吉林省长白山一高学高一数学必修2第三章同步检测312

3-2-2同步检测基础巩固强化一、选择题1．若0＜t ＜1，则不等式x2－(t ＋1t )x ＋1＜0的解集是( )A ．{x|1t ＜x ＜t}B ．{x|x ＞1t 或x ＜t}C ．{x|x ＜1t 或x ＞t}D ．{x|t ＜x ＜1t}2．已知不等式x2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．－4≤a≤4B ．－4＜a ＜4C ．a≤－4或a≥4D ．a ＜－4或a ＞43．若f(x)＝－x2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m≠±2 D ．1＜m ＜34．若方程7x2－(k ＋13)x ＋k2－k －2＝0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，则实数k 的取值范围是( ) A ．－2＜k ＜－1 B ．3＜k ＜4 C ．－2＜k ＜4D ．－2＜k ＜－1或3＜k ＜4 5．(2011·河南汤阴县一中高二期中)设对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x2＋ax －3a<0总成立．则实数a 的取值范围是( ) A ．a>0 B ．a>12C ．a>14D ．a>0或a<－126．a ＞0，b ＞0.不等式－b ＜1x ＜a 的解集为( )A ．{x|x ＜－1b 或x ＞1a }B ．{x|－1a ＜x ＜1b }C ．{x|x ＜－1a 或x ＞1b }D ．{x|－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a }二、填空题7．不等式2x －53x －1＜1的解集是________．8．若不等式|3x －b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．9．若关于x 的不等式(a －x)(b －x)＞0的解集为{x|x ＜a 或x ＞b}，则实数a ，b 的大小关系是________． 三、解答题10．解下列关于x 的不等式． (1)x2－(a ＋1)x ＋a ＞0；(2)ax2－(a ＋1)x ＋1＞0(a≠0)； (3)x2－(a ＋1)x ＋1＞0. 能力拓展提升 一、选择题11．二次方程x2＋(a2＋1)x ＋a －2＝0，有一个根比1大，另一个根比－1小，则a 的取值范围是( )A ．－3<a<1B ．－2<a<0C ．－1<a<0D ．0<a<2 12．函数y ＝－x2－3x ＋4x的定义域为( )A ．[－4,1]B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1]13．已知集合A ＝{x|x2－2x －3>0}，B ＝{x|x2－5ax ＋4a2≤0}，A∩B ＝{x|3<x≤4}，则a 的值为( )A ．1B ．4C ．1或4D ．314．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x≤0，－x ＋2， x>0，则不等式f(x)≥x2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2] 二、填空题15．已知不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a≠0)的解集为{x|α＜x ＜β}，其中0＜α＜β，则不等式cx2＋bx ＋a ＜0的解集为________16．若关于x 的不等式x2－3kx －x ＋2k2＋k<0的解集中只有一个整数1，则k 的取值范围________． 三、解答题17．为促进某品牌彩电的销售，厂家设计了两套降价方案．方案①先降价x%，再降价x%，(x ＞0)；方案②一次性降价2x%，问哪套方案降价幅度大？ *18.解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0.详解答案 1[答案] D[解析] 化为(x －t)(x －1t )＜0，∵0＜t ＜1，∴1t ＞1＞t ，∴t ＜x ＜1t，2[答案] A[解析] 欲使不等式x2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则△＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4. 3[答案] A[解析] ∵f(x)＝－x2＋mx －1有正值， ∴△＝m2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.4[答案] D[解析] 结合f(x)＝7x2－(k ＋13)x ＋k2－k －2的图象知：⎩⎪⎨⎪⎧△＞0f 0＞0f 1＜0f 2＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 0＞0f 1＜0f 2＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k2－k －2＞0k2－2k －8＜0k2－3k ＞0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧k ＜－1或k ＞2－2＜k ＜4k ＜0或k ＞3⇔－2＜k ＜－1或3＜k ＜4.[点评] 注意结合数轴找不等式解集的交集． 5[答案] B[解析] 设f(x)＝x2＋ax －3a ，则由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ f 1<0f－1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4a<01－2a<0，∴a>12.6[答案] A[解析] ∵b ＞0∴－b ＜0，又a ＞0，∴不等式－b ＜1x ＜a 化为－b ＜1x ＜0或0＜1x ＜a.∴x ＜－1b 或x ＞1a . ∴选A.7[答案] {x ＜－4或x ＞13}[解析] 化为x ＋43x －1＞0，化为(x ＋4)(3x －1)＞0，∴x ＜－4或x ＞13.8[答案] (5,7)[解析] 不等式|3x －b|<4⇔－4<3x －b<4⇔b －43<x<b ＋43，若不等式的整数解只有1,2,3，则b应满足0≤b －43<1且3<b ＋43≤4，即4≤b<7且5<b≤8，∴5<b<7.9[答案] a ＜b10[解析] (1)变形为(x －a)(x －1)＞0，当a ＞1时，x ＞a 或x ＜1；当a ＝1时，x ∈R 且x≠1；当a ＜1时，x ＞1或x ＜a.(2)变形为(ax －1)(x －1)＞0，令1a＝1得a ＝1.∴当a ＝1时，x ∈R 且x≠1；当a ＞1时，0＜1a ＜1，∴x ＜1a 或x ＞1，当0＜a ＜1时，x ＜1或x ＞1a ；当a ＜0时，1a＜x ＜1.(3)△＝(a ＋1)2－4＝a2＋2a －3≥0，∴a≤－3或a≥1.∴当a ＝1时，x ∈R 且x≠1；当a ＝－3时，x ∈R 且x≠－1；当a ＜－3或a ＞1时，x ＜a ＋1－a2＋2a －32或x ＞a ＋1＋a2＋2a －32；当－3＜a ＜1时，x ∈R.[点评] 注意从以下三个方面讨论： ①二次项系数的正负； ②判别式△的符号；③两根的大小(特别是a ＜0时). 11[答案] C[解析] f(x)＝x2＋(a2＋1)x ＋a －2开口向上，由题设条件⎩⎪⎨⎪⎧f－1<0f 1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2＋a －2<0a2＋a<0，∴－1<a<0.12[答案] D[解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－x2－3x ＋4≥0x≠0，解得－4≤x≤1且x≠0，故定义域为[－4,0)∪(0,1]．13[答案] A[解析] A ＝{x|x<－1或x>3}，∵A∩B ＝{x|3<x≤4}，∴x ＝4是方程x2－5ax ＋4a2＝0的根，∴a2－5a ＋4＝0，∴a ＝1或4，当a ＝1时，B ＝{x|x2－5x ＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B ＝{x|3<x≤4}成立；当a ＝4时，B ＝{x|x2－20x ＋64≤0}＝{x|4≤x≤16}，∴A∩B ＝{x|4≤x≤16}与条件矛盾，∴a ＝1. 14[答案] A[解析] 不等式f(x)≥x2化为(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x≤0x ＋2≥x2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧x>0－x ＋2≥x2. 解不等式组(1)得－1≤x≤0； 解不等式组(2)得0<x≤1.因此原不等式的解集是[－1,1]，选A. 15[答案] {x|x>1α或x<1β}[解析] ∵不等式ax2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}，∴a ＜0且α，β是方程ax2＋bx ＋c＝0的两根，∴α＋β＝－b a ，αβ＝ca ，∴b ＝－a(α＋β)，c ＝aαβ，∴不等式cx2＋bx ＋a ＜0化为：aαβx2－a(α＋β)x ＋a ＜0，即：αβx2－(α＋β)x ＋1＞0， ∴(αx －1)(βx －1)＞0，∵0＜α＜β，∴1α＞1β＞0，∴x ＜1β或x ＞1α.∴不等式cx2＋bx ＋a ＜0的解集为{x|x ＞1α或x ＜1β}．16[答案] (0，12][解析] 不等式化为x2－(3k ＋1)x ＋k(2k ＋1)<0， 由(2k ＋1)－k>0得k>－1.∴当k>－1时， k<x<2k ＋1， 当k ＝－1时，不等式无解． 当k<－1时，2k ＋1<x<k.∵不等式的解集中含有整数1， ∴不等式的解为k<x<2k ＋1， ∵不等式的解集中的整数只有1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤k<11<2k ＋1≤2，∴0<k≤12，又k>－1，∴k 的取值范围是(0，12]．17[解析] 设原价为1个单位，t ＝x%，t ∈(0,1)， 实行方案①后的价格为(1－t)2， 实行方案②后的价格为(1－2t)，(1－t)2－(1－2t)＝t2＞0，即(1－t)2＞(1－2t)， 所以方案②降价幅度大．18[解析] (1)a ＝0时，原不等式化为x －2＜0，∴x ＜2.∴原不等式解集为{x|x ＜2}． (2)当a ＜0时，原不等式化为(x －2)·(x －2a )＜0.方程(x －2)(x －2a )＝0的两根为2，2a ，又2＞2a ，∴原不等式解集为{x|2a＜x ＜2}．(3)当a ＞0时，原不等式化为(x －2)·(x －2a )＞0.方程(x －2)(x －2a )＝0的两根为2，2a .当0＜a ＜1时2a ＞2，原不等式的解集为{x|x ＞2a或x ＜2}．当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解集为{x ∈R|x≠2}． 当a ＞1时，2＞2a ＞0，原不等式解集为{x|x ＞2或x ＜2a}．综上所述，不等式解集为：a ＝0时，{x ∈R|x ＜2}；a ＝1时，{x ∈R|x≠2}；a ＜0时，{x|2a＜x＜2}；0＜a ＜1时，{x|x ＞2a 或x ＜2}；a ＞1时，{x|x ＞2或x ＜2a}．。

