性质.请归纳对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)的性质.探究:我们研究函数的性质一般是通过研究函数的图象特征来进行的.通过研究对数函数的图象我们不难总结出对数函数有三条通性,即与a 的取值无关的三条性质:(1)定义域都是(0,+∞);(2)值域都为R;(3)图象恒过点(1,0).与a 的取值有关的两个特性:(1)a>1时,y=log a x 在(0,+∞)上是增函数;0<a<1时,y=log a x 在(0,+∞)上是减函数.(2)a>1:⎩⎨⎧<<<>>;0,10,0,1y x y x 时时0<a<1: ⎩⎨⎧><<<>.0,10,0,1y x y x 时时 问题4比较两个对数型的数的大小,一般可采用哪些方法？探究:两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:(1)直接法:由函数的单调性直接作答;(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;(5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.典题精讲例1:比较下列各组中两个值的大小.(1)log 31.9,log 32; (2)log 0.90.1,log 0.92;(3)log 35,log 53; (4)log 23,log 0.32;(5)log a π,log a 3.141.思路分析:比较两个对数值的大小:同底可利用对数函数的单调性,如(1)(2);若底数、真数都不同可以借助常数(常用的-1,0,1)为媒介间接比较大小,如(3)(4);若真数相同,底数不同可以借助对数函数图象来比较大小;若底数与1的大小关系不确定,要分情况讨论.解:(1)因为y=log 3x 在(0,+∞)上是增函数,所以log 31.9<log 32.(2)因为y=log 0.9x 在(0,+∞)上是减函数,所以log 0.90.1>log 0.92.(3)因为log 35>log 33=1=log 55>log 53,所以log 35>log 53.(4)因为log 23>log 22=1,log 0.32<0,所以log 23>log 0.32.(5)当a>1时,log a π>log a 3.141;当0<a<1时,log a π<log a 3.141.例2:已知a=lg(1+71),b=lg(1+491),试用a 、b 的式子表示lg1.4. 思路分析:求以a 、b 表示的lg1.4的式子,实际上是寻找lg 78、lg 4950和lg1.4之间的关系,所 以应将三个对数的真数尽量化整并化小(一般把底化成常用对数),便于寻找关系.解:a=lg(1+71)=lg 78=3lg2-lg7①.b=lg(1+491)=lg 4950=lg 2100-lg72=2-lg2-2lg7②. 由①②得lg2=71 (2a-b+2),lg7=71 (-a-3b+6), ∴lg1.4=lg 1014=lg2+lg7-1=71 (a-4b+1). 例3:已知函数y=lg(12+x -x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.思路分析:这是一个常用对数,只要考虑真数大于0即可.但由于真数中含有根式,所以还要判断根式内的式子大于0时自变量的取值.解:由题意知12+x -x>0,解得x ∈R ,即定义域为R;又f(-x)=lg[1)(2+-x -(-x)]=lg(12+x +x)=lg x x -+112=lg(12+x -x)-1=-lg(12+x -x)=-f(x).∴y=lg(12+x -x)是奇函数.∵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,∴我们只需研究R +上的单调性.任取x 1、x 2∈R +且x 1<x 2, 则121+x <122+x ⇒121+x +x 1<122+x +x 2⇒ 12111x x ++ >22211x x ++, 即有121+x -x 1>122+x -x 2>0.∴lg(121+x -x 1)>lg(122+x -x 2),即f(x 1)>f(x 2)成立.又f(x)是定义在R 上的奇函数,故f(x)在R -上也为减函数.例4:(1)函数y=lg 11-x 的图象大致是( )图2-2-1(2)作出函数y=|log 4x|-1的图象.思路解析:(1)本题通法有两种:①图象是由点构成的,点点构成函数的图象,所以可取特殊点(2,0),(1011,1).②利用函数解析式判断函数的性质,函数的定义域为(1,+∞),在定义域上函数为减函数.(2)y=|log 4x|-1的图象可以看成由y=log 4x 的图象经过变换而得到:将函数y=log 4x 的图象在x 轴下方部分以x 轴为对称轴翻折上去,得到y=|log 4x|的图象,再将y=|log 4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log 4x|-1的图象.答案:(1)A(2)如图2-2-2所示.