新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册11

设角 α 终边上的任一点为 P(-4a,3a),
r=|OP|=|5a|(a≠0)(O 为坐标原点).
3
α= ,cos
5
4
3
α=- ,tan α=- ,
5
4
当 a>0 时,r=5a,sin
5sin α+5cos α+4tan α=3-4-3=-4;
3
α=-5,cos
4
3
α=5,tan α=-4,
当 a<0 时,r=-5a,sin
∵在区间(0,2π)内终边在直线 y=
π
= + π,∈Z
3
;
π 4π
3x 上的角是 , ,
3 3
π 4π
与角 , 终边相同的角分别为
3 3
π
4π
π
2kπ+3(k∈Z),2kπ+ 3 =(2k+1)π+3(k∈Z),
∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 =
π
+
π,∈Z
3
.
6π
方法二(象限等分法):

如图,求 所在的象限,需将每个象限两等分,再逆时针循环标
2
1,2,3,4.

因为 α 是第三象限角,所以图中标记为数字 3 的象限就是2所在的

象限,所以 是第二或第四象限角.
2
能力形成点2 利用三角函数定义求三角函数值
例 2 (1)如图,在平面直角坐标系 Oxy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,
与整数个周角的和.
2.弧度制
(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位
用符号rad表示.

新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角应用案巩固提升新人教A版必修第一册11[A 基础达标]1．下列角的终边位于第二象限的是( )A．420°B．860°C．1 060°D．1 260°解析：选B.420°＝360°＋60°，终边位于第一象限；860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限；1 060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；1 260°＝3×360°＋180°，终边位于x轴非正半轴．故选B.2．与1 303°终边相同的角是( )A．763°B．493°C．－137°D．－47°解析：选C.因为1 303°＝4×360°－137°，所以与1 303°终边相同的角是－137°.3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝( )A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：选C.令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( )解析：选C.当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故选C.5．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．x轴上D．y轴的非负半轴上解析：选A.因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．6．在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是________．解析：与－120°终边相同的角为α＝－120°＋k ·360°(k ∈Z )，由0°≤－120°＋k ·360°＜360°，k ∈Z ，得13≤k ＜43，又k ∈Z ，所以k ＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°. 答案：240°7．50°角的始边与x 轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°，又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°8．终边在第一或第三象限的角的集合是________．解析：因为终边在第一象限的角的集合为{α|k ·360°<α<90°＋k ·360°，k ∈Z }，终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°，k ∈Z }，故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }．答案：{α|k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }9．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z }，回答下列问题： (1)集合M 有几类终边不相同的角？(2)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (3)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)集合M 的角可以分成四类，即终边分别与－150°角，－60°角，30°角，120°角的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k ·90°<360°，k ∈Z ， 则－133<k <113，k ∈Z ，所以k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (3)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， 所以β＝120°＋k ·360°，k ∈Z .10．已知角β为以O 为顶点，x 轴为始边，逆时针旋转60°所成的角． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．解：(1)由题可知，角β的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }．(2)在S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }中， 取k ＝－2，得β＝－300°， 取k ＝－1，得β＝－120°， 取k ＝0，得β＝60°， 取k ＝1，得β＝240°， 取k ＝2，得β＝420°， 取k ＝3，得β＝600°.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.[B 能力提升]11．若α是第二象限角，那么α2和2α都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B.由α是第二象限角可知α2是第一或第三象限角，2α是第三或第四象限角，所以α2和2α都不是第二象限角．12．角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________．解析：因为5α与α的始边和终边相同，所以这两个角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝k ·360°，α＝k ·90°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°. 答案：270°13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ， 因为α，β都是锐角，所以0°＜α＋β＜180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.①因为α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .因为α，β都是锐角， 所以－90°＜α－β＜90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.[C 拓展探究]14．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A (1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z ，14β＝n ·360°，n ∈Z .由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，进而知2α，2β都是钝角， 即90°<2α<2β<180°， 即45°<α<β<90°，所以45°<α＝m 7·180°<90°，45°<β＝n7·180°<90°，所以74<m <72，74<n <72.因为α<β，所以m <n ，又m ，n ∈Z ， 所以m ＝2，n ＝3， 所以α＝⎝⎛⎭⎪⎫3607°，β＝⎝⎛⎭⎪⎫5407°.。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【新教材】人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

角与角之间的差异.
(2)变名(即式子中不同函数之间的变换):通过观察角的三角函数种类的差
异,借助于“切割化弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换.
(3)变式(即式子的结构形式的变换):通过观察不同的三角函数结构式的差
异,借助于以下几种途径进行变换:
①常值代换,如“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°.
+
∴cos
5
12
4

2
- = 1-
12
= 13 .
-
2
- +sin - 2 sin
16
13
2


5
5

2
-
2+
= - 5 × 13 + 5 × 13 =-65 .∴cos(α+β)=2cos
2
16 2
3 713
-1=2× - 65 -1=-4 225 .
方法技巧三角函数的求值问题通常包括三种类型:给角求值,给值求值,给
2021
第五章
章末整合
内
容
索
引
01
知识网络 整合构建
02
题型突破 深化提升
知识网络 整合构建
题型突破 深化提升
专题一
三角函数的图象及其变换
π
例 1(2021 天津一中高一期末)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< 2 的
一段图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
3
1+cos2
解 (1)f(x)= 2 sin 2ωx+
2
π
=sin 2 + 6 + 2.