第三章综合检测题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．若三点A (3,1)，B (－2, b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )A ．2B ．3C ．9D ．－9 3．过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是( )A ．y ＋2＝33(x ＋1) B ．y －2＝3(x －1) C.3x －3y ＋6－3＝0 D.3x －y ＋2－3＝04．直线3x －2y ＋5＝0与直线x ＋3y ＋10＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．异面 5．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( ) A ．(－2,1) B ．(2,1) C ．(1，－2) D ．(1,2)6．已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 7．点P (2,5)到直线y ＝－3x 的距离d 等于( )A ．0 B.23＋52 C.－23＋52 D.－23－52 8．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝12x ＋4C ．y ＝－2x －83D ．y ＝12x －839．两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－110．已知等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是3x －y ＋2＝0，直角顶点是C (3，－2)，则两条直角边AC ，BC 的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0，x ＋2y －7＝0B ．2x ＋y －4＝0，x －2y －7＝0C ．2x －y ＋4＝0,2x ＋y －7＝0D ．3x －2y －2＝0,2x －y ＋2＝0 11．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4 D ．以上都不对12．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知点A (－1,2)，B (－4,6)，则|AB |等于________． 14．平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：3x －3y ＋1＝0的距离等于________．15．若直线l 经过点P (2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为________或________．16．(2009·高考全国卷Ⅰ)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过点A (－2,3)，B (4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．18．(12分)(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y ＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？19．(本小题满分12分)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．20．(本小题满分12分)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程．21．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(4，－6)，B(－4,0)，C(－1,4)，求(1)AC边上的高BD所在直线方程；(2)BC边的垂直平分线EF所在直线方程；(3)AB边的中线的方程．22．(本小题满分12分)当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.(1)倾斜角为45°；(2)在x轴上的截距为1.第三章综合检测题详解答案1[答案] A[解析] 斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33，∴倾斜角为30°.[解析] 由条件知k BC ＝k AC ， ∴b －11－2－8＝11－18－3，∴b ＝－9. 2[答案] D 3[答案] C[解析] 由直线方程的点斜式得y －2＝tan30°(x －1)， 整理得3x －3y ＋6－3＝0. 4[答案] A[解析] ∵A 1B 2－A 2B 1＝3×3－1×(－2)＝11≠0， ∴这两条直线相交． 5[答案] A[解析] 直线变形为m (x ＋2)－(y －1)＝0，故无论m 取何值，点(－2,1)都在此直线上，∴选A. 6[答案] A[解析] ∵ab <0，bc <0，∴a ，b ，c 均不为零，在直线方程ax ＋by＋c ＝0中，令x ＝0得，y ＝－c b >0，令y ＝0得x ＝－ca ，∵ab <0，bc <0，∴ab 2c >0，∴ac >0，∴－c a <0，∴直线通过第一、二、三象限，故选A.7[答案] B[解析] 直线方程y ＝－3x 化为一般式3x ＋y ＝0， 则d ＝23＋52. 8[答案] C[解析] 直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2，则所求直线斜率k ＝－2，直线方程y ＝3x ＋4中，令y ＝0，则x ＝－43，即所求直线与x 轴交点坐标为(－43，0)．故所求直线方程为y ＝－2(x ＋43)，即y ＝－2x －83.9[答案] D[解析] ∵两直线互相垂直，∴a ·(a ＋2)＝－1， ∴a 2＋2a ＋1＝0，∴a ＝－1. 10[答案] B[解析] ∵两条直角边互相垂直，∴其斜率k 1，k 2应满足k 1k 2＝－1，排除A 、C 、D ，故选B. 11[答案] A[解析] k P A ＝－4，k PB ＝34，画图观察可知k ≥34或k ≤－4.12[答案] B[解析] 由平面几何知，与A 距离为1的点的轨迹是以A 为圆心，以1为半径的⊙A ，与B 距离为2的点的轨迹是半径为2的⊙B ，显然⊙A 和⊙B 相交，符合条件的直线为它们的公切线有2条． 13[答案] 5[解析] |AB |＝(－1＋4)2＋(2－6)2＝5.14[答案] 23[解析] 直线l 2的方程可化为x －y ＋13＝0，则d ＝|1－13|12＋(－1)2＝23.15[答案] x ＋y －5＝0 x －y ＋1＝0 [解析]设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，2a ＋3b ＝1，解得a ＝5，b ＝5或a ＝－1，b ＝1，即直线l 的方程为x 5＋y 5＝1或x －1＋y1＝1，即x ＋y －5＝0或x －y ＋1＝0.16[答案] ①⑤[解析] 两平行线间的距离为 d ＝|3－1|1＋1＝2，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.[点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变．17[解析] 过AB 两点的直线方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4. 点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)斜截式为：y ＝－23x ＋53截距式为：x 52＋y53＝1.18[解析] (1)直线l 1的斜率k 1＝－1，直线l 2的斜率k 2＝a 2－2，因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1且2a ≠2，解得：a ＝－1.所以当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)直线l 1的斜率k 1＝2a －1，l 2的斜率k 2＝4，因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.所以当a ＝38时，直线l 1：y＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．19[解析] (1)设C (x ，y )，由AC 的中点M 在y 轴上得，x ＋52＝0，解得x ＝－5.由BC 中点N 在x 轴上，得3＋y2＝0， ∴y ＝－3，∴C (－5，－3)(2)由A 、C 两点坐标得M (0，－52)．由B 、C 两点坐标得N (1,0)．∴直线MN 的方程为x ＋y－52＝1.即5x －2y －5＝0.20[解析] 设点A 的坐标为(x 1，y 1)，因为点P 是AB 中点，则点B 坐标为(6－x 1，－y 1)，因为点A 、B 分别在直线l 1和l 2上，有⎩⎨⎧2x 1－y 1－2＝06－x 1－y 1＋3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113y 1＝163由两点式求得直线方程为8x －y －24＝0.21[解析] (1)直线AC 的斜率k AC ＝－6－44－(－1)＝－2即：7x ＋y ＋3＝0(－1≤x ≤0)．∴直线BD 的斜率k BD ＝12，∴直线BD 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x －2y ＋4＝0(2)直线BC 的斜率k BC ＝4－0－1－(－4)＝43∴EF 的斜率k EF ＝－34线段BC 的中点坐标为(－52，2)∴EF 的方程为y －2＝－34(x ＋52)即6x ＋8y －1＝0.(3)AB 的中点M (0，－3)， ∴直线CM 的方程为：y ＋34＋3＝x－1，22[解析] (1)倾斜角为45°，则斜率为1.∴－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，解得m ＝－1，m ＝1(舍去) 直线方程为2x －2y －5＝0符合题意，∴m ＝－1(2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2当m ＝－12，m ＝2时都符合题意，∴m ＝－12或2.。

