新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册11

新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角应用案巩固提升新人教A版必修第一册11[A 基础达标]1．下列角的终边位于第二象限的是( )A．420°B．860°C．1 060°D．1 260°解析：选B.420°＝360°＋60°，终边位于第一象限；860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限；1 060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；1 260°＝3×360°＋180°，终边位于x轴非正半轴．故选B.2．与1 303°终边相同的角是( )A．763°B．493°C．－137°D．－47°解析：选C.因为1 303°＝4×360°－137°，所以与1 303°终边相同的角是－137°.3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝( )A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：选C.令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( )解析：选C.当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故选C.5．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．x轴上D．y轴的非负半轴上解析：选A.因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．6．在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是________．解析：与－120°终边相同的角为α＝－120°＋k ·360°(k ∈Z )，由0°≤－120°＋k ·360°＜360°，k ∈Z ，得13≤k ＜43，又k ∈Z ，所以k ＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°. 答案：240°7．50°角的始边与x 轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°，又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°8．终边在第一或第三象限的角的集合是________．解析：因为终边在第一象限的角的集合为{α|k ·360°<α<90°＋k ·360°，k ∈Z }，终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°，k ∈Z }，故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }．答案：{α|k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }9．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z }，回答下列问题： (1)集合M 有几类终边不相同的角？(2)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (3)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)集合M 的角可以分成四类，即终边分别与－150°角，－60°角，30°角，120°角的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k ·90°<360°，k ∈Z ， 则－133<k <113，k ∈Z ，所以k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (3)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， 所以β＝120°＋k ·360°，k ∈Z .10．已知角β为以O 为顶点，x 轴为始边，逆时针旋转60°所成的角． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．解：(1)由题可知，角β的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }．(2)在S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }中， 取k ＝－2，得β＝－300°， 取k ＝－1，得β＝－120°， 取k ＝0，得β＝60°， 取k ＝1，得β＝240°， 取k ＝2，得β＝420°， 取k ＝3，得β＝600°.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.[B 能力提升]11．若α是第二象限角，那么α2和2α都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B.由α是第二象限角可知α2是第一或第三象限角，2α是第三或第四象限角，所以α2和2α都不是第二象限角．12．角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________．解析：因为5α与α的始边和终边相同，所以这两个角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝k ·360°，α＝k ·90°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°. 答案：270°13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ， 因为α，β都是锐角，所以0°＜α＋β＜180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.①因为α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .因为α，β都是锐角， 所以－90°＜α－β＜90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.[C 拓展探究]14．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A (1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z ，14β＝n ·360°，n ∈Z .由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，进而知2α，2β都是钝角， 即90°<2α<2β<180°， 即45°<α<β<90°，所以45°<α＝m 7·180°<90°，45°<β＝n7·180°<90°，所以74<m <72，74<n <72.因为α<β，所以m <n ，又m ，n ∈Z ， 所以m ＝2，n ＝3， 所以α＝⎝⎛⎭⎪⎫3607°，β＝⎝⎛⎭⎪⎫5407°.。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【新教材】人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识点一两角和的余弦公式cos（α＋β）＝cos_αcos_β—sin_αsin_β，简记为C（α＋β），使用的条件为α，β为任意角．