不定积分换元法例题

换元法球不定积分例题换元法是数学中用来解决多项式方程的一种有用方法。

在求解球不定积分时，也可以采用换元法求解。

换元法求解球不定积分，由于采用了不同的变量，可以使得球不定积分变得更加容易解决。

下面，将介绍一下如何使用换元法求解球不定积分的方法，并且介绍一下如何使用换元法解决一个具体的例题。

要使用换元法求解球不定积分，首先要找出公式中的变量，然后将变量换入另一个比较有利的变量，以便求解。

一般而言，可以将三度变量换为两度变量，例如：将x、y、z换为u、v;将θ、Φ换为θ、u，等等。

当变量换入后，要计算换元前后积分结果的关系，以便求解球不定积分。

下面介绍一个例题：求解：∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz由于这里有三个变量，所以可以采用换元法求解。

首先，将变量换入一组新的变量：u = x^2 + y^2 + z^2v = x^2 + y^2将u、v换入原积分公式中，可得：∫∫u du dv = -1/3∫∫(v^3/3 + v^2/2 + v)dvdu积分得到：∫∫u du dv = -1/3[v^4/12 + v^3/6 + v^2/2]u + C将u、v再换回x、y、z，可得：∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz = -1/3[(x^2+y^2)^4/12+ (x^2+y^2)^3/6 + (x^2+y^2)^2/2] + C根据换元法的解决方案，最终的结果为：∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz = -1/3[(x^2+y^2)^4/12+ (x^2+y^2)^3/6 + (x^2+y^2)^2/2] + C从上面的例题中可以看出，使用换元法求解球不定积分，可以有效解决问题。

换元法虽然比较复杂，但是也是一种有效的求解球不定积分的方法。

换元法求解球不定积分有两个很重要的方面：一是找出公式中的变量，然后将变量换入另一组比较有利的变量；二是计算出换元前后积分结果的关系。

最后，将换元后的结果换回原变量，即可得到最终的结果。

不定积分换元法例题一、不定积分换元法不定积分换元法是一种数学计算方法，主要用于求解某种函数的积分。

它是一种简单而有效的方法，在数学中被广泛应用，可以解决复杂的数学问题。

二、不定积分换元法的基本原理不定积分换元法的基本原理是：对于某个函数f(x)，可将它分割为m个部分，每个部分都是一个函数。

那么积分就可以分解为m个部分的积分，即：积分f(x)dx = ∑[f(x_i)dx_i]其中，x_i是分解出来的第i个函数，dx_i表示第i个函数的积分。

这样，我们就可以通过不定积分换元法求出积分f(x)dx。

三、不定积分换元法的具体应用不定积分换元法可以用来求解各种复杂的数学问题，比如：1、求解未知函数的积分：例如，求解函数f(x)=x^2的积分，可以按照不定积分换元法的思路，将f(x)分解为m个部分，每个部分都是一个函数。

那么，积分f(x)dx就可以分解为m个部分的积分，即：∫f(x)dx = ∑[f(x_i)dx_i]2、求解复合函数的积分：例如，求解函数f(x)=x^2+2x+1的积分，可以按照不定积分换元法的思路，将f(x)分解为m个部分，每个部分都是一个函数。

那么，积分f(x)dx就可以分解为m个部分的积分，即：∫f(x)dx = ∑[f(x_i)dx_i]四、不定积分换元法的优势1、不定积分换元法可以有效地避免复杂的计算，使计算变得简单快捷；2、不定积分换元法可以解决多元函数的积分问题；3、不定积分换元法可以有效地提高计算效率，减少计算时间；4、不定积分换元法可以避免计算错误，提高计算精度。

总之，不定积分换元法是一种有效的数学计算方法，可以有效地解决复杂的数学问题，提高计算效率，减少计算时间，提高计算精度。

不定积分第二类换元法题目换元法是积分学中使用最广泛的一种方法，它的本质是利用两种形式的变量之间的关系来求解不定积分的问题。

作为一类特殊的不定积分，称为不定积分第二类，第二类换元法就是应用这种不定积分解题的手段。

一般来说，在第二类换元法求解不定积分问题时，首先要把待求积分式转换为一阶微分式，其次把微分式中的自变量更换为另外一种形式，即换元式，最后求解换元式，从而解出不定积分式的解析解。

以下是一个典型的第二类换元法解题例子：求解：$$int frac{sin x}{1+cos x}dx$$解：将不定积分式转换为一阶微分式：$$frac{d(1+cos x)}{dx}=sin x$$引入另外一种形式的自变量替换：$$cos x=t,~dx=-frac{dt}{sin x}$$把原式换元：$$begin{aligned}int frac{sin x}{1+cos x}dx&=-int frac{dt}{t+1}&=-ln|t+1|+Cend{aligned}$$将换元式中变量替换回原来的形式：$$ln|1+cos x|+C$$以上便是利用第二类换元法解题的具体过程，可以看出，第二类换元法可以有效地解决不定积分类问题，其实在积分学中，还有其他一些方法可以用来求解更复杂的不定积分问题，比如积分变换、积分可分离和换元法等。

之所以把换元法分为不同的类别，是因为它的应用范围是不一样的；当某一类问题中存在多种解法时，也会根据其具体情况进行划分类别。

比如，第一类换元法是用来求解同角变换不定积分，而第二类换元法则是利用不同余弦变换解不定积分。

此外，第二类换元法还可以用来解决一些复杂的不同余弦变换的不定积分问题，比如：$$int sqrt{1+cos x+cos^2 x}dx$$由前面的变换可得：$$1+cos x +cos^2 x=frac{1+t}{1-t}$$由此，可以把这个式子以$ t=cos x $的形式变为：$$begin{aligned}int sqrt{frac{1+t}{1-t}}dt&=int frac{1+t}{sqrt{1-t^2}}dt &=frac{1}{2}ln|1-t^2|+Cend{aligned}$$将变量替换为原式中的形式，即$$frac{1}{2}ln|1-(cos x)^2|+C$$以上便是第二类换元法解题的过程，可以看出，换元法确实是一种有效的解题方法，它可以在不定积分的解题中发挥重要作用，但还有一些其他的解题方法，比如积分可分离和积分变换也是解决不定积分类问题中不可或缺的一种手段。