1.2.3第2课时一、选择题1．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α，m ⊥γ，那么必有( ) A ．α⊥γ和l ⊥m B ．α∥γ和m ∥β C ．m ∥β且l ⊥mD ．α∥β和α⊥γ[答案] A [解析]⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αm ⊥γ⇒α⊥γ，排除B 、C ；⎭⎬⎫m ⊥γβ∩γ＝l ⇒m ⊥l ，∴选A.2．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题： ①α∥β，l ⊄β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β④l ⊥m ⇒α∥β其中正确的两个命题是( ) A ．①② B ．③④ C ．②④D ．①③[答案] D[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β m ⊂β⇒l ⊥m ，故①对；⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥α⇒l ∥β或l ⊂β，又m 是β内的一条直线，故l ∥m 不对；⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ⊂β⇒l ∥β或l ⊂β l ⊥α⇒α⊥β，∴③对；⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊥m ⇒m ⊂α或m ∥α，无论哪种情况与m ⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D. 3．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a ⊂α，b ⊂α B ．a ⊂α，b ∥α C ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊂α，b ⊥α[答案] B[解析]若a与b异面时，A、C错；当a与b不垂直时，D错，故选B.4．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α[答案] D[解析]如图(1)，β∥α，m⊂β，n⊂β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m∥l，故C错．故选D.点评：D选项证明如下：α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，∵n⊂α，m⊄α，∴m∥α.5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β[答案] D[解析]本小题主要考查线面垂直、面面垂直、线线平行和线面平行．点C若在α内，则有AC⊥β，若不在α内，则AC不垂直于β，这是面面垂直的性质，故选D.6．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是()A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥a[答案] B[解析]可以墙角为例知A错；B中，由β⊥γ，由β内有直线b⊥γ，而α∥β，则α内有a∥b，则a⊥γ，α⊥γ.二、填空题7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB 的位置关系为____________________．[答案]MN⊥AB[解析]如图所示，由长方体的性质知，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC.∵MN 在平面BCC1B1内，且MN⊥BC，∴MN⊥平面ABCD，而AB⊂平面ABCD，∴MN⊥AB.8．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________________________．[答案]②③④⇒①(答案不惟一)9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)[答案]BM⊥PC(其它合理即可)[解析]∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时，PC⊥面BDM.∴面PCD⊥面BDM.10．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形的序号)．[答案]①④⑤[解析]①④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此，三棱锥A－PMN 是正三棱锥，所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法还可否定③.∵AM≠AP≠AN，也易否定②.三、解答题11．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.[解析]如图所示，连结A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连结AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABCD ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AN ⊂平面ABC ， ∴AN ⊥平面BB 1C 1C .又B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴B 1C ⊥AN .又AN ⊂平面AND ，DN ⊂平面AND ，AN ∩DN ＝N ， ∴B 1C ⊥平面AND .又C 1A ⊂平面AND ，∴B 1C ⊥AC 1.12．如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ； (3)求证：平面DEA ⊥平面ECA . [解析] (1)取EC 的中点F ，连结DF . ∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF . ∵BD ∥CE ，∴BD ∥平面ABC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中， EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连结MN 、BN ，则MN 綊CF . ∵BD 綊CF ，∴MN 綊BD ，∴N ∈平面BDM . ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA . 又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA . (3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM⊥平面ECA.又∵DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.13．(2009·山东文)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点．(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.[解析](1)解法一：取A1B1的中点F1，连结FF1、C1F1，∵FF1∥BB1∥CC1，∴F1∈平面FCC1，∴平面FCC1即为平面C1CFF1，连结A1D、F1C，∴A1F1綊D1C1綊CD，∴四边形A1DCF1为平行四边形，∴A1D∥F1C.又∵EE1∥A1D，∴EE1∥F1C，∵EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，∴EE1∥平面FCC1.解法二：∵F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，∴CD綊AF，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，∴平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥平面FCC1.(2)证明：连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，∴AF＝FC＝FB，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC；故平面D1AC⊥平面BB1C1C.14．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.[解析]∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC.∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.又EF⊂平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.。

第三章综合素质能力检测及讲评备选练习一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．）1．a、b∈R,下列命题正确的是( )A．若a＞b，则a2＞b2B．若|a｜＞b，则a2＞b2C．若a＞|b｜，则a2＞b2D．若a≠｜b｜，则a2≠b22．设M＝2a（a－2)＋7，N＝(a－2）(a－3），则有( ）A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤N3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是( )A．｛x｜x≥5或x≤－1｝B．{x｜x＞5或x＜－1}C．{x|－1＜x＜5}D．{x|－1≤x≤5}4．若a＞b＞0，全集U＝R,A＝{x｜ab＜x＜a｝，B＝｛x｜b＜x＜错误!}，则(∁U A）∩B为（）A ．{x ｜b ＜x ≤错误!｝B ．{x ｜错误!＜x ＜错误!}C ．{x ｜b ＜x ＜错误!｝D ．｛x |x ＜错误!或x ≥a ｝5．不等式x ＋(a －1）y ＋3＞0表示直线x ＋(a －1）y ＋3＝0( ）A ．上方的平面区域B ．下方的平面区域C ．当a ＞1时表示上方的平面区域，当a ＜1时表示下方的平面区域D ．当a ＜1时表示上方的平面区域,当a ＞1时表示下方的平面区域6．已知方程x 2＋2x ＋2a ＝0和x 2＋2(2－a ）x ＋4＝0有且只有一个方程有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ )A ．a ＜12或a ＞4B ．0≤a ＜错误!或a ＞4C ．0＜a ≤错误!或a ≥4D 。

错误!＜a ≤47．已知a ＞0，b ＞0，m ＝错误!＋错误!，n ＝错误!＋错误!，p ＝错误!,则m 、n 、p 的大小顺序是（ ）A ．m ≥n ＞pB ．m ＞n ≥pC ．n ＞m ＞pD ．n ≥m ＞p8．(2011·福州模拟）设f (x ）＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈（－1,1),使f(x0）＝0，则实数a的取值范围是( ）A．－1＜a〈错误!B．a＜－1C．a＜－1或a＞错误!D．a＞错误!9．不等式（x＋5）(3－2x)≥6的解集是( ）A。

5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

