九年级数学上册图形与坐标用分类讨论思想解相似图形难题素材新版华东师大

用分类讨论思想解相似图形难题所谓分类讨论思想就是根据问题可能存在的多种情况进行讨论，防止出现漏解的一种数学思想.它能使同学们的思维日趋严谨。

它的应用大致可分为四个步骤：（1）确定分类对象；（2）合理进行分类；（3）逐步进行讨论；（4）归纳讨论结果，得出正确结论.下面举几例说明分类讨论思想在相似图形中的应用.例1 已知a 、b 、c 为非零实数，且满足k b c a c b a a c b =+=+=+,则一次函数)1(k kx y ++=的图象一定经过（ ）.A 第一、二、三象限B 第二、四象限C 第一象限D 第二象限分析：本题主要考察一次函数图象性质的灵活应用，但如果思维不周的话，就容易漏掉0=++c b a 的情形，因此可按0=++c b a 和0≠++c b a 两种情况讨论.解：（1）当0=++c b a 时，1-=-=+=bb bc a k ,此时x y -=，图象过第二、四象限；（2）当0≠++c b a 时，应用等比性质可以得出： 2=+++++++=bc a b a b a c b k ,此时32+=x y 的图象过第一、二、三象限，结合两种情况，函数图象一定过第二象限，故选D.例2 已知线段cm c cm b cm a 3,2,1===,若第四条线段与它们成比例式，则这样的线段有几条？分析：因为第四条线段大小不定，所以应用分类讨论思想，利用比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，把分类点定为让第四条线段分别与三条线段相乘，既可得到正确答案.解：设第四条线段为d,让d 分别与1、2、3相乘，得,312,6,321⨯=⨯=⨯=⨯d cm d d ,213,5.1⨯=⨯=d cm d cm d 32=,所以这样的线段有三条，分别为.32,5.1,6cm cm cm 例 3 三角形一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形为（ ）.A 直角三角形B 等腰三角形C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形分析：因为只知道两个三角形相似，并没有指定顶点间的对应关系，所以存在多种可能，所以可以把分类点定在顶点对应上.解：（1）已知AD ⊥BC ，如图（1）所示，若△ABD ∽△ACD ，则有∠B=∠C,所以AB=AC,所以△ABC 为等腰三角形.（2）已知AD ⊥BC ，如图（2）所示，若△ABD ∽△CAD ，所以∠B=∠CAD,∠C=∠BAD,又因为∠CAD+∠BAD+∠B+∠C=︒180,所以∠CAD+∠BAD=︒90，即∠BAC=︒90，此时△ABC 为直角三角形，综合上述两种情况，△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.例4 一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与之相似的钢筋三角架，而现在只有30cm,50cm 的两根，现要求其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许剩余，损耗不计）作另两边，则不同的截法有（ ）种.分析：因为只要求两三角形相似，所以存在多种可能，首先在截哪根上，可以发现只能截取50cm 的一根，因为若截30dm 的一根，则不满足三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”.故只能截取50cm 。

帮你认识相似图形
认识相似多边形及其性质：
1.定义：各角都相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．
注意：这个定义有两个功能：一方面，如果两个多边形的角都对应相等，且边都对应成比例，我们就可以判定这两个多边形相似；另一方面，如果两个多边形相似，那么它的对应角一定相等，对应边一定成比例，这是相似多边形的本质特征，用它可以解决一些有关问题．
2.相似多边形的表示与相似比：
'''''相似，记作若五边形相似多边形的表示方法：若五边形ABCDE与五边形A B C D E
'''''．
ABCDE∽五边形A B C D E
相似多边形对应边的比叫做相似比．
注意：（1）“多边形”的“多”字包括3个或3个以上的所有自然数，所以有了相似多边形的定义，就不必再重新定义“相似三角形”、“相似四边形”……．
（2）我们前面学习过图形的全等，其实是相似的一个特例，全等图形是相似比为1的相似图形．
3.相似多边形的判定与性质：
（1）相似多边形的判定：①边数相等，②对应角相等，③对应边成比例．
注意：判定两个多边形相似，这三个条件缺一不可．两个边数不相等的多边形一定不相似．
（2）相似多边形的性质：如果两个多边形相似，则这两个多边形的对应角相等，对应边成比例．
注意：应用多边形的性质可以证明角相等，线段成比例等问题．
1。

图3AB C相似三角形中的网格问题关于网格的数学问题越来越多，例如寻找对称点、对称图形、相似图形以及利用格点进行面积计算等等,都已经成为近几年中考试题的考点问题。

其中使用频率比较高的是利用勾股定理进行三角形的有关计算，全等及相似三角形的判定。

例题1、已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位。

（1）将图1中的格点△ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A 1B 1C 1，请你在图1中画出△A 1B 1C 1。

（2）在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形.分析：画全等的格点三角形比较容易，只需要弄清楚三个顶点之间的位置关系，然后就可以画出另一个三角形。

但是画相似三角形就比较困难，关键是计算出△DEF 的三边的长度，然后找一个不等于1的相似比，比如相似比为2，计算出新三角形三边长或计算出其一边长后，利用平移得出新三角形。

答案：（1） （2）答案不唯一例题2、如图3，4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在单位正方形的顶点上.请在图中画一个△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1∽△ABC （相似比不为1），且点A 1、B 1、C 1都在单位正方形的顶点上。

图2F D EA BC 图1A BC 图1 A 1 B 1C 1图2F D EA 1 CB AB 1C 1 A 2B 2C 2图4分析:可以先求出△ABC 的三边的长，根据“三边对应成比例，两三角形相似"的判断条件，设定一个相应的相似比，再求出△A 1B 1C 1的三边的长，再画出△A 1B 1C 1。

解：在△ABC 中，AB ＝2,BC ＝2，AC ＝10. 设相似比为22或2. 可得所求三角形的边长分别为1、2、5或者2、22、52。

所以可以构造出不同的符合条件的三角形。

如图4中的△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2。

说明：当相似比确定后，△A 1B 1C 1的形状就确定了，但△A 1B 1C 1可以有多个不同的位置。