6
6
变、横坐标缩短为原来的 1 ,得到 y=sin(2x+ π ),再横坐标保持不变,纵坐
2
6
标变为原来的 1 得到 y= 1 sin(2x+ π ),最后把函数 y= 1 sin(2x+ π )的图
2
2
6
2
6
象向下平移 1 个单位,得到 y= 1 sin(2x+ π )-1 的图象.
2
6
解题方法（三角函数的图象及变换注意事项）
＝14.
解法3：令M＝sin 220°＋cos 280°＋ 3sin 20°cos 80°，
则其对偶式N＝cos 220°＋sin 280°＋ 3cos 20°sin 80°.
因为M＋N
＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin
(1)求 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿 x 轴向右平移π6个单位长 度，得到函数 y＝g(x)的图象，写出函数 y＝g(x)的解析式．
[解] (1)由题可知 T＝2ωπ＝π，所以 ω＝2. 又 f(x)min＝－2，所以 A＝2. 由 f(x)的最低点为 M， 得 sin43π＋φ＝－1. 因为 0＜φ＜π2，所以43π＜43π＋φ＜116π. 所以43π＋φ＝32π.所以 φ＝π6. 所以 f(x)＝2sin2x＋π6.
知识梳理
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
二倍角公式sin2α＝2sinαcosα
三
tan2α＝1－2tatannα2α