知识点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S（α＋β）sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S（α—β）sin（α—β）＝sin_αcos_β—cos_αsin_βα，β∈R错误!公式的记忆方法（１）理顺公式间的联系．C（α＋β）错误!C（α—β）错误!S（α—β）错误!S（α＋β）（２）注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C（α—β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S（α—β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin（α＋β），sinαcosβ—cosαsinβ＝sin（α—β），cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α—β），cosαcosβ—sinαsinβ＝cos（α＋β）．知识点三两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan（α＋β）＝错误!T（α＋β）α，β，α＋β≠kπ＋错误!（k∈Z）两角差的正切tan（α—β）＝错误!T（α—β）α，β，α—β≠kπ＋错误!（k∈Z）错误!公式T（α±β）（１）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为１与tanαtanβ的差或和．（２）符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．[教材解难]１．教材P２１7思考能．例如把—β代入β由C（α—β）可求出C（α＋β）．２．教材P２１9思考成立．方法一：sin错误!＝sin错误!＝cos错误!或cos错误!＝cos错误!＝sin错误!.方法二：由于sin错误!＝sin错误!cos α—cos错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），cos错误!＝cos错误!cos α—sin错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），故sin错误!＝cos错误!.[基础自测]１．sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin１0５°等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin １0５°＝sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin 7５°＝sin（１５°＋7５°）＝sin 90°＝１．答案：D２．设α∈错误!，若sin α＝错误!，则错误!cos错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!解析：易得cos α＝错误!，则错误!cos错误!＝错误!错误!＝错误!.答案：B３．已知tan α＝４，tan β＝３，则tan（α＋β）＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：B４．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：由sin α＋cos β＝１与cos α＋sin β＝0分别平方相加得sin２α＋２sin αcos β＋cos２β＋cos２α＋２cos αsin β＋sin２β＝１，即２＋２sin αcos β＋２cos αsin β＝１，所以sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!题型一给角求值[教材P２１9例４]例１利用和（差）角公式计算下列各式的值：（１）sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°；（２）cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°；（３）错误!.【解析】（１）由公式S（α—β），得sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°＝sin（7２°—４２°）＝sin ３0°＝错误!.（２）由公式C（α＋β），得cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°＝cos（２0°＋70°）＝cos 90°＝0．（３）由公式T（α＋β）及tan ４５°＝１，得错误!＝错误!＝tan（４５°＋１５°）＝tan 60°＝错误!.和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．教材反思解决给角求值问题的方法（１）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．（２）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．跟踪训练１求值：（１）cos １0５°；（２）错误!；（３）错误!.解析：（１）cos １0５°＝cos（60°＋４５°）＝cos 60°cos ４５°—sin 60°sin ４５°＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.（２）错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.（３）错误!＝错误!＝tan ４５°＝１．（１）１0５°＝60 °＋４５°（２）找到３１°、9１°、２9 °之间的联系利用公式化简求值．题型二给值求值例２已知错误!<β<α<错误!，cos（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求cos ２α与cos ２β的值．【解析】因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!.所以sin（α—β）＝错误!＝错误!＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!＝—错误!＝—错误!.所以cos ２α＝cos[（α＋β）＋（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）—sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，cos ２β＝cos[（α＋β）—（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）＋sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.１．正确判断α—β，α＋β的范围是求解前提．２．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．方法归纳给值（式）求值的策略（１）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．（２）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．跟踪训练２本例条件变为：错误!<β<α<错误!，sin（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求sin ２β的值．解析：因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!π.所以cos（α—β）＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!，sin ２β＝sin[（α＋β）—（α—β）]＝sin（α＋β）cos（α—β）—cos（α＋β）sin （α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝0．