吉林省白山市长白山一高2012-2013学年上学期高一数学必修2第三章综合检测题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．若三点A (3,1)，B (－2, b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b等于( )A ．2B ．3C ．9D ．－93．过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是( )A ．y ＋2＝33(x ＋1)B ．y －2＝3(x －1) C.3x －3y ＋6－3＝0 D.3x －y ＋2－3＝04．直线3x －2y ＋5＝0与直线x ＋3y ＋10＝0的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．重合D ．异面5．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( )A ．(－2,1)B ．(2,1)C ．(1，－2)D ．(1,2)6．已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限7．点P (2,5)到直线y ＝－3x 的距离d 等于( )A ．0 B.23＋52C.－23＋52D.－23－528．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝12x ＋45.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

3-3-3、4同步检测一、选择题1．点(0,5)到直线y ＝2x 的距离是( ) A.52 B. 5 C.32D.522．直线x 4－y 6＝1与y ＝32x ＋1之间的距离为( ) A.41313 B.141313 C.132D ．243．已知点A (3,4)，B (6，m )到直线3x ＋4y －7＝0的距离相等，则实数m 等于( )A.74 B ．－294 C ．1D.74或－2944．点P 为x 轴上一点，点P 到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为( )A ．(8,0)B ．(－12,0)C ．(8,0)或(－12,0)D ．(0,0)5．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝06．已知直线l 过点(3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝07．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313 C.51326D.713268．与一对平行线5x －2y －6＝0,10x －4y ＋3＝0等距离的点的轨迹方程是( )A ．20x －8y －9＝0B ．10x －4y －5＝0C ．5x －2y －3＝0D ．15x －6y －11＝09．P ，Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185 C ．3 D ．610．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．22 C.2 D ．16 二、填空题11．已知点A (0,4)，B (2,5)，C (－2,1)，则BC 边上的高等于________．12．两平行线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________.13．直线l1：2x＋4y＋1＝0与直线l2：2x＋4y＋3＝0平行，点P 是平面直角坐标系内任一点，P到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最小值是________．14．两条平行线分别经过点(1,0)和(0,5)，且两条直线的距离为5，它们的方程是____________．三、解答题15．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其它三边的方程．16．在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．17．求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．[分析]解答本题可先设出过点P的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程．另外，本题也可利用平面几何知识，先判断直线l与直线AB的位置关系，再求l方程．事实上，l∥AB或l过AB中点时，都满足题目的要求．详解答案1[答案] B[解析]由y＝2x得：2x－y＝0，∴由点到直线的距离公式得：d＝55＝5，故选B.2[答案] B[解析]两直线方程可化为：3x－2y－12＝0，3x －2y ＋2＝0，则距离d ＝|－12－2|32＋(－2)2＝141313.3[答案] D[解析] 由题意得|9＋16－7|5＝|18＋4m －7|5， 解得m ＝74或m ＝－294. 4[答案] C[解析] 设P (a,0)，则|3a ＋6|32＋42＝6，解得a ＝8或a ＝－12，∴点P 的坐标为(8,0)或(－12,0)． 5[答案] A[解析] 由已知得，所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线，∴所求直线的斜率k ＝－12， ∴y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 6[答案] D[解析] 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由已知有|－2k －2＋4－3k |k 2＋1＝|4k ＋2＋4－3k |k 2＋1，所以k ＝2或k ＝－23，所以直线方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 7[答案] D[解析] ∵两直线平行，∴63＝m2，∴m ＝4，∴两平行直线6x ＋4y －6＝0和6x ＋4y ＋1＝0的距离 d ＝|1＋6|62＋42＝71326.8[答案] A[解析] 5x －2y －6＝0即10x －4y －12＝0 －12＋32＝－92 ∴所求直线方程为20x －8y －9＝0.故选A. 9[答案] C[解析] |PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ |的最小值为3.10[答案] A[解析] x 2＋y 2表示直线上的点P (x ，y )到原点距离的平方， ∵原点到直线x ＋y －4＝0的距离为|－4|2＝22，∴x 2＋y 2最小值为8.故选A. 11[答案] 22[解析] 直线BC ：x －y ＋3＝0，则点A 到直线BC 的距离d ＝|0－4＋3|2＝22，即BC 边上的高等于22. 12[答案] 10[解析] ∵两直线平行，∴a 4＝63，∴a ＝8，∴两直线3x ＋4y ＋5＝0与3x ＋4y ＋15＝0的距离为d ，∴d ＝|5－15|32＋42＝2，∴a ＋d ＝10.13[答案] 55[解析] l 1与l 2的距离d ＝|3－1|4＋16＝55，则d 1＋d 2≥d ＝55， 即d 1＋d 2的最小值是55.14[答案] y ＝5和y ＝0或者5x －12y ＋60＝0和5x －12y －5＝0. [解析] 设l 1：y ＝kx ＋5，l 2：x ＝my ＋1，在l 1上取点A (0,5)． 由题意A 到l 2距离为5， ∴|0－5m －1|1＋m 2＝5，解得m ＝125， ∴l 2：5x －12y －5＝0.在l 2上取点B (1,0)．则B 到l 1的距离为5， ∴|k －0＋5|1＋k 2＝5，∴k ＝0或k ＝512，∴l 1：y ＝5或5x －12y ＋60＝0，结合l 2斜率不存在的情况知两直线方程分别为： l 1：y ＝5，l 2：y ＝0；或l 1：5x －12y ＋60＝0，l 2：5x －12y －5＝0.15[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，即该正方形的中心为(－1,0)．所求正方形相邻两边方程3x －y ＋p ＝0和x ＋3y ＋q ＝0. ∵中心(－1,0)到四边距离相等， ∴|－3＋p |10＝610，|－1＋q |10＝610，解得p 1＝－3，p 2＝9和q 1＝－5，q 2＝7，∴所求方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0. 16[解析] 由题知|AB |＝(3＋1)2＋(2－5)2＝5， ∵S △ABC ＝12|AB |·h ＝10，∴h ＝4.设点C 的坐标为(x 0，y 0)，而AB 的方程为y －2＝－34(x －3)，即3x ＋4y －17＝0.∴⎩⎨⎧3x 0－y 0＋3＝0，|3x 0＋4y 0－17|5＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝0或⎩⎨⎧x 0＝53，y 0＝8.∴点C 的坐标为(－1,0)或(53，8)．17[解析] 方法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，即直线方程为y －2＝k (x －1)，由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.方法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过AB 中点． ∵k AB ＝4，若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0.若l过AB中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，∴所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.[点评]针对这个类型的题目常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量．有时也可利用平面几何知识先判断直线l的特征，然后由已知直接求出直线l的方程．。

2023—2024学年度（下）白山市高一教学质量监测数学（答案在最后）本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积为（）A.6πB.2πC.D.2.袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是（）A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件3.设,m n 是两条不同的直线，,,αβλ是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（）①若,m n αα⊂∥，则,m n 为异面直线②若,αγβγ∥∥，则αβ∥③若,m m βγαβ⊥⊥⊥，，则αγ⊥④若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ⊥A.①②B.②③C.③④D.②④4.i 是虚数单位，复数12334i,42i,2i z z z =-=-=+，（3z 是3z 的共轭复数），则123z z -=（）．A.i- B.iC.35i D.43i 55+5.如图，在梯形ABCD 中，M 在线段BD 上，MD k BD = .若1344AM AD AB =+，则k =（）A.14B.34-C.14-D.346.一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为2,1,3,,4,5x ，则这6个点数的中位数为3.5的概率为（）A.16 B.13C.12D.237.如图，已知()()()1,0,1,0,0,2,,A B C D E -两点分别满足BD BC λ= ，AE AB μ= ，其中30,2λμ>>-，且4CE BD ⋅=-，则2λμ+的最小值为（）A.2- B.1 C.2D.8.