最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识点一两角和的余弦公式cos（α＋β）＝cos_αcos_β—sin_αsin_β，简记为C（α＋β），使用的条件为α，β为任意角．知识点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S（α＋β）sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S（α—β）sin（α—β）＝sin_αcos_β—cos_αsin_βα，β∈R错误!公式的记忆方法（１）理顺公式间的联系．C（α＋β）错误!C（α—β）错误!S（α—β）错误!S（α＋β）（２）注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C（α—β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S（α—β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin（α＋β），sinαcosβ—cosαsinβ＝sin（α—β），cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α—β），cosαcosβ—sinαsinβ＝cos（α＋β）．知识点三两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan（α＋β）＝错误!T（α＋β）α，β，α＋β≠kπ＋错误!（k∈Z）两角差的正切tan（α—β）＝错误!T（α—β）α，β，α—β≠kπ＋错误!（k∈Z）错误!公式T（α±β）（１）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为１与tanαtanβ的差或和．（２）符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．[教材解难]１．教材P２１7思考能．例如把—β代入β由C（α—β）可求出C（α＋β）．２．教材P２１9思考成立．方法一：sin错误!＝sin错误!＝cos错误!或cos错误!＝cos错误!＝sin错误!.方法二：由于sin错误!＝sin错误!cos α—cos错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），cos错误!＝cos错误!cos α—sin错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），故sin错误!＝cos错误!.[基础自测]１．sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin１0５°等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin １0５°＝sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin 7５°＝sin（１５°＋7５°）＝sin 90°＝１．答案：D２．设α∈错误!，若sin α＝错误!，则错误!cos错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!解析：易得cos α＝错误!，则错误!cos错误!＝错误!错误!＝错误!.答案：B３．已知tan α＝４，tan β＝３，则tan（α＋β）＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：B４．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：由sin α＋cos β＝１与cos α＋sin β＝0分别平方相加得sin２α＋２sin αcos β＋cos２β＋cos２α＋２cos αsin β＋sin２β＝１，即２＋２sin αcos β＋２cos αsin β＝１，所以sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!题型一给角求值[教材P２１9例４]例１利用和（差）角公式计算下列各式的值：（１）sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°；（２）cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°；（３）错误!.【解析】（１）由公式S（α—β），得sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°＝sin（7２°—４２°）＝sin ３0°＝错误!.（２）由公式C（α＋β），得cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°＝cos（２0°＋70°）＝cos 90°＝0．（３）由公式T（α＋β）及tan ４５°＝１，得错误!＝错误!＝tan（４５°＋１５°）＝tan 60°＝错误!.和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．教材反思解决给角求值问题的方法（１）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．（２）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．跟踪训练１求值：（１）cos １0５°；（２）错误!；（３）错误!.解析：（１）cos １0５°＝cos（60°＋４５°）＝cos 60°cos ４５°—sin 60°sin ４５°＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.（２）错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.（３）错误!＝错误!＝tan ４５°＝１．（１）１0５°＝60 °＋４５°（２）找到３１°、9１°、２9 °之间的联系利用公式化简求值．题型二给值求值例２已知错误!<β<α<错误!，cos（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求cos ２α与cos ２β的值．【解析】因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!.所以sin（α—β）＝错误!＝错误!＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!＝—错误!＝—错误!.所以cos ２α＝cos[（α＋β）＋（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）—sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，cos ２β＝cos[（α＋β）—（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）＋sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.１．正确判断α—β，α＋β的范围是求解前提．２．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．方法归纳给值（式）求值的策略（１）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．（２）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．跟踪训练２本例条件变为：错误!<β<α<错误!，sin（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求sin ２β的值．解析：因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!π.所以cos（α—β）＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!，sin ２β＝sin[（α＋β）—（α—β）]＝sin（α＋β）cos（α—β）—cos（α＋β）sin （α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝0．（１）由已知求出α—β、α＋β的范围．（２）２β＝（α＋β）—（α—β）．（３）利用公式求值．题型三给值求角例３已知cos α＝错误!，sin（α＋β）＝错误!，0<α<错误!，0<β<错误!，求角β的值．【解析】因为0<α<错误!，cos α＝错误!，所以sin α＝错误!.又因为0<β<错误!，所以0<α＋β<π.因为sin（α＋β）＝错误!<sin α，所以cos（α＋β）＝—错误!，所以sin β＝sin[（α＋β）—α]＝sin（α＋β）cos α—cos（α＋β）sin α＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.又因为0<β<错误!，所以β＝错误!.（１）已知α的范围及cosα，求sinα.（２）求α＋β的范围及sin（α＋β），求cos（α＋β）．（３）利用sinβ＝sin[（α＋β）—α]，求值．方法归纳解决给值（式）求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是（0，π）或（π，２π）时，选取求余弦值，当所求角范围是错误!或错误!时，选取求正弦值．跟踪训练３已知tan（α—β）＝错误!，tan β＝—错误!，α，β∈（0，π），求２α—β的值．解析：tan α＝tan[（α—β）＋β]＝错误!＝错误!＝错误!.又因为α∈（0，π），而tan α>0，所以α∈错误!.tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]＝错误!＝错误!＝１．因为tan β＝—错误!，β∈（0，π），所以β∈错误!，所以α—β∈（—π，0）．由tan（α—β）＝错误!>0，得α—β∈错误!，所以２α—β∈（—π，0）．又tan（２α—β）＝１，所以２α—β＝—错误!.（１）先求tanα＝tan[（α—β）＋β]（２）再求tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]（３）由已知求２α—β的范围，最后求值易错易误忽略条件中隐含的角的范围而致错例已知tan２α＋6tan α＋7＝0，tan２β＋6tan β＋7＝0，α，β∈（0，π），且α≠β，求α＋β的值．【错解】由题意知tan α，tan β是方程x２＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：错误!∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝１．∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<２π，∴α＋β＝错误!或α＋β＝错误!π.【错因分析】由１２知tan α<0，tan β<0．角α，β都是钝角，上述解法忽视了这一隐含条件．【正解】由错误!易知tan α<0，tan β<0．∵α，β∈（0，π）∴错误!<α<π，错误!<β<π.∴π<α＋β<２π.又∵tan（α＋β）＝１，∴α＋β＝错误!π.【点评】在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．课时作业３8一、选择题１．sin １0５°的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：sin １0５°＝sin（４５°＋60°）＝sin ４５°cos 60°＋cos ４５°sin 60°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.答案：D２．sin ２0°cos １0°—cos １60°sin １0°＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：原式＝sin ２0°cos １0°＋cos ２0°sin １0°＝sin（２0°＋１0°）＝错误!.答案：D３．若cos α＝—错误!，α是第三象限的角，则sin错误!＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为cos α＝—错误!，α是第三象限的角，所以sin α＝—错误!，由两角和的正弦公式可得sin错误!＝sin αcos错误!＋cos αsin错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.答案：A４．若错误!＝错误!，则tan错误!＝（）Ａ．—２Ｂ．２Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，因为错误!＝错误!＝—tan错误!＝错误!，所以tan错误!＝—错误!.答案：C二、填空题５．已知cos错误!＝错误!错误!，则cos α＝________.解析：由于0<α—错误!<错误!，cos错误!＝错误!，所以sin错误!＝错误!.所以cos α＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.答案：错误!6．若tan α＝３，则tan错误!＝________.解析：因为tan α＝３，所以tan错误!＝错误!＝错误!＝—２．答案：—２7．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：∵sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，∴sin２α＋cos２β＋２sin αcos β＝１１，cos２α＋sin２β＋２cos αsin β＝0 ２，１２两式相加可得sin２α＋cos２α＋sin２β＋cos２β＋２（sin αcos β＋cos αsin β）＝１，∴sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!三、解答题8．求下列各式的值．（１）sin ３４7°cos １４8°＋sin 77°cos ５8°；（２）错误!sin错误!＋cos错误!；（３）tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°.解析：（１）原式＝sin（３60°—１３°）·cos（１80°—３２°）＋sin（90°—１３°）cos（90°—３２°）＝sin １３°cos３２°＋cos １３°sin ３２°＝sin（１３°＋３２°）＝sin ４５°＝错误!.（２）原式＝２错误!＝２错误!＝２sin错误!＝２sin错误!＝错误!.（３）∵tan 60°＝错误!＝错误!，∴tan ２３°＋tan ３7°＝错误!—错误!tan ２３°tan ３7°，∴tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°＝错误!.9．已知△ABC，若sin（A＋B）＝错误!，cos B＝—错误!，求cos A的值．解析：∵cos B＝—错误!，∴错误!<B<π，错误!<A＋B<π，∴sin B＝错误!＝错误!，cos（A＋B）＝—错误!＝—错误!，∴cos A＝cos[（A＋B）—B]＝cos（A＋B）cos B＋sin（A＋B）sin B＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.[尖子生题库]１0．已知tan α＝错误!，sin β＝错误!，且α，β为锐角，求α＋２β的值．解析：∵tan α＝错误!<１且α为锐角，∴0<α<错误!.又∵sin β＝错误!<错误!＝错误!且β为锐角．∴0<β<错误!，∴0<α＋２β<错误!.１由sin β＝错误!，β为锐角，得cos β＝错误!，∴tan β＝错误!.∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝错误!.∴tan（α＋２β）＝错误!＝错误!＝１．２由１２可得α＋２β＝错误!.。

(2)由题意知，cos α＝xr≤0，sin α＝yr>0， 即x≤0，y>0， 所以3mm＋－29>≤0，0， 所以－2<m≤3，即实数m的取值范围为(－2，3].
【训练 1】 已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝－45，则 m
的值为( )
A.－12
B.12
(3)正切曲线：
6.三角函数的性质(表中k∈Z)
y＝sin x
定义域
R
y＝cos x R
y＝tan x {x|x∈R，且 x≠π2＋kπ}
增区间：[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]， 单调性
减区间：[π2＋2kπ，32π＋2kπ]
增减区区间间：：[[2－kππ，＋π2＋kπ，2kπ2]kπ]，增区间：(－π2＋kπ，π2＋kπ)
章末复习课
[网络构建]
[核心归纳] 1.任意角与弧度制 (1)与角 α 终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. (2)角度与弧度的互化：1°＝1π80 rad，1 rad＝(1π80)°. (3)弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.
2.任意角的三角函数 设任意角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，r＝ x2＋y2，则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).
C.－
3 2
D.
3 2

