高中数学立体几何讲义一

平面与空间直线(Ⅰ)、平面的基本性质及其推论1、空间图形是由点、线、面组成的。

点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法） AaA a ∈ 点A 在直线a 上。

AaA a ∉ 点A 不在直线a 上。

AαA α∈点A 在平面α内。

AαA α∉ 点A 不在平面α内。

b a Aa b A = 直线a 、b 交于A 点。

aαaα直线a 在平面α内。

aαa α=∅ 直线a 与平面α无公共点。

aAαa A α= 直线a 与平面α交于点A 。

l αβ= 平面α、β相交于直线l 。

α⊄a αa ）表示a α=∅或a A α=。

2、平面的基本性质公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A ABB ααα∈⎫⇒⎬∈⎭。

如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。

BA α公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。

例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线． 解：∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β，即E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．如图，已知平面α，β，且α β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）． 证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB CD ＝M ．又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈α β．又∵α β＝l ，∴M ∈l ，即AB ，CD ，l 共点．说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

立体几何专题讲义一、考点分析1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★ 底面为矩形底面为正方形 侧棱与底面边长相等 2. 棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球球的性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；★②r =d 、球的半径为R 、截面的半径为r ）★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2344,3S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径）1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈︒︒：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。

常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。

常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈︒︒：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。

3求二面角的平面角[]0,θπ∈解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

俯视图二、典型例题1．_________________.第1题2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.第2题 第3题3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 .第4题 第5题5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是 a侧(左)视图 正(主)视图 3 俯视图6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 .第6题 第7题7.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm 8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m ），则该几何体的体积为_________m 3。