【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】1、9999(57)(57)(5711(57)(57)55)(57)dx d x d x dx x x x x +=+⋅=+⋅=+⋅++⎰⎰⎰⎰ 110091(57)(57)(57)10111(57)5550d C x x x x C =⋅=⋅+=+++++⎰ 【注】1(57)'5,(57)5,(57)5x d x dx dx d x +=+==+⇒⇒2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =⋅=⋅⎰⎰⎰221(l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =⋅=+=+⎰【注】111(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x===⇒⇒3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x xx --====⎰⎰⎰⎰⎰cos ln |cos |c ln |co s |o s xx d C x C x=-=-+=-+⎰【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-⇒⇒ 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d xx x x ===⎰⎰⎰⎰sin ln |si ln |sin |n |sin xx d C x C x==+=+⎰【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==⇒=⇒ 4（1）1()11d dx a x a x a d x x a x =⋅=⋅++++⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a xC ++=⋅=+=+++⎰【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+⇒⇒ 4（2）1()11d dx x a x x x d a a x a =⋅=⋅----⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x aC --=⋅=+=--+⎰【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-⇒⇒4（3）22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ⎛⎫- ⎪--+⎝⎛⎫=-+⎭==- ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()11ln ||ln ||ln22x ax a x a C C a a x a-=--++=++5（1）2sec ()sec tan sec sec tan sec tan sec sec tan x x x x xdx x x x xdx dx x x+==⋅+++⎰⎰⎰ tan sec tan sec sec ()()ln |sec tan |se tan c tan d x x x x x xd x x C x x +===+++++⎰⎰5（2）2221cos sec cos c cos sin os cos 1sin x xdx dx dx x xx dx d xx x ====-⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 2sin si 1111sin 111sin ln ln 1n sin 2112sin 121s sin sin in d x x x x x xd C C x xx --⎛⎫==-⋅=+=+ ⎪--+++⎝⎭⎰⎰ 6（1）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x xdx x x x xdx dx x x+==⋅+++⎰⎰⎰ ()()ln |csc cot |csc c cot csc csc cot csc o ot t c d d x x x x x xx x C x x --+=-==+-+++⎰⎰6（2）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x xdx x x x xdx dx x x==⋅----⎰⎰⎰()(cot csc csc co )ln |csc t csc co cot |c t sc cot d x x x x d x x xx x C x -+-=---==+⎰⎰7（1）arcsin x C ==+7（2）arcsind xC ax d x =====+⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎰⎰8（1）221arctan 11dx dx x C x x ==+++⎰⎰8（2）222222221111arctan 111d dx x dx C a x a x a a a x x x d dx x a x a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪=====+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎝⎭⎛⎫⎪+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰，（0a >）9（1）352525s sin cos sin cos sin i c s o c n o s xd x xdx x x x x x d x =⋅-⋅=⎰⎰⎰862575cos cos (1cos )cos cos (cos cos )cos 86x xx x d x x x d x C =--⋅⋅=-⋅=-+⎰⎰9（2）353434c sin cos sin cos sin cos os sin x x xdx x x x dx d x x =⋅=⋅⎰⎰⎰468322357sin sin sin sin (1sin )sin (sin 2sin sin )sin 438x x xx x d x x x x d x C =-⋅=-+⋅=-++⎰⎰10（1）1ln 111l l n ln ln l ln n n ln dx d x C x x x x dx d x x x x =⋅=⋅=⋅=+⋅⎰⎰⎰⎰ 10（2）222211111ln ln ln ln ln n ln l dx d C x x x x d x xx x d x x ⋅=⋅=⋅=⋅=-+⎰⎰⎰⎰11（1）242424222222()arctan(21)222)121122(xdx d x C x x x x x x x x dx x dx ====+++++++++++⎰⎰⎰⎰ 11（2）2242422422121()2521112252524()xdx d x xdx d x x x x x x x x +===++++++++⎰⎰⎰⎰ 2222222121(1)111arctan()8442111122x d d x x C x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭===+⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰12、s 22dx dx dx =⋅=⋅=⎰⎰⎰2s i 2s C C =⋅=-+=-+⎰13、222211222122xx xx e dx e d x d e x C e ===+⎰⎰⎰14、 43333co sin sin cos sin sin s sin i 4sin s n xx xdx x x d C dx x x x d x =⋅=⋅=⋅=+⎰⎰⎰⎰15、100(25)x dx +⎰10010010011(25)(25)2(25)(25)(25)2dx d x x x x d x =+⋅=+++⋅+⋅=⎰⎰⎰ 1001100111(25)(25)(25)101111(25)22202x x x d C x C =⋅=⋅+=+++++⎰16、2222222111sin sin s 2in sin cos 22x x x x x dx x xdx dx x d C =⋅=⋅=⋅=-+⎰⎰⎰⎰ 17、ln 1ln dx d d x x x ===⎰3122ln ln (1ln )(1ln )2(1ln )2(1ln )3d x d xd x d x x x C =-=+-+=+-++⎰⎰18、arctan arctan arctan arc arct 2tan 2an arcta 11arct 1n an x x x xx e dx e e e d e C x dx d x xx +=⋅=⋅=⋅=++⎰⎰⎰⎰ 19、22(1)x d xd dx x ===--2(1)d x C -=-=20、si n cos x dx d x =-=3221coscos 2cosx C x d x --=-=+⎰21、111()ln(22222)2x x x x x xx x x e dx d e e dx d e C e e e ee =⋅=⋅==+++++++⎰⎰⎰⎰22、23222ln ln ln l 1ln ln ln n 3x x dx x x x x d C x dx d x x =⋅=⋅=⋅=+⎰⎰⎰⎰ 23、C ====+24、2221()177(112()()()2224224d x dx x x x x d x dx -===-+-+-+-⎰⎰⎰1()1d x C C x -==-+=+⎰ 25、计算⎰，22a b ≠【分析】因为：22222222(sin cos )'2sin cos 2cos (sin )2()sin cos a x b x a x x b x x a b x x +=+-=- 所以：222222(sin cos )2()sin cos d a x b x a b x xdx +=- 2222221sin cos (sin cos )2()x xdx d a x b x a b =⋅+-【解答】2222221a b ==-2222221C a b =+-【不定积分的第二类换元法】 已知()()f t dt F t C =+⎰求()(())()(())'()g x dx g t d t g t t dt ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰【做变换，令()x t ϕ=，再求微分】 ()()f t dt F t C ==+⎰ 【求积分】1(())F x C ϕ-=+ 【变量还原，1()t x ϕ-=】__________________________________________________________________________________________ 【第二换元法例题】1、22sin sin sin 2si 2n t x t t t tdt t t dt tdt =⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰2cos t t C C =-+-+变量还原2（1）2211122111211t x t dt td t dt dt t t t t t =⎛⎫⋅=⋅==- ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ())2l n |1|l |t t t C C =-++-++变量还原2（2）22(1)(1)2(1)1111221t x t d t dt dt t t t t dt t t =--⎛⎫⋅=⋅==- ⎪⎝⎭--⎰⎰⎰⎰⎰令()()12ln ||21ln |1t t t C C ==-++-++变量还原3、343324332(1)1(1)(1)4(1)3tx t dx t t t d t t t dt =-⋅=--⋅⋅⋅-⎰ 746312()1274t t t t dt C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰12t C -+⎝=⎭变量还原4、222221112(1)(1)12t x t dt td dt t t t t t t =⋅====⋅=+++⎰⎰⎰2arctan t t C C =+变量还原5、ln 111111111(1)11ln xx e t x t dx dt dt e t t t t t t t t t d d =========⎛⎫⋅=⋅==- ⎪+++++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰令 l n ||l n |1|l n l n 11xxx t e te t t C C C te========-++=+++=+变量还原6、6223236522111661(1)(61)11t x t t dt dt t t t t t dt t t d t =⎛⎫⋅=⋅==- ⎪++++==⎝⎭⎰⎰⎰⎰6(arctan )t t t C C +=-+变量还原【注】被积函数中出现了两个根式时，可令t =，其中k 为,m n 的最小公倍数。