解析 由题意知 P(－8m，－3)且 cos α＝－45，∴r＝ 64m2＋9，∴cos α＝
6－4m82m＋9＝－45，且 m>0，∴m2＝14，∴m＝12.故选 B.
答案 B
要点二 同角三角函数基本关系式的应用 同角三角函数基本关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现 α 的正弦、余弦的转化，利用csoins αα＝tan α 可 以实现角 α 弦切互化. (2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－ sin2α，(sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α. (3)sin α，cos α 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次 式或含有 sin2α，cos2α 及 sin αcos α 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”， 利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.

【新教材】人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

负未定,则需分类讨论.
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号,如图,口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余
弦”.
【例4】已知sin α＋cos
________.

α＝ ，α∈(0，π)，则tan

α＝
-


思路点拨：
思路一：根据同角三角函数的基本关系sin2α＋cos2α＝1，再结合
已知条件建立方程组，计算sinα，cos α.思路二：创造性利用同
角三角函数的基本关系，对条件sin α＋cos

α＝ 两边平方，然后

再将分母的1表示为sin2α＋cos2α，转化为齐次商形式之后，分子
第五章 小结与复习
知识网络∙体系构建
主题归纳∙综合提升
【主题1】 任意角的概念和表示方法及数形结合思想的应用
【例1】 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半
轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
(1) 420°；(2) 855°；(3) －510°.
思路点拨：先画出直角坐标系，再根据角的正负明确逆时针或顺
与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函
数值；② 在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0).则sin

α＝ ，cos


＝ .已知角α的终边上点的坐标求角α的三角函数值时，用这几个公式更方便．

α
【点评总结】
当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对字母正、负的辨别,若正、
【例3】 已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x≠0)，且cosθ＝
则sinθ＋tanθ的值为________.

新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021黑龙江哈尔滨香坊高一期末)化简cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°的值为( ) A.√32B .-√32C .12D .-12cos16°cos44°-cos74°sin44°=cos16°cos44°-sin16°sin44°=cos(16°+44°)=cos60°=12,故选C . 2.化简:sin x+π3+sin x-π3=( )x B .sin xC .-cos xD .cos x答案B解析sin x+π3+sin x-π3=12sin x+√32cos x+12sin x-√32cos x=sin x. 3.若sin (π6-α)=cos (π6+α),则tan α=( ) A.-1 B.0 C.12D.1由已知得12cos α-√32sin α=√32cos α-12sin α,因此1-√32sin α=√3-12cos α,于是tan α=-1.4.(2021新疆维吾尔自治区哈密伊州高一期末)已知tan α-3π4=23,则tan α=( )A.15 B .-15 D .-5答案B解析tan α-3π4=tanα-tan3π41+tanα·tan3π4=tanα+11-tanα=23,解得tan α=-15,故选B .5.(2021天津和平高一期末)已知tan A=2tan B ,sin(A+B )=14,则sin(A-B )=( ) A.13 B .14C .112D .-112tan A=2tan B 得sinAcosA =2sinB cosB,即sin A cos B=2cos A sin B ,∵sin(A+B )=14,∴sin A cos B+cos A sin B=14,得sin A cos B=16,cos A sin B=112.则sin(A-B )=sin A cos B-cos A sin B=16−112=112.故选C . 6.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cos αcos β= .cos αcos β-sin αsin β=45,cos αcos β+sin αsin β=-45,两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0. 7.化简:sin (α-150°)+cos (α-120°)cosα= .1 =sinαcos150°-cosαsin150°+cosαcos120°+sinαsin120°cosα=-√32sinα-12cosα-12cosα+√32sinαcosα=-1.8.化简求值:(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α); °·cos 24°+sin 159°·sin 204°.原式=sin(α+β+α-β)=sin2α.(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin[(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-√32.(3)原式=cos21°cos24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos21°cos24°-sin21°sin24°=cos(21°+24°)=cos45°=√22.等级考提升练9.若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan 2α=( )A.16 B.2213C.322D.1318α=tan[(α+β)+(α-β)]=tan (α+β)+tan (α-β)1-tan (α+β)tan (α-β)=25+141-25×14=1318.10.设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( )A.3α-β=π2B.3α+β=π2C.2α-β=π2 D.2α+β=π2tan α=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin (π2-α).又α∈(0,π2),β∈(0,π2), 故α-β=π2-α,即2α-β=π2.11.(2021北京朝阳高一期末)已知tan α-π6=2,tan(α+β)=-3,则tan β+π6=( )B .2C .3D .4答案A 解析因为α-π6+β+π6=α+β, 所以tan(α+β)=tan α-π6+β+π6=tan(α-π6)+tan(β+π6)1-tan(α-π6)tan(β+π6)=2+tan(β+π6)1-2tan(β+π6)=-3,整理解得tan β+π6=1.故选A .12.在△ABC 中,tan A+tan B+tan C=3√3,tan 2B=tan A ·tan C ,则角B 等于( ) B .45° C .120° D .60°tan A+tan B=tan(A+B )(1-tan A tan B ) =tan(180°-C )(1-tan A tan B ) =-tan C (1-tan A tan B ) =-tan C+tan A tan B tan C , ∴tan A+tan B+tan C=-tan C+tan A tan B tan C+tan C =tan A tan B tan C=3√3.∵tan 2B=tan A tan C ,∴tan 3B=3√3,∴tan B=√3,则B=60°.故选D . 13.(多选题)下面各式中,正确的是( ) A.sinπ4+π3=sin π4cos π3+√32cos π4B.cos 5π12=√22sin π3-cos π4cos π3C .cos -π12=cos π4cos π3+√64D .cos π12=cos π3-cos π4解析∵sinπ4+π3=sin π4cos π3+cos π4sin π3=sin π4cos π3+√32cos π4,∴A 正确;∵cos 5π12=-cos 7π12=-cosπ3+π4=√22sin π3-cos π4cos π3,∴B 正确; ∵cos -π12=cosπ4−π3=cos π4cos π3+√64,∴C 正确;∵cos π12=cos π3−π4≠cos π3-cos π4,∴D 不正确. 14.(多选题)在△ABC 中,C=120°,tan A+tan B=2√33,下列各式正确的是( )A.A+B=2CB.tan(A+B )=-√3tan B D .cos B=√3sin AC=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B )=C ,∴tan(A+B )=√3,∴选项A,B 错误; ∵tan A+tan B=√3(1-tan A ·tan B )=2√33, ∴tan A ·tan B=13,① 又tan A+tan B=2√33,② ∴联立①②解得tan A=tan B=√33,∴cos B=√3sin A ,故选项C,D 正确.15.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则tan(α+β)= ,α+β= .13π4(tan α-1)(tan β-1)=2,所以tan α+tan β=tan αtan β-1.因此tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1, 因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π4.16.若cos α=-13,sin β=-√33,α∈π2,π,β∈3π2,2π,则sin(α+β)的值为 .解析∵cos α=-13,α∈π2,π,∴sin α=√1-cos 2α=2√23.∵sin β=-√33,β∈3π2,2π,∴cos β=√1-sin 2β=√63. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =2√23×√63+-13×-√33=5√39.17.已知α,β均为锐角,且tan β=cosα-sinαcosα+sinα,求tan(α+β)的值.β=cosα-sinαcosα+sinα=1-tanα1+tanα=tan (π4-α),因为α,β均为锐角, 所以-π4<π4-α<π4,0<β<π2,又y=tan x 在(-π2,π2)上是单调递增, 所以β=π4-α,即α+β=π4,tan(α+β)=1.新情境创新练ABC 中,若sin A=2sin B sin C ,则tan A tan B tan C 的取值范围是 .+∞)sin A=2sin B sin C ,sin(B+C )=2sin B sin C ,sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C ,两边同除以cos B cos C ,tan B+tan C=2tan B tan C ,∵-tan A=tan(B+C )=tanB+tanC 1-tanBtanC,∴tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C. ∴tan A tan B tan C=tan A+2tan B tan C ≥2√2tanAtanBtanC , 令tan A tan B tan C=x>0,即x ≥2√2x ,即x ≥8,或x ≤0(舍去),∴x 的最小值为8.当且仅当tan B=2+√2,tan C=2-√2,tan A=4(或tan B ,tan C 互换)时取等号,此时A ,B ,C 均为锐角.可得tan A tan B tan C 的取值范围是[8,+∞).。

