实变函数与泛函分析初步-江苏教育考试院

实变函数与泛函分析概述实变函数是数学中一类重要的函数，与泛函分析有紧密的联系。

本文将对实变函数与泛函分析进行概述，并介绍它们的基本概念和主要应用。

一、实变函数概述实变函数是定义在实数集上的函数。

它们通常涉及到实数域上的极限、连续性、可导性等性质。

实变函数的研究对于数学和物理学等领域都具有重要的意义。

1.1 实变函数的定义实变函数可以根据其定义域和值域的不同进行分类。

常见的实变函数包括数列极限、函数极限、连续函数、可导函数等。

1.2 实变函数的性质实变函数具有一系列重要的性质，如界、连续性、可导性、积分等。

这些性质可以帮助我们了解函数的行为和性质，从而更好地进行函数的研究和应用。

1.3 实变函数的应用实变函数在数学和物理学中有广泛的应用。

例如，在微积分中，实变函数被用来解决曲线的弧长、曲率、最值等问题。

在物理学中，实变函数被用来描述物体的运动、变化等现象。

二、泛函分析概述泛函分析是研究无穷维空间中函数的一种数学分析方法。

它广泛应用于函数空间、傅里叶分析、偏微分方程等领域。

2.1 泛函分析的基本概念泛函分析的基本概念包括向量空间、范数、内积等。

与有限维空间相比，无穷维空间的泛函分析更加复杂，因为它需要处理无穷序列和无穷级数等概念。

2.2 泛函分析的重要结果泛函分析的重要结果包括泛函的极值、开映射定理、闭图像定理等。

这些结果为泛函分析提供了坚实的理论基础，也为实际问题的求解提供了有效的方法。

2.3 泛函分析的应用泛函分析在许多领域有广泛的应用。

例如，在傅里叶分析中，泛函分析被用来描述信号的频谱分布；在偏微分方程中，泛函分析被用来研究方程的解的存在性和稳定性。

三、实变函数与泛函分析的关系实变函数与泛函分析有紧密的联系。

实变函数可以看作是泛函分析在实数域上的特例。

通过引入泛函分析的方法和技巧，我们可以更好地理解和研究实变函数的性质与应用。

3.1 实变函数的泛函分析观点从泛函分析的角度来看，实变函数可以看作是存在于某个函数空间中的一个特殊函数。

14、建立下面集合之间的具体双射 1）（-1,1）与[-1,1] 2)实数轴和全体无理数3）R 3中除去一点的单位球面与全平面R 24）平面中的开圆盘{（x,y ）:x 2+y 2<1}与闭圆盘{（x,y ）:x 2+y 2≤1}解：（1）、从（-1,1）与[-1,1]分别取出两个数集A={r 1,r 2,r 3,……，r n }与B={-1,1，r 1，r 2，……，r n-2}则A 、B 之间可定义以下双射：Ф(r 1)=-1, Ф(r 2)=1, Ф(r n )=r n (n>2)然后定义Ф：(-1,1)︱A →[-1,1]︱B x →x 得Ф（-1,1）→[-1,1]是所求双射（2）、从R 与R\Q 中分别取出两个可数集A=Q ∪B 与B=2，则A 与B 之间可定义如下双射：Ф2然后定义：Ф：R|A →(R\Q)|B x →x得：Ф：R →R\Q 是实数轴与全体无理数之间的双射。

(3)、假设单位球面上除去P 点按以下步骤建立双射： i)球心为O P 点关于O 点对称的点为球内的点Q 以Q 为切点作一个切面R 2以O 为原点作一直角坐标系ii ）过切点Q 连接PQ iii ）连接P 点与球面上异于P 点的任一点M 并延长，点肯定交R 2与一点记为M ’ 这就建立了R 3中除去一点的单位球面与全平面R 2之间的双射。

(4)、首先两个同心圆周之上的点之间可建立一一对应：做圆周集合子列 A n ={(x,y):x 2+y 2=12n } n ∈N 则 令E 1=n-2∞A n ⊂{(x,y):x 2+y 2<1}E 2=n-1∞ A n ⊂{(x,y):x 2+y 2≤1}且 E 1~E 2 又{(x,y):x 2+y 2<1}| E 1={(x,y):x 2+y 2≤1}|E 2 ，令B 1=(x,y):x 2+y 2<1}B 2={(x,y):x 2+y 2≤1}则 B 2=(B 1|E 1) E 2 令 Ф((x,y))= （x 1,y 1）若（x,,y ）∈B 1|E 1或（x 2,y 2）若（x,y ）∈E 2 由此得：Ф是B 1到B 2的双射。

