高考数学复习专题_立体几何棱柱与棱锥

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考点29 棱柱、棱锥的概念和性质一、选择题1. （2012·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）与（2012·大纲版全国卷高考理科· Ｔ4）相同已知正四棱柱ABCD- A1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为（ ）（A ）2 （B （C （D ）1【解析】选D.连结AC 交BD 于点O ，连结OE ,则OE ∥1AC ，1AC ∴平面BED ，1AC 与平面BED 的距离为点A 与平面BED 的距离，AB=2，CC1=3222231=⨯⨯=∴-ABD E V , 又6==DE BE , O 为BD 中点， ∴OE BD,⊥又22=BD ,2=∴OE ,22=∆BDE S ，设点A 与平面BED 的距离为h ，则ABD E BDE A V V --=， 即3222231=⨯h ，1=∴h . 二、填空题2.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ16）三棱柱111C B A ABC -中，底面边长和侧棱长都相等， 6011=∠=∠CAA BAA ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_________.【解题指南】利用基向量法，将A 点出发的三个向量1AA ，，大小设为1，它们的夹角都是60度，用它们表示出向量1AB 与1BC ，用定义求解. 【解析】设=，=，=1，且模都为1. 则+=1，BC ++-=1，∴1)()(11=++-⋅+=⋅c b a c a BC AB21|AB |(a c)3=+= 21|BC |(a b c)2=-++=，66321||||,cos 111111=⨯=⋅>=<∴BC AB BC AB . 【答案】66 关闭Word 文档返回原板块。

数学高考复习名师精品教案第81课时：第九章直线、平面、简单几何体——棱柱、棱锥课题：棱柱、棱锥一．复习目标：了解棱柱和棱锥的概念，周围棱柱、正棱锥的有关性质，能进行有关角和距离的运算。

二．知识要点：1．叫棱柱2．正棱柱的性质有3．叫正棱锥4．正棱锥的性质有P={四棱柱}，Q={平行六面体}，R={长方体}，M={正方体}，N={正四棱柱},S={直平行六面体}，这六个集合之间的关系是三．课前预习：1．给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥， 其中正确命题的个数是( A )()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 32．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的( D )()A 垂心 ()B 重心 ()C 外心 ()D 内心3．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC ==，2BC =，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是( C )()A 4π ()B 3π ()C 2π()D 32π4．已知长方体ABCD A B C D ''''-中，棱5AA '=，12AB =，那么直线B C ''和平面A BCD ''的距离是6013.5．三棱柱111ABC A B C -，侧棱1BB 在下底面上的射影平行于AC ，如果侧棱1BB 与底面所成的角为030，160B BC ∠= ，则ACB ∠的余弦为3四．例题分析：例1．正四棱锥S ABCD -中，高SO =γ，tan 2γ=(1)求侧棱与底面所成的角。

(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。

解：（1） 作CF SB ⊥于F ，连结AF ，则CFB ABF ∆≅∆且AF SB ⊥，故AFC ∠是相邻侧面所成二面角的平面角，连结OF ，则AFC γ∠=，G F E D C 1B 1A 1CBA2OFC γ∠=，在R t O F C ∆与Rt OBF ∆中， tan 2γ＝OF OC ＝αsin 1=OF OB (其中SBO ∠为SB 与底面所成的角，设为α) 故sin 60αα== 。