第五章 三角函数
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解给值求角问题的一般步骤 (1)确定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范 围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．
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(1)已知 cos α＝13，α 是第四象限角，sin β＝35，β 是第二 象限角，求 cos(α－β)的值． (2)已知 α，β∈0，π2，且 sin α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求 cos β 的值．
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【解】 (1)因为 cos α＝13，α 是第四象限角， 所以 sin α＝－ 1－cos2α＝
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第五章 三角函数
给值求值问题的解题策略
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[解] ①f (x)＝sinπ2－xsin x－ 3cos2x ＝cos xsin x－ 23(1＋cos 2x)
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x－
23＝sin2x－π3－
23，
因此 f (x)的最小正周期为 π，最大值为2－2 3．
②当 x∈π6，23π时，0≤2x－π3≤π，从而 当 0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤51π2时，f (x)单调递增， 当2π≤2x－π3≤π，即152π≤x≤23π时，f (x)单调递减． 综上可知，f (x)在π6，51π2上单调递增，在51π2，23π上单调递减．
线C1：y＝cos
x上各点的横坐标缩短到原来的
1 2
，纵坐标不变，得到
曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移1π2个单位长度，
得到曲线y＝cos 2x＋1π2＝cos2x＋π6． 故选 D．]
(2)已知函数 f (x)＝sinπ2－xsin x－ 3cos2x． ①求 f (x)的最小正周期和最大值； ②讨论 f (x)在π6，23π上的单调性．
类型 3 三角函数模型的应用 如果某种现象的变化具有周期性，那么我们可以根据这一现象的 特征和条件利用三角函数知识建立数学模型－－三角函数模型．在解 题中务必关注以下两点：(1)自变量的取值范围；(2)数形结合的灵活 运用．
【例 3】 如图所示，摩天轮的半径为 40 m，O 点距地面的高度 为 50 m，摩天轮作匀速转动，每 2 min 转一圈，摩天轮上点 P 的起 始位置在最高点．
40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，
由题可知，φ＝π2，∴z＝50＋40sinπt＋π2＝50＋40cos πt．
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间 P 点距离地面超过 70 m．