试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

湖北省高等教育自学考试《实变与泛函分析初步》自学考试大纲课程名称：实变与泛函分析初步课程代码：2012第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点《实变函数》课程是数学与应用数学专业的一门专业基础理论课程，同时也是现代数学的重要基础课程，是古典分析与现代分析之间的一座桥梁。

它的研究对象仍然是定义在一般集合上的实函数，而采用的思想和方法是集合论的思想和方法。

它的中心任务是建立勒贝格（Lebesgue）测度理论和较之传统积分理论更为优越的勒贝格（Lebesgue）积分理论。

二、课程目标与基本要求通过本课程的学习，初步了解近代抽象分析的基本思想；掌握勒贝格（Lebesgue）测度概念和基本性质、可测集类；掌握可测函数的基本概念与基本性质、依测度收敛的可测函数列及其性质；了解可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系、可测函数列依测度收敛与几乎处处收敛的关系、可测函数与连续函数的关系；掌握勒贝格积分的基本思想、基本性质以及勒贝格积分极限定理及其应用；了解绝对连续函数的可微性和牛顿-莱布尼兹公式。

通过本课程的学习，培养并提高用现代数学的思想方法分析、解决问题的能力，为后续课程的顺利学习提供保证，为今后学习、研究现代数学和从事数学教育工作奠定基础。

三、与本专业其他课程的关系本课程是数学与应用数学专业基础课程之一，它的先行课程是《数学分析》，而概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等都是与它有着密切联系的后续课程。

其中《数学分析》是学习本课程的基础，而本课程又是进一步学习概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等课程的基础。

第二部分 考核内容与考核目标第一章 集合一、学习目的与要求通过本章的学习，应理解集合的概念，熟练掌握集合的并、交、差、余这四种基本运算，掌握集合列的极限运算；了解康托假设的含义，理解一一映射、集合对等与势(基数)的概念，掌握证明集合对等的基本方法；理解可数集与不可数集的概念、熟练掌握基本性质以及判别方法；掌握n 维欧氏空间nR 中集合的聚点、内点、外点、边界点的概念及互相之间的关系；了解并掌握开集、闭集、完备集的定义及性质，以及直线上开集、闭集、完备集的构造；掌握康托集的构造和康托集的基本性质。

06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数， 则对于任意常数a ， })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分)证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分)证明一 设E x ∈0，则a x f >)(0，由)(x f 在),(+∞-∞上连续，知0>∃δ，使得),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(， 即E x U ⊂),(0δ,故0x 为E 的内点。

由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集.证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并（由证明一前半部分)， 由定理可知E 为开集.(2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集。

（7分)证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点， 则E ∃中互异点列},{n x 使得)(0∞→→n x x n . ………………………..2分由E x n ∈知a x f n ≥)(， 因为f 连续, 所以a x f x f x f n n n n ≥==∞→∞→)(lim )lim ()(0，即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ∂⊂=⊂，……………………… 5分 知E E E E =∂= ,E 为闭集。

…………………………………………………… 7分 证明三 由(1）知，})(|{a x f x E >=为开集， 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集， 得证。

试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A ）; （B ）;1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃（C ）; （D ）;1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋂⋃1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋂2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ） c (B) (C) (D) =P 0mP =P P ='PP = 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ){}()n f x E ..a e （A ）若, 则 (B) 是可测函数()()n f x f x ⇒()()n f x f x →{}sup ()n nf x （C ）是可测函数;（D ）若,则可测{}inf ()n n f x ()()n f x f x ⇒()f x 5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）],[b a (A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数)(x f ],[b a )(x f ],[b a （C ）在上L 可积 (D) )('x f ],[b a ⎰-=ba a fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、_________()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=2、设是上有理点全体，则=______,=______,=______.E []0,1'E o E E 3、设是中点集，如果对任一点集都有E n R T _________________________________，则称是可测的E L 得 分得 分4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. )(x f （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使()f x [],a b [],a b _____________________________________________________,则称为 ()f x 上的有界变差函数。