图2-2-2例5:(1)已知函数y=log 3(x 2-4mx+4m 2+m+11-m )的定义域为R ,求实数m 的取值范围; (2)已知函数y=log a ［x 2+(k+1)x-k+41］(a>0,且a ≠1)的值域为R ,求实数k 的取值范围. 思路分析:题(1)中,对任意实数x,x 2-4mx+4m 2+m+11-m >0恒成立;题(2)中,x 2+(k+1)x-k+41取尽一切正实数.解:(1)∵x 2-4mx+4m 2+m+11-m >0对一切实数x 恒成立,∴Δ=16m 2-4(4m 2+m+11-m )=-4(m+11-m )<0. ∴112-+-m m m >0.又∵m 2-m+1>0,∴m-1>0.∴m>1.(2)∵y ∈R ,∴x 2+(k+1)x-k+41可取尽一切正实数.∴Δ=(k+1)2-4(-k+41)≥0.∴k 2+6k ≥0.∴k ≥0或k ≤-6.。
．指数函数的图象和性质第课时指数函数的图象和性质[学习目标].理解指数函数的概念和意义.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.初步掌握指数函数的有关性质．[知识链接]．·＝＋；()＝；()＝·.其中＞，＞，，∈.．在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由个分裂成个，个分裂成个，…个这样的细胞分裂次后，第次得到的细胞个数与之间构成的函数关系为＝，∈{，…}．[预习导引]．函数＝叫作指数函数，其中是不等于的正实数，函数的定义域是.．从图象可以“读”出的指数函数＝(＞)的性质有：()图象总在轴上方，且图象在轴上的射影是轴正半轴(不包括原点)．由此，函数的值域是＋；()图象恒过点()，用式子表示就是＝；()函数是区间(－∞，＋∞)上的递增函数，由此有：当＞时，有＞＝；当＜时，有＜＜＝.．如果底数∈()，那么，它的倒数＞，＝＝－，它的图象和＝的图象关于轴对称，可以类似地得到函数＝(＜＜)的性质：()图象总在轴上方，且图象在轴上的射影是轴正半轴(不包括原点)．由此，函数的值域是＋；()图象恒过点()，用式子表示就是＝；()函数是区间(－∞，＋∞)上的递减函数，由此有：当＞时，有＜＜＝；当＜时，有＞＝.要点一指数函数的概念例给出下列函数：①＝·；②＝＋；③＝；④＝；⑤＝(－).其中，指数函数的个数是()．．．．答案解析①中，的系数是，故①不是指数函数；②中，＝＋的指数是＋，不是自变量，故②不是指数函数；③中，的系数是，幂的指数是自变量，且只有一项，故③是指数函数；④中，＝的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－＜，不是指数函数．规律方法.指数函数的解析式必须具有三个特征：()底数为大于且不等于的常数；()指数位置是自变量；()的系数是.．求指数函数的关键是求底数，并注意的限制条件．跟踪演练若函数＝(－)是指数函数，则实数的取值范围为．答案{＜，且≠}解析＝(－)是指数函数，需满足：解得＜且≠.故的取值范围为{＜，且≠}．要点二指数函数的图象例如图是指数函数①＝，②＝，③＝，④＝的图象，则，，，与的大小关系是()．＜＜＜＜．＜＜＜＜。
形形色色的函数模型[学习目标].会利用已知函数模型解决实际问题.能建立函数模型解决实际问题．[预习导引]．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．解决学生疑难点要点一用已知函数模型解决问题例通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用()表示学生掌握和接受概念的能力(()值越大，表示接受的能力越强)，表示提出和讲授概念的时间(单位：)，可有以下的公式：()＝()开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？()开讲后与开讲后比较，学生的接受能力何时强一些？()一个数学难题，需要的接受能力以及时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解()当＜≤时，()＝－＋＋＝－(－)＋.故()在(]上单调递增，最大值为()＝－×(－)＋＝；当＜≤时，()单调递减，()＜－×＋＝.因此，开讲后，学生达到最强的接受能力(值为)，并维持.()()＝－×(－)＋＝－＝，()＝－×＋＝＜＝()．因此，开讲后学生的接受能力比开讲后强一些．()当＜≤时，令()＝，则－×(－)＝－，(－)＝.所以＝或＝.但＜≤，故＝.当＜≤时，令()＝，则－＋＝.所以＝.。
．函数与方程
．方程的根与函数的零点
[学习目标].知道函数零点的定义，会求函数的零点.能说出函数零点的存在性定理，会判断函数零点的存在性及存在区间.能利用数形结合的方法分析方程根的个数或分布情况.会根据一元二次方程根的分布情况求参数范围．
[知识链接]
考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
()方程－－＝与函数＝－－；
()方程－＋＝与函数＝－＋；
()方程－＋＝与函数＝－＋.