不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

不定积分典型例题一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式.例1、求∫(1−1)x x dx x 234−54714解原式＝∫(x −x )dx =x 4+4x 4+C 7e 3x +1例2、求∫x dx e +1解原式＝∫(e 2x −e x +1)dx =例3、求∫12x e −e x +x +C 21dx 22sin x cos xsin 2x +cos 2x 11解原式=∫dx =dx +dx =tan x −cot x +C 2222∫∫sin x cos x cos x sin x例4、∫cos 2解原式＝∫x dx 2x +sin x 1+cos x dx =+C 22x 2例5、∫dx 21+x x 2+1−11dx =(1−解原式=∫∫1+x 2)dx =x −arctan x +C 1+x 2注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.二、第一类换元积分法(凑微分法)∫f (x )dx =∫g [ϕ(x )]ϕ'(x )dx 凑成令ϕ(x )=u =∫g (u )du 求出=G (u )+C 还原=G [ϕ(x )]+C 在上述过程中，关键的一步是从被积函数f (x )中选取适当的部分作为ϕ'(x )，与dx 一起凑成ϕ(x )的微分d ϕ(x )=du 且∫g (u )du 易求.tan x dx cos x例1、求∫3−2sin x −d cos x =−∫(cos x )2d cos x =+C dx =∫解原式＝∫cos x cos x cos x cos x cos x例2、求∫arcsin xx −x 2dx解原式=∫arcsin x1−x ⋅1x dx =∫2arcsin x1−(x )2d (x )=2∫arcsin xd (arcsin x )=(arcsin x )2+C注1dx =2d (x )x1−x9−4x 2 例3、求∫dx1−1d (2x )12 解原式=∫+∫(9−4x )2d (9−4x 2)232−(2x )28=12∫2d (x )11213+9−4x 2=arcsin x +9−4x 2+C 423421−(x )23例4、求∫tan 1+x 2⋅x1+x 2dx解原式＝∫tan1+x 2d 1+x 2=−ln |cos 1+x 2|+C 例5、求∫x x −x −12dxx (x +x 2−1)22dx =x dx +x x −1dx 解原式＝∫2∫∫x −(x 2−1)3x 31x 31222=+∫x −1d (x −1)=+(x −1)2+C 3233例6、求∫1dx 1+tan xcos x 1cos x −sin x )dx dx =∫(1+sin x +cos x 2cos x +sin x解原式＝∫=1⎡1⎤1++(cos sin )x d x x =(x +ln |cos x +sin x |)+C ∫⎢⎥2⎣cos x +sin x ⎦211+x ln dx 1−x 21−x11+x 1+x 121+x ln (ln +C )d ln =∫21−x 1−x 41−x例7、求∫ 解原式＝ 例8、求∫1dx x e +1e x 1+e x −e x dx =∫dx −∫dx 解原式＝∫e x +11+e x=∫dx −∫1x x d (1+e )=x −ln(1+e )+C x1+e例9、求∫1dx e x +e −xe x 1 解原式＝∫2x dx =∫d (e x )=arctan e x +C x 2e +11+(e ) 例10、求∫sin x dx 1+sin x11−sin x )dx =∫dx −∫dx 21+sin x cos x解原式＝∫(1−=x −∫1sin x dx +dx =x −tan x +sec x +C 22∫cos x cos x例11、求∫dx x 2−3ln x−12 解原式=∫(2−3ln x )d (ln x )1111(2−3ln x )2+C =∫(2−3ln x )(−)d (2−3ln x )=−⋅33−1+12−12=−22−3ln x +C 31dx a 2sin 2x +b 2cos 2x1b 2+a 2tan 2x d (tan x )=11a (tan x )d ab ∫1+(a tan x )2b b例 12、求∫ 解原式＝∫=1a arctan(tan x )+C ab bx 4+1dx 例13、求∫6x +1(x 2)2−x 2+1x 2x 4−x 2+1+x 2dx +∫32dx dx =∫解原式＝∫(x 2)3+1(x )x 6+1=∫111133dx +dx =arctan x +arctan x +C 232∫1+x 31+(x )3例14、求∫1dx x (1+x 8)1+x 8−x 811x 78=−dx dx dx 解原式＝∫=ln |x |−ln(1+x )+C 88∫x ∫1+x x (1+x )8例15、求∫3x −2dx x 2−4x +53d (x 2−4x +5)1+4∫2 解原式＝∫2dx 2x −4x +5x −4x +5d (x −2)3ln |x 2−4x +5|+4∫22(x −2)+13ln |x 2−4x +5|+4arctan(x −2)+C 2== 注由于分子比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数，把积分化为形1dx 的积分(将分母配方，再凑微分).如∫2ax +bx +cx 2 例16、已知f (x −1)=ln 2，且f [ϕ(x )]=ln x ，求∫ϕ(x )dx .x −22x 2−1+1x +1 解 因为f (x −1)=ln 2，故f (x )=ln ，又因为x −1−1x −12f [ϕ(x )]=ln ϕ(x )+1ϕ(x )+1x +1=ln x ，得=x ，解出ϕ(x )=，从而ϕ(x )−1ϕ(x )−1x −1∫ϕ(x )dx =∫ 例17、求∫x +12dx =∫(1+)dx =x +2ln |x −1|+C x −1x −11dx cos 4x1 解原式=∫sec 2xd tan x =∫(1+tan 2x )d tan x =tan x +tan 3x +C 3例18、求∫1+ln x dx 22+(x ln x ) 解原式＝∫1d (x ln x )x ln x arctan(=)+C 2+(x ln x )222三、第二类换元法设x =ϕ(t )单调可导，且ϕ'(t )≠0，已知∫f [ϕ(t )]ϕ'(t )dt =F (t )+C ，则∫f (x )dx 令x =ϕ(t )=∫f [ϕ(t )]ϕ'(t )dt =F (t )+C t =ϕ−1(x )还原=F [ϕ−1(x )]+C选取代换x =ϕ(t )的关键是使无理式的积分化为有理式的积分(消去根号)，同时使∫f [ϕ(t )]ϕ'(t )dt 易于计算.例1、求∫xdx(x +1)1−x 22 解令x =sin t ,dx =cos tdt原式＝∫111sin t cos tdt d cos t (=−)d cos t =−+22∫∫(sin t +1)cos t 2−cos t 222−cos t 2+cos t2+cos t 12+1−x 2ln +C =−+C ln =−2222−cos t 222−1−x 1例2、求∫dxx41+x2解令x=tan t,dx=sec2tdtsec2tdt cos3tdt1−sin2t原式＝∫=∫=∫d sin t=∫(sin−4t−sin−2t)d sin t 444tan t⋅sec t sin t sin t(1+x2)3(1+x2)111++C=−++C=−333sin t sin t3x xx2−9dxx2例3、求∫解令x=3sec t，则dx=3sec t⋅tan tdt3tan t tan2t原式＝∫⋅3sec t⋅tan tdt=∫dt=∫(sec t−cos t)dt29sec t sec t=ln|sec t+tan t|−sin t+C1x x2−a2x2−a2=ln+−+C1a a xx2−a2+C=ln x+x−a−x22例4、求∫1dxx(x7+2)11 解令x=，则dx=−2dt，t t1t 6117 原式=∫(−2)dt =−∫dt =−d (1+2t )77∫11+2t 141+2t +2t 7t t 111ln |1+2t 7|+C =−ln |2+x 7|+ln |x |+C 14142=− 注设m ,n 分别为被积函数的分子，分母关于x 的最高次数，当n −m >1时，可用倒代换求积分.