微积分中值定理“中间点”渐进性的统一

微积分中值定理的统一及推广1. 微积分中值定理的基本概念微积分中值定理是一个重要的定理，它指出在一个函数在某一区间内取得最大值或最小值时，该函数在该区间的中点处的值必然是最大值或最小值。

它的统一及推广可以用来求解曲线上任意一点的最大值或最小值，从而求解函数的极值问题。

2. 微积分中值定理的推导过程首先，假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在这个区间上可导。

由于函数f(x)在[a,b]上连续，所以存在某一点$c \in (a,b)$，使得：$$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$$由于函数f(x)在[a,b]上可导，所以存在某一点$c \in (a,b)$，使得：$$f'(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f'(x)dx$$由此可得：$$f(c)-f(a)=f'(c)(b-a)$$即：$$f(c)=f(a)+f'(c)(b-a)$$以上就是微积分中值定理的推导过程。

3. 微积分中值定理的推广微积分中值定理的推广包括对函数的推广以及对定理的推广。

对函数的推广是指将函数的变量从一个变量推广到多个变量，这样就可以求解更复杂的函数。

对定理的推广则是将微积分中值定理的范围从一元函数推广到多元函数，使得定理可以应用到更复杂的函数中。

4. 微积分中值定理的应用微积分中值定理的应用可以被用来证明很多函数的性质，例如，它可以用来证明函数的最大值和最小值，以及函数的极值点。

此外，它还可以用来证明函数的单调性，以及函数的增减性。

此外，它还可以用来证明函数的拐点，以及函数的曲线是否是凸函数或凹函数。

最后，它还可以用来证明函数的极限值，以及函数的连续性。

5. 微积分中值定理的统一性微积分中值定理的统一性可以概括为：若函数f在闭区间[a,b]上连续，则存在c∈[a,b]，使得f(c)=（f(a)+f(b)）/2。

这一定理可以推广到高次多项式函数，即在任意n次多项式函数f(x)在闭区间[a,b]上连续时，存在c∈[a,b]，使得f(c)=f(a)+f(b)+f(a+b)+...+f(a+(n-2)b)/n。