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与轴交点的坐标吗？
答案
方程－－＝－＋＝－＋＝
函数＝－－＝－＋＝－＋
函数的图象
方程的实数
＝－，＝＝＝无实数根根
函数的图象
(－)、() ()无交点与轴的交点
[预习导引]
．函数零点的定义
()对于函数()，把方程()＝的实数根叫作函数＝()的零点；
()求方程()＝的实数根，就是确定函数＝()的零点；
()函数＝()的零点，也就是函数＝()图象与轴交点的横坐标．
．函数零点的存在性定理
设()的图象是一条连续不断的曲线，当从到逐渐增加时，如果()连续变化而且()·()＜，则方程()＝在(，)内至少有一个根，即存在∈(，)，使()＝.
要点一求函数的零点
例判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
()()＝＋＋；
()()＝－(＋)；
()()＝－－；
()()＝.
解()解方程()＝＋＋＝，得＝－或＝－，
所以函数的零点是－，－.
()解方程()＝－(＋)＝，得＝－，
所以函数的零点是－.
()解方程()＝－－＝，得＝，
所以函数的零点是.
()解方程()＝＝，得＝－，。
高中数学第2章指数函数对数函数和幂函数2.2对数函数命题与探究素材湘教版必修12.2对数函数问题探索问题1如何将给出的对数式换成指定底数的对数？询问：考试大纲要求你知道如何使用底部交换公式将一般对数转换为指定的基本对数的对数底部公式：logbn=logan(a>0且a≠1,b>0且b≠1,n>0).Logab推理：Logab=n1mn，logab=logab。
mlogbaN更特别地有logaa=n.问题2：对数函数的运算性质是什么？探究:对数函数有三条运算性质,它们分别是:如果a>0且a≠1,m>0,n>0,则有(1)loga(mn)=logam+logan;(2)loga(Nm)=logam-logan;n(3)logam=nlogam(n∈r).问题3关于对数函数的图像和性质的研究。
教材是根据互逆函数的图像特征，从指数函数图像中得到关于直线y=x的图像，即得到对数函数图像，并在数形结合的数学思想指导下，推导出对数函数的性质。
请总结一下对数函数y=logax（a>0和a）的性质≠ 1)探究:我们研究函数的性质一般是通过研究函数的图象特征来进行的.通过研究对数函数的图象我们不难总结出对数函数有三条通性,即与a的取值无关的三条性质:(1)定义域都是(0,+∞);(2)值域都为r;(3)图象恒过点(1,0).与a的取值有关的两个特性:(1)a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数;0? 十、1点钟，是吗？0，数字（2）a>1:？00?x?1时,y?0;??x?1时,y?0,??0?x?1时,y?0.问题4比较两个对数型的数的大小,一般可采用哪些方法？查询：比较两个数（公式）的大小主要是为了找到合适的函数，将要比较的两个数作为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较两个数的大小，一般的方法有：（1）直接法：直接用函数的单调性作答；(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;（3）商业定律：如果两个数字相同，则将这两个数字视为商业变形，并确定它们是否大于、等于或小于1；（4）转换方法：将要比较的两个数字正确转换为两个新数字大小的比较；（5）介质方法：选择合适的“介质”数量，将大小与要比较的两个数字进行比较，从而间接获得两个数字的大小典题精讲示例1：比较以下组中的两个值(1)log31.9,log32;(2)log0.90.1,log0.92;一(3)log35,log53;(4)log23,log0.32;(5)logaπ,loga3.141.思路分析:比较两对值的大小：对数函数的单调性可用于相同的基，如（1）（2）；如果基数和真数不同，可以借助常数（常用的-1,0,1）间接比较大小，例如（3）（4）；如果真数相同而基数不同，则可以借助对数函数图像来比较大小；如果基数和1之间的关系不确定，则应根据情况解决方案进行讨论：（1）因为y=log3x是（0，+∞), log319log0。
2．1 指数函数 2．1.1 指数概念的推广[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．[知识链接]1．4的平方根为±2,8的立方根为2.2．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，2523＝4.[预习导引]1．把n (正整数)个实数a 的连乘记作a n ，当a ≠0时有a 0＝1，a －n＝1an (n ∈N )．2．整数指数幂的运算有下列规则：a m·a n＝a m ＋n，a m a n ＝a m －n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n ·b n，(a b )n ＝a n bn (b ≠0)．3．若一个(实)数x 的n 次方(n ∈N ，n ≥2)等于a ，即x n＝a ，就说x 是a 的n 次方根.3次方根也称为立方根．当n 是奇数时，数a 的n 次方根记作na .a ＞0时，n a ＞0；a ＝0时，n 0＝0；a ＜0时，na ＜0.当n 是偶数时，正数a 的n 次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n 次方根叫作算术根，记作na .也就是说，当a ＞0时，如x n＝a ，那么x ＝±na . 规定：n0＝0，负数没有偶次方根．4．式子n a 叫作根式(n ∈N ，n ≥2)，n 叫作根指数，a 叫作被开方数．一般地，有(na )n＝a .当n 为奇数时，na n＝a ；当n 为偶数时，na n＝|a |. 5．当a ＞0，m ，n ∈N 且n ≥2时，规定na m＝a m n，1na m＝am n.6．规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂，在a ＞0时，对于任意有理数m ，n 仍有公式a m·a n＝a m ＋n，a m a ＝a m －n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )m ＝a m ·b m，(a b )m ＝a m b(b ≠0)．7．对任意的正有理数r 和正数a ，若a ＞1则a r ＞1；若a ＜1则a r＜1.