高中数学专题讲义：立体几何初步第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.知识梳理1.简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等且平行的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形；(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形.2.旋转体的形成3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法①基本要求：长对正,高平齐,宽相等.②在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.4.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A ＝90°,则在直观图中,∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.()解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件,但不是棱柱.(2)反例：如图所示不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时,把x,y轴画成相交成45°或135°,平行于x轴的线还平行于x轴,平行于y轴的线还平行于y轴,所以∠A也可能为135°.(4)正方体和球的三视图均相同,而圆锥的正视图和侧视图相同,且为等腰三角形, 其俯视图为圆心和圆.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形,而圆柱的正视图不可能为三角形.答案A3.如图,长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分,其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱解析由几何体的结构特征,剩下的几何体为五棱柱.答案C4.(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( )解析 先根据正视图和俯视图还原出几何体,再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①,故其侧视图为图②.答案 B5.正△AOB 的边长为a ,建立如图所示的直角坐标系xOy ,则它的直观图的面积是________.解析 画出坐标系x ′O ′y ′,作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图).D ′为O ′A ′的中点.易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点),∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2. 答案 616a 2考点一 空间几何体的结构特征【例1】(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析(1)①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.(2)由圆台的定义可知①错误,②正确.对于命题③,只有平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,③不正确.答案(1)A(2)B规律方法(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可.(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.【训练1】下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析如图1知,A不正确.如图2,两个平行平面与底面不平行时,截得的几何体不是旋转体,则B不正确.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长,C错误.由母线的概念知,选项D正确.答案D考点二空间几何体的三视图(多维探究)命题角度一由空间几何体的直观图判断三视图【例2－1】一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()解析该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等,因此选项B适合.答案B命题角度二由三视图判定几何体【例2－2】(1)(2014·全国Ⅰ卷)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱(2)(2015·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B. 2C. 3D.2解析(1)由题知,该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.(2)由题中三视图知,此四棱锥的直观图如图所示,其中PC⊥平面ABCD,PC＝1,底面四边形ABCD为正方形且边长为1,最长棱长P A＝12＋12＋12＝ 3.答案(1)B(2)C规律方法(1)由实物图画三视图或判断选择三视图,按照“正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样宽”的特点确认.(2)根据三视图还原几何体.①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.②明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为直观图.③根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.提醒对于简单组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.【训练2】(1)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为()(2)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图,则该锥体的正视图可能是()解析(1)还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线,D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.故选B.(2)由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥,底面是长方形,内侧的侧面垂直于底面,所以正视图为A.答案(1)B(2)A考点三空间几何体的直观图【例3】已知等腰梯形ABCD,上底CD＝1,腰AD＝CB＝2,下底AB＝3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.解析如图所示,作出等腰梯形ABCD的直观图：因为OE＝（2）2－1＝1,所以O′E′＝12,E′F＝24,则直观图A′B′C′D′的面积S′＝1＋3 2×24＝22.答案2 2规律方法(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半,平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向,一是已知原图形求直观图的相关量,二是已知直观图求原图形中的相关量.(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形.【训练3】(2017·贵阳联考)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC ＝45°,AB＝AD＝1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.解析如图1,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E.在Rt△ABE中,AB＝1,∠ABE＝45°,∴BE＝2 2.又四边形AECD为矩形,AD＝EC＝1.∴BC＝BE＋EC＝22＋1.由此还原为原图形如图2所示,是直角梯形A′B′C′D′.在梯形A′B′C′D′中,A′D′＝1,B′C′＝22＋1,A′B′＝2.∴这块菜地的面积S＝12(A′D′＋B′C′)·A′B′＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案2＋2 2[思想方法]1.画三视图的三个原则：(1)画法规则：“长对正,宽相等,高平齐”.(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧,俯视图在正视图的正下方.(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出,不可见线和棱用虚线画出.2.棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的,所以在解决棱台和圆台的相关问题时,常“还台为锥”,体现了转化的数学思想. [易错防范]1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,易忽视实虚线的画法.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.关于空间几何体的结构特征,下列说法不正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等解析根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱长不一定都相等.答案B2.如图所示的几何体是棱柱的有()A.②③⑤B.③④⑤C.③⑤D.①③解析由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱.答案C3.(2017·衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()解析易知侧视图的投影面为矩形,又AF的投影线为虚线,即为左下角到右上角的对角线,∴该几何体的侧视图为选项D.答案D4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图,该几何体的侧视图为()解析由直观图和正视图、俯视图可知,该几何体的侧视图应为面P AD,且EC投影在面P AD上且为实线,点E的投影点为P A的中点,故B正确.答案B5.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( ) A.6 2B.42C.6D.4解析 如图,设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体为三棱锥A －BCD ,最长的棱为AD ＝（42）2＋22＝6. 答案 C6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形,则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A.①③B.①④C.②④D.①②③④解析 由正视图和侧视图知,该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体,故①③正确. 答案 A7.(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17 C.16D.15解析 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分,如图所示,截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为1,则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16.剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.因此,V 1V 2＝15.答案 D8.(2017·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为()解析由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD⊥平面BCD.所以该三棱锥的侧视图可能为选项D.答案D二、填空题9.(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC,用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示,此直观图恰好是一个边长为1的正方形,则原平面四边形OABC面积为________.解析因为直观图的面积是原图形面积的24倍,且直观图的面积为1,所以原图形的面积为2 2.答案2210.(2017·兰州模拟)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于________.解析由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的,正视图的面积与侧视图的面积相等为 2.答案211.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为________.解析由题中三视图可知,三棱锥的直观图如图所示,其中P A⊥平面ABC,M为AC的中点,且BM⊥AC.故该三棱锥的最长棱为PC.在Rt△P AC中,PC＝P A2＋AC2＝22＋22＝2 2.答案2212.如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点P是上底面A1B1C1D1内一动点,则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________.解析三棱锥P－ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形,故它们的面积相等,面积比值为1.答案1能力提升题组(建议用时：15分钟)13.在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②解析 如图,在坐标系中标出已知的四个点,根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④,俯视图为②. 