例5、求∫x +1x 2x −12dx11 解令x =，dx =−2dt t t 1+111+t 1d (1−t 2)t (−2)dt =−∫dt =−∫dt +∫ 原式=∫222t 111−t 1−t 21−t −1t 2t 2=−arcsin t +1−t +C =2x 2−11−arcsin +C x x例6、求∫x 3x −x 24dxt 10⋅t 4t 6t 1411解原式=11∫83⋅12t dt =12∫5dt =12∫5dt dx =12t dt t −t t −1t −1令12x =t t 10−1+14121121212⋅t dt =∫(t 5+1+5)dt 5=t 10+t 5+ln |t 5−1|+C =12∫5t −15t −1105561212=x 6+x 12+ln x 12−1+C 555555例7、求∫dx1+e x解令1+e x =t ，e x =t 2−1，dx =2t dt 2t −112t 1t −11+e x −1原式＝∫⋅2dt =2∫2dt =ln +C =ln +C x t t −1t −1t +11+e +1ln x dx x 1+ln x例8、求∫解令t =1+ln x原式=∫ln x t −1d ln x =∫dt 1+ln x t112322=∫(t −)dt =t −2t 2+C =(ln x −2)1+ln x +C 33t例9、求∫x +1−1dx x +1+1解令x +1=t ,x =t 2−1,dx =2tdt因为原式=∫x +2−2x +1x +1dx =x +2ln |x |−2∫dx x x而∫x +12t 2dt 1dx =∫2=2∫(1+2)dt x t −1t −1t −1x +1−1+C =2x +1+ln +C t +1x +1+1=2t +ln原式＝x +2ln |x |−4x +1−2ln x +1−1+C ＝x −4x +1+4ln x +1+1+C x +1+1四、分部积分法分部积分公式为∫uv 'dx =uv −∫u 'vdx 使用该公式的关键在于u ,v '的选取，可参见本节答疑解惑4.例1、求∫x 3e x dx解原式＝∫x 3de x =x 3e x −3∫x 2de x =x 3e x −3x 2e x +6∫xde x =x 3e x −3x 2e x +6xe x −6e x +C例2、求∫x 2cos 2解原式=x dx 2121312x (1+cos x )dx =x +∫x cos xdx ∫262=131211x +∫x d sin x =x 3+x 2sin x −∫x sin xdx 6262131211x +x sin x +∫xd cos x =x 3+x 2sin x +x cos x −∫cos xdx 62621312x +x sin x +x cos x −sin x +C 623==例3、求∫e x dx令3x =t 解原式dx =3t 2dt=3∫t e dt =3∫t de 2t 2t =3t 2e t −6te t +6e t +C=33x 2e 3x −63xe 3x +6e 3x +C例4、求∫cos(ln x )dx解原式=x cos(ln x )+∫sin(ln x )dx=x cos(ln x )+x sin(ln x )−∫cos(ln x )dxx移项，整理得原式=[cos(ln x )+sin(ln x )]+C2注应用一次分部积分法后，等式右端循环地出现了我们所要求出的积分式，移项即得解，类似地能出现循环现象的例题是求如下不定积分：αxe ∫cos βxdx 或αxe ∫sin βxdx例5、求∫ln(x +1+x 2)dx解原式=x ln(x +1+x 2)−∫x 1+x 2dx =x ln(x +1+x 2)−1+x 2+Cln 3x例6、求∫2dx x 1ln 3x 1 解原式＝=∫−ln xd ()=−−3∫ln 2xd ()x x x3ln 3x ⎡ln 2x 1⎤ln 3x 3ln 2x 6ln x 6−3⎢+2∫ln xd ()⎥=−−−−+C=−x x ⎦x x x x ⎣x例7、推导∫1dx 的递推公式22n(x +a ) 解令I n =∫1dx (x 2+a 2)nx x 2+a 2−a 21x 2I n =2n +dx 222=+−nI na dx n 2n 22n +122n 22n +1∫∫(x +a )(x +a )(x +a )(x +a )=x 2+2nI −2na In +1n 22n(x +a )I n +1=12na 2⎡⎤x(2n 1)I +−n ⎥⎢(x 2+a 2)n ⎣⎦⎡⎤x(2n 3)I +−n −1⎥⎢(x 2+a 2)n −1⎣⎦I n =12(n −1)a 2例8、推导I n=∫tan n xdx 的递推公式.解I n=∫tan n −2x ⋅tan 2xdx =∫tan n −2x ⋅(sec 2x −1)dx=∫tan n −2x ⋅sec 2xdx −∫tan n −2xdx =∫tann −2xd (tan x )−In −2=1tan n −1x −I n −2n −1注应用分部积分法可以建立与正整数n 有关的一些不定积分的递推公式.例9、已知f (x )的一个原函数是e −x ，求∫xf '(x )dx解原式=∫xdf (x )=xf (x )−∫f (x )dx =xf (x )−e −x +C例10、求∫x arctan x ln(1+x2)dx解因为∫x ln(1+x 2)dx ==221ln(1+x 2)d (1+x 2)∫211(1+x 2)ln(1+x 2)−x 2+C 221⎤⎡1所以 原式＝∫arctan xd ⎢(1+x 2)ln(1+x 2)−x 2⎥2⎦⎣211⎡x 2⎤2222=(1+x )ln(1+x )−x arctan x −∫⎢ln(1+x )−2⎥22⎣1+x ⎦[]=13x arctan x (1+x 2)ln(1+x 2)−x 2−3−ln(1+x 2)+x +C 222[]注本题是三类函数相乘的形式，这类问题大多采用本题的方法.xe arctan xdx 例11、求∫2(1+x )解令x =tan t ,dx =sec 2tdttan t ⋅e t sec 2tdt =∫sin t cos te t dt 原式=∫4sec te arctan x (x 2+x −1)11t t +C =∫sin 2te dt =e (sin 2t −cos 2t )+C =25(1+x )210x 2arctan xdx 例12、求∫21+x 解原式＝∫(1−11=−)arctan xdx arctan xdx ∫∫1+x 2arctan xdx 1+x 211=x arctan x −ln(1+x 2)−(arctan x )2+C22arcsin x 1+x 2⋅dx 例13、求∫22x 1−x 解令x =sin t ,arcsin x =t ,dx =cos tdt ，t (1+sin 2t )t cos ⋅tdt = 原式=∫∫sin 2tdt +∫tdt sin 2t cos t=td (−cot t )+∫121t=−t cot t +∫cot tdt +t2221=−t cos t +ln |sin t |+t 2+C21−x 21=−arcsin x +ln |x |+(arcsin x )2+Cx 2注直接积分法、换元法、分部积分法是求不定积分最重要的方法，主要用到了“拆、凑、换、分”的技巧，同时应注意这些方法的综合运用.五、有理函数的积分有理函数的积分总可化为整式和如下四种类型的积分：(1)∫Adx =A ln |x −a |+C x −a−AA 1dx =+C (n ≠1)n n −1(x −a )n −1(x −a )(2)∫(3)∫dx dx dx =∫⎡p 4q −p 2⎤n(x 2+px +q )n 2⎢(x +)+⎥24⎣⎦p令x +＝u24q −p 2令＝a 4=du 22n∫(u +a )2(4)∫(x +a )dx 11p dx()dx a =−+−,其2n 2n −12n∫(x +px +q )2(n −1)(x +px +q )2(x +px +q )中p 2−4q <0.这就是说有理函数积分，从理论上讲，可先化假分式为整式与真分式之和，再将真分式化为若干部分分式之和，然后逐项积分，但这样做有时非常复杂，因此我们最好先分析被积函数的特点，寻求更合适，更简捷的方法也是很必要的.