实验设计与数据处理

或根据公式(1-20)有： 997.9 (1 0.05%)kg / m 整理后同样为： 997.4kg / m
3 3
998.4kg / m3
1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)
• 定义式：

x
i 1
n
i
x
d
i 1
n
i
n
n
d i —— 试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差
例1-2 在测定溶液pH值时，得到两组试验数据，其平均值 为： x 8.5 0.1 x 8.53 0.02 ，试求它们的平均值。 2 1
解：根据两组数据的绝对误差计算权重： 1 w1 100 2 0.1 1 w2 2500 2 0.02 因为 所以
w1 : w2 1: 25
1920s
1980s
1980s 美国引进田口方法
1920s Fisher用于田间试验
Statistical Experiment Design
1949
1924~
1920s Tippett将SED用于棉纺
1935
1935 ―Design of Experiments‖ 试验设计成为应用技术科学 1930~40s 英、美、苏用于工业
试验设计方案的步骤
• 1.明确试验目的，确定试验指标。
• 2.挑选因素，选取水平。 • 3.确定试验设计方法。 • 4.安排试验点。
数据处理的目的
• • • • • 通过误差分析，评判试验数据的可靠性； 确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试 验效率； 确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并 能对试验结果进行预测和优化； 试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路； 确定最优试验方案或配方。
• 2.因素：对试验指标有影响的原因或要素，又称 因子，在试验时重点考察的内容，一般用大写字 母A、B、C标记。 • （1）分类： • A.可控因素：温度、时间、浓度等 • B.不可控因素：风速、气压、气温等 • （2）选择原则： • A.抓住主要因素，并且考虑各因素之间的交互作 用。 • B.找出非主要因素，使其在试验中保持不变，以 消除其干扰作用。
表1-1 例1-1数据表
测 量值 组 1 100.357,100.343,100.351 2 100.360,100.348 3 100.350,100.344,100.336,100.34 0,100.3451 4 100.339,100.350,100.340
平 均值 100.350 100.354 100.343 100.343
wi——权重
w x
i 1 n
n
i i
w
i 1
i
• 适合不同试验值的精度或可靠性不一致时
确定权重的方法
• 试验值xi在测量次数中出现的频率ni/n；
• 当xi是各组的平均值时，wi代表各组内的试 验次数（数据个数）； • 根据权与绝对误差的平方成反比来确定权 数。
例1-1 在实验室称量某样品时，不同的人得 4组称量结果如表1-1所示，如果认为各测量 结果的可靠程度仅与测量次数成正比，试求 其加权平均值。
实验设计与数据处理
引言
• 新产品、新工艺、新材料、新品种及其他 科研成果产生流程
多次反复试验 提高产量 提高产品性能 降低成本能耗 规律研究
试验数据分析
• 科研工作的必要手段——试验
实验和试验
实验
已知某个结论去 验证 已知方法的操作 验证性
试验
未知某个结论去 探索 未知方法的探索 探索性
试验设计方法起源
1.1.1 真值（true value）
• 真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值
• 真值一般是未知的 • 相对的意义上来说，真值又是已知的 平面三角形三内角之和恒为180° 国家标准样品的标称值
国际上公认的计量值
高精度仪器所测之值 多次试验值的平均值
1.1.2 平均值（mean）
相对误差限或相对误差上界
max
∴

xt x(1 ER )
相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）
例1-3 已知某样品质量的称量结果为：58.79士0.2g，试 求其相对误差 解：依题意，称量的绝对误差为0.2g，所以相对误差为
ER
x 0.2 0.3% x 58.7
例
1-4
1 1 1 ... x1 x2 xn 1 H n
1 i 1 xi n
n
• 常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 • 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
（1）定义
绝对误差＝试验值－真值 或
x x xt
实验设计基本要素
• 1.指标：用来衡量实验效果好坏的特征值。 • （1）指标的分类： • A.定量指标，数量指标，如重量、转化率、收率、成活率、 合格率等。 • B.定性指标，非数量指标，如颜色、味道、光泽等。 • （2）指标的选择原则： • A. 客观性强 • B.易于量化 • C.灵敏度高 • D.精确性强
已 知 由 试 验 测 得 水 在
20 ℃ 时 的 密 度 所
997.9kg / m3 ，又已知其相对误差为 0.05%，试求
在的范围。
x x ER 0.05% 解：因为 x 997.9 3 3 所以 所在的范围为 997.4kg / m 998.4kg / m
• 3.水平：因素在试验中所处的不同状态，可 能引起指标的变化。 • 选择原则：
• 宜选择三水平； • 水平是等间隔的； • 水平是具体的； • 在技术上现实可行。
试验设计的方法
• • • • 针对不同的具体情况，有不同的试验设计方法。 单因素试验设计 多因素试验设计 正交试验设计
• 各种试验方法的目的、出发点各不相同。
（1）算术平均值（arithmetic mean）
n
x1 x2 ... xn x n
适合：

x
i 1
i
n
等精度试验值 试验值服从正态分布
（2）加权平均值(weighted mean) 加权和
w1 x1 w2 x2 ... wn xn xW w1 w2 ... wn
1948
范福仁《田间试验之统计与分析》
1970
1970.4 华罗庚推广优选法、统筹法 1978 优选法用于五粮液获成功
方开泰 1940~ 王元1910~1985 1930~ 华罗庚
1978
方开泰、王元创建均匀设计法
课程性质与任务
• 试验设计方法是一项通用技术，是当代科 技和工程技术人员必须掌握的技术方法。 • 试验设计方法是自然科学研究方法论领域 中的一个成熟分支学科。
1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
绝对误差 相对误差 真值
或 （2）说明：

x xt x ER xt xt
或
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
Leabharlann Baidu
x ER x
或
x ER x