答案 D14.如图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )A.4B.5C.32D.33解析 由三视图知几何体的直观图如图所示,计算可知线段AF 最长,且AF ＝BF 2＋AB 2＝3 3. 答案 D15.(2017·长郡中学月考)已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形,那么原△ABC 的面积为________.解析 如图,过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′,与x ′轴交于点D ′.则C ′D ′＝32a sin 45°＝62a .又C ′D ′是原△ABC 的高CD 的直观图, 所以CD ＝6a .故S △ABC ＝12AB ·CD ＝62a 2. 答案 62a 216.(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为________.解析由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还原到长方体中,如图所示,该几何体为四棱柱ABCD－A′B′C′D′.故该四棱柱的体积V＝Sh＝12×(1＋2)×1×1＝32.答案32第2讲空间几何体的表面积与体积最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.知识梳理1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面,则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR31.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(2)球的体积之比等于半径比的平方.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(4)已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则R＝32a.()解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一,故不正确.(2)球的体积之比等于半径比的立方,故不正确.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.32cm解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π,∴r2＝4,∴r＝2(cm).答案B3.(2017·西安一中月考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋4解析由几何体的三视图可知,该几何体为半圆柱,直观图如图所示.表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.答案D4.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12πB.323π C.8π D.4π解析设正方体的棱长为a,则a3＝8,解得a＝2.设球的半径为R,则2R＝3a,即R ＝ 3.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.答案A5.(2016·天津卷)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位：m),则该四棱锥的体积为________m3.解析根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m,高为1 m的平行四边形,四棱锥的高为3 m.故该四棱锥的体积V＝13×2×1×3＝2 (m3).答案2考点一空间几何体的表面积【例1】(1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()A.8＋2 2B.11＋22C.14＋2 2D.15(2)(2016·全国Ⅰ卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π解析(1)由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示.直角梯形斜腰长为12＋12＝2,所以底面周长为4＋2,侧面积为2×(4＋2)＝8＋22,两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由三视图知该几何体为球去掉了18球所剩的几何体(如图).设球的半径为R,则78×43πR3＝28π3,R＝2.故几何体的表面积S＝78×4πR2＋34πR2＝17 π.答案(1)B(2)A规律方法空间几何体表面积的求法.(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练1】(2016·全国Ⅲ卷)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18＋36 5B.54＋185C.90D.81解析由几何体的三视图可知,该几何体是底面为正方形的斜平行六面体.由题意可知该几何体底面边长为3,高为6,所以侧棱长为32＋62＝3 5.故该几何体的表面积S ＝32×2＋(3×6)×2＋(3×35)×2＝54＋18 5. 答案 B考点二 空间几何体的体积【例2】 (1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD.1＋26π(2)(2014·全国Ⅱ卷)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 中点,则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( ) A.3B.32C.1D.32解析 (1)由三视图知该四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥,结合三视图可得半球半径为22,从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.(2)由题意可知,AD ⊥平面B 1DC 1,即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的高, 且AD ＝32×2＝3,易求得S △B 1DC 1＝12×2×3＝3, 所以VA －B 1DC 1＝13×3×3＝1. 答案 (1)C (2)C规律方法 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.【训练2】 (1)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.22π3B.42π3C.22πD.42π(2)(2015·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积是________cm 3.解析 (1)绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合,等体积的圆锥的组合体,如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为2,故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π3.(2)由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的正四棱锥组成. 又正方体的体积V 1＝23＝8(cm 3), 正四棱锥的体积V 2＝13×22×2＝83(cm 3). 所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3). 答案 (1)B (2)323考点三 多面体与球的切、接问题(典例迁移)【例3】 (经典母题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB ＝6,BC ＝8,AA 1＝3,则V 的最大值是( ) A.4πB.9π2C.6πD.32π3解析 由AB ⊥BC ,AB ＝6,BC ＝8,得AC ＝10.要使球的体积V 最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若球与三个侧面相切,设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ,所以r ＝2. 2r ＝4＞3,不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径R 最大. 由2R ＝3,即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π. 答案 B【迁移探究1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”,若AB ＝3,AC ＝4,AB ⊥AC ,AA 1＝12,求球O 的表面积. 解 将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1, 则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球. ∴体对角线BC 1的长为球O 的直径. 因此2R ＝32＋42＋122＝13. 故S 球＝4πR 2＝169π.【迁移探究2】 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”,若该棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的体积. 解 如图,设球心为O ,半径为r , 则在Rt △AOF 中,(4－r )2＋(2)2＝r 2,解得r ＝94,则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法.(1)与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”、“接点”作出截面图,把空间问题化归为平面问题.(2)若球面上四点P ,A ,B ,C 中P A ,PB ,PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.[思想方法]1.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形,“化曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.2.求体积的两种方法：(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高.[易错防范]1.求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错.2.由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误.3.底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆,在识别时要紧扣定义,以防出错.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析设米堆的底面半径为r尺,则π2r＝8,所以r＝16π.所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2·5≈3209(立方尺).故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛). 答案 B2.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x 的值是( ) A.2 B.92 C.32D.3解析 由三视图知,该几何体是四棱锥,底面是直角梯形,且S 底＝12(1＋2)×2＝3.∴V ＝13x ·3＝3,解得x ＝3. 答案 D3.(2017·合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1＋ 3B.2＋3C.1＋2 2D.22解析 四面体的直观图如图所示.侧面SAC ⊥底面ABC ,且△SAC 与△ABC 均为腰长是2的等腰直角三角形,SA ＝SC ＝AB ＝BC ＝2,AC ＝2.设AC 的中点为O ,连接SO ,BO ,则SO ⊥AC ,又SO ⊂平面SAC ,平面SAC ∩平面ABC ＝AC ,∴SO ⊥平面ABC ,又BO ⊂平面ABC ,∴SO ⊥BO . 又OS ＝OB ＝1,∴SB ＝2,故△SAB 与△SBC 均是边长为2的正三角形,故该四面体的表面积为2×12×2×2＋2×34×(2)2＝2＋ 3. 答案 B4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB ＝90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A.36πB.64πC.144πD.256π解析 因为△AOB 的面积为定值,所以当OC 垂直于平面AOB 时,三棱锥O －ABC 的体积取得最大值.由13×12R 2×R ＝36,得R ＝6.从而球O 的表面积S ＝4πR 2＝144π. 答案 C5.(2017·青岛模拟)如图,四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形,NB ＝2PN ,则三棱锥N －P AC 与三棱锥D －P AC 的体积比为( ) A.1∶2 B.1∶8 C.1∶6D.1∶3解析 设点P ,N 在平面ABCD 内的投影分别为点P ′,N ′,则PP ′⊥平面ABCD ,NN ′⊥平面ABCD ,所以PP ′∥NN ′,则在△BPP ′中,由BN ＝2PN 得NN ′PP ′＝23. V 三棱锥N －P AC ＝V 三棱锥P －ABC －V 三棱锥N －ABC ＝13S △ABC ·PP ′－ 13S △ABC ·NN ′＝13S △ABC ·(PP ′－NN ′)＝13S △ABC · 13PP ′＝19S △ABC ·PP ′,V 三棱锥D －P AC ＝V 三棱锥P －ACD ＝13S △ACD ·PP ′,又∵四边形ABCD 是平行四边形,∴S △ABC ＝S △ACD ,∴V 三棱锥N －P AC V 三棱锥D －P AC ＝13.故选D.答案 D 二、填空题6.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为________.。