关于积分第二中值定理的探讨范喜红 指导老师：朱福国(河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000)摘 要 本文以实例的形式,列举了积分第二中值定理在判别无界函数积分收敛,解决与极限有关的问题,证明积分的不等式和等式等方面的应用.并讨论了减弱条件的积分第二中值定理“中间点”的渐近性态.关键词 积分第二中值定理；应用；中间点；渐近性态中图分类号 O 172.2On the integral of the second mean value theoremFan XihongInstructor Zhu Fuguo(School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000)Abstract: In this paper, as an instance of, The second lists the integral mean value theorem in identifying the convergence points of unbounded functions, solve problems of the limit, Prove integral inequalities and equations in such applications.And discussed the weakened condition of the second integral mean value theorem "middle point" of the progressive state.Keywords: The second integral mean value theorem;Application;Mid-point;Asymptotic behavior1 引言积分第二中值定理是数学分析的基本定理,在判别无界函数积分收敛、证明定积分的不等式、解决与极限有关的问题等方面有广泛应用.为加深积分第二中值定理的理解初步探讨了“中间点”的渐近性态.2 积分第二中值定理定理 如果是上的可积函数,且在单调,则至[]11()(),f x g x [],a b ()g x [],a b 少存在一点使得[],a b ξ∈ (1)()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰3 积分第二中值定理的应用3.1 无界函数积分收敛的判别法.例1 阿贝尔判别法：设在有奇点,收敛,其中,[]2()f x x a =()baf x dx ⎰b a >单调有界,那么积分收敛.()g x ()()baf xg x dx ⎰证明 依假设,利用第二积分中值定理,在任何上,存在使[](),,a b 'A A ⊆ξ得,又因为收敛,所()()f x g x dx 'A A ⎰()()()()g f x dx g f x dx ξξ'A A'=A +A ⎰⎰()baf x dx ⎰以对任意的,存在满足,且,时,有0ε>η0b a η<<-A (),a a η'A ∈+,.因为有界,不妨设,所以有当,()f x dx ξεA<⎰()f x dx ξε'A <⎰()g x ()g x L <A 时,(),a a η'A ∈+()()f x g x dx'A A ⎰()()()()g f x dx g f x dx ξξ'A A'≤A +A ⎰⎰()()()()g f x dx g f x dxξξ'A A'≤A ⋅+A ⋅⎰⎰.2L ε≤由柯西积分原理得,收敛.()()baf xg x dx ⎰3.2 与极限有关的问题.例2 设,试计算.()21,101x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩当 , 当()0sin lim (0)b x f x dx b x λλ→∞>⎰解 取,则在上递减,由积分第二中值定理有{}*min ,1b b =()f x *0,b ⎡⎤⎣⎦()sin bxf x dx x λ⎰()()*0sin 0b xf f x dxx λ=⎰ ()0sin 0xf dx xξλ=⎰ 0sin tdt tλξ=⎰*(0)b ξ<<因此.()0sin lim b x f x dx x λλ→∞⎰0sin t dt tλξ=⎰2π=3.3 证明积分不等式和等式.例3设在上连续，且单调增加，证明：()f x [],a b.()()2bba aa b xf x dx f x dx +≥⎰⎰证明 因为()()2bba a ab xf x dx f x dx +-⎰⎰ =()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ ()2a a b f a x dx ξ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰+()2b a b f b x dx ξ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()a b ξ≤≤ ()()()22bb a a b a b f a x dx f b f a x dx ξ++⎛⎫⎛⎫=-+--⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎰⎰ =()()()2222b a b f b f a b ξξ⎡⎤-+---⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()02b f b f a a ξξ-=--≥⎡⎤⎣⎦所以.()()2b ba a ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰例4 设,,证明：,使得.0b a >>0θ>1ξ∃<sin 2x ba e x dx x aθξ-=⎰证明令,,则在上连续,又()x e f x xθ-=()sin g x x =()g x [],a b ,所以在上严格单调减少,且非负.于是,由积()210xx f x e xθθ-+'=-<()f x [],a b 分第二中值定理知,,使得[],a b η∃∈,sin x bae x dx xθ-⎰()()a f a g x dx η=⎰()cos cos xe a θαη-=-即sin 2x bae x dx x aθ-<⎰令,则有,且.sin 2x b a a e x dx x θξ-=⎰1ξ<sin 2xb a e x dx x aθξ-=⎰4 积分第二中值定理中间点的渐近性态定理2 设函数在上连续且不变号,,在上[]3()f x [],a b ()0f a ≠()g x [],a b单调且连续,存在,且=…==0,,则()()n g a ()()g a g a '''=(1)()n g a -()()0n g a ≠(1)n ≥对于(1)中的有ξ1lim1b a b b a n ξ→-=-+或lim1b a an b a n ξ→-=-+定理2的条件还是稍强了一些,实际上这个定理的条件还可以减弱.下面给出定理2条件减弱的“中值点”的渐进性定理:定理3设函数在上连续且不变号,且,在[]4()f x [],a b ()0f a ≠()g x 上单调,存在,=…==0,,则对于式(1)中[],a b ()()n g a +()()g a g a '''=(1)()n g a -()()0n g a +≠的有ξ 1lim 1b ab b a n ξ+→-=-+证明由题设可得.由在上连续,则有()0ba f x dx ≠⎰()f x [],ab ,.由存在,==…==0，()()()ba f x dx fb a η=-⎰[],a b η∈()()n g a +()g a '()g a ''(1)()n g a -,容易证明()()0n g a +≠ （2）()()()()lim ()!n n b a g a g b g a b a n ++→-=-1()()()()lim()bba an b b a a f x g x dx g a f x dxf x dx ++→-⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰()()()()lim (1)()()nb b aa fb g b f a g a n f x dx f b +→-=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰[]()()lim (1)()()nnb ag b g a n f b a η+→-=+- （3[]()()(1)!()n ng a n f a +=+）另一方面由积分第二中值定理、积分第一中值定理及式（2）,我们有1()()()()lim ()bba a nb b aa f x g x dx g a f x dxf x dx ++→-⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰1()()()()()()lim ()bbaa nb b aa g a f x dx gb f x dx g a f x dxf x dx ξξ++→+-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰[]1()()()lim ()bn b b aa gb g a f x dxf x dx ξ++→-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰[]112()()()lim ()()n n b af g b g a b b a b af ηξη++→--=⋅⋅-- （4）[]()()lim !()n nb ag a b b an f a ξ++→-=⋅-其中,.由式（3）和式（4）即得[]1,b ηξ∈[]2,a b η∈.1lim 1b a b b a n ξ+→-=-+ 比较定理2和定理3可以看出,定理3的条件比定理2的弱，但得到的结果相同.致谢 衷心感谢朱福国老师的悉心指导!参 考 文 献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M ].北京:高等教育出版社,2001.223-224.[2] 朱碧,王磊.积分第二中值定理的一些推广及其应[J ].数学教学与研究,2008,30:49-50.[3] 吴志友,夏雪.积分第二中值定理“中值点”的渐近性[J ].数学的实践与认识,2004,34（3）：170-176.[4] 陈新一,唐文玲.关于积分第二中值定理“中值点”的一个注记[J ].甘肃联合大学学报,2005,19（3）：3-5.。