本章复习提升易混易错练易错点1 忽视角的范围致错 1.()已知tan(α-β)=12,tan β=-17,且α,β∈(0,π),则2α-β= . 2.()已知tan θ<0,角θ终边上有一点(-1,y),且cos θ=-12,则y= . 3.()已知θ是第二象限角,则√1+sinθ+√1-sinθ= .易错点2 应用三角函数的定义求值时,忽略参数的范围致错 4.(2019四川雅安高一上期末检测,)已知角α的终边经过点P(m,-3),且cos α=-45,则m 等于 . 5.()已知角α的终边过点P(-3m,m)(m ≠0),则sin α= .易错点3 利用三角函数的基本关系时忽略隐含条件致错 6.()若sin θ=k+1k -3,cos θ=k -1k -3,且θ的终边不落在坐标轴上,则tan θ的值为 .7.(2019山东德州高一上期末,)已知sin θ+cos θ=15,θ∈(0,π),则sinθcos(π-θ)= ;tan θ= . 8.()已知A,B,C 是△ABC 的内角,cos A=35,sin B=513,则cos(A-B)= .易错点4利用诱导公式时,忽略讨论参数的取值致错(n∈Z) 9.(2020河北石家庄实验中学高一月考,)化简sin(nπ+α)cos(nπ-α)cos[(n+1)π-α]的结果为.+α)=(k∈Z).10.()化简:tan(kπ2易错点5忽略三角函数的定义域、值域致错11.(2020山西长治高一期末,)函数y=2sin2x-2sin x+1的值域是.的奇偶性.12.()判断函数f(x)=cosx-cosxsinx1-sinx易错点6图象变换中因忽视自变量x的系数和平移的方向致错)的图象,只需把函数y=sin2x的图象13.()要得到函数y=cos(2x+π6()个单位长度A.向左平移π6个单位长度B.向左平移π3C.向右平移π个单位长度6个单位长度D.向右平移π314.(2019天津六校期末联考,)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω> 0,|φ|<π)的部分图象如图所示,为了得到f(x)的图象,只需将g(x)=cos22x的图象()A.向左平移π个单位长度12个单位长度B.向右平移π12C.向左平移π个单位长度6D.向右平移π个单位长度6思想方法练一、函数与方程思想在三角函数中的应用1.(2020安徽安庆高一上期末,)若函数y=sin2x的图象经过点P(x0,y0),则其图象一定还经过点(深度解析)A.(-x0,y0)B.(π2+x0,y0)C.(π2-x0,y0) D.(π-x0,y0)2.(2019浙江宁波镇海中学高一期末,)已知扇形的周长为2,当它的半径为时,扇形的面积最大,这个最大值为.3.(2019湖南张家界高一上期末,)已知函数f(x)=2sin(x+π6).(1)若点P(1,√3)是角α终边上一点,求f(α-π6)+tanα的值;(2)若x∈[π6,2π3],求函数g(x)=-12cos2x+f(x+5π6)+72的最小值.二、数形结合思想在三角函数中的应用4.(2020山东滨州高一上期末,)y=|cos x|的一个单调递增区间是()A.[-π2,π2] B.[0,π]C.[π,3π2] D.[3π2,2π]5.(2019河北唐山高一上期末,)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A> 0, ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示,则点P(ω,φ)的坐标是()A.(13,π6) B.(13,π3)C.(π3,π6) D.(π3,π3)6.()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8,则f(x)的单调递减区间是()A.[6kπ,6kπ+3],k∈ZB.[6kπ-3,6kπ],k∈ZC.[6k,6k+3],k∈ZD.[6k-3,6k],k∈Z7.(2019天津河西高一上期末,)设函数f(x)满足f(-x)=f(x),当x≥0时,f(x)=(14)x,若函数g(x)=12|sinπx|,则函数h(x)=f(x)-g(x)在[-12,2]上的零点个数为()A.6B.5C.4D.3三、转化与化归思想在化简求值及三角函数性质中的应用8.(2020山东枣庄高一期末,)(1)已知α为锐角,且7sinα=2cos2α,则sin(α+π3)=;(2)sin50°(1+√3tan10°)=.9.(2019黑龙江牡丹江一中高一上期末,)已知α∈(π2,π),且sinα=13.(1)求sin2α的值;(2)若sin(α+β)=-35,β∈(0,π2),求sin β的值.10.(2019黑龙江哈三中高一上模块检测,)函数f(x)=√3sin2x-2sin2x.(1)若x∈[-π12,π4],求函数f(x)的值域;(2)若x=π12是函数g(x)=f(x)+λcos2x的一条对称轴,求λ的值.四、分类讨论思想在三角函数求值中的应用11.()化简:sin(4k-14π-α)+cos(4k+14π-α)(k∈Z).12.()已知函数y=asin(2x+π6)+b在x∈[0,π2]上的值域为[-5,1],求a,b的值.五、建模思想在三角函数中的应用13.(2019山东高三第一次大联考,)如图,点A,B分别是圆心在原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0(cosπ3,sinπ3)开始,按逆时针方向以2rad/s的角速度做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以2rad/s的角速度做圆周运动.记t(s)时刻,点A,B的纵坐标分别为y1,y2.(1)求t=π4时,A,B两点间的距离;(2)求y=y1+y2关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈(0,π2]时,这个函数的值域.答案全解全析 易混易错练1.答案 -3π4解析 由题意得tan α=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ=12-171+12×17=13,又α∈(0,π),所以α∈(0,π4),又tan(2α-β)=tan[(α-β)+α] =tan(α-β)+tanα1-tan(α-β)tanα=12+131-12×13=1,而tan β=-17<0,β∈(0,π),所以β∈(π2,π),所以2α-β∈(-π,0),故2α-β=-3π4.2.