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列四个说法中正确个数是（）①若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形；②若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形；③若cos cos b C c B b +=，则ABC 一定是等腰三角形；④若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形．A.1个B.2个C.3个D.4个二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（）A.平均数为9.6B.众数为10C.第80百分位数为9.8D.方差为3735010.已知向量()()()1,2,1,1,0,a x b x c x =-=+=-，且()()4a b a b +⊥- ，则（）A.1c =B.()//a b c- C.向量a b - 与b的夹角为3π4D.向量a在向量b上的投影向量的坐标为()1,1-11.在三棱锥-P ABC 中，记PC t =，其他棱长均为2，三棱锥的所有顶点都在球1O 的球面上，球2O 与三棱锥的所有面都相切.若点P 在底面内的射影位于ABC 内部及其边界，则下列说法正确的是（）A.当三棱锥-P ABC 的体积为12时，t =B.当2t =时，球1O 与球2O 的体积之比为8:1C.当三棱锥-P ABC 的体积最大时，球2O -D.当t =时，球1O 的表面积为28π5三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别为,A B ，则12z z ⋅=__________.13.国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个号码为______随机数表如下：01543287659542875346795325865741336983244597738652443578624114.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，24PA AB ==，一平面经过点A 且垂直于直线PC ，则该平面截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知()2,3,8a b a b b ==+⋅=．（1）求a b +；（2）求向量a 与a b +的夹角的余弦值．16.为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息，解决下列问题.（1）求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；（2）①估计这40名学生周末学习时间的25%分位数；②将该班学生周末学习时间从低到高排列，估计第10名学生的学习时长.17.如图，已知△ABC 与△ADC 关于直线AC 对称，把△ADC 绕点A 逆时针旋转3π，得到△AFE ，若B ，C ，E ，F 四点共线，且5AC =，7AB =.（1）求BC ；（2）求△ADE 的面积.18.Matlab 是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab 专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为()q p q >，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512．（1）求p 和q 的值；（2）试求两人共答对3道题的概率．19.如图，在棱长为1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点.（1）求证：平面1AB C ⊥平面11BDD B ；（2）求平面1AB C 与平面ACE 夹角的余弦值.2023—2024学年度（下）白山市高一教学质量监测数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积为（）A.6πB.2πC.D.【答案】D 【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径为r ，由弧长公式求出r ，即可求出圆锥的高h ，再由锥体的体积公式计算可得.【详解】设圆锥的底面圆半径为r ，由题意得2π4πr =，解得2r =，又侧面展开图是半径为4的半圆，即圆锥的母线长为4，所以圆锥的高h ==所以该圆锥的体积为221183πππ2333V r h ==⨯⨯=.故选：D2.袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是（）A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的定义判断即得.【详解】依题意，有放回地摸球，事件A 与B 可以同时发生，因此事件A 与B 不互斥，更不对立，AC 错误；显然3()()5P A P B ==，3333()()()5555P AB P A P B ⨯==⨯=⨯，因此A 与B 是相互独立事件，B 正确，D 错误.故选：B3.设,m n 是两条不同的直线，,,αβλ是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（）①若,m n αα⊂∥，则,m n 为异面直线②若,αγβγ∥∥，则αβ∥③若,m m βγαβ⊥⊥⊥，，则αγ⊥④若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ⊥A .①②B.②③C.③④D.②④【答案】B 【解析】【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可.【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得βγ∥，再根据αβ⊥，可得αγ⊥，故③正确；对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误.故选：B4.i 是虚数单位，复数12334i,42i,2i z z z =-=-=+，（3z 是3z 的共轭复数），则123z z z -=（）．A.i -B.iC.35i D.43i 55+【答案】B 【解析】【分析】由题意得，15z =，32i z =-，再结合复数的四则运算求解即可.【详解】因为复数12334i,42i,2i z z z =-=-=+，所以15z ==，32i z =-，所以()()()()()123542i 12i 2i 12i 5ii 2i2i 2i 2i 5z z z --++-+=====---+，故选：B.5.如图，在梯形ABCD 中，M 在线段BD 上，MD k BD = .若1344AM AD AB =+ ，则k =（）A.14B.34-C.14-D.34【答案】D 【解析】【分析】设()01DM DB λλ= ≤≤，根据向量线性运算可得()1AM AD AB λλ=-+uuu r uuu r uu u r，结合平面向量基本定理可得34λ=，即可得结果.【详解】由题意可设()01DM DB λλ=≤≤，则()()1AM AD DM AD DB AD AB AD AD AB λλλλ=+=+=+-=-+ ，又因为1344AM AD AB =+ ，且AD ，AB 不共线，可得11434λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得34λ=，即34DM DB = ，所以34MD BD = ，即34k =.故选：D.6.一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为2,1,3,,4,5x ，则这6个点数的中位数为3.5的概率为（）A.16 B.13C.12D.23【答案】C 【解析】【分析】根据中位数分析可知4,5,6x =，结合古典概型分析求解.【详解】显然x 的可能取值有1,2,3,4,5,6，共有6种可能，除去x 将数据按升序排列可得1,2,3,4,5，可知这6个点数的中间两数必有3，若这6个点数的中位数为3.5，则中间两数应为3，4，可得4,5,6x =，共有3种可能，所以这6个点数的中位数为3.5的概率为3162P ==.故选：C.7.如图，已知()()()1,0,1,0,0,2,,A B C D E -两点分别满足BD BC λ= ，AE AB μ= ，其中30,2λμ>>-，且4CE BD ⋅=-，则2λμ+的最小值为（）A.2-B.1C.2D.【答案】B 【解析】【分析】首先求出BD ，CE，由4CE BD ⋅=- 得到()234λμ+=，再由基本不等式计算可得.【详解】因为()2,0AB = ，()1,2BC =-，()1,2CA =-- ，所以(),2BD BC λλλ==- ，()21,2CE CA AE CA AB μμ=+=+=--，所以()2144CE BD λμλ⋅=---=-，即()234λμ+=，又0λ>，32μ>-，所以223331λμλμ+=++-=≥，当且仅当2λ=，12μ=-时取等号，即2λμ+的最小值为1.故选：B8.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列四个说法中正确个数是（）①若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形；②若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形；③若cos cos b C c B b +=，则ABC 一定是等腰三角形；④若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形．A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理化边为角即可判断①；利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可判断②；利用正弦定理与两角和的正弦公式化简已知等式即可判断③；利用余弦定理即可判断④．【详解】对于①，由cos cos cos a b cA B C==，由正弦定理可得sin sin sin cos cos cos A B C A B C ==，即tan tan tan A B C ==，所以A B C ==，是以ABC 是等边三角形，故①正确；对于②，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，可得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=所以ABC 是等腰或直角三角形，故②不正确；对于③，因为cos cos b C c B b +=，由正弦定理可得sin cos sin cos sin B C C B B +=，即()sin sin sin B C A B +==，由正弦定理可得a b =，所以ABC 为等腰三角形，故③正确；对于④，由正弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=>，所以角C 为锐角，而角,A B 不一定是锐角，④不正确．