例1、求∫dx2x −2x +31dx d (x −1)x −1arctan ==+C(x −1)2+2∫2+(x −1)222解原式＝∫x 2+5x +4例2、求∫4dx 2x +5x +4x 2+4x解原式＝∫2dx +5dx222∫(x +1)(x +4)(x +1)(x +4)dx 5dx 25112=∫2arctan x ()dx +∫2=+−222∫x +12(x +1)(x +4)6x +1x +45x 2+1+C=arctan x +ln 26x +4本题若用待定系数法，较麻烦一些，也可获得同样的结果.事实上，x 2+5x +4Ax +B Cx +D 设4=2+2，通分后应有2x +5x +4x +1x +4x 2+5x +4=(Ax +B )(x 2+4)+(Cx +D )(x 2+1)得A +C =0，B +D =0，4A +C =5，4B +D =4比较等式两端x 的同次幂的系数，55由此，A =,B =1,C =−,D =−1335⎡5⎤−−+11x x ⎢3⎥5x 2+13+2+arctan x +C 故原式＝∫⎢2⎥dx =ln 2x +4⎥6x +4⎢x +1⎣⎦例3、求∫解设xdx3x −1x A Bx +C2=+，通分后应有x =A (x +x +1)+(Bx +C )(x −1)32x −1x −1x +x +1比较等式两端x 的同次幂的系数，得A +B =0,A −B +C =1,A −C =0，由此，111A =,B =−,C =333⎡1⎤x −1故原式＝∫⎢dx −⎥2⎣3(x −1)3(x +x +1)⎦1d (x +)1dx 12x +112dx +∫=∫−∫23x −16x +x +12(x +1)2+324(x −1)212x +11=ln 2+arctan +C 6x +x +133例4、求∫dx24x (1−x )(x 2+1)−x 211解原式＝∫2dx dx =−∫x 2(1−x 2)∫(1−x 2)(1+x 2)dx x (1−x 4)=∫(11111+−+)dx ()dx x 21−x 22∫1−x 21+x 211111=−+∫−dx dx 22∫21+x x 21−x 111+x 1−arctan x +C=−+ln x 41−x 2注：本题若用待定系数法，应当将被积函数分解为A B C D Ex +F11==++++x 2(1−x 4)x 2(1−x )(1+x )(1+x 2)x x 21−x 1+x 1+x 2然后再确定系数，显然这样做比较麻烦，也可获同样结果，此处从略.x 11dxdx 例5、求∫8x +3x 4+3解令x 4=u ，则du =4x 3dx ，于是，u 21411−原式=∫2du =∫(1+)du u +1u +24u +3u +241x 41=(u +ln |u +1|−4ln |u +2|+C )=+ln(1+x 4)−ln(x 4+2)+C 444x 5例6、求∫dx23(2x +3)解令2x 2+3=t ,x 2=t −3,4xdx =dt ，从而，2(t −3)21169原式＝∫dt =(−2+3)dt 3∫4⋅4t 16t t t 169169(ln |t |+−2)+C =[ln |2x 2+3|+2−]+C 221616t 2t 2x +32(2x +3)=x 4dx 例7、求∫4x +5x 2+4x 4−(5x 2+4)解4=1+4x +5x 2+4x +5x 2+4−(5x 2+4)A 1x +B 1A 2x +B2设4=2+2，通分后应有x +5x 2+4x +1x +4−(5x 2+4)=(A 1x +B 1)(x 2+4)+(A 2x +B 2)(x 2+1)116由此，A 1=0,B 1=,A 2=0,B 2=−，故33⎡18116⎤xdx −原式＝∫⎢1+arctan arctan =x +x −+C ⎥223(1)3(4)++x x 332⎣⎦例8、求∫dx 102x (x +1)x 10+1−x 10x 911==−10解由于102102102x (x +1)x (x +1)x (x +1)(x +1)1x 9x 9=−10−102x (x +1)(x +1)⎤⎡1x 9x 91d (x 10+1)1d (x 10+1)dx =ln |x |−∫10原式＝∫⎢−10−∫10−102⎥2x x x (1)(1)10x +110(x +1)++⎦⎣111x 10110=ln |x |−ln(x +1)++C =ln ++C10x 10+110(x 10+1)1010(x 10+1)注对被积函数先做初等变形常常可以使问题得到简化，常见的初等变形有：分子分母同乘一个因子；有理化；加一项或者减一项以及利用三角函数恒等变形等.六、三角函数有理式的积分一般从理论上讲，三角函数有理式的积分∫R (sin x ,cos x )dx 可通过万能代换x化为代数有理式的积分，但有时较繁，因此我们常采用三角恒等变形，2然后再求解.t =tan 例1、求∫dx4sin x cos xsin 2x +cos 2x sin x dx dx dx =+解原式＝∫442∫∫sin x cos x cos x sin x cos x=−∫=sin x dx1d (cos x )dx ++∫cos 2x ∫sin xcos 4x x 111d (cos x )x −+ln |tan |=++ln |tan |+C 3cos 3x ∫cos 2x 23cos 3x cos x 2例2、求∫1+sin xdxx x x x +cos 2+2sin cos dx2222解原式＝∫sin 2=∫(sin x x x x x x+cos )2dx =∫(sin +cos )dx =−2cos +2sin +C222222例3、求∫dx2sin x −cos x +5x 2t 1−t 22dt,cos x ,dx ==，于是解令t =tan ，则sin x =22221+t 1+t 1+t x ⎞⎛3tan +1⎟⎜11dt ⎛3t +1⎞2⎟+C 原式＝∫2arctan ⎜arctan ⎜=⎟+C =3t +2t +2555⎜⎟⎝5⎠⎜⎟⎝⎠例4、求∫sin xdx 1+sin xsin x (1−sin x )sin x 1−cos 2xdx =∫dx −∫dx 解原式＝∫cos 2x cos 2x cos 2x=1−tan x +x +C cos xsin xdx sin x +cos x1sin x +cos x +sin x −cos x 1⎛sin x −cos x ⎞dx =⎜1+⎟dx ∫∫2sin x +cos x 2⎝sin x +cos x ⎠例5、求∫解原式＝=11−d (sin x +cos x )1x +∫=(x −ln |sin x +cos x |)+C 22sin x +cos x 2例6、求∫sin 5x cos xdx解原式＝111[sin 4x +sin 6x ]dx =−cos 4x −cos6x +C 2∫812注积化和差公式1sin αx ⋅cos βx =[sin(α+β)x +sin(α−β)x ]21sin αx ⋅sin βx =[cos(α−β)x −cos(α+β)x ]21cos αx ⋅cos βx =[cos(α+β)x +cos(α−β)x ]2例7、求∫dx2(2+sin x )cos x解令sin x =t ,cos xdx =dt1(2+t 2)+(1−t 2)dt =于是原式＝∫dt(2+t 2)(1−t 2)3∫(2+t 2)(1−t 2)=1dt 111+t 1dt tln +=+arctan()+C 22∫∫31−t 32+t 61−t 32211+sin x 1sin xarctan(=ln +)+C 61−sin x 322注形如∫R (sin x ,cos x )dx 的有理函数的积分，一般可利用代换tan 为有理函数的积分.(i) 若R (−sin x ,cos x )=−R (sin x ,cos x )或R (sin x ,−cos x )=−R (sin x ,cos x )成立，最好利用代换cos x =t 或对应的sin x =t .(ii) 若等式R (−sin x ,−cos x )=R (sin x ,cos x )成立，最好利用代换tan x =t .x=t 化2例8、求∫sin xdx sin 3x +cos 3x解令tan x =t ，则sec 2xdx =dt ，于是t 1(1+t )2−(1−t +t 2)1t +11dt dt =dt =dt −原式＝∫1+t 33∫(1+t )(1−t +t 2)3∫1−t +t 23∫1+t 112t −11arctan()−ln |1+t |+C ＝ln(t 2−t +1)+63332tan x −11tan 2x −tan x +11+arctan()+C ＝ln 26(1+tan x )33 21。