可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x x xt xt
1940s末 美国Deming传播SED至日本 1949 日本Genichi Taguechi(田口玄一)以 SED为基础建立“正交试验设计”法 1952 应用L27(313)于日本东海电报公司 1952~1962 应用100万项，1/3成效明显 1955~1970 日本借此推行全面质量管理
我国试验设计方法发展
• 让学生熟悉并掌握近代最常用、最有效的 几种优化试验设计方法的基本原理及其应 用。
• 什么叫做（优化）试验设计方法？
– 把数学上优化理论、技术应用于试验设计中， 科学的安排试验、处理试验结果的方法。 – 采用科学的方法去安排试验，处理试验结果， 以最少的人力和物力消费，在最短的时间内取 得更多、更好的生产和科研成果的最有效的技 术方法。
8.5 1 8.53 25 pH 8.53 1 25
（3）对数平均值（logarithmic mean） 设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
x1 x2 x1 x2 x2 x1 xL x1 x2 ln x1 ln x2 ln ln x2 x1
说明： • 若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值 • 对数平均值≤算术平均值 • 如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替

可以反映一组试验数据的误差大小
1.2.4 标准误差 (standard error)
• 当试验次数n无穷大时，总体标准差：


( x x)
i 1 i
n
2
n

x
i 1
n
2 i
( xi ) 2 / n
i 1
n
n
试验次数为有限次时，样本标准差：
s

d
i 1
n
2 i
n 1
（4）几何平均值（geometric mean）
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则
xG
n
x1 x2 ...xn ( x1 x2 ...xn )
1 n
• 当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称 时，宜采用几何平均值。
• 几何平均值≤算术平均值
（5）调和平均值（harmonic mean） 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
• 数理统计
– 现有数据的分析
试验研究
试验设计 试验实施 数据整理 数据分析
• 优化试验设计在科学研究中的地位与意义 ：
– 1.试验设计方法是一项通用技术，是当代科技 和工程技术人员必须掌握的技术方法。 – 2.科学地安排实验，以最少的人力和物力消费， 在最短的时间内取得更多、更好的生产和科研 成果。简称为：多、快、好、省。
（2）说明 真值未知，绝对误差也未知

可以估计出绝对误差的范围：
或
x x xt x max
xt x x max
绝对误差限或绝对误差上界
• 绝对误差估算方法：
最小刻度的一半为绝对误差； 最小刻度为最大绝对误差； 根据仪表精度等级计算： 绝对误差=量程×精度等级% 例如，某压强表注明的精度为1.5级，则表明该表绝对误差为最 大量程的1.5%，若最大量程为0.4MPa，该压强表绝对误差 为： 0.4 1.5% 0.006Mpa 又如某天平的最小刻度为0.lmg，则表明该天平有把握的最小称 量质量是0.lmg，所以它的最大绝对误差为0.lmg。

( xi x)
i 1
n
2
n 1

2 x ( x ) i /n i 1 2 i i 1
n
n
n 1
表示试验值的精密度，标准差↓，试验数据精密度↑
1.3 试验数据误差的来源及分类
1.3.1 随机误差 （random error ）
解：由于各测量结果的可靠程度仅与测量次数成正比， 所以每组试验平均值的权值即为对应的试验次数，即
w1 =3，w2 =2，w3 =5，w4 =3 ，所以加权平均值为：
w1 x1 w2 x2 w3 x3 w4 x4 xw w1 w2 w3 w4 100.350 3 100.354 2 100.343 5 100.343 3 3 253 =100.346
第一章 实验数据的误差分析
• 误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定 • 误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学 实验过程中 客观真实值——真值
1.1 真值与平均值
参考文献
1. 水处理实验技术.李燕城.中国建筑工业 出版社. 2. 试验设计与数据处理.李云雁等.化学工 业出版社:2005.2 O212.6-43/2 3. 实验设计与数据处理.刘振学等.化学工 业出版社:2005.3 O212.6-43/1 4. 实验设计与数据处理.田胜元.中国建筑 工业出版社. TU83-43
• 如何进行科学合理的试验设计
– 优良的试验方案 – 遵循试验设计基本原则，控制试验误差 – 简单计算获取有价值试验规律 – 试验研究结果可推广和重复
因素对指标 影响大小 B 因素对指标 影响规律 因素间是否 相互影响
A
试验设 计效果
E
C
优选最佳条 件，估计指 标值
D 估计和控制 试验误差
本课程《试验设计方法》可以解决以上5个问题