周期函数解读

高一数学——周期函数解读知识解读1．周期函数：对于函数f （x ），如果存在一个非零常数T （T ≠0），使得当x 取定义域D 内的每一个值时，都有f （x +T ）=f （x ）恒成立，那么这个函数f （x ）叫做周期函数，常数T 叫做函数f （x ）的一个周期，周期函数的周期不唯一．2．最小正周期：对于一个周期函数f （x ）来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做这个函数f （x ）的最小正周期． 重要结论（分别对应各种题型，以下k 为非零整数，T 表示周期）1、由定义判断：如果()()f x f x a =+，则()y f x =是周期函数，T=ka ；2、若函数f(x)满足f(x+a)=－f(x)(a >0), 则f (x )为周期函数且T=2ka ；3、若函数()()f x a f x a +=-，(a >0)，则()x f 是周期函数，T=2ka ；4、若函数f (x )满足f(x+a)=()x f 1 (a >0), 则f(x)为周期函数且T=2ka ； 5、若函数f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a >0), 则f (x )为周期函数且T=2ka ； 6、若函数f(x)满足1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是周期函数，T=2ka ； 7、若函数f(x)满足1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是周期函数，T=4ka ； 8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= )(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a >0)，则f(x)为周期函数且T=4ka ； 9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a, x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且T=2k (b -a )；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是周期函数，T=2k(b-a)；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是周期函数,T=4k(b-a)；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2k|a|；13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4k |a |；14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f (x+a )(a >0)，则f(x)为周期函数,T=6ka ；15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0)，则f(2T )=0。

周期函数一、周期函数定义设f(x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x）；则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。

如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。

由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

二、周期函数性质（1）若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。

（2）若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。

（3）若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。

（4）若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2不是无理数，则f(X）存在最小正周期（6）若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。

（7）周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

三、判定定理定理1若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2若f(X）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n）是集{X/aX+ n }上的以T*/ a 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

证：先证是f(ax+b）的周期∵T*是f(X）的周期，∴，有X±T*∈M，∴a（X）+b=ax+b ±T*∈M，且f[a（X+ T）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴是f（ax+b）的周期。

再证是f（ax+b）的最小正周期假设存在T’（0<T’<；）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），因当X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，∴aT’是f(X）的周期，但<=T*这与T*是f(X）的最小正周期矛盾。

函数周期知识点总结一、函数的周期性函数的周期性是指函数在特定区间内具有重复性的性质。

如果函数在一个区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数f(x)在该区间上有周期T，T称为函数f(x)的周期。

函数的周期性是函数中非常重要的一种性质，对于周期函数而言，其周期性是其定义的本质。

二、周期函数的性质1. 周期函数的定义周期函数是指函数的取值在每个周期内具有重复性。

周期函数的周期是指函数在一个区间内具有重复性。

设f(x)是定义在一定区间上的函数，如果存在正数T，使得任意x∈[a,a+T]，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为周期。