摘要柯西中值定理是沟通导数值和函数值之间的桥梁，它是利用导数去推导函数整体性质的一个有力工具。

本文先介绍柯西中值定理的起源与发展、柯西中值定理及其证明，接着讨论柯西中值定理中的一些性态，即柯西中值定理“中间点”的渐进性问题。

关键词：柯西中值定理，中间点，渐进性ABSTRACTCauchy Theorem is a bridge between derivative and function,which is a useful tool to know about some characteristic of function by derivative,the paper firstly introduces the origin and the development of Cauchy Theorem、Cauchy Theorem and its proof,and then discuss some characteristic of Cauchy Theorem,that is to say,a discussion on the Asymptotic Characteristic of Mean Mid-value in Cauchy Theorem. Key words: Cauchy Theorem，intermediate point，asymptotic property目录目录 (1)1 前言 (2)2 柯西中值定理的基础理论 (2)2.1柯西中值定理的起源与发展 (2)2.2柯西中值定理及其证明 (3)2.3柯西中值定理与拉氏定理的联系 (3)2.4柯西中值定理的几何意义 (4)3柯西中值定理“中间点”的渐进性 (4)3.1“中间点”及渐进性的定义 (4)3.2柯西中值定理“中间点”的渐进性 (4)3.3柯西中值定理的应用 (6)参考文献 (7)1 前言柯西中值定理是沟通导数值和函数值之间的桥梁，它是利用导数去推导函数整体性质的一个有力工具。

积分第一中值定理中间点渐进性定理及等价性定理的证明张素玲
【期刊名称】《焦作大学学报》
【年(卷),期】2008(022)003
【摘要】积分第一中值定理是联系函数及其积分的桥梁,是用积分研究函数性质或用函数研究积分性质的工具,自从1982年美国数学月刊(Amer Math Monthly)上有两篇文章[1-2]研究了当区间长度趋于零中值定理中间点的渐进性,最近几年有许多文章[3-7]进行了进一步的研究,获得了有趣的结果.文章继杨彩萍等人对积分中值定理的中值当区间长度趋于零时的渐近性研究,对第一中值定理中值点渐进性定理及它的等价性定理给出了简洁的证明.
【总页数】2页(P60,64)
【作者】张素玲
【作者单位】焦作大学,河南,焦作,454003
【正文语种】中文
【中图分类】O177.8
【相关文献】
1.微积分中值定理“中间点”渐进性的统一 [J], 杜争光
2.关于n重积分中值定理"中间点"的渐进性定理 [J], 张煜
3.广义积分中值定理与积分中值定理“中间点”渐近性基本定理 [J], 施丽梅;李毅夫
4.积分第二中值定理"中间点"的渐进性研究 [J], 王春光
5.带有Beta型积分的Cauchy中值定理及其中间点的渐进性 [J], DU Zheng-guang
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中值定理是微积分中重要的定理，它描述了求导过程中有益的信息，
同时也表明函数的渐进性。

它可以说是一种原理，也可以说是一种技巧。

什么是中值定理？所谓中值定理，就是如果一个函数在某一断点处可导，那么它在这个点附近必有一个中间值，且这个中间值就是函数值
距离点的偏导值。

现在，我们要探讨的就是它的渐进性，也就是说，
函数值距离点的偏导值必将渐进至函数本身的某一值，这一值就是中
值定理中的中值。

这意味着，函数值距离点的偏导值不是一个确定的值，而是一个逐渐
变化的数量，即它的渐进性。

中值定理表明，当函数值距离某一点的
偏导值趋向无穷大或无穷小时，就会渐进至函数本身的某一值。

由中值定理可以说明某一个函数的渐变是多么的连贯，也就是说，它
可以使我们理解函数的变化和发展，从而帮助我们更轻松、更自如地
求函数的导数。

中值定理中的这种渐进性，既可以被证明，也可以被应用：它可以被
用来证明多项式的微分性质，从而推导出各种不同阶数多项式的偏导；它也可以被用来验证某个函数的导数性质，从而帮助我们求解某个函
数的导数。

总之，中值定理是一个重要的定理，它的渐进性在微积分理论中扮演
着重要的角色，它可以帮助我们更好地理解某个函数的变化，并使我
们更轻松地求解函数的导数。

拉格朗日提出的定理
拉格朗日提出的定理是数学中一条非常重要的定理，它在微积分中有
着广泛的应用。

该定理通常被称为拉格朗日中值定理，也叫一阶微积
分中值定理。

拉格朗日中值定理是微积分中的基础定理之一，它为解
决许多微积分问题提供了便利。

下面将从概念、公式、应用等几个方
面详细阐述该定理。

概念：拉格朗日中值定理的精髓在于求解函数在某区间内的导数值与
函数在某一点的函数值之间的关系。

中值定理表明：如果函数满足一
定的条件，就一定存在一个点，使该点的导数等于函数在区间两端点
上的函数值之差的比值。

这个点就叫做函数的导数存在的一个中间点，也叫中值点。

公式：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则在(a, b)
中至少存在一点c，使得 f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。

应用：由于拉格朗日中值定理表明了函数在某个区间内导数的存在性
和其函数值的关系，因此它在微积分中有着广泛的应用。

例如：
1. 利用拉格朗日中值定理可以证明某些不等式。

2. 利用中值定理可以解决函数递增、递减以及最值问题。

3. 利用中值定理可以计算定积分。

4. 利用中值定理还可以证明泰勒公式。

总之，拉格朗日中值定理是微积分中非常重要的一条基础定理，它把函数在某一区间内的导数和函数在该区间两端点上的函数值联系在了一起，为求解微积分难题提供了方法。

与其他的微积分学方法相比，这个方法具有普遍适用性，广泛应用于数学、物理、工程学等各个领域。