故选：B ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（）A.平均数为9.6B.众数为10C.第80百分位数为9.8D.方差为37350【答案】ABD【解析】【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解.【详解】对于A ，平均数()19.19.39.49.69.810109.67=++++++=，故A 正确；对于B ，出现次数最多的数为10，故B 正确；对于C ，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C 错误；对于D ，方差为()()()()()()2222221379.19.69.39.69.49.69.69.69.89.62109.67350⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.10.已知向量()()()1,2,1,1,0,a x b x c x =-=+=-，且()()4a b a b +⊥- ，则（）A.1c =B.()//a b c- C.向量a b - 与b 的夹角为3π4D.向量a在向量b 上的投影向量的坐标为()1,1-【答案】BC 【解析】【分析】依题意可得()()04a b a b +=⋅- ，根据数量积的运算律及坐标表示求出x ，即可求出a ，b ，c，即可判断A 、B ；由夹角公式判断C ，由投影向量的定义判断D.【详解】因为()()()1,2,1,1,0,a x b x c x =-=+=-，所以()1121a b x x x ⋅=-++=-，因为()()4a b a b +⊥- ，所以()()223404a a b a b a b b +⋅-+⋅-== ，所以()()2241314220x x x x ++--++=，解得2x =-，所以()1,4a =-- ，()1,1b =- ，()0,2c =，所以2c = ，故A 错误；因为()()()51,41,10,52a b c -=----=-=-，所以()//a b c - ，故B 正确；因为()0,5a b -=- ，所以()5a b b -⋅=- ，5a b -= ，b ==设a b - 与b的夹角为θ，则()cos 2a b b a bbθ-⋅===--，又[]0,πθ∈，所以3π4θ=，故C 正确；因为()()11413a b ⋅=-⨯-+-⨯=- ，b == ，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()()231,133,222a b b b⋅--⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：BC11.在三棱锥-P ABC 中，记PC t =，其他棱长均为2，三棱锥的所有顶点都在球1O 的球面上，球2O 与三棱锥的所有面都相切.若点P 在底面内的射影位于ABC 内部及其边界，则下列说法正确的是（）A.当三棱锥-P ABC 的体积为12时，t =B.当2t =时，球1O 与球2O 的体积之比为8:1C.当三棱锥-P ABC 的体积最大时，球2O-D.当t =时，球1O 的表面积为28π5【答案】CD 【解析】【分析】设球1O 、球2O 的半径分别为R ，r ，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，即可证明AB ⊥平面PCD ，则13P ABC A PCD B PCD PCD V V V S AB ---=+=⋅△，即可求出PDC ∠，再由余弦定理求出PC ，即可判断A ；根据正四面体的内切球与外接球的关系判断B ；当平面PAB ⊥平面ABC ，则PD ⊥底面ABC 时三棱锥-P ABC 的体积最大，利用等体积法求出内切球的半径，即可判断C ；取PC 的中点F ，连接DF ，确定外接球的半径，即可判断D.【详解】设球1O 、球2O 的半径分别为R ，r ，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，因为PAB 与ABC 均为边长为2的等边三角形，所以PD AB ⊥，CDAB ⊥，PD CD ==又PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以AB ⊥平面PCD ，所以三棱锥-P ABC 的体积13P ABC A PCD B PCD PCD V V V S AB ---=+=⋅△21113sin 2322PDC =⨯⨯∠⨯=，所以1sin 2PDC ∠=，又PDC ∠为锐角，所以π6PDC ∠=，所以()()223332336332t =+-⨯⨯⨯=-，故A 错误；当2t =时，三棱锥-P ABC 为正三棱锥，此时球1O 与球2O 的球心重合，且在三棱锥-P ABC 的高上.在线段CD 上取点E ，使得3DC DE =，连接PE ，则E 是ABC 的中心，所以PE ⊥底面ABC ，此时球1O 与2O 的球心在线段PE 上，且2O 在PDC ∠的平分线上，可得223PO R PD DC r O E DE DE====，所以球1O 与球2O 的体积之比为27:1，故B 错误；当三棱锥-P ABC 的体积最大时，平面PAB ⊥平面ABC ，则PD ⊥底面ABC ，DC ⊂底面ABC ，所以PD DC ⊥，又3PD DC ==，所以()()22336PC =+=，所以三棱锥-P ABC 的体积为2113231334ABC S PD ⋅=⨯⨯=△，由题可知，PAC △与PBC 的面积均为22161562222⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，由等积法可得212221324r ⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，解得r =-，故C 正确；取PC 的中点F ，连接DF ，则DF PC ⊥，连接1O B ，1O C ，因为11O A O B =，所以1O 在平面PCD 上，又11O P O C =，且π0,2PDC ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，所以1O 在线段DF 上，且2DF ==，在1Rt O BD 中，由勾股定理得2211O D R +=①，同理在1Rt O CF △中，由勾股定理得22112O F R +=②，②-①得()()111112O F O D O F O D +-=，所以111010O F O D -=，与112O F O D +=联立得110O F =，所以2211725R O F =+=，所以球1O 的表面积27284π4ππ55S R ==⨯=，故D 正确.故选：CD【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别为,A B ，则12z z ⋅=__________.【答案】13i --##3i 1--【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求出结果.【详解】由题意可知，122i,1i z z =--=+，则()()2122i 1i 2i 2i i 213i 13i z z ⋅=--+=----=-+-=--，故答案为：13i --.13.国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个号码为______随机数表如下：015432876595428753467953258657413369832445977386524435786241【答案】44【解析】【分析】根据随机数表的读取方法列出前几个数，即可得解【详解】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，如下：32，58，65，74，13，36，98，32，44；其中58，65，74，98不在编号范围内，舍去，再去除重复的，剩下的号码为32，13，36，44，所以选取的第四个号码为44.故答案为：4414.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，24PA AB ==，一平面经过点A 且垂直于直线PC ，则该平面截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为__________.【答案】16615【解析】【分析】设A 在PB ，PC 上的射影分别为E ，F ，连接EF ，即可证明PC ⊥平面AEF ，再求出AEF S ，设平面AEF 与棱PD 的交点为G ，由对称性可知G 为点A 在PD 上的射影，即可求出截面面积.【详解】如图，设A 在PB ，PC 上的射影分别为E ，F ，连接EF ，因为PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂底面PAB ，所以平面PAB ⊥底面ABCD .又平面PAB ⋂底面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊂底面ABCD ，所以BC ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又AE PB ⊥，PB BC B ⋂=，,PB BC ⊂平面PBC ，所以⊥AE 平面PBC ，又因为EF ，PC ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，AE PC ⊥，又PC AF ⊥，AE AF A ⋂=，,AE AF ⊂平面AEF ，所以PC ⊥平面AEF ，在PAB 中，PB ==，所以455PA AB AE PB ⋅===，连接AC ，在Rt PAC △中，AC ==，PC ==，所以433PA AC AF PC ⋅==，所以15EF ==，所以AEF △的面积1145430862251515S AE EF =⋅=⨯⨯=，设平面AEF 与棱PD 的交点为G ，由对称性可知G 为点A 在PD 上的射影，AGF 与AEF △全等，所以该平面截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为215S =.故答案为：15【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是作出平面AEF ，从而求出AEF S ，最后根据对称性求出截面面积.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知()2,3,8a b a b b ==+⋅=．（1）求a b +；（2）求向量a 与a b +的夹角的余弦值．【答案】（111（2）31122【解析】【分析】（1）先求得a b ⋅，然后通过平方的方法求得a b + ．（2）根据题意，结合向量的夹角公式，即可求解．【小问1详解】解：由()2,3,8a b a b b ==+⋅=，可得()298a b b a b b a b +⋅=⋅+=⋅+= ，所以1a b ⋅=-，所以()222422911a b a ba ab b +++⋅+===-+ ．【小问2详解】解：由()2413a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，设向量a 与a b + 的夹角为θ，则()3113c s 212o 12a a b a a bθ⋅+===⨯⨯+ ．16.为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息，解决下列问题.