一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。

旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其 中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2 ）柱，锥，台，球的结构特征1. 棱柱1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：斜棱柱①棱柱棱垂直于底面直棱柱底面是正多形正棱柱 夂 其他棱柱L长方体|底面为正方形.正四棱柱 1.3棱柱的性质：① 侧棱都相等，侧面是平行四边形;② 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4长方体的性质：① 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 2 2 2 2平方和；【如图】AC 1 AB AD AA互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 ------ _ ------------------ > ------------侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形棱所成的角分别是2 2COS cos2cos1，Sin 2.2sinsin 22③（了解）长方体的一条对角线AC 1与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是侧棱与底面边长相等.正方体底面②（了解）长方体的一条对角线AG与过顶点A的三条贝V cos2cos2cos22，sin2 sin2 sin21.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由 n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻 边的矩形.c h（其中c 为底面周长，hc h 2S底，V 棱柱S 底h为棱柱的高）2•圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱•2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是 等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和 母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式② 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；1.6面积、体积公式:S 圆柱侧=2 rh ； S 圆柱全= 2 rh22 r ， V 圆柱=S 底h=2r h （其中r 为底面半径,h 为圆柱高）3.棱锥 3.1棱锥一一有一个面是多边形， 其余各 面是有一个公共顶点的三角形，侧棱底面顶点侧面斜高轴母线轴截面侧面底面OVSOB,VSOH,VSBH,VOBH为直角三角形）1 1 1 ,3.4面积、体积公式：S正棱锥侧=ch ，S正棱锥全=ch S底，V棱锥=—S底h .（其中c为底面2 2 3周长，h侧面斜高，h棱锥的高）4.圆锥4.1圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