根据负指数的意义和倒数的性质可得：对任意的负有理数r 和正数a ，若a ＞1，则a r＜1；若a ＜1则a r＞1.8．任意正数a 的无理数次幂有确定的意义．于是，给了任意正数a ，对任意实数x ，a 的x 次幂a x都有了定义．可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对实数次幂仍然成立．类似地，还有不等式：对任意的正实数x 和正数a ，若a ＞1则a x＞1；若a ＜1则a x＜1. 对任意的负实数x 和正数a ，若a ＞1则a x＜1；若a ＜1则a x＞1.要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值： (1)3－3；(2)4－2；(3)8－π8；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)． 解 (1)3－3＝－2.(2)4－2＝432＝ 3.(3)8－π8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝x －2－x ＋2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪演练1 化简下列各式．(1)5－5；(2)4－4；(3)4a－b4.解(1)5－5＝－2.(2)4－4＝|－10|＝10.(3)4a－b4＝|a－b|＝⎩⎪⎨⎪⎧a－b，a≥b，b－a，a＜b.要点二根式与分数指数幂的互化例2 将下列根式化成分数指数幂形式：(1)3a·4a；(2)a a a；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.解(1)3a·4a＝a13·a14＝a712；(2)原式＝a 12·a14·a18＝a78；(3)原式＝a 23·a32＝a136；(4)原式＝(a 13)2·a12·b32＝a76b32.规律方法在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a mn＝na m和amn-＝1amn＝1na m，其中字母a要使式子有意义．跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式：(1)3a·6－a(a＜0)；(2)3ab2ab3(a，b＞0)；(3)(4b23)23(b＜0)；(4)13x5x22(x≠0)．解(1)原式＝a 13·(－a)16＝－(－a)13·(－a)16＝－(－a)12(a＜0)；(2)原式＝3ab2·a32b32＝3a52b72＝(a 52·b 72)13＝a 56b 76(a ，b ＞0)； (3)原式＝b 23×14×23＝(－b )19(b ＜0)； (4)原式＝1x 13·x45×13＝1x35＝x53-.要点三 分数指数幂的运算 例3 (1)计算：0.06413-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]43-＋16－0.75＋|－0.01|12； (2)化简：3a92a －3÷3a －7·3a 13(a ＞0)．解 (1)原式＝(0.43)13-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)12＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[a 13×92·a13×(32-)]÷[a12×(73-)·a12×133]＝a96－36＋76－136＝a 0＝1.规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 跟踪演练3 计算或化简：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－33823-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·a－512-a12-13.解 (1)原式＝(－1)23-⎝ ⎛⎭⎪⎫33823-＋⎝ ⎛⎭⎪⎫150012-－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27823-＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝(a 32·a 32-)13·[(a －5)12-·(a12-)13]12＝(a 0)13·(a 52·a 132-)12＝(a －4)12＝a －2.1．下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝a B ．(47)4＝－7 C ．(5a )5＝|a |D.6a 6＝a答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.a －b2＋5a －b5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b答案 C解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 3．计算[(－2)2]12的结果是( ) A. 2 B ．－ 2 C.22D ．－22答案 A解析 [(－2)2]12＝[(2)2]12＝ 2.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1，212-，⎝ ⎛⎭⎪⎫1212-，2－1中，最大的数是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1B ．212-C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1212- D ．2－1答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝－2,212-＝12＝22，⎝ ⎛⎭⎪⎫1212-＝2，2－1＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1212-最大．5．212-＋－02＋12－1－－5·823＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.1.