答案 √3解析 ∵tan θ<0,角θ终边上有一点(-1,y),∴θ是第二象限角,y>0.由题意知cos θ=-12=√2,解得y=√3,故答案为√3. 3.答案 {2sin θ2,2kπ+π4<θ2<2kπ+π2,k ∈Z-2sin θ2,2kπ+5π4<θ2<2kπ+3π2,k ∈Z解析 原式=√1+2sin θ2cos θ2+√1-2sin θ2cos θ2=|sin θ2+cos θ2|+|sin θ2-cos θ2|.因为θ是第二象限角, 所以2kπ+π2<θ<2kπ+π,k ∈Z,所以kπ+π4<θ2<kπ+π2,k ∈Z,所以原式={2sin θ2,2kπ+π4<θ2<2kπ+π2,k ∈Z,-2sin θ2,2kπ+5π4<θ2<2kπ+3π2,k ∈Z.4.答案 -4解析 由题意知,cos α=√2=-45,显然m<0,解得m=-4,故答案为-4.5.答案√1010或-√1010解析 由题意可得,|OP|=√(-3m)2+m 2=√10|m|(O 为坐标原点). 当m>0时,|OP|=√10|m|=√10m, 则sin α=√10m=√1010;当m<0时,|OP|=√10|m|=-√10m, 则sin α=m -√10m=-√1010. 故sin α的值为√1010或-√1010.6.答案 34解析 由已知得sin 2θ+cos 2θ=(k+1k -3)2+(k -1k -3)2=1,即k 2+6k-7=0,解得k=1或k=-7.当k=1时,不符合题意,舍去;当k=-7时,sin θ=35,cos θ=45,符合题意,所以tan θ=34.7.答案1225;-43解析 ∵sin θ+cos θ=15,∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=125,即sin θcos θ=-1225.∴sin θcos(π-θ)=-sin θcos θ=1225,∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=4925.∵θ∈(0,π),sin θcos θ=-1225<0,∴sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0, ∴sin θ-cos θ=75.由{sinθ+cosθ=15,sinθ-cosθ=75,解得{sinθ=45,cosθ=-35,∴tan θ=-43.8.答案5665解析 由cos A=35,得sin A=45. 若B ∈(π2,π),则π-B ∈(0,π2).由sin(π-B)=sin B=513<45=sin A,得π-B<A,即A+B>π,与A+B<π矛盾, 故B ∈(0,π2],又sin B=513,所以cos B=1213,∴cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B =35×1213+45×513=5665.9.答案 (-1)n+1sin α(n ∈Z) 解析 ①当n=2k(k ∈Z)时, 原式=sin(2kπ+α)cos(2kπ-α)cos[(2k+1)π-α]=sinαcosα-cosα=-sin α.②当n=2k+1(k ∈Z)时, 原式=sin[(2k+1)π+α]cos[(2k+1)π-α]cos[(2k+2)π-α]=(-sinα)(-cosα)cosα=sin α.所以化简所得的结果为(-1)n+1sin α(n ∈Z).10.答案 {-1tanα,k 为奇数tanα,k 为偶数解析 当k 为奇数,即k=2n+1(n ∈Z)时, tan (kπ2+α)=tan (nπ+π2+α)=tan π2+α=sin (π2+α)cos (π2+α)=cosα-sinα=-1tanα;当k 为偶数,即k=2n(n ∈Z)时, tan (kπ2+α)=tan(nπ+α)=tan α.综上,tan (kπ2+α)={-1tanα,k 为奇数,tanα,k 为偶数.11.答案 [12,5]解析 由已知得y=2sin 2x-2sin x+1=2(sinx -12)2+12,令t=sin x,则-1≤t ≤1,y=2(t -12)2+12,对称轴为t=12,∴当t=-1时,函数取得最大值,为5, 当t=12时,函数取得最小值,为12.故函数的值域为[12,5].12.解析 ∵1-sin x ≠0,∴x ≠2kπ+π2,k ∈Z,由于定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数. 13.B y=cos (2x +π6)=sin [π2+(2x +π6)]=sin (2x +2π3)=sin [2(x +π3)],故只需将y=sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度即可,故选B.14.B 由题图可知A=1,T 4=7π12-π3=π4,∴T=π,从而ω=2πT=2,将(7π12,-1)代入f(x)=sin(2x+φ),得sin (7π6+φ)=-1,∴7π6+φ=3π2+2kπ(k ∈Z),∴φ=π3+2kπ(k ∈Z).∵|φ|<π2,∴φ=π3,所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin (2x +π3). 又f(x)=sin (2x +π3)=cos [π2-(2x +π3)]=cos (2x -π6)=cos 2(x -π12),∴只需将g(x)=cos 2x 的图象向右平移π12个单位长度即可得到f(x)的图象. 故选B.思想方法练1.C 由已知得y 0=sin 2x 0,则sin 2(-x 0)=-sin 2x 0=-y 0,A 错误; sin 2(π2+x 0)=sin(π+2x 0)=-sin 2x 0=-y 0,B 错误;sin 2(π2-x 0)=sin(π-2x 0)=sin 2x 0=y 0,C 正确;sin 2(π-x 0)=sin(2π-2x 0)=-sin 2x 0=-y 0,D 错误.故选C.解题模板 点在图象上的实质是点的坐标满足函数解析式,即方程成立,解题时由条件得到一个等式,由此利用三角函数的恒等变形推出结论成立或不成立. 