（1）求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；（2）①估计这40名学生周末学习时间的25%分位数；②将该班学生周末学习时间从低到高排列，估计第10名学生的学习时长.【答案】（1）9（2）①8.75；②8.75小时【解析】【分析】（1）借助频率分布直方图计算其频数即可得；（2）①借助百分位数定义计算即可得；②易得第10名是40名学生的25%，即可得第10名学生的学习时长即为25%分位数.【小问1详解】由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为()0.030.01550.225+⨯=，则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为400.2259⨯=；【小问2详解】①学习时间在5小时以下的频率为0.0250.10.25⨯=<，学习时间在10小时以下的频率为0.10.0450.30.25+⨯=>，所以25%分位数在区间[)5,10内，则0.250.1558.750.2-+⨯=，所以这40名学生周末学习时间的25%分位数为8.75.②第10名是40名学生的25%，因而问题相当于求25%分位数，也就是估计第10名学生的学习时长，为8.75小时.17.如图，已知△ABC 与△ADC 关于直线AC 对称，把△ADC 绕点A 逆时针旋转3π，得到△AFE ，若B ，C ，E ，F 四点共线，且5AC =，7AB =.（1）求BC ；（2）求△ADE 的面积.【答案】（1）3（2）314【解析】【分析】（1）由图可知3CAE π∠=，结合旋转性质可得5AC AE ==→△ACE 为正三角形→23ACB π∠=，接下来可采用两种解法：解法一：设BC x =，对ABC 采用余弦定理即可求解；解法二：对ABC 由正弦定理先求出sin B ，结合第三角公式得sin BAC ∠，再由正弦公式求出BC ；（2）解法一：由（1）对ABC 采用余弦定理求得cos BAC ∠，进而求出sin BAC ∠，再结合两角差正弦公式求出sin EAD ∠，对△ADE 结合正弦面积公式即可求解；解法二：由（1）结合同角三角函数求出cos BAC ∠，由两角差的正弦公式求出sin EAD ∠，对△ADE 结合正弦面积公式即可求解；【小问1详解】解法一：（1）由题意可得3CAE π∠=，5AC AE ==，所以△ACE 为正三角形，（旋转前后图形的大小､形状相同及旋转角度得到△ACE 为正三角形），则23ACB π∠=，在△ABC 中，5AC =，7AB =，设BC x =，则由余弦定理可得22222cos 3AB AC BC AC BC π=+-⨯⨯，即22227525cos 3x x π=+-⨯⨯，整理得25240x x +-=，得3x =（负值舍去），所以3BC =；解法二：（1）由题意可得3CAE π∠=，5AC AE ==，所以△ACE 为正三角形，（旋转前后图形的大小､形状相同及旋转角度得到△ACE 为正三角形），则23ACB π∠=，在△ABC 中，5AC =，7AB =，由正弦定理得：752sin 3sin B =π，所以sin 14B =，易得11cos 14B ==，所以23133sin sin cos sin 32214BAC B B B π⎛⎫∠=+=-=⎪⎝⎭，在△ABC 中，由正弦定理得sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，即142=，得3BC =；【小问2详解】解法一：（2）在△ABC 中，由余弦定理可得：22222275313cos 227514AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，所以sin 14BAC ∠=，所以1sin sin sin cos sin 3322EAD CAD BAC BAC BACππ⎛⎫⎛⎫∠=-∠=-∠=∠-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3131335321421414=⨯-⨯=.在△ADE 中，7AD AB ==，5AE AC ==，所以△ADE的面积11sin 75221414S AD AE EAD =⨯∠=⨯⨯⨯=.解法二：（2）由（1）知sin 14BAC ∠=，易得13cos 14BAC ∠=，所以1sin sin sin cos sin 3322EAD CAD BAC BAC BACππ⎛⎫⎛⎫∠=-∠=-∠=∠-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3131335321421414=⨯-⨯=，在△ADE 中，7AD AB ==，5AE AC ==，所以△ADE的面积11sin 75221414S AD AE EAD =⨯∠=⨯⨯⨯=.18.Matlab 是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab 专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为()q p q >，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512．（1）求p 和q 的值；（2）试求两人共答对3道题的概率．【答案】（1）32,43p q ==（2）512．【解析】【分析】（1）根据题意列出关于,p q 的方程解得即可.（2）两人共答对3道题，只可能为甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，列式解得即可.【小问1详解】由题意可得1,25(1)(1),12pq p q q p ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩即1,217.12pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得3,42,3p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,33.4p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于p q >，所以32,43p q ==．【小问2详解】设{i A =甲同学答对了i 道题},{i B =乙同学答对了i 道题},0,1,2i =．由题意得，()()1213313339,444484416P A P A =⨯+⨯==⨯=，()()1221124224,33339339P B P B =⨯+⨯==⨯=．设{E =甲、乙二人共答对3道题}，则1221E A B A B =+．由于i A 和i B 相互独立，12A B 与21A B 互斥，所以()()()()()()1221122134945().8916912P E P A B P A B P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=所以甲、乙两人共答对3道题的概率为512.19.如图，在棱长为1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点.（1）求证：平面1AB C ⊥平面11BDD B ；（2）求平面1AB C 与平面ACE 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）借助线面垂直的性质定理可得1BB AC ⊥，结合线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面11BDD B ，即可用面面垂直的性质定理得证；（2）借助平面1AB C 与平面ACE 的夹角定义找出平面1AB C 与平面ACE 夹角的夹角后，借助勾股定理计算各边长，结合余弦函数定义即可得解.【小问1详解】因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，又1BB BD B ⋂=，1,BB BD ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ⊥平面11BDD B ；【小问2详解】如图，连接11A C ，取11A D 的中点F ，连接EF 交11B D 于点1O ，连接AF ，设AC 交BD 于点O ，连接1OO ，1B O，因为E 为11C D 的中点，所以11//EF A C ，因为11//AA CC ，11AA CC =，所以四边形11ACC A 是平行四边形，所以11//AC AC ，所以//EF AC ，所以平面ACEF 即为平面ACE ，且1O 为EF 中点，由（1）知AC ⊥平面11BDD B ，又1OO ⊂平面11BDD B ，所以1AC OO ⊥，又11AB B C =，O 为AC 的中点，所以1B O AC ⊥，所以11B OO ∠为平面1AB C 与平面ACE 的夹角，由1B BO 为直角三角形，可得1OB ==11413O B =-=，则13OO =，即11BOO △为等腰三角形，所以111112cos 3OB B OO OO ∠==，即平面1AB C 与平面ACE 夹角的余弦值为33.。

3-1-1同步检测一、选择题1．已知函数f在区间[a，b]上单调，且fa·fb0，f20，f2的零点个数为A．0 B．1C．2 D．39．若函数f＝2－a＋b的两个零点是2和3，则函数g＝b2－a－1的零点是A．－1和错误! B．1和－错误!和错误!D．－错误!和－错误!二、填空题10．已知函数f在定义域R上的图象如图所示，则函数f在区间R上有________个零点．11．上海大学附中2022～2022高一期末方程10＋－2＝0解的个数为________．12．已知函数f＝3m－4，若在[－2,0]上存在0，使f0＝0，则m的取值范围是______________．13．函数f＝a2＋2a＋ca≠0的一个零点为1，则它的另一个零点是____________．三、解答题14．若方程a2－－1＝0在0,1内恰有一解，求实数a的取值范围．15．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．1f＝－82＋7＋1；2f＝2＋＋2；3f＝错误!；4f9＝3＋1－7；5f＝og52－3．16．关于的方程m2＋2m＋3＋2m＋14＝0有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．17．已知函数f＝2－2，问方程f＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么详解答案1[答案] B2[答案] B3[答案] D4[答案] D[解析]A：32－4＋5＝0的判别式Δ0，∴f1·f20，f20，故函数f有两个零点．9[答案] B[解析]由于f＝2－a＋b有两个零点2和3，∴a＝5，b＝6∴g＝62－5－1有两个零点1和－错误!10[答案] 311[答案] 1[解析]画函数＝10与＝2－的图象，只有一个交点，故方程只有一解．12[答案]－∞，－错误!][解析]∵f在[－2,0]上存在0，使f0＝0，∴－6m－4－4≤0，解得m≤－错误!∴实数m的取值范围是－∞，－错误!]．13[答案]－3[解析]设另一个零点为1，则1＋1＝－2，∴1＝－314[解析]∵方程a2－－1＝0在0,1内恰有一解，即函数f＝a2－－1在0,1内恰有一个零点，∴f0·f12故a的取值范围为2，＋∞．15[解析]1因为f＝－82＋7＋1＝－8＋1－1，令f＝0，解得＝－错误!或＝1，所以函数的零点为－错误!和12令2＋＋2＝0，因为Δ＝－12－4×1×2＝－72m解得－错误!0，而函数f＝2－2的图象是连续曲线，所以f在区间[－1,0]内有零点，即方程f＝0在区间[－1,0]内有解．。