掌握两个公式：(1)(na )n ＝a ；(2)n 为奇数，na n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥0，－a ， a ＜0.2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．一、基础达标1．化简 3a a 的结果是( ) A ．a B.a C ．a 2D.3a 答案 B 解析3a a ＝(a ·a 12)13＝(a 32)13＝a 13＝a .2．若(1－2x )34-有意义，则x 的取值范围是( ) A ．RB ．{x |x ∈R 且x ≠12}C ．{x |x ＞12}D ．{x |x ＜12}答案 D解析 (1－2x )－34＝14－2x3，∴1－2x ＞0，得x ＜12.3．1614-等于( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 答案 A 解析 1614-＝(24)14-＝24×(14-)＝2－1＝12.4．计算0.25－0.5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12713-－416的值为( ) A ．7 B ．3 C ．7或3 D ．5 答案 B 解析 0.25－0.5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12713-－416 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412-＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13313-－424 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×（12-）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×（13-）－2 ＝2＋3－2＝3. 5．设a 12－a12-＝m ，则a 2＋1a等于( )A ．m 2－2 B ．2－m 2C ．m 2＋2 D ．m 2答案 C 解析 ∵a 12－a12-＝m ，∴⎝⎛⎭⎫a 12－a 12-2＝m 2，即a ＋a －1－2＝m 2，a ＋1a＝m 2＋2.∴a 2＋1a＝m 2＋2.故选C.6．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 17n －3＝________.答案 3×2n －3解析 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 17n －3＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫384317n －3＝3(12817)n －3＝3×2n －3. 7．求下列各式的值：(1)733－3324－6319＋4333；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2102723-－3π0＋3748.解 (1)原式＝7×313－3323×3－63⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋43×313＝7×313－6×313－6×323-＋313＝2×313－2×3×323-＝2×313－2×313＝0.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫642723-－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 二、能力提升8．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 ∵2a＝m,5b＝m ，∴2＝m 1a ，5＝m 1b ，∵2×5＝m 1a ·m 1b ＝m 1a＋1b∴m 2＝10，∴m ＝10.故选A. 9．化简23－610－43＋22得( )A ．3＋ 2B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．1＋2 3 答案 A解析 原式＝ 23－610－2＋＝ 23－622－42＋22＝23－－2＝9＋62＋2＝3＋ 2.10．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 答案 14215解析 利用一元二次方程根与系数的关系， 得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.11．计算下列各式的值：(1)(0.027)13－⎝ ⎛⎭⎪⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)(a 85·b65-)12-·5a 4÷5b 3(a ＞0，b ＞0)．解 (1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715. (2)原式＝a 85×(12-)·b(65-)×(12-)·a 45÷b 35＝a 45-·b 35·a 45÷b 35＝a45-＋45b35－35＝a 0b 0＝1.三、探究与创新12．(1)已知2x＋2－x＝a (常数)，求8x ＋8－x的值；(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求x 12－y 12x 12＋y12的值．解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2， ∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x＋4－x－1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a .(2)x 12－y12x 12＋y 12＝x 12－y 122x 12＋y12x 12－y12＝x ＋y －xy12x －y.①∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108. 又∵x ＜y ，∴x －y ＝－63.③将②③代入①，得x 12－y 12x 12＋y12＝12－2×912－63＝－33. 13．当x ＝2＋2，y ＝2－2时，化简(x 23－y 13-)·(x 43＋x 23y13-＋y23-)．解 原式＝(x 23)3－(y 13-)3＝x 2－y －1，因为x ＝2＋2，y ＝2－2，所以原式＝2＋2－12－2＝2＋22.。