2.答案 12;14解析 设扇形的半径与弧长分别为r,l,则2r+l=2,∴l=2-2r, 可得扇形的面积S=12lr=r-r 2=-(r -12)2+14,∵0<2r<2,∴0<r<1,∴当r=12时,S 取得最大值,最大值为14.3.解析 (1)若点P(1,√3)在角α的终边上,则sin α=√32,tan α=√3,∴f (α-π6)+tan α=2sin α+tan α=2√3.(2)g(x)=-12cos 2x+f (x +5π6)+72=-12(1-2sin 2x)+2sin(x+π)+72=sin 2x-2sin x+3=(sin x-1)2+2, ∵x ∈[π6,2π3],∴sin x ∈[12,1],∴当sin x=1,即x=π2时,g(x)有最小值2.4.D 作出y=|cos x|的图象,如图所示,结合图象可得y=|cos x|的一个单调递增区间是[3π2,2π].故选D.5.C 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知,A=2,T=2×(4-1)=6,∴ω=2πT=π3,又x=1时,y=2,∴π3+φ=π2+2kπ,k ∈Z,∴φ=π6+2kπ,k ∈Z.又0<φ<π2,∴φ=π6,∴点P 的坐标为(π3,π6).故选C.6.D f(x)的大致图象如图所示.由图象知T=8-2=6,当x=3时,y 取得最大值,当x=6时,y 取得最小值,因此, f(x)的单调递减区间为[6k+3,6k+6],k ∈Z,即[6k-3,6k],k ∈Z.故选D. 7.B 因为函数f(x)满足f(-x)=f(x),所以y=f(x)是偶函数,图象关于y 轴对称.易知函数h(x)=f(x)-g(x)在[-12,2]上的零点个数等价于函数y=f(x)的图象和函数y=g(x)的图象在[-12,2]上的交点个数,作出函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象如图:由图象易得函数y=f(x)的图象和函数y=g(x)的图象在[-12,2]上的交点个数为5,即函数h(x)=f(x)-g(x)在[-12,2]上的零点个数为5. 8.答案 (1)1+3√58(2)1解析 (1)由7sin α=2cos 2α, 得7sin α=2(1-2sin 2α), 即4sin 2α+7sin α-2=0, 解得sin α=-2(舍去)或sin α=14.∵α为锐角,∴cos α=√1-sin 2α=√154,∴sin (α+π3)=sin αcos π3+cos αsin π3=14×12+√154×√32=1+3√58.(2)sin 50°(1+√3tan 10°) =sin 50°(1+√3·sin10°cos10°)=sin 50°×cos10°+√3sin10°cos10°=sin 50°×2(12cos10°+√32sin10°)cos10°=2sin50°sin(10°+30°)cos10°=2sin50°cos50°cos10°=sin100°cos10°=cos10°cos10°=1.9.解析 (1)∵α∈(π2,π),且sin α=13, ∴cos α=-2√23,∴sin 2α=2sin αcos α=-4√29.(2)∵α∈(π2,π),β∈(0,π2),∴α+β∈(π2,3π2),又sin(α+β)=-35, ∴cos(α+β)=-45,于是sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =-35×(-2√23)-(-45)×13=4+6√215.10.解析 (1)f(x)=√3sin 2x-2sin 2x =√3sin 2x+cos 2x-1=2sin (2x +π6)-1,∵x ∈[-π12,π4],∴2x+π6∈[0,2π3],∴0≤sin (2x +π6)≤1,∴-1≤2sin (2x +π6)-1≤1.故当x ∈[-π12,π4]时,函数y=f(x)的值域是[-1,1].(2)g(x)=f(x)+λcos 2x=2sin (2x +π6)+λcos 2x-1,∵x=π12是函数g(x)的一条对称轴,∴g(0)=g (π6),即1+λ-1=2+λ2-1,解得λ=2,经检验符合题意,故λ的值为2.11.解析 原式=sin [kπ-(π4+α)]+cos kπ+π4-α(k ∈Z).当k 为奇数时,设k=2n+1(n ∈Z), 则原式=sin [(2n +1)π-(π4+α)]+cos (2n+1)π+(π4-α)=sin [π-(π4+α)]+cos [π+(π4-α)]=sin (π4+α)-cos (π4-α)=sin (π4+α)-cos [π2-(π4+α)] =sin (π4+α)-sin (π4+α)=0; 当k 为偶数时,设k=2n(n ∈Z),则原式=sin [2nπ-(π4+α)]+cos 2nπ+(π4-α)=-sin (π4+α)+cos (π4-α)=-sin (π4+α)+cos [π2-(π4+α)] =-sin (π4+α)+sin (π4+α)=0. 综上所述,原式=0. 12.解析 因为x ∈[0,π2],所以2x+π6∈[π6,7π6],所以sin (2x +π6)∈[-12,1].当a>0时,{a +b =1,-a 2+b =-5,解得{a =4,b =-3;当a<0时,{a +b =-5,-a 2+b =1,解得{a =-4,b =-1.所以{a =4,b =-3或{a =-4,b =-1.13.解析 (1)当t=π4时,∠xOA=π3+π2=5π6,∠xOB=π2,作AD ⊥BO 于点D,则∠AOD=π3. ∵|OA|=1,|OB|=2,∴|OD|=12,|AD|=√32,∴|BD|=2+12=52,∴|AB|2=|AD|2+|BD|2=34+254=7,即A,B 两点间的距离为√7.(2)依题意知y 1=sin (2t +π3),y 2=-2sin 2t,所以y=y 1+y 2=sin (2t +π3)-2sin 2t=√32cos 2t-32sin 2t=√3cos (2t +π3), 即函数关系式为y=√3cos (2t +π3)(t>0).当t ∈(0,π2]时,2t+π3∈(π3,4π3],∴cos (2t +π3)∈[-1,12),∴y ∈[-√3,√32).。