周期函数的周期一般是不唯一的。

2. 周期函数的图像特点周期函数的图像表现出在一个周期内具有重复性的特点。

周期函数的图像通常是具有规律的波动，在一定周期内呈现出反复的形状。

3. 周期函数的基本性质周期函数在一个周期内具有相同的性质，包括最大值、最小值、零点等。

周期函数还具有周期平移、镜像对称等性质。

周期函数的和、差、积、商也是周期函数。

4. 周期函数的分类周期函数根据周期的不同可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等等。

根据周期的形式还可以分为奇函数和偶函数。

5. 周期函数的应用周期函数在自然界和各种科学领域有着非常广泛的应用，如物理学、工程学、生物学等等。

周期函数的研究对于理解自然规律和解决实际问题具有重要的意义。

三、常见周期函数1. 正弦函数正弦函数是最基本的周期函数之一。

其函数表达式为y=Asin(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。

正弦函数的图像是一条连续的曲线，具有周期性。

2. 余弦函数余弦函数也是最基本的周期函数之一。

其函数表达式为y=Acos(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。

3. 正切函数正切函数的函数表达式为y=A tan(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。

函数周期函数周期是指函数的图像在横坐标方向上的重复性表现。

在数学中，周期函数是具有周期性质的函数，即存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)成立。

这意味着函数在T的整数倍的位置具有相同的函数值，即函数图像在横坐标方向上以T为周期重复出现。

周期函数是数学中比较重要的一个概念，它在许多自然现象中都有广泛的应用。

比如，电路中的交流电压、振动系统的周期性运动、天体的运动周期等都可以用周期函数来描述。

在本文中，我们将讨论函数周期的相关概念以及其在实际应用中的意义和应用。

一、基本概念1.1 周期函数周期函数是指一类函数，它们在某个周期T上具有相同的函数值。

具体来说，如果函数f(x)具有周期T，则对于任意实数x和整数n，有 f(x+nT)=f(x) 成立。

其中，周期T是最小的正数，使得上述等式成立。

常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、正割函数等，它们分别具有不同的周期性质。

另外，任意两个周期相等的周期函数可以相互等价，即它们在周期T上产生相同的函数值。

1.2 周期性变换周期性变换是指由周期函数所产生的变换。

它可以通过平移函数图像来实现，使得函数图像在横坐标方向上以周期T重复出现。

具体来说，将函数f(x)在x轴正方向平移nT个单位，得到新函数f(x-nT)，即可实现函数图像的周期性变换。

另外，周期性变换还可以通过对函数进行反转实现。

具体来说，将函数f(x)关于x轴对称得到新函数-f(x)，再将-f(x)在x轴正方向平移nT个单位，即可得到新函数f(x-nT)。

1.3 周期函数的性质周期函数具有以下性质：（1）周期函数的图像在横坐标方向上具有重复性，且重复周期为T。

（2）周期函数在一个周期内有无数个零点。

（3）周期函数的奇偶性与其正负性有关。

（4）周期函数的平均值等于一个周期内函数值的平均值。

（5）周期函数的导数仍然是周期函数。

二、实际应用2.1 交流电压在电路中，交流电压是一种周期性的电信号，其周期和频率是固定的。

函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2.于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x + 3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k .【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02s i n4141=+x 得 4π=x 故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。

函数的周期性的知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数，即在一定的区间内，函数的数值在一定的时间间隔内重复出现。

更具体地说，对于函数f(x)来说，如果存在一个常数T>0，使得对任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，而这个常数T被称为函数的周期。

二、周期函数的性质1. 周期函数的性质：周期函数的周期T是一个正数，且函数的周期性对于所有的自变量都成立，即对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。

2. 周期函数的图像性质：周期函数的图像通常具有重复出现的特点，这使得它在图像上形成规律的波形。

3. 周期函数的特殊性质：有些周期函数具有特殊的对称性，比如正弦函数、余弦函数等。

三、周期函数的分类1. 固定周期函数：在一个确定的周期内，函数的数值是固定的，比如正弦函数、余弦函数等。

2. 变周期函数：在一个周期内，函数的数值是变化的，比如三角函数的变型函数、指数函数、对数函数等。

四、周期的求法对于周期函数，我们通常需要求解它的周期T，有以下几种方法：1. 观察法：通过观察函数的图像特征，找到函数的周期性。

2. 公式法：对于一些已知的周期函数，可以直接利用其性质和公式来求解周期。

3. 方程求解法：将周期函数的周期T代入函数的周期性公式中，得到关于T的方程，然后求解方程得到周期T。

五、周期函数的图像特征1. 周期函数的波形特点：周期函数的图像通常呈现出规律性的波形，如正弦函数、余弦函数的波形特点。

2. 周期函数的振幅：周期函数的振幅代表了波形的最大振幅，它决定了函数波形的高低。

3. 周期函数的相位：周期函数的相位代表了波形的平移特征，它决定了函数波形的水平位置。

六、周期函数的应用周期函数在很多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等，常见的应用包括：1. 物理波动：周期函数常常用于描述物理中的波动现象，如声波、光波等。

2. 电路分析：在电路分析中，周期函数可用于描述电流、电压的周期性变化。

高三周期函数知识点周期函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。

本文将介绍高三周期函数的基本概念、性质以及常见的周期函数类型。

一、周期函数的基本概念周期函数是指在某个特定的区间内，函数值以相同的间隔重复出现的函数。

这个特定的区间称为函数的一个周期。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

二、周期函数的性质1. 周期性：周期函数的最显著特点就是具有周期性，即函数的函数值在一个周期内重复出现。

2. 奇偶性：周期函数可以分为奇函数和偶函数。

若函数满足f(x) = -f(-x) 成立，则为奇函数；若函数满足 f(x) = f(-x) 成立，则为偶函数。

3. 对称性：周期函数通常具有某种对称性，如正弦函数和余弦函数是关于原点对称的。

三、常见的周期函数类型1. 正弦函数 y = A*sin(Bx+C)+D：正弦函数是高中数学中最常见的周期函数之一。

其中 A 表示振幅，B 表示角频率，C 表示相位差，D 表示平移量。

2. 余弦函数 y = A*cos(Bx+C)+D：余弦函数和正弦函数非常相似，只是相位差不同，其余的性质都相同。

3. 正切函数y = A*tan(Bx+C)+D：正切函数的图像具有周期性，但是它在某些点上会出现无穷大的间断点。

四、周期函数的图像特征周期函数的图像通常具有一些特征，进一步揭示了周期函数的性质：1. 周期性：图像在一个周期内重复出现。

2. 振幅：图像在纵轴上的最大值与最小值之间的差值。

3. 频率：图像在一个单位周期内震动的次数，与角频率相关。

五、周期函数在实际问题中的应用周期函数在实际问题中有着广泛的应用，如物理、电路等领域。

周期函数可以描述周期性的变化规律，帮助我们解决一些实际问题。

例如，通过正弦函数模型可以预测某地区的气温随时间的变化，从而指导人们做出合理的决策。

总结：周期函数是高三数学中的一个重要知识点，它具有周期性、奇偶性和对称性等基本性质。

周期函数知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数。

在数学上，如果存在一个正数T，对于所有实数x，都有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就被称为周期函数，而T被称为函数的周期。