（１）由已知求出α—β、α＋β的范围．（２）２β＝（α＋β）—（α—β）．（３）利用公式求值．题型三给值求角例３已知cos α＝错误!，sin（α＋β）＝错误!，0<α<错误!，0<β<错误!，求角β的值．【解析】因为0<α<错误!，cos α＝错误!，所以sin α＝错误!.又因为0<β<错误!，所以0<α＋β<π.因为sin（α＋β）＝错误!<sin α，所以cos（α＋β）＝—错误!，所以sin β＝sin[（α＋β）—α]＝sin（α＋β）cos α—cos（α＋β）sin α＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.又因为0<β<错误!，所以β＝错误!.（１）已知α的范围及cosα，求sinα.（２）求α＋β的范围及sin（α＋β），求cos（α＋β）．（３）利用sinβ＝sin[（α＋β）—α]，求值．方法归纳解决给值（式）求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是（0，π）或（π，２π）时，选取求余弦值，当所求角范围是错误!或错误!时，选取求正弦值．跟踪训练３已知tan（α—β）＝错误!，tan β＝—错误!，α，β∈（0，π），求２α—β的值．解析：tan α＝tan[（α—β）＋β]＝错误!＝错误!＝错误!.又因为α∈（0，π），而tan α>0，所以α∈错误!.tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]＝错误!＝错误!＝１．因为tan β＝—错误!，β∈（0，π），所以β∈错误!，所以α—β∈（—π，0）．由tan（α—β）＝错误!>0，得α—β∈错误!，所以２α—β∈（—π，0）．又tan（２α—β）＝１，所以２α—β＝—错误!.（１）先求tanα＝tan[（α—β）＋β]（２）再求tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]（３）由已知求２α—β的范围，最后求值易错易误忽略条件中隐含的角的范围而致错例已知tan２α＋6tan α＋7＝0，tan２β＋6tan β＋7＝0，α，β∈（0，π），且α≠β，求α＋β的值．【错解】由题意知tan α，tan β是方程x２＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：错误!∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝１．∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<２π，∴α＋β＝错误!或α＋β＝错误!π.【错因分析】由１２知tan α<0，tan β<0．角α，β都是钝角，上述解法忽视了这一隐含条件．【正解】由错误!易知tan α<0，tan β<0．∵α，β∈（0，π）∴错误!<α<π，错误!<β<π.∴π<α＋β<２π.又∵tan（α＋β）＝１，∴α＋β＝错误!π.【点评】在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．课时作业３8一、选择题１．sin １0５°的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：sin １0５°＝sin（４５°＋60°）＝sin ４５°cos 60°＋cos ４５°sin 60°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.答案：D２．sin ２0°cos １0°—cos １60°sin １0°＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：原式＝sin ２0°cos １0°＋cos ２0°sin １0°＝sin（２0°＋１0°）＝错误!.答案：D３．若cos α＝—错误!，α是第三象限的角，则sin错误!＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为cos α＝—错误!，α是第三象限的角，所以sin α＝—错误!，由两角和的正弦公式可得sin错误!＝sin αcos错误!＋cos αsin错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.答案：A４．若错误!＝错误!，则tan错误!＝（）Ａ．—２Ｂ．２Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，因为错误!＝错误!＝—tan错误!＝错误!，所以tan错误!＝—错误!.答案：C二、填空题５．已知cos错误!＝错误!错误!，则cos α＝________.解析：由于0<α—错误!<错误!，cos错误!＝错误!，所以sin错误!＝错误!.所以cos α＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.答案：错误!6．若tan α＝３，则tan错误!＝________.解析：因为tan α＝３，所以tan错误!＝错误!＝错误!＝—２．答案：—２7．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：∵sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，∴sin２α＋cos２β＋２sin αcos β＝１１，cos２α＋sin２β＋２cos αsin β＝0 ２，１２两式相加可得sin２α＋cos２α＋sin２β＋cos２β＋２（sin αcos β＋cos αsin β）＝１，∴sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!三、解答题8．求下列各式的值．（１）sin ３４7°cos １４8°＋sin 77°cos ５8°；（２）错误!sin错误!＋cos错误!；（３）tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°.解析：（１）原式＝sin（３60°—１３°）·cos（１80°—３２°）＋sin（90°—１３°）cos（90°—３２°）＝sin １３°cos３２°＋cos １３°sin ３２°＝sin（１３°＋３２°）＝sin ４５°＝错误!.（２）原式＝２错误!＝２错误!＝２sin错误!＝２sin错误!＝错误!.（３）∵tan 60°＝错误!＝错误!，∴tan ２３°＋tan ３7°＝错误!—错误!tan ２３°tan ３7°，∴tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°＝错误!.9．已知△ABC，若sin（A＋B）＝错误!，cos B＝—错误!，求cos A的值．解析：∵cos B＝—错误!，∴错误!<B<π，错误!<A＋B<π，∴sin B＝错误!＝错误!，cos（A＋B）＝—错误!＝—错误!，∴cos A＝cos[（A＋B）—B]＝cos（A＋B）cos B＋sin（A＋B）sin B＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.[尖子生题库]１0．已知tan α＝错误!，sin β＝错误!，且α，β为锐角，求α＋２β的值．解析：∵tan α＝错误!<１且α为锐角，∴0<α<错误!.又∵sin β＝错误!<错误!＝错误!且β为锐角．∴0<β<错误!，∴0<α＋２β<错误!.１由sin β＝错误!，β为锐角，得cos β＝错误!，∴tan β＝错误!.∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝错误!.∴tan（α＋２β）＝错误!＝错误!＝１．２由１２可得α＋２β＝错误!.。

【新教材】人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。