立体几何总复习一、几何平面的基本性质1α=∅ A α=b A =l αβ= a α=∅（α）或a A α=公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平 推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个 推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l公理3 推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l α⊂ 推论2 推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂推论3 推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂动手练习：1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（ ） A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ． C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈． D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 2．下列推断中，错误的是（ ）A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,C ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A,B,C 不共线βα,⇒B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,, D ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,3．两个平面把空间最多分成___ 部分，三个平面把空间最多分成__部分． 4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ） 5．看图填空（1）AC ∩BD = （4）平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD = （2）平面AB 1∩平面A 1C 1= （5）平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C = （3）平面A 1C 1CA ∩平面AC = （6）A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1= 6 6．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ）A 三角形B 菱形C 梯形D 四边相等的四边形（2）空间四条直线每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）A 1个B 4个C 6个D 8个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要1二、立体几何线面关系（一）、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明（二）、判定线面平行的方法6、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点7、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行8、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面9、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面10、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面（三）、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行（四）、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面（五）、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面（六）、判定两线垂直的方法1、 定义：成︒90角2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 （七）、判定面面垂直的方法1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 （八）、面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为︒902、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面（九）、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,0 2、直线与平面所成的角的取值范围是：︒≤≤︒900θ []︒︒90,0 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,04、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：︒≤<︒1800θ (]︒︒180,0动手练习1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）（2）两线段AB 、CD 不在同一平面内，如果AC =BD ，AD =BC ，则AB ⊥CD （ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º （ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ） 2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60º角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D 3 ,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的中点，EA FB CMN D（1）求证四边形EFGH（2）若AC ⊥BD 时，求证：EFGH 为矩形； （3）若BD =2，AC =6，求22HF EG +；（4）若AC 、BD 成30º角，AC =6，BD =4，求四边形EFGH 的面积；（5）若AB =BC =CD =DA =AC =BD =2，求AC 与BD 间的距离.4 ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，EF = 求异面直线,AD BC5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,求(1)A 1B 与B 1D 1所成角; (2)AC 与BD 1所成角.6．在长方体D C B A ABCD '''-中，已知AB=a ，BC=b ，A A '=c(a ＞b)，求异面直线B D '与AC7．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC （1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若4MN BC ==，PA = 求异面直线PA 与MN8．如图,正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在AC 、BF 上，且AM FN =求证：//MN 平面CBE三、空间图形一、面积：1、ch s =直棱柱侧 ()为直截面周长斜棱柱侧``c l c s = rh cl s π2==圆柱侧 2、中截面面积：2`0ss s += 3、`21ch s =正棱锥侧 rl cl s π==21圆锥侧 4、()``21h c c s +=正棱台侧()()l r r l c c s ``21+=+=π圆台 5、预备定理ph s π2=锥球内接圆台，圆柱，圆①24r s π=球 ②rh s π2=球带 ③)(222h r rh s +==ππ球冠 6、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方7、圆锥轴截面的顶角α和侧面展开图的圆心角θ的关系为：2sin 22αππθ⋅=⋅=l r 8、圆台上、下底面半径为r`、r ，母线为l,圆台侧面展开后所得的扇环圆心角为θ，则：lc c l r r l r r `2`360`-=⋅-=︒⋅-=πθ 9、圆锥中，过两母线的截面面积为s当轴截面顶角(]︒︒∈90,0α时，αsin 212l s s ==轴截面截面最大 当轴截面顶角[)︒︒∈180,90α时，轴截面截面最大s l l s ≠=︒=222190sin 21 10、球面距离θ⋅=R l （θ用弧度表示,Rl =θ） 二、体积 1、l s sh V `==棱柱(s`为直截面面积) sh h r V =⋅=2π圆柱2、sh V 31=棱锥sh h r V 31312=⋅=π圆锥3、`)`(31s s s s h V +⋅+=棱台 =++=)``(3122r rr r h V π圆台`)`(31s s s s h +⋅+ 4、334R V π=球5、)3(31)3(61222h R h h r h V -=+=ππ球缺6、)(31体适用于有内切球的多面内切球半径表体r S V ⋅=1 n 面体共有8条棱，5个顶点，求n 2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是75．①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ．③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________． 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍； 13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ． 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是1417． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．D'C'B'A'D CBAH OA'D'C'B'DCBA判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥； （2）正四面体是四棱锥；（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥；（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．2 ABCD A B C D ''''-中，,3A AB A AD BAD π''∠=∠∠=，,AB AD a AA b '===，求对角面BB D D ''3．已知：正四棱柱ABCD A B C D ''''-的底面边长为2 （1）求二面角B AC B '--的大小；（2）求点B 到平面AB C '4．棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别为棱,AB BC 上的动点，且(0)AE BF x x a ==≤≤，（1）求证：A F C E ''⊥；（2）当BEF ∆的面积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．5． 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''D C B A ABCD -的棱'BB 、''C B 的中点．求异面直线MN 与CBOCBA A GEP D CBA'CD 所成的角．6．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC -的体积．7． 斜三棱柱的底面的边长是4cm 的正三角形,侧棱长为3cm,侧棱1AA 与底面相邻两边都成060角. (1)求证:侧面11CC B B 是矩形; (2)求这个棱柱的侧面积; (3)求棱柱的体积.。

立体几何（向量法）一建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一•所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。