【不定积分的第一类换元法】已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰ （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰ （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰ （5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】1、9999(57)(57)(5711(57)(57)55)(57)dx d x d x dx x x x x +=+⋅=+⋅=+⋅++⎰⎰⎰⎰ 110091(57)(57)(57)10111(57)5550d C x x x x C =⋅=⋅+=+++++⎰ 【注】1(57)'5,(57)5,(57)5x d x dx dx d x +=+==+⇒⇒2、1ln ln ln ln dx d x xx dx x x x =⋅=⋅⎰⎰⎰221(l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =⋅=+=+⎰【注】111(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x===⇒⇒3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x xxx --====⎰⎰⎰⎰⎰cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x=-=-+=-+⎰【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-⇒⇒ 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d xx x x===⎰⎰⎰⎰sin ln |si ln |sin |n |sin xx d C x C x==+=+⎰【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==⇒=⇒ 4（1）1()11d dx a x a x a d x x a x =⋅=⋅++++⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a xC ++=⋅=+=+++⎰【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+⇒⇒ 4（2）1()11d dx x a x x x d a a x a =⋅=⋅----⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x aC --=⋅=+=--+⎰【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-⇒⇒ 4（3）22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ⎛⎫- ⎪--+⎝⎛⎫=-+⎭==- ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()11ln ||ln ||ln22x ax a x a C C a a x a-=--++=++ 5（1）2sec ()sec tan sec sec tan sec tan sec sec tan x x x x xdx x x x xdx dx x x+==⋅+++⎰⎰⎰ tan sec tan sec sec ()()ln |sec tan |se tan c tan d x x x x x xd x x C x x +===+++++⎰⎰5（2）2221cos sec cos c cos sin os cos 1sin x xdx dx dx x xx dx d x x x ====-⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 2sin si 1111sin 111sin ln ln 1n sin 2112sin 121s sin sin in d x x x x x xd C C x xx --⎛⎫==-⋅=+=+ ⎪--+++⎝⎭⎰⎰6（1）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x xdx x x x xdx dx x x+==⋅+++⎰⎰⎰ ()()ln |csc cot |csc c cot csc csc cot csc o ot t c d d x x x x x xx x C x x --+=-==+-+++⎰⎰6（2）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x xdx x x x xdx dx x x==⋅----⎰⎰⎰ ()(cot csc csc co )ln |csc t csc co cot |c t sc cot d x x x x d x x xx x C x -+-=---==+⎰⎰7（1）arcsin x C ==+⎰7（2）arcsind xC ax d x =====+⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎰8（1）221arctan 11dx dx x C x x==+++⎰⎰ 8（2）222222221111arctan 111d dx x dx C a x a x a a a x x x d dx x a x a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪=====+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎝⎭⎛⎫⎪+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰，（0a >） 9（1）352525s sin cos sin cos sin i c s o c n o s xd x xdx x x x x x d x =⋅-⋅=⎰⎰⎰862575cos cos (1cos )cos cos (cos cos )cos 86x xx x d x x x d x C =--⋅⋅=-⋅=-+⎰⎰9（2）353434c sin cos sin cos sin cos os sin x x xdx x x x dx d x x =⋅=⋅⎰⎰⎰468322357sin sin sin sin (1sin )sin (sin 2sin sin )sin 438x x xx x d x x x x d x C =-⋅=-+⋅=-++⎰⎰10（1）1ln 111l l n ln ln l ln n n ln dx d x C x x x x dx d x x x x =⋅=⋅=⋅=+⋅⎰⎰⎰⎰ 10（2）222211111ln ln ln ln ln n ln l dx d C x x x x d x xx x d x x ⋅=⋅=⋅=⋅=-+⎰⎰⎰⎰ 11（1）242424222222()arctan(21)222)121122(xdx d x C x x x x x x x x dx x dx ====+++++++++++⎰⎰⎰⎰ 11（2）2242422422121()2521112252524()xdx d x xdx d x x x x x x x x +===++++++++⎰⎰⎰⎰2222222121(1)111arctan()8442111122x d d x x C x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭===+⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 12、s 22dx dx dx ==⋅=⎰⎰⎰2C C ==-=-⎰ 13、222211222122x x xx e dx e d x d e x C e ===+⎰⎰⎰ 14、 43333co sin sin cos sin sin s sin i 4sin s n xx xdx x x d C dx x x x d x =⋅=⋅=⋅=+⎰⎰⎰⎰ 15、100(25)x dx +⎰10010010011(25)(25)2(25)(25)(25)2dx d x x x x d x =+⋅=+++⋅+⋅=⎰⎰⎰ 1001100111(25)(25)(25)101111(25)22202x x x d C x C =⋅=⋅+=+++++⎰ 16、2222222111sin sin s 2in sin cos 22x x x x x dx x xdx dx x d C =⋅=⋅=⋅=-+⎰⎰⎰⎰17、ln 1ln dx d d x x x ===⎰3122ln ln (1ln )(1ln )2(1ln )2(1ln )3d x d xd x d x x x C =-=+-+=+-++18、arctan arctan arctan arc arct 2tan 2an arcta 11arct 1n an x x x xx e dx e e e d e C x dx d x xx +=⋅=⋅=⋅=++⎰⎰⎰⎰ 19、22(1)x d xd dx x ===--2(1)d x C -=-=20、si n cos x dx d dx x =-=3221coscos 2cosx C x d x --=-=+⎰21、111()ln(22222)2x x x xx x x x x e dx d e e dx d e C e e e ee =⋅=⋅==+++++++⎰⎰⎰⎰22、23222ln ln ln l 1ln ln ln n 3x x dx x x x x d C x dx d x x =⋅=⋅=⋅=+⎰⎰⎰⎰ 23、C ==== 24、2221()177112()()()22424d x dx x x x x d x dx -===-+-+-+-⎰⎰⎰1()1d x C C x -==-+=+⎰ 25、计算⎰，22a b ≠【分析】因为：22222222(sin cos )'2sin cos 2cos (sin )2()sin cos a x b x a x x b x x a b x x +=+-=- 所以：222222(sin cos )2()sin cos d a x b x a b x xdx +=- 2222221sin cos (sin cos )2()x xdx d a x b x a b =⋅+-【解答】2222221a b ==-2222221C a b ==-【不定积分的第二类换元法】 已知()()f t dt F t C =+⎰求()(())()(())'()g x dx g t d t g t t dt ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【做变换，令()x t ϕ=，再求微分】 ()()f t dt F t C ==+⎰ 【求积分】1(())F x C ϕ-=+ 【变量还原，1()t x ϕ-=】__________________________________________________________________________________________ 【第二换元法例题】1、22sin sin 2si 2n t x t t t tdt t t dt tdt =⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰2cos t t C C =-+-+变量还原2（1）22111122111211t x t dt td t dt dt t t t t t =⎛⎫⋅=⋅==- ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ())2ln |1|2ln |1t t t C C =-++++变量还原2（2）22(1)(1)2(1)1111221t x t d t dt dt t t t t dt t t =--⎛⎫⋅=⋅==- ⎪⎝⎭--⎰⎰⎰⎰⎰令()()12ln ||21ln |1|t t t C C ==-++++变量还原3、343324332(1)111(1)(1)4(1)3tx t dx t t t d t t t dt =-⋅=--⋅⋅⋅-⎰ 746312()1274t t t t dt C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1274t C -+⎝=⎭变量还原4、222221112(1)(1)12t x t dt td dt t t t t t t =⋅====⋅=+++⎰⎰⎰2arctan t t C C =+变量还原5、ln 111111111(1)11ln xx e t x t dx dt dt e t t t t t t t t t d d =========⎛⎫⋅=⋅==- ⎪+++++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰令 ln ||ln |1|ln ln 11xxx t e t e t t C C C t e========-++=+++=+变量还原 6、6223236522111661(1)(61)11t x t t dt dt t t t t t dt t t d t =⎛⎫⋅=⋅==- ⎪++++==⎝⎭⎰⎰⎰⎰6(arctan )arctan t t t C C +=-+变量还原【注】被积函数中出现了两个根式时，可令t =，其中k 为,m n 的最小公倍数。