备课第一章用集合纸§1 集合的表示由德国数学家 Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性 而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括 实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学 课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教 材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章 仅介绍那些必不可少的集论知识． 一、集合的概念及其表示 集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几 何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下 朴素的说法： “在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称 为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．” 一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合 作为元素的集合， 也常称为集族或集类． 以后常用大写字母 A , B , C , D , X , Y , Z  表示集合， 用小写字母 a , b , c , x , y  表示集合中的元素． 二、 集合的表示 1．穷举法： 有些集合可用列举其元素的办法来表示，如： 只含有一个元素 a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为 { a } ． 由 n 个元素 a1 , a 2  a n 所组成的集合，可表示为 { a1 , a 2  a n } 由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为 {1, 2,  , n ,  } ． 不含任何元素的集合称为空集，记作  ． 2．描述法 当集 A 是具有某性质 P 的元素之全体时，我们用下面的形式表示 A ：A  { x : x具 有 性 质 p }方程 x 21  0的解 x 的全体组成的数集是 { x | x 2  1  0}第页备课用纸f (x) f ( x )  a } 写成注：有时我们也把集 { x : x  E , x 具有性质 p } 改写成 E [ x 具有性质 p ] ．例如，设 是定义在集合 E 上的一实函数， a 是一个实数，我们把集 { x | x  E ,E[ f ( x)  a] 或 E[ f  a ] ．三、 集合与元素的关系 如果 a 是集合 A 的元素，则说 a 属于 A ，记作 a  A ，或说 A 含有 a． 如果 a 不是集 A 的元素，则说 a 不属于 A ，记作 a  A ，或说 A 不含有 a． 四、 集合与集合的关系 1． 包含：A是 B 的子集 AB Bx  A  x  B若A 2． 相等且A B,就称 A 是 B 的真子集，规定空集是任何集的子集．第页。

实变函数简明教程答案【篇一：02012实变与泛函分析初步】省高等教育自学考试大纲02012 实变与泛函分析初步江苏教育学院编江苏省高等教育自学考试委员会办公室一课程性质及其设置目的与要求（一）课程性质与特点实变函数论是19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的基本内容已成为分析数学各个分支的普遍基础.实变函数主要指自变量取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论，如果说微积分所讨论的函数都是性质“良好”的函数，那么实变函数就是讨论一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数，实变函数论是微积分深入与发展，函数的可积性是实变函数论中的主要内容. 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.（二）设置目的与要求课程内容包括：本课程内容包括集合及其运算，对等与基数，可数集合，不可数集合；度量空间、n维欧氏空间，聚点、内点、界点，开集、闭集、完备集，直线上开集、闭集和完备集的构造；外测度，可测集及其性质；可测函数的定义及其性质，叶果洛夫定理，可测函数构造，依测度收敛；勒贝格积分（l积分）的定义及性质，一般可积函数，积分的极限定理。

本课程设置目的是使学生掌握勒贝格测度与勒贝格积分的基础理论，了解一般度量空间上的测度理论，培养学生的分析学知识，加深学生对微积分和函数的认识。

二课程内容与考核目标第一章集合（一）课程内容集合的概念及运算，对等与基数，可数集与不可数集。

（二）学习与考核要求1、掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等运算的定义和性质（包括无穷多个集的运算）.2、掌握集列的上极限与下极限集的概念及它们用集列的交和并所表示的式子，能够正确写出具体集列的上、下极限集或极限.3、理解一一映照的概念，能够正确写出两个集之间的一一映照.4、掌握对等和基数的定义及性质，掌握基数大小的定义.掌握证明集合对等的两个定理（两个不交集列对等定理和伯恩斯坦定理），能够应用它们来证明集合对等.5、掌握可数集的概念及可数基数a概念.掌握可数基数a 的最小性，掌握可数集运算后的基数定理及各种可数集的实例.6、掌握实数集的不可数性及连续基数c，掌握各种具有连续基数的集.了解没有最大基数的定理并能够正确地证明之.第二章点集（一）课程内容度量空间与n 维欧氏空间，外点、界点、聚点，开集、闭集、完备集，直上开集、闭集、完备集的构造.（二）学习与考核要求1、理解n 维欧氏空间的概念，掌握邻域概念及邻域的性质.掌握点列收敛的描述（用距离d及用邻域u来描述），掌握两集之距离，一集之直径及n维区间等概念.2、掌握内点、外点、界点、聚点、孤立点等概念（包括等价命题）.掌握开核、边界、导集、闭包等概念，能够正确写出具体点集的开核、边界、导集及闭包.3、掌握开集、闭集、自密集、完备集等概念（包括等价命题和关系式）并能够对具体集合进行判别.4、掌握开闭集的对偶性定理及保持开闭性的交并运算定理.能够应用于判别具体实例.5、掌握直线上开集、闭集、完备集的构造.6、掌握康托点集的构造及性质（包括非空性、完备性、无处稠密性、无内点、基数为c、测度为零等）.第三章测度论（一）课程内容外测度，可测集，可测集类。