一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系例1 （2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分如图，在直三棱柱ABC AB iG中，AB=4, AC=BC=3 D为AB 的中点（I）求点C到平面A1ABB1的距离；（n）若AB1 AC求二面角的平面角的余弦值.【答案】解：（1）由AC= BC, D为AB的中点，得CD丄AB.又CD丄AA1,故CD丄面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD = BC2—BD2= 5.（2）解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，贝U DD1// AA1 //CC1.又由(1)知CD丄面A i ABB i，故CD丄A i D, CD丄DD i,所以/ A i DD i为所求的二面角A i —CD —C i的平面角.因A i D为A i C在面A i ABB i上的射影，又已知AB i丄A i C，由三垂线定理的逆定理得AB i丄A i D,从而/ A i AB i、/ A i DA都与/ B i AB互余，因此/ A i AB i =AA i ^\i B i/ A i DA，所以Rt A A i AD s Rt A B i A i A.因此応=云石，即卩AA i = ADA i B i = 8,得AA i = 22.从而A i D = ,AA i + AD2= 2 3.所以，在Rt△ A i DD i中，/ DD i AA i V6cos/A iDDi= A i D = A i D =亍解法二：如图，过D作DD i// AA i交A i B i于点D i,在直三棱柱中，易知DB，DC，DD i两两垂直.以D为原点，射线DB，DC，DD i分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.设直三棱柱的高为h，则A( —2,0,0), A i( —2,0，h)，B i(2,0, h)，C(0，5, 0)，C i(0, 5, h),从而A B i= (4,0, h), A i C= (2, 5,—h).由晶i丄A i C,有8—h2= 0, h = 2 2.故D X i= ( —2,0,2 2), CC i = (0,0,2 2), DC =(0, 5, 0).设平面A i CD的法向量为m= (x i, y i, z i),贝U m丄DC, m丄DA i,即卩cos BD, EFBD ?FE|BD||FE|0 18 64 82 100 ^82 10设异面直线BD 与EF 所成角为，则cos| cosBD, EF-82直线BD 与 EF 所成的cos〈 m ,m-n _ 2|m||n 厂；2+ 1 1 J6 3 .所以二面角A 1 — CD — C 1的平面角的余弦值为_36.、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2.如图所示， AF 、DE 分别是圆O 、圆O 1的直径,AD 8. BC 是圆 O 的直径，AB AC 6 , OE // AD .(I) 求二面角B AD F 的大小；(II) 求直线BD 与EF 所成的角的余弦值. 19.解：(I ) •/ AD 与两圆所在的平面均垂直，••• ADLAB, AD 丄AF,故/ BAD 是二面角 B — AD — F 的平面角, 依题意可知，ABCD 是正方形，所以/ BAD= 450. 即二面角B — AD — F 的大小为45°;(II)以O 为原点，BC AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示) ，贝U O (0, 0, 0) , A (0, 3/2 ,0), B ( ^' 2 , 0 , 0) ,D (0 , 3/2, 8) , E (0 , 0 , 8) , F(0 , 3 2 , 0)所以，BD ( 3、2, 3.2,8),FE (0,3 2,8) 、■‘5y= 0, —2x i + 2 2z i = 0,取乙=1,得 m = ( ：2, 0,1),设平面C i CD 的法向量为n = (X 2, y 2, Z 2),贝U n 丄DC, n 丄CC i ，即：5y2= 0,2 ：2z 2 = 0,取 X 2= 1，得 n = (1,0,0),所以AD 与两圆所在的平面均垂直,角为余弦值为竺•10三、利用图形中的对称关系建立坐标系例3(2013年重庆数学(理))如图，四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD , BC CD 2，A C 4, ACB ACD 3，F为P C 的中点，AF P B.B【答案】(1)求PA的长；(2) 求二面角B AF D的正弦值•題(13)0z- 2解: (1)如图，联结BD 交AC 于O,因为BC = CD ，即△ BCD 为等腰三角形，又AC 平分/ BCD , 故AC 丄BD.以O 为坐标原点，OB , OC , AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立 n n空间直角坐标系 O — xyz,则 0C = CDcosT = 1,而 AC = 4,得 AO = AC — OC = 3•又 OD = CDsin3 3 3=3,故 A(0, — 3, 0), B( 3, 0, 0), C(0, 1, 0), D( — . 3 , 0 , 0) •因PA 丄底面ABCD ,可设P(0 , — 3 , z),由F 为PC 边中点，得F 0 , — 1, 2 ,又A F =—z),因 AF 丄 PB ,故AF PB = 0,即 6 — - = 0, z = 2,3(舍去一2.3),所以 |PA|= 2 .3(2)由⑴知 AD = (— 3, 3, 0), AB = ( 3 3, 0), AF = (0, 2, '3) •设平面 FAD 的法 向量为1=(x i , y i , z i )，平面FAB 的法向量为2= (X 2, y 2, Z 2).由 i AD = 0, i AF = 0，得 —3xi+ 3yi =0,因此可取 i =(3, 3 — 2).2y i + . 3z i = 0,由2 AB = 0, 2 AF = 0，得 3x 2+ 3y 2= 0, _故可取2= (3，—衍,2).2y 2 + .3Z 2= 0,从而向量i , 2的夹角的余弦值为 n i n 2 icos 〈 i , 2>= =-.|n i | |n 2| 8故二面角B — AF — D 的正弦值为 斗78四、利用正棱锥的中心与高所在直线，投影构建直角坐标系 例4-i (20i3大纲版数学(理))如图，四棱锥P ABCD中，ABC BAD 90o , BC 2AD, PAB 与 PAD 都是等边三角形(I)证明：PB CD; (II)求二面角 A PD C 的余弦值•【答案】 解：⑴取BC 的中点E ,联结DE ,则四边形 ABED 为正方形. 过P 作PO 丄平面 ABCD ，垂足为 O.联结 OA , OB , OD , OE.由厶FAB 和厶FAD 都是等边三角形知 PA = PB = PD,所以OA = OB= OD，即点0为正方形ABED对角线的交点，故OE丄BD，从而PB丄OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE // CD.因此PB丄CD.