高考数学《立体几何初步》专题 棱柱 棱锥学案第10课时 棱柱 棱锥一、棱柱1．定义：如果一个多面体有两个面互相 ，而其余每相邻两个面的交线互相 ，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的 ，其余各面叫做棱柱的 ，两侧面的公共边叫做棱柱的 ，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的 ．2．性质：① 侧棱 ，侧面是 ；② 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 多边形；③ 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形．3．分类：① 按底面边数可分为 ；② 按侧棱与底面是否垂直可分为：棱柱 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧4．特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体． 5．长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 ． 二、棱锥1．定义：如果一个多面体的一个面是 ，其余各面是有一个公共顶点的 ，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的 ；余下的那个多边形，叫做棱锥的 ．两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的 ，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的 ；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的 ． 2．性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ．3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是 多边形，且顶点在底面的射影是底面的 ，这样的棱锥叫做正棱锥． 4．正棱锥的性质：① 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 （它叫做正棱锥的 ）；② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个 三角形．例1．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，AA 1＝2，典型例题 CDA 1 C 1D 1B 1E F 基础过关点E 为CC 1的中点，点F 为BD 1的中点. ⑴ 证明：EF 为BD 1与CC 1的公垂线； ⑵ 求点F 到面BDE 的距离. 答案(1)略； (2)33 变式训练1：三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2a ，BC 、AC 、AA 1长均为a ，A 1在底面ABC 上的射影O 在AC 上． ⑴ 求AB 与侧面AC 1所成的角；⑵ 若O 点恰是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积． 答案(1) 45°；(2)2)732(21a ++ 例2. 如图，正三棱锥P —ABC 中，侧棱PA 与底面ABC 成60°角． （1）求侧PAB 与底面ABC 成角大小； （2）若E 为PC 中点，求AE 与BC 所成的角； （3）设AB ＝32，求P 到面ABC 的距离． 解：(1)32arctan ；(2)取PB 中点F ，连结EF ，则∠AEF 为所求的角，求得∠AEF＝2030arccos ； (3)P 到平面ABC 的距离为32．变式训练2： 四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2. （1）求证：AO⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成的角； （3）求点E 到平面ACD 的距离．答案：(1)易证AO⊥BD，AO⊥OC，∴AO⊥平面BCD ； (2)42arccos；(3)用等体积法或向量法可求得点E 到平面AC D 的距离是721． 例3. 四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AB∥CD，AB ＝2，CD ＝1，∠DAB＝45°；侧面PAD 是等腰直角三角形，AP ＝PD ，且平面PAD⊥平面ABCD ．⑴ 求证：PA⊥BD； ⑵ 求PB 与底面ABCD 所成角的正切值； ⑶ 求直线PD 与BC 所成的角． 答案：(1)略；(2)55；(3)60°变式训练3：在所有棱长均为a 的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D为BC 的中点．PACBEABC PDAA 1C 1B 1COBO D⑴ 求证：AD⊥BC 1； ⑵ 求二面角A －BC 1－D 的大小； ⑶ 求点C 到平面ABC 1的距离．提示：(1)证AD⊥平面BB 1C 1C ；(2) arc tan 6；(3)721a ． 例4．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝CC 1＝1，M 为AB 的中点，A 1D ＝3DB 1．（1）求证：平面CMD⊥平面ABB 1A 1； （2）求点A 1到平面CMD 的距离； （3）求MD 与B 1C 1所成角的大小． 提示(1)转证CM⊥平面A 1B ；(2)过A 1作A 1E⊥DM，易知A 1E⊥平面CMD ，∴求得A 1E ＝1； (3)异面直线MD 与B 1C 1所成的角为62arccos变式训练4：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，AB ＝2，O 为对角线A 1C 的中点． ⑴ 求OD 与底面ABCD 所成的角的大小；⑵ P 为AB 上一动点，当P 在何处时，平面POD⊥平面A 1CD ？并证明你的结论． 答案(1) 30°；(2) 当P 为AB 的中点时，平面POD⊥平面A 1CD ．柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点． 1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延． 2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系．3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个．ACD B C 1 B 1 A小结归纳 A 1B 1C 1 C MDB。

棱柱、棱锥、棱台的结构特征【知识梳理】1．空间几何体题型一、棱柱的结构特征【例1】下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．[解析](1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．[答案](3)(4)【类题通法】有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．【对点训练】1．下列四个命题中，假命题为()A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的各个侧面都是平行四边形C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行解析：选A A错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D 是正确的.题型二、棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________．[解析](1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．[答案](2)(3)(4)【类题通法】判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：2．试判断下列说法正确与否：①由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．解：①不正确，由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱；②不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体．侧棱不一定相交于一点，所以不一定是棱台.题型三、多面体的平面展开图【例3】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．【类题通法】1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．【对点训练】3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．2C．快D．乐解析：选B由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.【练习反馈】1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．3．棱锥最少有________个面．答案：44．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．答案：①③④⑥⑤5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱？多少个面？(2)有没有一个多棱锥，其棱数是2 012？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由．解：(1)三棱锥有6条棱、4个面；四棱锥有8条棱、5个面；十五棱锥有30条棱、16个面．(2)设n棱锥的棱数是2 012，则2n＝2012，所以n＝1 006，1 006棱锥的棱数是2 012，它有1 007个面．。