实变函数与泛函分析实变函数是泛函分析的一个重要分支，它研究的是由实数到实数的函数。

在数学中，函数是一种映射关系，将输入映射为输出。

实变函数在数学中有广泛的应用，特别是在微积分、微分方程、拓扑和概率论等领域。

泛函分析是数学中研究无穷维向量空间上的连续线性函数的分支。

它是实变函数理论的推广和拓展，主要研究函数空间上的性质和运算。

泛函分析的主要对象是函数空间、算子空间和线性泛函等概念。

它的研究方法主要是通过利用度量、拓扑和凸分析等工具来研究函数的性质和运算。

在实变函数中，我们研究的是由实数到实数的函数的性质和运算。

例如，我们可以研究函数的连续性、可导性、积分性质等。

通过研究函数的性质，我们可以得到函数的极限、导数、积分等重要的数学概念和工具。

在微积分中，我们利用这些工具来研究函数的变化规律和求解问题。

而在泛函分析中，我们研究的是无穷维向量空间上的函数的性质和运算。

例如，我们可以研究函数空间上的连续性、收敛性、紧性等。

通过研究函数空间的性质，我们可以得到函数空间上的线性泛函、算子等重要的数学概念和技巧。

这些概念和技巧在拓扑学、偏微分方程、优化问题等领域中有重要的应用。

在实变函数理论中，我们研究的是由实数到实数的函数的性质，主要是通过利用微积分和数学分析的工具来研究函数的性质和运算。

而在泛函分析中，我们研究的是无穷维向量空间上的函数的性质，主要是通过利用度量、拓扑和凸分析等工具来研究函数的性质和运算。

总结起来，实变函数是泛函分析的一个重要分支，它研究的是由实数到实数的函数的性质和运算。

泛函分析是研究无穷维向量空间上的函数的性质和运算的一个分支。

实变函数是泛函分析的基础和起点，通过研究实变函数的性质和运算，我们可以进一步推广和拓展到泛函分析。

泛函分析在数学中有广泛的应用，特别是在微分方程、拓扑和概率论等领域。

实变函数与泛函分析-教学大纲第一篇：实变函数与泛函分析-教学大纲实变函数与泛函分析教学大纲Functions of Real Variables and Functional Analysis一、基本信息适用专业：信息技术专业课程编号：教学时数：72学时学分：4 课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版曹广福.高等教育出版社参考书[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue 积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。

三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。

期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。

四、课程教学内容及课时分配第一章集合与点集要求1、掌握集合的势，可数集2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理主要内容集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理重点集合的势，可数集课时安排（4学时）1、集合的势，可数集2学时2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理2学时第二章 Lebesgue测度要求1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造3、熟练掌握可测函数的收敛性主要内容：Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性重点外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性课时安排（12学时）1、外测度、可测集以及它们的性质4学时2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造4学时3、可测函数的收敛性4学时第三章Lebesgue积分要求：1、熟练掌握可测函数的积分及性质2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理主要内容：可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann 可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理重点可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理课时安排：（16学时）1、可测函数的积分及性质6学时2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件6学时3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理4学时第四章L空间要求：1、熟练掌握L空间的范数、完备性、收敛性、可分性2、熟悉L空间的内积，标准正交基3、了解卷积与Fourier变换 ppp主要内容：pLp空间的范数、完备性、收敛性、可分性，L空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换重点Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性课时安排（10学时）1、L空间的范数、完备性、收敛性、可分性4学时2、L空间的内积，标准正交基，正交化方法4学时3、卷积与Fourier变换2学时 pp第五章 Hilbert空间理论要求：1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱主要内容：距离空间的定义，紧致性，Hilbert影算子，紧算子性质及其谱。