3-1-2同步检测一、选择题1．如下四个函数的图象，适合用二分法求交点横坐标的是2．在用二分法求函数f在区间a，b上的唯一零点0的过程中，取区间a，b上的中点c＝错误!，若fc＝0，则函数f在区间a，b上的唯一零点0A．在区间a，c内B．在区间c，b内C．在区间a，c或c，d内D．等于错误!3．已知函数＝f的图象是连续不间断的，，f对应值表如下：1 2 3 4 5 6f －－－则函数＝f存在零点的区间有A．区间[1,2]和[2,3]B．区间[2,3]和[3,4]C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]4．f＝4－15，下列结论中正确的有①f＝0在1,2内有一实根；②f＝0在－2，－1内有一实根；③没有大于2的零点；④f＝0没有小于－2的根；⑤f＝0有四个实根．A．2个B．3个C．4个D．5个5．某方程在区间2,4内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分次后，所得近似值的精确度可达到A．2 B．3 C．4 D．56．已知函数f＝错误!－og2，若实数0是函数f的零点，且00，可得其中一个零点0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为A．0,，f B．0,1，fC．,1f D．0,，f二、填空题9．若函数f＝3＋2－2－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表：f1＝－2 f＝f≈－f≈－f≈f≈－那么方程3＋2－2－2＝0的一个近似的正数根精确度为________．10．已知二次函数f＝2－－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f1＝－60，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取1,4的中点a，则fa＝________ 11．用二分法求方程3－2－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点0＝，那么下一个有根区间是______________．12．用二分法求方程f＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f0，f 5og21，即f1>0，故选A7[答案] B[解析]根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|an－bn|0，∴下一个有根区间是2,．12[答案]答案不唯一[解析]因为|－|＝0，所以函数在0,1内存在零点，即方程23＋3－3＝0在0,1内有实数根．取0,1的中点，经计算f0，所以方程23＋3－3＝0在,1内有实数根．如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：a，b a，b 的中点fa fb f错误!0,1 f0 0 f0 f>0, f 0 f0 f∴函数f＝5＋－3在区间1,2有一个零点0∵函数f＝5＋－3在－∞，＋∞上是增函数证明略，∴方程5＋－3＝0在区间1,2内有唯一的实数解．取区间1,2的中点1＝，用计算器算得f≈>0，∴0∈1,．同理，可得0∈1,，0∈,，0∈,，0∈, 25，0∈, 25．由于| 25－|<，此时区间，25的两个端点精确到的近似值都是。

3-2-1同步检测一、选择题1．直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是()A．－2,3B．3，－2C．－2，－2 D．3,32．过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为()A．x＝1 B．x＝3C．y＝1 D．y＝33．方程y－y0＝k(x－x0)()A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线4．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于()A．2 B．1C．0 D．－15．直线l：y＝kx＋b的图像如图所示，则k、b满足()A．k＞0，b＞0B．k＜0，b＞0C．k＜0，b＜0D．k＞0，b＜06．方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是( )7．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝12x ＋4C ．y ＝－2x －83D ．y ＝12x －838．直线l ：y －1＝k (x ＋2)的倾斜角为135°，则直线l 在y 轴上的截距是( )A ．1B ．－1 C.22 D ．－29．已知点P (3，m )在过M (－2,1)和N (－3,4)两点的直线上，则m 的值为( )A．15 B．14C．－14 D．－1610．等边△PQR中，P(0,0)、Q(4,0)，且R在第四象限内，则PR 和QR所在直线的方程分别为()A．y＝±3xB．y＝±3(x－4)C．y＝3x和y＝－3(x－4)D．y＝－3x和y＝3(x－4)二、填空题11．过点(－1,3)，且斜率为－2的直线的斜截式方程为_______．12．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．13．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝________，b＝________.14．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，则直线BC的方程为________．三、解答题15．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．[分析]BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程．16．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x 轴上截距为－2；(3)在y 轴上截距为3.17．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 无论怎样变化，所有直线恒过定点，求此定点坐标．18．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－32的直线方程．详解答案1[答案] A2[答案] A3[答案] D[解析] 直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x 轴垂直的直线．4[答案] B[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝2－a .两直线平行，则有k 1＝k 2.所以a ＝2－a ，解得a ＝1.5[答案] B6[答案] B[解析] 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距是1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距是1a >0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距是1a <0，则直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．7[答案] C[解析] y ＝3x ＋4与x 轴交点为(－43，0)又与直线y ＝－2x ＋3平行，故所求直线方程为y ＝－2(x ＋43)即y ＝－2x －83 故选C.8[答案] B[解析] ∵倾斜角为135°，∴k ＝tan135°＝－tan45°＝－1，∴直线l ：y －1＝－(x ＋2)，令x ＝0得y ＝－1.9[答案] C[解析] 直线MN 的斜率k ＝－3，方程为y －1＝－3(x ＋2)，点P (3，m )在直线上，∴m －1＝－3×(3＋2)，∴m ＝－14.[点评] 点P 在过M 、N 两点的直线上，即P 、M 、N 共线，因此可由斜率k PM ＝k MN 求解，请自己写出解题过程．10[答案] D[解析] 直线PR ，PQ 的倾斜角分别为120°，60°，∴斜率分别为－3， 3.数形结合得出．11[答案] y ＝－2x ＋1[解析] 点斜式为y －3＝－2(x ＋1)，化为斜截式为y ＝－2x ＋1. 12[答案] y －1＝－(x －2)[解析] 设l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1.又k 2＝1，∴k 1＝－1.∴l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)．13[答案] －2 －2[解析] 由题意，得⎩⎨⎧ －4＝k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝－2.14[答案] 8x ＋y －9＝0或2x －y －1＝0或y ＝x 或3x ＋y －4＝0[解析] 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 此时BC ：8x ＋y －9＝0.若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3； 此时直线BC 方程为2x －y －1＝0.若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 此时直线BC 方程为y ＝x 或3x ＋y －4＝0.15[解析] 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k BC k AD ＝－1.∴2＋30－3k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在直线的点斜式方程是y －0＝35(x ＋5)．即y ＝35x ＋3.16[解析] 直线y ＝－33x ＋5的斜率k ＝tan α＝－33 ∴α＝150°故所求直线l 的倾斜角为30°，斜率k ′＝33(1)过点P (3，－4)，由点斜式方程得：y ＋4＝33(x －3)∴y ＝33x －3－4(2)在x 轴截距为－2，即直线l 过点(－2,0)由点斜式方程得：y －0＝33(x ＋2)，∴y ＝33x ＋233(3)在y 轴上截距为3，由斜截式方程得y ＝33x ＋3.17[解析] 方法1：将直线变形为y －1＝k (x －3)，由点斜式方程知，此直线过定点(3,1)．方法2：将直线变形为k (x －3)－y ＋1＝0，由于此直线过定点与k 无关，因此x －3＝0且－y ＋1＝0，∴x ＝3，y ＝1，过定点(3,1)．18[解析] 设直线方程为y ＝－32x ＋b ，令y ＝0得x ＝23b由题意知12·|b |·|23b |＝12，∴b 2＝36，∴b ＝±6，∴所求直线方程为y ＝－32x ±6.关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。