简单来说，如果以某个固定的间隔T，函数值会重复出现，则该函数是周期函数。

周期函数的周期并不是唯一的，存在多个周期的正整数倍也是周期。

周期函数的周期通常记作T。

二、周期函数的性质1. 周期性：周期函数在每个周期内具有相同的性质，即满足f(x+T) = f(x)。

2. 周期的加法性：如果函数f(x)的周期为T1，函数g(x)的周期为T2，则函数f(x)g(x)的周期为T1和T2的最小公倍数。

3. 周期函数的奇偶性：若f(x)为周期函数，则它可以是奇函数、偶函数或者既非奇又非偶。

4. 周期函数的连续性：周期函数可以在周期内连续，也可以在周期的边界处不连续。

5. 周期函数的有界性：周期函数可以是有界函数，也可以是无界函数。

三、周期函数的图像周期函数的图像通常以周期为一个完整周期的图像展现。

其图像特点可以通过周期函数的性质进行推断。

1. 若函数f(x)为偶函数，则其图像关于y轴对称。

2. 若函数f(x)为奇函数，则其图像关于原点对称。

3. 若函数f(x)为有界函数，则其图像在一定范围内波动，不会趋于无穷。

四、常见周期函数1. 正弦函数：y = sin(x)，其周期为2π。

正弦函数在周期内呈现周期性波动，其图像为一条类似正弦曲线的波动函数。

2. 余弦函数：y = cos(x)，其周期为2π。

余弦函数也呈现周期性波动，其图像为一条类似余弦曲线的波动函数。

3. 正切函数：y = tan(x)，其周期为π。

正切函数在周期内也呈现周期性波动，其图像为一条类似正切曲线的波动函数。

4. 正弦函数的变形函数：y = Asin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，称为正弦函数的变形函数。

这类函数在正弦函数的基础上进行了挤压、平移和拉伸等变换。

函数周期性—搜狗百科1.概念的提出：将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。

出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达.2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)概念的具体化：当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。

T=2kπ(k∈Z且k≠0)所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为T=2kπ(k∈Z 且k≠0)展示正、余弦函数的图象。

周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。

（用课件加以说明。

）强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0所以T=0或T=-2x强调定义中的“非零”和“常数”。

例:三角函数sin(x+T)=sinxcos(x+T)=cosx中的T取2π3.最小正周期的概念：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。

对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。

所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。

（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。

）在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。

4.例：求下列函数的周期：（1）y=3cosx分析：cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。

函数周期公式简介在数学中，周期函数是指具有周期性质的数学函数。

周期函数的基本特点是在一个特定的间隔内，函数值会重复出现。

我们可以通过使用函数周期公式来计算周期函数的周期。

什么是周期函数周期函数是指满足一定条件的函数，在某个特定的间隔范围内，函数值会重复出现。

换句话说，对于周期函数 f(x)，当 x 在某个特定范围内变化时，f(x) 的值会在该范围内重复。

周期函数的表示周期函数可以用函数周期公式来表示。

函数周期公式的形式为：f(x + T) = f(x)其中，f(x) 是周期函数的表达式，T 是函数的周期。

周期函数的周期计算对于周期函数 f(x) 来说，周期 T 的计算是非常重要的。

下面介绍几种常见的函数周期计算方法。

正弦函数和余弦函数的周期计算对于正弦函数sin(x) 或余弦函数cos(x)，它们的周期都是2π（或者是360°）。

常数函数的周期计算对于常数函数 f(x) = a（其中 a 是常数），它的周期是无穷大，或者说不存在周期。

幂函数的周期计算对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 是自然数。

当 n 是奇数时，该幂函数的周期是无穷大；当 n 是偶数时，该幂函数的周期是2π（或者是360°）。

指数函数的周期计算对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是自然数，该指数函数的周期是无穷大，或者说不存在周期。

对数函数的周期计算对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是自然数。

该对数函数的周期是无穷大，或者说不存在周期。

周期函数的例子正弦函数的例子下面是一个正弦函数的周期计算的例子：假设我们有一个正弦函数 f(x) = sin(x)，我们可以通过函数周期公式来计算它的周期。

根据函数周期公式，我们知道：sin(x + 2π) = sin(x)所以，周期函数 f(x) = sin(x) 的周期是2π。

常数函数的例子下面是一个常数函数的周期计算的例子：假设我们有一个常数函数 f(x) = 3，我们可以通过函数周期公式来计算它的周期。