所以 cos / AFG = FG 2+ AF 2— AG 2 _2 F G AF —63 .解法由⑴知，OE , OB , OP 两两垂直. O —xyz.(2)解法一：由(1)知 CD 丄 PB , CD 丄 PO , PB A PO = P , 故CD 丄平面PBD. 又PD?平面PBD ，所以CD 丄PD. 取PD 的中点F , PC 的中点G ,连FG. 则 FG // CD , FG 丄 PD.联结AF ，由△ APD 为等边三角形可得 AF 丄PD. 所以/ AFG 为二面角A — PD — C 的平面角. 联结 AG , EG ,贝U EG // PB. 又PB 丄AE ,所以EG 丄AE.1设 AB = 2,贝U AE = 2 .2, EG = ?PB = 1, 故 AG = AE 2 + EG 2= 3,1在厶 AFG 中，FG = ^CD = .2, AF = .3, AG = 3.以O 为坐标原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设|AB|= 2,则A( —2, 0, 0), D(0，- ,2, 0),C(2 2,—2, 0), P(0, 0, .2),PC= (2 .2，—. 2 , —2), PD = (0 , —2 , —2),AP= ( 2 , 0 , 2) , AD = ( 2 , —2 , 0).设平面PCD的法向量为1= (x , y , z),贝V1 PC = (x , y , z) (2 2 , — 2 , —2) = 0 ,1 PD = (x , y , z) (0 , —2 , —2) = 0 ,可得2x—y —z= 0 , y+ z= 0.取y =—1，得x= 0 , z= 1,故i= (0 , —1 , 1). 设平面PAD的法向量为2= (m , p , q),贝U2 AP = (m , p , q) (- 2 , 0 , 2) = 0 ,2 AD = (m , p , q) (• 2 , — 2 , 0) = 0 ,可得m + q = 0 , m—p= 0.取m= 1,得p = 1 , q=—1,故2= (1, 1, —1).于是COS〈, 2> = n1n2 .6「|n 1||n2| 3 .例4-2如图1--5 ,在三棱柱ABC—A1B1C1 中,已知AB = AC = AA1 = 5 , BC =4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1) 证明在侧棱AA1上存在一点E ,使得0E丄平面BB1C1C ,并求出AE的长;(2) 求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.【答案】解：⑴证明：连接人0,在厶AOA i 中，作 0E 丄AA i 于点E ,因为0B = 0C ,所以 A0丄BC ,所以BC 丄平面 AA i O. 所以0E 丄平面 AA i = . 5,AA i // BB i ，所以 0E 丄BB i .因为A i 0丄平面ABC ，所以A i 0丄BC. 因为AB = AC ,所以BC 丄0E , BB i C i C ,又 A0= AB 2— B02= i ,得AE =疇、违(2)如图，分别以0A , 0B , 0A i 所在直线为x , y , z 轴，建立空间直角坐标系，贝U A(i,0,0), B(0,2,0), C(0,— 2,0), A i (0,0,2),cos 〈 OE ,〉OE n V 30 |0E| |n| 10A A Q由AE = 5AA 1得点E 的坐标是5， 0, 2 ,— 4 2由⑴得平面BB i C i C 的法向量是0E = 5，0，5，设平面A I B I C 的法向量=(x , y , z),AB = 0,— x + 2y = 0,由得nAC = 0 y +z = 0,令 y = 1,得 x = 2, z =— 1,即二(2,1,— 1),所以即平面BB 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角的余弦值是三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例5 （2012高考真题安徽理18）（本小题满分12分）平面图形ABB 1A 1C 1C 如图1— 4（1）所示，其中BB 1C 1C 是矩形，BC = 2, BB 110=4, AB=AC= 2, A i B i= A i C i= 5.图1-4现将该平面图形分别沿BC和B i C i折叠，使△ ABC与厶A i B i C i所在平面都与平面BB i C i C垂直，再分别连接A i A, A i B, A i C，得到如图i-4(2)所示的空间图形.对此空间图形解答下列问题.(i)证明：AA i 丄BC;⑵求AA i的长；(3)求二面角A-BC-A i的余弦值.【答案】解：(向量法)：(i)证明：取BC,B iC i的中点分别为D和D i，连接A i D i, DD i, AD. 由BB i C i C为矩形知，DD i丄B i C i,因为平面BB i C i C丄平面A1B1C1,所以DD i丄平面A i B i C i,又由A i B i = A i C i 知，A i D i 丄B iC i.故以D i为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D i—xyz.由题设，可得A i D i = 2, AD = i.由以上可知AD丄平面BB i C i C, A i D i丄平面BB i C i C，于是AD// A i D i.所以A(0,—i,4), B(i,0,4), A i(0,2,0), C( —i,0,4), D(0,0,4). 故A A i= (0,3,—4), BC= ( —2,0,0), AA i BC = 0, 因此A X i丄BC, 即卩AA i丄BC.(2) 因为AA i = (0,3,—4),所以| AA i卜5,即AA匸5.(3) 连接A i D，由BC丄AD, BC丄AA i,可知BC丄平面A i AD, BC丄A i D，所以/ ADA i为二面角A—BC—A i的平面角.cos〈IDA, DA i>因为D A = (0,—i,0), DA i = (0,2,—4),所以2即二面角A—BC—A i的余弦值为—电5(综合法)(1)证明：取BC, B i C i的中点分别为D和D i，连接A i D i, DD i, AD, A i D.由条件可知，BC丄AD, B i C i丄A i D i,由上可得AD丄面BB i C i C, A i D i丄面BB i CC因此AD // A i D i，即AD, A i D i 确定平面AD i A i D.又因为DD i / BB i, BB i丄BC,所以DD i丄BC.又考虑到AD丄BC,所以BC丄平面AD i A i D,故BC丄AA i.⑵延长A i D i到G点，使GD i= AD,连接AG.因为AD綊GD i，所以AG綊DD i綊BB i.由于BB i丄平面A i B i C i，所以AG丄A i G. 由条件可知，A i G = A i D i + D i G= 3, AG = 4, 所以AA i = 5.⑶因为BC丄平面AD i A i D，所以/ ADA i为二面角A-BC- A i的平面角. 在Rt A A i DD i 中，DD i = 4, A i D i = 2,解得sin/ D i DA i =5冗 / ^[5cos/ ADA i = cos 2+/ D i DA i = —g.即二面角A- BC- A i的余弦值为—f.。