求不定积分的若干方法一、换元法换元法是求不定积分常用的一种方法之一、通过引入一个新的变量，使得原积分的形式更加简单化，从而更易求解。

1. 微分换元法：设 u=g(x)，则 du=g'(x)dx，通过替换变量 x 和dx，将原积分转化为对新变量 u 的积分。

例子：求∫(2x+1)²dx。

取 u=2x+1，则 du=2dx，将积分转化为∫u²/2du=u³/6+C=(2x+1)³/6+C。

2.三角换元法：根据三角函数的性质，通过适当的三角函数换元，将积分转化为更简单的形式。

例子：求∫sin²xdx。

利用三角公式sin²x=(1-cos2x)/2，将积分转化为∫(1-cos2x)/2dx=x/2-sin2x/4+C。

3.指数换元法：常用于含有指数、对数函数的积分求解。

通过引入指数函数或对数函数，将积分转化为更易处理的形式。

例子：求∫eˣsinxdx。

利用指数换元 eˣ=sinhx+coshx，将积分转化为∫(sinhxcoshx+cos²hx)dx=(1/2)sinh²x+(1/2)x+C。

二、分部积分法分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。

对于积分中的乘积形式，可以通过分部积分来简化积分的形式。

公式：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx，其中 u(x) 和 v(x) 是可导的函数。

例子：求∫xlnxdx。

取 u=lnx，v'=xdx，则 u'=1/x。

利用分部积分公式，可得∫xlnxdx=(1/2)x²lnx-(1/2)∫xdx=(1/2)x²lnx-(1/4)x²+C。

三、特殊函数的不定积分1.幂函数的不定积分：- 当n≠-1 时，∫xⁿdx=(xⁿ⁺¹)/(n+1)+C；- 当 n=-1 时，∫(1/x)dx=ln，x，+C。