实变函数泛函分析实变函数是数学分析中的一个重要概念，在泛函分析中也有其特殊的地位。

本文将从实变函数的定义、性质以及其在泛函分析中的应用等方面进行探讨。

一、实变函数的定义与性质实变函数是指定义在实数集上的函数，即自变量和函数值都属于实数。

具体地说，在实变函数中，自变量可以取任意实数值，函数值也是实数。

实变函数常见的性质有：可加性、可乘性、单调性、连续性等。

其中，可加性表示了对于实数集合中的两个元素，函数在这两个元素上的取值和与对应函数分别在每个元素上的取值和之和相等。

可乘性则表明函数在实数集合中的两个元素上的取值和与对应函数分别在每个元素上的取值和之积相等。

单调性是指函数在实数集合上的取值随着自变量的增大或减小而单调增加或递减。

连续性则表明函数在实数集合上没有间断点，即函数图象是连续的。

二、实变函数在泛函分析中的应用在泛函分析中，实变函数具有广泛的应用。

其主要应用领域包括下述几个方面：1. 极限理论：实变函数的极限理论在泛函分析中扮演着重要的角色。

通过研究实变函数的极限情况，可以得到函数序列的收敛性及其性质。

极限理论在泛函分析中是非常基础和核心的概念，对于研究函数的性质以及推导相关定理都具有重要的作用。

2. 函数空间：实变函数的集合形成了一种函数空间，也是泛函分析中研究的重要对象。

函数空间内定义了一系列的内积、范数等数学结构，可以进一步推导出空间上的各种性质和定理。

3. 泛函的表示：泛函是定义在函数空间上的函数，将实变函数作为基础对象，可以将泛函表示为实变函数的积分形式。

这种表示方式为泛函的计算和分析提供了便利。

4. 对偶性理论：实变函数在数学分析中的对偶性理论被广泛应用于泛函分析中。

通过实变函数之间的对偶性关系，可以推导出泛函空间之间的对偶性关系，从而进一步深入研究函数空间的性质和结构。

总结起来，实变函数在泛函分析中具有举足轻重的地位和重要作用。

通过对实变函数的研究和运用，可以揭示泛函空间的内在结构及其性质，推导出各种重要的定理和结果，为泛函分析的发展和应用提供了理论基础。

高纲1360江苏省高等教育自学考试大纲02012 实变与泛函分析初步江苏教育学院编江苏省高等教育自学考试委员会办公室一课程性质及其设置目的与要求（一）课程性质与特点实变函数论是19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的基本内容已成为分析数学各个分支的普遍基础.实变函数主要指自变量取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论，如果说微积分所讨论的函数都是性质“良好”的函数，那么实变函数就是讨论一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数，实变函数论是微积分深入与发展，函数的可积性是实变函数论中的主要内容. 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.（二）教学目的与要求课程内容包括：本课程内容包括集合及其运算，对等与基数，可数集合，不可数集合；度量空间、n维欧氏空间，聚点、内点、界点，开集、闭集、完备集，直线上开集、闭集和完备集的构造；外测度，可测集及其性质；可测函数的定义及其性质，叶果洛夫定理，可测函数构造，依测度收敛；勒贝格积分（L积分）的定义及性质，一般可积函数，积分的极限定理。

教学目的和要求：使学生掌握勒贝格测度与勒贝格积分的基础理论，了解一般度量空间上的测度理论，培养学生的分析学知识，加深学生对微积分和函数的认识。

二课程内容与考核目标第一章集合（一）课程内容集合的概念及运算，对等与基数，可数集与不可数集。

（二）学习与考核要求1、掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等运算的定义和性质（包括无穷多个集的运算）.2、掌握集列的上极限与下极限集的概念及它们用集列的交和并所表示的式子，能够正确写出具体集列的上、下极限集或极限.3、理解一一映照的概念，能够正确写出两个集之间的一一映照.4、掌握对等和基数的定义及性质，掌握基数大小的定义.掌握证明集合对等的两个定理（两个不交集列对等定理和伯恩斯坦定理），能够应用它们来证明集合对等.5、掌握可数集的概念及可数基数a概念.掌握可数基数a 的最小性，掌握可数集运算后的基数定理及各种可数集的实例.6、掌握实数集的不可数性及连续基数c，掌握各种具有连续基数的集.了解没有最大基数的定理并能够正确地证明之.第二章 点集（一）课程内容度量空间与n 维欧氏空间，外点、界点、聚点，开集、闭集、完备集，直 上开集、闭集、完备集的构造, 康托尔三分集.（二）学习与考核要求1、 理解n 维欧氏空间的概念，掌握邻域概念及邻域的性质.掌握点列收敛的描述（用距离d 及用邻域u 来描述），掌握两集之距离等概念.2、 掌握内点、外点、界点、聚点、孤立点等概念（包括等价命题）.掌握开核、边界、导集、闭包等概念，能够正确写出具体点集的开核、边界、导集及闭包.3、 掌握开集、闭集、自密集、完备集等概念（包括等价命题和关系式）并能够对具体集合进行判别.4、 掌握开闭集的对偶性定理及保持开闭性的交并运算定理.能够应用于判别具体实例.5、 掌握直线上开集、闭集、完备集的构造.6、 掌握康托点集的构造及性质（包括非空性、完备性、无处稠密性、无内点、基数为c 、测度为零等）.第三章 测度论（一）课程内容外测度，可测集，可测集类。