高中数学：立体几何优质讲义姓名:指导：日期：立体几何证平行（一）甄蟻平有＜■图丄E）--------------- K如果两条蛾切平行于第三条最，那么这两条蛾相互平行.2.如果一条蛛平行于另一个平面，那么这条蟻就平行于这这条地的平面与已知平而的交蟻. 图丄】3 .血果商个平面平行，那玄另一个平血虹诳两个平血的交妹互制平行.4如果两喪直蟻都制另一•个平而垂直.那么这两条直蟻平有.5一在同T面内，如果两条直或垂直于同一条直墟，那么这两条直慟'成.，程茜师中学亞建化L.如果平而外一条直絞平行于平面内的一条直銭，那衣宜城与平而干径 :!.如果两个平部平行，一个平薊内的任何一条直域平行于另一个平面. 3 .州果平血*了平而如一条如果干时垂直于另--条直邑, 4 一如果平面与平面外一条直理同时垂直于另一个平面,I. 如果一个平而内有两果闵全平f li 平有于另一个平而,丄如果两个平面揺平行于第三个平潮，那互这两个平面平有. 3.如果两个平面问畦垂直于同一条面雄，那么这两个平ffii 平行.证塔直大部分毎是通过隼直证垂直:下能ii 史旳时榛.平移到另i 一个位置证垂直. （一） 或蟻垂西如果一案直蛾垂直于一个平St 那佥谊条宜戒垂直于这个平ifi 内的任何一条直銭一 （二） 蜷海垂苴【一如果一条直蜷垂直于平而内两条招交的部，那么这条直坡就垂直于两条相交直域所在的平面. 丄如果睥个平而常有，在其中一个 平血內，垂森于公芯検的il 注垂立于yi-t-Tni!. t 三）而而垂直（■囲At ）【.辻一个平而垂洼旳平而垂辻于巳辻平而. 土二部南为直请的两个平面垂直.〈理科）（四〉不能祝匿征垂直的情况L 把已知蟻成ffii 平秽到容駐证照垂直的位置 2.询和已知蟻或面平行的蟻凍海证垂直一那么场面平有. 图卩二.求相疔，求距离，成求体根〈一）求術》〈理我丄技线爾.絞血曲•和二而跆歩L建系，崖可能il.薮将计算的点落在抽我和軸而L坐株系可以任意拆向*凡是角度渉成的面都要至少已如（SU出）3个点，肅度演及的絞都要至少巳知《成求出）£个点.歩，标期段坐标，不能表廚的可以持定字毋系数，当盧坐岳中只舍有一个未知字毋时可以直接代入下一歩求解：当点坐标中含有£个以上未知字毋盹需要握据以下三点列式求字母取住.①前量垂成a ijj =>^15 +y L k'i + -^i = u囲向量其蟻，"Jj2n W =虹2.乂 =加.=切崖向0模，何|=巧了「了歩丄表航向量，终点跋起点歩4:朮法曲丽1也（歩I上（如丄"I'""（歩3丄不姉妨X."中一一个字辱为。