第四节 不定积分的换元积分法不定积分时若凑微分法、分部法均解决不了问题，且被积函数中含有复杂的量arcsin x 、()nax b +等），则可以考虑使用换元积分法.一、换元积分法例6．4．1 求不定积分.解 这里主要障碍是 t = 此时2x t =t ”则211dt t=+⎰ 21t dt t=+⎰ 1121t dt t+-=+⎰ 12(1)1dt t =-+⎰ 22ln 1t t C =-++(2ln 1C =+. 例6．4．2 求不定积分11x dx e+⎰. 解 同样令主要障碍x e t =，此时ln x t = 则11x dx e +⎰1ln 1d t t =+⎰()11dt t t=+⎰ 11()1dt t t=-+⎰ ln ln 1t t C =-++ln(1)x x e C =-++.例6．4．3 求不定积分arcsin xdx ⎰.解 令arcsin x t =，此时sin x t =，则 arcsin xdx ⎰sin td t =⎰sin sin t t tdt =-⎰sin cos t t t C =++arcsin x x C =.例6．4．4 求不定积分()2101x dx x +⎰.解 令()1x t +=，此时1x t =-，则()2101x dx x +⎰ ()()21011t d t t -=-⎰21021t t dt t-+=⎰ 8910(2)t t t dt ---=-+⎰789111749C t t t=-+-+ ()()()789111714191C x x x =-+-++++.从以上例题可见，换元可使复杂积分变得简单，可关键是怎么换.二、换元积分举例例6．4．5 用换元法求下列不定积分：（1）； （2）⎰； （3）；（4）⎰； （5）；（6）. 解（1）21t dt t +221t dt t =+⎰21121t dt t -+=+⎰1211t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ =222ln 1t t t C -+++=(2ln 1x C -++；（2）⎰2t e dt2t te dt =⎰22t t te e dt =-⎰()21t e t C =-+=)21C +；（3） ()2111t d t t --+ 221t t dt t -=+⎰ 22221t t dt t --+=+⎰ 2221t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ ()244ln 1t t t C =-+++=)14ln1x C +-+；（4）⎰ 2222()55t t td -- 422425t t dt -=⎰ 532412575t t C =-+=532412575C -+；（5）⎰()63211dt t t + 226t 661dt t+-=+⎰ 66arctan t t C =-+=C ；（6）21ln(1)d t t- 2121dt t =-⎰ 1111dt t t ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭⎰ 1ln 1t C t -=++ln C =+.t =”也就行了.“2x ”项，问题就不是那么简单了.例6．4．6cos t =（,22t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦）换元，求积分. 解sin cos sin x t td t =⎰2cos tdt =⎰1cos 22t dt +=⎰ 11cos 2224dt td t =+⎰⎰ 11sin 224t t C =++ 11sin cos 22t t t C =++ ()11arcsin cos arcsin 22x x x C =++. 例6．4．7sec t =（,22t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦）换元，求积分.解12tan 2tan 2sec x t d t t=⎰sec tdt =⎰ ln sec tan t t C =++ln sec arctan 22x x C ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.例6．4．8 tan t =（0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）换元，求积分. 解33sec 3sec 27sec 3tan d t x t t t =⋅⎰ 21127sec dt t=⎰ 21cos 27tdt =⎰ 1(1cos 2)54t dt =+⎰ 11sin 254108t t C =++ 11sin cos 5454t t t C =++ 1313arccos sin arccos 5418C x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 例6．4．9 求下列不定积分：（1）sin sin cos x dx x x +⎰；（2）；（3）⎰. 解（1）sin sin cos x dx x x +⎰11cot dx x=+⎰cot x t =1cot 1darc t t +⎰21111dt t t =-++⎰ 2111211t dt t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭⎰ 211112121t dt dt t t-=-+++⎰⎰ 2211111212121t dt dt dt t t t =-+-+++⎰⎰⎰ ()2111ln 1ln 1cot 242t t arc t C =-+++++ =()2111ln 1cot ln 1cot 242x x x C -+++++；（2）dx222= 222dt =+22=-+ 查《积分表》（见文献文献×）12arcsin 2arcsin 2t t C ⎛=-++ ⎝arcsin t C =-+=(C -；（3）⎰t22sec tan t tdt =2tan tan td t =3t C =+3arc s co C x ⎛=+ ⎝⎭； 此题还可以用另一个很简单的解法：⎰212= ()()12221332x d x =--⎰ ()322133x C =-+； 可见换元积分法不是一个很好的方法，凑微分法、分部法均解决不了，再考虑用它. 思考题6.41．本节介绍的换元积分法中，换元的根本目的是什么？应注意什么问题？2．总结一下利用三角公式换元积分法（三角代换法）的三种类型.3．思考凑微分法、分部法及换元法三种积分方法的优先次序，如何选用？ 练习题6.41. 用换元法求下列不定积分：（1）； （2）； （3）()31x dx x -⎰. 2. 利用三角代换求下列不定积分：（1）()0a >； （2）； （3）()0a >．练习题6.4答案1.解（1）()2211t d t t-- ()221t dt =-⎰3223t t C =-+C -； （2）()3121d t t -+ 231t dt t=+⎰ 21131t dt t-+=+⎰ 1311t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ =2333ln 12t t t C -+++=233ln 12C -+； （3）()31xdx x -⎰()3111t d t t--⎰-x=t 31t dt t-=⎰ 2311dt t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 212C t t=-++=()21211C x x ++--.2. 解（1）()0a > sin cos (sin )x a t a td a t =⎰ 22cos a tdt =⎰()21cos 22a t dt =+⎰22sin 224a a t t C =++=2arcsin 2a x C a ； （2）21x 2tan 2tan 4tan 2sec t d t t t =⎰ 21cos 4sin t dt t=⎰ 211sin 4sin d t t=⎰ 14sin C t =-+ 1csc arctan 42x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭； （3）()0a >1x sec sec sec tan a t da t a ta t =⎰ 1dt a =⎰ 1t C a=+ 1arccos a C a x =+．。